Njia nyingine ya kujenga mipango ya tofauti inategemea ukweli kwamba kuhesabu thamani, matokeo ya sio moja, lakini k hatua za awali, i.e. maadili ndiyo.Katika kesi hii inageuka k- njia ya hatua.
Mbinu za hatua nyingi zinaweza kujengwa kama ifuatavyo. Wacha tuandike mlingano wa asili (1.9) katika fomu
(1.28)
Wacha tuunganishe pande zote mbili za mlingano huu X kwenye sehemu. Muhimu kutoka upande wa kushoto
(1.29)
Ili kukokotoa sehemu muhimu ya upande wa kulia wa mlinganyo (1.28), kwanza tengeneza ukalimani wa polinomia. Pk-1 shahada k - 1 kukadiria chaguo la kukokotoa kwenye sehemu kulingana na thamani za . Baada ya hayo unaweza kuandika
(1.30)
Kusawazisha misemo iliyopatikana katika (1.29) na (1.30), tunapata fomula ya kuamua thamani isiyojulikana ya chaguo la kukokotoa la gridi kwenye nodi:
Kulingana na fomula hii, unaweza kuunda mbinu mbalimbali za hatua nyingi za utaratibu wowote wa usahihi. Agizo la usahihi inategemea kiwango cha utafsiri wa polynomial, kwa ajili ya ujenzi ambao maadili ya kazi ya gridi ya taifa yamehesabiwa. k hatua za awali.
Familia inayotumiwa sana ya njia za hatua nyingi ni Mbinu za Adams. Rahisi zaidi kati yao, iliyopatikana na k = 1, sanjari na njia ya Euler iliyozingatiwa hapo awali ya usahihi wa agizo la kwanza. Katika mahesabu ya vitendo, toleo la njia ya Adams hutumiwa mara nyingi, ambayo ina utaratibu wa nne wa usahihi na hutumia matokeo ya nne zilizopita kwa kila hatua. Hii ndio kawaida huitwa njia ya Adams. Hebu fikiria njia hii.
Wacha maadili yapatikane katika nodi nne mfululizo (k = 4). Katika kesi hii, pia kuna maadili yaliyohesabiwa hapo awali ya upande wa kulia ambapo . Kama tafsiri ya polynomial R 3(X) tunaweza kuchukua polynomial ya Newton (tazama Sehemu ya 2.3). Katika kesi ya hatua ya mara kwa mara h tofauti za kikomo kwa upande wa kulia kwenye nodi Xi kuangalia kama
Kisha mpango wa tofauti wa utaratibu wa nne wa njia ya Adams unaweza kuandikwa baada ya mabadiliko muhimu katika fomu
Kwa kulinganisha njia ya Adams na njia ya Runge–Kutta ya usahihi sawa, tunaona ufanisi wake, kwani inahitaji hesabu ya thamani moja tu ya upande wa kulia kwa kila hatua (katika njia ya Runge-Kutta - nne). Lakini njia ya Adams haifai kwa sababu haiwezekani kuanza kuhesabu kwa kutumia thamani moja tu inayojulikana y0 . Hesabu inaweza tu kuanza kutoka kwa nodi X 3, na sivyo x 0..Maadili y 1, y 2, y 3, inahitajika kwa hesabu y 4 lazima ipatikane kwa njia nyingine (kwa mfano, njia ya Runge-Kutta), ambayo inachanganya kwa kiasi kikubwa algorithm. Kwa kuongeza, njia ya Adams hairuhusu (bila kuchanganya kanuni) kubadilisha hatua h wakati wa kuhesabu; Njia za hatua moja hazina upungufu huu.
Wacha tuangalie familia nyingine ya njia za hatua nyingi zinazotumia schema zisizo wazi - njia za utabiri na marekebisho(wanaitwa pia kwa kutumia njia za "predictor-corrector".).Kiini cha njia hizi ni kama ifuatavyo. Katika kila hatua, hatua mbili zinaletwa kwa kutumia mbinu za hatua nyingi: kwa kutumia njia ya wazi (mtabiri) kwa kutumia maadili yanayojulikana ya kazi katika nodi zilizopita, wanapata makadirio ya awali katika nodi mpya; kwa kutumia njia iliyofichwa (mrekebishaji), Kama matokeo ya marudio, makadirio hupatikana.
Moja ya lahaja za utabiri na njia ya kusahihisha inaweza kupatikana kulingana na njia ya Adams ya utaratibu wa nne. Wacha tuwasilishe aina ya mwisho ya uhusiano wa tofauti katika hatua ya utabiri:
katika hatua ya kusahihisha:
(1.33)
Mpango wazi (1.32) hutumiwa mara moja kwa kila hatua, na kwa usaidizi wa mpango wazi (1.33) mchakato wa hesabu unaorudiwa hujengwa. ndiyo+1 kwa sababu thamani hii iko upande wa kulia wa usemi
Kumbuka kuwa katika fomula hizi, kama ilivyo kwa njia ya Adams, wakati wa kuhesabu ndiyo+1 maadili ya kazi ya gridi katika nodi nne zilizopita zinahitajika: ndiyo, ndiyo-1, ndiyo-2, ndiyo-3. Kwa hiyo, hesabu kwa kutumia njia hii inaweza tu kuanza kutoka kwa thamani y 4. Muhimu y 1, y 2, y 3 hupatikana kwa kutumia njia ya Runge–Kutta, y0 inatolewa na hali ya awali. Hii ni kipengele cha tabia ya mbinu za hatua nyingi. Algorithm ya kutatua shida ya Cauchy kwa kutumia njia inayozingatiwa ya utabiri na urekebishaji imewasilishwa kwa fomu iliyopanuliwa kwenye Mtini. 1.4.
Mchele. 1.4. Njia ya mtabiri-kisahihisha
Hivi sasa, njia za Adams ni kati ya njia za kuahidi za ujumuishaji wa nambari za kutatua shida ya Cauchy. Imethibitishwa kuwa wakati wa kutumia njia za nambari za Adams za hatua nyingi kutatua shida ya Cauchy hadi agizo la 12, mkoa wa utulivu hupungua. Kwa ongezeko zaidi la utaratibu, kanda ya utulivu, pamoja na usahihi wa njia, huongezeka. Kwa kuongeza, kwa usahihi sawa, mbinu za hatua nyingi katika hatua moja ya ushirikiano zinahitaji mahesabu machache ya pande za kulia za milinganyo tofauti kuliko katika mbinu za Runge-Kutta. Faida za njia za Adams ni pamoja na ukweli kwamba wao hubadilisha kwa urahisi hatua ya ushirikiano na utaratibu wa njia.
Kwa mazoezi, aina mbili za njia za Adams hutumiwa sana - wazi na wazi. Mbinu wazi zinajulikana kama njia za Adams-Bashforth, njia zisizo wazi zinajulikana kama njia za Adams-Moulton.
Wacha tuzingatie matumizi ya njia za nambari kutatua shida ya Cauchy
Wakati wa kutatua tatizo (2.1) kwa kutumia njia za hatua moja, thamani ya yn+1 inategemea tu habari katika hatua ya awali ya xn. Inaweza kuzingatiwa kuwa usahihi zaidi unaweza kupatikana ikiwa habari kuhusu pointi kadhaa zilizopita xn, xn-1... xn-k inatumiwa. Mbinu za hatua nyingi zinatokana na wazo hili.
Njia nyingi za hatua nyingi hutoka kwa njia ifuatayo. Ikiwa tutabadilisha suluhu halisi y (x) kwa mlinganyo (2.1) na kuunganisha mlinganyo kwenye sehemu , tunapata:
Kubadilisha fomula ya f (x, y (x)) katika fomula (2.2) na ukalimani wa polinomia P (x), tunapata mbinu ya kukadiria.
Ili kuunda polynomial P (x), tunadhani kwamba yn, yn-1... yn-k ni makadirio ya suluhisho katika pointi xn, xn-1... xn-k. Tunadhani kwamba nodi xi ziko sawa na hatua h. Kisha fi=f (xi, yi), (i=n, n-1.. n-k) ni makadirio ya f (x, y (x)) katika pointi xn, xn-1... xn-k.
Kama P (x) tunachukua tafsiri ya polynomia ya digrii k inayokidhi masharti
Ikiwa tutaunganisha polynomial hii kwa uwazi, tunapata njia ifuatayo:
Wakati k=0, polynomial P (x) ni sawa na fn mara kwa mara, na fomula (2.4) inageuka kuwa mbinu ya kawaida ya Euler.
Kwa k=1, polynomial P (x) ni kazi ya mstari inayopitia pointi (xn-1, fn-1) na (xn, fn), i.e.
Kuunganisha polynomial hii kutoka xn hadi xn+1, tunapata njia ya hatua mbili
ambayo hutumia habari katika nukta mbili xn na xn+1.
Ikiwa k=2, basi P(x) ni polinomia quadratic inayoingilia data (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) na (xn, fn). Inaweza kuonyeshwa kuwa njia inayolingana ina fomu
Ikiwa k = 3, basi njia inayolingana inatolewa na formula
Kwa k=4 tunayo
Kumbuka kuwa njia (2.7) ni njia ya hatua tatu, (2.8) ni njia ya hatua nne, na (2.9) ni ya hatua tano. Fomula (2.6) - (2.9) zinajulikana kama njia za Adams-Bashforth. Njia (2.6) ina usahihi wa mpangilio wa pili, kwa hivyo inaitwa njia ya pili ya Adams-Bashforth. Vile vile, njia (2.7), (2.8) na (2.9) zinaitwa njia za tatu, nne na tano za Adams-Bashforth, kwa mtiririko huo.
Kuendelea na mchakato huu, kwa kutumia idadi inayoongezeka ya pointi zilizopita, pamoja na polynomial inayoingiliana ya shahada ya juu, tunapata mbinu za Adams-Bashforth za utaratibu wa juu kiholela.
Mbinu za hatua nyingi huanzisha ugumu ambao hautokei kwa njia za hatua moja. Shida hizi zinaonekana wazi ikiwa, kwa mfano, tutageukia njia za daraja la tano za Adams-Bashforth (2.9).
Katika tatizo (2.1) thamani ya awali y0 imetolewa, lakini kwa n=0, kukokotoa kwa kutumia formula (2.9), taarifa inahitajika katika pointi x-1, x-2, x-3, x-4, ambayo ni kawaida. kukosa. Njia ya kawaida ya hali hii ni kutumia njia ya hatua moja ya mpangilio sawa wa usahihi, kama njia ya Runge-Kutta, hadi maadili ya kutosha yanapatikana kwa njia ya hatua nyingi kufanya kazi. Au unaweza kutumia njia ya hatua moja kwenye hatua ya kwanza, njia ya hatua mbili kwa pili, na kadhalika hadi maadili yote ya kuanzia yanapatikana. Ni muhimu kwamba maadili haya ya kuanzia yahesabiwe kwa kiwango sawa cha usahihi kama njia ya mwisho itafanya kazi nayo. Kwa kuwa njia za kuanzia zina utaratibu wa chini wa usahihi, unapaswa kuhesabu na hatua ndogo mara ya kwanza na kutumia pointi zaidi za kati.
Utoaji wa mbinu (2.6) - (2.9) unategemea kuchukua nafasi ya chaguo za kukokotoa f (x, y) na ukalimani wa polynomial P (x). Inajulikana kuwa kuna nadharia ambayo inathibitisha uwepo na upekee wa tafsiri ya polynomial. Ikiwa nodi x0, x1... xn ni tofauti, basi kwa f0 yoyote, f1... fn kuna polynomial ya kipekee P (x) ya shahada isiyo ya juu kuliko n vile kwamba P (xi) =fi, i=0 , 1,.. n.
Ingawa tafsiri ya polynomia ni ya kipekee, kuna njia kadhaa za kuwakilisha hii polynomia. Polynomials za Lagrange hutumiwa mara nyingi, lakini pia zinageuka kuwa hazifai ikiwa unahitaji kuongeza (au kuondoa kutoka kwake) nodi yoyote kwenye seti ya data. Katika kesi hii, kuna uwakilishi tofauti wa tafsiri ya polynomial. Huu ni uwakilishi wa Newton
Polynomial Pn+1 (x) inaweza kuandikwa kama
Uwakilishi wa tafsiri ya polynomia katika fomu (2.11) katika idadi ya matukio inaweza kuwa muhimu hasa kwa mazoezi.
Mbinu za Adams-Bashforth hutumia maadili ambayo tayari yanajulikana katika pointi xn, xn-1... xn-k. Wakati wa kujenga polynomial ya ukalimani, unaweza pia kutumia pointi xn, xn, xn-1... xn-k. Hii inaleta aina ya mbinu za m-hatua zisizo wazi zinazojulikana kama njia za Adams-Moulton.
Ikiwa k=0, basi P (x) ni kazi ya mstari inayopitia alama (xn, fn) na (xn+1, fn+1), na njia inayolingana.
ni njia ya pili ya Adams-Moulton.
Kwa k = 1, 2, 3 tunapata mbinu zinazofanana
amri ya tatu, ya nne na ya tano ya makadirio. Mahusiano (2.12) - (2.15) yana maadili yanayotakiwa ya yn+1 kabisa, kwa hivyo, ili kuyatekeleza ni muhimu kutumia njia za kurudia.
Kwa mazoezi, kwa kawaida hawasuluhishi milinganyo moja kwa moja (2.12) - (2.15), lakini hutumia fomu za wazi na zisizo wazi pamoja, ambayo husababisha njia ya utabiri na urekebishaji.
Kwa mfano, kwa njia ya Adams ya mpangilio wa pili, kwa kutumia nukuu ambapo r ni nambari ya kurudia, tunayo mpango ufuatao wa kuhesabu r = 1:
Utaratibu huu unaitwa mbinu ya PECE (P inamaanisha kutumia fomula ya ubashiri, C inamaanisha kutumia fomula ya kusahihisha, E inamaanisha kukokotoa fomula f). Unaweza kufupisha mchakato wa kuhesabu kwa kutupa fomula ya mwisho. Hii inaongoza kwa kinachojulikana njia ya PEC.
Hebu fikiria njia ya pili ya kutatua equations (2.12) - (2.15). Fomula (2.12) - (2.15) zinaweza kuandikwa upya kama
ambapo gn ina idadi inayojulikana. Imethibitishwa kuwa ikiwa, ambapo L ni Lipschitz mara kwa mara, basi kuna suluhisho la kipekee la equation (2.17), ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia mchakato wa kurudia.
wapi - kiholela.
Marudio katika usemi (2.18) yanaendelea hadi muunganisho upatikane. Katika kesi hii, idadi ya mahesabu ya kazi f inatofautiana kutoka hatua hadi hatua na inaweza kuwa kubwa kabisa.
Kwa upande mwingine, ikiwa thamani ya h imepunguzwa, basi muunganisho unaweza kupatikana kwa idadi maalum ya marudio. Njia hii inaitwa marekebisho hadi muunganisho.
Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa njia ya wazi ya hatua nyingi ni njia rahisi zaidi kutoka kwa mtazamo wa computational. Hata hivyo, katika mazoezi, mbinu za wazi hutumiwa sana mara chache. Mbinu ya Adams-Moulton isiyo na maana ni sahihi zaidi kuliko mbinu ya Adams-Bashforth iliyo wazi. Kwa mfano, mpango wa hesabu wa utaratibu wa 5 wa Adams-Moulton ni kama ifuatavyo.
Mbinu za Adams hadi mpangilio wa tano unaojumuisha zinaweza kutumika kutatua milinganyo ya kawaida ya tofauti ambayo haihitaji kiwango cha juu cha usahihi.
Kama ilivyo kwa njia ya Adams-Bashforth, wakati wa kutumia njia ya Adams-Moulton, suala muhimu ni uchaguzi wa uhusiano bora kati ya hatua ya kuunganisha na utaratibu wa njia. Ikumbukwe kwamba wakati wa kuunda algorithms na mipango yenye ufanisi, kuongeza utaratibu wa njia ni vyema kupunguza hatua ya ushirikiano.
Ili kutatua matatizo magumu zaidi ni muhimu kuomba njia za juu za Adams. Jedwali 2.1 linaonyesha thamani za mgawo za mbinu za Adams. Mstari wa kwanza unaonyesha utaratibu wa njia; katika pili - maadili ya coefficients Ck kwa utaratibu sambamba k; katika mistari ifuatayo - jozi za coefficients Bkj na Mkj kwa mbinu za Adams-Bashforth na Adams-Moulton, kwa mtiririko huo. Kisha, kwa kuzingatia data katika Jedwali 2. 14, coefficients katika j katika usemi.
kwa njia ya Adams-Bashforth ya mpangilio wa kth inaweza kupatikana kutoka kwa uhusiano
na kwa njia ya Adams-Moulton ya mpangilio wa kth kwa kutumia fomula inayofanana
Njia za urekebishaji wa utabiri wa Adams kutoka mpangilio wa 6 hadi wa 14 ni kama ifuatavyo:
- Agizo la 6:
- Agizo la 7:
- Agizo la 8:
- Agizo la 9:
- Agizo la 10:
- Agizo la 11:
- Agizo la 12:
- Agizo la 13:
- Agizo la 14:
- Agizo la 15:
- Agizo la 16:
Ni vyema kutumia fomula zilizotolewa hapo juu kwa matumizi ya vitendo ya kutatua milinganyo ya kawaida ya tofauti au mifumo ya milinganyo ya mpangilio wa kwanza na hatua ya ujumuishaji ya kila mara. Ikiwa katika mchakato wa kutatua equation hatua ya ushirikiano inabadilika, basi kwa mbinu za Adams kuna mbinu maalum za kuingiza data mpya ya awali wakati wa kubadilisha hatua ya ushirikiano.
Saa S= 1 fomula (6.16) inachukua fomu
Kama Q= 2, tunapata sheria ifuatayo ya hesabu:
Kwa kawaida, katika mazoezi, formula ya ziada (6.18) hutumiwa, na kisha thamani inayosababishwa inarekebishwa kwa kutumia formula (6.23). Na ikiwa matokeo ya thamani iliyorekebishwa hayazidi kosa la hesabu linaloruhusiwa, basi hatua H kuchukuliwa kukubalika 
.
Kwa hesabu kwenye kompyuta, fomula (6.18) na (6.23) katika fomu ya kikomo-tofauti hazifai. Kwa kuzingatia (6.21) wanaweza kuwakilishwa katika fomu
(6.24)
Fomula zilizotolewa ni sahihi kabisa. Wanatoa makosa ya utaratibu ~ KUHUSU(H4), lakini fomula za makadirio ya makosa yenyewe ni ngumu sana. Kosa linaweza kukadiriwa kwa kutumia sheria ya Runge.
Mfano 6.2. Tatua mlinganyo wa kutofautisha kwenye sehemu yenye hali ya awali Y(X= 0) = 1. Tafuta kwa njia ya Adams (pamoja na marekebisho) kwa uhakika X4 , katika pointi tatu za kwanza pata kwa njia ya Runge-Kutta, kuchukua hatua.
Suluhisho. Tunachukua maadili ya kazi katika pointi nne za kwanza kutoka kwa meza. 6.1 (tazama mfano katika sehemu iliyotangulia). Sasa ikawa wazi kwa nini tulihifadhi maadili ya derivative ya kwanza katika vidokezo hivi (tazama fomula (6.24)).
X4 = X3 + H= 0.15 + 0.05 = 0.2;
Ili kurekebisha matokeo yaliyopatikana, ni muhimu kuhesabu thamani ya derivative katika hatua hii:
Sasa hebu tufafanue thamani kwa kutumia fomula ya ukalimani (au sio lazima ufanye hivi, basi kosa la njia litakuwa kubwa zaidi):
Kwa kuwa thamani iliyosahihishwa inachukuliwa kama thamani mpya ya chaguo la kukokotoa, basi Lazima Thamani ya derivative inapaswa kuhesabiwa upya. Kwa upande wetu, moduli ya tofauti kati ya fomula za ziada na ukalimani ni chini ya ε , Ambayo inakuwezesha kuendelea na mahesabu kwa hatua sawa.
Maswali ya kujipima
· Tengeneza tatizo la Cauchy kwa milinganyo ya kawaida ya mpangilio wa kwanza.
· Je, ni suluhisho gani la mlingano wa kutofautisha: a) katika hisabati ya juu, b) katika hisabati inayotumika?
· Ni mbinu gani za milinganyo tofauti inayoitwa hatua moja, hatua nyingi? Toa mifano.
· Linganisha maadili yaliyopatikana katika hatua ya kwanza na ya pili kwa kutumia mbinu za upanuzi za mfululizo wa Euler, Runge-Kutta na Taylor (nguvu ya leba, hitilafu...).
· Jinsi ya kutathmini kosa la njia iliyotumiwa? Jinsi ya kuipunguza?
· Linganisha njia za hatua moja na za hatua nyingi za kutatua milinganyo tofauti, ikionyesha faida na hasara za kwanza na ya pili.
· Je, mbinu za Adams za kuongeza na kufasiri (formula) ni zipi?
Je, inawezekana kutumia: a) njia za ziada za Adams pekee,
b) tafsiri pekee?
Je, inawezekana kutumia: a) njia za hatua nyingi bila hatua moja;
b) njia za hatua moja bila hatua nyingi?
· Wakati wa kutatua equation tofauti kwa kutumia njia ya Adams, katika hatua ya 27 ni muhimu kubadili hatua. Jinsi ya kufanya hili?
Bado tunayo shida ya Cauchy.
f (1) (t)=F(t, f(t)), a£ t£ b, f(a)=f a.
Kwa njia za hatua moja thamani f(tk+1) iliamuliwa tu na maelezo katika hatua ya awali tk. Inaonekana inawezekana kuongeza usahihi wa suluhisho kwa kutumia habari katika pointi kadhaa zilizopita, ikiwa inapatikana. Hii ndio inafanywa kwa njia zinazoitwa hatua nyingi. Kwa mtazamo wa kwanza katika taarifa ya tatizo, inakuwa dhahiri kwamba wakati wa kuanza t=t a kuna hali moja tu ya awali na, ikiwa tutafanya kazi na pointi mbili, tatu au nne zilizopita, basi hakuna njia ya kupata ya pili, isipokuwa kutumia njia za hatua moja. Hivyo ndivyo wanavyofanya; algorithm ya suluhisho "tata" inaweza kuonekana kama hii:
katika hatua ya kwanza, hatua ya pili inapatikana kwa kutumia njia ya hatua moja, kwa pili, ya tatu inapatikana kwa njia ya hatua mbili, ya tatu, ya nne inapatikana kwa kutumia njia ya hatua tatu, nk. mpaka pointi za awali za kutosha zikusanywa kwa njia kuu inayotakiwa kutumika.
Chaguo jingine ni kupata seti nzima ya pointi kwa kutumia njia ya hatua moja, kama vile Runge-Kutta ya mpangilio wa nne. Kwa kuwa mbinu za hatua nyingi zinadhaniwa kuwa sahihi zaidi, idadi kubwa ya pointi za kati hutumiwa kwa kawaida kwa kuanzia njia ya hatua moja, i.e. fanya kazi na hatua fupi.
Algorithms za hatua nyingi zinaweza kuunda kama hii. Kwa kuzingatia hilo
f(tk +1)=f(tk)+ ,
tunaweza kuunganisha kwa nambari upande wa kulia wa ODE chini ya ishara muhimu. Ikiwa tunatumia njia ya mstatili (polynomial ya kuingiliana kwa kazi inayoweza kuunganishwa ni ya kudumu), tunapata njia ya kawaida ya Euler. Ikiwa unatumia alama 2 na agizo la kwanza la tafsiri ya polynomial
uk(x)= ,
kisha ushirikiano kwa kutumia njia ya trapezoidal kutoka tk kwa tk+1 itatoa algorithm ifuatayo:
f(tk +1)=f(tk)+0.5h(3Fk-Fk -1).
Vile vile, kwa pointi tatu tutakuwa na quadratic interpolating polynomial kulingana na data ( tk -2 , Fk -2), (tk -1 , Fk -1), (tk, Fk) na ujumuishaji kwa kutumia njia ya Simpson utatoa algorithm:
f(tk +1)=f(tk)+ (23Fk–16Fk -1 +5Fk -2).
Kwa pointi 4 polynomial itakuwa cubic na ushirikiano wake utatoa:
f(tk +1)=f(tk)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).
Kimsingi, tunaweza kuendelea kwa njia hii kwa muda usiojulikana.
Algorithms zilizopewa zinaitwa njia za Adams-Bashforth za agizo la pili, la tatu na la nne.
Rasmi, wakati wa kujenga tafsiri ya polynomial, kwa kuongeza N tumia pointi zilizohesabiwa tayari na zaidi R baadaye tk +1 , tk+2 ; katika kesi rahisi kuweka
tk +1 , tk, tk -1 ,…, tk -N .
Hii hutoa darasa la kinachojulikana kama njia za Adams-Moulton. Katika toleo la hatua nne, inafanya kazi kwenye data ( tk +1 , Fk +1), (tk, Fk), (tk -1 , Fk -1), (tk -2 , Fk-2) na algorithm yake:
f(tk +1)=f(tk)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).
Kwa kweli, haiwezekani kufanya mahesabu kulingana na data inayokosekana, kwa hivyo algorithms ya Adams imejumuishwa katika mlolongo wa algorithms ya Adams-Bashforth na Adams-Moulton, na hivyo kupata kinachojulikana kama utabiri na njia za kurekebisha. Kwa mfano, utabiri wa mpangilio wa nne na njia ya kusahihisha inaonekana kama hii: kwanza tunatabiri kutumia algoriti ya Adams-Bashforth kwa kutumia alama za "zamani"
f(tk +1)=f(tk)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).
Kisha tunahesabu thamani ya takriban ya upande wa kulia wa equation
Fk +1 =F(tk +1 , f(tk +1).
Na hatimaye, tunarekebisha f(tk+1) kwa kutumia thamani yake ya kukadiria
f(tk +1)=f(tk)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).
Programu bora zaidi za kompyuta zinazopatikana ambazo huruhusu mtumiaji kubadilisha saizi ya hatua na mpangilio wa njia zinatokana na njia za juu za Adams (zaidi ya 10). Uzoefu na programu hizi unaonyesha kuwa tofauti katika utekelezaji wake zinaweza kuwa na athari kubwa zaidi juu ya usahihi kuliko tofauti katika sifa za ndani za mbinu zenyewe.
Mpango wa wazi wa Adams.
Njia zilizojadiliwa hapo juu ni hatua moja wazi (kupata makadirio yanayofuata, moja tu ya awali hutumiwa). Njia hapa chini ni ya hatua nyingi.
Acha shida ya Cauchy itolewe:
Kwa suluhisho kamili (ambalo hatujui) zifuatazo zinashikilia:
Tuseme tunajua takriban maadili ya kazi u(x) kwa alama za k (alama za k, haswa, zinaweza kupatikana kwa njia ya Euler au njia ya Runge-Kutta ya agizo moja au lingine), basi kazi f (x, u(x)) katika ( 2.4.2) kwa hesabu ya takriban ya muunganisho inaweza kubadilishwa na ukalimani wa lugha nyingi za mpangilio k-1, iliyoundwa juu ya pointi k, ambacho kiungo chake kinakokotolewa kwa uwazi na ni a. mchanganyiko wa mstari wa maadili na mambo fulani. Kwa hivyo, tunapata utaratibu ufuatao wa kawaida wa kuhesabu takriban maadili ya kazi u(x) (ambayo ni suluhisho kamili la shida ya Cauchy) kwa pointi:
Mpango ulioelezewa ni formula ya k-hatua ya Adams.
Mpango kamili wa Adams.
Hebu iwe tafsiri ya polynomial ya utaratibu k, iliyojengwa kutoka kwa maadili ya k+1, moja ambayo, yaani, tutazingatia haijulikani. Wacha turekebishe (2.4.3) kwa kuibadilisha na polynomial ya digrii ya juu, kiunga chake ambacho kinaonyeshwa kama mchanganyiko wa mstari wa maadili na coefficients mpya:
Fomula (2.4.4) ni mpango wa Adams usio wazi na ni mlingano ambao unaweza kutatuliwa kwa mbinu ya makadirio mfululizo. Kwa kawaida, makadirio ya awali lazima ichaguliwe kwa busara. Ili kufanya hivyo, ni rahisi kuchanganya mipango ya Adams iliyo wazi na isiyo wazi kuwa moja, inayoitwa "njia ya kurekebisha". Ni kwa msaada wa mpango wazi kwamba makadirio ya awali (utabiri) imedhamiriwa, na kisha, kwa kutumia mpango kamili, inasahihishwa idadi inayotakiwa ya nyakati (kawaida moja au mbili) kwa njia ya makadirio mfululizo hadi iliyoainishwa. usahihi unapatikana (marekebisho).