Equation ya mstari inaitwa zenye homogeneous, ikiwa neno lake la bure ni sawa na sifuri, na halina usawa vinginevyo. Mfumo unaojumuisha milinganyo ya homogeneous inaitwa homogeneous na ina fomu ya jumla:
Ni dhahiri kwamba kila mfumo wa homogeneous ni thabiti na una ufumbuzi wa sifuri (kidogo). Kwa hiyo, kuhusiana na mifumo ya homogeneous milinganyo ya mstari mara nyingi mtu anapaswa kutafuta jibu kwa swali la kuwepo kwa ufumbuzi usio na sifuri. Jibu la swali hili linaweza kutengenezwa kama nadharia ifuatayo.
Nadharia . Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari una suluhu isiyo ya kawaida ikiwa na tu ikiwa kiwango chake ni chini ya idadi ya haijulikani. .
Ushahidi: Hebu tuchukulie kuwa mfumo ambao cheo chake ni sawa una suluhu isiyo ya sifuri. Ni wazi haizidi. Ikiwa mfumo una suluhisho la kipekee. Kwa kuwa mfumo wa usawa wa mstari wa homogeneous daima una suluhisho la sifuri, basi suluhisho la sifuri litakuwa suluhisho hili la kipekee. Kwa hivyo, suluhisho zisizo za sifuri zinawezekana tu kwa .
Muhimu 1 : Mfumo wa homogeneous wa equations, ambapo idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani, daima ina ufumbuzi usio na sifuri.
Ushahidi: Ikiwa mfumo wa equations una , basi cheo cha mfumo hauzidi idadi ya equations, i.e. . Kwa hivyo, hali hiyo imeridhika na, kwa hiyo, mfumo una ufumbuzi usio na sifuri.
Muhimu 2 : Mfumo wa usawa wa milinganyo na zisizojulikana una suluhu isiyo ya kawaida ikiwa tu kibainishi chake ni sifuri.
Ushahidi: Wacha tuchukue kuwa mfumo wa milinganyo yenye usawa wa mstari, matrix ambayo na kiashiria , ina suluhu isiyo ya sifuri. Halafu, kulingana na nadharia iliyothibitishwa, na hii inamaanisha kuwa matrix ni ya umoja, i.e. .
Nadharia ya Kronecker-Capelli: SLU ni sawa ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix ya mfumo ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu. Ur ya mfumo inaitwa thabiti ikiwa ina angalau suluhisho moja.Mfumo wa usawa wa milinganyo ya aljebra ya mstari.
Mfumo wa milinganyo ya mstari yenye vigeu vya n inaitwa mfumo wa milinganyo yenye usawa wa mstari ikiwa maneno yote huru ni sawa na 0. Mfumo wa milinganyo yenye mstari wa mstari daima ni thabiti, kwa sababu daima ina angalau ufumbuzi wa sifuri. Mfumo wa milinganyo ya homogeneous ya mstari una suluhisho isiyo ya sifuri ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix yake ya coefficients kwa vigezo ni chini ya idadi ya vigezo, i.e. kwa cheo A (n. Mchanganyiko wowote wa mstari
Suluhisho za mfumo wa Lin. zenye homogeneous. ur-ii pia ni suluhisho la mfumo huu.
Mfumo wa suluhu huru za mstari e1, e2,..., еk huitwa msingi ikiwa kila suluhu la mfumo ni mseto wa suluhu za mstari. Nadharia: ikiwa kiwango cha r cha matriki ya viambatisho vya vijikaratasi vya mfumo wa milinganyo yenye usawa ni chini ya idadi ya viambishi n, basi kila mfumo wa kimsingi wa suluhu kwa mfumo unajumuisha n-r ufumbuzi. Ndiyo maana uamuzi wa pamoja Mifumo ya lin siku moja ur-th ina namna: c1e1+c2e2+...+skek, ambapo e1, e2,..., ek ni mfumo wowote wa kimsingi wa suluhisho, c1, c2,...,ck ni nambari za kiholela na k=n-r. Suluhisho la jumla la mfumo wa milinganyo ya mstari yenye vigeu vya n ni sawa na jumla
ya suluhisho la jumla la mfumo unaolingana nayo ni sawa. milinganyo ya mstari na suluhu fulani la kiholela la mfumo huu.
7. Nafasi za mstari. Nafasi ndogo. Msingi, mwelekeo. Gamba la mstari. Nafasi ya mstari inaitwa n-dimensional, ikiwa kuna mfumo wa vekta huru ndani yake, na mfumo wowote wa idadi kubwa ya vekta unategemea mstari. Nambari inaitwa kipimo (idadi ya vipimo) nafasi ya mstari na inaonyeshwa na . Kwa maneno mengine, mwelekeo wa nafasi ni idadi ya juu vekta zinazojitegemea za nafasi hii. Ikiwa nambari kama hiyo ipo, basi nafasi hiyo inaitwa finite-dimensional. Ikiwa kwa mtu yeyote nambari ya asili n katika nafasi kuna mfumo unaojumuisha vectors huru ya mstari, basi nafasi hiyo inaitwa infinite-dimensional (iliyoandikwa:). Katika kile kinachofuata, isipokuwa ikiwa imeelezwa vinginevyo, nafasi zenye ukomo zitazingatiwa.
Msingi wa nafasi ya mstari wa n-dimensional ni mkusanyiko ulioamriwa wa vekta huru za mstari ( vekta za msingi).
Nadharia 8.1 juu ya upanuzi wa vekta kulingana na msingi. Ikiwa ndio msingi wa nafasi ya mstari wa n-dimensional, basi vekta yoyote inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
na, zaidi ya hayo, kwa njia pekee, i.e. coefficients ni kuamua kipekee. Kwa maneno mengine, vector yoyote ya nafasi inaweza kupanuliwa kuwa msingi na, zaidi ya hayo, kwa njia ya pekee.
Kwa kweli, ukubwa wa nafasi ni. Mfumo wa vekta ni huru kwa mstari (hii ni msingi). Baada ya kuongeza vector yoyote kwa msingi, tunapata linearly mfumo tegemezi(kwa kuwa mfumo huu una vekta za nafasi ya n-dimensional). Kutumia mali ya vekta 7 zinazotegemea mstari na zinazojitegemea kwa mstari, tunapata hitimisho la nadharia.
Njia ya Gaussian ina idadi ya hasara: haiwezekani kujua ikiwa mfumo ni thabiti au la mpaka mabadiliko yote muhimu katika njia ya Gaussian yamefanyika; Njia ya Gauss haifai kwa mifumo yenye coefficients ya barua.
Wacha tuchunguze njia zingine za kutatua mifumo ya hesabu za mstari. Njia hizi hutumia dhana ya kiwango cha matrix na kupunguza suluhisho la mfumo wowote thabiti kwa suluhisho la mfumo ambao sheria ya Cramer inatumika.
Mfano 1. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo uliopunguzwa wa homogeneous na suluhisho maalum kwa mfumo usio na usawa.
1. Kufanya matrix A na matrix ya mfumo uliopanuliwa (1)
2. Chunguza mfumo (1) kwa umoja. Ili kufanya hivyo, tunapata safu za matrices A na https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Iwapo itakuwa hivyo, basi mfumo (1) zisizopatana. Tukipata hilo , basi mfumo huu ni thabiti na tutautatua. (Utafiti wa utangamano unatokana na nadharia ya Kronecker-Capelli).
a. Tunapata rA.
Kutafuta rA, tutazingatia kwa mpangilio watoto wasio na sufuri wa maagizo ya kwanza, ya pili, n.k. ya matrix. A na watoto wadogo wanaowazunguka.
M1=1≠0 (tunachukua 1 kutoka kona ya juu kushoto ya tumbo A).
Tunapakana M1 safu ya pili na safu ya pili ya tumbo hili. 
. Tunaendelea mpaka M1 mstari wa pili na safu ya tatu..gif" width="37" height="20 src=">. Sasa tunapakana na ile isiyo ya sifuri ndogo. M2′ utaratibu wa pili.
Tuna: 
(kwa kuwa safu wima mbili za kwanza ni sawa)
(kwa kuwa mstari wa pili na wa tatu ni sawia).
Tunaona hilo rA=2, a ndio msingi mdogo wa matrix A.
b. Tunapata.
Haki ya msingi mdogo M2′ matrices A mpaka na safu ya masharti ya bure na safu zote (tuna safu ya mwisho tu).
. Inafuata hiyo M3′′ inabakia kuwa msingi mdogo wa matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Kwa sababu M2′- msingi mdogo wa matrix A mifumo (2) , basi mfumo huu ni sawa na mfumo (3) , inayojumuisha milinganyo miwili ya kwanza ya mfumo (2) (kwa M2′ iko kwenye safu mbili za kwanza za matrix A).
(3)
Tangu msingi mdogo https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Katika mfumo huu kuna vitu viwili visivyojulikana ( x2 Na x4 ) Ndiyo maana FSR mifumo (4) lina masuluhisho mawili. Ili kuzipata, tunawapa watu wasiojulikana bila malipo (4) maadili kwanza x2=1 , x4=0 , na kisha - x2=0 , x4=1 .
Katika x2=1 , x4=0 tunapata:
.
Mfumo huu tayari una kitu pekee suluhisho (inaweza kupatikana kwa kutumia sheria ya Cramer au njia nyingine yoyote). Kuondoa ya kwanza kutoka kwa equation ya pili, tunapata:
Suluhisho lake litakuwa x1= -1 , x3=0 . Kwa kuzingatia maadili x2 Na x4 , ambayo tulitoa, tunapata ya kwanza suluhisho la msingi mifumo (2) : .
Sasa tunaamini (4) x2=0 , x4=1 . Tunapata:
.
Tunatatua mfumo huu kwa kutumia nadharia ya Cramer:
.
Tunapata suluhisho la pili la msingi la mfumo (2) : .
Ufumbuzi β1 , β2 na make up FSR mifumo (2) . Kisha suluhisho lake la jumla litakuwa
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Hapa C1 , C2 - viunga vya kiholela.
4. Hebu tutafute moja Privat suluhisho mfumo tofauti(1) . Kama katika aya 3 , badala ya mfumo (1) Hebu fikiria mfumo sawa (5) , inayojumuisha milinganyo miwili ya kwanza ya mfumo (1) .
(5)
Wacha tuhamishe zisizojulikana za bure kwa pande za kulia x2 Na x4.
(6)
Wacha tutoe haijulikani bure x2 Na x4 maadili ya kiholela, kwa mfano, x2=2 , x4=1 na kuziweka ndani (6) . Wacha tupate mfumo
Mfumo huu una suluhisho la kipekee (kwani kibainishi chake M2′0) Kutatua (kwa kutumia nadharia ya Cramer au njia ya Gauss), tunapata x1=3 , x3=3 . Kwa kuzingatia maadili ya vitu visivyojulikana vya bure x2 Na x4 , tunapata suluhisho maalum la mfumo wa inhomogeneous(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sasa kilichobaki ni kuandika tu suluhisho la jumla α la mfumo usio na usawa(1) : ni sawa na jumla suluhisho la kibinafsi mfumo huu na suluhisho la jumla la mfumo wake uliopunguzwa wa homogeneous (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Hii inamaanisha: 
(7)
6. Uchunguzi. Ili kuangalia ikiwa umetatua mfumo kwa usahihi (1) , tunahitaji suluhisho la jumla (7) mbadala katika (1) . Ikiwa kila equation itageuka kuwa kitambulisho ( C1 Na C2 lazima iharibiwe), basi suluhisho linapatikana kwa usahihi.
Tutabadilisha (7) kwa mfano, tu equation ya mwisho ya mfumo (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Tunapata: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Wapi –1=–1. Tulipata utambulisho. Tunafanya hivi na hesabu zingine zote za mfumo (1) .
Maoni. Cheki kawaida ni ngumu sana. "Cheki cha sehemu" ifuatayo inaweza kupendekezwa: katika suluhisho la jumla la mfumo (1) gawa baadhi ya maadili kwa viambatisho vya kiholela na ubadilishe suluhu inayotokana na sehemu tu kwenye milinganyo iliyotupwa (yaani, kwenye milinganyo hiyo kutoka (1) , ambazo hazikujumuishwa (5) ) Ikiwa utapata vitambulisho, basi uwezekano zaidi, suluhisho la mfumo (1) kupatikana kwa usahihi (lakini hundi hiyo haitoi dhamana kamili ya usahihi!). Kwa mfano, ikiwa ndani (7) weka C2=- 1 , C1=1, kisha tunapata: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Kubadilisha katika equation ya mwisho ya mfumo (1), tuna: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaani -1=–1. Tulipata utambulisho.
Mfano 2. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari (1) , akielezea mambo ya msingi yasiyojulikana kwa masharti ya bure.
Suluhisho. Kama katika mfano 1, kutunga matrices A na https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ya matrices haya. Sasa tunaacha milinganyo hiyo ya mfumo pekee. (1) , mgawo ambao umejumuishwa katika udogo huu wa msingi (yaani, tuna milinganyo miwili ya kwanza) na kuzingatia mfumo unaojumuisha, sawa na mfumo (1).
Wacha tuhamishe zile zisizojulikana zisizolipishwa kwenye pande za kulia za milinganyo hii.
mfumo (9) Tunatatua kwa njia ya Gaussian, kwa kuzingatia pande za kulia kama masharti ya bure.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Chaguo la 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Chaguo la 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Chaguo la 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Chaguo 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Tutaendelea kung'arisha teknolojia yetu mabadiliko ya msingi juu mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari.
Kulingana na aya za kwanza, nyenzo zinaweza kuonekana kuwa za kuchosha na za wastani, lakini maoni haya ni ya udanganyifu. Mbali na maendeleo zaidi ya mbinu, kutakuwa na habari nyingi mpya, kwa hiyo tafadhali jaribu kutopuuza mifano katika makala hii.
Je! ni mfumo gani wa usawa wa milinganyo ya mstari?
Jibu linapendekeza lenyewe. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa ni neno huru kila mtu equation ya mfumo ni sifuri. Kwa mfano:
Ni wazi kabisa kwamba mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, yaani, daima ina ufumbuzi. Na, kwanza kabisa, kinachoshika jicho lako ni kinachojulikana yasiyo na maana suluhisho 
. Trivial, kwa wale ambao hawaelewi maana ya kivumishi hata kidogo, inamaanisha bila show-off. Sio kielimu, kwa kweli, lakini kwa akili =) ...Kwa nini piga kuzunguka msituni, wacha tujue ikiwa mfumo huu una suluhisho zingine zozote:
Mfano 1
Suluhisho: kutatua mfumo wa homogeneous ni muhimu kuandika matrix ya mfumo na kwa msaada wa mabadiliko ya kimsingi kuleta kwa fomu ya hatua. Tafadhali kumbuka kuwa hapa hakuna haja ya kuandika bar ya wima na safu ya sifuri ya maneno ya bure - baada ya yote, bila kujali unafanya nini na zero, zitabaki zero: 
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3.
(2) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.
Kugawanya mstari wa tatu na 3 haina maana sana.
Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa homogeneous hupatikana 
, na, kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian, ni rahisi kuthibitisha kuwa suluhisho ni la kipekee.
Jibu: 
Hebu tutengeneze kigezo kilicho wazi: mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ina suluhisho dogo tu, Kama kiwango cha matrix ya mfumo(V kwa kesi hii 3) sawa na idadi ya vigezo (katika kesi hii - vipande 3).
Wacha tuchangamshe na kuelekeza redio yetu kwa wimbi la mabadiliko ya kimsingi:
Mfano 2
Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari 
Ili hatimaye kuunganisha algorithm, hebu tuchambue kazi ya mwisho:
Mfano 7
Tatua mfumo wa homogeneous, andika jibu katika fomu ya vector. 
Suluhisho: wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua: 
(1) Alama ya mstari wa kwanza imebadilishwa. Kwa mara nyingine tena ninazingatia mbinu ambayo imekutana mara nyingi, ambayo inakuwezesha kurahisisha kwa kiasi kikubwa hatua inayofuata.
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwa mstari wa 2 na wa 3. Mstari wa kwanza, uliozidishwa na 2, uliongezwa kwenye mstari wa 4.
(3) Mistari mitatu ya mwisho ni sawia, miwili kati yake imeondolewa.
Kama matokeo, matrix ya hatua ya kawaida hupatikana, na suluhisho linaendelea kwenye wimbo uliopigwa:
- vigezo vya msingi;
- Vigezo vya bure.
Hebu tueleze vigezo vya msingi kwa suala la vigezo vya bure. Kutoka kwa equation ya 2:
- badilisha katika equation ya 1:
Kwa hivyo suluhisho la jumla ni:
Kwa kuwa katika mfano unaozingatiwa kuna vigezo vitatu vya bure, mfumo wa msingi una vectors tatu.
Hebu tubadilishe thamani tatu 
kwenye suluhisho la jumla na upate vekta ambayo viwianishi vyake vinakidhi kila equation ya mfumo wa homogeneous. Na tena, narudia kwamba inashauriwa sana kuangalia kila vector iliyopokelewa - haitachukua muda mwingi, lakini itakulinda kabisa kutokana na makosa.
Kwa mara tatu ya maadili 
pata vekta
Na hatimaye kwa wale watatu 
tunapata vector ya tatu:
Jibu:, wapi
Wale wanaotaka kuzuia maadili ya sehemu wanaweza kuzingatia utatu 
na upate jibu kwa fomu sawa:
Akizungumza ya sehemu. Wacha tuangalie matrix iliyopatikana kwenye shida 
na tujiulize: je, inawezekana kurahisisha suluhisho zaidi? Baada ya yote, hapa tulielezea kwanza kutofautisha kwa msingi kupitia sehemu, kisha kupitia sehemu tofauti za kimsingi, na, lazima niseme, mchakato huu haukuwa rahisi zaidi na sio wa kupendeza zaidi.
Suluhisho la pili:
Wazo ni kujaribu chagua vigezo vingine vya msingi. Wacha tuangalie matrix na tuangalie mbili kwenye safu ya tatu. Kwa hivyo kwa nini usiwe na sifuri hapo juu? Wacha tufanye mabadiliko moja zaidi ya msingi:
Hebu M 0 - seti ya suluhisho kwa mfumo wa homogeneous (4) ya milinganyo ya mstari.
Ufafanuzi 6.12. Vekta Na 1 ,Na 2 , …, na uk, ambayo ni suluhisho la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari huitwa seti ya msingi ya suluhisho(iliyofupishwa FNR), ikiwa
1) vekta Na 1 ,Na 2 , …, na uk kujitegemea kwa mstari (yaani, hakuna hata mmoja wao anayeweza kuonyeshwa kwa masharti ya wengine);
2) suluhisho lingine lolote kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari inaweza kuonyeshwa kwa suala la suluhisho Na 1 ,Na 2 , …, na uk.
Kumbuka kwamba ikiwa Na 1 ,Na 2 , …, na uk- f.n.r. yoyote, kisha usemi k 1× Na 1 + k 2× Na 2 + … + k uk× na uk unaweza kuelezea seti nzima M Suluhisho 0 kwa mfumo (4), kwa hivyo inaitwa mtazamo wa jumla wa suluhisho la mfumo (4).
Nadharia 6.6. Mfumo wowote usio na kipimo wa milinganyo ya mstari una seti ya msingi ya suluhu.
Njia ya kupata seti ya msingi ya suluhisho ni kama ifuatavyo.
Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa homogeneous wa equations za mstari;
Kujenga ( n – r) suluhisho za sehemu za mfumo huu, wakati maadili ya vitu visivyojulikana vya bure lazima viundwe matrix ya utambulisho;
Andika fomu ya jumla ya suluhisho iliyojumuishwa M 0 .
Mfano 6.5. Tafuta seti ya msingi ya suluhisho kwa mfumo ufuatao:
Suluhisho. Wacha tupate suluhisho la jumla kwa mfumo huu.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Kuna tano zisizojulikana katika mfumo huu ( n= 5), ambapo kuna mambo mawili kuu yasiyojulikana ( r= 2), kuna tatu zisizojulikana za bure ( n – r), ambayo ni, seti ya msingi ya suluhisho ina vekta tatu za suluhisho. Hebu tuwajenge. Tuna x 1 na x 3 - haijulikani kuu, x 2 , x 4 , x 5 - haijulikani bila malipo
Maadili ya haijulikani bila malipo x 2 , x 4 , x 5 kuunda matrix ya utambulisho E utaratibu wa tatu. Nimepata vekta hizo Na 1 ,Na 2 , Na 3 kidato cha f.n.r. ya mfumo huu. Kisha seti ya ufumbuzi wa mfumo huu wa homogeneous itakuwa M 0 = {k 1× Na 1 + k 2× Na 2 + k 3× Na 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Wacha sasa tujue hali ya uwepo wa suluhisho zisizo za kawaida za mfumo wa usawa wa equations za mstari, kwa maneno mengine, masharti ya uwepo wa seti ya msingi ya suluhisho.
Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari una masuluhisho yasiyo ya sifuri, ambayo ni, haijulikani ikiwa
1) kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni chini ya idadi ya haijulikani;
2) katika mfumo wa homogeneous wa equations linear, idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani;
3) ikiwa katika mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana, na kiangazio cha matrix kuu ni sawa na sifuri (yaani | A| = 0).
Mfano 6.6. Kwa thamani gani ya parameta a mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari 
ina masuluhisho yasiyo ya sifuri?
Suluhisho. Wacha tutunge matrix kuu ya mfumo huu na tupate kiamua chake: = = 1×(–1) 1+1 × = – A- 4. Kiamuzi cha tumbo hili ni sawa na sifuri saa a = –4.
Jibu: –4.
7. Hesabu n- nafasi ya vekta ya dimensional
Dhana za Msingi
Katika sehemu zilizopita tayari tumekutana na dhana ya seti ya nambari halisi ziko ndani kwa utaratibu fulani. Hili ni safu mlalo (au matrix ya safu wima) na suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari na n haijulikani. Habari hii inaweza kufupishwa.
Ufafanuzi 7.1. n-dimensional hesabu vector aliita seti iliyoamriwa ya n nambari za kweli.
Maana A= (a 1 , a 2 , ..., a n), wapi a i R, i = 1, 2, …, n- mtazamo wa jumla wa vector. Nambari n kuitwa mwelekeo vekta, na nambari a i wanaitwa wake kuratibu.
Kwa mfano: A= (1, -8, 7, 4, ) - vekta tano-dimensional.
Kila kitu kimewekwa n-vekta za mwelekeo kawaida huonyeshwa kama Rn.
Ufafanuzi 7.2. Vekta mbili A= (a 1 , a 2 , ..., a n) Na b= (b 1 , b 2 , ..., b n) ya kipimo sawa sawa ikiwa na ikiwa tu viwianishi vyao vinavyolingana ni sawa, yaani a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a n= b n.
Ufafanuzi 7.3.Kiasi mbili n-vekta zenye sura A= (a 1 , a 2 , ..., a n) Na b= (b 1 , b 2 , ..., b n) inaitwa vekta a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+b n).
Ufafanuzi 7.4. Kazi nambari halisi k kwa vekta A= (a 1 , a 2 , ..., a n) inaitwa vekta k× A = (k×a 1, k×a 2, ..., k×a n)
Ufafanuzi 7.5. Vekta O= (0, 0, ..., 0) inaitwa sufuri(au vekta null).
Ni rahisi kuthibitisha kuwa vitendo (shughuli) za kuongeza veta na kuzizidisha kwa nambari halisi zina mali zifuatazo: " a, b, c Î Rn, " k, l R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Ufafanuzi 7.6. Kundi la Rn na shughuli za kuongeza vekta na kuzizidisha kwa nambari halisi iliyotolewa juu yake inaitwa nafasi ya vekta ya n-dimensional ya hesabu.
Mfano 1. Tafuta suluhisho la jumla na mfumo wa kimsingi wa suluhisho la mfumoSuluhisho pata kwa kutumia kikokotoo. Suluhisho la algoriti ni sawa na kwa mifumo ya milinganyo ya mstari wa inhomogeneous.
Kufanya kazi tu na safu, tunapata kiwango cha matrix, msingi mdogo; Tunatangaza tegemezi na zisizojulikana bila malipo na kupata suluhisho la jumla.
Mstari wa kwanza na wa pili ni sawia, wacha tuvuke moja yao:
.
Vigezo tegemezi - x 2, x 3, x 5, bure - x 1, x 4. Kutoka kwa equation ya kwanza 10x 5 = 0 tunapata x 5 = 0, basi
; .
Suluhisho la jumla ni:
Tunapata mfumo wa kimsingi wa suluhu, ambao unajumuisha (n-r) suluhu. Kwa upande wetu, n = 5, r = 3, kwa hivyo, mfumo wa msingi wa suluhisho una suluhisho mbili, na suluhisho hizi lazima ziwe huru. Ili safu ziwe huru kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba safu ya matrix inayojumuisha vipengele vya safu iwe sawa na idadi ya safu, yaani, 2. Inatosha kutoa haijulikani bure x 1 na. x thamani 4 kutoka kwa safu mlalo za kibainishi cha mpangilio wa pili, nonzero, na ukokotoe x 2 , x 3 , x 5 . Kiamuzi rahisi zaidi kisicho sifuri ni .
Kwa hivyo suluhisho la kwanza ni:
, pili - 
.
Maamuzi haya mawili yanaunda mfumo wa maamuzi ya kimsingi. Kumbuka kuwa mfumo wa kimsingi sio wa kipekee (unaweza kuunda vibainishi vingi vya nonzero unavyopenda).
Mfano 2. Tafuta suluhisho la jumla na mfumo wa msingi wa suluhisho la mfumo 
Suluhisho.
,
inafuata kwamba kiwango cha matrix ni 3 na sawa na idadi ya haijulikani. Hii ina maana kwamba mfumo hauna haijulikani bila malipo, na kwa hiyo ina ufumbuzi wa pekee - usio na maana.
Zoezi. Chunguza na usuluhishe mfumo wa milinganyo ya mstari.
Mfano 4
Zoezi. Tafuta masuluhisho ya jumla na mahususi ya kila mfumo.
Suluhisho. Wacha tuandike matrix kuu ya mfumo:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Hebu tupunguze matrix kwa fomu ya triangular. Tutafanya kazi na safu tu, kwani kuzidisha safu ya matrix na nambari nyingine isipokuwa sifuri na kuiongeza kwenye safu nyingine ya mfumo inamaanisha kuzidisha equation kwa nambari ile ile na kuiongeza na equation nyingine, ambayo haibadilishi suluhisho la hesabu. mfumo.
Zidisha mstari wa 2 kwa (-5). Wacha tuongeze mstari wa 2 hadi wa 1:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Hebu tuzidishe mstari wa 2 kwa (6). Zidisha mstari wa 3 kwa (-1). Wacha tuongeze mstari wa 3 hadi wa 2:
Wacha tupate kiwango cha matrix.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Mtoto aliyechaguliwa ana mpangilio wa juu zaidi (wa watoto wanaowezekana) na sio sifuri (ni sawa na bidhaa ya vitu kwenye mlalo wa nyuma), kwa hivyo rang(A) = 2.
Kidogo hiki ni cha msingi. Inajumuisha coefficients kwa haijulikani x 1 , x 2 , ambayo ina maana kwamba haijulikani x 1 , x 2 ni tegemezi (msingi), na x 3 , x 4 , x 5 ni bure.
Wacha tubadilishe matrix, tukiacha msingi mdogo upande wa kushoto.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Mfumo ulio na mgawo wa tumbo hili ni sawa na mfumo wa asili na una fomu:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Kutumia njia ya kuondoa haijulikani, tunapata ufumbuzi usio na maana:
Tulipata uhusiano unaoonyesha vigeu tegemezi x 1 , x 2 kupitia zile za bure x 3 , x 4 , x 5 , yaani, tulipata uamuzi wa pamoja:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Tunapata mfumo wa kimsingi wa suluhu, ambao unajumuisha (n-r) suluhu.
Kwa upande wetu, n = 5, r = 2, kwa hivyo, mfumo wa msingi wa suluhisho una suluhisho 3, na suluhisho hizi lazima ziwe huru.
Ili safu ziwe huru kimstari, ni muhimu na inatosha kwamba kiwango cha matriki inayojumuisha vipengele vya safu mlalo iwe sawa na idadi ya safu, yaani, 3.
Inatosha kutoa zisizojulikana za bure x 3 , x 4 , x 5 maadili kutoka kwa mistari ya kiashiria cha utaratibu wa 3, isiyo ya sifuri, na kuhesabu x 1 , x 2 .
Kiamuzi rahisi zaidi kisicho sifuri ni matrix ya utambulisho.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Kazi . Pata seti ya msingi ya suluhu kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari.