Hebu fikiria mojawapo ya njia za kawaida za kutatua mifumo ya usawa wa algebraic - njia ya Gauss. Njia hii (pia inaitwa njia ya kuondoa kwa mlolongo wa haijulikani) inajulikana katika chaguzi mbalimbali kwa zaidi ya miaka 2000.
Mahesabu kwa kutumia njia ya Gaussian inajumuisha hatua kuu mbili, zinazoitwa kusonga mbele na kurudi nyuma (badala ya nyuma). Mbinu ya moja kwa moja ya njia ya Gauss inajumuisha kuondoa kwa mpangilio zisizojulikana kutoka kwa mfumo (5.1) ili kuubadilisha hadi mfumo sawa na tumbo la juu la pembetatu. Mahesabu ya maadili ya haijulikani hufanywa katika hatua ya nyuma.
1. Mpango wa mgawanyiko mmoja.
Hebu tufikirie kwanza chaguo rahisi zaidi Njia ya Gaussian, inayoitwa mpango wa mgawanyiko mmoja.
Kusonga mbele kunajumuisha hatua za kuondoa.
Hatua ya 1. Madhumuni ya hatua hii ni kuondoa haijulikani kutoka kwa milinganyo yenye nambari. Tuseme kwamba mgawo Tutauita kipengele kikuu (au kinachoongoza) cha hatua ya 1.
Wacha tupate idadi
inayoitwa vizidishi vya hatua ya 1. Hebu tutoe kwa mfuatano kutoka kwa pili, tatu, milinganyo ya mfumo (5.1) mlinganyo wa kwanza, tukizidishwa na mtawalia. Hii itaturuhusu kugeuka kuwa equation ya kwanza
mgawo sifuri katika milinganyo yote isipokuwa ile ya kwanza. Kama matokeo, tunapata mfumo sawa
ambamo huhesabiwa kwa kutumia fomula
Hatua ya 2. Madhumuni ya hatua hii ni kuondoa kisichojulikana kutoka kwa milinganyo yenye nambari. Acha ni wapi mgawo unaoitwa kipengele kikuu (au kinachoongoza) cha hatua. Wacha tuhesabu sababu za hatua ya 2
na kutoa mfuatano kutoka kwa tatu, nne, milinganyo ya mfumo (5.30) mlinganyo wa pili, ukizidishwa na , mtawalia. Kama matokeo, tunapata mfumo
Hapa coefficients huhesabiwa kwa kutumia fomula
Hatua zilizobaki zinafanywa vivyo hivyo. Hebu tueleze hatua inayofuata.
kth hatua. Kwa kudhani kuwa kipengele kikuu (kinachoongoza) cha hatua ni nonzero, tunahesabu vizidishi vya hatua
na kutoa kwa kufuatana kutoka kwa milinganyo ya mfumo iliyopatikana katika hatua ya awali mlinganyo ulizidishwa ipasavyo na
Baada ya hatua ya kuondoa tunapata mfumo wa equations
ambaye tumbo lake ni pembetatu ya juu. Hii inakamilisha mahesabu ya mbele.
Kurudi nyuma. Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho wa mfumo (5.33) tunapata. Kubadilisha thamani iliyopatikana kwenye mlinganyo wa mwisho, tunapata. Tukitekeleza ubadilishanaji wa kinyume, kisha tunapata mfululizo. Mahesabu ya zisizojulikana hufanywa hapa kwa kutumia fomula.
Ugumu wa mbinu. Wacha tukadirie idadi ya shughuli za hesabu zinazohitajika kutekeleza mpango wa mgawanyiko mmoja.
Mahesabu ya hatua ya 1 ya kuondoa kwa kutumia fomula (5.29), (5.31) yanahitaji mgawanyiko, kuzidisha na kutoa, i.e. jumla ya nambari shughuli za hesabu ni Vile vile, hatua inahitaji uendeshaji, na hatua inahitaji uendeshaji.
Wacha sasa tuhesabu takriban idadi ya shughuli za hesabu za mbele, kwa kuzingatia ukubwa wa mfumo kuwa mkubwa vya kutosha:
Kama inavyoonekana kwa urahisi, kutekeleza kiharusi cha nyuma kulingana na fomula (5.34) unahitaji jumla ya shughuli, ambazo kwa kubwa hazifai ikilinganishwa na idadi ya shughuli za kiharusi cha mbele.
Kwa hivyo, kutekeleza njia ya Gaussian, takriban shughuli za hesabu zinahitajika, na idadi kubwa ya shughuli hizi hufanywa katika hatua ya mbele.
Mfano 5.7. Kwa kutumia njia ya Gaussian tunatatua mfumo
Hoja ya moja kwa moja. Hatua ya 1. Wacha tuhesabu vipengee. Kuondoa kutoka kwa milinganyo ya pili, ya tatu na ya nne ya mfumo (5.35) mlinganyo wa kwanza ukizidishwa na, mtawalia, tunapata.
Hatua ya 2. Wacha tuhesabu mambo. Tukiondoa kutoka kwa mlinganyo wa tatu na wa nne wa mfumo (5.36) mlinganyo wa pili unaozidishwa na, mtawaliwa, tunafika kwenye mfumo.
Hatua ya 3. Kwa kuhesabu kipengele na kutoa kutoka mlingano wa nne wa mfumo (5.37) mlinganyo wa tatu unaozidishwa na tunapunguza mfumo hadi umbo la pembetatu:
Kurudi nyuma. Kutoka kwa mlingano wa mwisho wa mfumo tunapata. Kubadilisha thamani kwenye mlinganyo wa tatu, tunapata
Matokeo ya hesabu yanaweza kufupishwa katika jedwali lifuatalo.
Jedwali 5.2 (angalia tambazo)
Haja ya kuchagua vitu kuu. Kumbuka kwamba hesabu ya vipengele, pamoja na uingizwaji wa kinyume, unahitaji mgawanyiko na vipengele vikuu.Kwa hiyo, ikiwa moja ya vipengele vikuu ni sawa na sifuri, basi mpango wa mgawanyiko mmoja hauwezi kutekelezwa. Akili ya kawaida inasema kwamba katika hali ambapo vipengele vyote kuu ni tofauti na sifuri, lakini kati yao kuna wale walio karibu na sifuri, ongezeko lisilo na udhibiti la kosa linawezekana.
Mfano 5.8. Kwa kutumia njia ya Gauss, tunatatua mfumo wa milinganyo
kwenye kompyuta ndogo ya desimali.
Hoja ya moja kwa moja. Hatua ya 1. Tunahesabu mambo na kubadilisha mfumo kwa fomu
Mahesabu yote katika hatua hii yanafanywa bila kuzungusha.
Hatua ya 2. Baada ya kuhesabu kuzidisha, equation ya mwisho ya mfumo lazima igeuzwe kwa fomu ambapo Hata hivyo, kwenye kompyuta iliyotumiwa, equation itapatikana.
Hakika, mgawo umedhamiriwa kwa usahihi, kwani wakati wa kuhesabu, hakuna nambari ambazo mantissas zina zaidi ya nambari 6. Wakati huo huo, wakati wa kuhesabu, kuzidisha mgawo 3.0001 kwa kutoa nambari ya tarakimu 7 105003.5, baada ya kuzunguka kwa tarakimu 6 matokeo ni 105004. Hesabu 62) imekamilika kwa kufanya operesheni ya kutoa:. Baada ya kuzungusha tarehe ya mwisho hadi tarakimu 6 za mantissa tunafika kwenye equation (5.41).
Kurudi nyuma. Kutoka kwa equation (5.41) pia tunapata 1.00001. Ulinganisho na thamani ya kweli inaonyesha kwamba thamani hii ilipatikana kwa usahihi wa juu sana kwa kompyuta iliyotumiwa. Mahesabu zaidi toa
Baada ya kuzunguka tunayo.
Kama ilivyo rahisi kuona, maadili yaliyopatikana ya haijulikani hayana uhusiano mdogo na maadili ya kweli ya suluhisho.
Ni nini sababu ya kosa kubwa kama hilo? Hakuna haja ya kuzungumza juu ya mkusanyiko wa makosa ya kuzunguka, kwa kuwa jumla ya shughuli 28 za hesabu zilifanywa na tu katika kesi 4 zilihitajika kuzunguka. Dhana ya kwamba mfumo una hali mbaya haijathibitishwa; hesabu inatoa thamani na 100.
Kwa kweli, sababu ni matumizi ya kipengele kidogo cha kuongoza katika hatua. Matokeo ya hii ilikuwa kuonekana kwa kubwa
multiplier na ongezeko kubwa la mgawo katika equation ya mwisho ya mfumo.
Kwa hivyo, toleo la juu la njia ya Gauss (mpango wa mgawanyiko mmoja) iligeuka kuwa sio sahihi na, kwa hiyo, haifai kwa mahesabu ya kompyuta. Njia hii inaweza kusababisha kuacha dharura (ikiwa kwa sababu fulani na mahesabu ya kutumia inaweza kugeuka kuwa imara.
2. Njia ya Gaussian na uteuzi wa kipengele kikuu kwa safu (mpango wa uteuzi wa sehemu).
Maelezo ya mbinu. Katika hatua ya mbele, mgawo wa hesabu za mfumo na nambari hubadilishwa kulingana na fomula.
Ni wazi kuwa ili kuzuia ongezeko kubwa la mgawo wa mfumo na makosa yanayohusiana, vizidishi vikubwa havipaswi kuruhusiwa kuonekana.
Katika njia ya Gaussian na uteuzi wa kipengele kikuu kwa safu, imehakikishiwa kuwa kwa wote k. Tofauti kati ya toleo hili la njia ya Gaussian na mpango wa mgawanyiko mmoja ni kwamba katika hatua ya kuondoa mgawo a, ambayo ina upeo wa juu. thamani kamili, imechaguliwa kama kipengele kikuu. kwa isiyojulikana katika milinganyo na nambari Kisha equation na nambari inayolingana na mgawo uliochaguliwa hubadilishwa na equation ya mfumo ili kipengele kikuu kichukue nafasi ya mgawo.
Baada ya ruhusa hii, kutengwa kwa haijulikani kunafanywa, kama katika mpango wa mgawanyiko mmoja.
Mfano 5.9. Wacha tusuluhishe mfumo wa hesabu (5.39) kwa kutumia njia ya Gaussian na uteuzi wa kitu kikuu kwa safu kwenye kompyuta ndogo ya desimali.
Hoja ya moja kwa moja. Hatua ya 1. Kipengele cha juu cha matrix katika safu ya kwanza iko kwenye safu ya kwanza, kwa hivyo kupanga upya milinganyo sio lazima. Hapa hatua ya 1 inafanywa sawa na katika mfano 5.8.
Hatua ya 2. Miongoni mwa vipengele vya matrix ya mfumo (5.40), moja ya juu ni ya equation ya tatu. Kubadilisha hesabu za pili na tatu, tunapata mfumo
Baada ya hesabu, equation ya mwisho ya mfumo inabadilishwa kuwa fomu
Kurudi nyuma. Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunapata Zaidi, tuna B kwa kesi hii jibu liligeuka kuwa sahihi.
Kumbuka kwamba kazi ya ziada juu ya kuchagua mambo makuu katika mpango wa uteuzi wa sehemu inahitaji mlolongo wa vitendo, ambayo kwa kweli haiathiri utata wa jumla wa njia.
Utulivu wa hesabu wa mpango wa uteuzi wa sehemu. Uchunguzi wa kina wa njia ya Gauss unaonyesha kwamba sababu halisi ya kutokuwa na utulivu wa mpango mmoja wa mgawanyiko ni uwezekano wa ukuaji usio na ukomo wa vipengele vya matrices ya kati katika mchakato wa kusonga mbele. Kwa kuwa katika hatua ya 1 ya mpango wa uteuzi wa sehemu, makadirio yafuatayo ni halali kwa vipengele vilivyohesabiwa kwa kutumia fomula (5.42): Kwa hiyo, thamani ya juu kabisa ya vipengele vya matrix huongezeka kwa hatua moja kwa si zaidi ya mara 2 na katika hali mbaya zaidi. kesi, hatua ya mbele itatoa mgawo wa ukuaji
Uhakikisho wa kwamba ukuaji wa vipengele vya matrix ni mdogo hufanya mpango wa uteuzi wa sehemu kuwa thabiti. Zaidi ya hayo, makadirio ya makosa yafuatayo yanageuka kuwa halali kwake:
Hapa kuna suluhisho la kompyuta-kompyuta kwa mfumo; makosa yake ya jamaa; nambari ya hali ya matrix em - epsilon ya mashine; hatimaye, na baadhi ya kazi zinazokua polepole kulingana na mpangilio wa mfumo (kama vile kazi ya nguvu na kiashiria kidogo), kiwango cha ukuaji.
Uwepo wa kizidishi katika makadirio (5.43) unaonyesha kwamba wakati mchoro mkubwa uteuzi wa sehemu unaweza kuwa na hali mbaya na kunaweza kuwa na hasara kubwa ya usahihi. Hata hivyo, mazoezi ya mahesabu ya matrix yanaonyesha kwamba ukuaji mkubwa wa vipengele vya tumbo hutokea mara chache sana. Katika idadi kubwa ya matukio, thamani halisi ya mgawo wa ukuaji hauzidi 8-10. Ikiwa mfumo umewekwa vizuri, basi kosa la suluhisho lililohesabiwa ni, kama sheria, ndogo.
Wakati mwingine kuangalia ubora wa takriban suluhisho x
Wanahesabu tofauti na kujaribu kuhukumu kiwango cha ukaribu wa suluhisho la takriban kwa moja halisi kwa jinsi tofauti ni ndogo. Njia hii haiaminiki kwa kuzingatia mpango wa uchaguzi wa sehemu, kwani inajulikana kuwa imehakikishiwa kutoa kushindwa kidogo. Kwa usahihi zaidi, taarifa hii inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: makadirio ni ya haki
ambapo ni sawa na katika makadirio (5.43). Kumbuka kuwa ukosefu wa usawa (5.44) haujumuishi nambari ya sharti.
3. Njia ya Gaussian yenye sampuli za kipengele kikuu kote kwenye tumbo (mpango kamili wa uteuzi).
Mpango huu unaruhusu ukiukaji wa utaratibu wa asili wa kuondoa haijulikani.
Katika hatua ya 1 ya mbinu, kati ya vipengele, kipengele kilicho na thamani ya juu kabisa imedhamiriwa.Equation ya kwanza ya mfumo na equation na nambari hubadilishwa. Ifuatayo, x isiyojulikana haijajumuishwa kwa njia ya kawaida kutoka kwa milinganyo yote isipokuwa ya kwanza. (ambayo ni chini sana kuliko thamani inayolingana ya mpango wa uteuzi wa sehemu). Tunasisitiza kuwa matrix bado haijapatikana ambayo uchaguzi kamili utatoa thamani Kwa hivyo, kwa mifumo iliyo na hali nzuri, toleo hili la njia ya Gaussian lina hali nzuri.
Hata hivyo, dhamana ya hali nzuri inapatikana hapa kwa gharama ya gharama kubwa kwa uteuzi wa mambo makuu. Kwa hili, kwa kuongeza shughuli za hesabu Inahitajika kufanya takriban shughuli za kulinganisha, ambazo zinaweza kupunguza kwa kiasi kikubwa mchakato wa kutatua tatizo kwenye kompyuta. Kwa hiyo, katika hali nyingi, katika mazoezi, upendeleo bado hutolewa kwa mpango wa uchaguzi wa sehemu. Kama ilivyoelezwa tayari, hali ambapo ongezeko kubwa la vipengele hutokea wakati wa kutumia toleo hili la njia ya Gaussian ni nadra sana. Aidha, hali hizi zinaweza kutambuliwa kwa urahisi kwa kutumia programu za kisasa. mbinu za ufanisi kufuatilia ukuaji wa vipengele vya matrix.
4. Kesi wakati uteuzi wa mambo makuu sio lazima.
Inajulikana kuwa kwa baadhi ya madarasa ya matrices, wakati wa kutumia mpango mmoja wa mgawanyiko, mambo makuu yanahakikishiwa kuwa iko kwenye diagonal kuu na kwa hiyo hakuna haja ya kutumia uteuzi wa sehemu. Hii ndio kesi, kwa mfano, kwa mifumo iliyo na matiti chanya dhahiri, na vile vile kwa matiti zilizo na mali ifuatayo ya kutawala kwa diagonal:
Matrices ambayo yanakidhi hali (5.45) ni kwamba katika kila safu moduli ya kitu kilicho kwenye diagonal kuu iko. zaidi ya kiasi modules ya vipengele vingine vyote vya mstari.
5. Kuongeza.
Kabla ya kuanza suluhisho, inashauriwa kuongeza mfumo ili coefficients yake iwe juu ya utaratibu wa umoja.
Kuna mbili njia ya asili kuongeza mfumo La kwanza linajumuisha kuzidisha kila milinganyo kwa sababu fulani ya kuongeza kiwango. Ya pili inajumuisha kuzidisha kila safu ya matriki kwa kipengele cha kuongeza, ambacho kinalingana na uingizwaji wa vigeu (kwa kweli, hii ni uingizwaji wa vitengo vya kipimo). Katika hali halisi ya maisha, mara nyingi kuongeza inaweza kufanywa bila ugumu mkubwa. Hata hivyo, tunasisitiza kuwa katika hali ya jumla njia ya kuongeza kiwango cha kuridhisha bado haijapatikana.
Katika mazoezi, kuongeza kawaida hufanywa kwa kugawa kila mlinganyo kwa mgawo wake mkubwa zaidi katika ukubwa. Hii ni njia ya kuridhisha kabisa kwa shida nyingi za maisha halisi.
Kwa hivyo, njia ya Gauss inatumika kwa mfumo wowote milinganyo ya mstari, ni bora kwa kutatua mifumo iliyo na milinganyo ya mstari zaidi ya tatu. Kwa sababu ya unyenyekevu na usawa wa shughuli zilizofanywa, njia ya Gauss ya kutatua SLAE na coefficients ya nambari inafaa kwa hesabu kwenye kompyuta za elektroniki.
Faida za mbinu:
a) nguvu kazi kidogo ikilinganishwa na njia zingine;
b) inakuwezesha kuamua bila shaka ikiwa mfumo unaendana au la, na ikiwa ni sambamba, pata suluhisho lake;
c) hukuruhusu kupata idadi ya juu milinganyo huru ya mstari - kiwango cha matriki ya mfumo.
Hasara kubwa ya njia hii ni kutokuwa na uwezo wa kuunda hali ya uthabiti na uhakika wa mfumo kulingana na maadili ya coefficients na masharti ya bure. Kwa upande mwingine, hata katika kesi ya mfumo maalum, njia hii hairuhusu mtu kupata fomula za jumla zinazoelezea suluhisho la mfumo kupitia mgawo wake na maneno ya bure, ambayo ni muhimu kwa masomo ya kinadharia.
Kwa kuongeza suluhisho la uchambuzi la SLAE, njia ya Gaussian pia inatumika kwa:
a) kutafuta matrix kinyume na ile iliyotolewa (matrix ya kitengo cha ukubwa sawa na ile ya asili imepewa matrix upande wa kulia: , baada ya hapo inapunguzwa kwa fomu. matrix ya utambulisho njia ya Gauss-Jordan; kwa matokeo, mahali pa matrix ya utambulisho wa awali, inverse ya matrix ya awali inaonekana upande wa kulia :);
b) kuamua kiwango cha matrix (kulingana na msingi wa nadharia ya Kronecker-Capelli, kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya anuwai kuu);
c) suluhisho la nambari la SLAE katika teknolojia ya kompyuta(kwa sababu ya kosa la hesabu, Njia ya Gaussian inatumiwa na uteuzi wa kitu kikuu, kiini chake ni kuchagua kama kigezo kuu katika kila hatua ambayo kati ya safu na safu zilizobaki baada ya kufuta ni mgawo na. kiwango cha juu cha thamani kamili).
Kuna njia zingine za kutatua na kusoma mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo haina shida zilizobainishwa. Njia hizi zinatokana na nadharia ya matrices na viambatisho.
Combinatorics.
Ni kwa njia ngapi wavulana watatu - Almas, Bolat, Sabyr - wanaweza kusimama kwenye safu moja? - Sio ngumu, wacha tuandike kesi zote zinazowezekana (mchanganyiko): ABS, ASB, BAS, BSA, SAB, SBA. Kuna michanganyiko sita kwa jumla.
Wacha tuseme mvulana mwingine Dauren alijiunga nao. Je! ni njia gani za kupanga katika kesi hii? Katika visa sita vinavyowezekana, Dauren inaweza kuwa ya kwanza, ya pili, ya tatu na ya mwisho:
DABS, DASB, DBAS, DBSA, DSAB, DSBA;
ADBS, ADSB, BDAS, BDSA, SDAB, SDBA;
ABDS, ASDB, BADS, BSDA, SADB, SBDA;
ABSD, ASBD, BASD, BSAD, SABD, SBAD.
Jumla 24 njia tofauti. Je, ikiwa tutaongeza idadi ya watoto? Ni vigumu kuandika na kuonyesha idadi ya jumla kila wakati. Tunahitaji kufafanua idadi ya njia, sio aina za njia. Kuna njia zingine za kuamua nambari hii? - Kula. Na katika nadharia ya uwezekano tunavutiwa zaidi na idadi ya njia za mpangilio kuliko aina za mpangilio. Tawi la hisabati inayoitwa combinatorics hufanya iwezekanavyo kuamua mara moja idadi ya njia kama hizo. Hebu tufahamiane na dhana za msingi za combinatorics muhimu kwa kutatua matatizo katika nadharia ya uwezekano. Hizi ni vibali, uwekaji na mchanganyiko. Hebu tuangalie kila mmoja tofauti.
1. Kupanga upya. Fikiria idadi ya kesi katika tatizo la awali. Tulipanga upya barua A, B, C na kuhesabu idadi ya mchanganyiko iwezekanavyo, ilikuwa 6. Na wakati idadi ya wavulana iliongezeka kwa moja, tulipanga upya barua A, B, C, D, tulipata idadi ya mchanganyiko iwezekanavyo, ilikuwa 24.
UFAFANUZI. Ruhusa ya n vipengele mbalimbali huitwa mchanganyiko unaojumuisha vipengele vya n na hutofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa utaratibu wa mpangilio wao.
Idadi ya vibali vya n vitu tofauti huonyeshwa na P n na huhesabiwa kwa kutumia formula:
hapa n! (soma "en factorial") inamaanisha bidhaa ya wote nambari za asili kutoka 1 hadi n:
Ni wazi kwamba factorial moja sawa na moja, 1! = 1, wakati huo huo, katika hisabati inakubaliwa kwa ujumla kuwa sifuri factorial ni sawa na moja. Na hivyo 0! = 1.
Hebu turudi kwenye mfano. Hapa n=3. Kwa hiyo, unaweza kupata idadi inayotakiwa ya vibali kwa kutumia formula (1): P 3 =3!=1 2 3=6. Vile vile, idadi ya vibali vya herufi nne ni: P 4 =4!=1 2 3 4=24
Mfano 7. Hebu tutafute thamani ya usemi wenye factorials 8!/6! 2!
Kwanza tunabadilisha 8!=1 2 3 4 5 6 7 8=6! 7 8
Wacha tubadilishe mabadiliko haya kuwa usemi na tuirahisishe. 8; 6! 2 = 6! 7 8/6! 2=7 8/2=28
2. Nafasi. Hebu tuangalie mfano. Ni nambari ngapi za nambari mbili (nambari hazirudiwi) zinaweza kuandikwa kwa kutumia nambari 7, 8, 9. Hii inaweza kufanywa kwa hatua mbili: hatua ya kwanza ni kuamua idadi ya uteuzi wa sehemu za kumi za nambari, ni. sawa na 3 (yoyote kati ya tarakimu hizi 3 inaweza kuchukua nafasi ya kumi); hatua ya pili ni kuamua idadi ya uteuzi wa vitengo tarakimu ya idadi, ni sawa na 2 (tarakimu yoyote kutoka mbili iliyobaki inaweza kuchukua vitengo tarakimu). Kwa mujibu wa kanuni ya kuzidisha, kutoka kwa namba tatu unaweza kufanya jumla ya 3 2 = 6 nambari tofauti za tarakimu mbili. Hakika, unaweza kuthibitisha hili kwa kuandika moja kwa moja nambari hizi 78, 79, 87, 89, 97, 98. Wakati wa kutatua tatizo, tulipanga vipengele viwili kati ya vitatu, na mchanganyiko huu hutofautiana ama katika muundo (78, 98) au kwa utaratibu wa mpangilio wao ( 78, 87).
UFAFANUZI. Mpangilio wa vipengele vya n kwa vipengele vya m (m n) ni michanganyiko inayojumuisha vipengele vya m vilivyochukuliwa kutoka kwa vipengele tofauti vya n, vinavyotofautiana ama katika vipengele vyenyewe au kwa utaratibu wa mpangilio wao.
Idadi ya uwekaji wa vipengele vya n kwa vipengele vya m huashiria na kusomeka kama ifuatavyo: "A kutoka en hadi em." Ili kupata tumia formula:
(15)
Hebu tuangalie mfano mwingine. Katika darasa la 5 wanasoma masomo 10. Je, ratiba inaweza kufanywa kwa njia ngapi ikiwa kuna masomo 4 tofauti siku hiyo?
Ili kupata idadi ya njia za kupanga vitu 10 vya vitu vinne kila moja, tunatumia fomula (15) kupata idadi ya mipangilio ya vitu 10 vya vitu 4 kila moja:
Kwa hivyo, vitu 10 vya vitu 4 vinaweza kupangwa 5040 njia tofauti.
3. Mchanganyiko. Mfano. Unahitaji kutunga bidhaa za mbili nambari tofauti kutoka kwa nambari tatu zilizopewa 7, 8, 9.
Kwa kuzingatia mali ya ubadilishaji ya kuzidisha, tunayo: 7 8=56, 7 9=63, 8 9=72. Wakati wa kutatua tatizo, tulichagua vipengele viwili kati ya vitatu, na mchanganyiko huu hutofautiana tu katika utungaji (78, 98), na maeneo yao hayaathiri bidhaa.
UFAFANUZI. Mchanganyiko wa vipengele vya n vya vipengele vya m (m n) ni mchanganyiko unaojumuisha vipengele vya m vilivyochukuliwa kutoka kwa vipengele tofauti vya n, vinavyotofautiana kutoka kwa kila mmoja tu katika muundo.
Idadi ya michanganyiko ya vipengele vya n kwa vipengele vya m inaashiria na kusomeka kama ifuatavyo: "tse kutoka en hadi em." Ili kupata tumia formula:
(16)
Katika mfano wetu, n=3 na m=2. Kisha 
Hebu tuangalie mfano mwingine. Kuna wanafunzi 25 darasani, 12 kati yao ni wavulana. a) Ni muhimu kuunda wajibu wa watu wawili, na jozi zinapaswa kuwa na wavulana au wasichana. b) Ni vikundi vingapi vinaweza kuundwa kwa ajili ya wajibu, vikiwa na wavulana wawili na msichana mmoja?
Suluhisho. a) Wakati wa kutatua tatizo hili, tutatumia kanuni ya kuongeza na mchanganyiko wa mchanganyiko. Kwanza, hebu tuhesabu ni jozi ngapi zinaweza kuundwa kutoka kwa wavulana (m 1) na wasichana (m 2), kisha tupate jumla yao (m=m 1 +m 2).
Kuamua ni jozi ngapi zinaweza kuunda kutoka kwa wavulana 12, tutatumia formula ya kuhesabu idadi ya mchanganyiko wa vipengele 12 vya vipengele 2.
Unaweza kuunda jozi 78 tofauti za wasichana. Kisha, wavulana wawili na wasichana wawili, jumla ya m=66+78=144 jozi tofauti inaweza kuundwa.
b) Wakati wa kutatua tatizo hili, tutatumia kanuni ya kuzidisha na mchanganyiko wa mchanganyiko. Kuna wavulana wawili na msichana mmoja katika kikundi. Kwanza, hebu tuhesabu ni njia ngapi tunaweza kuchagua wavulana wawili kutoka kwa wavulana 12 (m 1) na msichana mmoja kutoka kwa wasichana 13 (m 2), kisha kuzidisha matokeo yaliyopatikana (m=m 1 m 2).
Kati ya wavulana 12, wavulana 2 wanaweza kuchaguliwa kwa njia 66 tofauti. Na kati ya wasichana 13, msichana 1 anaweza kuchaguliwa kama ifuatavyo:
Kisha kundi la wavulana wawili na msichana mmoja linaweza kuundwa m=66 13=856 kwa njia mbalimbali.
Ufafanuzi wa matrix. Viamuzi vya amri ya pili na ya tatu, mali zao kuu. Viongezeo vya watoto na algebraic, upanuzi wa kiashiria katika safu (safu). Njia za kuhesabu viashiria. Dhana ya kiambishi cha mpangilio wa nth.
Ufafanuzi 1.1. Matrix inayoitwa meza ya mstatili ya nambari.
Uteuzi: A - matrix, - kipengele cha matrix, nambari ya safu ambayo kipengele hiki iko, nambari ya safu inayolingana; m ni idadi ya safu za matrix, n ni nambari ya safu wima zake.
Ufafanuzi 1.2. Nambari m na n zinaitwa vipimo matrices.
Ufafanuzi 1.3. Matrix inaitwa mraba, ikiwa m = n. Nambari n katika kesi hii inaitwa ili matrix ya mraba.
Kila tumbo la mraba linaweza kuhusishwa na nambari ambayo imeamuliwa kipekee kwa kutumia vipengele vyote vya matriki. Nambari hii inaitwa kiashiria.
Ufafanuzi 1.4 . Kiamuzi cha agizo la pili ni nambari inayopatikana kwa kutumia vipengele vya mpangilio wa mraba wa mpangilio wa 2 kama ifuatavyo:
.
Kwa kuongezea, kutoka kwa bidhaa ya vitu vilivyo kwenye kile kinachojulikana kama diagonal kuu ya tumbo (kutoka juu kushoto kwenda kulia. kona ya chini) bidhaa ya vipengele vilivyo kwenye pili, au sekondari, diagonal imetolewa.
1. 
2.
Ufafanuzi 1.5. Kiamuzi cha agizo la tatu ni nambari iliyoamuliwa kwa kutumia vipengele vya mpangilio wa mraba wa mpangilio wa 3 kama ifuatavyo:
A`, inayoitwa kupitishwa kuhusiana na tumbo A, ambao vipengele vyake vinaunganishwa na vipengele A uwiano a` ij = a ji .
Wacha iwe muhimu kutatua mfumo wa mstari wa hesabu za fomu:
au kwa namna nyingine
Katika kozi ya aljebra ya mstari, suluhu za mfumo wa milinganyo (5.2) zinawakilishwa kulingana na kanuni ya Cramer katika mfumo wa uwiano wa viambishi vinavyolingana. Ikiwa unatumia njia bora zaidi ya kuhesabu kibainishi, basi kulingana na sheria ya Cramer, takriban -|n inahitajika! shughuli za hesabu. Hata hivyo, kuna njia bora zaidi ya kutatua mfumo wa milinganyo (5.2) - mbinu ya kuondoa ya Gaussian, ambayo inahitaji -|n 3 shughuli za hesabu.
Wacha tuanze somo letu la mfumo wa equations (5.2) na kesi maalum wakati matrix ya mfumo iko juu ya pembetatu, ambayo ni, vitu vyake vyote chini ya diagonal kuu ni sawa na sifuri. Kwa kutekeleza spy(triu(randn(25)))))) katika dirisha la amri ya MATLAB, tutatoa tumbo la juu la pembetatu na picha yake ya kielelezo. Katika Mtini. Mchoro 5.1 unaonyesha mfano sambamba wa matrix ya pembetatu ya juu.
Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo na tumbo la juu la triangular tunapata Xl, kuibadilisha kwenye equation ya mwisho, tunapata X„_i, nk - tunapata suluhisho zima. Fomula ya jumla kuamua Xj-ro ina fomu:
Njia ya Gaussian inaonyeshwa kwa utaratibu wa kupunguza matrix ya mfumo wa equations kwa fomu ya triangular (kwa mfano, kwa fomu ya juu ya triangular kwenye Mchoro 5.1). Hii inaweza kufanywa kama ifuatavyo. Wacha tutoe equation ya kwanza kutoka kwa mlinganyo wa pili, ikizidishwa na nambari ambayo mgawo wa X] unakuwa sifuri; vivyo hivyo, tunaondoa mlinganyo wa kwanza kutoka kwa pili, tatu, nk hadi Pth. Matokeo yanapaswa kuwa mfumo mpya milinganyo ambayo safu wima ya kwanza ina sufuri kila mahali isipokuwa kipengele cha mshazari A c. Kisha, kwa kutumia equation ya pili, tunatumia utaratibu huo wa kuweka upya vipengele vya safu ya pili ambayo iko chini ya diagonal kuu. Kuendeleza utaratibu huu kwa milinganyo ya tatu na yote inayofuata, tunabadilisha matrix ya mfumo kwa fomu ya juu ya triangular.
Mchele. 5.1.
Acha vipengele viondolewe k- Safu wima 1. Milinganyo iliyobaki na safu wima zisizo sifuri inaweza kuandikwa kama:
Zidisha k-k) mstari kwa nambari Na tk =/oKama 1, t > k, na uondoe kutoka kwa wth
mistari. Kipengele cha kwanza kisicho sifuri cha mstari huu kinakuwa sifuri, na vitu vingine vinaweza kuhesabiwa tena kwa kutumia fomula:
Utekelezaji wa kanuni (5.4), (5.5) ya kuweka sifuri kila safu ya matriki chini ya ncha kuu za mlalo. (P- 1) safu, na utaratibu mzima unaitwa mbele kabisa isipokuwa.
Kuweka (5.4), (5.5) pamoja, tunayo
au kwa namna iliyopanuliwa 
Mfumo wa equations (5.6) hutatuliwa kwa urahisi kinyume kulingana na fomula (5.3).
Ukiukaji unaowezekana katika uendeshaji wa algorithm (5.4), (5.5) inaweza kuwa kutokana na ukweli kwamba kwenye diagonal kuu kuna kipengele cha sifuri kk "= 0. Katika kesi hii, ni muhimu kati ya safu za matrix. chini Kwa- tafuta aliye nayo Kwa- m mahali kuna kipengele kisicho sifuri. Mstari kama huo lazima upatikane; ikiwa haipatikani, inamaanisha kuwa ndani Kwa- m safu, kuanzia nambari ya kth, vitu vyote ni sifuri, na kwa hivyo kiashiria cha tumbo A sawa na sifuri. Kwa kupanga upya safu, unaweza kuhamisha safu inayofaa hadi kwenye nafasi inayotaka.
Ikiwa inageuka kuwa kipengele kwenye diagonal kuu ni ndogo, basi coefficients S t k kuwa idadi kubwa, na wakati wa kuhesabu upya vipengele vya matrix kulingana na (5.5), kunaweza kuwa na hasara kubwa ya usahihi kutokana na makosa ya kuzunguka wakati wa kutoa idadi kubwa. Ili kuzuia hili kutokea, kati ya vipengele vya safu a^k, t>k, tafuta kuu au upeo na kupanga upya mistari huihamisha kwa diagonal kuu. Njia hii inaitwa Njia ya Gaussian na uchaguzi wa kipengele kikuu. NA kwa kuchagua kipengele kikuu, makosa ya kuzunguka katika njia ya Gaussian kawaida ni ndogo.
Njia ya Gauss na chaguo la kitu kikuu ni rahisi zaidi, ya kuaminika zaidi na yenye faida na kwa sababu hii inahitajika sana wakati wa kutatua mifumo ya mstari wa equations na matrix ya utaratibu iliyojaa sana. P
Hebu fikiria utaratibu wa ufumbuzi mfumo wa mstari milinganyo katika MATLAB. Hebu tuonyeshe kwa majaribio kwamba kwa wastani idadi ya shughuli zinazofanywa na processor ya kati wakati wa kutatua mfumo wa mstari wa equations ni sawia na mchemraba wa utaratibu wa matrix. Wacha tuonyeshe uhusiano huo bila dalili wakati(n)/n 3 inaelekea kuwa na nguvu ya awali mara kwa mara P -> oh wapi wakati(n)- wakati wa uendeshaji wa processor ya kati kwa utaratibu fulani wa tumbo P.
Orodha ya 5.1 inaonyesha nambari ya programu inayolingana.
Kuorodhesha 5.1
"/"Programu ya kusoma wakati uliotumika"/"wa kichakataji cha kati wakati wa kutatua %mifumo ya milinganyo ya mstari%futa nafasi ya kazi futa yote.
"/"tunaamua mpangilio wa juu zaidi wa "/"matrices zinazobadilika
ptha =1 0 0 0; k =0;
"/" tunapanga mzunguko wa mifumo ya kutatua "/" milinganyo ya fomu A X = b kwa n = 1: 10: pmax k = k +1; utaratibu) к) =п;
“/tunaunda matrix nasibu A %i upande wa kulia b A=r nan(n); b=randn(n, 1);
"/"kumbuka wakati wa awali wa wakati" / uendeshaji wa processor ya kati 10 =с рut i me;
“/tunasuluhisha mfumo wa mstari wa milinganyo %A X = b kwa kutumia fomula: X = A b A b;
"/ tunapata wakati unaofuata kwa wakati,
"/ toa ile iliyotangulia kutoka kwayo na"/ ugawanye kwa mchemraba wa mpangilio wa matrix
t (k) = (pamoja na kuweka mimi-10) / n l3; mwisho
"/"jenga grafu ya utegemezi wa nguvu ya awali mara kwa mara"/kwa mpangilio wa semilojia ya matriki A(agizo,t);
Mchele. 5.2.
Katika Mtini. Mchoro 5.2 unaonyesha grafu ya utegemezi wa nguvu ya awali ya uwiano wa muda wa uendeshaji wa processor ya kati hadi mchemraba wa utaratibu wa tumbo kwenye utaratibu wa tumbo. Ni wazi kwamba wakati P-> oo mtazamo kweli wakati(n)/n 3 huelekea baadhi ya mara kwa mara, ambayo inathibitisha utegemezi wa ujazo wa idadi ya shughuli katika njia ya Gauss juu ya utaratibu wa tumbo.
Kipimo cha kubainisha na kinyume kinaweza pia kupatikana kwa uondoaji wa Gaussian. Wakati wa mchakato wa kuondoa, kutoa safu mlalo hakubadilishi kibainishi, lakini nafasi ya desimali ya mia inaweza kubadilika safu mlalo zinapopangwa upya. Baada ya kupunguza matrix kwa fomu ya pembetatu, tunaweza kupata kiamua cha tumbo katika mfumo wa bidhaa ya vitu vyake vya diagonal:
ambapo chaguo la "+" au inategemea ikiwa ruhusa kamili ya safu mlalo ilikuwa sawa au isiyo ya kawaida.
Wacha tujifunze utaratibu wa kupata kiambishi cha matrix (5.7) kwa kutumia mfano wa kawaida wa kazi ya MATLAB det(A), ambapo A ni matrix ya PHP ya kiholela. Wacha tujifunze utegemezi wa thamani ya kibainishi cha matriki na vitu vya nasibu vilivyosambazwa juu sheria ya kawaida kwa wastani 0 na mkengeuko wa kawaida 1, kulingana na mpangilio wa matrix.
Orodha ya 5.2 inaonyesha nambari ya programu inayolingana.
Orodha ya 52
Programu ya kusoma utaratibu wa kutafuta kibainishi cha matriki ambayo vipengele vyake vigezo random,
"/"ikisambazwa kwa mujibu wa sheria ya kawaida kwa wastani wa 0% na mkengeuko wa kawaida wa 1%, futa nafasi ya kazi safisha yote.
"/"tunabainisha kiwango cha juu cha agizo la% la matrices yaliyochanganuliwa
ptha =3 0 0;
%panga mzunguko wa kutafuta kibainishi cha %matrix A - det(A) kwa n=l: 5: nmax k =k +1; utaratibu) k) =n;
%unda matrix nasibu A=r a n d n (n) ;
%hesabu kibainishi cha matrix A
%tunabadilisha hadi kiwango cha logarithmic% tunaporekebisha thamani za kiambishi d(k) =si gn(d(k)) *1 og 10(d(k)); mwisho
% jenga grafu ya utegemezi wa maadili ya %kiamua cha matrix kwa mpangilio wa matrix
njama (amri, d);
Katika Mtini. Mchoro 5.3 unaonyesha grafu ya utegemezi wa logariti ya kibainishi cha matriki nasibu kwenye mpangilio wa matriki. Inaweza kuonekana kuwa kibainishi cha matriki nasibu hukua kwa kasi na kuongezeka kwa mpangilio wa matrix.
Mchele. 5.3.
Kuhesabu matrix ya kinyume hebu kuashiria vipengele vyake kwa a 1t, 1,t = 1, na tutaendelea kutoka kwa uhusiano AA 1 = E, basi ingizo lifuatalo ni sahihi:
Kulingana na (5.8), safu wima ya /th ya matrix inverse inaweza kuzingatiwa kama vekta isiyojulikana ya mfumo wa mstari wa milinganyo na matrix. A na upande maalum wa kulia. Kwa hivyo, ubadilishaji wa matrix hupunguzwa ili kutatua mfumo wa mstari wa equations P nyakati na tumbo sawa, lakini kwa pande tofauti za mkono wa kulia. Kupunguza mfumo kwa fomu ya pembetatu hufanywa mara 1 tu, kwa hivyo idadi ya shughuli za hesabu wakati wa kugeuza matrix ni kubwa mara tatu tu kuliko wakati wa kutatua mfumo wa hesabu za mstari, i.e., ya mpangilio wa * 2P 3.
Fikiria sasa inv(A) kazi katika MATLAB, ambayo inarudisha kinyume cha A tumbo. Orodha ya 5.3 inaonyesha msimbo wa programu inayolingana.
Orodha ya 53
%Programu ya kusoma utaratibu wa kutafuta tumbo kinyume, vipengele ambavyo ni viambatisho nasibu vinavyosambazwa kwa mujibu wa sheria ya kawaida yenye maana ya 0 na mkengeuko wa kawaida wa 1.
Kusafisha eneo la kazi
%amua kiwango cha juu zaidi cha agizo la %matriki zilizochanganuliwa
pshah=1 0 00; k =0;
Hebu tupange upya mzunguko wa kutafuta Romatrix kinyume hadi A - i ПV(А) kwa n=1: 5: ptah k =k +1; o g d e g (k) = n;
Wacha turekebishe matrix ya nasibu A
Tunahesabu matrix ya Ai nv=i nv(A) kinyume hadi A;
Tunapata hitilafu ya ubadilishaji E =еуе(n);
e g (k) = p o g w (A* Ai nv- E); mwisho
Wacha tupange utegemezi wa maadili ya makosa
% ya ubadilishaji wa matrix kutoka kwa mpangilio wa matrix
semilojia(order.er);
Katika Mtini. Mchoro 5.4 unaonyesha utegemezi wa kosa la ubadilishaji wa matrix kwenye mpangilio wake. Inaweza kuonekana kuwa utaratibu wa matrix huongezeka kutoka 1 hadi 800, kosa la inversion, lililoonyeshwa kwa kawaida fulani, huongezeka kwa amri tano za ukubwa.
2. Marekebisho ya njia ya Gauss
Njia ya Gaussian na uteuzi wa kipengele kikuu. Kizuizi kikuu cha njia ya Gauss ni dhana kwamba vitu vyote ambavyo mgawanyiko hufanywa kwa kila hatua ya mbele sio sawa na sifuri. Vitu hivi huitwa vitu kuu na viko kwenye diagonal kuu ya matrix A.
Ikiwa katika hatua fulani ya kusonga mbele kipengele kikuu = 0, basi ufumbuzi zaidi wa mfumo hauwezekani. Ikiwa kipengele kikuu kina thamani ndogo, karibu na sifuri, basi ongezeko kubwa la kosa linawezekana kutokana na ongezeko kubwa la thamani kamili ya coefficients iliyopatikana kutokana na mgawanyiko. Katika hali kama hizi, njia ya Gaussian inakuwa thabiti.
Njia ya Gauss na uchaguzi wa kipengele kikuu inaruhusu sisi kuwatenga tukio la kesi hizo.
Wazo la njia hii ni kama ifuatavyo. Wakati fulani kth hatua kiharusi cha mbele, sio kigezo kifuatacho chenye nambari x k ambacho hakijumuishwi kutoka kwa milinganyo, lakini kigezo ambacho mgawo wake ndio mkubwa zaidi. thamani kamili. Hii inahakikisha kuwa hakuna mgawanyiko kwa sifuri na kwamba njia inabaki thabiti.
Ikiwa katika hatua ya kth ¹ imechaguliwa kama kipengele kikuu, basi kwenye matrix A¢ safu mlalo zenye nambari k na p na safu wima zenye nambari k na q lazima zibadilishwe.
Kupanga upya safu hakuathiri suluhu, kwani inalingana na kugeuza milinganyo kwenye mfumo, lakini kupanga upya safu kunamaanisha kubadilisha hesabu za vigeu. Kwa hiyo, taarifa kuhusu nguzo zote zilizopangwa upya lazima zihifadhiwe ili baada ya kukamilika kwa hoja ya nyuma, nambari za awali za vigezo zinaweza kurejeshwa.
Kuna marekebisho mawili rahisi ya njia ya Gauss:
Kwa uteuzi wa kipengele kikuu kwa safu;
Kwa uteuzi wa kipengele kikuu kwa mstari.
Katika kesi ya kwanza, kipengele kikubwa zaidi katika thamani kamili kinachaguliwa kama kipengele kikuu mstari wa kth(kati ya vipengele, i =). Katika pili - kipengele kikubwa zaidi katika thamani kamili ya safu ya kth (kati ya vipengele, i =). Njia ya kwanza imeenea zaidi, kwani hesabu ya vigeu haibadilika hapa.
Ikumbukwe kwamba marekebisho haya yanatumika tu kwa mwendo wa mbele wa njia ya Gaussian. Hatua ya nyuma inafanywa bila mabadiliko, lakini baada ya kupata suluhisho, inaweza kuwa muhimu kurejesha nambari za awali za vigezo.
mtengano wa LU. Katika programu ya kisasa ya kompyuta, njia ya Gauss inatekelezwa kwa kutumia mtengano wa LU, ambayo inaeleweka kama inawakilisha matrix ya mgawo A kama bidhaa A = LU ya matrices mbili L na U, ambapo L ni matrix ya chini ya triangular, U ni tumbo la juu la triangular.
Ikiwa upanuzi wa LU unapatikana, basi suluhisho la mfumo wa awali wa equations (2) hupunguzwa kwa ufumbuzi wa mfululizo wa mifumo miwili ifuatayo ya equations na matrices ya mgawo wa triangular.
mstari wa mlingano wa aljebra wa nambari
ambapo Y = ni vekta ya viambajengo vya msaidizi.
Njia hii inakuwezesha kutatua mara kwa mara mifumo ya equations ya mstari na pande tofauti za kulia B. Katika kesi hii, sehemu ya kazi kubwa zaidi (mtengano wa LU wa matrix A) unafanywa mara moja tu. Utaratibu huu unalingana na mwendo wa mbele wa njia ya Gaussian na ina makadirio ya utata ya O(n 3). Suluhisho zaidi la mifumo ya equations (6) na (7) inaweza kufanywa mara nyingi (kwa tofauti B), na suluhisho la kila mmoja wao linalingana na kinyume cha njia ya Gaussian na ina makadirio. utata wa hesabu O(n 2).
Ili kupata mtengano wa LU, unaweza kutumia algorithm ifuatayo.
1. Kwa mfumo wa asili (1), fanya uendelezaji wa mbele wa njia ya Gaussian na upate mfumo wa milinganyo ya pembe tatu (5).
2. Kuamua vipengele vya matrix U kulingana na utawala
u ij = C ij (i =; j =)
3. Kuhesabu vipengele vya matrix L kulingana na sheria
Njia za hesabu za mfumo wa utatuzi (6) zina mtazamo unaofuata:
y 1 = b 1 / l 11;
Njia za kuhesabu za mfumo wa utatuzi (7)
(i = n - 1, n - 2, ..., 1).
Wakati huo huo, kupata matrix ya kinyume ni mchakato unaohitaji kazi kubwa na programu yake haiwezi kuitwa kazi ya msingi. Kwa hivyo, katika mazoezi, njia za nambari za kutatua mifumo ya equations za mstari hutumiwa mara nyingi zaidi. Mbinu za nambari za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni pamoja na zifuatazo: Njia ya Gauss, Mbinu ya Cramer, njia za kurudia. Kwa njia ya Gauss, kwa mfano, wanafanya kazi ...
35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35075 58 . Uchambuzi wa kulinganisha mbinu mbalimbali utofautishaji wa nambari na ujumuishaji 5.1 Mbinu za utofautishaji wa nambari 5.1.1 Maelezo ya njia Hebu tufikirie kuwa katika kitongoji cha hatua xi kazi F (x) inaweza kutofautishwa idadi ya kutosha ya nyakati. ...
Katika Turbo Pascal 7.0 ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya aljebra kwa kutumia mbinu rahisi ya kurudia. 1.2 Uundaji wa tatizo la hisabati Acha A iwe matrix isiyo ya umoja na tunahitaji kutatua mfumo ambapo vipengele vya diagonal vya matrix A sio sifuri. 1.3 Mapitio ya mbinu zilizopo za nambari za kutatua tatizo Mbinu ya Gaussian Katika mbinu ya Gaussian, matrix ya SLAE kwa kutumia sawa...
Nambari). Ifuatayo, kwa kutumia fomula (2), xn-1, xn-2,..., x1 hupatikana kwa kufuatana kwa i=n-1, n-2,...,1, mtawalia. Kwa hivyo, suluhisho la equations ya fomu (1) inaelezewa na njia inayoitwa njia ya kufagia, ambayo hupunguzwa kwa mahesabu kwa kutumia tatu. fomula rahisi: kutafuta kinachojulikana kama viunganishi vya kufagia δi, λi kwa kutumia fomula (3) ya i=1,2,...,n (fagia moja kwa moja) na kisha haijulikani xi kwa...
Tunaendelea kuzingatia mifumo ya milinganyo ya mstari. Somo hili ni la tatu kwenye mada. Ikiwa una wazo lisilo wazi la mfumo wa hesabu za mstari ni nini kwa ujumla, ikiwa unahisi kama teapot, basi ninapendekeza kuanza na misingi kwenye ukurasa Ifuatayo, ni muhimu kusoma somo.
Njia ya Gaussian ni rahisi! Kwa nini? Mwanahisabati maarufu wa Ujerumani Johann Carl Friedrich Gauss, wakati wa uhai wake, alipokea kutambuliwa kama mwanahisabati mkuu wa wakati wote, fikra, na hata jina la utani "Mfalme wa Hisabati." Na kila kitu cha busara, kama unavyojua, ni rahisi! Kwa njia, sio wanyonyaji tu wanaopata pesa, lakini pia wajanja - picha ya Gauss ilikuwa kwenye noti 10 ya Deutschmark (kabla ya kuanzishwa kwa euro), na Gauss bado anatabasamu kwa kushangaza kwa Wajerumani kutoka kwa stempu za kawaida za posta.
Mbinu ya Gauss ni rahisi kwa kuwa ELIMU YA MWANAFUNZI WA DARASA LA TANO INATOSHA kuimudu. Lazima ujue jinsi ya kuongeza na kuzidisha! Sio sadfa kwamba walimu mara nyingi huzingatia mbinu ya kutojumuisha kwa mfuatano mambo yasiyojulikana katika uteuzi wa hisabati shuleni. Ni kitendawili, lakini wanafunzi wanaona njia ya Gaussian kuwa ngumu zaidi. Hakuna kitu cha kushangaza - yote ni juu ya mbinu, na nitajaribu kuzungumza juu ya algorithm ya njia katika fomu inayoweza kupatikana.
Kwanza, wacha tupange maarifa kidogo juu ya mifumo ya milinganyo ya mstari. Mfumo wa milinganyo ya mstari unaweza:
1) Kuwa na suluhisho la kipekee. 2) Kuwa na suluhisho nyingi sana. 3) Huna suluhu (kuwa yasiyo ya pamoja).
Njia ya Gauss ndio zana yenye nguvu zaidi na ya ulimwengu wote ya kutafuta suluhisho yoyote mifumo ya milinganyo ya mstari. Kama tunavyokumbuka, Utawala wa Cramer na njia ya matrix hazifai katika hali ambapo mfumo una masuluhisho mengi sana au hauendani. Na njia ya kuondoa mlolongo wa haijulikani Hata hivyo itatuongoza kwenye jibu! Katika somo hili, tutazingatia tena njia ya Gauss kwa kesi No. Ninaona kuwa algorithm ya njia yenyewe inafanya kazi sawa katika kesi zote tatu.
Hebu kurudi nyuma mfumo rahisi zaidi kutoka darasani Jinsi ya kutatua mfumo wa equations za mstari? na kuitatua kwa kutumia njia ya Gaussian.
Hatua ya kwanza ni kuandika matrix ya mfumo uliopanuliwa:. Nadhani kila mtu anaweza kuona kwa kanuni gani coefficients imeandikwa. Mstari wa wima ndani ya tumbo hauna maana yoyote ya kihisabati - ni upitishaji kwa urahisi wa muundo.
Rejea : Ninapendekeza ukumbuke masharti algebra ya mstari. Matrix ya Mfumo ni matrix inayoundwa tu na coefficients kwa haijulikani, katika mfano huu matrix ya mfumo: . Matrix ya Mfumo Uliopanuliwa - hii ni matrix sawa ya mfumo pamoja na safu ya maneno ya bure, katika kesi hii: . Kwa ufupi, yoyote ya matrices inaweza kuitwa tu matrix.
Baada ya matrix ya mfumo uliopanuliwa kuandikwa, ni muhimu kufanya vitendo kadhaa nayo, ambayo pia huitwa mabadiliko ya msingi.
Kuna mabadiliko yafuatayo ya kimsingi:
1) Kamba matrices Je! panga upya katika baadhi ya maeneo. Kwa mfano, kwenye tumbo linalozingatiwa, unaweza kupanga upya safu za kwanza na za pili bila maumivu: 
2) Ikiwa matrix ina (au imeonekana) sawia (kama kesi maalum- kufanana) mistari, kisha inafuata kufuta Safu hizi zote ni kutoka kwa matrix isipokuwa moja. Fikiria, kwa mfano, tumbo 
. Katika tumbo hili, safu tatu za mwisho ni sawia, kwa hivyo inatosha kuacha moja tu kati yao: 
.
3) Ikiwa safu ya sifuri inaonekana kwenye tumbo wakati wa mabadiliko, basi inapaswa pia kuwa kufuta. Sitachora, bila shaka, mstari wa sifuri ni mstari ambao sufuri zote.
4) safu ya matrix inaweza kuwa zidisha (gawanya) kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri. Fikiria, kwa mfano, matrix. Hapa inashauriwa kugawa mstari wa kwanza na -3, na kuzidisha mstari wa pili na 2: 
.
Kitendo hiki muhimu sana kwa sababu hurahisisha mabadiliko zaidi ya matrix.
5) Mabadiliko haya husababisha ugumu zaidi, lakini kwa kweli hakuna chochote ngumu. Kwa safu ya matrix unaweza ongeza mfuatano mwingine uliozidishwa na nambari, tofauti na sifuri. Fikiria matrix yetu ya mfano wa vitendo:. Kwanza nitaelezea mabadiliko kwa undani sana. Zidisha mstari wa kwanza kwa -2: 
, Na kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -2: 
. Sasa mstari wa kwanza unaweza kugawanywa "nyuma" na -2:. Kama unaweza kuona, mstari ambao umeongezwa LI – haijabadilika. Kila mara mstari AMBAO UMEONGEZWA hubadilika UT.
Kwa mazoezi, kwa kweli, hawaiandiki kwa undani kama hii, lakini iandike kwa ufupi: 
Kwa mara nyingine tena: kwa mstari wa pili aliongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -2. Mstari kwa kawaida huzidishwa kwa mdomo au kwenye rasimu, huku mchakato wa kukokotoa kiakili ukienda hivi:
"Ninaandika tena matrix na kuandika tena mstari wa kwanza: 
»
"Safu ya kwanza. Chini ninahitaji kupata sifuri. Kwa hiyo, ninazidisha moja ya juu kwa -2:, na kuongeza ya kwanza kwenye mstari wa pili: 2 + (–2) = 0. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: 
»
“Sasa safu ya pili. Hapo juu, ninazidisha -1 kwa -2: . Ninaongeza ya kwanza kwa mstari wa pili: 1 + 2 = 3. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: 
»
"Na safu ya tatu. Kwa juu ninazidisha -5 kwa -2: . Ninaongeza wa kwanza kwa mstari wa pili: -7 + 10 = 3. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: 
»
Tafadhali elewa kwa uangalifu mfano huu na uelewe algorithm ya hesabu ya mpangilio, ikiwa unaelewa hii, basi njia ya Gaussian iko kwenye mfuko wako. Lakini, bila shaka, bado tutafanya kazi kwenye mabadiliko haya.
Mabadiliko ya kimsingi hayabadilishi suluhisho la mfumo wa milinganyo
! TAZAMA: ghiliba zinazozingatiwa haiwezi kutumia, ikiwa umepewa kazi ambapo matrices hupewa "penyewe." Kwa mfano, na "classical" shughuli na matrices Kwa hali yoyote unapaswa kupanga tena kitu chochote ndani ya matrices! Turudi kwenye mfumo wetu. Inachukuliwa vipande vipande.
Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tupunguze mtazamo wa kupitiwa:
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Na tena: kwa nini tunazidisha mstari wa kwanza kwa -2? Ili kupata sifuri chini, ambayo inamaanisha kuondoa tofauti moja kwenye mstari wa pili.
(2) Gawa mstari wa pili na 3.
Kusudi la mabadiliko ya kimsingi
–
punguza matrix kwa fomu ya hatua kwa hatua: 
. Katika muundo wa kazi hiyo, huweka alama tu "ngazi" na penseli rahisi, na pia duru nambari ambazo ziko kwenye "hatua". Neno "mtazamo wa hatua" yenyewe sio kinadharia kabisa, katika kisayansi na fasihi ya elimu mara nyingi huitwa mtazamo wa trapezoidal au mtazamo wa pembe tatu.
Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, tulipata sawa mfumo wa awali wa equations:
Sasa mfumo unahitaji "kufunguliwa" kwa mwelekeo tofauti - kutoka chini hadi juu, mchakato huu unaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.
Katika equation ya chini tayari tuna matokeo tayari:.
Wacha tuchunguze equation ya kwanza ya mfumo na tubadilishe thamani inayojulikana ya "y" ndani yake:
Hebu fikiria hali ya kawaida, wakati njia ya Gaussian inahitaji kutatua mfumo wa equations tatu za mstari na tatu zisizojulikana.
Mfano 1
Tatua mfumo wa hesabu kwa kutumia njia ya Gauss: 
Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo: 
Sasa nitatoa mara moja matokeo ambayo tutakuja wakati wa suluhisho: 
Na narudia, lengo letu ni kuleta matrix kwa fomu ya hatua kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Wapi kuanza?
Kwanza, angalia nambari ya juu kushoto: 
Inapaswa kuwa karibu kila wakati kitengo. Kwa ujumla, -1 (na wakati mwingine nambari zingine) zitafanya, lakini kwa njia fulani imetokea jadi kwamba mtu huwekwa hapo. Jinsi ya kupanga kitengo? Tunaangalia safu ya kwanza - tuna kitengo cha kumaliza! Mabadiliko ya kwanza: badilisha mistari ya kwanza na ya tatu: 
Sasa mstari wa kwanza utabaki bila kubadilika hadi mwisho wa suluhisho. Sasa sawa.
Kitengo kilicho kwenye kona ya juu kushoto kimepangwa. Sasa unahitaji kupata zero katika maeneo haya: 
Tunapata zero kwa kutumia mabadiliko "ngumu". Kwanza tunashughulika na mstari wa pili (2, -1, 3, 13). Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata sifuri katika nafasi ya kwanza? Haja ya kwenye mstari wa pili ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -2. Kiakili au kwenye rasimu, zidisha mstari wa kwanza kwa -2: (-2, -4, 2, -18). Na tunatekeleza (tena kiakili au kwa rasimu) mara kwa mara, kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza, tayari umeongezeka kwa -2:
Tunaandika matokeo katika mstari wa pili: 
Tunashughulikia mstari wa tatu kwa njia ile ile (3, 2, -5, -1). Ili kupata sifuri katika nafasi ya kwanza, unahitaji kwenye mstari wa tatu ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -3. Kwa akili au kwenye rasimu, zidisha mstari wa kwanza kwa -3: (-3, -6, 3, -27). NA kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa kwanza unaozidishwa na -3:
Tunaandika matokeo katika mstari wa tatu:
Kwa mazoezi, vitendo hivi kawaida hufanywa kwa mdomo na kuandikwa kwa hatua moja: 
Hakuna haja ya kuhesabu kila kitu mara moja na kwa wakati mmoja. Utaratibu wa mahesabu na "kuandika" matokeo thabiti na kawaida ni kama hii: kwanza tunaandika tena mstari wa kwanza, na polepole tunajivuna - CONSISTENTLY na KWA MAKINI:
Na tayari nimejadili mchakato wa kiakili wa mahesabu yenyewe hapo juu.
Katika mfano huu, hii ni rahisi kufanya; tunagawanya mstari wa pili kwa -5 (kwa kuwa nambari zote huko zinaweza kugawanywa na 5 bila salio). Wakati huo huo, tunagawanya mstari wa tatu na -2, kwa sababu nambari ndogo, suluhisho rahisi zaidi:
Katika hatua ya mwisho ya mabadiliko ya kimsingi, unahitaji kupata sifuri nyingine hapa: 
Kwa hii; kwa hili kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa pili unaozidishwa na -2:
Jaribu kubaini kitendo hiki mwenyewe - kiakili zidisha mstari wa pili kwa -2 na uongeze.
Kitendo cha mwisho kilichofanywa ni mtindo wa nywele wa matokeo, gawanya mstari wa tatu na 3.
Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa hesabu za mstari ulipatikana: 
Baridi.
Sasa kinyume cha njia ya Gaussian inaanza kutumika. Milinganyo "hupunguza" kutoka chini kwenda juu.
Katika equation ya tatu tayari tunayo matokeo tayari:
Wacha tuangalie mlingano wa pili:. Maana ya "zet" tayari inajulikana, kwa hivyo:
Na hatimaye, equation ya kwanza:. "Igrek" na "zet" zinajulikana, ni suala la mambo madogo tu:
Jibu: 
Kama ilivyoelezwa tayari mara kadhaa, kwa mfumo wowote wa equations inawezekana na ni muhimu kuangalia suluhisho lililopatikana, kwa bahati nzuri, hii ni rahisi na ya haraka.
Mfano 2
Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea, sampuli ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo.
Ikumbukwe kwamba yako maendeleo ya uamuzi inaweza isiendane na mchakato wangu wa uamuzi, na hii ni kipengele cha njia ya Gauss. Lakini majibu lazima yawe sawa!
Mfano 3
Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss 
Tunaangalia "hatua" ya juu kushoto. Tunapaswa kuwa na moja hapo. Shida ni kwamba hakuna vitengo kwenye safu ya kwanza kabisa, kwa hivyo kupanga tena safu hakutatua chochote. Katika hali kama hizi, kitengo lazima kipangwa kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Hii inaweza kawaida kufanywa kwa njia kadhaa. Nilifanya hivi: (1) Kwa mstari wa kwanza tunaongeza mstari wa pili, unaozidishwa na -1. Hiyo ni, tulizidisha kiakili mstari wa pili kwa -1 na kuongeza mstari wa kwanza na wa pili, wakati mstari wa pili haukubadilika.
Sasa juu kushoto kuna "minus moja", ambayo inatufaa kabisa. Yeyote anayetaka kupata +1 anaweza kufanya harakati ya ziada: zidisha mstari wa kwanza kwa -1 (badilisha ishara yake).
(2) Mstari wa kwanza uliozidishwa na 5 uliongezwa kwenye mstari wa pili. Mstari wa kwanza uliozidishwa na 3 uliongezwa kwenye mstari wa tatu.
(3) Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1, kimsingi, hii ni kwa uzuri. Ishara ya mstari wa tatu pia ilibadilishwa na ikahamishwa hadi nafasi ya pili, ili kwenye "hatua" ya pili tulikuwa na kitengo kinachohitajika.
(4) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 2.
(5) Mstari wa tatu uligawanywa na 3.
Ishara mbaya ambayo inaonyesha hitilafu katika mahesabu (zaidi mara chache, typo) ni mstari wa chini "mbaya". Hiyo ni, ikiwa tutapata kitu kama, chini, na, ipasavyo, 
, basi kwa kiwango cha juu cha uwezekano tunaweza kusema kwamba kosa lilifanywa wakati wa mabadiliko ya msingi.
Tunatoza kinyume, katika muundo wa mifano mara nyingi hawaandiki tena mfumo wenyewe, lakini milinganyo "huchukuliwa moja kwa moja kutoka kwa matrix iliyotolewa." Kiharusi cha nyuma, nakukumbusha, hufanya kazi kutoka chini hadi juu. Ndiyo, hapa kuna zawadi:
Jibu: 
.
Mfano 4
Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss 
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako, ni ngumu zaidi. Ni sawa ikiwa mtu atachanganyikiwa. Suluhisho kamili na muundo wa sampuli mwishoni mwa somo. Suluhisho lako linaweza kuwa tofauti na suluhisho langu.
Katika sehemu ya mwisho tutaangalia baadhi ya vipengele vya algorithm ya Gaussian. Kipengele cha kwanza ni kwamba wakati mwingine vigeu vingine havipo kwenye hesabu za mfumo, kwa mfano: 
Jinsi ya kuandika kwa usahihi matrix ya mfumo uliopanuliwa? Tayari nilizungumza juu ya hatua hii darasani. Utawala wa Cramer. Mbinu ya Matrix. Katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo, tunaweka sifuri badala ya vigeu vilivyokosekana: 
Kwa njia, hiyo ni nzuri mfano rahisi, kwa kuwa tayari kuna sufuri moja kwenye safu wima ya kwanza, na kuna ubadilishaji mdogo wa kimsingi wa kufanya.
Sifa ya pili ni hii. Katika mifano yote iliyozingatiwa, tuliweka ama -1 au +1 kwenye "hatua". Kunaweza kuwa na nambari zingine hapo? Katika baadhi ya matukio wanaweza. Fikiria mfumo: 
.
Hapa kwenye "hatua" ya juu kushoto tunayo mbili. Lakini tunaona ukweli kwamba nambari zote kwenye safu ya kwanza zinaweza kugawanywa na 2 bila salio - na nyingine ni mbili na sita. Na hao wawili walio juu kushoto watatufaa! Katika hatua ya kwanza, unahitaji kufanya mabadiliko yafuatayo: ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -1 hadi mstari wa pili; kwenye mstari wa tatu ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -3. Kwa hivyo tunapata ziro muhimu katika safu ya kwanza.
Au mfano mwingine wa kawaida: 
. Hapa tatu kwenye "hatua" ya pili pia inafaa kwetu, kwa kuwa 12 (mahali ambapo tunahitaji kupata sifuri) imegawanywa na 3 bila salio. Inahitajika kutekeleza mabadiliko yafuatayo: ongeza mstari wa pili kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -4, kama matokeo ambayo sifuri tunayohitaji itapatikana.
Njia ya Gauss ni ya ulimwengu wote, lakini kuna upekee mmoja. Unaweza kujifunza kwa ujasiri kutatua mifumo kwa kutumia njia zingine (njia ya Cramer, njia ya matrix) mara ya kwanza - wana algorithm kali sana. Lakini ili kujisikia ujasiri katika njia ya Gaussian, unapaswa "kupata meno yako" na kutatua angalau mifumo 5-10 kumi. Kwa hiyo, kwa mara ya kwanza kunaweza kuwa na machafuko na makosa katika mahesabu, na hakuna kitu cha kawaida au cha kusikitisha kuhusu hili.
Hali ya hewa ya vuli ya mvua nje ya dirisha .... Kwa hiyo, kwa kila mtu ambaye anataka zaidi mfano tata kwa suluhisho la kujitegemea:
Mfano 5
Tatua mfumo wa milinganyo 4 ya mstari na zisizojulikana nne kwa kutumia mbinu ya Gauss. 
Kazi kama hiyo sio nadra sana katika mazoezi. Nadhani hata teapot ambaye amesoma kwa undani ukurasa huu ataelewa algorithm ya kutatua mfumo kama huo kwa angavu. Kimsingi, kila kitu ni sawa - kuna vitendo zaidi.
Kesi ambazo mfumo hauna suluhu (zisizoendana) au una masuluhisho mengi sana hujadiliwa katika somo. Mifumo na mifumo isiyokubaliana na suluhisho la kawaida. Huko unaweza kurekebisha algorithm inayozingatiwa ya njia ya Gaussian.
Nakutakia mafanikio!
Suluhisho na majibu:
Mfano 2:
Suluhisho
:
Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa fomu ya hatua.
Mabadiliko ya kimsingi yamefanywa:
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.
Makini!
Hapa unaweza kujaribiwa kutoa ya kwanza kutoka kwa mstari wa tatu; Ninapendekeza sana usiiondoe - hatari ya makosa huongezeka sana. Ikunja tu!
(2) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa (iliyozidishwa na -1). Mstari wa pili na wa tatu umebadilishwa.
Kumbuka
, kwamba kwenye "hatua" hatujaridhika na moja tu, bali pia -1, ambayo ni rahisi zaidi.
(3) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 5.
(4) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa (iliyozidishwa na -1). Mstari wa tatu uligawanywa na 14.
Nyuma:
Jibu
:
.
Mfano 4:
Suluhisho
:
Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:
Uongofu ulifanywa: (1) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa kwanza. Kwa hivyo, kitengo kinachohitajika kinapangwa kwenye "hatua" ya juu kushoto. (2) Mstari wa kwanza uliozidishwa na 7 uliongezwa kwenye mstari wa pili. Mstari wa kwanza uliozidishwa na 6 uliongezwa kwenye mstari wa tatu.
Kwa "hatua" ya pili kila kitu kinakuwa mbaya zaidi , "wagombea" wake ni nambari 17 na 23, na tunahitaji moja au -1. Mabadiliko (3) na (4) yatalenga kupata kitengo kinachohitajika (3) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1. (4) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -3. Kipengee kinachohitajika kwenye hatua ya pili kimepokelewa. . (5) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 6. (6) Mstari wa pili ulizidishwa na -1, mstari wa tatu uligawanywa na -83.
Nyuma:
Jibu :
Mfano 5:
Suluhisho
:
Wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:
Uongofu ulifanywa: (1) Mstari wa kwanza na wa pili umebadilishwa. (2) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na -3. (3) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ulizidishwa na 4. Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa nne, ukiongezeka kwa -1. (4) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa. Mstari wa nne uligawanywa na 3 na kuwekwa mahali pa mstari wa tatu. (5) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na -5.
Nyuma:
Jibu :