Quadratic equation na aina zake. Kutatua Milinganyo ya Quadratic Kwa Kutumia Kibaguzi

Mlinganyo wa fomu

Kujieleza D= b 2 - 4 ac kuitwa kibaguzi mlinganyo wa quadratic. KamaD = 0, basi equation ina mzizi mmoja halisi; ikiwa D> 0, basi equation ina mizizi miwili halisi.
Iwapo D = 0 , wakati mwingine wanasema hivyo mlinganyo wa quadratic ina mizizi miwili inayofanana.
Kwa kutumia nukuu D= b 2 - 4 ac, tunaweza kuandika upya fomula (2) katika fomu

Kama b= 2k, kisha formula (2) inachukua fomu:

Wapi k= b / 2 .
Njia ya mwisho ni rahisi sana katika hali ambapo b / 2 - nambari kamili, i.e. mgawo b- idadi sawa.
Mfano 1: Tatua mlinganyo 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Hapa a = 2, b = -5, c = 2. Tuna D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Kwa sababu D > 0 , basi equation ina mizizi miwili. Wacha tuzitafute kwa kutumia fomula (2)

Hivyo x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
hiyo ni x 1 = 2 Na x 2 = 1 / 2 - mizizi kupewa mlinganyo.
Mfano 2: Tatua mlinganyo 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Hapa a = 2, b = -3, c = 5. Kutafuta mbaguzi D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Kwa sababu D 0 , basi equation haina mizizi halisi.

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili. Ikiwa katika equation ya quadratic shoka 2 +bx+c =0 mgawo wa pili b au mwanachama huru c ni sawa na sifuri, basi equation ya quadratic inaitwa haijakamilika. Milinganyo ambayo haijakamilika imetengwa kwa sababu ili kupata mizizi sio lazima utumie fomula ya mizizi ya equation ya quadratic - ni rahisi kutatua equation kwa kuweka upande wake wa kushoto.
Mfano 1: kutatua equation 2 x 2 - 5 x = 0 .
Tuna x(2 x - 5) = 0 . Hivyo aidha x = 0 , au 2 x - 5 = 0 , hiyo ni x = 2.5 . Kwa hivyo equation ina mizizi miwili: 0 Na 2.5
Mfano 2: kutatua equation 3 x 2 - 27 = 0 .
Tuna 3 x 2 = 27 . Kwa hiyo, mizizi ya equation hii ni 3 Na -3 .

Nadharia ya Vieta. Ikiwa equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 +px+q =0 ina mizizi halisi, basi jumla yao ni sawa na - uk, na bidhaa ni sawa q, hiyo ni

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(jumla ya mizizi ya equation ya juu ya quadratic ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure).

Mada hii inaweza kuonekana kuwa ngumu mwanzoni kwa sababu ya wengi sio hivyo fomula rahisi. Sio tu kwamba equations za quadratic zenyewe zina maelezo marefu, lakini mizizi pia hupatikana kwa njia ya kibaguzi. Kwa jumla, fomula tatu mpya zinapatikana. Si rahisi sana kukumbuka. Hii inawezekana tu baada ya kutatua equations mara kwa mara. Kisha fomula zote zitakumbukwa na wao wenyewe.

Mtazamo wa jumla wa equation ya quadratic

Hapa tunapendekeza kurekodi kwao wazi, wakati shahada kubwa imeandikwa kwanza, na kisha kwa utaratibu wa kushuka. Mara nyingi kuna hali wakati masharti hayafanani. Kisha ni bora kuandika tena equation katika utaratibu wa kushuka wa kiwango cha kutofautiana.

Hebu tuanzishe nukuu fulani. Zinawasilishwa kwenye jedwali hapa chini.

Ikiwa tutakubali nukuu hizi, milinganyo yote ya quadratic itapunguzwa hadi nukuu ifuatayo.

Zaidi ya hayo, mgawo ni ≠ 0. Acha fomula hii iteuliwe nambari moja.

Wakati equation inatolewa, haijulikani wazi ni mizizi ngapi kutakuwa na jibu. Kwa sababu moja ya chaguzi tatu inawezekana kila wakati:

suluhisho litakuwa na mizizi miwili;
jibu litakuwa nambari moja;
equation haitakuwa na mizizi hata kidogo.

Na mpaka uamuzi ukamilika, ni vigumu kuelewa ni chaguo gani kitatokea katika kesi fulani.

Aina za rekodi za milinganyo ya quadratic

Matatizo yanaweza kuwa nayo maingizo tofauti. Hawataonekana kama kila wakati formula ya jumla mlinganyo wa quadratic. Wakati mwingine itakosa masharti fulani. Kilichoandikwa hapo juu ni mlingano kamili. Ukiondoa muda wa pili au wa tatu ndani yake, unapata kitu kingine. Rekodi hizi pia huitwa milinganyo ya quadratic, haijakamilika tu.

Zaidi ya hayo, maneno tu na coefficients "b" na "c" yanaweza kutoweka. Nambari "a" haiwezi kuwa sawa na sifuri kwa hali yoyote. Kwa sababu katika kesi hii formula inageuka kuwa equation ya mstari. Fomula za fomu isiyokamilika ya milinganyo itakuwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, kuna aina mbili tu; pamoja na kamili, pia kuna milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Hebu formula ya kwanza iwe namba mbili, na ya pili - tatu.

Ubaguzi na utegemezi wa idadi ya mizizi kwenye thamani yake

Unahitaji kujua nambari hii ili kuhesabu mizizi ya equation. Inaweza kuhesabiwa kila wakati, bila kujali fomula ya equation ya quadratic ni nini. Ili kuhesabu kibaguzi, unahitaji kutumia usawa ulioandikwa hapa chini, ambao utakuwa na namba nne.

Baada ya kubadilisha maadili ya mgawo kwenye fomula hii, unaweza kupata nambari na ishara tofauti. Ikiwa jibu ni ndiyo, basi jibu la equation litakuwa mizizi miwili tofauti. Ikiwa nambari ni hasi, hakutakuwa na mizizi ya equation ya quadratic. Ikiwa ni sawa na sifuri, kutakuwa na jibu moja tu.

Jinsi ya kutatua equation kamili ya quadratic?

Kwa kweli, kuzingatia suala hili tayari imeanza. Kwa sababu kwanza unahitaji kupata kibaguzi. Baada ya kuamua kuwa kuna mizizi ya equation ya quadratic, na idadi yao inajulikana, unahitaji kutumia formula kwa vigezo. Ikiwa kuna mizizi miwili, basi unahitaji kutumia formula ifuatayo.

Kwa kuwa ina ishara "±", kutakuwa na maana mbili. Kujieleza chini ya ishara kipeo ni mbaguzi. Kwa hiyo, formula inaweza kuandikwa tena tofauti.

Mfumo namba tano. Kutoka kwa rekodi sawa ni wazi kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi mizizi yote itachukua maadili sawa.

Ikiwa utatuzi wa hesabu za quadratic bado haujafanywa, basi ni bora kuandika maadili ya coefficients zote kabla ya kutumia fomula za kibaguzi na tofauti. Baadaye wakati huu hautasababisha shida. Lakini mwanzoni kabisa kuna mkanganyiko.

Jinsi ya kutatua equation ya quadratic isiyo kamili?

Kila kitu ni rahisi zaidi hapa. Hakuna hata haja ya fomula za ziada. Na wale ambao tayari wameandikwa kwa ajili ya ubaguzi na wasiojulikana hawatahitajika.

Kwanza, hebu tuangalie equation namba mbili isiyokamilika. Katika usawa huu, inahitajika kuchukua idadi isiyojulikana kutoka kwa mabano na kutatua equation ya mstari, ambayo itabaki kwenye mabano. Jibu litakuwa na mizizi miwili. Ya kwanza ni lazima sawa na sifuri, kwa sababu kuna multiplier inayojumuisha kutofautiana yenyewe. Ya pili itapatikana kwa kutatua equation ya mstari.

Nambari ya tatu ya equation isiyokamilika inatatuliwa kwa kuhamisha nambari kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia. Kisha unahitaji kugawanya kwa mgawo unaoelekea haijulikani. Kilichobaki ni kutoa mzizi wa mraba na ukumbuke kuuandika mara mbili kwa ishara tofauti.

Zifuatazo ni baadhi ya hatua ambazo zitakusaidia kujifunza jinsi ya kutatua aina zote za usawa ambazo hubadilika kuwa milinganyo ya quadratic. Watamsaidia mwanafunzi kuepuka makosa kutokana na kutokuwa makini. Mapungufu haya yanaweza kusababisha alama duni wakati wa kusoma mada ya kina "Quadratic Equations (Daraja la 8)." Baadaye, vitendo hivi havitahitaji kufanywa kila wakati. Kwa sababu ujuzi thabiti utaonekana.

Kwanza unahitaji kuandika equation katika fomu ya kawaida. Hiyo ni, kwanza neno na shahada kubwa zaidi ya kutofautiana, na kisha - bila shahada, na mwisho - nambari tu.

Ikiwa minus itaonekana kabla ya mgawo "a", inaweza kutatiza kazi kwa anayeanza kusoma milinganyo ya quadratic. Ni bora kuiondoa. Kwa kusudi hili, usawa wote lazima uzidishwe na "-1". Hii ina maana kwamba masharti yote yatabadilisha ishara kuwa kinyume.

Inashauriwa kuondoa sehemu kwa njia ile ile. Zidisha equation kwa kipengele kinachofaa ili madhehebu yaghairi.

Mifano

Inahitajika kutatua milinganyo ifuatayo ya quadratic:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Mlinganyo wa kwanza: x 2 − 7x = 0. Haijakamilika, kwa hivyo inatatuliwa jinsi ilivyofafanuliwa kwa fomula namba mbili.

Baada ya kuiondoa kwenye mabano, inageuka: x (x - 7) = 0.

Mzizi wa kwanza unachukua thamani: x 1 = 0. Ya pili itapatikana kutoka kwa usawa wa mstari: x - 7 = 0. Ni rahisi kuona kwamba x 2 = 7.

Mlinganyo wa pili: 5x 2 + 30 = 0. Tena haijakamilika. Ni pekee inayotatuliwa kama ilivyoelezwa kwa fomula ya tatu.

Baada ya kuhamisha 30 kwa upande wa kulia usawa: 5x 2 = 30. Sasa unahitaji kugawanya na 5. Inageuka: x 2 = 6. Majibu yatakuwa namba: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Mlinganyo wa tatu: 15 − 2х − x 2 = 0. Hapa na zaidi, utatuzi wa milinganyo ya quadratic itaanza kwa kuandika upya kwao. mtazamo wa kawaida: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sasa ni wakati wa kutumia ya pili ushauri muhimu na zidisha kila kitu kwa minus moja. Inageuka x 2 + 2x - 15 = 0. Kutumia formula ya nne, unahitaji kuhesabu kibaguzi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ni nambari chanya. Kutoka kwa kile kilichosemwa hapo juu, zinageuka kuwa equation ina mizizi miwili. Wanahitaji kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya tano. Inatokea kwamba x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kisha x 1 = 3, x 2 = - 5.

Equation ya nne x 2 + 8 + 3x = 0 inabadilishwa kuwa hii: x 2 + 3x + 8 = 0. Ubaguzi wake ni sawa na thamani hii: -23. Kwa kuwa nambari hii ni hasi, jibu la kazi hii litakuwa ingizo lifuatalo: "Hakuna mizizi."

Equation ya tano 12x + x 2 + 36 = 0 inapaswa kuandikwa upya kama ifuatavyo: x 2 + 12x + 36 = 0. Baada ya kutumia formula kwa kibaguzi, nambari ya sifuri inapatikana. Hii ina maana kwamba itakuwa na mzizi mmoja, yaani: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Equation ya sita (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) inahitaji mabadiliko, ambayo yanajumuisha ukweli kwamba unahitaji kuleta maneno sawa, kwanza kufungua mabano. Katika nafasi ya kwanza kutakuwa na maneno yafuatayo: x 2 + 2x + 1. Baada ya usawa, kuingia hii itaonekana: x 2 + 3x + 2. Baada ya maneno sawa kuhesabiwa, equation itachukua fomu: x 2 - x = 0. Imekuwa haijakamilika . Kitu sawa na hiki tayari kimejadiliwa juu kidogo. Mizizi ya hii itakuwa nambari 0 na 1.

Tunaendelea kusoma mada " kutatua milinganyo" Tayari tumefahamu milinganyo ya mstari na tunaendelea kuzoeana milinganyo ya quadratic.

Kwanza, tutaangalia equation ya quadratic ni nini, jinsi imeandikwa kwa fomu ya jumla, na kutoa ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, tutatumia mifano kuchunguza kwa undani jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa. Wacha tuendelee kwenye suluhisho milinganyo kamili, tutapata fomula ya mizizi, kufahamiana na kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic, na tutazingatia masuluhisho kwa mifano ya kawaida. Hatimaye, hebu tufuate miunganisho kati ya mizizi na coefficients.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao

Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni jambo la busara kuanza mazungumzo kuhusu equations za quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kupunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.

Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na a si sifuri.

Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.

Ufafanuzi uliotajwa unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.

Nambari a, b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0, na mgawo a unaitwa wa kwanza, au wa juu zaidi, au mgawo wa x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo wa x, na c ni neno huria. .

Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x -3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni sawa na -2, na neno la bure ni sawa na -3. Kumbuka kuwa wakati mgawo b na/au c ni hasi, kama ilivyo kwenye mfano uliopewa, basi fomu fupi kuandika mlinganyo wa quadratic wa fomu 5 x 2 -2 x−3=0, na si 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0.

Inafaa kumbuka kuwa wakati viambatanisho a na/au b ni sawa na 1 au −1, basi kwa kawaida hazipo wazi katika mlinganyo wa quadratic, ambayo ni kutokana na sifa za uandishi kama huo. Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0 mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo wa y ni sawa na -1.

Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa

Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, equations za quadratic zilizopunguzwa na zisizopunguzwa zinajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Vinginevyo equation ya quadratic ni haijaguswa.

Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 −3·x+1=0, x 2 −x-2/3=0, nk. - imepewa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza sawa na moja. A 5 x 2 −x−1=0, nk. - milinganyo ya quadratic ambayo haijapunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1.

Kutoka kwa usawa wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa, kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya quadratic ya awali isiyopunguzwa, au, kama hiyo, haina mizizi.

Hebu tuangalie mfano wa jinsi mpito kutoka kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa hadi iliyopunguzwa inafanywa.

Mfano.

Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.

Suluhisho.

Tunahitaji tu kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kutekeleza kitendo hiki. Tuna (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ambayo ni sawa, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, na kisha (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kutoka wapi. Hivi ndivyo tulivyopata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya awali.

Jibu:

Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic

Ufafanuzi wa mlingano wa quadratic una hali a≠0. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 + b x + c = 0 ni quadratic, tangu wakati = 0 inakuwa kweli equation linear ya fomu b x + c = 0.

Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, mmoja mmoja na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b, c ni sawa na sifuri.

Kwa upande wake

Ufafanuzi.

Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.

Majina kama haya hayakutolewa kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mijadala ifuatayo.

Ikiwa mgawo b ni sifuri, basi mlinganyo wa quadratic huchukua fomu a·x 2 +0·x+c=0, na ni sawa na mlinganyo a·x 2 +c=0. Ikiwa c=0, yaani, mlinganyo wa quadratic una umbo a·x 2 +b·x+0=0, basi unaweza kuandikwa upya kama a·x 2 +b·x=0. Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.

Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0.2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kutoka kwa habari katika aya iliyotangulia inafuata kuwa kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

a·x 2 =0, viambajengo b=0 na c=0 vinalingana nayo;
a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
na a·x 2 +b·x=0 wakati c=0.

Wacha tuchunguze ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.

a x 2 =0

Wacha tuanze na kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zote mbili na nambari isiyo ya sifuri a. Kwa wazi, mzizi wa equation x 2 =0 ni sifuri, tangu 0 2 =0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa na ukweli kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p usawa p 2 >0 inashikilia, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0 usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 =0 ina mzizi mmoja x=0.

Kama mfano, tunatoa suluhu kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika -4 x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 =0, mzizi wake pekee ni x = 0, kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi sifuri moja.

Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kuandikwa kama ifuatavyo.
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa ambapo mgawo b ni sifuri na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu a x 2 +c=0. Tunajua kwamba kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa mlinganyo hadi mwingine kwa ishara kinyume, na pia kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya sifuri, kunatoa mlingano sawa. Kwa hivyo, tunaweza kutekeleza mabadiliko sawa yafuatayo ya equation ya quadratic isiyokamilika x 2 +c=0:

hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
na kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata .

Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2, basi ) au chanya (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6, basi ), sio sawa na zero , kwani kwa hali c≠0. Wacha tuangalie kesi tofauti.

Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.

Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu , basi mzizi wa equation huwa wazi mara moja; ni nambari, kwani . Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.

Wacha tuonyeshe mizizi ya mlinganyo uliotangazwa hivi punde kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mmoja zaidi x 2, tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na -x 1. Inajulikana kuwa kubadilisha mizizi yake katika mlinganyo badala ya x hugeuza mlinganyo kuwa usawa sahihi wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya uondoaji wa muda kwa muda wa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo kuondoa sehemu zinazolingana za usawa hutoa x 1 2 -x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kutokana na usawa unaotokana inafuata kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 =−x 1. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na -x 1. Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi na .

Wacha tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na mlinganyo ambao

haina mizizi ikiwa,
ina mizizi miwili na, ikiwa.

Hebu tuzingatie mifano ya kusuluhisha milinganyo ya robota isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0.

Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0. Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9, tunafika kwenye . Kwa kuwa upande wa kulia una nambari hasi, usawa huu hauna mizizi, kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic usio kamili 9 x 2 +7 = 0 hauna mizizi.

Wacha tusuluhishe mlinganyo mwingine wa kiduara usiokamilika −x 2 +9=0. Tunasonga tisa kwa upande wa kulia: −x 2 =-9. Sasa tunagawanya pande zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Kwa upande wa kulia kuna nambari nzuri, ambayo tunahitimisha kuwa au. Kisha tunaandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.

a x 2 +b x=0

Inabakia kushughulikia suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0. Milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya fomu a x 2 + b x = 0 hukuruhusu kutatua njia ya factorization. Kwa wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuchukua sababu ya kawaida x nje ya mabano. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0. Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a·x+b=0, ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=-b/a.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 +b·x=0 ina mizizi miwili x=0 na x=−b/a.

Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho kwa mfano maalum.

Mfano.

Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Kuchukua x kutoka kwa mabano kunatoa mlingano . Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Tunatatua equation ya mstari inayosababisha:, na kufanya mgawanyiko nambari iliyochanganywa juu sehemu ya kawaida, tunapata. Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .

Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:

Jibu:

x=0 , .

Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula kwa mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Kuingia kimsingi kunamaanisha kuwa.

Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilitolewa na jinsi inavyotumiwa katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tufikirie hili.

Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0. Wacha tufanye mabadiliko sawa:

Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, na hivyo kusababisha mlingano wa quadratic ufuatao.
Sasa chagua mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hayo, equation itachukua fomu.
Katika hatua hii, inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
Na hebu pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia:.

Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0.

Tayari tumetatua hesabu zinazofanana katika fomu katika aya zilizopita, tulipochunguza. Hii inaruhusu sisi kupata hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:

ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halisi;
ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.

Kwa hivyo, uwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na kwa hiyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwa kuwa denominator 4 · a 2 daima ni chanya, yaani, kwa ishara ya kujieleza b 2 -4 · a · c. Usemi huu b 2 −4 a c uliitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na kuteuliwa na barua D. Kuanzia hapa kiini cha ubaguzi ni wazi - kulingana na thamani yake na ishara, wanahitimisha ikiwa equation ya quadratic ina mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, ni nini idadi yao - moja au mbili.

Wacha turudi kwenye mlinganyo na tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunatoa hitimisho:

ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
hatimaye, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au, ambayo inaweza kuandikwa tena kwa fomu au, na baada ya kupanua na kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida tunayopata.

Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4·a·c.

Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani sawa ya mzizi, inayolingana na suluhisho la kipekee kwa mlinganyo wa quadratic. Na kwa ubaguzi mbaya, tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na kuchimba mzizi wa mraba wa nambari hasi, ambayo inatupeleka zaidi na mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi

Katika mazoezi, wakati wa kutatua equations za quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi ili kuhesabu maadili yao. Lakini hii inahusiana zaidi na kutafuta mizizi ngumu.

Walakini, katika kozi ya algebra ya shule kawaida hatuzungumzii juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa, kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kupata kibaguzi, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi), na kisha tu kuhesabu maadili ya mizizi.

Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0, unahitaji:

kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4·a·c, hesabu thamani yake;
hitimisha kwamba mlinganyo wa quadratic hauna mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0;
tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.

Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, unaweza pia kutumia fomula; itatoa thamani sawa na .

Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kusuluhisha milinganyo ya quadratic.

Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic

Hebu tuzingatie suluhu za milinganyo mitatu ya quadratic yenye kibaguzi chanya, hasi na sufuri. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Hebu tuanze.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation x 2 +2·x−6=0.

Suluhisho.

Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1, b=2 na c=-6. Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi; ili kufanya hivyo, tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, kibaguzi Juu ya sifuri, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia fomula ya mizizi, tunapata, hapa unaweza kurahisisha misemo inayosababishwa kwa kufanya kusonga kizidisha zaidi ya ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguzwa kwa sehemu:

Jibu:

Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .

Suluhisho.

Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,

Jibu:

x=3.5.

Inabakia kuzingatia kusuluhisha milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.

Mfano.

Tatua mlingano 5·y 2 +6·y+2=0.

Suluhisho.

Hapa kuna viambajengo vya mlinganyo wa quadratic: a=5, b=6 na c=2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.

Ikiwa unahitaji kuonyesha mizizi ngumu, basi tunatumia fomula inayojulikana ya mizizi ya equation ya quadratic, na kutekeleza. vitendo na nambari ngumu :

Jibu:

hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.

Hebu tuangalie tena kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shuleni mara moja huandika jibu ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na mizizi tata haipatikani.

Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili

Fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic, ambapo D=b 2 −4·a·c hukuruhusu kupata fomula ya fomu iliyoshikana zaidi, hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi mgawo kuwa na fomu 2·n, kwa mfano, au 14· ln5=2·7·ln5 ). Tumtoe nje.

Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu x 2 +2 n x+c=0. Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula tunayoijua. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:

Wacha tuonyeshe usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 n itachukua fomu. , ambapo D 1 =n 2 −a·c.

Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1, au D 1 =D/4. Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.

Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 · n, unahitaji

Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.

Wacha tufikirie kusuluhisha mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x -32=0 .

Suluhisho.

Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, hapa a=5, n=−3 na c=−32, na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula inayofaa ya mizizi:

Kumbuka kwamba iliwezekana kutumia fomula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.

Jibu:

Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic

Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia formula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii?" Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x-6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0.

Kwa kawaida, kurahisisha umbo la mlinganyo wa quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia iliwezekana kurahisisha mlingano 1100 x 2 −400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100.

Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, kwa kawaida tunagawanya pande zote mbili za equation kwa maadili kamili mgawo wake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. maadili kamili ya coefficients yake: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic na 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0.

Na kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa na denominators ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa pande zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6, basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4·x−18=0.

Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kuwa karibu kila wakati huondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida mtu husogea kutoka kwa mlinganyo wa quadratic -2 x 2 -3 x+7=0 hadi suluhisho 2 x 2 +3 x-7=0 .

Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake. Kulingana na fomula ya mizizi, unaweza kupata uhusiano mwingine kati ya mizizi na coefficients.

Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ni za fomu na . Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x + 22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni sawa na 7/3, na bidhaa ya mizizi ni sawa na 22. /3.

Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic kupitia coefficients yake:.

Bibliografia.

Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.

Milinganyo ya quadratic. Habari za jumla.

KATIKA mlinganyo wa quadratic lazima kuwe na x mraba (ndio maana inaitwa

"mraba") Kwa kuongezea, equation inaweza (au isiwe!) Ina tu X (kwa nguvu ya kwanza) na

nambari tu (mwanachama huru). Na haipaswi kuwa na X kwa nguvu kubwa kuliko mbili.

Algebraic equation ya fomu ya jumla.

Wapi x- Tofauti ya bure, a, b, c- mgawo, na a≠0 .

Kwa mfano:

Kujieleza kuitwa quadratic trinomial.

Vipengele vya equation ya quadratic vina majina sahihi:

inayoitwa mgawo wa kwanza au wa juu zaidi,

· inaitwa pili au mgawo kwa ,

· kuitwa mwanachama huru.

Mlinganyo kamili wa quadratic.

Milinganyo hii ya quadratic ina seti kamili ya masharti upande wa kushoto. X mraba c

mgawo A, x kwa nishati ya kwanza yenye mgawo b Na bure mwanachamaNa. KATIKA coefficients zote

lazima iwe tofauti na sifuri.

Haijakamilika ni mlinganyo wa quadratic ambapo angalau moja ya coefficients, isipokuwa

neno linaloongoza (ama mgawo wa pili au neno huru) ni sawa na sifuri.

Hebu kujifanya hivyo b= 0, - X kwa nguvu ya kwanza itatoweka. Inageuka, kwa mfano:

2x 2 -6x=0,

Nakadhalika. Na ikiwa coefficients zote mbili b Na c ni sawa na sifuri, basi kila kitu ni rahisi zaidi, Kwa mfano:

2x2 =0,

Kumbuka kuwa x squared inaonekana katika milinganyo yote.

Kwa nini A haiwezi kuwa sawa na sifuri? Kisha x squared itatoweka na equation itakuwa mstari .

Na suluhisho ni tofauti kabisa ...

", yaani, milinganyo ya shahada ya kwanza. Katika somo hili tutaangalia kile kinachoitwa mlinganyo wa quadratic na jinsi ya kulitatua.

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Muhimu!

Kiwango cha mlinganyo huamuliwa na kiwango cha juu zaidi ambacho kisichojulikana kinasimama.

Ikiwa nguvu ya juu ambayo haijulikani ni "2", basi una equation ya quadratic.

Mifano ya milinganyo ya quadratic

5x 2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0.25x = 0
x 2 − 8 = 0

Muhimu! Fomu ya jumla ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" na "c" hupewa nambari.

"a" ni mgawo wa kwanza au wa juu zaidi;
"b" ni mgawo wa pili;
"c" ni mwanachama huru.

Ili kupata "a", "b" na "c" unahitaji kulinganisha equation yako na fomu ya jumla ya equation ya quadratic "shoka 2 + bx + c = 0".

Hebu tufanye mazoezi ya kuamua coefficients "a", "b" na "c" katika milinganyo ya quadratic.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Mlinganyo	Odd
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

= 0

a = -1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0.25x = 0

a = 1
b = 0.25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Jinsi ya Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Tofauti milinganyo ya mstari kutatua equations quadratic, maalum formula ya kutafuta mizizi.

Kumbuka!

Ili kutatua equation ya quadratic unahitaji:

punguza mlinganyo wa quadratic kwa muonekano wa jumla"shoka 2 + bx + c = 0". Hiyo ni, "0" tu inapaswa kubaki upande wa kulia;
tumia formula kwa mizizi:

Wacha tuangalie mfano wa jinsi ya kutumia fomula kupata mizizi ya equation ya quadratic. Wacha tusuluhishe equation ya quadratic.

X 2 − 3x − 4 = 0

Equation "x 2 - 3x - 4 = 0" tayari imepunguzwa kwa fomu ya jumla "ax 2 + bx + c = 0" na hauhitaji kurahisisha zaidi. Ili kutatua, tunahitaji tu kuomba fomula ya kutafuta mizizi ya mlinganyo wa quadratic.

Wacha tujue coefficients "a", "b" na "c" kwa mlinganyo huu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Inaweza kutumika kutatua equation yoyote ya quadratic.

Katika fomula "x 1;2 =" usemi mkali mara nyingi hubadilishwa
“b 2 − 4ac” kwa herufi “D” na inaitwa kibaguzi. Dhana ya kibaguzi imejadiliwa kwa undani zaidi katika somo la "Mbaguzi ni nini".

Wacha tuangalie mfano mwingine wa equation ya quadratic.

x 2 + 9 + x = 7x

Katika fomu hii, ni ngumu sana kuamua coefficients "a", "b" na "c". Wacha kwanza tupunguze equation kwa fomu ya jumla "shoka 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sasa unaweza kutumia formula kwa mizizi.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Jibu: x = 3

Kuna nyakati ambapo milinganyo ya quadratic haina mizizi. Hali hii hutokea wakati fomula ina nambari hasi chini ya mzizi.