Nambari ya kudumu A kuitwa kikomo mifuatano(x n ), ikiwa kwa nambari yoyote ndogo chanya kiholelaε > 0 kuna nambari N ambayo ina maadili yote x n, ambayo n>N, inakidhi ukosefu wa usawa

|x n - a|< ε. (6.1)

Iandike kama ifuatavyo: au x n → a.

Kukosekana kwa usawa (6.1) ni sawa na usawa maradufu

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ambayo ina maana kwamba pointi x n, kuanzia nambari fulani n>N, lala ndani ya muda (a-ε, a+ ε ), yaani. kuanguka katika ndogo yoyoteε -ujirani wa uhakika A.

Mlolongo wenye kikomo unaitwa kuungana, vinginevyo - tofauti.

Wazo la kikomo cha chaguo la kukokotoa ni ujumuishaji wa dhana ya kikomo cha mfuatano, kwani kikomo cha mfuatano kinaweza kuzingatiwa kama kikomo cha chaguo za kukokotoa x n = f(n) cha hoja kamili. n.

Acha kazi f(x) itolewe na iruhusu a - hatua ya kikomo kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa la D(f), i.e. hatua kama hiyo, kitongoji chochote ambacho kina alama za seti ya D(f) isipokuwa a. Nukta a inaweza au isiwe ya seti ya D(f).

Ufafanuzi 1.Nambari ya mara kwa mara A inaitwa kikomo kazi f(x) katika x→a, ikiwa kwa mlolongo wowote (x n ) wa thamani za hoja zinazosimamia A, mfuatano unaolingana (f(x n)) una kikomo sawa A.

Ufafanuzi huu unaitwa kwa kufafanua kikomo cha kazi kulingana na Heine, au" katika lugha ya mfuatano”.

Ufafanuzi 2. Nambari ya mara kwa mara A inaitwa kikomo kazi f(x) katika x→a, ikiwa, kwa kubainisha ndogo kiholela kiholela nambari chanya ε , mtu anaweza kupata vile δ>0 (kulingana na ε), ambayo ni ya kila mtu x, amelala ndaniε-vitongoji vya nambari A, i.e. Kwa x, kutosheleza ukosefu wa usawa
0 < x-a< ε , thamani za chaguo za kukokotoa f(x) zitawekwa ndaniε-kitongoji cha nambari A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Ufafanuzi huu unaitwa kwa kufafanua kikomo cha kazi kulingana na Cauchy, au "katika lugha ε - δ “.

Ufafanuzi wa 1 na 2 ni sawa. Ikiwa chaguo za kukokotoa f(x) kama x →a ina kikomo, sawa na A, hii imeandikwa kwa fomu

. (6.3)

Katika tukio ambalo mlolongo (f(x n)) unaongezeka (au kupungua) bila kikomo kwa njia yoyote ya kukadiria. x kwa kikomo chako A, basi tutasema kwamba kazi f(x) ina kikomo kisicho na mwisho, na uandike kwa fomu:

Tofauti (yaani mfuatano au chaguo la kukokotoa) ambalo kikomo chake ni sifuri huitwa ndogo isiyo na kikomo.

Tofauti ambayo kikomo chake ni sawa na infinity inaitwa kubwa isiyo na kikomo.

Ili kupata kikomo katika mazoezi, nadharia zifuatazo hutumiwa.

Nadharia 1 . Ikiwa kila kikomo kipo

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Maoni. Maneno kama 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - hazina uhakika, kwa mfano, uwiano wa idadi mbili ndogo au kubwa sana, na kupata kikomo cha aina hii inaitwa "kufichua kutokuwa na uhakika."

Nadharia 2. (6.7)

hizo. mtu anaweza kwenda kwa kikomo kulingana na nguvu na kiboreshaji cha mara kwa mara, haswa, ;

(6.8)

(6.9)

Nadharia 3.

(6.10)

(6.11)

Wapi e » 2.7 - msingi wa logarithm ya asili. Fomula (6.10) na (6.11) inaitwa ya kwanza kikomo cha ajabu na kikomo cha pili cha kushangaza.

Matokeo ya formula (6.11) pia hutumiwa katika mazoezi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

hasa kikomo,

Ikiwa x → a na kwa wakati mmoja x > a, kisha andika x→a + 0. Ikiwa, hasa, a = 0, basi badala ya ishara 0+0 andika +0. Vile vile ikiwa x→a na wakati huo huo x a-0. Nambari na wanaitwa ipasavyo kikomo cha kulia Na kikomo cha kushoto kazi f(x) kwa uhakika A. Ili kuwe na kikomo cha chaguo la kukokotoa f(x) kama x→a ni muhimu na inatosha ili . Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea kwa uhakika x 0 ikiwa kikomo

. (6.15)

Masharti (6.15) yanaweza kuandikwa upya kama:

,

yaani, kupita kwa kikomo chini ya ishara ya kazi inawezekana ikiwa ni kuendelea katika hatua fulani.

Ikiwa usawa (6.15) umekiukwa, basi tunasema hivyo katika x = x o kazi f(x) Ina pengo Zingatia chaguo za kukokotoa y = 1/x. Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni seti R, isipokuwa kwa x = 0. Hatua x = 0 ni hatua ya kikomo ya kuweka D (f), kwa kuwa katika jirani yoyote yake, i.e. katika muda wowote wazi ulio na nukta 0, kuna alama kutoka kwa D(f), lakini yenyewe sio ya seti hii. Thamani f(x o)= f(0) haijafafanuliwa, kwa hivyo katika hatua x o = 0 kazi ina kutoendelea.

Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea kulia kwa uhakika x o ikiwa kikomo

,

Na kuendelea upande wa kushoto kwa uhakika x o, ikiwa kikomo

.

Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa katika hatua moja x o ni sawa na mwendelezo wake katika hatua hii kwa kulia na kushoto.

Ili kazi iendelee kwa uhakika x o, kwa mfano, upande wa kulia, ni muhimu, kwanza, kuwa na kikomo cha mwisho, na pili, kwamba kikomo hiki kiwe sawa na f (x o). Kwa hiyo, ikiwa angalau moja ya masharti haya mawili haipatikani, basi kazi itakuwa na kutoendelea.

1. Ikiwa kikomo kipo na si sawa na f(x o), basi wanasema hivyo kazi f(x) kwa uhakika x o ina kupasuka kwa aina ya kwanza, au ruka.

2. Ikiwa kikomo ni+∞ au -∞ au haipo, basi wanasema hivyo ndani hatua x o kipengele cha kukokotoa kina kutoendelea aina ya pili.

Kwa mfano, chaguo y = kitanda x kwa x→ +0 ina kikomo sawa na +∞, ambayo inamaanisha kuwa katika hatua x=0 ina kutoendelea kwa aina ya pili. Kazi y = E(x) (sehemu kamili ya x) kwa pointi na abscissas nzima ina discontinuities ya aina ya kwanza, au anaruka.

Chaguo la kukokotoa ambalo ni endelevu katika kila hatua katika muda huitwa kuendelea V . Kazi inayoendelea inawakilishwa na mkunjo thabiti.

Matatizo mengi yanayohusiana na ukuaji unaoendelea wa kiasi fulani husababisha kikomo cha pili cha ajabu. Kazi kama hizo, kwa mfano, ni pamoja na: ukuaji wa amana kulingana na sheria ya riba ya kiwanja, ukuaji wa idadi ya watu wa nchi, kuoza kwa vitu vyenye mionzi, kuenea kwa bakteria, nk.

Hebu tuzingatie mfano wa Ya. I. Perelman, kutoa tafsiri ya nambari e katika tatizo la riba kiwanja. Nambari e kuna kikomo . Katika benki za akiba, pesa za riba huongezwa kwa mtaji uliowekwa kila mwaka. Ikiwa utaftaji unafanywa mara nyingi zaidi, basi mtaji unakua haraka, kwani kiasi kikubwa kinahusika katika malezi ya riba. Wacha tuchukue mfano wa kinadharia, uliorahisishwa sana. Wacha wakanushaji 100 wawekwe benki. vitengo kulingana na 100% kwa mwaka. Ikiwa pesa za riba zinaongezwa kwa mtaji uliowekwa tu baada ya mwaka, basi kwa kipindi hiki 100 den. vitengo itabadilika kuwa vitengo 200 vya fedha. Sasa wacha tuone ni nini 100 denize itageuka. vitengo, ikiwa pesa za riba zinaongezwa kwa mtaji uliowekwa kila baada ya miezi sita. Baada ya miezi sita, pango 100. vitengo itakua hadi 100× 1.5 = 150, na baada ya miezi sita - 150× 1.5 = 225 (den. vitengo). Ikiwa utaftaji unafanywa kila 1/3 ya mwaka, basi baada ya mwaka pango 100. vitengo itageuka kuwa 100× (1 +1/3) 3 " 237 (tundu. vitengo). Tutaongeza masharti ya kuongeza pesa za riba hadi mwaka 0.1, hadi mwaka 0.01, hadi mwaka 0.001, n.k. Kisha kutoka kwa shimo 100. vitengo baada ya mwaka itakuwa:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (vizio vya shimo),

100 × (1+1/100) 100 »270 (vizio vya shimo),

100 × (1+1/1000) 1000 »271 (tundu. vitengo).

Kwa kupunguzwa kwa ukomo kwa masharti ya kuongeza riba, mtaji uliokusanywa haukua kwa muda usiojulikana, lakini unakaribia kikomo fulani sawa na takriban 271. Mtaji uliowekwa kwa 100% kwa mwaka hauwezi kuongezeka kwa zaidi ya mara 2.71, hata ikiwa riba iliyopatikana. ziliongezwa kwa mji mkuu kila sekunde kwa sababu kikomo

Mfano 3.1.Kwa kutumia ufafanuzi wa kikomo cha mfuatano wa nambari, thibitisha kwamba mfuatano x n =(n-1)/n una kikomo sawa na 1.

Suluhisho.Tunahitaji kuthibitisha hilo, haijalishi ni niniε > 0, haijalishi tunachukua nini, kwa kuwa kuna nambari ya asili N ambayo kwa wote n N ukosefu wa usawa unashikilia.|x n -1|< ε.

Hebu tuchukue yoyote e > 0. Tangu; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, basi kupata N inatosha kutatua ukosefu wa usawa 1/n.< e. Kwa hivyo n>1/ e na, kwa hivyo, N inaweza kuchukuliwa kama sehemu kamili ya 1/ e , N = E(1/ e ) Kwa hivyo tumethibitisha kuwa kikomo.

Mfano 3.2 . Tafuta kikomo cha mfuatano uliotolewa na neno la kawaida .

Suluhisho.Wacha tutumie kikomo cha nadharia ya jumla na tupate kikomo cha kila muhula. Wakati n→ ∞ nambari na kipunguzo cha kila neno huwa na ukomo, na hatuwezi kutumia moja kwa moja nadharia ya kikomo cha mgawo. Kwa hivyo, kwanza tunabadilisha x n, kugawanya nambari na denominata ya muhula wa kwanza kwa n 2, na ya pili n. Halafu, kwa kutumia kikomo cha mgawo na kikomo cha nadharia ya jumla, tunapata:

.

Mfano 3.3. . Tafuta .

Suluhisho. .

Hapa tulitumia kikomo cha nadharia ya digrii: kikomo cha digrii ni sawa na kiwango cha kikomo cha msingi.

Mfano 3.4 . Tafuta ( ).

Suluhisho.Haiwezekani kutumia kikomo cha nadharia ya tofauti, kwa kuwa tuna kutokuwa na uhakika wa fomu ∞-∞ . Wacha tubadilishe fomula ya neno la jumla:

.

Mfano 3.5 . Chaguo za kukokotoa f(x)=2 1/x zimetolewa. Thibitisha kuwa hakuna kikomo.

Suluhisho.Wacha tutumie ufafanuzi 1 wa kikomo cha chaguo za kukokotoa kupitia mlolongo. Hebu tuchukue mlolongo ( x n ) kugeuza hadi 0, i.e. Hebu tuonyeshe kwamba thamani f(x n)= inatenda tofauti kwa mlolongo tofauti. Acha x n = 1/n. Ni wazi, basi kikomo Wacha tuchague kama x n mlolongo wenye neno la kawaida x n = -1/n, pia unaelekea sifuri. Kwa hiyo hakuna kikomo.

Mfano 3.6 . Thibitisha kuwa hakuna kikomo.

Suluhisho.Hebu x 1 , x 2 ,..., x n ,... iwe mlolongo kwa ajili yake
. Je, mlolongo (f(x n)) = (dhambi x n) hufanyaje kwa tofauti x n → ∞

Ikiwa x n = p n, basi dhambi x n = dhambi uk n = 0 kwa wote n na kikomo Ikiwa
x n =2 p n+ p /2, kisha dhambi x n = dhambi(2 p n+ p /2) = dhambi uk /2 = 1 kwa wote n na kwa hivyo kikomo. Kwa hivyo haipo.

Wijeti ya kuhesabu vikomo mtandaoni

Katika dirisha la juu, badala ya sin(x)/x, ingiza kitendakazi ambacho kikomo unachotaka kupata. Katika dirisha la chini, ingiza nambari ambayo x huelekea na ubofye kitufe cha Calcular, pata kikomo kinachohitajika. Na ikiwa kwenye dirisha la matokeo bonyeza Onyesha hatua kwenye kona ya juu ya kulia, utapata suluhisho la kina.

Sheria za kuingiza vipengele: sqrt(x) - mzizi wa mraba, cbrt(x) - mchemraba mzizi, exp(x) - kielezi, ln(x) - logarithm asili, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Ishara: * kuzidisha, / mgawanyiko, ^ ufafanuzi, badala yake usio na mwisho Infinity. Mfano: chaguo la kukokotoa limeingizwa kama sqrt(tan(x/2)).

Mada 4.6 Uhesabuji wa mipaka

Kikomo cha chaguo za kukokotoa hakitegemei ikiwa kimefafanuliwa katika kiwango cha kikomo au la. Lakini katika mazoezi ya kuhesabu mipaka ya kazi za msingi, hali hii ni ya umuhimu mkubwa.

1. Ikiwa kipengele cha kukokotoa ni cha msingi na ikiwa thamani ya kikomo ya hoja ni ya kikoa chake cha ufafanuzi, basi kukokotoa kikomo cha chaguo za kukokotoa kunapunguzwa kwa uingizwaji rahisi wa thamani ya kikomo ya hoja, kwa sababu. kikomo cha chaguo za kukokotoa msingi f (x) saa x kujitahidiA , ambayo imejumuishwa katika uwanja wa ufafanuzi, ni sawa na thamani ya sehemu ya kazi katika x = A, i.e. lim f(x)=f( a) .

2. Ikiwa x inaelekea kutokuwa na mwisho au hoja inaelekea kwa nambari ambayo sio ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, basi katika kila kesi kama hiyo, kupata kikomo cha kazi kunahitaji utafiti maalum.

Ifuatayo ni mipaka rahisi zaidi kulingana na mali ya mipaka ambayo inaweza kutumika kama fomula:

Kesi ngumu zaidi za kupata kikomo cha chaguo za kukokotoa:

kila moja inazingatiwa tofauti.

Sehemu hii itaonyesha njia kuu za kufichua kutokuwa na uhakika.

1. Kesi wakati x kujitahidiA chaguo za kukokotoa f(x) inawakilisha uwiano wa viwango viwili visivyo na kikomo

a) Kwanza unahitaji kuhakikisha kuwa kikomo cha chaguo la kukokotoa hakiwezi kupatikana kwa uingizwaji wa moja kwa moja na, pamoja na mabadiliko yaliyoonyeshwa katika hoja, inawakilisha uwiano wa idadi mbili isiyo na kipimo. Mabadiliko hufanywa ili kupunguza sehemu kwa kipengele kinachoelekea 0. Kulingana na ufafanuzi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa, hoja x huelekea thamani yake ya kikomo, kamwe hailingani nayo.

Kwa ujumla, ikiwa tunatafuta kikomo cha chaguo la kukokotoa katika x kujitahidiA , basi lazima ukumbuke kuwa x haichukui thamani A, i.e. x si sawa na a.

b) Nadharia ya Bezout inatumika. Ikiwa unatafuta kikomo cha sehemu ambayo nambari na dhehebu ni polinomia ambazo hutoweka kwa kiwango cha kikomo x = A, basi kulingana na nadharia iliyo hapo juu polima zote mbili zinagawanywa kwa x- A.

c) Ukosefu wa busara katika nambari au dhehebu huharibiwa kwa kuzidisha nambari au dhehebu kwa munganisho kwa usemi usio na maana, kisha baada ya kurahisisha sehemu hupunguzwa.

d) Kikomo cha 1 cha ajabu (4.1) kinatumika.

e) Nadharia ya usawa wa vitu visivyo na mwisho na kanuni zifuatazo hutumiwa:

2. Kesi wakati x kujitahidiA chaguo za kukokotoa f(x) inawakilisha uwiano wa idadi kubwa mbili isiyo na kikomo

a) Kugawanya nambari na denominator ya sehemu kwa nguvu ya juu zaidi ya isiyojulikana.

b) Kwa ujumla, unaweza kutumia sheria

3. Kesi wakati x kujitahidiA fomula f (x) inawakilisha bidhaa ya wingi usio na kikomo na kubwa isiyo na kikomo.

Sehemu inabadilishwa kuwa fomu ambayo nambari na denominator wakati huo huo huwa 0 au infinity, i.e. kesi 3 inapungua hadi kesi 1 au kesi 2.

4. Kesi wakati x kujitahidiA chaguo za kukokotoa f (x) inawakilisha tofauti ya idadi mbili chanya kubwa isiyo na kikomo

Kesi hii imepunguzwa hadi aina ya 1 au 2 kwa mojawapo ya njia zifuatazo:

a) kuleta sehemu kwa dhehebu la kawaida;

b) kubadilisha kazi kwa sehemu;

c) kuondokana na kutokuwa na akili.

5. Kesi wakati x kujitahidiA chaguo la kukokotoa f(x) inawakilisha nguvu ambayo msingi wake unaelekea 1 na kielelezo kwa infinity.

Chaguo la kukokotoa linabadilishwa kwa njia ya kutumia kikomo cha 2 cha ajabu (4.2).

Mfano. Tafuta .

Kwa sababu x inaelekea 3, basi nambari ya sehemu inaelekea nambari 3 2 +3 *3+4=22, na denominator huwa na nambari 3+8=11. Kwa hivyo,

Mfano

Hapa kuna nambari na denominator ya sehemu x inashughulikia 2 huwa na 0 (kutokuwa na uhakika wa aina), tunabadilisha nambari na denominator, tunapata lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Mfano

Kuzidisha nambari na denominator kwa usemi wa kuunganisha kwa nambari, tunayo

Kufungua mabano kwenye nambari, tunapata

Mfano

Kiwango cha 2. Mfano. Hebu tutoe mfano wa matumizi ya dhana ya kikomo cha kazi katika mahesabu ya kiuchumi. Wacha tuzingatie shughuli ya kawaida ya kifedha: kukopesha kiasi S 0 kwa sharti kwamba baada ya muda fulani T kiasi hicho kitarejeshwa S T. Wacha tuamue thamani r ukuaji wa jamaa fomula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Ukuaji wa jamaa unaweza kuonyeshwa kama asilimia kwa kuzidisha thamani inayotokana r kwa 100.

Kutoka kwa formula (1) ni rahisi kuamua thamani S T:

S T= S 0 (1 + r)

Wakati wa kuhesabu mikopo ya muda mrefu inayofunika miaka kadhaa kamili, mpango wa riba ya kiwanja hutumiwa. Inajumuisha ukweli kwamba ikiwa kwa mwaka wa 1 kiasi hicho S 0 huongezeka hadi (1 + r) mara, kisha kwa mwaka wa pili katika (1 + r) mara ambazo jumla huongezeka S 1 = S 0 (1 + r), hiyo ni S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Inageuka vile vile S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Kutoka kwa mifano hapo juu, tunaweza kupata fomula ya jumla ya kuhesabu ukuaji wa kiasi cha n miaka inapokokotolewa kwa kutumia mpango wa riba ya kiwanja:

S n= S 0 (1 + r) n.

Katika mahesabu ya kifedha, mipango hutumiwa ambapo riba ya kiwanja huhesabiwa mara kadhaa kwa mwaka. Katika kesi hii, imeainishwa kiwango cha mwaka r Na idadi ya malimbikizo kwa mwaka k. Kama sheria, accruals hufanywa kwa vipindi sawa, ambayo ni, urefu wa kila muda Tk ni sehemu ya mwaka. Kisha kwa kipindi ndani T miaka (hapa T sio lazima iwe nambari kamili) kiasi S T kuhesabiwa kwa formula

(2)

iko wapi sehemu kamili ya nambari, ambayo inaambatana na nambari yenyewe, ikiwa, kwa mfano, T? nambari kamili.

Wacha kiwango cha kila mwaka kiwe r na huzalishwa n malimbikizo kwa mwaka kwa vipindi vya kawaida. Kisha kwa mwaka kiasi S 0 inaongezwa hadi thamani iliyoamuliwa na fomula

(3)

Katika uchambuzi wa kinadharia na katika mazoezi ya shughuli za kifedha, dhana ya "riba inayoendelea" mara nyingi hukutana. Ili kuhamia kwenye riba inayoendelea, unahitaji kuongeza kwa muda usiojulikana katika fomula (2) na (3), mtawalia, nambari. k Na n(yaani, kuelekeza k Na n kwa infinity) na kuhesabu ni kikomo gani kazi zitaelekea S T Na S 1 . Wacha tutumie utaratibu huu kwa fomula (3):

Kumbuka kwamba kikomo katika mabano ya curly sanjari na kikomo cha pili cha kushangaza. Inafuata kwamba kwa kiwango cha kila mwaka r pamoja na riba inayoendelea kuongezwa, kiasi hicho S 0 katika mwaka 1 huongezeka hadi thamani S 1 *, ambayo imedhamiriwa kutoka kwa fomula

S 1 * = S 0 e r (4)

Hebu sasa jumla S 0 hutolewa kama mkopo na riba inayopatikana n mara moja kwa mwaka kwa vipindi vya kawaida. Hebu kuashiria r e kiwango cha mwaka ambacho mwisho wa mwaka kiasi hicho S 0 inaongezwa hadi thamani S 1 * kutoka kwa fomula (4). Katika kesi hii tutasema hivyo r e-Hii kiwango cha riba cha mwaka n mara moja kwa mwaka, sawa na riba ya mwaka r na ulimbikizaji unaoendelea. Kutoka kwa formula (3) tunapata

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Kusawazisha pande za mkono wa kulia za fomula na fomula ya mwisho (4), ikizingatiwa katika mwisho T= 1, tunaweza kupata uhusiano kati ya idadi r Na r e:

Njia hizi hutumiwa sana katika mahesabu ya kifedha.

Nadharia ya mipaka- moja ya sehemu za uchanganuzi wa hisabati ambazo wengine wanaweza kutawala, wakati wengine wana ugumu wa kuhesabu mipaka. Swali la kupata mipaka ni la jumla kabisa, kwani kuna mbinu kadhaa mipaka ya suluhisho aina mbalimbali. Mipaka sawa inaweza kupatikana kwa kutumia sheria ya L'Hopital na bila hiyo. Inatokea kwamba kupanga safu ya kazi zisizo na kikomo hukuruhusu kupata haraka matokeo unayotaka. Kuna seti ya mbinu na mbinu zinazokuwezesha kupata kikomo cha kazi ya utata wowote. Katika makala hii tutajaribu kuelewa aina kuu za mipaka ambayo mara nyingi hukutana katika mazoezi. Hatutatoa nadharia na ufafanuzi wa kikomo hapa; kuna rasilimali nyingi kwenye Mtandao ambapo hii inajadiliwa. Kwa hiyo, hebu tupate chini ya mahesabu ya vitendo, hii ndio ambapo "Sijui! Siwezi! Hatukufundishwa!"

Kuhesabu mipaka kwa kutumia njia mbadala

Mfano 1. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Suluhisho: Mifano ya aina hii inaweza kuhesabiwa kinadharia kwa kutumia mbadala wa kawaida

Kikomo ni 18/11.
Hakuna kitu ngumu au busara juu ya mipaka kama hiyo - tulibadilisha thamani, tukaihesabu, na tukaandika kikomo kama jibu. Walakini, kwa kuzingatia mipaka kama hii, kila mtu anafundishwa kwamba kwanza kabisa anahitaji kubadilisha thamani kwenye chaguo la kukokotoa. Zaidi ya hayo, mipaka inakuwa ngumu zaidi, ikianzisha dhana ya kutokuwa na mwisho, kutokuwa na uhakika, na kadhalika.

Kikomo chenye kutokuwa na uhakika kama ukomo uliogawanywa na usio na mwisho. Mbinu za Ufichuzi wa Kutokuwa na uhakika

Mfano 2. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Suluhisho: Kikomo cha fomu ya polinomia iliyogawanywa na polynomial imetolewa, na kutofautisha kunaelekea kutokuwa na mwisho.

Kubadilisha tu thamani ambayo kutofautisha kunapaswa kupatikana ili kupata mipaka hakutasaidia, tunapata kutokuwa na uhakika wa infinity ya fomu iliyogawanywa na infinity.
Kulingana na nadharia ya mipaka, algorithm ya kuhesabu kikomo ni kupata nguvu kubwa zaidi ya "x" katika nambari au denominator. Ifuatayo, nambari na denominator hurahisishwa kwake na kikomo cha kazi hupatikana

Kwa kuwa thamani huelekea sifuri wakati kigezo kinapokaribia ukomo, hupuuzwa, au kuandikwa katika usemi wa mwisho katika mfumo wa sufuri.

Mara moja kutoka kwa mazoezi, unaweza kupata hitimisho mbili ambazo ni kidokezo katika mahesabu. Ikiwa kigezo kinaelekea kutokuwa na ukomo na kiwango cha nambari ni kikubwa kuliko kiwango cha kiashiria, basi kikomo ni sawa na kutokuwa na mwisho. Vinginevyo, ikiwa polynomial katika denominator ni ya utaratibu wa juu kuliko katika nambari, kikomo ni sifuri.
Kikomo kinaweza kuandikwa kwa fomula kama hii:

Ikiwa tunayo kazi ya fomu shamba la kawaida bila sehemu, basi kikomo chake ni sawa na infinity

Aina inayofuata ya vikomo inahusu tabia ya utendakazi karibu na sifuri.

Mfano 3. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Suluhisho: Hakuna haja ya kuondoa sababu inayoongoza ya polynomial hapa. Kinyume chake kabisa, unahitaji kupata nguvu ndogo zaidi ya nambari na dhehebu na kuhesabu kikomo.

Thamani x^2; x huwa na sifuri wakati kigezo kinaelekea kuwa sifuri. Kwa hivyo, zimepuuzwa, kwa hivyo tunapata

kwamba kikomo ni 2.5.

Sasa unajua jinsi ya kupata kikomo cha chaguo za kukokotoa ya fomu, gawanya polynomial na polynomial ikiwa kutofautiana huwa na infinity au 0. Lakini hii ni sehemu ndogo tu na rahisi ya mifano. Kutoka kwa nyenzo zifuatazo utajifunza jinsi ya kufichua kutokuwa na uhakika katika mipaka ya chaguo la kukokotoa.

Kikomo na kutokuwa na uhakika wa aina 0/0 na mbinu za hesabu yake

Kila mtu anakumbuka mara moja sheria ambayo huwezi kugawanya kwa sifuri. Hata hivyo, nadharia ya mipaka katika muktadha huu inadokeza kazi zisizo na kikomo.
Hebu tuangalie mifano michache kwa uwazi.

Mfano 4. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Suluhisho: Tunapobadilisha thamani ya kutofautiana x = -1 kwenye denominator, tunapata sifuri, na tunapata kitu sawa katika nambari. Hivyo tuna kutokuwa na uhakika wa fomu 0/0.
Kukabiliana na kutokuwa na uhakika kama huo ni rahisi: unahitaji kutengeneza polynomial, au tuseme, chagua sababu inayogeuza kazi kuwa sifuri.

Baada ya upanuzi, kikomo cha kazi kinaweza kuandikwa kama

Hiyo ndiyo njia nzima ya kuhesabu kikomo cha chaguo za kukokotoa. Tunafanya vivyo hivyo ikiwa kuna kikomo cha fomu ya polynomial iliyogawanywa na polynomial.

Mfano 5. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Suluhisho: Maonyesho ya kubadilisha moja kwa moja
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
tuna nini aina 0/0 kutokuwa na uhakika.
Wacha tugawanye polynomials kwa sababu inayoleta umoja


Kuna walimu wanaofundisha kwamba polynomials za utaratibu wa 2, yaani, aina ya "quadratic equations", zinapaswa kutatuliwa kupitia kibaguzi. Lakini mazoezi halisi yanaonyesha kuwa hii ni ndefu na inachanganya zaidi, kwa hivyo ondoa huduma ndani ya mipaka kulingana na algorithm maalum. Kwa hivyo, tunaandika kazi kwa namna ya mambo rahisi na kuihesabu kwa kikomo

Kama unaweza kuona, hakuna chochote ngumu katika kuhesabu mipaka kama hiyo. Kufikia wakati unasoma mipaka, unajua jinsi ya kugawanya polynomials, angalau kulingana na mpango unapaswa kuwa tayari umeipitisha.
Miongoni mwa kazi kwenye aina 0/0 kutokuwa na uhakika Kuna baadhi ambayo unahitaji kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Lakini ikiwa hujui, basi kwa kugawanya polynomial na monomial unaweza kupata formula inayotaka.

Mfano 6. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Suluhisho: Tuna kutokuwa na uhakika wa aina 0/0. Katika nambari tunatumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha

na kuhesabu kikomo kinachohitajika

Njia ya kufichua kutokuwa na uhakika kwa kuzidisha kwa muunganisho wake

Njia hiyo inatumika kwa mipaka ambayo kutokuwa na uhakika huzalishwa na kazi zisizo na maana. Nambari au denominator hugeuka hadi sifuri kwenye sehemu ya kukokotoa na haijulikani jinsi ya kupata mpaka.

Mfano 7. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Suluhisho: Wacha tuwakilishe kutofautisha katika fomula ya kikomo

Wakati wa kubadilisha, tunapata kutokuwa na uhakika wa aina 0/0.
Kwa mujibu wa nadharia ya mipaka, njia ya kupita kipengele hiki ni kuzidisha usemi usio na maana kwa kuunganisha kwake. Ili kuhakikisha kuwa usemi haubadiliki, dhehebu lazima ligawanywe kwa thamani sawa

Kwa kutumia tofauti ya kanuni za mraba, tunarahisisha nambari na kuhesabu kikomo cha chaguo la kukokotoa

Tunarahisisha masharti ambayo huunda umoja katika kikomo na kubadilisha

Mfano 8. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Suluhisho: Ubadilishaji wa moja kwa moja unaonyesha kuwa kikomo kina umoja wa fomu 0/0.

Ili kupanua, tunazidisha na kugawanya kwa kuunganisha kwa nambari

Tunaandika tofauti ya mraba

Tunarahisisha masharti yanayotambulisha umoja na kupata kikomo cha chaguo za kukokotoa

Mfano 9. Tafuta kikomo cha chaguo za kukokotoa
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Suluhisho: Weka mbili kwenye fomula

Tunapata kutokuwa na uhakika 0/0.
Nambari lazima iongezwe kwa usemi wa mnyambuliko, na katika nambari mlinganyo wa quadratic lazima utatuliwe au ubainishwe, kwa kuzingatia umoja. Kwa kuwa inajulikana kuwa 2 ni mzizi, tunapata mzizi wa pili kwa kutumia nadharia ya Vieta

Kwa hivyo, tunaandika nambari katika fomu

na uibadilishe katika kikomo

Kwa kupunguza tofauti za mraba, tunaondoa umoja katika nambari na dhehebu.

Kwa njia hii, unaweza kuondokana na umoja katika mifano mingi, na maombi inapaswa kuzingatiwa popote ambapo tofauti fulani ya mizizi inageuka kuwa sifuri wakati wa uingizwaji. Aina zingine za vikomo huhusu vitendaji vya kipeo, vitendakazi visivyo na kikomo, logariti, vikomo maalum na mbinu zingine. Lakini unaweza kusoma kuhusu hili katika makala zilizoorodheshwa hapa chini kuhusu mipaka.

Nadharia ya mipaka ni mojawapo ya matawi ya uchambuzi wa hisabati. Swali la kutatua mipaka ni pana kabisa, kwani kuna njia kadhaa za kutatua mipaka ya aina anuwai. Kuna kadhaa ya nuances na hila zinazokuwezesha kutatua hili au kikomo. Walakini, bado tutajaribu kuelewa aina kuu za mipaka ambayo mara nyingi hukutana nayo katika mazoezi.

Wacha tuanze na wazo la kikomo. Lakini kwanza, historia fupi ya kihistoria. Aliishi Mfaransa, Augustin Louis Cauchy, katika karne ya 19, ambaye alitoa ufafanuzi mkali kwa dhana nyingi za matan na kuweka misingi yake. Inapaswa kusemwa kwamba mwanahisabati huyu anayeheshimiwa alikuwa, yuko, na atakuwa katika ndoto za wanafunzi wote wa idara za fizikia na hisabati, kwani alithibitisha idadi kubwa ya nadharia za uchambuzi wa hesabu, na nadharia moja ni mbaya zaidi kuliko nyingine. Katika suala hili, hatutazingatia bado uamuzi wa kikomo cha Cauchy, lakini tujaribu kufanya mambo mawili:

1. Elewa kikomo ni nini.
2. Jifunze kutatua aina kuu za mipaka.

Ninaomba msamaha kwa maelezo fulani yasiyo ya kisayansi, ni muhimu kwamba nyenzo hiyo inaeleweka hata kwa teapot, ambayo, kwa kweli, ni kazi ya mradi huo.

Kwa hivyo kikomo ni nini?

Na ni mfano tu wa kwanini kumfanyia shaggy bibi....

Kikomo chochote kina sehemu tatu:

1) Aikoni ya kikomo inayojulikana sana.
2) Maingizo chini ya ikoni ya kikomo, ndani kwa kesi hii. Ingizo linasomeka "X inaelekea moja." Mara nyingi - haswa, ingawa badala ya "X" katika mazoezi kuna anuwai zingine. KATIKA kazi za vitendo badala ya moja kunaweza kuwa na nambari yoyote, pamoja na infinity ().
3) Kazi chini ya ishara ya kikomo, katika kesi hii.

Rekodi yenyewe husoma kama hii: "kikomo cha chaguo la kukokotoa kama x huelekea umoja."

Wacha tuangalie swali linalofuata muhimu - neno "x" linamaanisha nini? inajitahidi kwa mmoja"? Na "kujitahidi" inamaanisha nini?
Wazo la kikomo ni dhana, kwa kusema, yenye nguvu. Wacha tujenge mlolongo: kwanza, halafu,,, ..., , ….
Hiyo ni, usemi "x inajitahidi kwa moja" inapaswa kueleweka kama ifuatavyo: "x" huchukua maadili kila wakati ambayo inakaribia umoja unaokaribiana kabisa na kwa vitendo sanjari nayo.

Jinsi ya kutatua mfano hapo juu? Kulingana na hapo juu, unahitaji tu kubadilisha moja kwenye kazi chini ya ishara ya kikomo:

Kwa hivyo, kanuni ya kwanza: Tunapopewa kikomo chochote, kwanza tunajaribu tu kuunganisha nambari kwenye chaguo la kukokotoa.

Tumezingatia kikomo rahisi zaidi, lakini haya pia hutokea katika mazoezi, na si mara chache sana!

Mfano na infinity:

Hebu tujue ni nini? Hii ndio kesi wakati inapoongezeka bila kikomo, yaani: kwanza, basi, basi, basi, na kadhalika ad infinitum.

Ni nini kinatokea kwa utendaji kwa wakati huu?
, , , …

Kwa hivyo: if , basi chaguo la kukokotoa huwa na minus infinity:

Kwa kusema, kulingana na sheria yetu ya kwanza, badala ya "X" tunabadilisha ukomo katika kazi na kupata jibu.

Mfano mwingine na infinity:

Tena tunaanza kuongezeka hadi kutokuwa na mwisho na kuangalia tabia ya kazi:

Hitimisho: wakati kazi inapoongezeka bila kikomo:

Na mfululizo mwingine wa mifano:

Tafadhali jaribu kiakili kuchambua yafuatayo kwako mwenyewe na ukumbuke aina rahisi zaidi za mipaka:

, , , , , , , , ,
Ikiwa una mashaka popote, unaweza kuchukua kikokotoo na kufanya mazoezi kidogo.
Katika tukio ambalo , jaribu kuunda mlolongo , , . Ikiwa , basi , , .

! Kumbuka: Kwa kweli, mbinu hii ya kuunda mlolongo wa nambari kadhaa sio sahihi, lakini kwa kuelewa mifano rahisi inafaa kabisa.

Pia makini na jambo lifuatalo. Hata kama kikomo kinatolewa kwa idadi kubwa juu, au hata na milioni: , basi ni sawa. , kwani mapema au baadaye "X" itaanza kuchukua maadili makubwa hivi kwamba milioni kwa kulinganisha itakuwa microbe halisi.

Unahitaji kukumbuka nini na kuelewa kutoka kwa hapo juu?

1) Tunapopewa kikomo chochote, kwanza tunajaribu tu kubadilisha nambari kwenye chaguo la kukokotoa.

2) Lazima uelewe na usuluhishe mara moja mipaka rahisi, kama vile , , na kadhalika.

Aidha, kikomo kina nzuri sana maana ya kijiometri. Kwa uelewa mzuri wa mada, napendekeza usome nyenzo za mbinu Grafu na mali ya kazi za msingi. Baada ya kusoma nakala hii, hautaelewa tu kikomo ni nini, lakini pia ujue na kesi za kupendeza wakati kikomo cha kazi kwa ujumla. haipo!

Katika mazoezi, kwa bahati mbaya, kuna zawadi chache. Na kwa hivyo tunaendelea kuzingatia mipaka ngumu zaidi. Kwa njia, juu ya mada hii kuna kozi ya kina katika muundo wa pdf, ambayo ni muhimu sana ikiwa una wakati mdogo sana wa kujiandaa. Lakini vifaa vya tovuti, kwa kweli, sio mbaya zaidi:

Sasa tutazingatia kundi la mipaka lini , na kazi ni sehemu ambayo nambari na dhehebu huwa na polimanomia.

Mfano:

Kuhesabu kikomo

Kulingana na sheria yetu, tutajaribu kuchukua nafasi ya infinity katika kazi. Tunapata nini kileleni? Infinity. Na nini kinatokea chini? Pia infinity. Kwa hivyo, tuna kile kinachoitwa kutokuwa na uhakika wa spishi. Mtu anaweza kufikiri kwamba , na jibu ni tayari, lakini katika kesi ya jumla hii sio wakati wote, na ni muhimu kutumia mbinu fulani ya ufumbuzi, ambayo sasa tutazingatia.

Jinsi ya Kutatua Mipaka wa aina hii?

Kwanza tunaangalia nambari na kupata nguvu ya juu zaidi:

Nguvu inayoongoza katika nambari ni mbili.

Sasa tunaangalia dhehebu na pia tunaipata kwa nguvu ya juu zaidi:

Kiwango cha juu cha dhehebu ni mbili.

Kisha tunachagua nguvu ya juu zaidi ya nambari na denominator: in katika mfano huu zinafanana na ni sawa na mbili.

Kwa hivyo, njia ya suluhisho ni kama ifuatavyo: ili kufunua kutokuwa na uhakika, ni muhimu kugawanya nambari na dhehebu kwa nguvu ya juu zaidi.

Hili hapa, jibu, na sio ukomo hata kidogo.

Nini kimsingi ni muhimu katika muundo wa uamuzi?

Kwanza, tunaonyesha kutokuwa na uhakika, ikiwa kuna.

Pili, inashauriwa kukatiza suluhisho kwa maelezo ya kati. Kawaida mimi hutumia ishara, haina maana yoyote ya kihesabu, lakini inamaanisha kuwa suluhisho limeingiliwa kwa maelezo ya kati.

Tatu, katika kikomo inashauriwa kuashiria kile kinachoenda wapi. Wakati kazi imeundwa kwa mkono, ni rahisi zaidi kuifanya kwa njia hii:

Ni bora kutumia penseli rahisi kwa maelezo.

Bila shaka, huna kufanya yoyote ya hili, lakini basi, labda, mwalimu ataonyesha mapungufu katika suluhisho au kuanza kuuliza maswali ya ziada kuhusu kazi hiyo. Je, unaihitaji?

Mfano 2

Tafuta kikomo
Tena katika nambari na denominator tunapata katika daraja la juu zaidi:

Kiwango cha juu cha digrii katika nambari: 3
Kiwango cha juu cha digrii katika denominator: 4
Chagua kubwa zaidi thamani, katika kesi hii nne.
Kulingana na algoriti yetu, ili kufichua kutokuwa na uhakika, tunagawanya nambari na kiashiria kwa .
Usajili kamili kazi zinaweza kuonekana kama hii:

Gawanya nambari na denominata kwa

Mfano 3

Tafuta kikomo
Kiwango cha juu zaidi cha "X" katika nambari: 2
Kiwango cha juu zaidi cha "X" katika denominata: 1 (inaweza kuandikwa kama)
Ili kufichua kutokuwa na uhakika, ni muhimu kugawanya nambari na denominator kwa . Suluhisho la mwisho linaweza kuonekana kama hii:

Gawanya nambari na denominata kwa

Notation haimaanishi kugawanya kwa sifuri (huwezi kugawanya kwa sifuri), lakini mgawanyiko kwa nambari isiyo na kikomo.

Kwa hivyo, kwa kufichua kutokuwa na uhakika wa aina, tunaweza kuwa na uwezo nambari ya mwisho, sifuri au isiyo na mwisho.

Mipaka isiyo na uhakika wa aina na njia ya kuisuluhisha

Kundi linalofuata la mipaka linafanana kwa kiasi fulani na mipaka ambayo imezingatiwa hivi punde: nambari na denominata zina polimanomia, lakini "x" haielekei tena kutokuwa na mwisho, lakini nambari ya mwisho.

Mfano 4

Tatua kikomo
Kwanza, wacha tujaribu kubadilisha -1 kwenye sehemu:

Katika kesi hii, kinachojulikana kuwa kutokuwa na uhakika kinapatikana.

Kanuni ya jumla : ikiwa nambari na denominata zina polynomials, na kuna kutokuwa na uhakika wa fomu, basi kuifichua. unahitaji kuangazia nambari na denominator.

Ili kufanya hivyo, mara nyingi unahitaji kuamua mlinganyo wa quadratic na/au tumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Ikiwa mambo haya yamesahauliwa, basi tembelea ukurasa Fomula za hisabati na meza na kusoma nyenzo za kufundishia Njia za moto za kozi ya hisabati ya shule. Kwa njia, ni bora kuichapisha; inahitajika mara nyingi sana, na habari inachukuliwa bora kutoka kwa karatasi.

Kwa hivyo, wacha tutatue kikomo chetu

Weka alama kwenye nambari na denominator

Ili kuhesabu nambari, unahitaji kutatua equation ya quadratic:

Kwanza tunapata ubaguzi:

Na mzizi wake wa mraba:.

Ikiwa kibaguzi ni kikubwa, kwa mfano 361, tunatumia kikokotoo, kazi ya uchimbaji. kipeo inapatikana kwenye kikokotoo rahisi zaidi.

! Ikiwa mzizi haujatolewa kwa ukamilifu (nambari ya sehemu iliyo na koma inapatikana), kuna uwezekano mkubwa kwamba kibaguzi kilihesabiwa vibaya au kulikuwa na makosa katika kazi.

Ifuatayo, tunapata mizizi:

Hivyo:

Wote. Nambari imebadilishwa.

Denominator. Denominator tayari ni sababu rahisi zaidi, na hakuna njia ya kurahisisha.

Kwa wazi, inaweza kufupishwa kuwa:

Sasa tunabadilisha -1 kwa usemi ambao unabaki chini ya ishara ya kikomo:

Kwa kawaida, katika kazi ya mtihani, wakati wa mtihani au mtihani, suluhisho halijaandikwa kwa undani kama huo. Katika toleo la mwisho, muundo unapaswa kuonekana kama hii:

Wacha tuimarishe nambari.

Mfano 5

Kuhesabu kikomo

Kwanza, toleo la "kumaliza" la suluhisho

Hebu tuangazie nambari na denominator.

Nambari:
Denominata:



,

Ni nini muhimu katika mfano huu?
Kwanza, lazima uwe na ufahamu mzuri wa jinsi nambari inavyofunuliwa, kwanza tulichukua 2 kutoka kwa mabano, na kisha tukatumia fomula ya tofauti ya miraba. Hii ndio fomula unayohitaji kujua na kuona.

Pendekezo: Ikiwa katika kikomo (cha karibu aina yoyote) inawezekana kuchukua nambari kutoka kwa mabano, basi tunaifanya daima.
Zaidi ya hayo, inashauriwa kuhamisha nambari kama hizo zaidi ya ikoni ya kikomo. Kwa ajili ya nini? Ndiyo, ili tu wasiingie. Jambo kuu sio kupoteza nambari hizi baadaye wakati wa suluhisho.

Tafadhali kumbuka kuwa hatua ya mwisho Nilichukua uamuzi zaidi ya ishara ya kikomo kama mbili, na kisha kama minus.

! Muhimu
Wakati wa suluhisho, kipande cha aina hutokea mara nyingi sana. Punguza sehemu hiini haramu . Kwanza unahitaji kubadilisha ishara ya nambari au denominator (weka -1 nje ya mabano).
, yaani, ishara ya minus inaonekana, ambayo inazingatiwa wakati wa kuhesabu kikomo na hakuna haja ya kuipoteza kabisa.

Kwa ujumla, niligundua kuwa mara nyingi katika kutafuta mipaka ya aina hii lazima usuluhishe hesabu mbili za quadratic, ambayo ni, nambari na dhehebu zina trinomia za quadratic.

Mbinu ya kuzidisha nambari na denominator kwa usemi wa mnyambuliko

Tunaendelea kuzingatia kutokuwa na uhakika wa fomu

Aina inayofuata mipaka ni sawa na aina ya awali. Kitu pekee, pamoja na polynomials, tutaongeza mizizi.

Mfano 6

Tafuta kikomo

Hebu tuanze kuamua.

Kwanza tunajaribu kubadilisha 3 kwenye usemi chini ya ishara ya kikomo
Narudia tena - hili ndilo jambo la kwanza unahitaji kufanya kwa kikomo YOYOTE. Kitendo hiki kawaida hufanyika kiakili au katika rasimu mbaya.

Kutokuwa na uhakika wa fomu imepatikana ambayo inahitaji kuondolewa.

Kama labda umeona, nambari yetu ina tofauti ya mizizi. Na katika hisabati ni desturi ya kuondokana na mizizi, ikiwa inawezekana. Kwa ajili ya nini? Na maisha ni rahisi bila wao.

Mipaka huwapa wanafunzi wote wa hisabati matatizo mengi. Ili kutatua kikomo, wakati mwingine unapaswa kutumia tricks nyingi na kuchagua kutoka kwa njia mbalimbali za ufumbuzi hasa moja ambayo yanafaa kwa mfano fulani.

Katika makala hii hatutakusaidia kuelewa mipaka ya uwezo wako au kuelewa mipaka ya udhibiti, lakini tutajaribu kujibu swali: jinsi ya kuelewa mipaka katika hisabati ya juu? Uelewa huja na uzoefu, kwa hiyo wakati huo huo tutatoa chache mifano ya kina ufumbuzi wa mipaka na maelezo.

Wazo la kikomo katika hisabati

Swali la kwanza ni: ni nini kikomo hiki na kikomo cha nini? Tunaweza kuzungumza juu ya mipaka mlolongo wa nambari na kazi. Tunavutiwa na wazo la kikomo cha chaguo la kukokotoa, kwani hivi ndivyo wanafunzi hukutana mara nyingi. Lakini kwanza - zaidi ufafanuzi wa jumla kikomo:

Hebu tuseme kuna thamani fulani ya kutofautiana. Ikiwa thamani hii katika mchakato wa mabadiliko inakaribia bila ukomo nambari fulani a , Hiyo a - kikomo cha thamani hii.

Kwa chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa katika muda fulani f(x)=y nambari kama hiyo inaitwa kikomo A , ambayo utendaji huelekea wakati X , ikielekea hatua fulani A . Nukta A ni ya muda ambapo kazi imefafanuliwa.

Inaonekana kuwa ngumu, lakini imeandikwa kwa urahisi sana:

Lim- kutoka kwa Kiingereza kikomo- kikomo.

Pia kuna maelezo ya kijiometri ya kuamua kikomo, lakini hapa hatutaingia kwenye nadharia, kwa kuwa tunavutiwa zaidi na vitendo badala ya upande wa kinadharia wa suala hilo. Tunaposema hivyo X inaelekea kwa thamani fulani, hii inamaanisha kuwa kutofautisha hakuchukui thamani ya nambari, lakini hukaribia karibu kabisa.

Hebu tupe mfano maalum. Kazi ni kupata kikomo.

Ili kutatua mfano huu, tunabadilisha thamani x=3 katika utendaji. Tunapata:

Kwa njia, ikiwa una nia, soma makala tofauti juu ya mada hii.

Katika mifano X inaweza kuzingatia thamani yoyote. Inaweza kuwa nambari yoyote au isiyo na mwisho. Hapa kuna mfano wakati X inaelekea kutokuwa na mwisho:

Intuitively, idadi kubwa katika denominator, ndogo thamani ya kazi itachukua. Kwa hivyo, na ukuaji usio na kikomo X maana 1/x itapungua na kukaribia sifuri.

Kama unavyoona, ili kutatua kikomo, unahitaji tu kubadilisha thamani ya kujitahidi kwenye chaguo la kukokotoa X . Walakini, hii ndiyo kesi rahisi zaidi. Mara nyingi kupata kikomo sio wazi sana. Ndani ya mipaka kuna kutokuwa na uhakika wa aina 0/0 au infinity/infinity . Nini cha kufanya katika kesi kama hizo? Mapumziko kwa hila!

Kutokuwa na uhakika ndani

Kutokuwa na uhakika wa fomu infinity/infinity

Wacha iwe na kikomo:

Tukijaribu kubadilisha infinity katika chaguo za kukokotoa, tutapata infinity katika nambari na denominator. Kwa ujumla, inafaa kusema kuwa kuna kipengele fulani cha sanaa katika kusuluhisha kutokuwa na uhakika kama huo: unahitaji kugundua jinsi unavyoweza kubadilisha kazi kwa njia ambayo kutokuwa na uhakika huenda. Kwa upande wetu, tunagawanya nambari na denominator kwa X katika shahada ya juu. Nini kitatokea?

Kutoka kwa mfano ambao tayari umejadiliwa hapo juu, tunajua kuwa maneno yaliyo na x kwenye dhehebu yataelekea sifuri. Kisha suluhisho la kikomo ni:

Ili kutatua kutokuwa na uhakika wa aina infinity/infinity gawanya nambari na denominator kwa X kwa kiwango cha juu.

Japo kuwa! Kwa wasomaji wetu sasa kuna punguzo la 10%.

Aina nyingine ya kutokuwa na uhakika: 0/0

Kama kawaida, kubadilisha maadili kwenye chaguo la kukokotoa x=-1 anatoa 0 katika nambari na denominator. Angalia kwa karibu zaidi na utagundua kuwa tuna mlinganyo wa quadratic katika nambari. Wacha tupate mizizi na tuandike:

Wacha tupunguze na tupate:

Kwa hivyo, ikiwa unakabiliwa na kutokuwa na uhakika wa aina 0/0 - onyesha nambari na denominator.

Ili iwe rahisi kwako kusuluhisha mifano, tunawasilisha jedwali na mipaka ya baadhi ya vipengele:

Utawala wa L'Hopital ndani

Njia nyingine yenye nguvu ya kuondoa aina zote mbili za kutokuwa na uhakika. Nini kiini cha mbinu?

Ikiwa kuna kutokuwa na uhakika katika kikomo, chukua derivative ya nambari na denominator hadi kutokuwa na uhakika kutoweka.

Sheria ya L'Hopital inaonekana kama hii:

Jambo muhimu : kikomo ambacho viambajengo vya nambari na denominata vinasimama badala ya nambari na kiashiria lazima kiwepo.

Na sasa - mfano halisi:

Kuna kutokuwa na uhakika wa kawaida 0/0 . Wacha tuchukue derivatives ya nambari na denominator:

Voila, kutokuwa na uhakika kunatatuliwa haraka na kwa uzuri.

Tunatumahi kuwa utaweza kutumia habari hii kwa vitendo na kupata jibu la swali "jinsi ya kutatua kikomo katika hisabati ya juu." Ikiwa unahitaji kuhesabu kikomo cha mlolongo au kikomo cha kazi kwa uhakika, na hakuna wakati kabisa wa kazi hii, wasiliana na huduma ya kitaaluma ya mwanafunzi kwa ufumbuzi wa haraka na wa kina.

Rudi