Hebu tuanzishe mfumo wa kuratibu wa mstatili, ambapo. Hebu mhimili upite kwa kuzingatia F parabola na perpendicular kwa directrix, na mhimili hupita katikati kati ya kuzingatia na directrix. Hebu tuonyeshe kwa umbali kati ya kuzingatia na directrix. Kisha equation ya directrix.
Nambari hiyo inaitwa kigezo cha msingi cha parabola. Hebu iwe hatua ya sasa ya parabola. Hebu iwe sehemu ya msingi ya uhakika wa hyperbola. Hebu iwe umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja. Kisha ( mchoro 27.)
Mchoro 27.
Kwa ufafanuzi wa parabola. Kwa hivyo,
Wacha tuweke equation na tupate:
(15)
ambapo (15) ni mlinganyo wa kisheria wa parabola ambao ni ulinganifu kuhusu mhimili na hupitia asili.
Utafiti wa mali ya parabola
1) Upeo wa parabola:
Equation (15) imeridhika na nambari na, kwa hivyo, parabola hupitia asili.
2) Ulinganifu wa Parabola:
Wacha tuwe wa parabola, i.e. usawa wa kweli. Hatua hiyo ni ya ulinganifu kwa uhakika unaohusiana na mhimili, kwa hiyo, parabola ni jamaa ya ulinganifu na mhimili wa abscissa.
Usawa wa Parabola:
Ufafanuzi 4.2. Usawazishaji wa parabola ni nambari sawa na moja.
Kwa kuwa kwa ufafanuzi wa parabola.
4) Tangent ya parabola:
Tangent kwa parabola katika hatua ya tangency inatolewa na equation
Wapi ( mchoro 28.)
Mchoro 28.
Picha ya Parabola
Mchoro 29.
Kutumia ESO-Mathcad:
kuchora 30.)
Mchoro 30.
a) Ujenzi bila matumizi ya ICT: Ili kujenga parabola, tunaweka mfumo wa kuratibu wa mstatili na kituo katika hatua O na sehemu ya kitengo. Tunaweka alama kwenye mhimili wa OX, kwani tunachora vile, na mwelekeo wa parabola. Tunaunda mduara kwa hatua na radius sawa na umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja hadi kwenye mstari wa moja kwa moja wa parabola. Mduara huvuka mstari kwa pointi. Tunaunda parabola ili ipitie asili na kupitia alama.( mchoro 31.)
Mchoro 31.
b) Kutumia ESO-Mathcad:
Equation inayotokana inaonekana kama: . Ili kuunda mstari wa mpangilio wa pili katika programu ya Mathcad, tunapunguza mlinganyo kwa fomu: .( mchoro 32.)
Mchoro 32.
Kwa muhtasari wa kazi ya nadharia ya mpangilio wa pili katika hisabati ya msingi na kwa urahisi wa kutumia taarifa kuhusu mistari wakati wa kutatua matatizo, tutajumuisha data zote kwenye mistari ya mpangilio wa pili kwenye Jedwali Na.
Jedwali Nambari 1.
Mistari ya pili katika hisabati ya msingi
|
Jina la mstari wa agizo la 2 |
Mduara |
Ellipse |
Hyperbola |
Parabola |
|
Tabia za tabia | ||||
|
Mlingano wa mstari | ||||
|
Ekcentricity | ||||
|
Mlinganyo wa tangent katika hatua (x 0 ; y 0 ) | ||||
|
Kuzingatia | ||||
|
Vipenyo vya mstari |
Ambapo k- mteremko |
Ambapo k ni mteremko |
Ambapo k ni mteremko |
Uwezekano wa kutumia ICT katika utafiti wa mistari ya pili
Mchakato wa uhamasishaji, ambao leo umeshughulikia nyanja zote za maisha ya jamii ya kisasa, una maeneo kadhaa ya kipaumbele, ambayo, kwa kweli, yanapaswa kujumuisha uhamasishaji wa elimu. Ni msingi wa kimsingi wa urekebishaji wa kimataifa wa shughuli za kiakili za binadamu kupitia matumizi ya teknolojia ya habari na mawasiliano (ICT).
Katikati ya miaka ya 90 ya karne iliyopita hadi leo ni sifa ya kuenea kwa matumizi na upatikanaji wa kompyuta za kibinafsi nchini Urusi, matumizi makubwa ya mawasiliano ya simu, ambayo inaruhusu kuanzishwa kwa teknolojia za habari za elimu katika mchakato wa elimu, kuboresha na kuifanya kisasa, kuboresha. ubora wa maarifa, kuongeza motisha ya kujifunza, kutumia kiwango cha juu cha kanuni ya ubinafsishaji wa kujifunza. Teknolojia ya habari kwa ajili ya elimu ni chombo muhimu katika hatua hii ya taarifa ya elimu.
Teknolojia za habari sio tu kuwezesha ufikiaji wa habari na kufungua fursa za kutofautisha katika shughuli za kielimu, ubinafsishaji wao na utofautishaji, lakini pia hufanya iwezekanavyo kupanga upya mwingiliano wa masomo yote ya ujifunzaji kwa njia mpya, kujenga mfumo wa elimu ambao mwanafunzi atakuwa mshiriki hai na sawa katika shughuli za elimu.
Uundaji wa teknolojia mpya za habari ndani ya mfumo wa masomo ya somo huchochea hitaji la kuunda programu mpya na muundo wa mbinu unaolenga kuongeza ufanisi wa somo. Kwa hivyo, kwa matumizi yenye mafanikio na yaliyolengwa katika mchakato wa elimu zana za teknolojia ya habari, walimu wanapaswa kujua maelezo ya Jumla kanuni za uendeshaji na uwezo wa didactic wa maombi ya programu, na kisha, kwa kuzingatia uzoefu na mapendekezo yao, "kuwajenga" katika mchakato wa elimu.
Utafiti wa hisabati kwa sasa unahusishwa na idadi ya vipengele na matatizo ya maendeleo. elimu ya shule katika nchi yetu.
Kinachoitwa mgogoro katika elimu ya hisabati umeibuka. Sababu za hii ni kama ifuatavyo:
Katika kubadilisha vipaumbele katika jamii na katika sayansi, yaani, kipaumbele cha ubinadamu kinakua hivi sasa;
Katika kupunguza idadi ya masomo ya hisabati shuleni;
Kutengwa kwa yaliyomo katika elimu ya hisabati kutoka kwa maisha;
Ina athari kidogo kwa hisia na hisia za wanafunzi.
Leo swali linabaki wazi: "Jinsi ya kutumia kwa ufanisi uwezo unaowezekana wa teknolojia ya kisasa ya habari na mawasiliano wakati wa kufundisha watoto wa shule, pamoja na wakati wa kufundisha hisabati?"
Kompyuta - msaidizi mkubwa katika utafiti wa mada kama vile "kazi ya Quadratic", kwa sababu kwa kutumia programu maalum unaweza kuunda grafu za kazi mbalimbali, kuchunguza kazi, kuamua kwa urahisi kuratibu za pointi za makutano, kuhesabu maeneo ya takwimu zilizofungwa, nk. Kwa mfano, katika somo la algebra la daraja la 9 lililotolewa kwa mabadiliko ya grafu (kunyoosha, kukandamiza, kusonga shoka za kuratibu), unaweza kuona tu matokeo yaliyohifadhiwa ya ujenzi, wakati mienendo yote ya vitendo vya mfululizo wa mwalimu na mwanafunzi inaweza kuonekana. kwenye skrini ya kufuatilia.
Kompyuta kama hakuna mwingine njia za kiufundi, kwa usahihi, kwa uwazi na kwa kusisimua hufunua mifano bora ya hisabati kwa mwanafunzi, i.e. nini mtoto anapaswa kujitahidi katika matendo yake ya vitendo.
Mwalimu wa hisabati lazima apitie shida ngapi ili kuwashawishi wanafunzi kwamba tangent kwa grafu. kazi ya quadratic katika hatua ya kuwasiliana inaunganishwa kivitendo na grafu ya kazi. Ni rahisi sana kuonyesha ukweli huu kwenye kompyuta-inatosha kupunguza muda kwenye mhimili wa Ox na kugundua kwamba katika kitongoji kidogo sana cha hatua ya tangency, grafu ya chaguo la kukokotoa na mstari wa tangent sanjari. Vitendo hivi vyote hufanyika mbele ya wanafunzi. Mfano huu unatoa msukumo wa kutafakari tendaji katika somo. Matumizi ya kompyuta inawezekana wakati wa maelezo ya nyenzo mpya darasani na katika hatua ya udhibiti. Kwa msaada wa programu hizi, kwa mfano "Mtihani Wangu", mwanafunzi anaweza kujitegemea kupima kiwango chake cha ujuzi katika nadharia na kukamilisha kazi za kinadharia na vitendo. Programu hizo ni rahisi kwa sababu ya utofauti wao. Wanaweza kutumika kwa udhibiti wa kibinafsi na udhibiti wa mwalimu.
Ushirikiano wa busara wa teknolojia ya hisabati na kompyuta utaturuhusu kuangalia kwa undani zaidi mchakato wa kutatua tatizo na mchakato wa kuelewa sheria za hisabati. Kwa kuongeza, kompyuta itasaidia kuunda utamaduni wa graphic, hisabati na kiakili wa wanafunzi, na kwa msaada wa kompyuta unaweza kuandaa vifaa vya didactic: kadi, karatasi za uchunguzi, vipimo, nk Wakati huo huo, wape watoto fursa ya kujitegemea kuendeleza majaribio juu ya mada, wakati ambao maslahi na ubunifu.
Kwa hivyo, kuna haja ya kutumia kompyuta katika masomo ya hisabati kwa upana iwezekanavyo. Matumizi ya teknolojia ya habari itasaidia kuboresha ubora wa maarifa, kupanua upeo wa kusoma kazi ya quadratic, na kwa hivyo kusaidia kupata matarajio mapya ya kudumisha shauku ya wanafunzi katika somo na mada, na kwa hivyo kwa mtazamo bora, wa uangalifu zaidi juu yake. . Leo, teknolojia za kisasa za habari zinakuwa zana muhimu zaidi ya kuifanya shule kuwa ya kisasa kwa ujumla - kutoka kwa usimamizi hadi elimu na kuhakikisha upatikanaji wa elimu.
Mihadhara juu ya algebra na jiometri. Muhula wa 1.
Hotuba ya 17. Parabola.
Sura ya 17. Parabola.
kifungu cha 1. Ufafanuzi wa kimsingi.
Ufafanuzi. Parabola ni GMT ya usawa wa ndege kutoka sehemu moja isiyobadilika ya ndege, inayoitwa umakini, na laini moja isiyobadilika, inayoitwa directrix.
Ufafanuzi. Umbali kutoka kwa sehemu ya kiholela M ya ndege hadi lengo la parabola inaitwa radius ya msingi ya uhakika M.
Majina: F- lengo la parabola,r- radius ya msingi pointi M,d- umbali kutoka kwa uhakika M hadi Directrix D.
Kwa ufafanuzi wa parabola, hatua M ni hatua ya parabola ikiwa na ikiwa tu 
.
Kwa ufafanuzi wa parabola, mwelekeo wake na mwelekeo wa moja kwa moja ni vitu vilivyowekwa, kwa hivyo umbali kutoka kwa umakini hadi mwelekeo wa moja kwa moja ni dhamana ya mara kwa mara kwa parabola fulani.
Ufafanuzi. Umbali kutoka kwa lengo la parabola hadi moja kwa moja inaitwa paramu ya msingi ya parabola.
Uteuzi: 
.
Hebu tuanzishe mfumo wa kuratibu kwenye ndege hii, ambao tutauita wa kisheria kwa parabola.
Ufafanuzi. Mhimili unaotolewa kupitia mwelekeo wa parabola perpendicular kwa directrix inaitwa mhimili wa msingi wa parabola.
Wacha tutengeneze PDSC ya kisheria ya parabola, ona Mchoro 2.
Kama mhimili wa abscissa, tunachagua mhimili wa kuzingatia, mwelekeo ambao tunachagua kutoka kwa moja kwa moja hadi kwa kuzingatia.
Mhimili wa kuratibu hutolewa katikati ya sehemu ya FN perpendicular kwa mhimili wa focal. Kisha lengo lina kuratibu 
.
kifungu cha 2. Mlinganyo wa kisheria wa parabola.
Nadharia. Katika mfumo wa kuratibu wa kisheria wa parabola, equation ya parabola ina fomu:
.
(1)
Ushahidi. Tunafanya uthibitisho katika hatua mbili. Katika hatua ya kwanza, tutathibitisha kwamba viwianishi vya nukta yoyote iliyo kwenye parabola vinakidhi mlingano (1). Katika hatua ya pili tutathibitisha kwamba suluhisho lolote la equation (1) linatoa viwianishi vya nukta iliyo kwenye parabola. Itafuata kutoka kwa hii kwamba equation (1) inaridhika na kuratibu za hizo na pointi hizo tu za ndege ya kuratibu ambayo iko kwenye parabola.
Kutokana na hili na kutokana na ufafanuzi wa mlingano wa mkunjo itafuata kwamba mlingano (1) ni mlingano wa parabola.
1) Hebu hatua M (x, y) iwe hatua ya parabola, i.e.
.
Wacha tutumie fomula ya umbali kati ya alama mbili kwenye ndege ya kuratibu na tumia fomula hii kupata eneo la msingi la nukta fulani M:
.
Kutoka Kielelezo 2 tunaona kwamba hatua ya parabola haiwezi kuwa na abscissa hasi, kwa sababu kwa kesi hii 
. Ndiyo maana 
Na 
. Kuanzia hapa tunapata usawa
.
Wacha tuweke pande zote mbili za equation:
na baada ya kupunguzwa tunapata:
.
2) Wacha sasa jozi ya nambari (x, y) ikidhi equation (1) na acha M(x, y) iwe sehemu inayolingana kwenye ndege ya kuratibu Oxy.
Kisha tunabadilisha usawa (1) katika usemi wa radius ya msingi ya uhakika M:
, ambayo, kwa ufafanuzi wa parabola, inafuata kwamba hatua M (x, y) iko kwenye parabola.
Hapa tulichukua fursa ya ukweli kwamba kutoka kwa usawa (1) inafuata hiyo 
na kwa hiyo 
.
Nadharia imethibitishwa.
Ufafanuzi. Mlinganyo (1) unaitwa mlinganyo wa kisheria wa parabola.
Ufafanuzi. Asili ya mfumo wa kuratibu wa kisheria wa parabola inaitwa vertex ya parabola.
kifungu cha 3. Tabia za parabola.
Nadharia. (Sifa za parabola.)
1. Katika mfumo wa kuratibu kisheria kwa parabola, kwenye ukanda
hakuna pointi za parabola.
2. Katika mfumo wa kuratibu wa kanuni za parabola, kipeo cha parabola O(0; 0) kiko kwenye parabola.
3. Parabola ni mkunjo ambao una ulinganifu kuhusu mhimili wa fokasi.
Ushahidi. 1, 2) Inafuata mara moja kutoka kwa mlinganyo wa kisheria wa parabola.
3) Acha M(x, y) iwe sehemu ya kiholela ya parabola. Kisha viwianishi vyake vinakidhi mlingano (1). Lakini basi kuratibu za uhakika 
pia kukidhi equation (1), na, kwa hiyo, hatua hii pia ni hatua ya parabola, ambayo taarifa ya theorem ifuatavyo.
Nadharia imethibitishwa.
kifungu cha 4. Ujenzi wa parabola.
Kwa sababu ya ulinganifu, inatosha kuunda parabola katika robo ya kwanza, ambapo ni grafu ya kazi.
,
na kisha onyesha grafu inayotokana kwa ulinganifu kuhusu mhimili wa x.
Tunaunda grafu ya kazi hii, kwa kuzingatia kwamba kazi hii inaongezeka kwa muda 
.
kifungu cha 5. Kigezo cha msingi cha hyperbola.
Nadharia. Kigezo cha kuzingatia cha parabola ni sawa na urefu wa perpendicular kwa mhimili wake wa ulinganifu, uliorejeshwa kwenye lengo la parabola kabla ya kuingiliana na parabola.
Ushahidi. Tangu uhakika 
ni sehemu ya makutano ya parabola 
na perpendicular 
(ona Mchoro 3), kisha viwianishi vyake vinakidhi mlingano wa parabola:
.
Kutoka hapa tunapata 
, ambayo kauli ya nadharia inafuata.
Nadharia imethibitishwa.
kifungu cha 6. Ufafanuzi wa umoja wa duaradufu, hyperbola na parabola.
Kwa kutumia sifa zilizothibitishwa za duaradufu na hyperbola, na ufafanuzi wa parabola, tunaweza kutoa ufafanuzi mmoja kwa curves zote tatu.
Ufafanuzi. HMT ndege ambazo uwiano wa umbali kwa moja uhakika fasta ndege, inayoitwa lengo, kwa umbali wa mstari mmoja uliowekwa sawa, unaoitwa directrix, kuna thamani ya mara kwa mara inayoitwa:
a) duaradufu ikiwa thamani hii isiyobadilika ni chini ya 1;
b) hyperbola ikiwa thamani hii ya mara kwa mara ni kubwa kuliko 1;
c) parabola ikiwa thamani hii thabiti ni sawa na 1.
Thamani hii ya mara kwa mara inayorejelewa katika ufafanuzi inaitwa eccentricity na inaonyeshwa 
, umbali kutoka kwa sehemu fulani hadi lengo ni radius yake ya msingi r, umbali kutoka kwa sehemu fulani hadi directrix inaonyeshwa na d.
Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba pointi hizo za ndege ambayo uhusiano 
kuna wingi wa mara kwa mara ambao huunda ellipse, hyperbola au parabola, kulingana na ukubwa wa uwiano huu.
Kama 
, basi tunapata duaradufu ikiwa 
, basi tunapata hyperbola ikiwa 
, basi tunapata parabola.
kifungu cha 7. Tangent kwa parabola.
Nadharia. Hebu 
- hatua ya kiholela ya parabola
.
Kisha equation ya tangent kwa parabola hii ni
kwa uhakika 
ina fomu:
.
(2)
Ushahidi. Inatosha kuzingatia kesi wakati hatua ya kuwasiliana iko katika robo ya kwanza. Kisha equation ya parabola inaonekana kama hii:
na inaweza kuzingatiwa kama grafu ya chaguo la kukokotoa 
.
Wacha tutumie mlinganyo wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa 
kwa uhakika 
:
Wapi 
- thamani ya derivative ya kitendakazi kilichotolewa kwa uhakika 
.
Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa 
na thamani yake katika hatua ya kuwasiliana:
,
.
Hapa sisi alichukua faida ya ukweli kwamba hatua tangent 
ni hatua ya parabola na kwa hiyo viwianishi vyake vinakidhi equation ya parabola, i.e.
.
Tunabadilisha thamani ya derivative iliyopatikana kwenye mlinganyo wa tangent:
,
tunapata wapi:
.
Tangu uhakika 
ni ya parabola, basi kuratibu zake kukidhi equation yake, i.e. 
, tunapata wapi
au 
.
hii ina maana
.
Nadharia imethibitishwa.
kifungu cha 8. Kioo mali ya parabola.
Nadharia. Tangenti hadi parabola huunda pembe sawa na mhimili wake wa ulinganifu na kwa radius ya msingi ya hatua ya tangency.
Ushahidi. Hebu 
- sehemu ya mawasiliano, 
- radius yake ya msingi. Wacha tuonyeshe kwa N hatua ya makutano ya tangent na mhimili wa abscissa. Mpangilio wa nukta N ni sawa na sifuri na nukta N iko kwenye tanjiti, kwa hivyo, viwianishi vyake vinakidhi mlinganyo wa tanjenti. Kubadilisha kuratibu za nukta N kwenye equation ya tangent, tunapata:
,
ambapo abscissa ya uhakika N ni sawa na 
.
Fikiria pembetatu 
. Hebu tuthibitishe kwamba ni isosceles.
Kweli, 
. Hapa tulitumia usawa uliopatikana wakati wa kupata mlinganyo wa kisheria wa parabola:
.
Katika pembetatu ya isosceles, pembe za msingi ni sawa. Kutoka hapa
, na kadhalika.
Nadharia imethibitishwa.
Maoni. Nadharia iliyothibitishwa inaweza kuundwa kwa namna ya mali ya kioo ya parabola.
Mwale wa nuru iliyotolewa kutoka kwa lengo la parabola, baada ya kutafakari kutoka kwa kioo cha parabola, huenda sambamba na mhimili wa ulinganifu wa parabola.
Hakika, kwa kuwa angle ya matukio ya ray kwenye tangent ni sawa na angle ya kutafakari kutoka kwayo, angle kati ya tangent na ray iliyoonyeshwa ni sawa na angle kati ya tangent na mhimili wa abscissa, ambayo ina maana kwamba inaonekana. ray ni sambamba na mhimili wa abscissa.
Maoni. Mali hii ya parabola imetumika sana katika teknolojia. Ikiwa parabola inazungushwa kuzunguka mhimili wake wa ulinganifu, tunapata uso unaoitwa paraboloid ya mapinduzi. Ikiwa unafanya uso wa kutafakari kwa sura ya paraboloid ya mapinduzi na kuweka chanzo cha mwanga kwenye lengo, basi miale iliyoakisiwa huenda sambamba na mhimili wa ulinganifu wa paraboloid. Hivi ndivyo vimulimuli na taa za gari zinavyoundwa. Ikiwa kifaa kinachopokea oscillations ya umeme (mawimbi) huwekwa kwenye lengo, basi huonyeshwa kutoka kwenye uso wa paraboloid na kuingia kifaa hiki cha kupokea. Sahani za satelaiti hufanya kazi kwa kanuni hii.
Kuna hekaya kwamba katika nyakati za zamani kamanda mmoja aliwapanga wapiganaji wake kando ya ufuo, na kutoa malezi yao sura ya parabola. Mwangaza wa jua, unaoakisi kutoka kwa ngao za wapiganaji zilizong'aa hadi kuangaza, zilikusanywa kwenye boriti (kwenye lengo la parabola iliyojengwa). Kwa njia hii meli za adui zilichomwa moto. Vyanzo vingine vinahusisha hii na Archimedes. Kwa njia moja au nyingine, Waarabu waliita paraboloid ya mzunguko kuwa "kioo cha moto."
Kwa njia, neno "kuzingatia" ni Kilatini na linamaanisha moto, makao. Kutumia "kioo kinachowaka" unaweza kuwasha moto na kuchemsha maji siku ya jua. Kwa hivyo asili ya neno hili inakuwa wazi.
Neno "hila" pia linamaanisha hila au hila fulani. Hapo awali, circus iliitwa kibanda. Kwa hivyo, wasanii wa fasi pia walitumia mali ya kioo ya duaradufu na, kwa kuwasha taa katika mwelekeo mmoja wa duaradufu, waliwasha kitu kinachoweza kuwaka kilichowekwa katika mwelekeo wake mwingine. Tamasha hili pia lilikuja kuitwa ujanja wa uchawi. (Soma kitabu cha ajabu cha N.Ya. Vilenkin "Nyuma ya Kurasa za Kitabu cha Masomo cha Hisabati")
kifungu cha 9. Equation ya polar ya duaradufu, hyperbola na parabola.
Hebu hatua F itolewe kwenye ndege, ambayo tutaita kuzingatia, na mstari wa D, ambao tutauita directrix. Hebu tuchore mstari wa perpendicular kwa directrix (axis focal) kwa njia ya kuzingatia na kuanzisha mfumo wa kuratibu wa polar. Hebu tuweke nguzo kwenye lengo, na kama ray ya polar tunachukua sehemu hiyo ya mstari ambayo haiingiliani na directrix (angalia Mchoro 5).
Acha kumweka M alale kwenye duaradufu, hyperbola au parabola. Katika kile kinachofuata tutaita hyperbola au parabola tu curve.
Nadharia. Hebu 
- viwianishi vya polar vya ncha kwenye curve (ellipse, hyperbola au parabola). Kisha
,
(3)
ambapo p ni kigezo cha kuzingatia cha curve, 
- usawa wa curve (kwa parabola tunayodhani 
).
Ushahidi. Acha Q iwe makadirio ya uhakika M kwenye mhimili wa kuzingatia wa curve, B - kwenye mstari wa moja kwa moja wa curve. Acha pembe ya polar 
uhakika M ni butu, kama kwenye Mchoro 5. Kisha
,
ambapo kwa ujenzi, 
- umbali kutoka kwa uhakika M hadi directrix, na
.
(4)
Kwa upande mwingine, kulingana na ufafanuzi wa kawaida wa duaradufu, hyperbola na parabola, uwiano
(5)
sawa na mshikamano wa mkunjo unaolingana kwa nukta yoyote M kwenye mkunjo uliotolewa. Hebu uhakika 
- hatua ya makutano ya curve na perpendicular kwa mhimili wa kuzingatia, kurejeshwa kwa kuzingatia F na A - makadirio yake kwenye mstari wa moja kwa moja. Kisha
, wapi 
. Lakini 
, wapi
na, kubadilisha katika usawa (4), tunapata
au, kwa kuzingatia usawa (5),
ambapo usawa (3) unaothibitishwa unafuata.
Kumbuka kuwa usawa (4) unabaki kuwa kweli katika kesi wakati pembe ya polar 
uhakika M ni mkali, kwa sababu katika kesi hii, uhakika Q ni upande wa kulia wa kuzingatia F na
Nadharia imethibitishwa.
Ufafanuzi. Equation (3) inaitwa mlinganyo wa polar wa duaradufu, hyperbola na parabola.
Ninapendekeza kwamba wasomaji wengine wapanue kwa kiasi kikubwa ujuzi wao wa shule kuhusu parabolas na hyperbolas. Hyperbola na parabola - ni rahisi? ...Siwezi kusubiri =)
Hyperbola na mlinganyo wake wa kisheria
Muundo wa jumla wa uwasilishaji wa nyenzo utafanana na aya iliyotangulia. Hebu tuanze na dhana ya jumla hyperbolas na matatizo kwa ajili ya ujenzi wake.
Mlinganyo wa kisheria wa hyperbola una fomu , ambapo kuna nambari halisi chanya. Tafadhali kumbuka kuwa, tofauti duaradufu, hali haijawekwa hapa, yaani, thamani "a" inaweza kuwa chini ya thamani"bae".
Lazima niseme, bila kutarajia ... equation ya hyperbola ya "shule" haifanani hata na nukuu ya kisheria. Lakini siri hii bado itatungojea, lakini kwa sasa wacha tukune vichwa vyetu na tukumbuke nini. sifa za tabia curve inayozungumziwa ina? Wacha tuieneze kwenye skrini ya mawazo yetu grafu ya kipengele ….
Hyperbola ina matawi mawili ya ulinganifu.
Sio maendeleo mabaya! Hyperbole yoyote ina sifa hizi, na sasa tutaangalia kwa kupendeza kwa kweli mstari wa shingo wa mstari huu:
Mfano 4
Tengeneza hyperbola iliyotolewa na equation
Suluhisho: katika hatua ya kwanza, tunaleta mlingano huu kwa fomu ya kisheria. Tafadhali kumbuka utaratibu wa kawaida. Upande wa kulia unahitaji kupata "moja", kwa hivyo tunagawanya pande zote mbili za equation ya asili na 20: 
Hapa unaweza kupunguza sehemu zote mbili, lakini ni bora zaidi kufanya kila moja yao hadithi tatu:
Na tu baada ya hayo fanya kupunguza:
Chagua miraba katika madhehebu:
Kwa nini ni bora kufanya mabadiliko kwa njia hii? Baada ya yote, sehemu za upande wa kushoto zinaweza kupunguzwa mara moja na kupatikana. Ukweli ni kwamba katika mfano unaozingatiwa tulikuwa na bahati kidogo: nambari ya 20 imegawanywa na 4 na 5. Kwa ujumla, nambari hiyo haifanyi kazi. Fikiria, kwa mfano, equation. Hapa na mgawanyiko kila kitu ni huzuni na bila sehemu za hadithi tatu haiwezekani tena: 
Kwa hivyo, wacha tutumie matunda ya kazi zetu - equation ya kisheria:
Jinsi ya kutengeneza hyperbola?
Kuna njia mbili za kuunda hyperbola - jiometri na algebraic.
NA hatua ya vitendo mchoro wa kuona kwa kutumia dira... Ningesema hata utopian, kwa hivyo ni faida zaidi kwa mara nyingine tena kutumia mahesabu rahisi kusaidia.
Inashauriwa kuzingatia algorithm ifuatayo, kwanza kumaliza kuchora, kisha maoni:
Katika mazoezi, mchanganyiko wa mzunguko kwa pembe ya kiholela na tafsiri ya sambamba ya hyperbola mara nyingi hukutana. Hali hii inajadiliwa darasani Kupunguza mlingano wa mstari wa 2 hadi fomu ya kisheria.
Parabola na mlinganyo wake wa kisheria
Imekamilika! Yeye ndiye. Tayari kufichua siri nyingi. Mlinganyo wa kisheria wa parabola una umbo , ambapo ni nambari halisi. Ni rahisi kutambua kwamba katika nafasi yake ya kawaida parabola "iko upande wake" na vertex yake iko kwenye asili. Katika kesi hii, kazi inataja tawi la juu la mstari huu, na kazi - tawi la chini. Ni dhahiri kwamba parabola ni linganifu kuhusu mhimili. Kwa kweli, kwa nini ujisumbue:
Mfano 6
Tengeneza parabola
Suluhisho: vertex inajulikana, hebu tupate pointi za ziada. Mlinganyo 
huamua arc ya juu ya parabola, equation huamua arc ya chini.
Ili kufupisha kurekodi kwa mahesabu, tutafanya mahesabu "kwa brashi moja": 
Kwa kurekodi kwa kompakt, matokeo yanaweza kufupishwa katika jedwali.
Kabla ya kufanya mchoro wa msingi wa hatua kwa hatua, hebu tutengeneze kali
ufafanuzi wa parabola:
Parabola ni seti ya pointi zote katika ndege ambazo ziko sawa kutoka kwa uhakika fulani na mstari uliotolewa ambao haupiti kwa uhakika.
Hatua inaitwa kuzingatia parabolas, mstari wa moja kwa moja - mwalimu mkuu (imeandikwa na "es") parabolas. "pe" ya mara kwa mara ya equation ya kisheria inaitwa kigezo cha kuzingatia, ambayo ni sawa na umbali kutoka kwa lengo hadi directrix. KATIKA kwa kesi hii. Katika kesi hii, lengo lina kuratibu, na directrix inatolewa na equation.
Katika mfano wetu: 
Ufafanuzi wa parabola ni rahisi zaidi kuelewa kuliko ufafanuzi wa duaradufu na hyperbola. Kwa hatua yoyote kwenye parabola, urefu wa sehemu (umbali kutoka kwa lengo hadi uhakika) ni sawa na urefu wa perpendicular (umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari wa moja kwa moja):
Hongera! Wengi wenu mmegundua ukweli leo. Inabadilika kuwa hyperbola na parabola sio grafu za kazi za "kawaida", lakini zina asili ya kijiometri iliyotamkwa.
Kwa wazi, kadiri paramu ya msingi inavyoongezeka, matawi ya grafu "yatainua" juu na chini, ikikaribia karibu na mhimili. Wakati thamani ya "pe" inapungua, wataanza kukandamiza na kunyoosha kando ya mhimili
Eccentricity ya parabola yoyote sawa na moja:
Mzunguko na tafsiri sambamba ya parabola
Parabola ni moja wapo ya mistari ya kawaida katika hisabati, na itabidi uijenge mara nyingi. Kwa hivyo, tafadhali zingatia sana aya ya mwisho ya somo, ambapo nitajadili chaguzi za kawaida eneo la curve hii.
! Kumbuka : kama ilivyo katika kesi zilizo na curves zilizopita, ni sahihi zaidi kuzungumza juu ya mzunguko na tafsiri sambamba ya shoka za kuratibu, lakini mwandishi atajiwekea kikomo. toleo lililorahisishwa uwasilishaji ili msomaji awe na uelewa wa kimsingi wa mabadiliko haya.
Kazi Nambari 1. Kuamua kuratibu za foci na kutunga equation ya directrix ya parabola
Kulinganisha mlingano huu na mlinganyo 
, tunapata kwamba 2p=4, imetoka wapi 
. Hivyo uhakika 
- foci ya parabola, na mstari wa moja kwa moja 
, yaani x=-1 au x+1=0 ndio mkondo wake wa moja kwa moja.
Jibu: (1;0)
Tatizo namba 2. Kiini cha parabola kilicho na kipeo kwenye asili kiko kwenye hatua F(0;-4). Andika mlinganyo wa parabola hii.
Tatizo namba 3. Mstari wa moja kwa moja wa parabola yenye kipeo kwenye asili ni mstari wa moja kwa moja 2x+5=0.
Andika equation na upate kuratibu za lengo la parabola.
R 
Suluhisho: Kwa kuwa mstari wa moja kwa moja wa parabola yenye kipeo kwenye asili ni mstari 2x+5=0 au 
, basi lengo lake lina kuratibu
, kwa hivyo curve inayotaka ni ya ulinganifu kuhusu mhimili wa Ox F( 
)
na matawi yake yanaelekezwa kwa haki (abscissa ya kuzingatia ni chanya). Kwa hiyo, equation ya parabola ina fomu 
Kwa sababu 
Hiyo 
na equation ya parabola itakuwa: 
, na kuratibu za mwelekeo wake ni F(2.5;0)
Jibu: 
; F(2.5;0)
Kazi nambari 4. Andika mlinganyo wa parabola, ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy, na katikati kwenye asili ya mfumo wa kuratibu, ikiwa unapitia nukta B(1;-2).
Kwa kuwa parabola ni ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy na ina kipeo kwenye asili ya mfumo wa kuratibu, mlinganyo wake una umbo. 
. Kwa kuwa nukta B(1;-2) iko kwenye parabola, viwianishi vyake vinakidhi parabolas, i.e. 
,
Wapi 
, na kwa hiyo 
- equation ya parabola.
Jibu: 
Tatizo namba 5. Pata urefu wa arch ya daraja la urefu wa m 24, ikiwa arch ina fomu ya parabola, equation ambayo ni. 
Wacha tuchore parabola 
katika Cartesian mfumo wa mstatili kuratibu Hebu tuonyeshe kwa h urefu wa daraja, na kwa 
=24 - urefu wa upinde wa daraja. Kisha, A(12;-h) 
P: 
.
T 
jinsi uhakika A ni mali ya parabola 
, basi viwianishi vyake vinakidhi mlinganyo wa parabola. Hii inafanya uwezekano wa kubadilisha viwianishi vya nukta fulani kwenye mlinganyo wa parabola badala ya viwianishi vya sasa (x;y). Kisha tuna 
Kwa hivyo, urefu wa arch ya daraja ni 3 m.
Tatizo namba 6. Mto wa maji unaoelekezwa kwa pembe kwa ndege ya upeo wa macho huongezeka hadi urefu wa m 2 na huanguka m 12 kutoka kwenye ncha ya hose. Tafuta trajectory ya kimfano ya ndege.
Suluhisho: Hebu tuhusishe trajectory ya kimfano ya ndege na mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian ili trajectory ya kimfano iwe linganifu kwa mhimili wa Oy, matawi yanaelekezwa chini, na vertex yake iko kwenye asili ya kuratibu.
Kisha equation ya trajectory vile parabolic ina fomu 
, uhakika A(6;-2) 
P: 
, kwa hiyo, viwianishi vyake vinakidhi mlingano wa parabola. Kubadilisha viwianishi vya nukta A badala ya viwianishi vya sasa vya x na y vya parabola 
, inatoa usawa 
. Kwa hivyo, 
- equation ya trajectory ya kimfano ya ndege.
Jibu: 
Amua mwenyewe:
Tatizo namba 7. Sehemu ya msalaba ya kutafakari kwa ndege inayopita kwenye mhimili wa kutafakari ni parabola. Andika equation yake ikiwa upana wa kiakisi ni cm 30 na kina ni 20 cm (mhimili wa kiakisi unaambatana na mhimili wa Ox)
Jibu: 
Tatizo namba 8. Maji hutiririka kutoka kwenye shimo kwenye uso wa dunia kwenye mkondo unaowakilisha tawi la parabola. 
. Kwa umbali gani kutoka kwa ukingo wa tank mkondo huanguka chini ikiwa urefu wa shimo
Jibu: 3 m.
Tatizo namba 9. Sehemu ya axial ya kioo cha parabolic ni parabola 
Tambua kipenyo cha kioo ikiwa "kina" chake ni 18.75 cm.
Jibu: 30 cm.
Tatizo namba 10. Jiwe lililotupwa kwa pembe ya papo hapo kwa ndege ya usawa iliyofikiwa urefu mkubwa zaidi 16 m., Baada ya kuelezea trajectory ya kimfano, jiwe lilianguka 48 m., kutoka kwa hatua ya kutupa. Tafuta trajectory ya jiwe.
Jibu: 
.
Tatizo Nambari 11 Tafuta parabola yenye kipeo kwenye asili ikiwa lengo lake liko katika uhakika a) F(3;0); b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)
Jibu: a) 
; b) 
; V) 
; G) 
Tatizo nambari 12 Tafuta viambishi vilivyo na kipeo kwenye asili ikiwa viambajengo vimetolewa: a) 
; b)x=-5; c) y=3; d) y=-2;
Jibu: a) 
; b) 
; V) 
; G) 
.
Tatizo namba 13. Pata kuratibu za lengo na uandike equation ya directrix kwa kila parabolas.
A) 
; b) 
; V) 
; G) 
. Tengeneza parabola hizi.
Jibu: a) F(2;0); x+2=0 ; b) F(-3;0); x-3=0 ; c) F(0;); Miaka 2+5=0
d) F(0;-4); x-4=0
Tatizo namba 14. Angalia kama pointi A(2;-2) na B(1;2) ziko kwenye parabola. 
Jibu: A ni, B sio.
Tatizo namba 15. Andika mlingano wa parabola yenye kipeo kwenye asili, yenye ulinganifu kuhusu mhimili wa Ox na kupita kwenye nukta.
Jibu: 
Tatizo namba 16. Andika mlinganyo wa parabola yenye kipeo kwenye asili ikiwa:
A) parabola iko katika nusu ya juu ya ndege kwa ulinganifu na mhimili wa kuratibu, na parameta yake ya msingi ni sawa na 4;
B) parabola iko katika nusu ya chini ya ndege kwa ulinganifu kwa mhimili wa kuratibu, na parameta yake ya msingi ni sawa na 6;
B) parabola iko katika nusu-ndege ya kulia kwa ulinganifu na mhimili wa kuratibu, na parameta yake ya msingi ni sawa na 3;
d) parabola iko kwenye nusu ya ndege ya kushoto kwa ulinganifu na mhimili wa kuratibu, na paramu yake ya msingi ni sawa na 5.
Jibu a) 
; b) 
; V) 
; G) 
.
Katika sura hii yote inachukuliwa kuwa kiwango fulani kimechaguliwa katika ndege (ambayo takwimu zote zinazozingatiwa hapa chini ziko); Mifumo ya kuratibu ya mstatili tu na kiwango hiki inazingatiwa.
§ 1. Parabola
Kielelezo kinajulikana kwa msomaji kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule kama curve, ambayo ni grafu ya utendaji.
(Mchoro 76). (1)
Grafu ya trinomial yoyote ya quadratic
pia ni parabola; inawezekana kwa kubadilisha tu mfumo wa kuratibu (na vekta fulani OO), yaani kubadilisha
hakikisha kwamba grafu ya kazi (katika mfumo wa pili wa kuratibu) inafanana na grafu (2) (katika mfumo wa kwanza wa kuratibu).
Kwa kweli, tubadilishe (3) katika usawa (2). Tunapata
Tunataka kuchagua ili mgawo katika na neno lisilolipishwa la polynomial (kuhusiana na ) upande wa kulia wa usawa huu ziwe sawa na sufuri. Ili kufanya hivyo, tunaamua kutoka kwa equation
ambayo inatoa
Sasa tunaamua kutoka kwa hali hiyo
ambamo tunabadilisha thamani iliyopatikana tayari. Tunapata
Kwa hivyo, kwa njia ya kuhama (3), ambayo
tukaendelea na mfumo mpya kuratibu, ambapo equation ya parabola (2) inachukua fomu
(Mchoro 77).
Wacha turudi kwenye equation (1). Inaweza kutumika kama ufafanuzi wa parabola. Wacha tukumbuke sifa zake rahisi. Mviringo una mhimili wa ulinganifu: ikiwa nukta inatosheleza mlingano (1), basi nukta yenye ulinganifu ili kumweka M inayohusiana na mhimili wa kuratibu pia inatosheleza mlingano (1) - mkunjo ni ulinganifu kuhusiana na mhimili wa kuratibu (Mchoro 76) .
Ikiwa , basi parabola (1) iko kwenye nusu-ndege ya juu, ikiwa na sehemu moja ya kawaida ya O na mhimili wa abscissa.
Kwa ongezeko lisilo na kikomo la thamani kamili ya abscissa, kuratibu pia huongezeka bila kikomo. Fomu ya jumla toa curve kwenye Mtini. 76, a.
Ikiwa (Mchoro 76, b), basi curve iko katika nusu ya chini ya ndege symmetrically jamaa na mhimili abscissa kwa Curve.
Ikiwa tutahamia mfumo mpya wa kuratibu uliopatikana kutoka uingizwaji wa zamani mwelekeo chanya wa mhimili wa kuratibu kwa kinyume, kisha parabola kuwa mfumo wa zamani equation , itapokea equation y katika mfumo mpya wa kuratibu. Kwa hivyo, tunaposoma parabolas, tunaweza kujiwekea kikomo kwa milinganyo (1), ambayo .
Hebu hatimaye tubadilishe majina ya axes, yaani, tutahamia kwenye mfumo mpya wa kuratibu, ambayo mhimili wa kuratibu utakuwa mhimili wa zamani wa abscissa, na mhimili wa abscissa utakuwa mhimili wa zamani wa kuratibu. Katika mfumo huu mpya, equation (1) itaandikwa katika fomu
Au, ikiwa nambari imeashiriwa na , katika fomu
Equation (4) inaitwa katika jiometri ya uchanganuzi mlinganyo wa kisheria wa parabola; mfumo wa kuratibu wa mstatili ambao parabola fulani ina mlinganyo (4) inaitwa mfumo wa kuratibu wa kanuni (kwa parabola hii).
Sasa tutaweka maana ya kijiometri mgawo Ili kufanya hivyo, tunachukua hatua
inayoitwa lengo la parabola (4), na mstari wa moja kwa moja d, unaofafanuliwa na equation
Mstari huu unaitwa directrix ya parabola (4) (tazama Mchoro 78).
Hebu iwe hatua ya kiholela ya parabola (4). Kutoka kwa equation (4) inafuata kwamba Kwa hivyo, umbali wa nukta M kutoka kwa moja kwa moja d ni nambari.
Umbali wa uhakika M kutoka kwa lengo F ni
Lakini, kwa hiyo
Kwa hivyo, vidokezo vyote M vya parabola ni sawa kutoka kwa mwelekeo wake na mwelekeo wa moja kwa moja:
Kinyume chake, kila nukta M hali ya kuridhisha (8) iko kwenye parabola (4).
Hakika,
Kwa hivyo,
na baada ya kufungua mabano na kuleta maneno kama hayo.
Tumethibitisha kwamba kila parabola (4) ni eneo la pointi sawia kutoka kwa lengo F na kutoka kwa dhamira d ya parabola hii.
Wakati huo huo, tumeanzisha maana ya kijiometri ya mgawo katika equation (4): nambari ni sawa na umbali kati ya kuzingatia na directrix ya parabola.
Wacha sasa tuchukue kuwa nukta F na mstari d usiopitia hatua hii hutolewa kiholela kwenye ndege. Hebu tuthibitishe kuwa kuna kifananishi chenye kulenga F na directrix d.
Ili kufanya hivyo, chora mstari g kupitia hatua F (Mchoro 79), perpendicular kwa mstari d; hebu tuonyeshe hatua ya makutano ya mistari yote miwili na D; umbali (yaani umbali kati ya uhakika F na mstari wa moja kwa moja d) utaonyeshwa na .
Hebu tugeuze mstari wa moja kwa moja g kwenye mhimili, tukichukua mwelekeo wa DF juu yake kama chanya. Wacha tufanye mhimili huu kuwa mhimili wa abscissa wa mfumo wa kuratibu wa mstatili, ambayo asili yake ni O ya kati ya sehemu.
Kisha mstari wa moja kwa moja d pia hupokea equation.
Sasa tunaweza kuandika equation ya kisheria ya parabola katika mfumo uliochaguliwa wa kuratibu:
ambapo hatua F itakuwa mwelekeo, na mstari wa moja kwa moja d utakuwa mstari wa moja kwa moja wa parabola (4).
Tuligundua hapo juu kwamba parabola ni mahali pa pointi M za usawa kutoka kwa uhakika F na mstari wa d. Kwa hivyo, tunaweza kutoa jiometri kama hiyo (yaani, huru ya mfumo wowote wa kuratibu) ufafanuzi wa parabola.
Ufafanuzi. Parabola ni eneo la pointi zinazolingana kutoka kwa sehemu fulani isiyobadilika ("lengo" la parabola) na mstari fulani maalum ("directrix" ya parabola).
Kuashiria umbali kati ya mwelekeo na mstari wa moja kwa moja wa parabola na , tunaweza kupata kila wakati mfumo wa kuratibu wa mstatili ambao ni wa kisheria kwa parabola fulani, ambayo ni, ambayo mlinganyo wa parabola una fomu ya kisheria:
Kinyume chake, curve yoyote ambayo ina equation kama hiyo katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili ni parabola (kwa maana ya kijiometri iliyoanzishwa hivi karibuni).
Umbali kati ya mwelekeo na mstari wa moja kwa moja wa parabola inaitwa parameta ya msingi, au tu parameta ya parabola.
Mstari unaopita kwa kuzingatia perpendicular kwa directrix ya parabola inaitwa mhimili wake wa kuzingatia (au tu mhimili); ni mhimili wa ulinganifu wa parabola - hii inafuata kutokana na ukweli kwamba mhimili wa parabola ni mhimili wa abscissa katika mfumo wa kuratibu, kuhusiana na ambayo equation ya parabola ina fomu (4).
Ikiwa nukta inatosheleza mlingano (4), basi nukta inayolingana na uhakika M inayohusiana na mhimili wa abscissa pia inatosheleza mlingano huu.
Hatua ya makutano ya parabola na mhimili wake inaitwa vertex ya parabola; ni chimbuko la mfumo wa kuratibu kisheria kwa parabola fulani.
Wacha tutoe tafsiri nyingine ya kijiometri ya paramu ya parabola.
Hebu tuchore mstari wa moja kwa moja kupitia mtazamo wa parabola, perpendicular kwa mhimili wa parabola; itaingiliana na parabola kwa pointi mbili (tazama Mchoro 79) na kuamua kinachojulikana kama kamba ya msingi ya parabola (yaani, chord inayopita kwa kuzingatia sambamba na directrix ya parabola). Nusu ya urefu wa chord ya msingi ni kigezo cha parabola.
Kwa kweli, nusu ya urefu wa chord ya msingi ni thamani kamili waratibu wa pointi yoyote, abscissa ya kila mmoja ambayo ni sawa na abscissa ya kuzingatia, i.e. Kwa hivyo, kwa mpangilio wa kila nukta tuliyo nayo
Q.E.D.