Dhana ya "kutamkwa" ni ya msingi. Katika mantiki, kauli ni sentensi tangazo ambayo inaweza kusemwa kuwa ya kweli au ya uwongo. Kila tamko ni la kweli au la uwongo, na hakuna taarifa ambayo ni ya kweli na ya uwongo.
Mifano ya kauli: kuna nambari sawa", "1 ni nambari kuu". Thamani ya ukweli ya taarifa mbili za kwanza ni "ukweli", thamani ya ukweli wa mbili za mwisho
Sentensi za kuuliza na za mshangao sio kauli. Ufafanuzi sio kauli. Kwa mfano, fasili ya "nambari kamili inasemekana kuwa hata kama inaweza kugawanywa na 2" sio taarifa. Walakini, sentensi ya kutangaza "ikiwa nambari kamili inaweza kugawanywa na 2, basi ni sawa" ni taarifa, na ni kweli. Katika mantiki ya pendekezo, mtu huchota kutoka kwa maudhui ya kisemantiki ya taarifa, akijiwekea kikomo kwa kuizingatia kutoka kwa msimamo kwamba ni kweli au si kweli.
Katika kile kinachofuata, tutaelewa maana ya taarifa kama thamani yake ya ukweli ("kweli" au "uongo"). Tutaashiria kauli katika herufi kubwa za Kilatini, na maana zake, yaani "kweli" au "uongo," kwa herufi I na L, mtawalia.
Mantiki ya pendekezo huchunguza miunganisho ambayo imedhamiriwa kabisa na jinsi baadhi ya kauli hujengwa kutoka kwa zingine, zinazoitwa za msingi. Katika kesi hii, taarifa za kimsingi zinazingatiwa kuwa zima, sio kuharibika kwa sehemu, muundo wa ndani ambao hautatuvutia.
Uendeshaji wa kimantiki kwenye taarifa.
Kutoka kwa taarifa za kimsingi, kwa kutumia shughuli za kimantiki, unaweza kupata taarifa mpya, ngumu zaidi. Thamani ya ukweli ya taarifa tata inategemea maadili ya ukweli wa taarifa zinazounda taarifa ngumu. Utegemezi huu umeanzishwa katika fasili zilizo hapa chini na unaonyeshwa katika majedwali ya ukweli. Safu wima za kushoto za majedwali haya zina ugawaji wote unaowezekana wa thamani za ukweli kwa taarifa ambazo zinajumuisha moja kwa moja taarifa changamano inayozingatiwa. Katika safu ya kulia, andika maadili ya ukweli ya taarifa changamano kulingana na usambazaji katika kila safu.
Acha A na B ziwe taarifa za kiholela ambazo hatufikirii kuwa maadili yao ya ukweli yanajulikana. Kukanusha taarifa A ni taarifa mpya ambayo ni kweli ikiwa tu A ni ya uwongo. Kukanusha A kunaonyeshwa na na kusomeka "si A" au "sio kweli kwamba A." Operesheni ya kukanusha imeamuliwa kabisa na jedwali la ukweli
Mfano. Taarifa "sio kweli kwamba 5 ni nambari sawa," ambayo ina thamani ya I, ni kukanusha taarifa ya uwongo "5 ni nambari sawa."
Kwa kutumia utendakazi wa kiunganishi, kauli mbili huundwa katika kauli moja changamano, inayoashiria A D B. Kwa ufafanuzi, kauli A D B ni kweli ikiwa na iwapo tu taarifa zote mbili ni za kweli. Taarifa A na B zinaitwa, mtawalia, washiriki wa kwanza na wa pili wa kiunganishi A D B. Ingizo "A D B" linasomwa kama "L na B". Jedwali la ukweli la kiunganishi lina fomu
Mfano. Taarifa "7 ni nambari kuu na 6 ni nambari isiyo ya kawaida" ni ya uwongo kama kiunganishi cha taarifa mbili, ambayo moja ni ya uwongo.
Mtengano wa kauli mbili A na B ni taarifa, inayoonyeshwa na , hiyo ni kweli ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya taarifa A na B ni kweli.
Kwa hivyo, taarifa A V B ni ya uwongo ikiwa na tu ikiwa A na B zote mbili ni za uwongo. Taarifa A na B zinaitwa, mtawalia, istilahi ya kwanza na ya pili ya muunganisho A V B. Ingizo A V B linasomwa kama "A au B." Kiunganishi "au" katika kwa kesi hii ina maana isiyoweza kutenganishwa, kwani kauli A V B ni kweli hata ikiwa istilahi zote mbili ni za kweli. Mgawanyiko una jedwali la ukweli lifuatalo:
Mfano. Taarifa “3 Taarifa, inayoashiriwa na , ni ya uwongo ikiwa tu A ni kweli na B ni ya uwongo, inaitwa maana yenye msingi A na hitimisho B. Taarifa A-+ B inasomwa kama “ikiwa A, basi 5, ” au “ A humaanisha B,” au “kutoka kwa A hufuata B.” Jedwali la ukweli kwa maana ni:
Kumbuka kwamba kunaweza kuwa hakuna uhusiano wa sababu-na-athari kati ya msingi na hitimisho, lakini hii haiwezi kuathiri ukweli au uwongo wa kidokezo. Kwa mfano, taarifa "ikiwa 5 ni nambari kuu, basi sehemu mbili ya pembetatu ya usawa ni wastani" itakuwa ya kweli, ingawa kwa maana ya kawaida ya pili haifuati kutoka kwa kwanza. Taarifa "ikiwa 2 + 2 = 5, basi 6 + 3 = 9" pia itakuwa kweli, kwani hitimisho lake ni kweli. Katika ufafanuzi huu, ikiwa hitimisho ni kweli, maana itakuwa kweli bila kujali thamani ya ukweli ya msingi. Wakati msingi ni wa uwongo, maana itakuwa kweli bila kujali thamani ya ukweli ya hitimisho. Hali hizi zimeundwa kwa ufupi kama ifuatavyo: "ukweli hufuata kutoka kwa chochote," "chochote hufuata kutoka kwa uwongo."
Hukumu mbalimbali zinaweza kufanywa kuhusu dhana na mahusiano kati yao. Aina ya hukumu ya kiisimu ni sentensi masimulizi. Sentensi zinazotumiwa katika hisabati zinaweza kuandikwa ama kwa maneno au kwa ishara. Sentensi zinaweza kuwa na habari za kweli au za uwongo.
Kwa kusema ni sentensi yoyote ya kutangaza ambayo inaweza kuwa ya kweli au ya uwongo.
Mfano. Sentensi zifuatazo ni mapendekezo:
1) Wanafunzi wote wa MSPU ni wanafunzi bora (taarifa ya uwongo),
2) Kuna mamba kwenye Peninsula ya Kola (taarifa ya uwongo),
3) Milalo ya mstatili ni sawa (taarifa ya kweli),
4) Mlinganyo hauna mizizi halisi (taarifa ya kweli),
5) Nambari 21 ni sawa (kauli ya uwongo).
Sentensi zifuatazo si kauli:
Hali ya hewa itakuwaje kesho?
X- nambari ya asili,
745 + 231 – 64.
Taarifa kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa za alfabeti ya Kilatini: A, B, C,…,Z.
"Kweli" na "uongo" huitwa maadili ya ukweli wa taarifa . Kila taarifa ni ya kweli au ya uwongo; haiwezi kuwa zote mbili kwa wakati mmoja.
Rekodi [ A ] = 1 ina maana hiyo kauli A – kweli .
Na kurekodi [ A ] = 0 ina maana hiyo kauli A – uongo .
Toa 
si taarifa, kwa kuwa haiwezekani kusema juu yake ikiwa ni kweli au uongo. Wakati wa kubadilisha maadili maalum kwa kutofautisha X inageuka kuwa taarifa: kweli au uongo.
Mfano. Kama 
, Hiyo 
- taarifa ya uwongo, na ikiwa 
, Hiyo 
- taarifa ya kweli.
Toa 
kuitwa kiashirio au fomu ya kujieleza. Inazalisha taarifa nyingi za fomu sawa.
Kutabiri ni sentensi yenye vigeu kimoja au zaidi ambavyo hubadilika kuwa taarifa wakati wowote thamani zao zinapobadilishwa kwa vigeu hivyo.
Kulingana na idadi ya vigezo vilivyojumuishwa katika toleo, kuna moja, mbili, tatu, nk. vihusishi vinavyoashiriwa na: nk.
Mfano.
1)
- kihusishi cha sehemu moja,
2) "Moja kwa moja" X perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja katika" ni kihusishi cha sehemu mbili.
Vibashiri vinaweza pia kuwa na viambajengo kwa njia isiyo wazi. Katika sentensi: "Nambari ni sawa", "mistari miwili inaingiliana" hakuna vijiti, lakini ina maana: "Nambari. X- hata", "mbili moja kwa moja X Na katika vuka."
Unapobainisha kiima, kionyeshe kikoa – seti ambayo maadili ya vijiti vilivyojumuishwa kwenye kihusishi huchaguliwa.
Mfano. Kutokuwa na usawa 
inaweza kuzingatiwa kwenye seti nambari za asili, lakini tunaweza kudhani kuwa thamani ya kutofautisha imechaguliwa kutoka kwa seti ya nambari halisi. Katika kesi ya kwanza, uwanja wa ufafanuzi wa usawa 
kutakuwa na seti ya nambari za asili, na kwa pili - seti ya nambari halisi.
Kihusishi cha sehemu moja , iliyofafanuliwa kwenye seti X, ni sentensi yenye kigezo ambacho hubadilika kuwa kauli wakati kigezo kutoka kwa seti kinabadilishwa kuwa kigezo X.
Seti ya ukweli Kihusishi cha sehemu moja ni seti ya maadili hayo ya kutofautisha kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wake, juu ya uingizwaji ambao kihusishi hubadilika kuwa taarifa ya kweli.
Mfano. Seti ya ukweli ya kihusishi 
, iliyotolewa kwenye seti ya nambari halisi, kutakuwa na muda 
. Seti ya ukweli ya kiima 
, iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari zisizo hasi, ina nambari moja 2.
Ukweli uliowekwa
kihusishi cha nafasi mbili 
linajumuisha jozi zote kama hizo 
inapowekwa katika kidahizo hiki, taarifa ya kweli hupatikana.
Mfano. Oa 
ni ya seti ya ukweli ya kiima 
, kwa sababu 
ni kauli ya kweli, na jozi 
sio mali, kwa sababu 
- taarifa ya uwongo.
Kauli na vihusishi vinaweza kuwa rahisi au changamano (composite). Changamano sentensi huundwa kutokana na rahisi kutumia viunganishi vya kimantiki - maneno" Na », « au », « kama... basi … », « basi na wakati tu ... » . Kwa kutumia chembe « Sivyo » au maneno" sio kweli hiyo »inawezekana kutoka pendekezo hili pata mpya. Sentensi ambazo si changamano huitwa msingi .
Mifano. Sentensi changamano:
Nambari 42 ni sawa na inaweza kugawanywa na 7. Inaundwa kutoka kwa sentensi mbili za msingi: Nambari 42 ni sawa, nambari 42 inaweza kugawanywa na 7 na imeundwa kwa kutumia kiunganishi cha kimantiki " Na ».
Nambari X kubwa kuliko au sawa na 5. Huundwa kutoka sentensi mbili za msingi: Nambari X zaidi ya 5 na nambari X ni sawa na 5 na imeundwa kwa kutumia kiunganishi cha kimantiki " au ».
Nambari 42 haigawanyiki na 5. Imeundwa kutoka kwa sentensi: Nambari 42 inagawanywa na 5 kwa kutumia chembe " Sivyo ».
Thamani ya ukweli ya taarifa ya msingi hubainishwa kulingana na maudhui yake kulingana na ujuzi unaojulikana. Kuamua thamani ya ukweli ya taarifa ya kiwanja, unahitaji kujua maana ya viunganishi vya kimantiki kwa msaada wa ambayo imeundwa kutoka kwa msingi, na uweze kutambua muundo wa kimantiki wa taarifa hiyo.
Mfano. Wacha tutambue muundo wa kimantiki wa sentensi: "Ikiwa pembe ni wima, basi ni sawa." Inajumuisha sentensi mbili za msingi: A- pembe za wima, KATIKA- pembe ni sawa. Yameunganishwa katika sentensi ambatani moja kwa kutumia kiunganishi cha kimantiki “. kama... basi..." Sentensi hii ambatani ina muundo wa kimantiki (umbo): “ kama A, basi KATIKA».
Usemi "kwa mtu yeyote" X" au "kwa kila mtu X" au "kwa kila mtu X"inaitwa jumla quantifier
na imeteuliwa 
.
kwa kutumia kihesabu cha jumla, inaashiria: 
na inasomeka: “Kwa thamani yoyote X kutoka kwa wengi X hutokea 
».
Usemi "kuna X"au" kwa baadhi X"au" kutakuwa na vile X"inaitwa quantifier kuwepo
na imeteuliwa 
.
Taarifa inayotokana na pendekezo au kihusishi 
kwa kutumia quantifier kuwepo, inaashiria: 
na inasomeka hivi: “Kwa wengine X kutoka kwa wengi X hutokea 
" au "Kuna (kuna) maana kama hiyo X kutoka X nini kinaendelea 
».
Quantifiers ya jumla na kuwepo haitumiwi tu katika maneno ya hisabati, lakini pia katika hotuba ya kila siku.
Mfano. Taarifa zifuatazo zina kihesabu cha jumla:
a) Pande zote za mraba ni sawa; b) Kila nambari kamili ni halisi; c) Katika pembetatu yoyote, wapatanishi huingiliana kwa hatua moja; d) Wanafunzi wote wana kitabu cha daraja.
Taarifa zifuatazo zina kibainishi cha kuwepo:
a) Kuna nambari ambazo ni nyingi za 5; b) Kuna nambari asilia kama hiyo 
, Nini 
; c) Baadhi ya vikundi vya wanafunzi ni pamoja na wagombea wa uzamili wa michezo; d) Angalau pembe moja katika pembetatu ni ya papo hapo.
Kauli 
ni kweli
–
utambulisho, i.e. inachukua maadili ya kweli wakati maadili yoyote tofauti yanabadilishwa ndani yake.
Mfano. Kauli 
kweli.
Kauli 
uongo
, ikiwa kwa thamani fulani ya kutofautisha X kiashirio 
Mfano. Kauli 
uongo, kwa sababu katika 
kiashirio 
inageuka kuwa taarifa ya uongo.
Kauli 
ni kweli
ikiwa na tu ikiwa kiima 
sio uwongo sawa, i.e. kwa thamani fulani ya kutofautisha X kiashirio 
Mfano. Kauli 
kweli, kwa sababu katika 
kiashirio 
inageuka kuwa kauli ya kweli.
Kauli 
uongo
, ikiwa kiima 
ni kupingana, i.e. sawa na taarifa ya uongo.
Mfano. Kauli 
uongo, kwa sababu kiashirio 
ni sawa na uongo.
Wacha ofa A - kauli. Ikiwa utaweka chembe " Sivyo
"au kabla ya sentensi nzima weka maneno" sio kweli hiyo
", basi tunapata sentensi mpya inayoitwa kukataa imetolewa na inaashiria:
A au 
(soma: " Sivyo
A" au" sio kweli hiyo
A
»).
|
Kukanusha taarifa A
kuitwa taarifa Jedwali la ukweli wa kukanusha: |
|
au
A, ambayo ni ya uwongo wakati taarifa hiyo A kweli, na kweli wakati taarifa hiyo A- uongo.
Mfano. Ikiwa kauli A: “Pembe za wima ni sawa,” kisha ukanushaji wa kauli hii A: "Pembe za wima si sawa." Ya kwanza ya taarifa hizi ni kweli, na ya pili ni ya uwongo.
Ili kuunda ukanushaji wa taarifa na vidhibiti unahitaji:
badala ya quantifier ya jumla na quantifier ya kuwepo au kinyume chake;
badilisha kauli na ukanushaji wake (weka chembe " Sivyo»).
Kwa ulimi alama za hisabati itaandikwa hivi.
Mpango
Kauli zenye ukanushaji wa nje.
Kauli shirikishi.
Kauli za kutenganisha.
Kauli za kutengana kabisa.
Taarifa za usawa.
Kauli muhimu.
Kauli zenye ukanushaji wa nje.
Kauli yenye ukanushaji wa nje ni kauli (hukumu) inayothibitisha kutokuwepo kwa hali fulani. Mara nyingi huonyeshwa na sentensi inayoanza na kifungu cha maneno "sio kweli kwamba..." au "sio sahihi kwamba ...". Kukanusha kwa nje kunaonyeshwa na ishara "ù", inayoitwa ishara ya kukanusha. Ishara hii imedhamiriwa na jedwali la ukweli lifuatalo:
Katika taarifa zilizo na ukanushaji wa nje, hali katika A inakataliwa. Kwa mfano, ikiwa A: "Volga inapita kwenye Bahari Nyeusi," basi ùA: "Sio kweli kwamba Volga inapita kwenye Bahari Nyeusi."
Kauli shirikishi.
Kauli viunganishi ni zile zinazoeleza kuwepo kwa hali mbili kwa wakati mmoja. Kauli viunganishi huundwa kutokana na kauli mbili kwa kutumia viunganishi “na”, “a”, “lakini”. Fomu ya taarifa ya kiunganishi: (A&B). Kila moja ya kauli A na B inaweza kuchukua thamani ya "kweli" au thamani "siyo". Kwa ufupi, maadili haya yanaonyeshwa na herufi mimi, l. Jedwali la ukweli kwa kauli shirikishi ni kama ifuatavyo:
Taarifa za kuunganisha zinasema kuwa hali iliyoelezwa katika A na katika B hutokea wakati huo huo. Mifano ya kauli shirikishi: “Dunia ni sayari, na Mwezi ni satelaiti”; "Petrov alijua mantiki vizuri, lakini Sidorov alijua mantiki vibaya"; "Kuna giza nje, na taa zimewashwa darasani"; "Petrov alihonga afisa pesa, na Sidorov na chupa."
Kauli za kutenganisha.
Kauli vitenganishi ni kauli zinazothibitisha kuwepo kwa angalau hali moja kati ya hali mbili zinazofafanuliwa katika A na B. Mtengano huonyeshwa kwa ishara V na huonyeshwa katika lugha ya asili kwa kiunganishi “au.”
Ufafanuzi wa jedwali wa ishara ya kutenganisha ina fomu ifuatayo:
Mfano wa taarifa ya kutofautisha: "Roman Sergeevich Ivanov ni mwalimu, au Roman Sergeevich Ivanov ni mwanafunzi aliyehitimu."
Kauli za kutengana kabisa.
Kauli pinzani kali ni kauli zinazothibitisha uwepo wa hali mojawapo kabisa kati ya hali mbili zilizofafanuliwa katika A na B. Kauli kama hizo mara nyingi hutolewa kupitia sentensi zenye kiunganishi “au..., au...” (“ama... au ..."). Utengano mkali unaonyeshwa na ishara V * (soma "ama ... au ...".
Ufafanuzi wa jedwali wa ishara kali ya kutenganisha ina fomu ifuatayo:
Mfano wa taarifa ya kutofautisha kabisa: "Kuna jua nje au kunanyesha."
Mali
Wacha tuchunguze mali kadhaa za bidhaa ya Cartesian:
1. Kama A,B ni seti finite, basi A× B- mwisho. Na kinyume chake, ikiwa moja ya seti ya sababu haina ukomo, basi matokeo ya bidhaa zao ni seti isiyo na kipimo.
2. Idadi ya vipengele katika bidhaa ya Cartesian ni sawa na bidhaa ya idadi ya vipengele vya seti za sababu (ikiwa ni ya mwisho, bila shaka): | A× B|=|A|⋅|B| .
3. np ≠(A n) uk- katika kesi ya kwanza, inashauriwa kuzingatia matokeo ya bidhaa ya Cartesian kama matrix ya vipimo 1 × n.p, katika pili - kama matrix ya ukubwa n× uk .
4. Sheria ya mabadiliko haijaridhika, kwa sababu jozi za vitu vya matokeo ya bidhaa ya Cartesian zimeagizwa: A× B≠B× A .
5. Sheria ya ushirika haijatimizwa: ( A× B)× C≠A×( B× C) .
6. Kuna usambazaji kuhusiana na shughuli za kimsingi kwenye seti: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
11. Dhana ya taarifa. Kauli za msingi na changamano.
Kauli ni kauli au sentensi tangazo ambayo inaweza kusemwa kuwa kweli (I-1) au uongo (F-0), lakini si zote mbili.
Kwa mfano, "Leo kunanyesha","Ivanov alimaliza kazi ya maabara Nambari 2 katika fizikia."
Ikiwa tunayo taarifa kadhaa za awali, basi kutoka kwao, kwa kutumia vyama vya wafanyakazi vya mantiki au chembe chembe tunaweza kuunda taarifa mpya, thamani ya ukweli ambayo inategemea tu maadili ya ukweli wa taarifa za asili na juu ya viunganishi maalum na chembe zinazoshiriki katika ujenzi wa taarifa mpya. Maneno na misemo "na", "au", "si", "ikiwa ... basi", "kwa hiyo", "basi na tu" ni mifano ya viunganishi hivyo. Kauli za asili zinaitwa rahisi , na taarifa mpya zilizoundwa kutoka kwao kwa msaada wa viunganishi fulani vya kimantiki - mchanganyiko . Kwa kweli, neno "rahisi" halina uhusiano wowote na kiini au muundo wa taarifa za asili, ambazo zenyewe zinaweza kuwa ngumu sana. Katika muktadha huu, neno "rahisi" ni sawa na neno "asili". Kilicho muhimu ni kwamba maadili ya ukweli wa taarifa rahisi huchukuliwa kujulikana au kutolewa; kwa hali yoyote, hazijadiliwi kwa njia yoyote.
Ingawa taarifa kama "Leo sio Alhamisi" haijaundwa na taarifa mbili tofauti rahisi, kwa usawa wa ujenzi pia inachukuliwa kama kiwanja, kwa kuwa thamani yake ya ukweli inaamuliwa na thamani ya ukweli wa taarifa nyingine "Leo ni Alhamisi. ”
Mfano 2. Kauli zifuatazo zinazingatiwa kama misombo:
Nilisoma Moskovsky Komsomolets na nilisoma Kommersant.
Ikiwa alisema, basi ni kweli.
Jua sio nyota.
Ikiwa ni jua na joto linazidi 25 0, nitawasili kwa treni au gari
Kauli rahisi zilizojumuishwa katika misombo zinaweza kuwa za kiholela kabisa. Hasa, wao wenyewe wanaweza kuwa composite. Aina za msingi za kauli shirikishi zilizoelezewa hapa chini zinafafanuliwa bila ya kutegemea kauli rahisi zinazoziunda.
12. Uendeshaji kwenye taarifa.
1. Operesheni ya kukanusha.
Kwa kukanusha kauli hiyo A ( inasoma "sio A"," sio kweli hiyo A"), ambayo ni kweli wakati A uongo na uongo wakati A- kweli.
Kauli zinazokanana A Na zinaitwa kinyume.
2. Operesheni ya kiunganishi.
Kiunganishi kauli A Na KATIKA inaitwa taarifa iliyoashiriwa na A B( inasoma " A Na KATIKA"), maadili ya kweli ambayo huamuliwa ikiwa na tu ikiwa taarifa zote mbili A Na KATIKA ni kweli.
Muunganisho wa kauli huitwa bidhaa yenye mantiki na mara nyingi huonyeshwa AB.
Acha taarifa itolewe A- "Mnamo Machi joto la hewa linatoka 0 C kwa + 7 C"na kusema KATIKA- "Mvua inanyesha huko Vitebsk." Kisha A B itakuwa kama ifuatavyo: "Mnamo Machi joto la hewa linatoka 0 C kwa + 7 C na kunanyesha huko Vitebsk." Kiunganishi hiki kitakuwa kweli ikiwa kuna taarifa A Na KATIKA kweli. Ikiwa inageuka kuwa joto lilikuwa chini 0 C au hapakuwa na mvua huko Vitebsk, basi A B itakuwa uongo.
3 . Operesheni ya kutenganisha.
Utengano kauli A Na KATIKA kuitwa taarifa A B (A au KATIKA), ambayo ni kweli ikiwa na iwapo tu angalau moja ya taarifa hizo ni kweli na si kweli - wakati taarifa zote mbili ni za uwongo.
Mgawanyiko wa taarifa pia huitwa jumla ya kimantiki A+B.
Taarifa hiyo " 4<5 au 4=5 " ni kweli. Tangu taarifa " 4<5 "ni kweli, na taarifa" 4=5 »- uwongo, basi A B inawakilisha taarifa ya kweli" 4 5 ».
4 . Uendeshaji wa maana.
Kwa maana kauli A Na KATIKA kuitwa taarifa A B("Kama A, Hiyo KATIKA","kutoka A lazima KATIKA"), ambaye thamani yake ni ya uwongo ikiwa na ikiwa tu A kweli, lakini KATIKA uongo.
Kwa maana A B kauli A kuitwa msingi, au Nguzo, na kauli KATIKA – matokeo, au hitimisho.
13. Jedwali la ukweli wa taarifa.
Jedwali la ukweli ni jedwali ambalo huanzisha mawasiliano kati ya seti zote zinazowezekana za vigeuzo vya kimantiki vilivyojumuishwa katika kipengele cha kukokotoa kimantiki na thamani za chaguo za kukokotoa.
Jedwali la ukweli hutumiwa kwa:
Kuhesabu ukweli wa kauli tata;
Kuanzisha usawa wa taarifa;
Ufafanuzi wa tautolojia.
Kuweka ukweli wa kauli tata.
Mfano 1. Thibitisha ukweli wa taarifa · C
Suluhisho. Taarifa ngumu inajumuisha taarifa 3 rahisi: A, B, C. Safu wima kwenye jedwali zimejaa maadili (0, 1). Hali zote zinazowezekana zinaonyeshwa. Kauli rahisi hutenganishwa na zile ngumu kwa mstari wa wima mara mbili.
Wakati wa kuandaa meza, utunzaji lazima uchukuliwe ili usichanganye utaratibu wa vitendo; Wakati wa kujaza nguzo, unapaswa kusonga "kutoka ndani," i.e. kutoka kwa fomula za kimsingi hadi ngumu zaidi na ngumu zaidi; safu ya mwisho iliyojazwa ina maadili ya fomula asili.
| A | KATIKA | NA | A+ | · NA | ||
Jedwali linaonyesha kuwa taarifa hii ni kweli tu katika kesi wakati A = 0, B = 1, C = 1. Katika kesi nyingine zote ni uongo.
14. Fomula zinazolingana.
Fomula mbili A Na KATIKA zinaitwa sawa ikiwa zinachukua maadili sawa kwa seti yoyote ya maadili ya taarifa za kimsingi zilizojumuishwa kwenye fomula.
Usawa unaonyeshwa na ishara "". Ili kubadilisha fomula kuwa zile zinazolingana, jukumu muhimu linachezwa na usawa wa kimsingi ambao huonyesha utendakazi fulani wa kimantiki kupitia zingine, usawa unaoelezea sheria za msingi za aljebra ya mantiki.
Kwa fomula zozote A, KATIKA, NA usawa ni halali.
I. Usawa wa kimsingi
sheria ya kutokuwa na uwezo
1 - kweli
0-uongo
Sheria ya kupingana
Sheria ya katikati iliyotengwa
sheria ya kunyonya
kugawanyika formula
sheria ya gluing
II. Usawa unaoonyesha baadhi ya shughuli za kimantiki kupitia zingine.
sheria ya Morgan
III. Usawa unaoelezea sheria za msingi za aljebra ya kimantiki.
sheria ya mabadiliko
sheria ya muungano
sheria ya usambazaji
15. Mifumo ya mantiki ya pendekezo.
Aina za fomula za mantiki ya pendekezo ya classical- katika mantiki ya pendekezo aina zifuatazo za fomula zinajulikana:
1. Sheria(fomula zinazofanana) - fomula ambazo, chini ya tafsiri yoyote ya viambishi vya pendekezo, huchukua thamani. "kweli";
2. Mabishano(fomula za uwongo sawa) - fomula ambazo, chini ya tafsiri yoyote ya vigezo vya pendekezo, huchukua thamani. "uongo";
3. Fomula zinazotosheleza- wale ambao huchukua maana "kweli" kwa angalau seti moja ya maadili ya ukweli ya viambishi vyao vya pendekezo.
Sheria za msingi za mantiki ya pendekezo ya classical:
1. Sheria ya utambulisho: ;
2. Sheria ya kupingana:
;
3. Sheria ya kati iliyotengwa: ;
4. Sheria za mawasiliano na: , ;
5. Sheria za usambazaji zinazohusiana na , na kinyume chake: , ;
6. Sheria ya kuondolewa kwa mwanachama wa kweli wa muunganisho: ;
7. Sheria ya kuondoa muda wa uwongo wa kutenganisha: ;
8. Sheria ya ukiukaji: ;
9. Sheria za mwingiliano wa viunganishi vya pendekezo: , , , , , .
Utaratibu wa utatuzi- njia inayokuruhusu kuamua kwa kila fomula ikiwa ni sheria, ukinzani, au fomula inayowezekana. Utaratibu wa kawaida wa utatuzi ni njia ya meza ya ukweli. Hata hivyo, si yeye pekee. Njia ya ufanisi ya solvability ni njia fomu za kawaida kwa fomula za kimantiki za pendekezo. Fomu ya kawaida Fomula ya mantiki ya pendekezo ni fomu ambayo haina ishara ya kudokeza "". Kuna fomu za kawaida za kuunganishwa na zisizojumuisha. Fomu ya kiunganishi ina ishara za kiunganishi tu "". Ikiwa fomula iliyopunguzwa hadi fomu ya kawaida ya kiunganishi ina fomula ndogo ya fomu, basi fomula nzima katika kesi hii ni. utata. Fomu ya kutenganisha ina ishara tu za kutenganisha "". Ikiwa fomula iliyopunguzwa hadi fomu ya kawaida isiyojumuisha ina fomula ndogo ya fomu, basi fomula nzima katika kesi hii ni. kwa sheria. Katika visa vingine vyote, formula ni formula ya kuridhisha.
16. Utabiri na uendeshaji juu yao. Quantifiers.
Sentensi iliyo na kigeu kimoja au zaidi na ambayo, ikipewa maadili maalum ya vigeu, huitwa taarifa umbo la kujieleza au kiima.
Kulingana na idadi ya vigezo vilivyojumuishwa katika toleo, kuna moja, mbili, tatu, nk. vihusishi, vinavyoashiria ipasavyo: A( X), KATIKA ( X, katika), NA( X, katika, z).
Ikiwa kihusishi fulani kimepewa, basi seti mbili zinahusishwa nayo:
1. Weka (kikoa) cha ufafanuzi X, inayojumuisha maadili yote ya anuwai, inapobadilishwa kuwa kihusishi, mwisho hubadilika kuwa taarifa. Wakati wa kutaja kihusishi, kikoa cha ufafanuzi wake kawaida huonyeshwa.
2. Ukweli uliowekwa T, inayojumuisha maadili hayo yote ya viambishi, wakati wa kuzibadilisha katika kihusishi, taarifa ya kweli hupatikana.
Seti ya ukweli ya kiima daima ni sehemu ndogo ya kikoa chake cha ufafanuzi, yaani.
Unaweza kufanya shughuli sawa kwenye predicates kama kwenye taarifa.
1. Kukataa kiambishi A ( X), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X, inaitwa kihusishi ambacho ni kweli kwa zile maadili ambazo kihusishi A( X) hugeuka kuwa taarifa ya uongo, na kinyume chake.
Kutokana na ufafanuzi huu inafuata kwamba vihusishi A( X) na B ( X) sio ukanushaji wa kila mmoja ikiwa kuna angalau thamani moja ambayo viambishi A( X) na B ( X) kugeuka kuwa kauli zenye maadili sawa ya ukweli.
Seti ya ukweli ya kiima ni kijalizo cha seti ya ukweli ya kiima A( X) Wacha tuonyeshe kwa T A seti ya ukweli ya kiima A( X), na kupitia T - seti ya ukweli ya kiima. Kisha.
2. Kiunganishi kitabiri A( X) na B ( XX) NDANI ( X X X, ambapo vihusishi vyote viwili hugeuka kuwa kauli za kweli.
Seti ya ukweli ya kiunganishi cha vihusishi ni makutano ya seti za ukweli za kiima A( X) NDANI ( X) Ikiwa tutaashiria seti ya ukweli ya kiima A(x) na T A, na seti ya ukweli ya kiima B(x) na T B na seti ya ukweli ya kiima A(x) B(x) kwa , basi. 
3. Utengano kitabiri A( X) na B( X), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X, inaitwa kiambishi A( X) NDANI ( X), ambayo inageuka kuwa taarifa ya kweli kwa zile na hizo tu maadili X X, ambayo angalau moja ya vihusishi hugeuka kuwa taarifa ya kweli.
Seti ya ukweli ya mtengano wa kihusishi ni muungano wa seti za ukweli wa vihusishi vinavyoiunda, i.e. .
4.Kwa maana kitabiri A( X) na B ( X), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X, inaitwa kiambishi A( X) NDANI ( X), ambayo ni ya uwongo kwa zile na zile tu maadili ya kutofautisha ambayo kihusishi cha kwanza kinabadilika kuwa taarifa ya kweli, na ya pili kuwa taarifa ya uwongo.
Seti ya ukweli ya maana ya vihusishi ni muungano wa seti ya ukweli ya kiima B( X) na nyongeza ya seti ya ukweli ya kiima A( X), yaani.
5. Usawa kitabiri A( X) na B ( X), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X, inaitwa kitabiri ambacho hubadilika kuwa taarifa ya kweli kwa wale wote na tu zile maadili ya kigeuzo ambacho viambishi vyote viwili hubadilika kuwa taarifa za kweli au taarifa za uwongo.
Seti ya ukweli ya usawa wa kiima ni makutano ya seti ya ukweli ya kiima na seti ya ukweli ya kiima.
Operesheni za kiidadi kwenye vihusishi
Kihusishi kinaweza kutafsiriwa katika taarifa kwa kutumia mbinu ya kibadala na mbinu ya "kiambatisho cha kiidadi".
Kuhusu nambari 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 tunaweza kusema: a) Wote nambari hizi ni kuu; b) baadhi ya nambari zilizotolewa ni sawa.
Kwa kuwa sentensi hizi zinaweza kusemwa kuwa za kweli au za uwongo, sentensi zinazotokana ni kauli.
Ikiwa tunaondoa neno "wote" kutoka kwa sentensi "a", na neno "baadhi" kutoka kwa sentensi "b", tunapata vihusishi vifuatavyo: "nambari zilizotolewa ni kuu", "nambari zilizotolewa ni zisizo za kawaida".
Maneno "wote" na "baadhi" huitwa quantifiers. Neno "quantifier" ni la asili ya Kilatini na linamaanisha "ngapi," yaani, kihesabu kinaonyesha ni vitu vingapi (vyote au baadhi) vinavyozungumzwa katika sentensi fulani.
Kuna aina mbili kuu za vihakiki: kihesabu cha jumla na kiambishi cha kuwepo.
Masharti "yoyote", "yoyote", "kila mtu" huitwa – quantifier zima. Inaonyeshwa na.
Acha A( X) - kihusishi fulani kinachofafanuliwa kwenye seti X. Chini ya usemi A( X) tunaelewa taarifa hiyo kuwa kweli wakati A( X) ni kweli kwa kila kipengele cha seti ya X, na sivyo vinginevyo. R .
Katika mfano 1 kwa R1 kikoa cha ufafanuzi: , seti ya maadili - . Kwa R2 kikoa cha ufafanuzi: , seti ya maadili: .
Katika hali nyingi ni rahisi kutumia uwakilishi wa picha wa uhusiano wa binary. Hii imefanywa kwa njia mbili: kutumia pointi kwenye ndege na kutumia mishale.
Katika kesi ya kwanza, mistari miwili ya usawa huchaguliwa kama shoka za usawa na wima. Vipengele vya kuweka vinapangwa kwenye mhimili wa usawa A na chora mstari wima kupitia kila nukta. Vipengele vya kuweka vinapangwa kwenye mhimili wa wima B, chora mstari mlalo kupitia kila nukta. Sehemu za makutano ya mistari ya usawa na wima inawakilisha vipengele vya bidhaa moja kwa moja
18. Mbinu za kubainisha mahusiano ya binary.
Sehemu ndogo yoyote ya bidhaa ya Cartesian A×B inaitwa uhusiano wa binary unaofafanuliwa kwenye jozi ya seti A na B (kwa Kilatini, "bis" inamaanisha "mara mbili"). Katika hali ya jumla, kwa mlinganisho na uhusiano wa binary, uhusiano wa n-ary pia unaweza kuzingatiwa kama mlolongo ulioamriwa wa vitu vya n vilivyochukuliwa kutoka kwa moja ya seti za n.
Ili kuashiria uhusiano wa binary, ishara R inatumiwa. Kwa kuwa R ni sehemu ndogo ya seti A×B, tunaweza kuandika R⊆A×. Ikiwa unahitaji kuonyesha kwamba (a, b) ∈ R, yaani, kuna uhusiano R kati ya vipengele a ∈ A na b ∈ B, kisha andika aRb.
Njia za kubainisha uhusiano wa binary:
1. Hii ni matumizi ya sheria kulingana na ambayo vipengele vyote vilivyojumuishwa katika uhusiano fulani vinaonyeshwa. Badala ya sheria, unaweza kutoa orodha ya vipengele vya uhusiano fulani kwa kuorodhesha moja kwa moja;
2. Tabular, kwa namna ya grafu na kutumia sehemu. Msingi wa njia ya tabular ni mfumo wa kuratibu wa mstatili, ambapo vipengele vya seti moja vinapangwa pamoja na mhimili mmoja, na vipengele vya kuweka mwingine kando ya pili. Makutano ya viwianishi huunda pointi zinazoonyesha vipengele vya bidhaa ya Cartesian.
(Mchoro 1.16) inaonyesha gridi ya kuratibu kwa seti. Pointi za makutano ya mistari mitatu ya wima na mistari sita ya usawa inafanana na vipengele vya kuweka A × B. Miduara kwenye gridi ya taifa inaashiria vipengele vya aRb ya uhusiano, ambapo ∈ A na b ∈ B, R inaashiria uhusiano wa "mgawanyiko".
Mahusiano ya binary yanatajwa na mifumo ya kuratibu ya pande mbili. Ni dhahiri kwamba vipengele vyote vya bidhaa za Cartesian za seti tatu vinaweza vile vile kuwakilishwa katika mfumo wa kuratibu wa pande tatu, seti nne katika mfumo wa nne-dimensional, nk;
3. Njia ya kutaja mahusiano kwa kutumia sehemu hutumiwa mara kwa mara, kwa hiyo hatutazingatia.
19. Reflexivity ya uhusiano wa binary. Mfano.
Katika hisabati, uhusiano wa binary kwenye seti huitwa reflexive ikiwa kila kipengele cha seti hii kina uhusiano nacho chenyewe.
Sifa ya kubadilika kwa uhusiano uliopewa na matrix inaonyeshwa na ukweli kwamba vitu vyote vya diagonal vya matrix ni sawa na 1; kwa kuzingatia uhusiano na grafu, kila kipengele kina kitanzi - arc (x, x).
Ikiwa hali hii hairidhiki kwa kipengele chochote cha kuweka, basi uhusiano huo huitwa anti-reflexive.
Ikiwa uhusiano wa kupambana na reflexive hutolewa na tumbo, basi vipengele vyote vya diagonal ni sifuri. Wakati uhusiano huo umeelezwa na grafu, kila vertex haina kitanzi - hakuna arcs ya fomu (x, x).
Hapo awali, kupinga-reflexivity ya mtazamo hufafanuliwa kama: .
Ikiwa hali ya reflexivity haijaridhishwa kwa vipengele vyote vya seti, uhusiano unasemekana kuwa usio wa reflexive.
©2015-2019 tovuti
Haki zote ni za waandishi wao. Tovuti hii haidai uandishi, lakini hutoa matumizi bila malipo.
Tarehe ya kuundwa kwa ukurasa: 2016-04-12
1.1 . Je, ni sentensi gani kati ya zifuatazo ni mapendekezo?
a) Moscow ni mji mkuu wa Urusi.
b) Mwanafunzi wa Kitivo cha Fizikia na Hisabati cha Taasisi ya Ualimu.
c) Pembetatu ABC inafanana na pembetatu A"B"C.
d) Mwezi ni satelaiti ya Mihiri.
f) Oksijeni ni gesi.
g) Uji ni sahani ladha.
h) Hisabati ni somo la kuvutia.
i) Picha za Picasso ni dhahania sana.
j) Chuma ni nzito kuliko risasi.
k) Maisha marefu makumbusho!
m) Pembetatu inaitwa equilateral ikiwa pande zake ni sawa.
m) Ikiwa pembe zote katika pembetatu ni sawa, basi ni sawa.
o) Hali ya hewa ni mbaya leo.
p) Katika riwaya ya A. S. Pushkin "Eugene Onegin" kuna herufi 136,245.
p) Mto wa Angara unatiririka katika Ziwa Baikal.
Suluhisho. b) Sentensi hii si tamko kwa sababu haisemi lolote kuhusu mwanafunzi.
c) Sentensi si tamko: hatuwezi kubainisha ikiwa ni kweli au si kweli kwa sababu hatujui ni pembetatu gani tunazozizungumzia.
g) Sentensi sio tamko, kwani dhana ya "sahani kitamu" haieleweki sana.
n) Sentensi ni kauli, lakini ili kujua thamani yake ya ukweli unahitaji kutumia muda mwingi.
1.2. Onyesha ni taarifa zipi katika tatizo lililotangulia ambazo ni za kweli na zipi ni za uwongo.
1.3. Tengeneza kanusho za kauli zifuatazo; zinaonyesha maadili ya ukweli wa taarifa hizi na kanusho zao:
a) Volga inapita kwenye Bahari ya Caspian.
b) Nambari 28 haiwezi kugawanywa na nambari 7.
e) Nambari kuu zote ni zisizo za kawaida.
1.4. Amua ni kauli gani katika jozi zifuatazo ambazo ni kukanusha za kila mmoja na ambazo sio (eleza kwa nini):
a) 2< 0, 2 > 0. -
b) 6< 9, 6 9.
c) "Pembetatu ABC ni sawa," "Pembetatu ABC ni butu."
d) "Nambari ya asili n hata", "Nambari ya asili n isiyo ya kawaida."
d) "Kazi f isiyo ya kawaida", "Kazi f hata."
f) "Nambari kuu zote ni zisizo za kawaida", "Nambari kuu zote ni sawa."
g) "Nambari kuu zote ni zisizo za kawaida", "Kuna nambari kuu ya usawa."
h) “Mwanadamu anajua aina zote za wanyama wanaoishi Duniani,” “Kuna aina ya mnyama Duniani ambaye mwanadamu hajui.”
i) "Kuna nambari zisizo na mantiki", "Nambari zote ni za busara".
Suluhisho. a) Taarifa "2 > 0" sio kukanusha kauli "2< 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2 0».
1.5. Andika kauli zifuatazo bila ishara hasi:
A) 
; V) 
;
b) 
; G) 
.
1.6.
a) Leningrad iko kwenye Neva na 2 + 3 = 5.
b) 7 ni nambari kuu na 9 ni nambari kuu.
c) 7 ni nambari kuu au 9 ni nambari kuu.
d) Je, nambari 2 ni sawa au ni nambari kuu?
e) 2 3, 2 3, 2 2 4, 2 2 4.
e) 2 2 = 4 au dubu wa polar wanaishi Afrika.
g) 2 2 = 4, na 2 2 5, na 2 2 4.
Suluhisho. a) Kwa kuwa taarifa zote mbili rahisi ambazo operesheni ya kuunganisha inatumika ni kweli, kwa hiyo, kulingana na ufafanuzi wa operesheni hii, ushirikiano wao ni taarifa ya kweli.
1.7. Amua maadili ya ukweli ya taarifa A, B, C, D na E ikiwa:
- taarifa za kweli, na
- uongo.
Suluhisho. c) Mgawanyiko wa taarifa ni taarifa ya kweli tu katika kesi wakati angalau moja ya taarifa za eneo (wanachama wa mgawanyiko) zilizojumuishwa kwenye mgawanyiko ni kweli. Kwa upande wetu, sehemu ya pili ya taarifa "2 2 = 5" ni ya uwongo, na mgawanyiko wa taarifa hizo mbili ni kweli. Kwa hiyo, sehemu ya kwanza ya taarifa NA kweli.
1.8. Tengeneza na uandike kwa namna ya kiunganishi au kiunganishi hali ya ukweli ya kila sentensi ( A Na b- nambari halisi):
A) 
G) 
na) 
b) 
d) 
h) 
V) 
e) 
Na) 
Suluhisho. d) Sehemu ni sawa na sifuri tu katika kesi wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri, i.e. ( A = 0) & (b 0).
1.9. Amua maadili ya ukweli ya taarifa zifuatazo:
a) Ikiwa 12 inaweza kugawanywa na 6, basi 12 inaweza kugawanywa na 3.
b) Ikiwa 11 inaweza kugawanywa na 6, basi 11 inaweza kugawanywa na 3.
c) Ikiwa 15 inaweza kugawanywa na 6, basi 15 inaweza kugawanywa na 3.
d) Ikiwa 15 inaweza kugawanywa na 3, basi 15 inaweza kugawanywa na 6.
e) Ikiwa Saratov iko kwenye Neva, basi dubu za polar huishi Afrika.
f) 12 inaweza kugawanywa na 6 ikiwa na tu ikiwa 12 inaweza kugawanywa na 3.
g) 11 inaweza kugawanywa na 6 ikiwa na tu ikiwa 11 inaweza kugawanywa na 3.
h) 15 inaweza kugawanywa na 6 ikiwa na tu ikiwa 15 inaweza kugawanywa na 3.
i) 15 inaweza kugawanywa na 5 ikiwa na tu ikiwa 15 inaweza kugawanywa na 4.
j) Mwili wa wingi m ina uwezo wa nishati mg ikiwa na tu ikiwa iko kwenye urefu wake h juu ya uso wa dunia.
Suluhisho. a) Kwa kuwa kauli ya msingi "12 imegawanywa na 6" ni kweli na kauli inayofuatia "12 imegawanywa na 3" ni kweli, basi taarifa ya mchanganyiko kulingana na ufafanuzi wa maana pia ni kweli.
g) Kutokana na fasili ya ulinganifu tunaona kwamba kauli ya umbo 
kweli ikiwa maana za kimantiki za kauli hizo R Na Q mechi, na uongo vinginevyo. Katika mfano huu, taarifa zote mbili ambazo kiunganishi "basi na kisha tu" kinatumika ni za uwongo. Kwa hivyo taarifa ya kiwanja nzima ni kweli.
1.10. Acha A ionyeshe kauli “9 inaweza kugawanywa na 3,” na acha B ionyeshe kauli “8 inagawanywa kwa 3.” Amua maadili ya ukweli ya taarifa zifuatazo:
A) 
G) 
na) 
Kwa) 
b) 
d) 
h) 
k) 
V) 
e) 
Na) 
m) 
Suluhisho. f) Tunayo 
,
. Ndiyo maana
1.11.
a) Ikiwa 4 ni nambari sawa, basi A.
b) Ikiwa B, basi 4 ni nambari isiyo ya kawaida.
c) Ikiwa 4 ni nambari sawa, basi C.
d) Ikiwa D, basi 4 ni nambari isiyo ya kawaida.
Suluhisho. a) Maana ya kauli mbili ni taarifa ya uwongo katika hali ya pekee wakati dhana ni ya kweli na hitimisho ni la uwongo. Katika kesi hii, dhana "4 ni nambari sawa" ni kweli na kwa hali taarifa nzima pia ni kweli. Kwa hivyo, hitimisho A haiwezi kuwa ya uwongo, i.e. taarifa A ni kweli.
1.12. Amua maadili ya ukweli ya taarifa A, B, C na D katika sentensi zifuatazo, ambazo mbili za kwanza ni kweli na mbili za mwisho ni za uwongo:
A) 
; b) 
;
V) 
; G) 
.
1.13. Acha A ionyeshe kauli “Pembetatu hii ni isosceles,” na acha B ionyeshe kauli “Pembetatu hii ni ya usawa.” Soma taarifa zifuatazo:
A) 
G) 
b) 
d) 
V) 
e) 
Suluhisho. f) Ikiwa pembetatu ni isosceles na isiyo ya usawa, basi si kweli kwamba sio isosceles.
1.14. Gawanya kauli shirikishi zifuatazo katika rahisi na ziandike kwa njia ya mfano, ukitambulisha majina ya herufi kwa viambajengo vyake rahisi:
a) Ikiwa 18 inaweza kugawanywa na 2 na haiwezi kugawanywa na 3, basi haiwezi kugawanywa na 6.
b) Bidhaa ya nambari tatu ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa moja yao ni sawa na sifuri.
c) Ikiwa derivative ya kazi katika hatua ni sawa na sifuri na derivative ya pili ya kazi hii katika hatua sawa ni hasi, basi hatua hii ni hatua ya juu ya kazi hii.
d) Ikiwa katika pembetatu wastani sio urefu na bisector, basi pembetatu hii sio isosceles na si equilateral.
Suluhisho. d) Wacha tuchague na tuteue sehemu rahisi zaidi za taarifa kama ifuatavyo:
A: "Katika pembetatu, wastani ni urefu";
Swali: "Katika pembetatu, wastani ni sehemu mbili";
C: "Pembetatu hii ni isosceles";
D: "Pembetatu hii ni ya usawa."
Kisha taarifa hii imeandikwa kwa ishara kama ifuatavyo:
1.15. Kutoka kwa kauli mbili zilizotolewa A na B, tengeneza taarifa ya mchanganyiko kwa kutumia shughuli za ukanushaji, unganishi na utengano, ambazo zitakuwa:
a) kweli ikiwa na tu ikiwa taarifa zote mbili zilizotolewa ni za uwongo;
b) si kweli ikiwa na iwapo tu taarifa zote mbili zilizotolewa ni za kweli.
1.16. Kutokana na kauli tatu zilizotolewa A, B, C, tengeneza taarifa ambatani ambayo ni kweli wakati taarifa yoyote kati ya hizo ni kweli, na katika kesi hii pekee.
1.17.
Acha kauli 
kweli. Nini kinaweza kusemwa kuhusu maana ya kimantiki ya taarifa hiyo?
1.18.
Ikiwa kauli 
kweli (ya uwongo), inaweza kusemwa nini juu ya maana ya kimantiki ya taarifa:
A) 
; b) 
; V) 
; G) 
?
1.19.
Ikiwa kauli 
ni kweli na kauli hiyo 
uongo, nini kinaweza kusemwa kuhusu maana ya kimantiki ya taarifa hiyo 
?
1.20.
Je, kuna kauli tatu kama hizo A, B, C ambazo kwa wakati mmoja kauli hiyo 
ilikuwa kauli ya kweli 
- uongo na taarifa 
- uongo?
1.21. Kwa kila kauli iliyo hapa chini, bainisha ikiwa maelezo yaliyotolewa yanatosha kuthibitisha maana yake ya kimantiki. Ikiwa inatosha, basi onyesha thamani hii. Ikiwa hii haitoshi, basi onyesha kwamba maadili yote mawili ya ukweli yanawezekana:
Suluhisho. a) Kwa kuwa hitimisho la maana ni kweli, basi maana nzima itakuwa kauli ya kweli, bila kujali maana ya kimantiki ya dhana hiyo.