Sifa za grafu za fomula ya utendakazi wa mstari. Utendakazi wa mstari na grafu yake

x-hoja (kigeu kinachojitegemea),

y-kazi (kigeu tegemezi),

k na b ni baadhi ya nambari zisizobadilika

Grafu ya kitendakazi cha mstari ni moja kwa moja.

Ili kuunda grafu ni ya kutosha mbili pointi, kwa sababu kupitia pointi mbili unaweza kuteka mstari wa moja kwa moja na, zaidi ya hayo, moja tu.

Ikiwa k˃0, basi grafu iko katika robo ya 1 na ya 3 ya kuratibu. Ikiwa k˂0, basi grafu iko katika robo ya 2 na ya 4 ya kuratibu.

Nambari k inaitwa mteremko wa grafu moja kwa moja ya chaguo za kukokotoa y(x)=kx+b. Ikiwa k˃0, basi pembe ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja y(x)= kx+b kwa mwelekeo chanya Ox ni papo hapo; ikiwa k˂0, basi pembe hii ni butu.

Mgawo b huonyesha sehemu ya makutano ya grafu na mhimili wa op-amp (0; b).

y(x)=k∙x-- kesi maalum Kazi ya kawaida inaitwa uwiano wa moja kwa moja. Grafu ni mstari ulionyooka unaopitia asili, kwa hivyo nukta moja inatosha kuunda grafu hii.

Grafu ya Kazi ya Linear

Ambapo mgawo k = 3, kwa hiyo

Grafu ya chaguo za kukokotoa itaongezeka na kuwa na pembe ya papo hapo na mhimili wa Ox kwa sababu mgawo k ina ishara ya kuongeza.

Utendakazi wa mstari wa OOF

OPF ya kitendakazi cha mstari

Isipokuwa katika kesi ambapo

Pia kazi ya mstari wa fomu

Ni kazi ya fomu ya jumla.

B) Ikiwa k=0; b≠0,

Katika kesi hii, grafu ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa Ox na kupita kwa uhakika (0; b).

B) Ikiwa k≠0; b≠0, kisha kitendakazi cha mstari kina fomu y(x)=k∙x+b.

Mfano 1 . Grafu chaguo za kukokotoa y(x)= -2x+5

Mfano 2 . Wacha tupate sufuri za chaguo la kukokotoa y=3x+1, y=0;

- zero za kazi.

Jibu: au (;0)

Mfano 3 . Bainisha thamani ya chaguo za kukokotoa y=-x+3 kwa x=1 na x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Jibu: y_1=2; y_2=4.

Mfano 4 . Amua kuratibu za sehemu yao ya makutano au uthibitishe kuwa grafu haziingiliani. Acha chaguo za kukokotoa y 1 =10∙x-8 na y 2 =-3∙x+5 zitolewe.

Ikiwa grafu za kazi zinaingiliana, basi maadili ya kazi katika hatua hii ni sawa

Badilisha x=1, kisha y 1 (1)=10∙1-8=2.

Maoni. Unaweza pia kubadilisha thamani inayotokana ya hoja katika chaguo za kukokotoa y 2 =-3∙x+5, kisha tunapata jibu sawa y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- mratibu wa sehemu ya makutano.

(1;2) - hatua ya makutano ya grafu za kazi y = 10x-8 na y = -3x + 5.

Jibu: (1;2)

Mfano 5 .

Jenga grafu za kazi y 1 (x)= x+3 na y 2 (x)= x-1.

Unaweza kugundua kuwa mgawo k=1 wa chaguo za kukokotoa zote mbili.

Kutoka hapo juu inafuata kwamba ikiwa coefficients ya kazi ya mstari ni sawa, basi grafu zao katika mfumo wa kuratibu ziko sawa.

Mfano 6 .

Wacha tujenge grafu mbili za kazi.

Grafu ya kwanza ina fomula

Grafu ya pili ina fomula

KATIKA kwa kesi hii Mbele yetu kuna mchoro wa mistari miwili inayokatiza kwa uhakika (0;4). Hii ina maana kwamba mgawo b, ambao unawajibika kwa urefu wa kupanda kwa grafu juu ya mhimili wa Ox, ikiwa x = 0. Hii inamaanisha kuwa tunaweza kudhani kuwa mgawo wa b wa grafu zote mbili ni sawa na 4.

Wahariri: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kulingana na maswali ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Jifunze kuchukua derivatives ya utendaji. Derivative inaashiria kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani iliyo kwenye grafu ya chaguo hili la kukokotoa. Katika kesi hii, grafu inaweza kuwa mstari wa moja kwa moja au uliopindika. Hiyo ni, derivative ina sifa ya kiwango cha mabadiliko ya kazi katika hatua maalum kwa wakati. Kumbuka kanuni za jumla, ambayo derivatives huchukuliwa, na kisha tu kuendelea na hatua inayofuata.

Soma makala.
Jinsi ya kuchukua derivatives rahisi zaidi, kwa mfano, derivative mlingano wa kielelezo, ilivyoelezwa. Hesabu zilizowasilishwa katika hatua zifuatazo zitatokana na njia zilizoelezwa humo.

Jifunze kutofautisha matatizo ambayo mgawo wa mteremko unahitaji kuhesabiwa kupitia derivative ya chaguo za kukokotoa. Matatizo sikuzote hukuuliza utafute mteremko au toleo la kukokotoa la chaguo la kukokotoa. Kwa mfano, unaweza kuulizwa kutafuta kiwango cha mabadiliko ya chaguo za kukokotoa katika hatua A(x,y). Unaweza pia kuulizwa kutafuta mteremko wa tangent kwa uhakika A(x,y). Katika hali zote mbili ni muhimu kuchukua derivative ya kazi.

Chukua derivative ya chaguo za kukokotoa ulizopewa. Hakuna haja ya kujenga grafu hapa - unahitaji tu equation ya kazi. Katika mfano wetu, chukua derivative ya kazi. Chukua derivative kulingana na njia zilizoainishwa katika kifungu kilichotajwa hapo juu:

Nyingine:

Badilisha viwianishi vya nukta uliyopewa kwenye derivative iliyopatikana ili kukokotoa mteremko. Derivative ya chaguo za kukokotoa ni sawa na mteremko katika hatua fulani. Kwa maneno mengine, f"(x) ni mteremko wa chaguo la kukokotoa wakati wowote (x,f(x)). Katika mfano wetu:

Pata mteremko wa kazi f (x) = 2 x 2 + 6 x (\mtindo wa kuonyesha f(x)=2x^(2)+6x) kwa uhakika A(4,2).
Nyingi ya chaguo za kukokotoa:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\mtindo wa kuonyesha f"(x)=4x+6)
Badilisha thamani ya "x" ya kuratibu ya hatua hii:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\mtindo wa maonyesho f"(x)=4(4)+6)
Tafuta mteremko:
Sababu ya mteremko kazi f (x) = 2 x 2 + 6 x (\mtindo wa kuonyesha f(x)=2x^(2)+6x) kwa uhakika A(4,2) ni sawa na 22.

Ikiwezekana, angalia jibu lako kwenye grafu. Kumbuka kwamba mteremko hauwezi kuhesabiwa kwa kila hatua. Kalkulasi tofauti huchunguza kazi ngumu na grafu tata, ambapo mteremko hauwezi kuhesabiwa kila hatua, na katika baadhi ya matukio pointi hazilala kwenye grafu kabisa. Ikiwezekana, tumia kikokotoo cha kuchora ili kuangalia kwamba mteremko wa kitendakazi ulichopewa ni sahihi. Vinginevyo, chora tanjenti kwenye grafu katika sehemu uliyopewa na ufikirie kama thamani ya mteremko uliopata inalingana na unayoona kwenye grafu.

Tangenti itakuwa na mteremko sawa na grafu ya kazi katika hatua fulani. Ili kuchora tanjiti katika sehemu fulani, songa kushoto/kulia kwenye mhimili wa X (kwa mfano wetu, maadili 22 kwenda kulia), na kisha juu moja kwenye mhimili wa Y. Weka alama kwenye mhimili huo, kisha uunganishe na mhimili wa Y. nukta uliyopewa. Katika mfano wetu, unganisha pointi na kuratibu (4,2) na (26,3).

Ufafanuzi wa Kazi ya Linear

Hebu tujulishe ufafanuzi wa kazi ya mstari

Ufafanuzi

Chaguo za kukokotoa za fomu $y=kx+b$, ambapo $k$ ni nonzero, huitwa kitendakazi cha mstari.

Grafu ya kitendakazi cha mstari ni mstari wa moja kwa moja. Nambari $k $ inaitwa mteremko wa mstari.

Wakati $b=0$ kitendakazi cha mstari kinaitwa kazi ya uwiano wa moja kwa moja $y=kx$.

Fikiria Kielelezo 1.

Mchele. 1. Maana ya kijiometri ya mteremko wa mstari

Fikiria pembetatu ABC. Tunaona kwamba $ВС=kx_0+b$. Wacha tupate sehemu ya makutano ya mstari $y=kx+b$ na mhimili $Ox$:

\ \

Kwa hivyo $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Wacha tupate uwiano wa pande hizi:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Kwa upande mwingine, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Kwa hivyo, tunaweza kupata hitimisho lifuatalo:

Hitimisho

Maana ya kijiometri mgawo $k$. Mgawo wa angular wa mstari wa moja kwa moja $k$ ni sawa na tangent ya pembe ya mwelekeo wa mstari huu wa moja kwa moja kwa mhimili wa $Ox$.

Utafiti wa kitendakazi cha mstari $f\left(x\right)=kx+b$ na grafu yake

Kwanza, zingatia chaguo la kukokotoa $f\left(x\right)=kx+b$, ambapo $k > 0$.

$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Kwa hivyo, kipengele hiki huongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Hakuna pointi kali.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
Grafu (Mchoro 2).

Mchele. 2. Grafu za chaguo za kukokotoa $y=kx+b$, kwa $k > 0$.

Sasa fikiria kazi $f\left(x\right)=kx$, ambapo $k

Kikoa cha ufafanuzi ni nambari zote.
Kiwango cha maadili ni nambari zote.
$f\left(-x\kulia)=-kx+b$. Chaguo la kukokotoa si hata wala lisilo la kawaida.
Kwa $x=0,f\left(0\right)=b$. Wakati $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Sehemu za makutano na shoka za kuratibu: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ na $\left(0,\ b\right)$

$f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$. Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa halina nukta za mkato.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
Grafu (Mchoro 3).

Maagizo

Ikiwa grafu ni mstari wa moja kwa moja unaopitia asili ya kuratibu na kutengeneza pembe α na mhimili wa OX (pembe ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja hadi OX ya nusu ya mhimili mzuri). Chaguo za kukokotoa zinazoelezea mstari huu zitakuwa na fomu y = kx. Mgawo wa uwiano k ni sawa na tan α. Ikiwa mstari wa moja kwa moja unapita kwenye robo ya 2 na ya 4 ya kuratibu, basi k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 na chaguo za kukokotoa huongezeka. Acha iwakilishe mstari ulionyooka ulio katika njia tofauti kuhusiana na shoka za kuratibu. Hiki ni kitendakazi cha mstari na kina umbo y = kx + b, ambapo vigeuzo x na y viko kwenye nguvu ya kwanza, na k na b vinaweza kuwa chanya au hasi au sawa na sifuri. Mstari huo ni sambamba na mstari y = kx na hukatwa kwenye mhimili |b| vitengo. Ikiwa mstari unafanana na mhimili wa abscissa, basi k = 0, ikiwa mhimili wa kuratibu, basi equation ina fomu x = const.

Mviringo unaojumuisha matawi mawili yaliyo katika robo tofauti na ulinganifu kuhusiana na asili ya kuratibu ni hyperbola. Chati hii uhusiano wa kinyume kutofautiana y kutoka x na inaelezwa na equation y = k/x. Hapa k ≠ 0 ni mgawo wa uwiano. Aidha, ikiwa k> 0, kazi hupungua; ikiwa k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Kitendakazi cha quadratic kina fomu y = ax2 + bx + c, ambapo a, b na c ni idadi ya mara kwa mara na  0. Ikiwa hali ya b = c = 0 imefikiwa, equation ya kazi inaonekana kama y = ax2 ( kesi rahisi), na grafu yake ni parabola inayopitia asili. Grafu ya kazi y = ax2 + bx + c ina sura sawa na kesi rahisi zaidi ya kazi, lakini vertex yake (hatua ya makutano na mhimili wa OY) haipo kwenye asili.

Grafu pia ni parabola kazi ya nguvu, iliyoonyeshwa na mlinganyo y = xⁿ, ikiwa n ni nambari yoyote sawa. Ikiwa n ni nambari yoyote isiyo ya kawaida, grafu ya kazi kama hiyo ya nguvu itaonekana kama parabola ya ujazo.
Ikiwa n ni yoyote , mlinganyo wa kukokotoa huchukua fomu. Grafu ya kazi kwa isiyo ya kawaida n itakuwa hyperbola, na hata n matawi yao yatakuwa ya ulinganifu kwa heshima na mhimili wa op.

Pia katika miaka ya shule Kazi zinasomwa kwa undani na grafu zao zinajengwa. Lakini, kwa bahati mbaya, hawafundishi jinsi ya kusoma grafu ya kazi na kupata aina yake kutoka kwa mchoro uliowasilishwa. Kwa kweli ni rahisi sana ikiwa unakumbuka aina za msingi za kazi.

Maagizo

Ikiwa grafu iliyowasilishwa ni , ambayo ni kwa njia ya asili ya kuratibu na kwa mhimili wa OX pembe ya α (ambayo ni pembe ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja hadi mhimili wa nusu chanya), basi kazi inayoelezea mstari ulio sawa itakuwa. iliyotolewa kama y = kx. Katika kesi hii, mgawo wa uwiano k ni sawa na tangent ya pembe α.

Ikiwa mstari uliopewa unapitia robo ya pili na ya nne ya kuratibu, basi k ni sawa na 0 na kazi huongezeka. Acha grafu iliyowasilishwa iwe mstari wa moja kwa moja ulio kwa njia yoyote kuhusiana na axes za kuratibu. Kisha kazi ya vile sanaa za michoro itakuwa ya mstari, ambayo inawakilishwa na fomu y = kx + b, ambapo vigezo y na x viko katika kwanza, na b na k vinaweza kuchukua hasi na. maadili chanya au .

Ikiwa mstari unafanana na mstari na grafu y = kx na kukata vitengo vya b kwenye mhimili wa kuratibu, basi equation ina fomu x = const, ikiwa grafu inafanana na mhimili wa abscissa, basi k = 0.

Mstari uliojipinda ambao una matawi mawili, yenye ulinganifu kuhusu asili na iko katika sehemu tofauti, ni hyperbola. Grafu kama hiyo inaonyesha utegemezi kinyume wa kigezo y kwenye kigezo cha x na hufafanuliwa kwa mlinganyo wa fomu y = k/x, ambapo k haipaswi kuwa sawa na sifuri, kwa kuwa ni mgawo wa uwiano kinyume. Zaidi ya hayo, ikiwa thamani ya k Juu ya sifuri, utendaji unapungua; ikiwa k chini ya sifuri- kuongezeka.

Ikiwa grafu iliyopendekezwa ni parabola inayopitia asili, kazi yake, kulingana na hali ya kwamba b = c = 0, itakuwa na fomu y = ax2. Hii ndiyo kesi rahisi zaidi ya kazi ya quadratic. Grafu ya kazi ya fomu y = ax2 + bx + c itakuwa na fomu sawa na kesi rahisi zaidi, hata hivyo, vertex (mahali ambapo grafu inaingiliana na mhimili wa kuratibu) haitakuwa kwenye asili. Katika kipengele cha kukokotoa cha quadratic, kinachowakilishwa na fomu y = ax2 + bx + c, maadili ya a, b na c ni ya kudumu, wakati a si sawa na sifuri.

Kielezi kinaweza pia kuwa grafu ya utendaji kazi wa nguvu unaoonyeshwa na mlinganyo wa fomu y = xⁿ ikiwa tu n ni nambari yoyote sawa. Ikiwa thamani ya n ni nambari isiyo ya kawaida, grafu kama hiyo ya chaguo za kukokotoa itawakilishwa na parabola ya ujazo. Ikiwa tofauti n ni yoyote nambari hasi, mlinganyo wa chaguo za kukokotoa huchukua fomu.

Video kwenye mada

Uratibu wa hatua yoyote kwenye ndege imedhamiriwa na idadi yake mbili: kando ya mhimili wa abscissa na mhimili wa kuratibu. Mkusanyiko wa alama nyingi kama hizo huwakilisha grafu ya chaguo la kukokotoa. Kutoka humo unaweza kuona jinsi thamani ya Y inabadilika kulingana na mabadiliko katika thamani ya X. Unaweza pia kuamua katika sehemu gani (muda) kazi huongezeka na ambayo inapungua.

Maagizo

Unaweza kusema nini kuhusu kazi ikiwa grafu yake ni mstari wa moja kwa moja? Tazama ikiwa mstari huu unapitia sehemu ya asili ya kuratibu (hiyo ni, ile ambayo maadili ya X na Y ni sawa na 0). Ikiwa itapita, basi kazi kama hiyo inaelezewa na equation y = kx. Ni rahisi kuelewa kwamba thamani kubwa ya k, karibu na mhimili wa kuratibu mstari huu wa moja kwa moja utakuwa iko. Na mhimili wa Y yenyewe unalingana kabisa yenye umuhimu mkubwa k.