Pata suluhisho la jumla la mfumo wa homogeneous. Je! ni mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari

Kupewa matrices

Tafuta: 1) aA - bB,

Suluhisho: 1) Tunaipata kwa kufuatana, kwa kutumia sheria za kuzidisha matrix kwa nambari na kuongeza matrices..

2. Tafuta A*B ikiwa

Suluhisho: Tunatumia kanuni ya kuzidisha matrix

Jibu:

3. Kwa matriki uliyopewa, tafuta M 31 ndogo na uhesabu kibainishi.

Suluhisho: Ndogo M 31 ndio kibainishi cha matrix ambayo hupatikana kutoka kwa A

baada ya kuvuka mstari wa 3 na safu ya 1. Tunapata

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Wacha tubadilishe matrix A bila kubadilisha kiashiria chake (wacha tutengeneze sifuri kwenye safu ya 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Sasa tunahesabu kibainishi cha matrix A kwa upanuzi kando ya safu mlalo ya 1

Jibu: M 31 = 0, detA = 0

Tatua kwa kutumia njia ya Gauss na njia ya Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Suluhisho: Hebu tuangalie

Unaweza kutumia njia ya Cramer

Suluhisho la mfumo: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Wacha tutumie njia ya Gaussian.

Hebu tupunguze matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa fomu ya triangular.

Kwa urahisi wa kuhesabu, wacha tubadilishane mistari:

Zidisha mstari wa 2 kwa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) na ongeza kwa 3:



	1 / 2		7 / 2

Zidisha mstari wa 1 kwa (k = -2 / 2 = -1 ) na ongeza kwa 2:

Sasa mfumo wa asili unaweza kuandikwa kama:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Kutoka kwa mstari wa 2 tunaelezea

Kutoka mstari wa 1 tunaelezea

Suluhisho ni sawa.

Jibu: (2; -5; 3)

Tafuta uamuzi wa pamoja mifumo na FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Suluhisho: Wacha tutumie njia ya Gaussian. Hebu tupunguze matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa fomu ya triangular.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Zidisha mstari wa 1 kwa (-11). Zidisha mstari wa 2 kwa (13). Wacha tuongeze mstari wa 2 hadi wa 1:


-2	-2	-3

Zidisha mstari wa 2 kwa (-5). Hebu tuzidishe mstari wa 3 kwa (11). Wacha tuongeze mstari wa 3 hadi wa 2:

Zidisha mstari wa 3 kwa (-7). Hebu tuzidishe mstari wa 4 kwa (5). Wacha tuongeze mstari wa 4 hadi wa 3:

Equation ya pili ni mchanganyiko wa mstari wa wengine

Wacha tupate kiwango cha matrix.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Mtoto aliyechaguliwa ana mpangilio wa juu zaidi (wa watoto wanaowezekana) na sio sifuri (ni sawa na bidhaa ya vitu kwenye mlalo wa nyuma), kwa hivyo rang(A) = 2.

Kidogo hiki ni cha msingi. Inajumuisha coefficients kwa haijulikani x 1 , x 2 , ambayo ina maana kwamba haijulikani x 1 , x 2 ni tegemezi (msingi), na x 3 , x 4 , x 5 ni bure.

Mfumo ulio na mgawo wa tumbo hili ni sawa na mfumo wa asili na una fomu:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Kutumia njia ya kuondoa haijulikani, tunapata uamuzi wa pamoja:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Tunapata mfumo wa kimsingi ufumbuzi (FSR), ambayo ina (n-r) ufumbuzi. Kwa upande wetu, n = 5, r = 2, kwa hivyo, mfumo wa msingi wa suluhisho una suluhisho 3, na suluhisho hizi lazima ziwe huru.

Ili safu ziwe huru kimstari, ni muhimu na inatosha kwamba kiwango cha matriki inayojumuisha vipengele vya safu mlalo iwe sawa na idadi ya safu, yaani, 3.

Inatosha kutoa zisizojulikana za bure x 3 , x 4 , x 5 maadili kutoka kwa mistari ya kiashiria cha utaratibu wa 3, isiyo ya sifuri, na kuhesabu x 1 , x 2 .

Kiamuzi rahisi zaidi kisicho sifuri ni matrix ya utambulisho.

Lakini ni rahisi zaidi kuchukua hapa

Tunapata kwa kutumia suluhisho la jumla:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

Uamuzi wa I wa FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

Suluhisho la II la FSR: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

Uamuzi wa III wa FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Kutokana na: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Tafuta: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Suluhisho: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i) (2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Jibu: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya aljebra ya mstari

Kama sehemu ya masomo Njia ya Gaussian Na Mifumo/mifumo isiyolingana na suluhisho la kawaida tulizingatia mifumo tofauti milinganyo ya mstari , Wapi mwanachama huru(ambayo kwa kawaida iko upande wa kulia) hata moja kutoka kwa milinganyo ilikuwa tofauti na sifuri.
Na sasa, baada ya joto-up nzuri na cheo cha matrix, tutaendelea kupiga mbinu mabadiliko ya msingi juu mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari.
Kulingana na aya za kwanza, nyenzo zinaweza kuonekana kuwa za kuchosha na za wastani, lakini maoni haya ni ya udanganyifu. Mbali na maendeleo zaidi ya mbinu, kutakuwa na habari nyingi mpya, kwa hiyo tafadhali jaribu kutopuuza mifano katika makala hii.

Je! ni mfumo gani wa usawa wa milinganyo ya mstari?

Jibu linapendekeza lenyewe. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa ni neno huru kila mtu equation ya mfumo ni sifuri. Kwa mfano:

Ni wazi kabisa kwamba mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, yaani, daima ina ufumbuzi. Na, kwanza kabisa, kinachoshika jicho lako ni kinachojulikana yasiyo na maana suluhisho . Trivial, kwa wale ambao hawaelewi maana ya kivumishi hata kidogo, inamaanisha bila show-off. Sio kielimu, kwa kweli, lakini kwa akili =) ...Kwa nini piga kuzunguka msituni, wacha tujue ikiwa mfumo huu una suluhisho zingine zozote:

Mfano 1

Suluhisho: kutatua mfumo wa homogeneous ni muhimu kuandika matrix ya mfumo na kwa msaada wa mabadiliko ya kimsingi kuleta kwa fomu ya hatua. Tafadhali kumbuka kuwa hapa hakuna haja ya kuandika bar ya wima na safu ya sifuri ya maneno ya bure - baada ya yote, bila kujali unafanya nini na zero, zitabaki zero:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3.

(2) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.

Kugawanya mstari wa tatu na 3 haina maana sana.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa homogeneous hupatikana , na, kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian, ni rahisi kuthibitisha kuwa suluhisho ni la kipekee.

Jibu:

Hebu tutengeneze kigezo kilicho wazi: mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ina suluhisho dogo tu, Kama kiwango cha matrix ya mfumo(V kwa kesi hii 3) sawa na idadi ya vigezo (katika kesi hii - vipande 3).

Wacha tuchangamshe na kuelekeza redio yetu kwa wimbi la mabadiliko ya kimsingi:

Mfano 2

Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari

Kutoka kwa makala Jinsi ya kupata kiwango cha matrix? Wacha tukumbuke mbinu ya busara ya kupunguza wakati huo huo nambari za matrix. Vinginevyo, italazimika kukata samaki kubwa, na mara nyingi kuuma. Mfano wa takriban wa kazi mwishoni mwa somo.

Zero ni nzuri na rahisi, lakini katika mazoezi kesi hiyo ni ya kawaida zaidi wakati safu za matrix ya mfumo tegemezi kwa mstari. Na kisha kuibuka kwa suluhisho la jumla ni kuepukika:

Mfano 3

Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari

Suluhisho: wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa fomu ya hatua. Kitendo cha kwanza kinalenga sio tu kupata thamani moja, lakini pia kupunguza nambari kwenye safu ya kwanza:

(1) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa kwanza, ukizidishwa na -1. Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Katika sehemu ya juu kushoto nilipata kitengo kilicho na "minus", ambayo mara nyingi ni rahisi zaidi kwa mabadiliko zaidi.

(2) Mistari miwili ya kwanza ni sawa, mmoja wao ulifutwa. Kwa uaminifu, sikubinafsisha suluhisho - ndivyo ilivyokuwa. Ikiwa unafanya mabadiliko kwa njia ya template, basi utegemezi wa mstari mistari ingefunuliwa baadaye kidogo.

(3) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 3.

(4) Alama ya mstari wa kwanza ilibadilishwa.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa ulipatikana:

Algorithm inafanya kazi sawa na kwa mifumo tofauti. Vigezo "vikaa juu ya hatua" ndio kuu, tofauti ambayo haikupata "hatua" ni bure.

Wacha tuonyeshe vigeu vya msingi kupitia utofauti wa bure:

Jibu: uamuzi wa pamoja:

Suluhisho lisilo na maana limejumuishwa formula ya jumla, na sio lazima kuiandika tofauti.

Cheki pia inafanywa kulingana na mpango wa kawaida: suluhisho la jumla linalotokana lazima libadilishwe katika upande wa kushoto wa kila mlinganyo wa mfumo na kupata sufuri ya kisheria kwa vibadala vyote.

Itawezekana kumaliza hii kwa utulivu na amani, lakini suluhisho la mfumo wa usawa wa milinganyo mara nyingi linahitaji kuwakilishwa. katika fomu ya vector kwa kutumia mfumo wa msingi wa suluhisho. Tafadhali sahau kuhusu hilo kwa sasa jiometri ya uchambuzi, kwa kuwa sasa tutazungumza juu ya vekta kwa maana ya jumla ya algebra, ambayo nilifungua kidogo katika nakala hiyo. cheo cha matrix. Hakuna haja ya kuangaza juu ya istilahi, kila kitu ni rahisi sana.

Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAEs) bila shaka ndiyo mada muhimu zaidi katika kozi ya aljebra ya mstari. Idadi kubwa ya shida kutoka kwa matawi yote ya hisabati huja katika kutatua mifumo ya hesabu za mstari. Mambo haya yanaeleza sababu ya makala hii. Nyenzo za kifungu zimechaguliwa na zimeundwa ili kwa msaada wake uweze

chagua njia bora ya kutatua mfumo wako wa milinganyo ya algebraic,
soma nadharia ya njia iliyochaguliwa,
suluhisha mfumo wako wa milinganyo ya mstari kwa kuzingatia masuluhisho ya kina kwa mifano na matatizo ya kawaida.

Maelezo mafupi ya nyenzo za makala.

Kwanza, tunatoa ufafanuzi wote muhimu, dhana na utangulizi wa vidokezo.

Ifuatayo, tutazingatia njia za kutatua mifumo ya milinganyo ya algebra ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na ambavyo vina suluhisho la kipekee. Kwanza, tutazingatia njia ya Cramer, pili, tutaonyesha njia ya matrix ya kutatua mifumo hiyo ya equations, na tatu, tutachambua njia ya Gauss (njia ya kuondokana na mlolongo wa vigezo visivyojulikana). Ili kuunganisha nadharia, hakika tutatatua SLAE kadhaa kwa njia tofauti.

Baada ya hayo, tutaendelea na kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari mtazamo wa jumla, ambapo idadi ya milinganyo hailingani na idadi ya vigeu visivyojulikana au matrix kuu ya mfumo ni ya umoja. Hebu tuunde nadharia ya Kronecker-Capelli, ambayo inaruhusu sisi kuanzisha utangamano wa SLAEs. Wacha tuchambue suluhisho la mifumo (ikiwa inaendana) kwa kutumia dhana ya msingi mdogo wa matrix. Pia tutazingatia njia ya Gauss na kuelezea kwa undani ufumbuzi wa mifano.

Kwa hakika tutakaa juu ya muundo wa suluhisho la jumla la mifumo ya homogeneous na inhomogeneous ya milinganyo ya algebraic ya mstari. Hebu tupe dhana ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi na kuonyesha jinsi ufumbuzi wa jumla wa SLAE umeandikwa kwa kutumia vectors ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi. Kwa ufahamu bora, hebu tuangalie mifano michache.

Kwa kumalizia, tutazingatia mifumo ya equations ambayo inaweza kupunguzwa kwa zile za mstari, pamoja na shida mbali mbali katika suluhisho ambalo SLAEs huibuka.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi, dhana, sifa.

Tutazingatia mifumo ya milinganyo ya algebraic yenye mstari wa p na viambishi n visivyojulikana (p inaweza kuwa sawa na n) ya fomu.

Vigezo visivyojulikana - coefficients (baadhi ya kweli au nambari ngumu), - masharti ya bure (pia nambari halisi au ngumu).

Njia hii ya kurekodi SLAE inaitwa kuratibu.

KATIKA fomu ya matrix kuandika mfumo huu wa milinganyo una namna,
Wapi - matrix kuu ya mfumo, - safu ya safu ya vigezo visivyojulikana, - safu ya safu ya maneno ya bure.

Ikiwa tutaongeza safu-wima ya maneno bila malipo kwenye matrix A kama safu wima ya (n+1), tunapata kinachojulikana kama safu wima. matrix iliyopanuliwa mifumo ya milinganyo ya mstari. Kawaida, matrix iliyopanuliwa inaonyeshwa na herufi T, na safu ya maneno ya bure hutenganishwa na safu wima kutoka kwa safu zilizobaki, ambayo ni,

Kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari inayoitwa seti ya maadili ya anuwai zisizojulikana ambazo hubadilisha hesabu zote za mfumo kuwa vitambulisho. Mlinganyo wa matrix kwa maadili yaliyopewa ya vigeu visivyojulikana pia huwa kitambulisho.

Ikiwa mfumo wa equations una angalau suluhisho moja, basi inaitwa pamoja.

Ikiwa mfumo wa equations hauna suluhisho, basi inaitwa yasiyo ya pamoja.

Ikiwa SLAE ina suluhisho la kipekee, basi inaitwa fulani; ikiwa kuna suluhisho zaidi ya moja, basi - kutokuwa na uhakika.

Ikiwa masharti ya bure ya milinganyo yote ya mfumo ni sawa na sifuri , basi mfumo unaitwa zenye homogeneous, vinginevyo - tofauti.

Kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya aljebra ya mstari.

Ikiwa idadi ya milinganyo ya mfumo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na kibainishi cha matrix yake kuu si sawa na sifuri, basi SLAE hizo zitaitwa. msingi. Mifumo hiyo ya equations ina ufumbuzi wa pekee, na katika kesi ya mfumo wa homogeneous, vigezo vyote visivyojulikana ni sawa na sifuri.

Tulianza kusoma SLAE kama hizo sekondari. Wakati wa kuyatatua, tulichukua equation moja, tukaelezea tofauti moja isiyojulikana kwa suala la wengine na kuibadilisha katika equations iliyobaki, kisha tukachukua equation inayofuata, tukaelezea kutofautiana kwa pili isiyojulikana na kuiweka katika equations nyingine, na kadhalika. Au walitumia njia ya kuongeza, yaani, waliongeza milinganyo miwili au zaidi ili kuondoa baadhi ya vigeu visivyojulikana. Hatutakaa juu ya njia hizi kwa undani, kwani kimsingi ni marekebisho ya njia ya Gauss.

Njia kuu za kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya mstari ni njia ya Cramer, njia ya matrix na njia ya Gauss. Hebu tuyatatue.

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Tuseme tunahitaji kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

ambayo idadi ya equations ni sawa na idadi ya vigezo haijulikani na determinant ya tumbo kuu ya mfumo ni tofauti na sifuri, yaani,.

Hebu iwe kiamua cha matrix kuu ya mfumo, na - viashiria vya matrices ambayo hupatikana kutoka kwa A kwa uingizwaji 1, 2, ..., nth safu mtawalia kwa safu ya washiriki huru:

Kwa nukuu hii, vigeu visivyojulikana vinakokotolewa kwa kutumia fomula za mbinu ya Cramer kama . Hivi ndivyo suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra linapatikana kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Mfano.

Njia ya Cramer .

Suluhisho.

Matrix kuu ya mfumo ina fomu . Wacha tuhesabu kiashiria chake (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Kwa kuwa kiashiria cha matrix kuu ya mfumo ni nonzero, mfumo una suluhisho la kipekee ambalo linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer.

Wacha tutunge na tuhesabu viashiria muhimu (tunapata kibainishi kwa kubadilisha safu wima ya kwanza kwenye matriki A na safu wima ya maneno huru, kiangazi kwa kubadilisha safu wima ya pili na safu ya masharti huru, na kwa kubadilisha safu wima ya tatu ya matrix A na safu ya istilahi zisizolipishwa) :

Kutafuta vigeu visivyojulikana kwa kutumia fomula :

Jibu:

Hasara kuu ya njia ya Cramer (ikiwa inaweza kuitwa hasara) ni utata wa kuhesabu viambatisho wakati idadi ya milinganyo katika mfumo ni zaidi ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya matriki (kwa kutumia matriki kinyume).

Ruhusu mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari itolewe katika umbo la matriki, ambapo matriki A ina vipimo n kwa n na kibainishi chake ni nonzero.

Kwa kuwa , matrix A haiwezi kugeuzwa, yaani, kuna matrix inverse. Ikiwa tutazidisha pande zote mbili za usawa kwa upande wa kushoto, tunapata fomula ya kutafuta safu-matrix ya vigeu visivyojulikana. Hivi ndivyo tulivyopata suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa kutumia mbinu ya matrix.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari njia ya matrix.

Suluhisho.

Wacha tuandike tena mfumo wa equations katika fomu ya matrix:

Kwa sababu

basi SLAE inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya matrix. Kwa kutumia matrix ya kinyume suluhisho la mfumo huu linaweza kupatikana kama .

Wacha tutengeneze matrix ya kinyume kwa kutumia matrix kutoka kwa nyongeza za aljebra ya vitu vya matrix A (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Inabakia kuhesabu matrix ya vigezo visivyojulikana kwa kuzidisha matrix ya kinyume kwa safu-matrix ya washiriki wa bure (ikiwa ni lazima, angalia nakala):

Jibu:

au katika nukuu nyingine x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Shida kuu wakati wa kutafuta suluhisho la mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia njia ya matrix ni ugumu wa kupata matrix inverse, haswa kwa matrices ya mraba kuagiza zaidi ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss.

Tuseme tunahitaji kupata suluhu kwa mfumo wa n milinganyo ya mstari na n vigeu visivyojulikana
kibainishi cha matrix kuu ambayo ni tofauti na sifuri.

Kiini cha njia ya Gauss linajumuisha kuondoa kwa mpangilio tofauti tofauti zisizojulikana: kwanza, x 1 imetengwa kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia ya pili, kisha x 2 imetengwa kutoka kwa hesabu zote, kuanzia ya tatu, na kadhalika, hadi tu kutofautisha haijulikani x n kubaki. katika mlinganyo wa mwisho. Utaratibu huu wa kubadilisha milinganyo ya mfumo ili kuondoa vijidudu visivyojulikana kwa mpangilio huitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gaussian, x n hupatikana kutoka kwa equation ya mwisho, kwa kutumia thamani hii kutoka kwa equation ya penultimate, x n-1 imehesabiwa, na kadhalika, x 1 hupatikana kutoka kwa equation ya kwanza. Mchakato wa kuhesabu vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm ya kuondoa vigezo visivyojulikana.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia na ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, kuzidishwa na , kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeonyesha x 1 kulingana na vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na kubadilisha usemi unaotokana na milinganyo mingine yote. Kwa hivyo, tofauti x 1 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na , kwa equation ya nne tunaongeza pili, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza pili, kuongezeka kwa . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na . Kwa hivyo, tofauti x 2 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea na kuondoa haijulikani x 3, wakati tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya mfumo iliyowekwa kwenye takwimu.

Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa equation ya mwisho kama , kwa kutumia thamani iliyopatikana ya x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya penultimate, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza. .

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari Njia ya Gauss.

Suluhisho.

Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa pande zote mbili za equation ya pili na ya tatu tunaongeza sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, iliyozidishwa na na, kwa mtiririko huo:

Sasa tunaondoa x 2 kutoka kwa equation ya tatu kwa kuongeza upande wake wa kushoto na upande wa kulia pande za kushoto na kulia za equation ya pili, ikizidishwa na:

Hii inakamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gauss; tunaanza kiharusi cha kinyume.

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo unaotokana wa equations tunapata x 3:

Kutoka kwa equation ya pili tunapata.

Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata tofauti iliyobaki isiyojulikana na kwa hivyo kukamilisha kinyume cha njia ya Gauss.

Jibu:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Mifumo ya kutatua ya milinganyo ya aljebra ya mstari wa fomu ya jumla.

Kwa ujumla, idadi ya equations ya mfumo p hailingani na idadi ya vigezo visivyojulikana n:

SLAE kama hizo zinaweza kukosa suluhu, kuwa na suluhisho moja, au kuwa na suluhisho nyingi sana. Taarifa hii pia inatumika kwa mifumo ya milinganyo ambayo matrix kuu ni mraba na umoja.

Nadharia ya Kronecker-Capelli.

Kabla ya kupata suluhisho la mfumo wa equations za mstari, ni muhimu kuanzisha utangamano wake. Jibu la swali wakati SLAE inaendana na wakati haiendani hutolewa na Nadharia ya Kronecker-Capelli:
Ili mfumo wa equations p na n zisizojulikana (p inaweza kuwa sawa na n) kuwa thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix kuu ya mfumo kiwe. sawa na cheo extended matrix, yaani, Rank(A)=Rank(T) .

Wacha tuzingatie, kama mfano, matumizi ya nadharia ya Kronecker-Capelli ili kubaini utangamano wa mfumo wa milinganyo ya mstari.

Mfano.

Jua ikiwa mfumo wa milinganyo ya mstari unao ufumbuzi.

Suluhisho.

. Wacha tutumie njia ya kupakana na watoto. Ndogo ya utaratibu wa pili tofauti na sifuri. Wacha tuangalie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo:

Kwa kuwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, kiwango cha matrix kuu ni sawa na mbili.

Kwa upande wake, kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni sawa na tatu, kwa kuwa mdogo ni wa utaratibu wa tatu

tofauti na sifuri.

Hivyo, Rang(A), kwa hivyo, kwa kutumia nadharia ya Kronecker–Capelli, tunaweza kuhitimisha kuwa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari haulingani.

Jibu:

Mfumo hauna suluhu.

Kwa hiyo, tumejifunza kuanzisha kutofautiana kwa mfumo kwa kutumia nadharia ya Kronecker-Capelli.

Lakini jinsi ya kupata suluhisho kwa SLAE ikiwa utangamano wake umeanzishwa?

Ili kufanya hivyo, tunahitaji dhana ya msingi mdogo wa matrix na nadharia kuhusu kiwango cha matrix.

Kidogo cha utaratibu wa juu wa matrix A, tofauti na sifuri, inaitwa msingi.

Kutoka kwa ufafanuzi wa msingi mdogo inafuata kwamba utaratibu wake ni sawa na cheo cha matrix. Kwa matrix isiyo ya sifuri A kunaweza kuwa na watoto wa msingi kadhaa; kila wakati kuna msingi mmoja mdogo.

Kwa mfano, fikiria matrix .

Watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni sawa na sifuri, kwani vipengele vya safu ya tatu ya matrix hii ni jumla ya vipengele vinavyolingana vya safu ya kwanza na ya pili.

Watoto wafuatayo wa pili ni wa msingi, kwa kuwa sio sifuri

Watoto wadogo sio msingi, kwani ni sawa na sifuri.

Nadharia ya kiwango cha Matrix.

Ikiwa kiwango cha matrix ya mpangilio p kwa n ni sawa na r, basi vipengele vyote vya safu (na safu) vya matrix ambavyo havifanyi msingi uliochaguliwa huonyeshwa kwa mstari kulingana na safu mlalo (na safu) vipengele vinavyounda. msingi mdogo.

Nadharia ya kiwango cha matrix inatuambia nini?

Ikiwa, kulingana na nadharia ya Kronecker-Capelli, tumeanzisha utangamano wa mfumo, basi tunachagua msingi wowote mdogo wa matrix kuu ya mfumo (mpangilio wake ni sawa na r), na kuwatenga kutoka kwa mfumo milinganyo yote inayofanya. sio kuunda msingi uliochaguliwa mdogo. SLAE iliyopatikana kwa njia hii itakuwa sawa na ile ya asili, kwa kuwa milinganyo iliyotupwa bado haina maana (kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix, ni mchanganyiko wa mstari wa milinganyo iliyobaki).

Matokeo yake, baada ya kukataa equations zisizohitajika za mfumo, kesi mbili zinawezekana.

Ikiwa idadi ya equations r katika mfumo unaosababisha ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi itakuwa ya uhakika na suluhisho pekee linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

Mfano.

Suluhisho.

Cheo cha tumbo kuu la mfumo ni sawa na mbili, kwani mdogo ni wa mpangilio wa pili tofauti na sifuri. Nafasi Iliyoongezwa ya Matrix pia ni sawa na mbili, kwani agizo la tatu pekee ni sifuri

na mdogo wa mpangilio wa pili unaozingatiwa hapo juu ni tofauti na sifuri. Kulingana na nadharia ya Kronecker–Capelli, tunaweza kuthibitisha upatanifu wa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari, kwa kuwa Cheo(A)=Cheo(T)=2.

Kama msingi mdogo tunachukua . Inaundwa na coefficients ya equations ya kwanza na ya pili:

Equation ya tatu ya mfumo haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo tunaitenga kutoka kwa mfumo kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix:

Hivi ndivyo tulivyopata mfumo wa msingi wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Wacha tuitatue kwa kutumia njia ya Cramer:

Jibu:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ikiwa idadi ya equations r katika SLAE inayosababisha ni chini ya idadi ya vigezo visivyojulikana n, basi kwenye pande za kushoto za equations tunaacha masharti ambayo huunda msingi mdogo, na tunahamisha masharti yaliyobaki kwa pande za kulia za hesabu. milinganyo ya mfumo na ishara kinyume.

Vigezo visivyojulikana (r kati yao) vilivyobaki kwenye pande za kushoto za equations huitwa kuu.

Vigezo visivyojulikana (kuna vipande vya n - r) vilivyo kwenye pande za kulia huitwa bure.

Sasa tunaamini kwamba vigeu visivyojulikana vya bure vinaweza kuchukua maadili ya kiholela, wakati r vigeu kuu visivyojulikana vitaonyeshwa kupitia vigeu visivyojulikana visivyolipishwa kwa njia ya kipekee. Usemi wao unaweza kupatikana kwa kutatua SLAE inayotokana kwa kutumia njia ya Cramer, njia ya matrix, au njia ya Gauss.

Hebu tuitazame kwa mfano.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari .

Suluhisho.

Wacha tupate kiwango cha matrix kuu ya mfumo kwa njia ya mpaka watoto. Wacha tuchukue 1 1 = 1 kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto ambaye sio sifuri wa agizo la pili linalopakana na mtoto huyu:

Hivi ndivyo tulivyopata mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa pili. Wacha tuanze kutafuta mtoto asiye na sifuri anayepakana na agizo la tatu:

Kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu ni tatu. Kiwango cha matrix iliyopanuliwa pia ni sawa na tatu, ambayo ni, mfumo ni thabiti.

Tunachukua iliyopatikana isiyo ya sifuri ndogo ya mpangilio wa tatu kama msingi.

Kwa uwazi, tunaonyesha vitu ambavyo huunda msingi mdogo:

Tunaacha masharti yanayohusika katika msingi mdogo upande wa kushoto wa milinganyo ya mfumo, na kuhamisha yaliyosalia na ishara tofauti kwa pande za kulia:

Wacha tupe viwango vya bure visivyojulikana x 2 na x 5 maadili ya kiholela, ambayo ni, tunakubali. , nambari za kiholela ziko wapi. Katika kesi hii, SLAE itachukua fomu

Wacha tusuluhishe mfumo wa msingi unaotokana wa milinganyo ya algebra kwa kutumia mbinu ya Cramer:

Kwa hivyo,.

Katika jibu lako, usisahau kuashiria anuwai zisizojulikana za bure.

Jibu:

Nambari za kiholela ziko wapi.

Fanya muhtasari.

Ili kutatua mfumo wa milinganyo ya jumla ya mstari wa aljebra, kwanza tunabainisha upatanifu wake kwa kutumia nadharia ya Kronecker–Capelli. Ikiwa kiwango cha matrix kuu sio sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunahitimisha kuwa mfumo hauendani.

Ikiwa kiwango cha matrix kuu ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunachagua msingi mdogo na kutupa hesabu za mfumo ambazo hazishiriki katika uundaji wa msingi uliochaguliwa mdogo.

Ikiwa utaratibu wa msingi mdogo ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi SLAE ina suluhisho la pekee, ambalo linaweza kupatikana kwa njia yoyote inayojulikana kwetu.

Ikiwa mpangilio wa msingi mdogo ni chini ya idadi ya vijiti visivyojulikana, basi upande wa kushoto wa hesabu za mfumo tunaacha masharti na vigezo kuu visivyojulikana, kuhamisha maneno yaliyobaki kwa pande za kulia na kutoa maadili ya kiholela. vigezo vya bure visivyojulikana. Kutoka kwa mfumo unaotokana wa milinganyo ya mstari tunapata zisizojulikana kuu vigezo kwa mbinu Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gaussian.

Njia ya Gauss ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya aljebra ya umbo la jumla.

Mbinu ya Gauss inaweza kutumika kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya aina yoyote bila kuijaribu kwanza kwa uthabiti. Mchakato wa uondoaji wa mlolongo wa vigezo visivyojulikana hufanya iwezekanavyo kuteka hitimisho kuhusu utangamano na kutokubaliana kwa SLAE, na ikiwa suluhisho lipo, inafanya iwezekanavyo kuipata.

Kwa mtazamo wa hesabu, njia ya Gaussian inafaa zaidi.

Itazame maelezo ya kina na mifano iliyochanganuliwa katika makala mbinu ya Gauss ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya umbo la jumla.

Kuandika suluhisho la jumla kwa mifumo ya algebra yenye usawa na isiyo sawa kwa kutumia vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho.

Katika sehemu hii tutazungumza juu ya mifumo ya wakati mmoja ya usawa na isiyo sawa ya milinganyo ya aljebra ya mstari ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Hebu kwanza tushughulike na mifumo ya homogeneous.

Mfumo wa msingi wa suluhisho mfumo wa homogeneous wa p linear aljebra equations na n vigezo visivyojulikana ni mkusanyiko wa (n - r) ufumbuzi wa kujitegemea wa mfumo huu, ambapo r ni utaratibu wa msingi mdogo wa matrix kuu ya mfumo.

Ikiwa tunaashiria masuluhisho huru ya mstari ya SLAE yenye usawa kama X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ni safu wima za mwelekeo n. na 1) , basi suluhisho la jumla la mfumo huu wa homogeneous linawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho na coefficients ya kiholela ya mara kwa mara C 1, C 2, ..., C (n-r), yaani, .

Je, neno suluhu la jumla la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya aljebra ya mstari (oroslau) inamaanisha nini?

Maana ni rahisi: formula inaweka kila kitu suluhu zinazowezekana SLAE ya asili, kwa maneno mengine, kuchukua seti yoyote ya maadili ya viwango vya kiholela C 1, C 2, ..., C (n-r), kulingana na formula tutapata suluhisho moja kwa SLAE ya asili ya homogeneous.

Kwa hivyo, ikiwa tutapata mfumo wa kimsingi wa suluhisho, basi tunaweza kufafanua suluhisho zote za SLAE hii ya homogeneous kama .

Wacha tuonyeshe mchakato wa kuunda mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa SLAE yenye homogeneous.

Tunachagua msingi mdogo wa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari, ukiondoa milinganyo mingine yote kutoka kwa mfumo na kuhamisha masharti yote yaliyo na vigeuzo visivyolipishwa visivyojulikana kwa upande wa kulia wa milinganyo ya mfumo na ishara tofauti. Wacha tupe vigezo vya bure visivyojulikana maadili 1,0,0,...,0 na kuhesabu haijulikani kuu kwa kutatua mfumo wa msingi wa equations za mstari kwa njia yoyote, kwa mfano, kwa kutumia njia ya Cramer. Hii itasababisha X (1) - suluhisho la kwanza la mfumo wa kimsingi. Ikiwa tutatoa zisizojulikana za bure thamani 0,1,0,0,…,0 na kuhesabu zisizojulikana kuu, tunapata X (2) . Nakadhalika. Ikiwa tutagawa maadili 0.0,…,0.1 kwa anuwai zisizojulikana na kuhesabu zisizojulikana kuu, tunapata X (n-r) . Kwa njia hii, mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE yenye homogeneous utajengwa na ufumbuzi wake wa jumla unaweza kuandikwa kwa fomu.

Kwa mifumo isiyo ya moja kwa moja ya milinganyo ya algebraic ya mstari, suluhisho la jumla linawakilishwa katika fomu, ambapo ni suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous, na ni suluhisho maalum la SLAE ya asili isiyo ya kawaida, ambayo tunapata kwa kutoa thamani zisizojulikana. 0,0,...,0 na kuhesabu maadili ya mambo kuu yasiyojulikana.

Hebu tuangalie mifano.

Mfano.

Pata mfumo wa kimsingi wa suluhisho na suluhisho la jumla la mfumo wa usawa wa milinganyo ya algebraic ya mstari. .

Suluhisho.

Kiwango cha matrix kuu ya mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya mstari daima ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Wacha tupate kiwango cha matrix kuu kwa kutumia njia ya kupakana na watoto. Kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza, tunachukua kipengele 1 1 = 9 cha matrix kuu ya mfumo. Wacha tupate mpaka usio na sifuri mdogo wa agizo la pili:

Kidogo cha utaratibu wa pili, tofauti na sifuri, kimepatikana. Wacha tupitie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo ili kutafuta isiyo ya sifuri:

Watoto wote wa mpaka wa tatu ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu na iliyopanuliwa ni sawa na mbili. Hebu tuchukue. Kwa uwazi, hebu tuangalie vipengele vya mfumo vinavyounda:

Equation ya tatu ya SLAE ya asili haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo, inaweza kutengwa:

Tunaacha masharti yaliyo na mambo kuu yasiyojulikana kwenye pande za kulia za hesabu, na kuhamisha masharti na yasiyojulikana ya bure kwa pande za kulia:

Wacha tuunde mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo wa asili wa usawa wa milinganyo ya mstari. Mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE hii una ufumbuzi mbili, kwa kuwa SLAE ya awali ina vigezo vinne visivyojulikana, na utaratibu wa msingi wake mdogo ni sawa na mbili. Ili kupata X (1), tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana maadili x 2 = 1, x 4 = 0, kisha tunapata haijulikani kuu kutoka kwa mfumo wa equations.
.

Mfumo m milinganyo ya mstari c n inayoitwa haijulikani mfumo wa mstari wa homogeneous milinganyo ikiwa masharti yote ya bure ni sawa na sifuri. Mfumo kama huo unaonekana kama hii:

Wapi na ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - nambari zilizopewa; Xi- haijulikani.

Mfumo wa mstari milinganyo ya homogeneous daima pamoja, kwa sababu r(A) = r(). Daima ina angalau sifuri ( yasiyo na maana) suluhisho (0; 0; …; 0).

Hebu tuchunguze chini ya hali gani mifumo ya homogeneous ina ufumbuzi usio na sifuri.

Nadharia 1. Mfumo wa milinganyo yenye usawa wa mstari una masuluhisho yasiyo ya kawaida ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matriki yake kuu ni. r wachache wasiojulikana n, i.e. r < n.

□ 1). Wacha mfumo wa milinganyo yenye usawa uwe na suluhu isiyo ya kawaida. Kwa kuwa kiwango hakiwezi kuzidi saizi ya matrix, basi, ni wazi, r ≤ n. Hebu r = n. Kisha moja ya ukubwa mdogo n n tofauti na sifuri. Kwa hivyo, mfumo unaolingana wa equations za mstari una suluhisho la kipekee: ... Hii ina maana kwamba hakuna masuluhisho mengine isipokuwa yale yasiyo na maana. Kwa hiyo, ikiwa kuna ufumbuzi usio na maana, basi r < n.

2). Hebu r < n. Kisha mfumo wa homogeneous, kuwa thabiti, hauna uhakika. Hii ina maana kwamba ina idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, i.e. ina suluhu zisizo za sifuri. ■

Fikiria mfumo wa homogeneous n milinganyo ya mstari c n haijulikani:

(2)

Nadharia 2. Mfumo wa homogeneous n milinganyo ya mstari c n haijulikani (2) ina masuluhisho yasiyo ya sifuri ikiwa na tu ikiwa kibainishi chake ni sawa na sifuri: = 0.

□ Ikiwa mfumo (2) una ufumbuzi usio na sifuri, basi = 0. Kwa sababu wakati mfumo una suluhisho moja tu la sifuri. Ikiwa = 0, basi cheo r matrix kuu ya mfumo ni chini ya idadi ya haijulikani, i.e. r < n. Na, kwa hiyo, mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, i.e. ina suluhu zisizo za sifuri. ■

Wacha tuonyeshe suluhisho la mfumo (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kama kamba .

Suluhisho la mfumo wa milinganyo ya usawa yenye usawa ina sifa zifuatazo:

1. Ikiwa mstari ni suluhisho la mfumo (1), basi mstari ni suluhisho la mfumo (1).

2. Ikiwa mistari Na - ufumbuzi wa mfumo (1), basi kwa maadili yoyote Na 1 na Na 2 mchanganyiko wao wa mstari pia ni suluhisho la mfumo (1).

Uhalali wa sifa hizi unaweza kuthibitishwa kwa kuzibadilisha moja kwa moja kwenye milinganyo ya mfumo.

Kutoka kwa sifa zilizoundwa inafuata kwamba mchanganyiko wowote wa mstari wa ufumbuzi kwa mfumo wa usawa wa usawa wa usawa pia ni suluhisho kwa mfumo huu.

Mfumo wa ufumbuzi wa kujitegemea wa mstari e 1 , e 2 , …, e r kuitwa msingi, ikiwa kila suluhisho la mfumo (1) ni mchanganyiko wa mstari wa suluhu hizi e 1 , e 2 , …, e r.

Nadharia 3. Kama cheo r matrices ya coefficients kwa vigezo vya mfumo wa milinganyo ya homogeneous linear (1) ni chini ya idadi ya vigezo n, basi mfumo wowote wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo (1) unajumuisha n–r maamuzi.

Ndiyo maana uamuzi wa pamoja mfumo wa milinganyo yenye usawa (1) ina fomu:

Wapi e 1 , e 2 , …, e r- mfumo wowote wa kimsingi wa suluhisho la mfumo (9), Na 1 , Na 2 , …, na uk- nambari za kiholela, R = n–r.

Nadharia 4. Suluhisho la jumla la mfumo m milinganyo ya mstari c n haijulikani ni sawa na jumla ya suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa milinganyo yenye usawa (1) na suluhisho la kiholela la mfumo huu (1).

Mfano. Tatua mfumo

Suluhisho. Kwa mfumo huu m = n= 3. Kuamua

na Theorem 2, mfumo una suluhisho dogo tu: x = y = z = 0.

Mfano. 1) Tafuta suluhisho za jumla na maalum za mfumo

2) Tafuta mfumo wa msingi wa suluhisho.

Suluhisho. 1) Kwa mfumo huu m = n= 3. Kuamua

na Theorem 2, mfumo una suluhisho zisizo za kawaida.

Kwa kuwa kuna equation moja tu ya kujitegemea katika mfumo

x + y – 4z = 0,

basi kutoka humo tutaeleza x =4z- y. Tunapata wapi idadi isiyo na kikomo ya suluhisho: (4 z- y, y, z) - hii ndio suluhisho la jumla la mfumo.

Katika z= 1, y= -1, tunapata suluhisho moja maalum: (5, -1, 1). Kuweka z= 3, y= 2, tunapata suluhisho la pili: (10, 2, 3), nk.

2) Katika suluhisho la jumla (4 z- y, y, z) vigezo y Na z ni bure, na kutofautiana X- tegemezi kwao. Ili kupata mfumo wa kimsingi wa suluhisho, wacha tugawanye maadili kwa anuwai za bure: kwanza. y = 1, z= 0, basi y = 0, z= 1. Tunapata ufumbuzi wa sehemu (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ambayo huunda mfumo wa msingi wa ufumbuzi.

Vielelezo:

Mchele. 1 Uainishaji wa mifumo ya milinganyo ya mstari

Mchele. 2 Utafiti wa mifumo ya milinganyo ya mstari

Mawasilisho:

· Suluhisho la mbinu ya SLAE_matrix

· Suluhisho la mbinu ya SLAE_Cramer

· Suluhisho la mbinu ya SLAE_Gauss

· Vifurushi vya kutatua matatizo ya hisabati Hisabati, MathCad: inatafuta suluhu za uchanganuzi na nambari kwa mifumo ya milinganyo ya mstari

Maswali ya kudhibiti:

1. Bainisha mlinganyo wa mstari

2. Je, inaonekana kama mfumo wa aina gani? m milinganyo ya mstari na n haijulikani?

3. Ni nini kinachoitwa mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya mstari?

4. Ni mifumo gani inayoitwa sawa?

5. Mfumo gani unaitwa hauendani?

6. Mfumo gani unaitwa joint?

7. Mfumo gani unaitwa uhakika?

8. Mfumo gani unaitwa usio na kipimo

9. Orodhesha mabadiliko ya kimsingi ya mifumo ya milinganyo ya mstari

10. Orodhesha mabadiliko ya msingi ya matrices

11. Tengeneza nadharia juu ya utumiaji wa mabadiliko ya kimsingi kwa mfumo wa milinganyo ya mstari.

12. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya tumbo?

13. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa njia ya Cramer?

14. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa njia ya Gauss?

15. Orodhesha kesi 3 zinazowezekana zinazotokea wakati wa kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss.

16. Eleza mbinu ya matrix ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

17. Eleza mbinu ya Cramer ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

18. Eleza mbinu ya Gauss ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

19. Ni mifumo gani inaweza kutatuliwa kwa kutumia matrix inverse?

20. Orodhesha kesi 3 zinazowezekana zinazotokea wakati wa kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Fasihi:

1. Hisabati ya juu kwa wachumi: Kitabu cha kiada kwa vyuo vikuu / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Mh. N.Sh. Kremer. - M.: UMOJA, 2005. - 471 p.

2. Kozi ya jumla ya hisabati ya juu kwa wachumi: Kitabu cha maandishi. / Mh. KATIKA NA. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati ya juu kwa wanauchumi: Mafunzo/ Iliyohaririwa na V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. Gmurman V. E. Mwongozo wa kutatua matatizo katika nadharia ya uwezekano na takwimu za magmatic. -M.: shule ya kuhitimu, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. V.E Nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. - M.: Shule ya Upili, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Hisabati ya juu katika mazoezi na matatizo. Sehemu ya 1, 2. - M.: Onyx karne ya 21: Amani na Elimu, 2005. - 304 p. Sehemu 1; - 416 p. Sehemu ya 2.

7. Hisabati katika uchumi: Kitabu cha kiada: Katika sehemu 2 / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Fedha na Takwimu, 2006.

8. Shipachev V.S. Hisabati ya juu: Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi. vyuo vikuu - M.: Shule ya Juu, 2007. - 479 p.

Taarifa zinazohusiana.

Mfumo wa homogeneous daima ni thabiti na una ufumbuzi usio na maana
. Ili suluhisho lisilo la msingi liwepo, ni muhimu kwamba kiwango cha matrix ilikuwa chini ya idadi ya wasiojulikana:

Mfumo wa msingi wa suluhisho mfumo wa homogeneous
piga mfumo wa suluhisho kwa namna ya veta za safu
, ambayo inalingana na msingi wa kisheria, i.e. msingi ambao constants kiholela
zimewekwa sawa na moja, wakati zingine zimewekwa kuwa sifuri.

Kisha suluhisho la jumla la mfumo wa homogeneous lina fomu:

Wapi
- mara kwa mara ya kiholela. Kwa maneno mengine, suluhisho la jumla ni mchanganyiko wa mstari wa mfumo wa msingi wa suluhisho.

Kwa hivyo, ufumbuzi wa msingi unaweza kupatikana kutoka kwa ufumbuzi wa jumla ikiwa haijulikani bila malipo hupewa thamani ya moja kwa upande wake, kuweka wengine wote sawa na sifuri.

Mfano. Wacha tupate suluhisho la mfumo

Wacha tukubali, kisha tunapata suluhisho katika fomu:

Wacha sasa tujenge mfumo wa msingi wa suluhisho:

Suluhisho la jumla litaandikwa kama hii:

Suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari wa homogeneous ina mali zifuatazo:

Kwa maneno mengine, mchanganyiko wowote wa mstari wa suluhisho kwa mfumo wa homogeneous ni suluhisho tena.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari ina wanahisabati wanaovutiwa kwa karne kadhaa. Matokeo ya kwanza yalipatikana katika karne ya 18. Mnamo 1750, G. Kramer (1704-1752) alichapisha kazi zake juu ya viashiria vya matrices ya mraba na akapendekeza algorithm ya kutafuta matrix inverse. Mnamo 1809, Gauss alielezea njia mpya ya suluhisho inayojulikana kama njia ya kuondoa.

Njia ya Gauss, au njia ya uondoaji wa mlolongo wa haijulikani, inajumuisha ukweli kwamba, kwa kutumia mabadiliko ya msingi, mfumo wa equations hupunguzwa kwa mfumo sawa wa fomu ya hatua (au triangular). Mifumo kama hiyo inafanya uwezekano wa kupata sequentially zote zisizojulikana kwa mpangilio fulani.

Wacha tufikirie kuwa katika mfumo (1)
(ambayo inawezekana kila wakati).

(1)

Kuzidisha equation ya kwanza moja baada ya nyingine kwa kinachojulikana nambari zinazofaa

na kuongeza matokeo ya kuzidisha na milinganyo inayolingana ya mfumo, tunapata mfumo sawa ambao katika milinganyo yote isipokuwa ya kwanza hakutakuwa na haijulikani. X 1

(2)

Wacha sasa tuzidishe equation ya pili ya mfumo (2) kwa nambari zinazofaa, tukichukulia hivyo

na kuiongeza na ya chini, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.

Kuendeleza mchakato huu, baada ya
hatua tunayopata:

(3)

Ikiwa angalau moja ya nambari
si sawa na sifuri, basi usawa unaolingana unapingana na mfumo (1) hauendani. Kinyume chake, kwa mfumo wowote wa nambari ya pamoja
ni sawa na sifuri. Nambari sio kitu zaidi ya kiwango cha matrix ya mfumo (1).