Matrices kwa kutumia fomula za Cramer. Milinganyo ya mstari

Kwa idadi sawa ya equations na idadi ya haijulikani na kiashiria kikuu cha matrix, ambayo si sawa na sifuri, coefficients ya mfumo (kwa equations vile kuna suluhisho na kuna moja tu).

Nadharia ya Cramer.

Wakati kibainishi cha matrix ya mfumo wa mraba si sifuri, inamaanisha kuwa mfumo ni thabiti na una suluhisho moja na inaweza kupatikana kwa Fomula za Cramer:

wapi Δ - kiashiria cha matrix ya mfumo,

Δ i ni kibainishi cha matrix ya mfumo, ambamo badala ya i Safu ya th ina safu ya pande za kulia.

Wakati kibainishi cha mfumo ni sifuri, inamaanisha kuwa mfumo unaweza kushirikiana au kutopatana.

Njia hii hutumiwa kwa mifumo ndogo na mahesabu ya kina na ikiwa ni muhimu kuamua moja ya haijulikani. Ugumu wa njia ni kwamba viashiria vingi vinahitaji kuhesabiwa.

Maelezo ya njia ya Cramer.

Kuna mfumo wa equations:

Mfumo wa milinganyo 3 unaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu ya Cramer, ambayo ilijadiliwa hapo juu kwa mfumo wa milinganyo 2.

Tunaunda kibainishi kutoka kwa mgawo wa zisizojulikana:

Itakuwa kiashiria cha mfumo. Lini D≠0, ambayo ina maana kwamba mfumo ni thabiti. Sasa wacha tuunde viashiria 3 vya ziada:

Tunatatua mfumo kwa Fomula za Cramer:

Mifano ya mifumo ya utatuzi wa milinganyo kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Mfano 1.

Mfumo uliotolewa:

Wacha tuitatue kwa kutumia njia ya Cramer.

Kwanza unahitaji kuhesabu kiashiria cha matrix ya mfumo:

Kwa sababu Δ≠0, ambayo ina maana kwamba kutoka kwa nadharia ya Cramer mfumo ni thabiti na una suluhisho moja. Tunahesabu viashiria vya ziada. Kiamuzi Δ 1 kinapatikana kutoka kwa kibainishi Δ kwa kubadilisha safu wima yake ya kwanza na safu wima ya mgawo huru. Tunapata:

Vivyo hivyo, tunapata kibainishi cha Δ 2 kutoka kwa kibainishi cha matrix ya mfumo kwa kubadilisha safu wima ya pili na safu ya mgawo wa bure:

Ili kufahamu aya hii, lazima uweze kufichua viambishi "mbili kwa mbili" na "tatu kwa tatu". Ikiwa wewe ni mbaya na wanaohitimu, tafadhali soma somo Jinsi ya kuhesabu kiashiria?

Kwanza tutaangalia kwa undani sheria ya Cramer kwa mfumo wa mbili milinganyo ya mstari na wawili wasiojulikana. Kwa ajili ya nini? - Baada ya yote mfumo rahisi zaidi inaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu ya shule, njia ya kuongeza muda kwa muda!

Ukweli ni kwamba, ingawa wakati mwingine, kazi kama hiyo hufanyika - kutatua mfumo wa hesabu mbili za mstari na mbili zisizojulikana kwa kutumia fomula za Cramer. Pili, mfano rahisi zaidi utakusaidia kuelewa jinsi ya kutumia sheria ya Cramer zaidi kesi tata- mifumo ya equations tatu na haijulikani tatu.

Kwa kuongeza, kuna mifumo ya equations ya mstari na vigezo viwili, ambavyo vinashauriwa kutatua kwa kutumia utawala wa Cramer!

Fikiria mfumo wa equations

Katika hatua ya kwanza, tunahesabu determinant, inaitwa kiashiria kuu cha mfumo.

Njia ya Gauss.

Ikiwa , basi mfumo una suluhisho la kipekee, na ili kupata mizizi lazima tuhesabu viashiria viwili zaidi:
Na

Kwa mazoezi, sifa zilizo hapo juu zinaweza pia kuonyeshwa kwa herufi ya Kilatini.

Tunapata mizizi ya equation kwa kutumia fomula:
,

Mfano 7

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari

Suluhisho: Tunaona kwamba coefficients ya equation ni kubwa kabisa, upande wa kulia kuna desimali na koma. Koma ni mgeni adimu sana kazi za vitendo katika hisabati, nilichukua mfumo huu kutoka kwa shida ya uchumi.

Jinsi ya kutatua mfumo kama huo? Unaweza kujaribu kuelezea tofauti moja kulingana na nyingine, lakini katika kesi hii labda utaishia na sehemu mbaya za dhana ambazo ni ngumu sana kufanya kazi nazo, na muundo wa suluhisho utaonekana kuwa mbaya tu. Unaweza kuzidisha mlinganyo wa pili kwa 6 na kutoa neno kwa muhula, lakini sehemu sawa zitatokea hapa pia.

Nini cha kufanya? Katika hali kama hizi, formula za Cramer zinakuja kuwaokoa.

;

Jibu: ,

Mizizi yote miwili ina mikia isiyo na kikomo na hupatikana takriban, ambayo inakubalika kabisa (na hata kawaida) kwa shida za uchumi.

Maoni hayahitajiki hapa, kwani kazi hiyo inatatuliwa kwa kutumia fomula zilizotengenezwa tayari, hata hivyo, kuna pango moja. Wakati wa kutumia njia hii, lazima Sehemu ya muundo wa kazi ni kipande kifuatacho: "Hii inamaanisha kuwa mfumo una suluhisho la kipekee". Vinginevyo, mkaguzi anaweza kukuadhibu kwa kutoheshimu nadharia ya Cramer.

Haitakuwa mbaya sana kuangalia, ambayo inaweza kufanywa kwa urahisi kwenye kihesabu: tunabadilisha maadili takriban katika upande wa kushoto wa kila equation ya mfumo. Matokeo yake, kwa kosa ndogo, unapaswa kupata nambari ambazo ziko kwenye pande za kulia.

Mfano 8

Wasilisha jibu katika sehemu za kawaida zisizofaa. Fanya ukaguzi.

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea(mfano wa kumaliza na kujibu mwishoni mwa somo).

Wacha tuendelee kuzingatia sheria ya Cramer kwa mfumo wa hesabu tatu na zisizojulikana tatu:

Tunapata kiashiria kuu cha mfumo:

Ikiwa , basi mfumo una suluhisho nyingi sana au hauendani (hauna suluhisho). Katika kesi hii, sheria ya Cramer haitasaidia; unahitaji kutumia njia ya Gauss.

Ikiwa , basi mfumo una suluhisho la kipekee na kupata mizizi lazima tuhesabu viashiria vitatu zaidi:
, ,

Na mwishowe, jibu linahesabiwa kwa kutumia fomula:

Kama unavyoona, kisa cha "tatu kwa tatu" kimsingi sio tofauti na kisa cha "mbili kwa mbili"; safu ya istilahi huria kwa mpangilio "hutembea" kutoka kushoto kwenda kulia pamoja na safu wima za kibainishi kikuu.

Mfano 9

Tatua mfumo kwa kutumia fomula za Cramer.

Suluhisho: Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia fomula za Cramer.

, ambayo inamaanisha kuwa mfumo una suluhisho la kipekee.

Jibu: .

Kweli, hapa tena hakuna kitu maalum cha kutoa maoni, kwa sababu ya ukweli kwamba suluhisho linafuata fomula zilizotengenezwa tayari. Lakini kuna maoni kadhaa.

Inatokea kwamba kama matokeo ya mahesabu, sehemu "mbaya" zisizoweza kupunguzwa hupatikana, kwa mfano:.
Ninapendekeza algorithm ifuatayo ya "matibabu". Ikiwa huna kompyuta karibu, fanya hivi:

1) Kunaweza kuwa na hitilafu katika mahesabu. Mara tu unapokutana na sehemu "mbaya", unahitaji kuangalia mara moja Je, hali imeandikwa upya kwa usahihi?. Ikiwa hali imeandikwa tena bila makosa, basi unahitaji kuhesabu upya viashiria kwa kutumia upanuzi katika safu nyingine (safu).

2) Ikiwa hakuna makosa yanayotambuliwa kama matokeo ya kuangalia, basi uwezekano mkubwa kulikuwa na typo katika hali ya kazi. Katika kesi hii, kwa utulivu na kwa uangalifu fanya kazi hadi mwisho, na kisha kuwa na uhakika wa kuangalia na tunaichora kwenye karatasi safi baada ya uamuzi. Kwa kweli, kuangalia jibu la sehemu ni kazi isiyofurahisha, lakini itakuwa hoja ya kumpokonya silaha mwalimu, ambaye anapenda sana kutoa minus kwa ujinga wowote kama . Jinsi ya kushughulikia sehemu ndogo imeelezewa kwa kina katika jibu la Mfano 8.

Ikiwa una kompyuta karibu, basi tumia programu ya kiotomatiki kuangalia, ambayo inaweza kupakuliwa bure mwanzoni mwa somo. Kwa njia, ni faida zaidi kutumia programu mara moja (hata kabla ya kuanza suluhisho); utaona mara moja hatua ya kati ambapo ulifanya makosa! Calculator sawa huhesabu moja kwa moja ufumbuzi wa mfumo kwa kutumia njia ya matrix.

Maoni ya pili. Mara kwa mara kuna mifumo katika equations ambayo baadhi ya vigezo vinakosekana, kwa mfano:

Hapa katika equation ya kwanza hakuna kutofautiana, kwa pili hakuna kutofautiana. Katika hali kama hizi, ni muhimu sana kuandika kwa uangalifu na kwa uangalifu kiashiria kuu:
- sufuri huwekwa badala ya vigeu vilivyokosekana.
Kwa njia, ni busara kufungua viashiria na sifuri kulingana na safu (safu) ambayo sifuri iko, kwani kuna mahesabu machache.

Mfano 10

Tatua mfumo kwa kutumia fomula za Cramer.

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea (sampuli ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo).

Kwa kesi ya mfumo wa equations 4 na 4 haijulikani, kanuni za Cramer zimeandikwa kulingana na kanuni zinazofanana. Unaweza kuona mfano hai katika somo Sifa za Viamuzi. Kupunguza mpangilio wa kibainishi - viambishi vitano vya mpangilio wa 4 vinaweza kutatuliwa kabisa. Ingawa kazi hiyo tayari inawakumbusha sana kiatu cha profesa kwenye kifua cha mwanafunzi mwenye bahati.

Kutatua mfumo kwa kutumia matrix inverse

Njia matrix ya kinyume- hii kimsingi ni kesi maalum mlinganyo wa matrix(Angalia Mfano Na. 3 wa somo lililotajwa).

Ili kusoma sehemu hii, ni lazima uweze kupanua vibainishi, kupata kinyume cha matriki, na kufanya kuzidisha matrix. Viungo husika vitatolewa kadri maelezo yanavyoendelea.

Mfano 11

Tatua mfumo kwa kutumia njia ya matrix

Suluhisho: Wacha tuandike mfumo katika fomu ya matrix:
, Wapi

Tafadhali angalia mfumo wa equations na matrices. Nadhani kila mtu anaelewa kanuni ambayo tunaandika vipengele kwenye matrices. Maoni pekee: ikiwa vigeu vingine havikuwepo kwenye milinganyo, basi sufuri ingelazimika kuwekwa katika sehemu zinazolingana kwenye matrix.

Tunapata matrix ya kinyume kwa kutumia formula:
, iko wapi matrix iliyopitishwa ya nyongeza za aljebra ya vipengele vinavyolingana vya matriki.

Kwanza, hebu tuangalie kiashiria:

Hapa kibainishi kinapanuliwa kwenye mstari wa kwanza.

Makini! Ikiwa , basi matrix inverse haipo, na haiwezekani kutatua mfumo kwa kutumia njia ya tumbo. Katika kesi hii, mfumo unatatuliwa na njia ya kuondoa haijulikani (njia ya Gauss).

Sasa tunahitaji kuhesabu watoto 9 na kuwaandika kwenye matrix ya watoto

Rejeleo: Ni muhimu kujua maana ya usajili maradufu katika aljebra ya mstari. Nambari ya kwanza ni nambari ya mstari ambao kipengele iko. Nambari ya pili ni nambari ya safu ambayo kitu kiko:

Hiyo ni, usajili mara mbili unaonyesha kuwa kipengee kiko kwenye safu ya kwanza, safu ya tatu, na, kwa mfano, kipengee kiko kwenye safu 3, safu 2.

Wakati wa suluhisho, ni bora kuelezea hesabu ya watoto kwa undani, ingawa kwa uzoefu fulani unaweza kuzoea kuhesabu na makosa kwa mdomo.

Wacha mfumo wa milinganyo ya mstari uwe na hesabu nyingi kama idadi ya vigeuzo huru, i.e. inaonekana kama

Mifumo kama hiyo ya milinganyo ya mstari inaitwa quadratic. Kiamuzi, kinachojumuisha coefficients kwa vigezo huru vya mfumo (1.5), inaitwa kiamua kikuu cha mfumo. Tutaionyesha kwa herufi ya Kigiriki D. Hivyo,

. (1.6)

Ikiwa kibainishi kikuu kina kiholela ( j th) safu, badala ya safu ya masharti ya bure ya mfumo (1.5), basi unaweza kupata n wahitimu wasaidizi:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Utawala wa Cramer kutatua mifumo ya quadratic ya milinganyo ya mstari ni kama ifuatavyo. Ikiwa kiashiria kikuu cha D cha mfumo (1.5) ni tofauti na sifuri, basi mfumo una suluhisho la kipekee, ambalo linaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

(1.8)

Mfano 1.5. Tatua mfumo wa milinganyo kwa kutumia mbinu ya Cramer

Wacha tuhesabu kiashiria kuu cha mfumo:

Tangu D¹0, mfumo una suluhisho la kipekee, ambalo linaweza kupatikana kwa kutumia fomula (1.8):

Hivyo,

Vitendo kwenye matrices

1. Kuzidisha matrix kwa nambari. Uendeshaji wa kuzidisha matrix kwa nambari hufafanuliwa kama ifuatavyo.

2. Ili kuzidisha matrix kwa nambari, unahitaji kuzidisha vipengele vyake vyote kwa nambari hii. Hiyo ni

. (1.9)

Mfano 1.6. .

Nyongeza ya Matrix.

Operesheni hii inaletwa tu kwa matrices ya utaratibu sawa.

Ili kuongeza matrices mbili, ni muhimu kuongeza vipengele vinavyolingana vya matrix nyingine kwa vipengele vya matrix moja:

(1.10)
Uendeshaji wa nyongeza ya matrix ina sifa ya ushirika na mawasiliano.

Mfano 1.7. .

Kuzidisha kwa tumbo.

Ikiwa idadi ya safu wima za matrix A sanjari na idadi ya safu mlalo KATIKA, basi kwa matiti kama hayo operesheni ya kuzidisha inaletwa:

Kwa hivyo, wakati wa kuzidisha matrix A vipimo m´ n kwa tumbo KATIKA vipimo n´ k tunapata matrix NA vipimo m´ k. Katika kesi hii, vipengele vya matrix NA huhesabiwa kwa kutumia fomula zifuatazo:

Tatizo 1.8. Tafuta, ikiwezekana, bidhaa ya matrices AB Na B.A.:

Suluhisho. 1) Ili kupata kazi AB, unahitaji safu za matrix A zidisha kwa safu wima za matrix B:

2) Kazi B.A. haipo, kwa sababu idadi ya safu wima B hailingani na idadi ya safu mlalo A.

Matrix ya kinyume. Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Matrix A- 1 inaitwa kinyume cha matrix ya mraba A, ikiwa usawa umeridhika:

wapi kupitia I iliyoonyeshwa na matrix ya utambulisho mpangilio sawa na matrix A:

Ili matrix ya mraba ilikuwa na kinyume, ni muhimu na inatosha kwamba kibainishi chake kiwe tofauti na sifuri. Matrix inverse hupatikana kwa kutumia formula:

, (1.13)

Wapi A ij- nyongeza za algebra kwa vipengele ij matrices A(kumbuka kuwa nyongeza za aljebra kwa safu mlalo za matrix A ziko kwenye matrix inverse kwa namna ya safuwima zinazolingana).

Mfano 1.9. Pata matrix ya kinyume A- 1 kwa matrix

Tunapata matrix ya kinyume kwa kutumia formula (1.13), ambayo kwa kesi hiyo n= 3 ina fomu:

Hebu kupata det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Kwa kuwa kibainishi cha matriki asilia ni nonzero, matrix inverse ipo.

1) Tafuta nyongeza za aljebra A ij:

Kwa urahisi wa kupata matrix ya kinyume, tumeweka nyongeza za aljebra kwenye safu za matrix asilia kwenye safu wima zinazolingana.

Kutoka kwa nyongeza za algebraic zilizopatikana tunatunga matrix mpya na kuigawanya kwa det determinant A. Kwa hivyo, tunapata matrix inverse:

Mifumo ya quadratic ya milinganyo ya mstari yenye kibainishi kikuu kisicho na nzero inaweza kutatuliwa kwa kutumia matriki ya kinyume. Kwa kufanya hivyo, mfumo (1.5) umeandikwa katika fomu ya matrix:

Wapi

Kuzidisha pande zote mbili za usawa (1.14) kutoka kushoto na A- 1, tunapata suluhisho la mfumo:

, wapi

Kwa hivyo, ili kupata suluhisho la mfumo wa mraba, unahitaji kupata tumbo la inverse la tumbo kuu la mfumo na kuzidisha upande wa kulia na safu ya safu ya maneno ya bure.

Tatizo 1.10. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari

kwa kutumia matrix inverse.

Suluhisho. Wacha tuandike mfumo katika fomu ya matrix: ,

Wapi - matrix kuu ya mfumo, - safu ya haijulikani na - safu ya maneno ya bure. Tangu kiamua kuu cha mfumo , basi tumbo kuu la mfumo A ina matrix inverse A-1 . Ili kupata matrix ya kinyume A-1 , tunahesabu nyongeza za aljebra kwa vipengele vyote vya tumbo A:

Kutoka kwa nambari zilizopatikana tutaunda matrix (na nyongeza za algebra kwa safu za matrix. A iandike katika safu wima zinazofaa) na uigawanye kwa kiambishi D. Kwa hivyo, tumepata matrix inverse:

Tunapata suluhisho la mfumo kwa kutumia formula (1.15):

Hivyo,

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kawaida ya kuondoa Yordani

Wacha mfumo wa kiholela (sio wa quadratic) wa milinganyo ya mstari upewe:

(1.16)

Inahitajika kupata suluhisho la mfumo, i.e. seti kama hiyo ya anuwai ambayo inakidhi usawa wote wa mfumo (1.16). Katika hali ya jumla, mfumo (1.16) hauwezi kuwa na suluhisho moja tu, lakini pia suluhisho nyingi. Huenda pia haina masuluhisho hata kidogo.

Wakati wa kutatua matatizo hayo, njia inayojulikana ya kozi ya shule ya kuondoa haijulikani hutumiwa, ambayo pia huitwa njia ya kawaida ya kuondoa Yordani. Kiini cha njia hii ni kwamba katika moja ya equations ya mfumo (1.16) moja ya vigezo huonyeshwa kwa suala la vigezo vingine. Tofauti hii basi inabadilishwa kuwa milinganyo mingine kwenye mfumo. Matokeo yake ni mfumo ulio na mlinganyo mmoja na kigezo kimoja chini ya mfumo asilia. Equation ambayo kutofautiana ilionyeshwa inakumbukwa.

Utaratibu huu unarudiwa hadi equation moja ya mwisho ibaki kwenye mfumo. Kupitia mchakato wa kuondoa haijulikani, baadhi ya milinganyo inaweza kuwa utambulisho wa kweli, k.m. Equations kama hizo hazijajumuishwa kwenye mfumo, kwani zimeridhika kwa maadili yoyote ya anuwai na, kwa hivyo, haziathiri suluhisho la mfumo. Ikiwa, katika mchakato wa kuondoa haijulikani, angalau equation moja inakuwa usawa ambayo haiwezi kuridhika kwa maadili yoyote ya vigezo (kwa mfano), basi tunahitimisha kuwa mfumo hauna suluhisho.

Ikiwa hakuna usawa unaopingana unaotokea wakati wa suluhisho, basi moja ya vigezo vilivyobaki ndani yake hupatikana kutoka kwa equation ya mwisho. Ikiwa kuna kigezo kimoja tu kilichosalia katika mlinganyo wa mwisho, basi kinaonyeshwa kama nambari. Ikiwa vigezo vingine vinabaki katika equation ya mwisho, basi huzingatiwa vigezo, na kutofautiana kwa njia yao itakuwa kazi ya vigezo hivi. Kisha kinachojulikana kama "reverse move" hufanyika. Tofauti iliyopatikana inabadilishwa kuwa equation ya mwisho iliyokumbukwa na tofauti ya pili inapatikana. Kisha vigeu viwili vilivyopatikana vinawekwa badala ya mlinganyo wa mwisho uliokaririwa na utofauti wa tatu unapatikana, na kadhalika, hadi mlinganyo wa kwanza uliokaririwa.

Kama matokeo, tunapata suluhisho la mfumo. Uamuzi huu itakuwa ya kipekee ikiwa vigezo vilivyopatikana ni nambari. Ikiwa kutofautiana kwa kwanza kunapatikana, na kisha wengine wote, hutegemea vigezo, basi mfumo utakuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi (kila seti ya vigezo inafanana na ufumbuzi mpya). Fomula zinazokuwezesha kupata suluhisho kwa mfumo kulingana na seti fulani ya vigezo huitwa suluhisho la jumla la mfumo.

Mfano 1.11.

Baada ya kukariri equation ya kwanza na mizimu wanachama sawa katika equations ya pili na ya tatu tunafika kwenye mfumo:

Hebu tueleze y kutoka kwa mlinganyo wa pili na uibadilishe katika equation ya kwanza:

Hebu tukumbuke equation ya pili, na kutoka kwa kwanza tunapata z:

Kufanya kazi nyuma, tunapata mara kwa mara y Na z. Ili kufanya hivyo, kwanza tunabadilisha mlinganyo wa mwisho unaokumbukwa, kutoka mahali tunapopata y:

Kisha tutaibadilisha katika equation ya kwanza iliyokaririwa ambapo tunaweza kuipata x:

Tatizo 1.12. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kuondoa zisizojulikana:

. (1.17)

Suluhisho. Wacha tueleze tofauti kutoka kwa mlinganyo wa kwanza x na uibadilishe katika milinganyo ya pili na ya tatu:

Wacha tukumbuke equation ya kwanza

Katika mfumo huu, milinganyo ya kwanza na ya pili yanapingana. Kwa kweli, kujieleza y , tunapata hiyo 14 = 17. Usawa huu haushikilii kwa maadili yoyote ya vigezo. x, y, Na z. Kwa hiyo, mfumo (1.17) haufanani, i.e. haina suluhu.

Tunawaalika wasomaji wajiangalie wenyewe kwamba kibainishi kikuu cha mfumo asilia (1.17) ni sawa na sufuri.

Hebu tuzingatie mfumo ambao unatofautiana na mfumo (1.17) kwa neno moja tu huria.

Tatizo 1.13. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kuondoa zisizojulikana:

. (1.18)

Suluhisho. Kama hapo awali, tunaelezea tofauti kutoka kwa equation ya kwanza x na uibadilishe katika milinganyo ya pili na ya tatu:

Wacha tukumbuke equation ya kwanza na kuwasilisha istilahi zinazofanana katika milinganyo ya pili na ya tatu. Tunafika kwenye mfumo:

Kueleza y kutoka kwa mlingano wa kwanza na kuibadilisha kuwa mlingano wa pili , tunapata utambulisho 14 = 14, ambayo haiathiri ufumbuzi wa mfumo, na, kwa hiyo, inaweza kutengwa na mfumo.

Katika usawa wa mwisho uliokumbukwa, kutofautisha z tutazingatia kuwa parameter. Tunaamini. Kisha

Hebu tubadilishe y Na z katika usawa wa kwanza kukumbukwa na kupata x:

Kwa hivyo, mfumo (1.18) una idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, na suluhisho lolote linaweza kupatikana kwa kutumia fomula (1.19), kuchagua thamani ya kiholela ya paramu. t:

(1.19)
Kwa hivyo suluhu za mfumo, kwa mfano, ni seti zifuatazo za vigeu (1; 2; 0), (2; 26; 14), n.k. Mifumo (1.19) inaelezea suluhisho la jumla (lolote) la mfumo (1.18). )

Katika kesi wakati mfumo wa awali (1.16) una kutosha idadi kubwa ya equations na haijulikani, njia iliyoonyeshwa ya uondoaji wa kawaida wa Yordani inaonekana kuwa ngumu. Hata hivyo, sivyo. Inatosha kupata algorithm ya kuhesabu tena mgawo wa mfumo kwa hatua moja mtazamo wa jumla na kuunda suluhisho la tatizo kwa namna ya meza maalum za Jordan.

Wacha mfumo wa fomu za mstari (equations) upewe:

, (1.20)
Wapi x j- Vigezo vya kujitegemea (vilivyotafutwa), ij- coefficients mara kwa mara
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) Sehemu za kulia za mfumo y i (i = 1, 2,…, m) inaweza kuwa anuwai (tegemezi) au thabiti. Inahitajika kutafuta suluhu za mfumo huu kwa kuondoa mambo yasiyojulikana.

Wacha tuzingatie operesheni ifuatayo, inayoitwa "hatua moja ya uondoaji wa kawaida wa Yordani". Kutoka kwa kiholela ( r th) usawa tunaelezea tofauti ya kiholela ( xs) na kubadilisha katika usawa mwingine wote. Bila shaka, hii inawezekana tu ikiwa rs¹ 0. Mgawo rs inayoitwa kipengele cha kusuluhisha (wakati mwingine elekezi au kuu).

Tutapata mfumo ufuatao:

. (1.21)

Kutoka s- usawa wa mfumo (1.21), baadaye tunapata kutofautisha xs(baada ya vigezo vilivyobaki kupatikana). S Mstari wa -th unakumbukwa na hatimaye kutengwa na mfumo. Mfumo uliobaki utakuwa na mlinganyo mmoja na kigezo kimoja kisicho huru kuliko mfumo asilia.

Hebu tuhesabu coefficients ya mfumo unaosababisha (1.21) kupitia coefficients ya mfumo wa awali (1.20). Hebu tuanze na r th equation, ambayo baada ya kueleza kutofautiana xs kupitia anuwai zilizobaki itaonekana kama hii:

Hivyo, coefficients mpya r equations huhesabiwa kwa kutumia fomula zifuatazo:

(1.23)
Hebu sasa tuhesabu coefficients mpya b ij(i¹ r) ya mlingano wa kiholela. Ili kufanya hivyo, wacha tubadilishe utofauti ulioonyeshwa katika (1.22) xs V i equation ya mfumo (1.20):

Baada ya kuleta masharti sawa, tunapata:

(1.24)
Kutoka kwa usawa (1.24) tunapata fomula ambazo viambajengo vilivyobaki vya mfumo (1.21) vinakokotolewa (isipokuwa r equation):

(1.25)
Mabadiliko ya mifumo ya hesabu za mstari kwa njia ya uondoaji wa kawaida wa Yordani hutolewa kwa namna ya meza (matrices). Majedwali haya yanaitwa "meza za Yordani".

Kwa hivyo, shida (1.20) inahusishwa na jedwali lifuatalo la Yordani:

Jedwali 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		ij		ni		katika
…………………………………………………………………..
y r=	r 1	r 2		rj		rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	m 1	m 2		mj		a ms		mn

Jedwali la Yordani 1.1 lina safu ya kichwa cha kushoto ambamo sehemu za kulia za mfumo (1.20) zimeandikwa na safu mlalo ya kichwa cha juu ambamo vigezo huru huandikwa.

Vipengele vilivyobaki vya meza huunda tumbo kuu la coefficients ya mfumo (1.20). Ikiwa unazidisha matrix A kwa matrix inayojumuisha vipengele vya safu ya juu ya kichwa, unapata matrix inayojumuisha vipengele vya safu ya kichwa cha kushoto. Hiyo ni, kimsingi, jedwali la Yordani ni aina ya matrix ya kuandika mfumo wa milinganyo ya mstari: . Mfumo (1.21) unalingana na jedwali lifuatalo la Yordani:

Jedwali 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y mimi =	b i 1	b i 2		b ij		b ni		b katika
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Kipengele cha kuruhusu rs Tutaangazia kwa herufi nzito. Kumbuka kwamba kutekeleza hatua moja ya uondoaji wa Yordani, kipengele cha kutatua lazima kiwe kisicho sifuri. Safu ya jedwali iliyo na kipengee cha kuwezesha inaitwa safu mlalo ya kuwezesha. Safu iliyo na kipengele cha kuwezesha inaitwa kuwasha safu. Wakati wa kuhama kutoka kwa jedwali fulani kwenda kwa jedwali linalofuata, tofauti moja ( xs) kutoka safu ya juu ya kichwa cha jedwali huhamishwa hadi safu ya kichwa cha kushoto na, kinyume chake, mmoja wa washiriki wa bure wa mfumo ( y r) husogea kutoka safu ya kushoto ya jedwali hadi safu ya kichwa cha juu.

Wacha tueleze algorithm ya kuhesabu tena mgawo wakati wa kusonga kutoka kwa jedwali la Yordani (1.1) hadi jedwali (1.2), linalofuata kutoka kwa fomula (1.23) na (1.25).

1. Kipengele cha kusuluhisha kinabadilishwa na nambari ya kinyume:

2. Vipengele vilivyobaki vya kamba ya kutatua vinagawanywa katika kipengele cha kutatua na kubadilisha ishara kinyume chake:

3. Vipengele vilivyobaki vya safu wima ya azimio vimegawanywa katika kipengele cha azimio:

4. Vipengele ambavyo havijajumuishwa katika safu mlalo inayoruhusu na safu wima ya kuruhusu vinahesabiwa upya kwa kutumia fomula:

Fomula ya mwisho ni rahisi kukumbuka ikiwa unaona kwamba vipengele vinavyounda sehemu hiyo , ziko kwenye makutano i-oh na r mistari na j th na s th (safu ya kusuluhisha, safu wima ya kusuluhisha, na safu na safu kwenye makutano ambayo kipengee kilichohesabiwa upya kinapatikana). Kwa usahihi, wakati wa kukariri formula unaweza kutumia mchoro ufuatao:

-21 -26 -13 -37

Wakati wa kutekeleza hatua ya kwanza ya vighairi vya Yordani, unaweza kuchagua kipengele chochote cha Jedwali 1.3 kilicho kwenye safu kama kipengele cha kutatua. x 1 ,…, x 5 (vipengele vyote vilivyoainishwa sio sifuri). Usichague tu kipengee cha kuwezesha kwenye safu ya mwisho, kwa sababu unahitaji kupata vigezo vya kujitegemea x 1 ,…, x 5 . Kwa mfano, tunachagua mgawo 1 yenye kutofautiana x 3 katika mstari wa tatu wa Jedwali 1.3 (kipengele cha kuwezesha kinaonyeshwa kwa herufi nzito). Wakati wa kuhamia meza 1.4, kutofautiana x Safu 3 kutoka safu ya kichwa cha juu inabadilishwa na 0 thabiti ya safu ya kichwa cha kushoto (safu ya tatu). Katika kesi hii, kutofautiana x 3 inaonyeshwa kupitia vigezo vilivyobaki.

Kamba x 3 (Jedwali 1.4) inaweza, baada ya kukumbuka mapema, kutengwa na Jedwali 1.4. Safu ya tatu yenye sifuri kwenye mstari wa kichwa cha juu pia haijajumuishwa kwenye Jedwali 1.4. Jambo ni kwamba bila kujali coefficients ya safu fulani b i 3 masharti yote yanayolingana ya kila mlinganyo 0 b i Mifumo 3 itakuwa sawa na sifuri. Kwa hivyo, coefficients hizi hazihitaji kuhesabiwa. Kuondoa tofauti moja x 3 na kukumbuka moja ya hesabu, tunafika kwenye mfumo unaolingana na Jedwali 1.4 (na mstari umevuka. x 3). Kuchagua katika jedwali 1.4 kama kipengele cha kutatua b 14 = -5, nenda kwenye jedwali 1.5. Katika Jedwali 1.5, kumbuka safu ya kwanza na uiondoe kwenye meza pamoja na safu ya nne (na sifuri juu).

Jedwali 1.5 Jedwali 1.6

Kutoka kwa jedwali la mwisho 1.7 tunapata: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Kubadilisha vijiti vilivyopatikana tayari kwenye mistari iliyokumbukwa, tunapata vigeu vilivyobaki:

Kwa hivyo, mfumo una suluhisho nyingi sana. Inaweza kubadilika x 5, maadili ya kiholela yanaweza kupewa. Tofauti hii hufanya kama kigezo x 5 = t. Tulithibitisha utangamano wa mfumo na kuupata uamuzi wa pamoja:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Kutoa parameter t maana tofauti, tutapata idadi isiyo na kikomo ya ufumbuzi wa mfumo wa awali. Kwa hiyo, kwa mfano, suluhisho la mfumo ni seti zifuatazo za vigezo (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Katika sehemu ya kwanza tuliangalia kidogo nyenzo za kinadharia, njia ya uingizwaji, pamoja na njia ya nyongeza ya muda baada ya muda ya milinganyo ya mfumo. Ninapendekeza kila mtu ambaye alipata tovuti kupitia ukurasa huu kusoma sehemu ya kwanza. Labda wageni wengine watapata nyenzo ni rahisi sana, lakini katika mchakato wa kutatua mifumo ya hesabu za mstari, nilitoa maoni na hitimisho muhimu sana kuhusu suluhisho la shida za hesabu kwa ujumla.

Sasa tutachambua sheria ya Cramer, na pia kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia matrix inverse (njia ya tumbo). Nyenzo zote zinawasilishwa kwa urahisi, kwa undani na kwa uwazi; karibu wasomaji wote wataweza kujifunza jinsi ya kutatua mifumo kwa kutumia njia zilizo hapo juu.

Kwanza, tutaangalia kwa karibu sheria ya Cramer kwa mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana. Kwa ajili ya nini? - Baada ya yote, mfumo rahisi zaidi unaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya shule, njia ya kuongeza muda kwa muda!

Ukweli ni kwamba, ingawa wakati mwingine, kazi kama hiyo hufanyika - kutatua mfumo wa hesabu mbili za mstari na mbili zisizojulikana kwa kutumia fomula za Cramer. Pili, mfano rahisi zaidi utakusaidia kuelewa jinsi ya kutumia sheria ya Cramer kwa kesi ngumu zaidi - mfumo wa equations tatu na haijulikani tatu.

Kwa kuongeza, kuna mifumo ya equations ya mstari na vigezo viwili, ambavyo vinashauriwa kutatua kwa kutumia utawala wa Cramer!

Fikiria mfumo wa equations

Katika hatua ya kwanza, tunahesabu determinant, inaitwa kiashiria kuu cha mfumo.

Njia ya Gaussian.

Ikiwa , basi mfumo una suluhisho la kipekee, na ili kupata mizizi lazima tuhesabu viashiria viwili zaidi:
Na

Kwa mazoezi, sifa zilizo hapo juu zinaweza pia kuonyeshwa kwa herufi ya Kilatini.

Tunapata mizizi ya equation kwa kutumia fomula:
,

Mfano 7

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari

Suluhisho: Tunaona kwamba coefficients ya equation ni kubwa kabisa; upande wa kulia kuna sehemu za desimali zilizo na koma. Koma ni mgeni adimu katika kazi za vitendo katika hisabati; nilichukua mfumo huu kutoka kwa shida ya uchumi.

Nini cha kufanya? Katika hali kama hizi, formula za Cramer zinakuja kuwaokoa.

;

Jibu: ,

Mizizi yote miwili ina mikia isiyo na kikomo na hupatikana takriban, ambayo inakubalika kabisa (na hata kawaida) kwa shida za uchumi.

Mfano 8

Wasilisha jibu katika sehemu za kawaida zisizofaa. Fanya ukaguzi.

Huu ni mfano wa wewe kutatua peke yako (mfano wa muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo).

Wacha tuendelee kuzingatia sheria ya Cramer kwa mfumo wa hesabu tatu na zisizojulikana tatu:

Tunapata kiashiria kuu cha mfumo:

Ikiwa , basi mfumo una suluhisho nyingi sana au hauendani (hauna suluhisho). Katika kesi hii, utawala wa Cramer hautasaidia, unahitaji kutumia Njia ya Gaussian.

Ikiwa , basi mfumo una suluhisho la kipekee na kupata mizizi lazima tuhesabu viashiria vitatu zaidi:
, ,

Na mwishowe, jibu linahesabiwa kwa kutumia fomula:

Mfano 9

Tatua mfumo kwa kutumia fomula za Cramer.

Suluhisho: Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia fomula za Cramer.

, ambayo inamaanisha kuwa mfumo una suluhisho la kipekee.

Jibu: .

Kweli, hapa tena hakuna kitu maalum cha kutoa maoni, kwa sababu ya ukweli kwamba suluhisho linafuata fomula zilizotengenezwa tayari. Lakini kuna maoni kadhaa.

Inatokea kwamba kama matokeo ya mahesabu, sehemu "mbaya" zisizoweza kupunguzwa hupatikana, kwa mfano:.
Ninapendekeza algorithm ifuatayo ya "matibabu". Ikiwa huna kompyuta karibu, fanya hivi:

Mfano 10

Tatua mfumo kwa kutumia fomula za Cramer.

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea (sampuli ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo).

Kwa kesi ya mfumo wa equations 4 na 4 haijulikani, kanuni za Cramer zimeandikwa kulingana na kanuni zinazofanana. Unaweza kuona mfano hai katika somo. Sifa za kibainishi. Kupunguza mpangilio wa kibainishi- Viainisho vitano vya mpangilio wa 4 vinaweza kutatuliwa kabisa. Ingawa kazi hiyo tayari inawakumbusha sana kiatu cha profesa kwenye kifua cha mwanafunzi mwenye bahati.

Kutatua mfumo kwa kutumia matrix inverse

Njia ya matrix inverse kimsingi ni kesi maalum mlinganyo wa matrix (Angalia Mfano Na. 3 wa somo lililotajwa).

Ili kusoma sehemu hii, ni lazima uweze kupanua vibainishi, kupata kinyume cha matriki, na kufanya kuzidisha matrix. Viungo husika vitatolewa kadri maelezo yanavyoendelea.

Mfano 11

Tatua mfumo kwa kutumia njia ya matrix

Suluhisho: Wacha tuandike mfumo katika fomu ya matrix:
, Wapi

Tunapata matrix ya kinyume kwa kutumia formula:
, iko wapi matrix iliyopitishwa ya nyongeza za aljebra ya vipengele vinavyolingana vya matriki.

Kwanza, hebu tuangalie kiashiria:

Hapa kibainishi kinapanuliwa kwenye mstari wa kwanza.

Makini! Ikiwa , basi matrix inverse haipo, na haiwezekani kutatua mfumo kwa kutumia njia ya tumbo. Katika kesi hii, mfumo unatatuliwa njia ya kuondoa haijulikani (Njia ya Gauss).

Sasa tunahitaji kuhesabu watoto 9 na kuwaandika kwenye matrix ya watoto