Logarithm ya nambari 7 hadi msingi 2. Sifa za logariti na mifano ya suluhisho zao

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kulingana na maswali ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Sifa za kimsingi za logariti, grafu ya logariti, kikoa cha ufafanuzi, seti ya maadili, kanuni za kimsingi, kuongezeka na kupungua hutolewa. Kupata derivative ya logarithm inazingatiwa. Na pia muhimu, upanuzi ndani mfululizo wa nguvu na uwakilishi kwa kutumia nambari changamano.

Ufafanuzi wa logarithm

Logarithm yenye msingi a ni kazi ya y (x) = logi a x, kinyume cha chaguo za kukokotoa kielelezo na msingi a: x (y) = y.

Logariti ya decimal ni logariti kwenye msingi wa nambari 10 : logi x ≡ logi 10 x.

Logarithm ya asili ni logariti kwa msingi wa e: ln x ≡ logi na x.

2,718281828459045... ;
.

Grafu ya logarithm hupatikana kutoka kwa grafu ya kazi ya kielelezo kwa kuakisi kwa kuzingatia mstari wa moja kwa moja y = x. Upande wa kushoto ni grafu za chaguo za kukokotoa y (x) = logi a x kwa maadili manne misingi ya logarithm:a = 2 , a = 8 , a = 1/2 na = 1/8 . Grafu inaonyesha kwamba wakati a > 1 logarithm huongezeka monotonically. Kadiri x inavyoongezeka, ukuaji hupungua sana. Katika 0 < a < 1 logarithm hupungua monotonically.

Tabia za logarithm

Kikoa, seti ya maadili, kuongezeka, kupungua

Logarithm ni kazi ya monotonic, kwa hiyo haina extrema. Sifa kuu za logarithm zinawasilishwa kwenye jedwali.


Kikoa	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Msururu wa maadili	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	kuongezeka kwa monotonically	monotonically hupungua
Sufuri, y = 0	x = 1	x = 1
Kata pointi na mhimili wa kuratibu, x = 0	Hapana	Hapana
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Maadili ya kibinafsi

Logarithm ya msingi 10 inaitwa logarithm ya desimali na inaonyeshwa kama ifuatavyo:

Logarithm kwa msingi e kuitwa logarithm asili:

Njia za kimsingi za logarithm

Sifa za logariti zinazotokana na ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume:

Mali kuu ya logarithms na matokeo yake

Msingi wa formula badala

Logarithm-Hii operesheni ya hisabati kuchukua logarithm. Wakati wa kuchukua logarithm, bidhaa za mambo hubadilishwa kuwa jumla ya maneno.

Uwezo ni uendeshaji kinyume cha hisabati wa logarithm. Wakati wa uwezo, msingi fulani huinuliwa hadi kiwango cha kujieleza ambacho uwezo unafanywa. Katika kesi hii, jumla ya maneno hubadilishwa kuwa bidhaa za mambo.

Uthibitisho wa fomula za kimsingi za logarithmu

Fomula zinazohusiana na logariti hufuata kutoka kwa fomula za vitendakazi vya mwangaza na kutoka kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume.

Zingatia sifa ya utendaji wa kipeo
.
Kisha
.
Wacha tutumie sifa ya utendaji wa kielelezo
:
.

Wacha tuthibitishe fomula ya uingizwaji ya msingi.
;
.
Kwa kudhani c = b, tunayo:

Kitendaji kinyume

Kinyume cha logariti kuweka msingi a ni chaguo la kukokotoa lenye kipeo a.

Ikiwa, basi

Inatokana na logarithm

Inatokana na logariti ya moduli x:
.
Inatokana na agizo la nth:
.
Kuunda fomula >>>

Ili kupata derivative ya logarithm, lazima ipunguzwe kwa msingi e.
;
.

Muhimu

Muhimu wa logarithm huhesabiwa kwa kuunganisha na sehemu:.
Kwa hiyo,

Vielezi kwa kutumia nambari changamano

Zingatia kitendakazi cha nambari changamano z:
.
Hebu tueleze nambari changamano z kupitia moduli r na hoja φ :
.
Halafu, kwa kutumia mali ya logarithm, tunayo:
.
Au

Hata hivyo, hoja φ haijafafanuliwa kipekee. Ukiweka
, ambapo n ni nambari kamili,
basi itakuwa nambari sawa kwa tofauti n.

Kwa hivyo, logariti, kama kitendakazi cha kibadilishi cha changamano, si chaguo la kukokotoa lenye thamani moja.

Upanuzi wa mfululizo wa nguvu

Wakati upanuzi unafanyika:

Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.

Logarithm ni nini?

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Logarithm ni nini? Jinsi ya kutatua logarithms? Maswali haya yanawachanganya wahitimu wengi. Kijadi, mada ya logarithms inachukuliwa kuwa ngumu, isiyoeleweka na ya kutisha. Hasa milinganyo yenye logariti.

Hii si kweli kabisa. Kabisa! Usiniamini? Sawa. Sasa, katika dakika 10 - 20 tu wewe:

1. Utaelewa logarithm ni nini.

2. Jifunze kutatua darasa zima milinganyo ya kielelezo. Hata kama haujasikia chochote kuwahusu.

3. Jifunze kuhesabu logarithms rahisi.

Kwa kuongeza, kwa hili utahitaji tu kujua meza ya kuzidisha na jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ...

Ninahisi kama una shaka ... Sawa, weka alama wakati! Nenda!

Kwanza, suluhisha equation hii kichwani mwako:

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Kama unavyojua, wakati wa kuzidisha misemo kwa nguvu, vielelezo vyao kila wakati huongeza (a b *a c = a b+c). Sheria hii ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mwanahisabati Virasen aliunda jedwali la wafadhili kamili. Ni wao ambao walihudumu kwa ugunduzi zaidi wa logarithms. Mifano ya kutumia kipengele hiki inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo unahitaji kurahisisha kuzidisha kwa shida kwa kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Kwa lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.

Ufafanuzi katika hisabati

Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: weka alama b=c, yaani, logariti ya nambari yoyote isiyo hasi (yaani, chanya yoyote) "b" kwa msingi wake "a" inachukuliwa kuwa nguvu "c." ” ambayo msingi wa “a” lazima uinzwe ili hatimaye kupata thamani ya "b". Hebu tuchambue logarithm kwa kutumia mifano, tuseme kuna logi ya kujieleza 2 8. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata nguvu kwamba kutoka 2 hadi nguvu zinazohitajika unapata 8. Baada ya kufanya mahesabu fulani katika kichwa chako, tunapata namba 3! Na hiyo ni kweli, kwa sababu 2 kwa uwezo wa 3 inatoa jibu kama 8.

Aina za logarithm

Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli logarithms sio ya kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna tatu aina ya mtu binafsi maneno ya logarithmic:

Logarithm ya asili ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e = 2.7).
Desimali a, ambapo msingi ni 10.
Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a>1.

Kila mmoja wao ameamua kwa njia ya kawaida, ambayo inajumuisha kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logariti moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logarithms, unapaswa kukumbuka mali zao na mlolongo wa vitendo wakati wa kuzitatua.

Sheria na baadhi ya vikwazo

Katika hisabati, kuna sheria-vikwazo kadhaa ambazo zinakubaliwa kama axiom, yaani, hazijadiliwi na ni ukweli. Kwa mfano, haiwezekani kugawanya nambari kwa sifuri, na pia haiwezekani kutoa mizizi hata kutoka nambari hasi. Logarithms pia ina sheria zao wenyewe, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi kufanya kazi hata kwa maneno marefu na yenye uwezo wa logarithmic:

msingi "a" lazima iwe daima Juu ya sifuri, na wakati huo huo usiwe sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote daima ni sawa na maadili yao;
ikiwa > 0, kisha b > 0, inageuka kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.

Jinsi ya kutatua logarithms?

Kwa mfano, kazi inapewa kupata jibu la equation 10 x = 100. Hii ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu kwa kuinua namba kumi ambayo tunapata 100. Hii, bila shaka, ni 10 2 = 100.

Sasa hebu tuwakilishe usemi huu katika muundo wa logarithmic. Tunapata logi 10 100 = 2. Wakati wa kutatua logarithms, vitendo vyote hukutana kivitendo ili kupata nguvu ambayo ni muhimu kuingiza msingi wa logarithm ili kupata nambari iliyotolewa.

Ili kuamua kwa usahihi thamani ya shahada isiyojulikana, unahitaji kujifunza jinsi ya kufanya kazi na meza ya digrii. Inaonekana kama hii:

Kama unavyoona, baadhi ya vielelezo vinaweza kubashiriwa kwa angavu ikiwa una akili ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Walakini, kwa maadili makubwa utahitaji meza ya nguvu. Inaweza kutumika hata na wale ambao hawajui chochote kuhusu mada ngumu za hisabati. Safu wima ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni thamani ya nguvu c ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano, seli zina nambari za nambari ambazo ni jibu (a c = b). Hebu tuchukue, kwa mfano, kiini cha kwanza kabisa na namba 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi kwamba hata mwanadamu wa kweli zaidi ataelewa!

Equations na kutofautiana

Inageuka kuwa wakati masharti fulani kipeo ni logariti. Kwa hivyo, maneno yoyote ya kihesabu ya kihesabu yanaweza kuandikwa kama usawa wa logarithmic. Kwa mfano, 3 4 =81 inaweza kuandikwa kama logariti msingi 3 ya 81 sawa na nne (logi 3 81 = 4). Kwa nguvu hasi sheria ni sawa: 2 -5 = 1/32 tunaiandika kama logarithm, tunapata logi 2 (1/32) = -5. Moja ya sehemu ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutaangalia mifano na ufumbuzi wa equations hapa chini, mara baada ya kujifunza mali zao. Sasa hebu tuangalie jinsi usawa unavyoonekana na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa equations.

Maneno yafuatayo yanatolewa: logi 2 (x-1) > 3 - ni usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logarithmic. Na pia katika usemi idadi mbili zinalinganishwa: logarithm ya nambari inayotakiwa kwa msingi wa pili ni kubwa kuliko nambari tatu.

Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na kukosekana kwa usawa ni kwamba milinganyo na logariti (mfano - logarithm 2 x = √9) inamaanisha maadili mahususi ya nambari moja au zaidi katika jibu, ambapo wakati wa kutatua usawa, hufafanuliwa kama eneo. maadili yanayokubalika, na vizuizi vya chaguo hili la kukokotoa. Kama matokeo, jibu sio seti rahisi ya nambari za mtu binafsi, kama katika jibu la equation, lakini mfululizo unaoendelea au seti ya nambari.

Nadharia za msingi kuhusu logarithms

Wakati wa kusuluhisha kazi za zamani za kupata maadili ya logarithm, sifa zake haziwezi kujulikana. Hata hivyo, linapokuja suala la usawa wa logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi mali yote ya msingi ya logarithms. Tutaangalia mifano ya milinganyo baadaye; wacha kwanza tuangalie kila mali kwa undani zaidi.

Kitambulisho kikuu kinaonekana kama hii: logiB =B. Inatumika tu wakati a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.
Logarithm ya bidhaa inaweza kuwakilishwa katika fomula ifuatayo: logi d (s 1 * s 2) = logi d s 1 + logi d s 2. Katika kesi hii sharti ni: d, s 1 na s 2 > 0; a≠1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithmic, kwa mifano na suluhisho. Hebu tuandikie s 1 = f 1 na uweke s 2 = f 2, kisha f1 = s 1, f2 = s 2. Tunapata kwamba s 1 * s 2 = a f1 * f2 = f1 + f2 (sifa za digrii ), na kisha kwa ufafanuzi: logi a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = weka s1 + logi a s 2, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: logi a (s 1/ s 2) = logi a s 1 - logi a s 2.
Nadharia katika mfumo wa fomula inachukua mtazamo unaofuata: logi a q b n = n/q logi a b.

Fomula hii inaitwa "mali ya kiwango cha logarithm." Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote zinategemea postulates asili. Hebu tuangalie uthibitisho.

Hebu tuandikie b = t, inageuka t =b. Ikiwa tunainua sehemu zote mbili kwa nguvu m: a tn = b n;

lakini kwa kuwa tn = (a q) nt/q = b n, kwa hiyo weka q b n = (n*t)/t, kisha weka q b n = n/q logi a b. Nadharia imethibitishwa.

Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa

Aina za kawaida za matatizo kwenye logariti ni mifano ya milinganyo na usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia ni sehemu inayohitajika ya mitihani ya hisabati. Kuingia chuo kikuu au kupitisha mitihani ya kuingia katika hisabati, unahitaji kujua jinsi ya kutatua kwa usahihi kazi kama hizo.

Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kuamua thamani isiyojulikana ya logariti, hata hivyo, inaweza kutumika kwa kila usawa wa hisabati au mlinganyo wa logarithmic. sheria fulani. Kwanza kabisa, unapaswa kujua ikiwa usemi unaweza kurahisishwa au kusababisha muonekano wa jumla. Unaweza kurahisisha maneno marefu ya logarithmic ikiwa unatumia sifa zao kwa usahihi. Hebu tuwafahamu haraka.

Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya logarithmic, lazima tubaini ni aina gani ya logariti tuliyo nayo: usemi wa mfano unaweza kuwa na logariti asilia au desimali.

Hapa kuna mifano ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba wanahitaji kuamua nguvu ambayo msingi 10 itakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Ili kutatua logarithm za asili, unahitaji kutumia vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Hebu tuangalie mifano ya kutatua matatizo ya logarithmic ya aina mbalimbali.

Jinsi ya Kutumia Fomula za Logarithm: Pamoja na Mifano na Suluhisho

Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia za kimsingi kuhusu logarithms.

Mali ya logarithm ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kupanua umuhimu mkubwa nambari b kuwa sababu rahisi. Kwa mfano, logi 2 4 + logi 2 128 = logi 2 (4*128) = logi 2 512. Jibu ni 9.
logi 4 8 = logi 2 2 2 3 = 3/2 logi 2 2 = 1.5 - kama unaweza kuona, kwa kutumia mali ya nne ya nguvu ya logarithm, tuliweza kutatua usemi unaoonekana kuwa ngumu na usioweza kutatuliwa. Unahitaji tu kuangazia msingi na kisha kuchukua maadili ya kielelezo nje ya ishara ya logarithm.

Kazi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa

Logarithmu mara nyingi hupatikana katika mitihani ya kuingia, haswa shida nyingi za logarithmic katika Mtihani wa Jimbo la Umoja ( Mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kwa kawaida, kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (sehemu rahisi ya mtihani wa mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na kubwa). Mtihani unahitaji usahihi na maarifa kamili mada "Logarithms za asili".

Mifano na ufumbuzi wa matatizo huchukuliwa kutoka rasmi Chaguo za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Wacha tuone jinsi kazi kama hizo zinatatuliwa.

Imepewa logi 2 (2x-1) = 4. Suluhisho:
hebu tuandike upya usemi huo, kurahisisha logi kidogo 2 (2x-1) = 2 2, kwa ufafanuzi wa logarithm tunapata kwamba 2x-1 = 2 4, kwa hiyo 2x = 17; x = 8.5.

Ni bora kupunguza logarithms zote kwa msingi sawa ili suluhisho sio mbaya na kuchanganya.
Semi zote zilizo chini ya alama ya logariti huonyeshwa kuwa chanya, kwa hivyo, wakati kipeo cha usemi kilicho chini ya ishara ya logariti na msingi wake unapotolewa kama kizidishi, usemi unaosalia chini ya logariti lazima kiwe chanya.

\(a^(b)=c\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\logi_(a)(c)=b\)

Hebu tueleze kwa urahisi zaidi. Kwa mfano, \(\logi_(2)(8)\) ni sawa na nguvu ambayo \(2\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(8\). Kutokana na hili ni wazi kuwa \(\log_(2)(8)=3\).

Mifano:	\(\logi_(5)(25)=2\)	kwa sababu \(5^(2)=25\)
	\(\logi_(3)(81)=4\)	kwa sababu \(3^(4)=81\)
	\(\logi_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	kwa sababu \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Hoja na msingi wa logarithm

Logarithm yoyote ina "anatomia" ifuatayo:

Hoja ya logarithmu kawaida huandikwa katika kiwango chake, na msingi huandikwa kwa hati karibu na ishara ya logarithmu. Na ingizo hili linasomeka hivi: "logariti ya ishirini na tano hadi tano."

Jinsi ya kuhesabu logarithm?

Ili kuhesabu logarithm, unahitaji kujibu swali: kwa nguvu gani msingi unapaswa kuinuliwa ili kupata hoja?

Kwa mfano, hesabu logariti: a) \(\logi_(4)(16)\) b) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Ni kwa mamlaka gani lazima \(4\) inyanyuliwe ili kupata \(16\)? Ni wazi ya pili. Ndiyo maana:

\(\logi_(4)(16)=2\)

\(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(5)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(1\)? Ni nguvu gani hufanya nambari yoyote ya kwanza? Sifuri, bila shaka!

\(\logi_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(7)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(\sqrt(7)\)? Kwanza, nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe.

\(\logi_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Ni kwa uwezo gani \(3\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(\sqrt(3)\)? Kutoka tunajua hiyo ni nguvu ya sehemu, ambayo inamaanisha Kipeo ni nguvu ya \(\frac(1)(2)\) .

\(\logi_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Mfano : Kokotoa logariti \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Suluhisho :

\(\logi_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Tunahitaji kupata thamani ya logariti, wacha tuiashiria kama x. Sasa hebu tutumie ufafanuzi wa logarithm: \(\logi_(a)(c)=b\) \(\Mshale wa kushoto\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ni nini kinachounganisha \(4\sqrt(2)\) na \(8\)? Mbili, kwa sababu nambari zote mbili zinaweza kuwakilishwa na mbili: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Upande wa kushoto tunatumia sifa za shahada: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) na \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Misingi ni sawa, tunaendelea na usawa wa viashiria
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa \(\frac(2)(5)\)
		Mzizi unaotokana ni thamani ya logarithm

Jibu : \(\logi_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kwa nini logarithm ilivumbuliwa?

Ili kuelewa hili, hebu tusuluhishe mlinganyo: \(3^(x)=9\). Linganisha tu \(x\) ili kufanya usawa ufanye kazi. Bila shaka, \(x=2\).

Sasa suluhisha mlingano: \(3^(x)=8\).Kwa nini sawa na x? Hiyo ndiyo hatua.

Wenye akili zaidi watasema: "X ni chini kidogo ya mbili." Jinsi ya kuandika nambari hii kwa usahihi? Ili kujibu swali hili, logarithm iligunduliwa. Shukrani kwake, jibu hapa linaweza kuandikwa kama \(x=\log_(3)(8)\).

Ninataka kusisitiza kwamba \(\log_(3)(8)\), kama logarithm yoyote ni nambari tu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini ni fupi. Kwa sababu ikiwa tunataka kuiandika kwa fomu Nukta, basi ingeonekana kama hii: \(1.892789260714.....\)

Mfano : Tatua mlingano \(4^(5x-4)=10\)

Suluhisho :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) na \(10\) haziwezi kuletwa kwenye msingi sawa. Hii inamaanisha kuwa huwezi kufanya bila logarithm. Wacha tutumie ufafanuzi wa logarithm: \(a^(b)=c\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\logi_(a)(c)=b\)
\(\logi_(4)(10)=5x-4\)		Wacha tugeuze equation ili X iko upande wa kushoto
\(5x-4=\logi_(4)(10)\)		Mbele yetu. Hebu tusogeze \(4\) kulia. Na usiogope logarithm, ichukue kama nambari ya kawaida.
\(5x=\logi_(4)(10)+4\)		Gawanya mlinganyo kwa 5
\(x=\)\(\frac(\logi_(4)(10)+4)(5)\)		Huu ndio mzizi wetu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini hawachagui jibu.

Jibu : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logariti za decimal na asili

Kama ilivyoelezwa katika ufafanuzi wa logarithm, msingi wake unaweza kuwa wowote nambari chanya, isipokuwa kwa kitengo \((a>0, a\neq1)\). Na kati ya kila mtu sababu zinazowezekana Kuna mawili ambayo hutokea mara nyingi sana kwamba nukuu fupi maalum ilivumbuliwa kwa logarithms nazo:

Logariti asilia: logariti ambayo msingi wake ni nambari ya Euler \(e\) (sawa na takriban \(2.7182818…\)), na logariti imeandikwa kama \(\ln(a)\).

Hiyo ni, \(\ln(a)\) ni sawa na \(\logi_(e)(a)\)

Logarithmu ya Desimali: Logariti ambayo msingi wake ni 10 umeandikwa \(\lg(a)\).

Hiyo ni, \(\lg(a)\) ni sawa na \(\logi_(10)(a)\), ambapo \(a\) ni nambari fulani.

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Logarithms ina sifa nyingi. Mmoja wao anaitwa "Kitambulisho cha Msingi cha Logarithmic" na inaonekana kama hii:

\(a^(\logi_(a)(c))=c\)

Mali hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi. Wacha tuone jinsi fomula hii ilitokea.

Hebu tukumbuke noti fupi ufafanuzi wa logarithm:

ikiwa \(a^(b)=c\), basi \(\logi_(a)(c)=b\)

Yaani \(b\) ni sawa na \(\logi_(a)(c)\). Kisha tunaweza kuandika \(\log_(a)(c)\) badala ya \(b\) katika fomula \(a^(b)=c\). Ilibadilika \(a^(\log_(a)(c))=c\) - kitambulisho kikuu cha logarithmic.

Unaweza kupata sifa zingine za logarithms. Kwa msaada wao, unaweza kurahisisha na kuhesabu maadili ya misemo na logarithms, ambayo ni ngumu kuhesabu moja kwa moja.

Mfano : Tafuta thamani ya usemi \(36^(\log_(6)(5))\)

Suluhisho :

Jibu : \(25\)

Jinsi ya kuandika nambari kama logarithm?

Kama ilivyoelezwa hapo juu, logarithm yoyote ni nambari tu. Mazungumzo pia ni kweli: nambari yoyote inaweza kuandikwa kama logarithm. Kwa mfano, tunajua kwamba \(\log_(2)(4)\) ni sawa na mbili. Kisha badala ya mbili unaweza kuandika \(\log_(2)(4)\).

Lakini \(\log_(3)(9)\) pia ni sawa na \(2\), ambayo inamaanisha tunaweza pia kuandika \(2=\log_(3)(9)\) . Vivyo hivyo na \(\logi_(5)(25)\), na \(\log_(9)(81)\), nk. Hiyo ni, inageuka

\(2=\logi_(2)(4)=\logi_(3)(9)=\logi_(4)(16)=\logi_(5)(25)=\logi_(6)(36)=\ kumbukumbu_(7)(49)...\)

Kwa hivyo, ikiwa tunahitaji, tunaweza kuandika mbili kama logariti na msingi wowote mahali popote (iwe katika mlingano, katika usemi, au kwa usawa) - tunaandika tu msingi wa mraba kama hoja.

Ni sawa na mara tatu - inaweza kuandikwa kama \(\logi_(2)(8)\), au kama \(\log_(3)(27)\), au kama \(\logi_(4)( 64) \)... Hapa tunaandika msingi katika mchemraba kama hoja:

\(3=\logi_(2)(8)=\logi_(3)(27)=\logi_(4)(64)=\logi_(5)(125)=\logi_(6)(216)=\ kumbukumbu_(7)(343)...\)

Na nne:

\(4=\logi_(2)(16)=\logi_(3)(81)=\logi_(4)(256)=\logi_(5)(625)=\logi_(6)(1296)=\ kumbukumbu_(7)(2401)...\)

Na minus moja:

\(-1=\) \(\logi_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\logi_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\logi_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\logi_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\logi_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Na theluthi moja:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\logi_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Nambari yoyote \(a\) inaweza kuwakilishwa kama logariti yenye msingi \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Mfano : Tafuta maana ya usemi \(\frac(\logi_(2)(14))(1+\logi_(2)(7))\)

Suluhisho :

Jibu : \(1\)