"Alama sio tu rekodi za mawazo,
njia ya kuionyesha na kuiunganisha, -
hapana, wanaathiri mawazo yenyewe,
wao ... muongoze, na hiyo inatosha
kuzisogeza kwenye karatasi... ili
kufikia kweli mpya bila makosa.”
L.Carnot
Ishara za hisabati hutumika hasa kwa rekodi sahihi (iliyofafanuliwa bila utata) ya dhana na sentensi za hisabati. Jumla yao katika hali halisi ya matumizi yao na wanahisabati hujumuisha kile kinachoitwa lugha ya hisabati.
Alama za hisabati hufanya iwezekane kuandika sentensi katika fomu fupi ambazo ni ngumu kuzieleza katika lugha ya kawaida. Hii huwafanya kuwa rahisi kukumbuka.
Kabla ya kutumia ishara fulani katika kusababu, mwanahisabati hujaribu kusema maana ya kila mojawapo. Vinginevyo wanaweza wasimwelewe.
Lakini wanahisabati hawawezi kusema mara moja ni nini hii au ishara hiyo waliyoanzisha kwa nadharia yoyote ya hisabati inaonyesha. Kwa mfano, kwa mamia ya miaka wanahisabati walifanya kazi na nambari hasi na ngumu, lakini maana ya kusudi la nambari hizi na operesheni nayo iligunduliwa tu mwishoni mwa karne ya 18. mapema XIX karne.
1. Ishara ya quantifiers hisabati
Kama lugha ya kawaida, lugha ya ishara za hisabati huruhusu ubadilishanaji wa kweli za hesabu zilizothibitishwa, lakini kuwa tu zana msaidizi iliyoambatanishwa na lugha ya kawaida na haiwezi kuwepo bila hiyo.
Ufafanuzi wa hisabati:
Kwa lugha ya kawaida:
Kikomo cha chaguo la kukokotoa F (x) wakati fulani X0 ni nambari ya mara kwa mara A hivi kwamba kwa nambari ya kiholela E>0 kuna d(E) chanya kwamba kutoka kwa hali |X - X 0 | Kuandika kwa quantifiers (katika lugha ya hisabati) 2. Ishara ya ishara za hisabati na takwimu za kijiometri. 1) Infinity ni dhana inayotumika katika hisabati, falsafa na sayansi. Upungufu wa dhana au sifa ya kitu fulani inamaanisha kuwa haiwezekani kuonyesha mipaka au kipimo cha kiasi kwa hiyo. Neno infinity linalingana na dhana kadhaa tofauti, kulingana na uwanja wa matumizi, iwe hisabati, fizikia, falsafa, theolojia au maisha ya kila siku. Katika hisabati hakuna dhana moja ya infinity; imepewa sifa maalum katika kila sehemu. Zaidi ya hayo, "infinities" hizi tofauti hazibadiliki. Kwa mfano, nadharia ya kuweka ina maana tofauti tofauti, na moja inaweza kuwa kubwa zaidi kuliko nyingine. Wacha tuseme idadi ya nambari ni kubwa sana (inaitwa kuhesabika). Ili kujumlisha wazo la idadi ya vitu kwa seti zisizo na kipimo, wazo la kardinali ya seti huletwa katika hisabati. Walakini, hakuna nguvu "isiyo na kikomo". Kwa mfano, nguvu ya seti ya nambari halisi ni kubwa kuliko nguvu ya nambari kamili, kwa sababu mawasiliano ya moja hadi moja hayawezi kujengwa kati ya seti hizi, na nambari kamili zinajumuishwa katika nambari halisi. Kwa hiyo, katika kesi hii, namba moja ya kardinali (sawa na nguvu ya kuweka) ni "isiyo" kuliko nyingine. Mwanzilishi wa dhana hizi alikuwa mwanahisabati wa Ujerumani Georg Cantor. Katika calculus, alama mbili zinaongezwa kwa seti ya nambari halisi, pamoja na minus infinity, inayotumiwa kuamua maadili ya mipaka na muunganisho. Ikumbukwe kwamba katika kesi hii hatuzungumzii juu ya "yanayoonekana" infinity, kwa kuwa taarifa yoyote iliyo na ishara hii inaweza kuandikwa kwa kutumia namba za mwisho tu na quantifiers. Alama hizi (na nyingine nyingi) zilianzishwa ili kufupisha maneno marefu. Infinity pia inahusishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na jina la mdogo sana, kwa mfano, Aristotle alisema: Infinity katika tamaduni nyingi ilionekana kama kiashirio dhahania cha kiasi cha kitu kikubwa kisichoeleweka, kinachotumika kwa huluki zisizo na mipaka ya anga au ya muda. 2) Mduara ni eneo la kijiometri la pointi kwenye ndege, umbali kutoka kwa hatua fulani, inayoitwa katikati ya mduara, hauzidi nambari isiyo ya hasi, inayoitwa radius ya mzunguko huu. Ikiwa radius ni sifuri, basi mduara hupungua hadi hatua. Mduara ni eneo la kijiometri la pointi kwenye ndege ambayo ni equidistant kutoka kwa uhakika fulani, iitwayo katikati, kwa umbali usio na sifuri, unaoitwa radius yake. 3) Mraba (rhombus) - ni ishara ya mchanganyiko na utaratibu wa vipengele vinne tofauti, kwa mfano vipengele vinne kuu au misimu minne. Alama ya nambari 4, usawa, unyenyekevu, uadilifu, ukweli, haki, hekima, heshima. Ulinganifu ni wazo ambalo mtu hujaribu kuelewa maelewano na imekuwa kuchukuliwa kuwa ishara ya uzuri tangu nyakati za kale. Aya zinazoitwa "figured", maandishi ambayo yana muhtasari wa rhombus, yana ulinganifu. Sisi - (E.Martov, 1894) 4) Mstatili. Ya aina zote za kijiometri, hii ni takwimu ya busara zaidi, ya kuaminika na sahihi; empirically hii inaelezwa na ukweli kwamba mstatili daima na kila mahali imekuwa sura favorite. Kwa msaada wake, mtu alibadilisha nafasi au kitu chochote kwa matumizi ya moja kwa moja katika maisha yake ya kila siku, kwa mfano: nyumba, chumba, meza, kitanda, nk. 5) Pentagon ni pentagoni ya kawaida katika sura ya nyota, ishara ya umilele, ukamilifu, na ulimwengu. Pentagon - pumbao la afya, ishara kwenye milango ya kuwazuia wachawi, ishara ya Thoth, Mercury, Celtic Gawain, nk, ishara ya majeraha matano ya Yesu Kristo, ustawi, bahati nzuri kati ya Wayahudi, hadithi. ufunguo wa Sulemani; ishara ya hali ya juu katika jamii ya Kijapani. 6) Hexagon ya mara kwa mara, hexagon - ishara ya wingi, uzuri, maelewano, uhuru, ndoa, ishara ya namba 6, picha ya mtu (mikono miwili, miguu miwili, kichwa na torso). 7) Msalaba ni ishara ya maadili matakatifu ya juu zaidi. Msalaba ni mfano wa kipengele cha kiroho, kupaa kwa roho, kutamani kwa Mungu, hadi milele. Msalaba ni ishara ya ulimwengu wote ya umoja wa maisha na kifo. 8) Pembetatu ni takwimu ya kijiometri ambayo ina pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo, na sehemu tatu zinazounganisha pointi hizi tatu. 9) Nyota yenye ncha sita (Nyota ya Daudi) - ina pembetatu mbili za usawa zilizowekwa juu ya kila mmoja. Toleo moja la asili ya ishara huunganisha sura yake na sura ya maua ya White Lily, ambayo ina petals sita. Ua hilo liliwekwa kimila chini ya taa ya hekalu, kwa njia ambayo kuhani aliwasha moto, kana kwamba, katikati ya Magen David. Katika Kabbalah, pembetatu mbili zinaashiria uwili wa asili wa mwanadamu: wema dhidi ya uovu, wa kiroho dhidi ya kimwili, na kadhalika. Pembetatu inayoelekea juu inaashiria matendo yetu mema, ambayo yanapanda mbinguni na kusababisha mkondo wa neema kushuka tena kwenye ulimwengu huu (unaoonyeshwa na pembetatu inayoelekea chini). Wakati mwingine Nyota ya Daudi inaitwa Nyota ya Muumba na kila moja ya ncha zake sita inahusishwa na moja ya siku za juma, na kituo na Jumamosi. 10) Nyota yenye ncha tano - Ishara kuu ya kipekee ya Wabolsheviks ni nyota nyekundu yenye alama tano, iliyowekwa rasmi katika chemchemi ya 1918. Hapo awali, uenezi wa Bolshevik uliiita "Nyota ya Mirihi" (inayodaiwa kuwa ya mungu wa zamani wa vita - Mars), na kisha ikaanza kutangaza kwamba "Miale mitano ya nyota inamaanisha umoja wa watu wanaofanya kazi wa mabara yote matano huko. vita dhidi ya ubepari.” Kwa kweli, nyota yenye alama tano haina uhusiano wowote na mungu wa kijeshi wa Mars au babakabwela wa kimataifa, ni ishara ya zamani ya uchawi (inayoonekana asili ya Mashariki ya Kati) inayoitwa "pentagram" au "Nyota ya Sulemani". Hebu tukumbuke kwamba pentagram mara nyingi iliwekwa na Wabolshevik kwenye sare za Jeshi la Nyekundu, vifaa vya kijeshi, ishara mbalimbali na kila aina ya sifa za propaganda za kuona kwa njia ya kishetani: na "pembe" mbili juu. 3. Ishara za Masonic Waashi Kauli mbiu:"Uhuru. Usawa. Undugu". Harakati za kijamii za watu huru ambao, kwa msingi wa uchaguzi huru, hufanya iwezekane kuwa bora, kuwa karibu na Mungu, na kwa hivyo, wanatambuliwa kama kuboresha ulimwengu. Ishara Jicho la kung'aa (delta) ni ishara ya zamani, ya kidini. Anasema kwamba Mungu anasimamia uumbaji wake. Kwa sura ya ishara hii, Freemasons walimwomba Mungu baraka kwa matendo yoyote makubwa au kazi zao. Jicho la Radiant iko kwenye pediment ya Kanisa Kuu la Kazan huko St. Mchanganyiko wa dira na mraba katika ishara ya Masonic. Kwa wasiojua, hiki ni chombo cha kazi (mason), na kwa walioanzishwa, hizi ni njia za kuelewa ulimwengu na uhusiano kati ya hekima ya kimungu na akili ya kibinadamu. Kwa hekima ya kimungu hakuna jambo lisilowezekana, inaweza kuchukua umbo la kibinadamu (-) na umbo la kimungu (0), inaweza kuwa na kila kitu. Hivyo, akili ya mwanadamu inafahamu hekima ya kimungu na kuikumbatia. Katika falsafa, taarifa hii ni mkao kuhusu ukweli kamili na wa jamaa. Nyota ya Hexagonal (Bethlehemu) Herufi G ni jina la Mungu (Kijerumani - Got), geometer kubwa ya Ulimwengu. Hitimisho Alama za hisabati hutumikia hasa kurekodi kwa usahihi dhana na sentensi za hisabati. Jumla yao inajumuisha kile kinachoitwa lugha ya hisabati. Kila mmoja wetu kutoka shuleni (au tuseme kutoka darasa la 1 la shule ya msingi) anapaswa kufahamu alama rahisi za hisabati kama vile ishara zaidi Na chini ya ishara, na pia ishara sawa. Walakini, ikiwa ni ngumu sana kuchanganya kitu na mwisho, basi kuhusu Jinsi na katika mwelekeo gani ni kubwa na chini ya ishara zilizoandikwa? (ishara kidogo Na juu ya ishara, kama wanavyoitwa wakati mwingine) wengi mara baada ya benchi moja ya shule husahau, kwa sababu hazitumiwi na sisi katika maisha ya kila siku. Lakini karibu kila mtu, mapema au baadaye, bado anapaswa kukutana nao, na wanaweza tu "kukumbuka" katika mwelekeo ambao tabia wanayohitaji imeandikwa kwa kugeuka kwa injini yao ya utafutaji inayopenda kwa usaidizi. Kwa hivyo kwa nini usijibu swali hili kwa undani, wakati huo huo kuwaambia wageni kwenye tovuti yetu jinsi ya kukumbuka tahajia sahihi ya ishara hizi kwa siku zijazo? Ni jinsi ya kuandika kwa usahihi ishara kubwa kuliko na ndogo ambayo tunataka kukukumbusha katika dokezo hili fupi. Pia haitakuwa vibaya kukuambia hivyo jinsi ya kuchapa ishara kubwa kuliko au sawa kwenye kibodi Na chini au sawa, kwa sababu Swali hili pia mara nyingi husababisha ugumu kwa watumiaji ambao hukutana na kazi kama hiyo mara chache sana. Hebu tuende moja kwa moja kwenye uhakika. Ikiwa huna nia ya kukumbuka haya yote kwa siku zijazo na ni rahisi "Google" tena wakati ujao, lakini sasa unahitaji tu jibu la swali "katika mwelekeo gani wa kuandika ishara," basi tumeandaa kifupi. jibu kwako - ishara za zaidi na kidogo zimeandikwa kama hii: kama inavyoonekana kwenye picha hapa chini. Sasa hebu tuambie kidogo zaidi kuhusu jinsi ya kuelewa na kukumbuka hili kwa siku zijazo. Kwa ujumla, mantiki ya ufahamu ni rahisi sana - upande wowote (mkubwa au mdogo) ishara katika mwelekeo wa kuandika nyuso upande wa kushoto ni ishara. Ipasavyo, ishara inaonekana zaidi kushoto na upande wake mpana - kubwa zaidi. Mfano wa kutumia ishara kubwa kuliko: Kama unaweza kuona, kila kitu ni sawa na rahisi, kwa hivyo sasa haifai kuwa na maswali juu ya mwelekeo gani wa kuandika ishara kubwa na ishara ndogo katika siku zijazo. Ikiwa tayari unakumbuka jinsi ya kuandika ishara unayohitaji, basi haitakuwa vigumu kwako kuongeza mstari mmoja kutoka chini, kwa njia hii utapata ishara. "chini au sawa" au ishara "zaidi au sawa". Walakini, kuhusu ishara hizi, watu wengine wana swali lingine - jinsi ya kuandika ikoni kama hiyo kwenye kibodi cha kompyuta? Kama matokeo, wengi huweka ishara mbili mfululizo, kwa mfano, "kubwa kuliko au sawa" inayoashiria kama ">="
, ambayo, kwa kanuni, mara nyingi inakubalika kabisa, lakini inaweza kufanyika kwa uzuri zaidi na kwa usahihi. Kwa kweli, ili kuandika wahusika hawa, kuna wahusika maalum ambao wanaweza kuingizwa kwenye kibodi yoyote. Kukubaliana, ishara "≤"
Na "≥"
kuangalia vizuri zaidi. Ili kuandika "kubwa kuliko au sawa na" kwenye kibodi na ishara moja, hauitaji hata kuingia kwenye jedwali la herufi maalum - andika kubwa kuliko ishara huku ukishikilia kitufe. "alt". Kwa hivyo, mchanganyiko muhimu (ulioingia katika mpangilio wa Kiingereza) utakuwa kama ifuatavyo. Au unaweza kunakili ikoni kutoka kwa nakala hii ikiwa unahitaji kuitumia mara moja tu. Hii hapa, tafadhali. ≥
Kama ulivyokisia tayari, unaweza kuandika "chini ya au sawa na" kwenye kibodi kwa mlinganisho na kubwa kuliko ishara - andika alama ndogo zaidi huku ukishikilia kitufe. "alt". Njia ya mkato ya kibodi unayohitaji kuingiza kwenye kibodi ya Kiingereza itakuwa kama ifuatavyo. Au nakili tu kutoka kwa ukurasa huu ikiwa hiyo inakurahisishia, hii hapa. ≤
Kama unaweza kuona, sheria ya kuandika kubwa kuliko na chini ya ishara ni rahisi kukumbuka, na ili kuandika kubwa kuliko au sawa na na chini ya au sawa na alama kwenye kibodi, unahitaji tu kubonyeza ziada. muhimu - ni rahisi. Ukuzaji wa ishara za hisabati ulihusiana kwa karibu na maendeleo ya jumla dhana na mbinu za hisabati. Kwanza Ishara za hisabati kulikuwa na ishara za kuonyesha nambari - nambari,
kuibuka ambayo, inaonekana, kabla ya kuandika. Mifumo ya kale zaidi ya kuhesabu - Babeli na Misri - ilionekana mapema kama milenia 3 1/2 KK. e. Kwanza Ishara za hisabati kwa idadi ya kiholela ilionekana baadaye sana (kuanzia karne ya 5-4 KK) huko Ugiriki. Kiasi (maeneo, kiasi, pembe) zilionyeshwa kwa namna ya makundi, na bidhaa za kiasi mbili za homogeneous zilionyeshwa kwa namna ya mstatili uliojengwa kwenye sehemu zinazofanana. Katika "Kanuni" Euclid
(karne ya 3 KK) idadi inaonyeshwa na herufi mbili - herufi za mwanzo na za mwisho za sehemu inayolingana, na wakati mwingine moja tu. U Archimedes
(karne ya 3 KK) njia ya mwisho inakuwa ya kawaida. Uteuzi kama huo ulikuwa na uwezekano wa ukuzaji wa hesabu ya herufi. Walakini, katika hisabati ya zamani, hesabu ya barua haikuundwa. Mwanzo wa uwakilishi wa alfabeti na calculus ulionekana mwishoni mwa enzi ya Ugiriki kama matokeo ya ukombozi wa algebra kutoka. sura ya kijiometri. Diophantus
(labda karne ya 3) iliyorekodiwa haijulikani ( X) na shahada yake na ishara zifuatazo: [ - kutoka kwa neno la Kigiriki dunamiV (dynamis - nguvu), inayoashiria mraba wa haijulikani, - kutoka kwa Kigiriki cuboV (k_ybos) - mchemraba]. Kwa haki ya haijulikani au nguvu zake, Diophantus aliandika coefficients, kwa mfano 3 x 5 ilionyeshwa. (wapi = 3). Wakati wa kuongeza, Diophantus alihusisha maneno kwa kila mmoja, na alitumia ishara maalum kwa kutoa; Diophantus aliashiria usawa na herufi i [kutoka kwa Kigiriki isoV (isos) - sawa]. Kwa mfano, equation (x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X Diophantus angeandika kama hii:
(Hapa inamaanisha kuwa kitengo hakina kizidishi katika mfumo wa nguvu ya haijulikani). Karne kadhaa baadaye, Wahindi walianzisha aina mbalimbali Ishara za hisabati kwa haijulikani kadhaa (muhtasari wa majina ya rangi inayoashiria haijulikani), mraba, kipeo, nambari itakayotolewa. Kwa hivyo, equation 3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1 Katika kurekodi Brahmagupta
(karne ya 7) ingeonekana kama: Ya va 3 ya 10 ru 8 Ya va 1 ya 0 ru 1 (ya - kutoka kwa yavat - tavat - haijulikani, va - kutoka varga - nambari ya mraba, ru - kutoka kwa rupa - sarafu ya rupia - neno la bure, nukta juu ya nambari inamaanisha nambari inayotolewa). Uumbaji wa ishara ya kisasa ya algebra ulianza karne ya 14-17; iliamuliwa na mafanikio ya hesabu ya vitendo na utafiti wa equations. KATIKA nchi mbalimbali kuonekana kwa hiari Ishara za hisabati kwa baadhi ya vitendo na kwa mamlaka ya ukubwa usiojulikana. Miongo mingi na hata karne hupita kabla ishara moja au nyingine inayofaa haijatengenezwa. Kwa hiyo, mwishoni mwa 15 na. N. Shuke
na L. Pacioli
tumia ishara za kuongeza na kutoa (kutoka Kilatini plus na minus), wanahisabati wa Ujerumani walianzisha + kisasa (pengine kifupi cha Kilatini et) na -. Nyuma katika karne ya 17. unaweza kuhesabu kuhusu dazeni Ishara za hisabati kwa hatua ya kuzidisha. Kulikuwa pia tofauti Ishara za hisabati haijulikani na digrii zake. Katika 16 - mapema karne ya 17. zaidi ya nukuu kumi zilishindana kwa mraba wa kisichojulikana pekee, k.m. se(kutoka kwa sensa - neno la Kilatini ambalo lilitumika kama tafsiri ya dunamiV ya Kigiriki, Q(kutoka quadratum), , A (2), , Aii, aa, a 2 nk Hivyo, equation x 3 + 5 x = 12 mwanahisabati wa Kiitaliano G. Cardano (1545) angekuwa na fomu hii: kutoka kwa mwanahisabati wa Ujerumani M. Stiefel (1544): kutoka kwa mwanahisabati wa Kiitaliano R. Bombelli (1572): Mwanahisabati Mfaransa F. Vieta (1591): kutoka kwa mwanahisabati Mwingereza T. Harriot (1631): Katika karne ya 16 na mapema ya 17. ishara na mabano sawa hutumiwa: mraba (R. Bombelli
, 1550), pande zote (N. Tartaglia,
1556), iliyokadiriwa (F. Viet,
1593). Katika karne ya 16 muonekano wa kisasa inakubali nukuu ya sehemu. Hatua muhimu mbele katika ukuzaji wa ishara za hisabati ilikuwa utangulizi wa Viet (1591) Ishara za hisabati kwa idadi ya mara kwa mara ya kiholela katika mfumo wa herufi kubwa za konsonanti za alfabeti ya Kilatini B, D, ambayo ilimpa fursa kwa mara ya kwanza kuandika milinganyo ya algebraic na coefficients ya kiholela na kufanya kazi nayo. Viet ilionyesha haijulikani na vokali katika herufi kubwa A, E,... Kwa mfano, rekodi ya Viet Katika alama zetu inaonekana kama hii: x 3 + 3bx = d.
Viet ndiye aliyeunda fomula za aljebra. R. Descartes
(1637) alizipa ishara za aljebra mwonekano wa kisasa, zikiashiria zisizojulikana na herufi za mwisho za Lat. alfabeti x, y, z, na maadili ya data ya kiholela - na herufi za awali a, b, c. Rekodi ya sasa ya digrii ni yake. Nukuu za Descartes zilikuwa na faida kubwa juu ya zote zilizopita. Kwa hivyo, hivi karibuni walipata kutambuliwa kwa ulimwengu wote. Maendeleo zaidi Ishara za hisabati iliunganishwa kwa karibu na uundaji wa uchambuzi usio na kikomo, kwa maendeleo ya ishara ambayo msingi wake ulikuwa tayari umeandaliwa kwa kiasi kikubwa katika algebra. Tarehe za asili ya baadhi ya alama za hisabati L. Euler kikomo wanahisabati wengi mwanzoni mwa karne ya 20 na kwa nyongeza isiyo na kikomo o. Mapema kidogo J. Wallis
(1655) alipendekeza ishara isiyo na mwisho ¥. Muundaji wa ishara za kisasa za hesabu tofauti na muhimu ni G. Leibniz.
Hasa, anamiliki inayotumika sasa Ishara za hisabati tofauti dx,d 2 x, d 3 x
na muhimu
Sifa kubwa ya kuunda ishara ya hisabati ya kisasa ni ya L. Euler.
Alianzisha (1734) kwa matumizi ya jumla ishara ya kwanza ya operesheni inayobadilika, ambayo ni ishara ya kazi f(x)
(kutoka Kilatini functio). Baada ya kazi ya Euler, ishara za kazi nyingi za kibinafsi, kama vile kazi za trigonometric, zikawa za kawaida. Euler ndiye mwandishi wa nukuu ya viunga e(msingi wa logarithms asili, 1736), p [labda kutoka kwa Kigiriki perijereia (periphereia) - duara, pembeni, 1736], kitengo cha kufikiria (kutoka kwa Kifaransa imaginaire - imaginary, 1777, iliyochapishwa 1794). Katika karne ya 19 nafasi ya ishara inaongezeka. Kwa wakati huu, ishara za thamani kamili |x| zinaonekana. (KWA. Weierstrass,
1841), vekta (O. Cauchy,
1853), kiashiria (A. Cayley,
1841), n.k. Nadharia nyingi zilizoibuka katika karne ya 19, kwa mfano calculus tensor, hazingeweza kuendelezwa bila ishara zinazofaa. Pamoja na mchakato maalum wa kusanifisha Ishara za hisabati katika fasihi ya kisasa mtu anaweza kupata mara nyingi Ishara za hisabati, iliyotumiwa na waandishi binafsi pekee ndani ya mawanda ya utafiti huu. Kutoka kwa mtazamo wa mantiki ya hisabati, kati ya Ishara za hisabati Vikundi kuu vifuatavyo vinaweza kuelezewa: A) ishara za vitu, B) ishara za shughuli, C) ishara za uhusiano. Kwa mfano, ishara 1, 2, 3, 4 zinawakilisha nambari, yaani, vitu vilivyosomwa na hesabu. Ishara ya kuongeza + yenyewe haiwakilishi kitu chochote; inapokea maudhui ya somo inapoonyeshwa namba zipi zinazojumlishwa: nukuu 1 + 3 inawakilisha nambari 4. Ishara > (kubwa kuliko) ni ishara ya uhusiano kati ya nambari. Ishara ya uhusiano hupokea maudhui ya uhakika kabisa wakati inapoonyeshwa kati ya vitu ambavyo uhusiano unazingatiwa. Kwa makundi makuu matatu yaliyoorodheshwa Ishara za hisabati karibu na ya nne: D) ishara saidizi zinazoanzisha mpangilio wa mchanganyiko wa ishara kuu. Wazo la kutosha la ishara kama hizo hutolewa na mabano yanayoonyesha mpangilio wa vitendo. Ishara za kila moja ya vikundi vitatu A), B) na C) ni za aina mbili: 1) ishara za kibinafsi za vitu vilivyoainishwa vizuri, shughuli na uhusiano, 2) ishara za kawaida vitu "visivyobadilika" au "visivyojulikana", shughuli na uhusiano. Mifano ya ishara za aina ya kwanza inaweza kutumika (tazama pia jedwali): A 1) Wajibu nambari za asili 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; nambari za kupita maumbile e na p; kitengo cha kufikiria i.
B 1) Ishara shughuli za hesabu+, -, ·, ´,:; uchimbaji wa mizizi, tofauti ishara za jumla (muungano) È na bidhaa (makutano) Ç ya seti; hii pia inajumuisha ishara za kazi za kibinafsi dhambi, tg, logi, nk. 1) Ishara za usawa na usawa =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п. Ishara za aina ya pili zinaonyesha vitu vya kiholela, shughuli na uhusiano wa darasa fulani au vitu, shughuli na uhusiano ambao uko chini ya masharti fulani yaliyokubaliwa. Kwa mfano, wakati wa kuandika kitambulisho ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 barua A Na b kuwakilisha nambari za kiholela; wakati wa kusoma utegemezi wa kazi katika = X 2 barua X Na y - nambari za kiholela zilizounganishwa na uhusiano uliopewa; wakati wa kutatua equation X inaashiria nambari yoyote ambayo inakidhi equation hii (kama matokeo ya kutatua equation hii, tunajifunza kwamba ni maadili mawili tu yanayowezekana +1 na -1 yanahusiana na hali hii). Kwa mtazamo wa kimantiki, ni halali kuziita ishara za jumla kama ishara za vigeu, kama ilivyo kawaida katika mantiki ya hisabati, bila kuogopa ukweli kwamba "kikoa cha mabadiliko" cha kutofautisha kinaweza kujumuisha mtu mmoja. kitu au hata "tupu" (kwa mfano, katika kesi ya equations , bila ufumbuzi). Mifano zaidi ya aina hii ya ishara inaweza kuwa: A 2) Uteuzi wa alama, mistari, ndege na takwimu ngumu zaidi za kijiometri zilizo na herufi katika jiometri. B 2) Uteuzi f,, j kwa vitendakazi na nukuu za hesabu za waendeshaji, wakati kwa herufi moja L wakilisha, kwa mfano, opereta kiholela wa fomu:
Vidokezo vya "mahusiano yanayobadilika" si ya kawaida sana; hutumiwa tu katika mantiki ya hisabati (ona. Algebra ya mantiki
) na katika masomo ya mukhtasari kiasi, zaidi ya axiomatic, hisabati. Lit.: Cajori., Historia ya nukuu za hisabati, v. 1-2, Chi., 1928-29. Makala kuhusu neno " Ishara za hisabati" katika Encyclopedia Great Soviet ilisomwa mara 39,765 Kama unavyojua, hisabati inapenda usahihi na ufupi - sio bila sababu kwamba fomula moja inaweza, kwa njia ya maneno, kuchukua aya, na wakati mwingine hata ukurasa mzima wa maandishi. Kwa hivyo, vipengele vya picha vinavyotumiwa duniani kote katika sayansi vimeundwa ili kuongeza kasi ya uandishi na mshikamano wa uwasilishaji wa data. Aidha, picha sanifu za michoro zinaweza kutambuliwa na mzungumzaji mzawa wa lugha yoyote ambaye ana ujuzi wa kimsingi katika nyanja husika. Historia ya ishara na alama za hisabati inarudi nyuma karne nyingi - zingine zilivumbuliwa kwa nasibu na zilikusudiwa kuashiria matukio mengine; nyingine zikawa zao la shughuli za wanasayansi ambao hutengeneza lugha ya kimakusudi na kuongozwa pekee na masuala ya vitendo. Historia ya asili ya alama zinazoashiria shughuli rahisi za hesabu haijulikani kwa hakika. Walakini, kuna nadharia inayokubalika kwa asili ya ishara ya kuongeza, ambayo inaonekana kama mistari iliyovuka ya mlalo na wima. Kwa mujibu wa hayo, ishara ya kuongeza inatoka kwa umoja wa Kilatini et, ambayo hutafsiriwa kwa Kirusi kama "na". Hatua kwa hatua, ili kuharakisha mchakato wa kuandika, neno lilifupishwa kwa msalaba ulioelekezwa kwa wima, unaofanana na barua t. Mfano wa kwanza wa kuaminika wa upunguzaji kama huo ulianza karne ya 14. Ishara ya minus iliyokubaliwa kwa ujumla ilionekana, inaonekana, baadaye. Katika karne ya 14 na hata ya 15, alama kadhaa zilitumiwa katika fasihi ya kisayansi kuashiria operesheni ya kutoa, na kufikia karne ya 16 tu "plus" na "minus" katika fomu yao ya kisasa zilianza kuonekana pamoja katika kazi za hesabu. Ajabu ya kutosha, ishara na alama za hisabati za shughuli hizi mbili za hesabu hazijasawazishwa kabisa leo. Ishara maarufu ya kuzidisha ni msalaba wa diagonal uliopendekezwa na mwanahisabati Oughtred katika karne ya 17, ambayo inaweza kuonekana, kwa mfano, kwenye calculators. Katika masomo ya hisabati shuleni, operesheni sawa kawaida huwakilishwa kama hatua - njia hii ilipendekezwa na Leibniz katika karne hiyo hiyo. Njia nyingine ya uwakilishi ni nyota, ambayo hutumiwa mara nyingi katika uwakilishi wa kompyuta wa mahesabu mbalimbali. Ilipendekezwa kuitumia katika karne hiyo hiyo ya 17 na Johann Rahn. Kwa operesheni ya mgawanyiko, ishara ya kufyeka (iliyopendekezwa na Oughtred) na mstari wa usawa na dots juu na chini hutolewa (ishara ilianzishwa na Johann Rahn). Chaguo la kwanza la uteuzi ni maarufu zaidi, lakini la pili pia ni la kawaida. Ishara za hisabati na alama na maana zao wakati mwingine hubadilika kwa wakati. Hata hivyo, mbinu zote tatu za kuwakilisha kuzidisha kwa michoro, pamoja na mbinu zote mbili za kugawanya, kwa kiwango kimoja au nyingine ni halali na zinafaa leo. Kama ilivyo kwa ishara na alama nyingine nyingi za hisabati, uteuzi wa usawa ulikuwa wa maneno. Kwa muda mrefu sana, jina lililokubaliwa kwa ujumla lilikuwa kifupi ae kutoka kwa Kilatini aequalis ("sawa"). Walakini, katika karne ya 16, mwanahisabati wa Wales aitwaye Robert Record alipendekeza mistari miwili ya mlalo ambayo iko chini ya nyingine kama ishara. Kama mwanasayansi alivyobishana, haiwezekani kufikiria kitu chochote sawa kwa kila mmoja isipokuwa sehemu mbili zinazofanana. Licha ya ukweli kwamba ishara kama hiyo ilitumiwa kuonyesha mistari inayofanana, ishara mpya ya usawa polepole ilienea. Kwa njia, ishara kama "zaidi" na "chini", zinazoonyesha kupe zilizogeuzwa kwa mwelekeo tofauti, zilionekana tu katika karne ya 17-18. Leo wanaonekana angavu kwa mtoto yeyote wa shule. Ishara ngumu zaidi za usawa (mistari miwili ya wavy) na utambulisho (mistari mitatu ya usawa) ilianza kutumika tu katika nusu ya pili ya karne ya 19. Historia ya kuibuka kwa ishara na alama za hisabati pia ina visa vya kuvutia sana vya kufikiria upya kadiri sayansi inavyoendelea. Ishara kwa wasiojulikana, ambayo leo inaitwa "X," inatoka Mashariki ya Kati mwanzoni mwa milenia ya mwisho. Huko nyuma katika karne ya 10 katika ulimwengu wa Kiarabu, maarufu wakati huo wa kihistoria kwa wanasayansi wake, wazo la haijulikani lilionyeshwa na neno lililotafsiriwa kama "kitu" na kuanza na sauti "Ш". Ili kuokoa vifaa na wakati, neno katika mikataba lilianza kufupishwa hadi herufi ya kwanza. Miongo mingi baadaye, kazi zilizoandikwa za wanasayansi wa Kiarabu ziliishia katika miji ya Peninsula ya Iberia, katika eneo la Uhispania ya kisasa. Hati za kisayansi zilianza kutafsiriwa kwa lugha ya kitaifa, lakini ugumu uliibuka - kwa Kihispania hakuna fonimu "Ш". Maneno ya Kiarabu yaliyokopwa kuanzia nayo yaliandikwa kwa mujibu wa kanuni maalum na yalitanguliwa na herufi X. Lugha ya kisayansi ya wakati huo ilikuwa Kilatini, ambamo ishara inayolingana inaitwa "X". Kwa hiyo, ishara, ambayo kwa mtazamo wa kwanza ni ishara iliyochaguliwa nasibu tu, ina historia ya kina na awali ilikuwa ufupisho wa neno la Kiarabu la "kitu." Tofauti na "X," Y na Z, tunazofahamu kutoka shuleni, na vile vile a, b, c, zina hadithi ya asili zaidi ya prosaic. Katika karne ya 17, Descartes alichapisha kitabu kinachoitwa Jiometri. Katika kitabu hiki, mwandishi alipendekeza alama za kusawazisha katika hesabu: kulingana na wazo lake, herufi tatu za mwisho za alfabeti ya Kilatini (kuanzia "X") zilianza kuashiria maadili yasiyojulikana, na maadili matatu ya kwanza - inayojulikana. Historia ya neno kama "sine" si ya kawaida kabisa. Kazi zinazolingana za trigonometric hapo awali ziliitwa nchini India. Neno linalolingana na dhana ya sine maana yake halisi ni "kamba". Wakati wa enzi za sayansi ya Kiarabu, maandishi ya Kihindi yalitafsiriwa, na dhana, ambayo haikuwa na analogi katika lugha ya Kiarabu, ilinakiliwa. Kwa bahati mbaya, kile kilichotoka katika barua kilifanana na neno la maisha halisi "mashimo", semantics ambayo haikuwa na uhusiano wowote na neno la awali. Kwa sababu hiyo, maandishi ya Kiarabu yalipotafsiriwa katika Kilatini katika karne ya 12, neno “sine” liliibuka, likimaanisha “mashimo” na kuanzishwa kuwa dhana mpya ya kihesabu. Lakini ishara za hisabati na alama za tangent na cotangent bado hazijasawazishwa - katika nchi zingine kawaida huandikwa kama tg, na kwa zingine - kama tan. Kama inavyoonekana kutoka kwa mifano iliyoelezwa hapo juu, kuibuka kwa ishara na alama za hisabati kwa kiasi kikubwa kulitokea katika karne ya 16-17. Kipindi hicho kilishuhudia kuibuka kwa aina zinazojulikana za kurekodi dhana kama vile asilimia, mzizi wa mraba, digrii. Asilimia, yaani, mia moja, imeteuliwa kwa muda mrefu kama cto (kifupi kwa Kilatini cento). Inaaminika kwamba ishara ambayo inakubaliwa kwa ujumla leo ilionekana kama matokeo ya typo karibu miaka mia nne iliyopita. Picha inayotokana ilitambuliwa kama njia iliyofanikiwa ya kufupisha na kushikwa. Ishara ya mizizi ilikuwa awali ya herufi R (fupi kwa neno la Kilatini radix, "mzizi"). Upau wa juu, ambao usemi huo umeandikwa leo, ulitumika kama mabano na ilikuwa ishara tofauti, tofauti na mzizi. Mabano yalivumbuliwa baadaye - yalikuja kutumika kwa shukrani kwa kazi ya Leibniz (1646-1716). Shukrani kwa kazi yake, ishara muhimu ilianzishwa katika sayansi, inaonekana kama herufi ndogo S - fupi kwa neno "jumla". Hatimaye, ishara ya uendeshaji wa ufafanuzi iligunduliwa na Descartes na kurekebishwa na Newton katika nusu ya pili ya karne ya 17. Kwa kuzingatia kwamba picha za picha zinazojulikana za "plus" na "minus" zilianzishwa katika mzunguko karne chache zilizopita, haishangazi kwamba ishara za hisabati na alama zinazoashiria matukio magumu zilianza kutumika tu katika karne iliyopita. Kwa hivyo, factorial, ambayo inaonekana kama alama ya mshangao baada ya nambari au kutofautisha, ilionekana tu mwanzoni mwa karne ya 19. Karibu wakati huo huo, mji mkuu "P" kuashiria kazi na ishara ya kikomo ilionekana. Inashangaza kiasi kwamba ishara za Pi na jumla ya algebra zilionekana tu katika karne ya 18 - baadaye kuliko, kwa mfano, ishara muhimu, ingawa intuitively inaonekana kwamba hutumiwa zaidi. Uwakilishi wa kielelezo wa uwiano wa mzingo hadi kipenyo unatokana na herufi ya kwanza ya maneno ya Kigiriki yenye maana ya "mduara" na "mzunguko". Na ishara ya "sigma" ya jumla ya algebra ilipendekezwa na Euler katika robo ya mwisho ya karne ya 18. Kama unavyojua, lugha ya sayansi huko Uropa kwa karne nyingi ilikuwa Kilatini. Maneno ya kimwili, matibabu na mengine mengi mara nyingi yalikopwa kwa njia ya maandishi, mara nyingi sana - kwa njia ya karatasi ya kufuatilia. Kwa hivyo, ishara na alama nyingi za hisabati kwa Kiingereza huitwa karibu sawa na Kirusi, Kifaransa au Kijerumani. Kadiri kiini cha jambo kigumu zaidi, ndivyo uwezekano wa kuwa na jina moja katika lugha tofauti huongezeka. Ishara na alama za hisabati rahisi zaidi katika Neno zinaonyeshwa na mchanganyiko wa kawaida wa ufunguo Shift + nambari kutoka 0 hadi 9 katika mpangilio wa Kirusi au Kiingereza. Funguo tofauti zimehifadhiwa kwa baadhi ya ishara zinazotumiwa kwa kawaida: plus, minus, sawa, slash. Iwapo ungependa kutumia picha za mchoro za muunganisho, jumla ya aljebra au bidhaa, Pi, n.k., unahitaji kufungua kichupo cha "Ingiza" katika Neno na upate moja ya vitufe viwili: "Mfumo" au "Alama". Katika kesi ya kwanza, mjenzi atafungua, kukuwezesha kujenga formula nzima ndani ya shamba moja, na kwa pili, meza ya alama itafungua, ambapo unaweza kupata alama yoyote ya hisabati. Tofauti na kemia na fizikia, ambapo idadi ya alama za kukumbuka zinaweza kuzidi vitengo mia moja, hisabati hufanya kazi na idadi ndogo ya alama. Tunajifunza rahisi zaidi katika utoto wa mapema, kujifunza kuongeza na kupunguza, na katika chuo kikuu tu katika utaalam fulani tunafahamiana na ishara na alama chache za hesabu. Picha za watoto husaidia katika kipindi cha wiki kadhaa kufikia utambuzi wa papo hapo wa picha ya picha ya operesheni inayohitajika; muda zaidi unaweza kuhitajika ili kufahamu ujuzi wa kufanya shughuli hizi na kuelewa kiini chao. Kwa hivyo, mchakato wa kukariri ishara hutokea moja kwa moja na hauhitaji jitihada nyingi. Thamani ya ishara na alama za hisabati iko katika ukweli kwamba zinaeleweka kwa urahisi na watu wanaozungumza lugha tofauti na ni wasemaji asilia wa tamaduni tofauti. Kwa sababu hii, ni muhimu sana kuelewa na kuweza kutoa uwakilishi wa picha wa matukio na shughuli mbalimbali. Kiwango cha juu cha viwango vya ishara hizi huamua matumizi yao katika nyanja mbalimbali: katika uwanja wa fedha, teknolojia ya habari, uhandisi, nk Kwa mtu yeyote ambaye anataka kufanya biashara kuhusiana na nambari na mahesabu, ujuzi wa ishara na alama za hisabati. na maana zao huwa ni hitaji muhimu.
"... daima inawezekana kuja na idadi kubwa zaidi, kwa sababu idadi ya sehemu ambayo sehemu inaweza kugawanywa haina kikomo; kwa hivyo, infinity ni uwezo, kamwe sio halisi, na haijalishi ni idadi gani ya mgawanyiko imetolewa, kila wakati kuna uwezekano wa kugawa sehemu hii katika idadi kubwa zaidi." Kumbuka kwamba Aristotle alitoa mchango mkubwa katika ufahamu wa infinity, akiigawanya katika uwezo na halisi, na kutoka upande huu alikuja kwa karibu na misingi ya uchambuzi wa hisabati, pia akiashiria vyanzo vitano vya mawazo kuhusu hilo:
Zaidi ya hayo, infinity iliendelezwa katika falsafa na teolojia pamoja na sayansi halisi. Kwa mfano, katika theolojia, kutokuwa na ukomo wa Mungu haitoi ufafanuzi wa kiasi kwani ina maana isiyo na kikomo na isiyoeleweka. Katika falsafa, hii ni sifa ya nafasi na wakati.
Fizikia ya kisasa inakuja karibu na umuhimu wa infinity iliyokataliwa na Aristotle - ambayo ni, ufikiaji katika ulimwengu wa kweli, na sio tu katika muhtasari. Kwa mfano, kuna dhana ya umoja, inayohusiana kwa karibu na mashimo meusi na nadharia ya mlipuko mkubwa: ni hatua katika muda wa anga ambapo wingi katika ujazo usio na kikomo hujilimbikizia na msongamano usio na kikomo. Tayari kuna ushahidi thabiti usio wa moja kwa moja wa kuwepo kwa mashimo meusi, ingawa nadharia ya mlipuko mkubwa bado inaendelezwa.
Mduara ni ishara ya Jua, Mwezi. Moja ya alama za kawaida. Pia ni ishara ya kutokuwa na mwisho, umilele, na ukamilifu.
Shairi ni rombe.
Miongoni mwa giza.
Jicho linapumzika.
Giza la usiku liko hai.
Moyo unapumua kwa pupa,
Minong'ono ya nyota wakati mwingine hutufikia.
Na hisia za azure zimejaa.
Kila kitu kilisahaulika katika uzuri wa umande.
Hebu tupe busu yenye harufu nzuri!
Kuangaza haraka!
Piga tena tetesi
Kama wakati huo:
"Ndiyo!"
Bila shaka, huenda usikubaliane na kauli hizi.
Walakini, hakuna mtu atakayekataa kwamba picha yoyote inaleta ushirika ndani ya mtu. Lakini shida ni kwamba vitu vingine, njama au vipengee vya picha huamsha ushirika sawa kwa watu wote (au tuseme, wengi), wakati wengine huamsha tofauti kabisa.
Sifa za pembetatu kama takwimu: nguvu, kutobadilika.
Axiom A1 ya stereometry inasema: "Kupitia pointi 3 za nafasi ambazo haziko kwenye mstari ulio sawa, ndege hupita, na moja tu!"
Ili kupima kina cha uelewa wa taarifa hii, kazi huulizwa kwa kawaida: "Kuna nzi watatu wameketi kwenye meza, kwenye ncha tatu za meza. Kwa wakati fulani, huruka kando kwa mwelekeo tatu wa pande zote kwa kasi sawa. Ni lini watakuwa kwenye ndege moja tena?” Jibu ni ukweli kwamba pointi tatu daima, wakati wowote, hufafanua ndege moja. Na ni pointi 3 hasa zinazofafanua pembetatu, hivyo takwimu hii katika jiometri inachukuliwa kuwa imara zaidi na ya kudumu.
Pembetatu mara nyingi hujulikana kama takwimu kali, "ya kukera" inayohusishwa na kanuni ya kiume. Pembetatu ya usawa ni ishara ya kiume na ya jua inayowakilisha uungu, moto, maisha, moyo, mlima na kupaa, ustawi, maelewano na kifalme. Pembetatu iliyopinduliwa ni ishara ya kike na ya mwezi, inayowakilisha maji, uzazi, mvua, na rehema ya kimungu.
Alama za serikali za Merika pia zina Nyota yenye Alama Sita katika aina tofauti, haswa iko kwenye Muhuri Mkuu wa Merika na kwenye noti. Nyota ya Daudi inaonyeshwa kwenye kanzu za mikono za miji ya Ujerumani ya Cher na Gerbstedt, pamoja na Ternopil ya Kiukreni na Konotop. Nyota watatu wenye alama sita wameonyeshwa kwenye bendera ya Burundi na wanawakilisha kauli mbiu ya kitaifa: “Umoja. Kazi. Maendeleo".
Katika Ukristo, nyota yenye ncha sita ni ishara ya Kristo, yaani muungano wa asili ya kimungu na ya kibinadamu katika Kristo. Ndiyo maana ishara hii imeandikwa katika Msalaba wa Orthodox.
Serikali”, ambayo iko chini ya udhibiti kamili wa Freemasonry.
Mara nyingi, Shetani huchora pentagram na mwisho wote ili iwe rahisi kutoshea kichwa cha shetani "Pentagram ya Baphomet" hapo. Picha ya "Mapinduzi ya Moto" imewekwa ndani ya "Pentagram ya Baphomet", ambayo ni sehemu ya kati ya muundo wa agizo maalum la Chekist "Felix Dzerzhinsky" iliyoundwa mnamo 1932 (mradi huo ulikataliwa baadaye na Stalin, ambaye alichukia sana. "Iron Felix").
Mipango ya Umaksi ya "mapinduzi ya ulimwengu ya proletarian" ilikuwa dhahiri ya asili ya Kimasoni; idadi ya watu mashuhuri wa Marx walikuwa wanachama wa Freemason. L. Trotsky alikuwa mmoja wao, na ndiye aliyependekeza kuifanya pentagramu ya Kimasoni kuwa nembo inayotambulisha ya Bolshevism.
Nyumba za kulala wageni za Kimataifa za Kimasoni ziliwapa Wabolshevik kwa siri msaada kamili, hasa wa kifedha.
Freemasons ni wandugu wa Muumba, wafuasi wa maendeleo ya kijamii, dhidi ya hali, hali na ujinga. Wawakilishi bora wa Freemasonry ni Nikolai Mikhailovich Karamzin, Alexander Vasilievich Suvorov, Mikhail Illarionovich Kutuzov, Alexander Sergeevich Pushkin, Joseph Goebbels.
Mraba, kama sheria, kutoka chini ni ujuzi wa kibinadamu wa ulimwengu. Kutoka kwa mtazamo wa Freemasonry, mtu huja ulimwenguni kuelewa mpango wa kimungu. Na kwa ujuzi unahitaji zana. Sayansi yenye ufanisi zaidi katika kuelewa ulimwengu ni hisabati.
Mraba ni chombo cha kale zaidi cha hisabati, kinachojulikana tangu zamani. Kuhitimu kwa mraba tayari ni hatua kubwa mbele katika zana za hesabu za utambuzi. Mtu anaelewa ulimwengu kwa msaada wa sayansi; hisabati ni ya kwanza yao, lakini sio pekee.
Hata hivyo, mraba ni wa mbao, na unashikilia kile kinachoweza kushikilia. Haiwezi kuhamishwa kando. Ukijaribu kuipanua ili kubeba zaidi, utaivunja.
Kwa hivyo watu wanaojaribu kuelewa kutokuwa na mwisho wa mpango wa kimungu wanaweza kufa au kupata wazimu. "Ijue mipaka yako!" - hii ndio ishara hii inauambia Ulimwengu. Hata kama ungekuwa Einstein, Newton, Sakharov - akili kubwa zaidi ya wanadamu! - kuelewa kwamba wewe ni mdogo na wakati ambao ulizaliwa; katika kuelewa ulimwengu, lugha, uwezo wa ubongo, aina ya mapungufu ya binadamu, maisha ya mwili wako. Kwa hiyo, ndiyo, jifunze, lakini uelewe kwamba hutaelewa kikamilifu!
Vipi kuhusu dira? Dira ni hekima ya kimungu. Unaweza kutumia dira kuelezea mduara, lakini ukieneza miguu yake, itakuwa mstari wa moja kwa moja. Na katika mifumo ya mfano, duara na mstari wa moja kwa moja ni kinyume chake. Mstari wa moja kwa moja unaashiria mtu, mwanzo na mwisho wake (kama dashi kati ya tarehe mbili - kuzaliwa na kifo). Mduara ni ishara ya mungu kwa sababu ni takwimu kamili. Wanapinga kila mmoja - takwimu za kimungu na za kibinadamu. Mwanadamu si mkamilifu. Mungu ni mkamilifu kwa kila jambo.
Watu wanajua ukweli kila wakati, lakini ukweli wa jamaa kila wakati. Na ukweli kamili unajulikana na Mungu pekee.
Jifunze zaidi na zaidi, ukigundua kuwa hautaweza kuelewa ukweli kikamilifu - ni kina gani tunachopata kwenye dira ya kawaida na mraba! Nani angefikiria!
Huu ndio uzuri na haiba ya ishara ya Kimasoni, kina chake kikubwa cha kiakili.
Tangu Zama za Kati, dira, kama chombo cha kuchora miduara kamili, imekuwa ishara ya jiometri, utaratibu wa cosmic na vitendo vilivyopangwa. Kwa wakati huu, Mungu wa Majeshi mara nyingi alionyeshwa katika sura ya muumbaji na mbunifu wa Ulimwengu na dira mikononi mwake (William Blake "Msanifu Mkuu", 1794).
Nyota ya Hexagonal ilimaanisha Umoja na Mapambano ya Wapinzani, mapambano ya Mwanaume na Mwanamke, Wema na Uovu, Nuru na Giza. Moja haiwezi kuwepo bila nyingine. Mvutano unaotokea kati ya wapinzani hawa huunda ulimwengu kama tunavyoijua.
Pembetatu ya juu ina maana "Mwanadamu hujitahidi kwa ajili ya Mungu." Pembetatu chini - "Uungu unashuka kwa Mwanadamu." Katika uhusiano wao ulimwengu wetu upo, ambao ni umoja wa Binadamu na Kimungu. Herufi G hapa ina maana kwamba Mungu anaishi katika ulimwengu wetu. Yeye yuko kweli katika kila kitu alichokiumba.
Nguvu ya maamuzi katika maendeleo ya ishara ya hisabati sio "mapenzi ya bure" ya wanahisabati, lakini mahitaji ya mazoezi na utafiti wa hisabati. Ni utafiti halisi wa hisabati ambao husaidia kujua ni mfumo gani wa ishara unaoakisi vizuri zaidi muundo wa uhusiano wa kiasi na ubora, ndiyo sababu wanaweza kuwa zana bora kwa matumizi yao zaidi katika alama na nembo.
Jinsi ya kuandika ishara ndogo labda haifai kuelezea tena. Sawa kabisa na ishara kubwa zaidi. Ikiwa ishara inakabiliwa na upande wa kushoto na upande wake nyembamba - ndogo, basi ishara mbele yako ni ndogo.
Mfano wa kutumia alama ndogo kuliko:Kubwa kuliko au sawa na/chini kuliko au sawa na kusaini
Ishara kubwa kuliko au sawa kwenye kibodi
Chini ya au ishara sawa kwenye kibodi
ishara
maana
Nani aliingia
Ikiingia Ishara za vitu vya mtu binafsi
¥
usio na mwisho
J. Wallis
1655
e
msingi wa logarithms asili
L. Euler
1736
uk
uwiano wa mduara hadi kipenyo
W. Jones
1706
i
mzizi wa mraba wa -1
L. Euler
1777 (iliyochapishwa 1794)
mimi j k
vectors kitengo, vectors kitengo
W. Hamilton
1853
P(a)
angle ya usawa
N.I. Lobachevsky
1835Ishara za vitu vinavyobadilika
x,y,z
idadi isiyojulikana au tofauti
R. Descartes
1637
r
vekta
O. Cauchy
1853Ishara shughuli za kibinafsi
+
nyongeza
Wanahisabati wa Ujerumani
Mwisho wa karne ya 15
–
kutoa
´
kuzidisha
W. Nje
1631
×
kuzidisha
G. Leibniz
1698
:
mgawanyiko
G. Leibniz
1684
a 2 , a 3 ,…, n
digrii
R. Descartes
1637
I. Newton
1676
mizizi
K. Rudolph
1525
A. Girard
1629
Kumbukumbu
logarithm
I. Kepler
1624
logi
B. Cavalieri
1632
dhambi
sinus
L. Euler
1748
cos
kosini
tg
tangent
L. Euler
1753
arc.dhambi
arcsine
J. Lagrange
1772 Sh
sine hyperbolic V. Riccati
1757 Ch
kosine ya hyperbolic
dx, ddx, ...
tofauti
G. Leibniz
1675 (iliyochapishwa 1684)
d 2 x, d 3 x,...
muhimu
G. Leibniz
1675 (iliyochapishwa 1686)
derivative
G. Leibniz
1675
¦¢x
derivative
J. Lagrange
1770, 1779
y'
¦¢(x)
Dx
tofauti
L. Euler
1755
derivative sehemu
A. Hadithi
1786
uhakika muhimu
J. Fourier
1819-22
jumla
L. Euler
1755
P
kazi
K. Gauss
1812
!
ya kiwandani
K. Crump
1808
|x|
moduli
K. Weierstrass
1841
lim
W. Hamilton,
1853,
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x
kazi ya zeta
B. Riemann
1857
G
kazi ya gamma
A. Hadithi
1808
KATIKA
kipengele cha beta
J. Binet
1839
D
delta (mendeshaji wa Laplace)
R. Murphy
1833
Ñ
nabla (mpiga picha wa Hamilton)
W. Hamilton
1853Ishara za shughuli za kutofautiana
jx
kazi
I. Bernouli
1718
f(x)
L. Euler
1734Ishara za mahusiano ya mtu binafsi
=
usawa
R. Rekodi
1557
>
zaidi
T. Garriott
1631
<
kidogo
º
kulinganishwa
K. Gauss
1801
usambamba
W. Nje
1677
^
perpendicularity
P. Erigon
1634
NA. Newton
katika njia yake ya kubadilika-badilika na ufasaha (1666 na miaka iliyofuata) alianzisha ishara za mabadiliko ya mfululizo (derivatives) ya wingi (katika fomu. 
Plus na minus
Kuzidisha na kugawanya
Usawa, utambulisho, usawa
Ishara ya haijulikani - "X"
Uteuzi wa wengine wasiojulikana
Masharti ya trigonometric
Ishara zingine
Majina ya baadaye
Majina ya alama katika lugha tofauti
Maandishi ya kompyuta ya alama za hisabati
Jinsi ya Kukumbuka Alama za Hisabati
Hatimaye