Asymptote ya grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni mstari ulionyooka ambao una sifa ya kwamba umbali kutoka kwa uhakika (x, f(x)) hadi mstari huu ulionyooka huelekea kuwa sifuri huku nukta ya grafu ikisogea kwa muda usiojulikana kutoka. asili.
Katika Mchoro 3.10. mifano ya graphical ya asymptotes wima, usawa na oblique hutolewa.
Kupata asymptotes ya grafu ni msingi wa nadharia tatu zifuatazo.
Nadharia ya asymptote ya wima. Hebu kazi y = f (x) ifafanuliwe katika kitongoji fulani cha uhakika x 0 (labda ukiondoa hatua hii yenyewe) na angalau moja ya mipaka ya upande mmoja wa kazi ni sawa na infinity, i.e. Kisha mstari wa moja kwa moja x = x 0 ni asymptote ya wima ya grafu ya kazi y = f (x).
Kwa wazi, mstari wa moja kwa moja x = x 0 hauwezi kuwa asymptote ya wima ikiwa kazi ni ya kuendelea katika hatua x 0, kwa kuwa katika kesi hii. 
. Kwa hivyo, asymptoti za wima zinapaswa kutafutwa katika sehemu za kutoendelea za chaguo la kukokotoa au kwenye miisho ya kikoa chake cha ufafanuzi.
Nadharia ya asymptote ya mlalo. Acha chaguo la kukokotoa y = f(x) lifafanuliwe kwa x kubwa vya kutosha na kuna kikomo cha kikomo cha chaguo la kukokotoa. Kisha mstari y = b ni asymptote ya usawa ya grafu ya kazi.
Maoni. Ikiwa moja tu ya mipaka ni ya mwisho, basi kazi ina, kwa mtiririko huo, asymptote ya usawa ya upande wa kushoto au wa kulia.
Katika tukio ambalo, kazi inaweza kuwa na asymptote ya oblique.
Nadharia ya oblique asymptote. Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe kwa x kubwa vya kutosha na kuwe na mipaka yenye kikomo 
. Kisha mstari wa moja kwa moja y = kx + b ni asymptote iliyopigwa ya grafu ya kazi.
Hakuna uthibitisho.
Asymptote ya oblique, kama ile ya mlalo, inaweza kuwa ya mkono wa kulia au wa kushoto ikiwa msingi wa mipaka inayolingana ni kutokuwa na mwisho wa ishara fulani.
Kusoma kazi na kuunda grafu zao kawaida hujumuisha hatua zinazofuata:
1. Pata kikoa cha ufafanuzi wa kazi.
2. Chunguza chaguo za kukokotoa kwa usawa usio wa kawaida.
3. Pata asymptotes za wima kwa kuchunguza pointi za kutoendelea na tabia ya kazi kwenye mipaka ya kikoa cha ufafanuzi, ikiwa ni ya mwisho.
4. Pata asymptotes za usawa au oblique kwa kuchunguza tabia ya kazi kwa infinity.
Jinsi ya kuingiza fomula za hesabu kwenye wavuti?
Ikiwa utahitaji kuongeza fomula moja au mbili za hesabu kwenye ukurasa wa wavuti, basi njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kama ilivyoelezewa kwenye kifungu: fomula za hesabu huingizwa kwa urahisi kwenye wavuti kwa njia ya picha zinazotolewa kiatomati na Wolfram Alpha. . Mbali na unyenyekevu, njia hii ya ulimwengu wote itasaidia kuboresha mwonekano wa tovuti katika injini za utafutaji. Imekuwa ikifanya kazi kwa muda mrefu (na, nadhani, itafanya kazi milele), lakini tayari imepitwa na wakati.
Ikiwa unatumia fomula za hesabu kila wakati kwenye wavuti yako, basi ninapendekeza utumie MathJax - maktaba maalum ya JavaScript inayoonyesha. nukuu ya hisabati katika vivinjari kwa kutumia MathML, LaTeX au ASCIIMAthML markup.
Kuna njia mbili za kuanza kutumia MathJax: (1) kwa kutumia msimbo rahisi, unaweza kuunganisha kwa haraka hati ya MathJax kwenye tovuti yako, ambayo itapakiwa kiotomatiki kutoka kwa seva ya mbali kwa wakati unaofaa (orodha ya seva); (2) pakua hati ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali hadi kwenye seva yako na uiunganishe na kurasa zote za tovuti yako. Njia ya pili - ngumu zaidi na inayotumia wakati - itaharakisha upakiaji wa kurasa za tovuti yako, na ikiwa seva kuu ya MathJax haitapatikana kwa muda kwa sababu fulani, hii haitaathiri tovuti yako mwenyewe kwa njia yoyote. Licha ya faida hizi, nilichagua njia ya kwanza kwa kuwa ni rahisi, haraka na hauhitaji ujuzi wa kiufundi. Fuata mfano wangu, na kwa dakika 5 tu utaweza kutumia vipengele vyote vya MathJax kwenye tovuti yako.
Unaweza kuunganisha hati ya maktaba ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali kwa kutumia chaguo mbili za msimbo zilizochukuliwa kutoka kwa tovuti kuu ya MathJax au kwenye ukurasa wa nyaraka:
Moja ya chaguo hizi za msimbo inahitaji kunakiliwa na kubandikwa kwenye msimbo wa ukurasa wako wa wavuti, ikiwezekana kati ya lebo na au mara baada ya lebo. Kulingana na chaguo la kwanza, MathJax hupakia haraka na kupunguza kasi ya ukurasa. Lakini chaguo la pili hufuatilia kiotomatiki na kupakia matoleo ya hivi karibuni ya MathJax. Ukiingiza msimbo wa kwanza, utahitaji kusasishwa mara kwa mara. Ukiingiza msimbo wa pili, kurasa zitapakia polepole zaidi, lakini hutahitaji kufuatilia mara kwa mara masasisho ya MathJax.
Njia rahisi zaidi ya kuunganisha MathJax ni katika Blogger au WordPress: kwenye paneli dhibiti ya tovuti, ongeza wijeti iliyoundwa ili kuingiza msimbo wa JavaScript wa kampuni nyingine, nakili toleo la kwanza au la pili la msimbo wa upakuaji uliowasilishwa hapo juu ndani yake, na uweke wijeti karibu. hadi mwanzo wa template (kwa njia, hii sio lazima kabisa , kwani maandishi ya MathJax yanapakiwa asynchronously). Ni hayo tu. Sasa jifunze sintaksia ya ghafi ya MathML, LaTeX, na ASCIIMAthML, na uko tayari kuingiza fomula za hisabati kwenye kurasa za wavuti za tovuti yako.
Fractal yoyote inajengwa kulingana na kanuni fulani, ambayo inatumika kwa mfululizo idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kila wakati kama huo huitwa kurudia.
Algorithm ya kurudia ya kuunda sifongo cha Menger ni rahisi sana: mchemraba wa asili ulio na upande wa 1 umegawanywa na ndege sambamba na nyuso zake katika cubes 27 sawa. Mchemraba mmoja wa kati na cubes 6 karibu nayo kando ya nyuso huondolewa kutoka kwake. Matokeo yake ni seti inayojumuisha cubes 20 zilizobaki ndogo. Kufanya vivyo hivyo na kila moja ya cubes hizi, tunapata seti inayojumuisha cubes 400 ndogo. Kuendeleza mchakato huu bila mwisho, tunapata sifongo cha Menger.
Ufafanuzi. Asymptote ya grafu ya chaguo za kukokotoa ni mstari ulionyooka ambao una sifa ya kwamba umbali kutoka kwa sehemu kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa hadi mstari huu mnyoofu huwa sufuri huku nukta ya grafu inavyosogea kwa muda usiojulikana kutoka kwa asili..
Kulingana na njia za kuzipata, aina tatu za asymptotes zinajulikana: wima, usawa, oblique.
Ni wazi, zile za mlalo ni kesi maalum za zile zinazotega (saa ).
Kupata asymptotes ya grafu ya chaguo za kukokotoa kunatokana na taarifa zifuatazo.
Nadharia 1. Hebu kazi ifafanuliwe angalau katika baadhi ya kitongoji cha nusu ya uhakika na angalau moja ya mipaka yake ya upande mmoja katika hatua hii haina kikomo, i.e. kusawazisha. Kisha mstari wa moja kwa moja ni asymptote ya wima ya grafu ya kazi.
Kwa hivyo, asymptotes za wima za grafu ya chaguo za kukokotoa zinapaswa kutafutwa katika sehemu za kutoendelea za chaguo la kukokotoa au katika miisho ya kikoa chake cha ufafanuzi (ikiwa hizi ni nambari za mwisho).
Nadharia 2.
Acha chaguo la kukokotoa lifafanuliwe kwa thamani za hoja kuwa kubwa vya kutosha katika thamani kamili, na kuna kikomo cha kikomo cha chaguo za kukokotoa. 
. Kisha mstari wa moja kwa moja ni asymptote ya usawa ya grafu ya kazi.
Inaweza kutokea hivyo 
, A 
, na ni nambari zenye kikomo, kisha grafu ina dalili mbili tofauti za mlalo: mkono wa kushoto na wa kulia. Iwapo ni kikomo kimoja tu au kipo, basi grafu ina asymptote moja ya mkono wa kushoto au ya mkono wa kulia ya mlalo.
Nadharia 3.
Acha kipengele cha kukokotoa kifafanuliwe kwa thamani za hoja ambazo ni kubwa vya kutosha katika thamani kamili, na kuna vikomo vyenye kikomo. 
Na 
. Kisha mstari wa moja kwa moja ni asymptote iliyopigwa ya grafu ya kazi.
Kumbuka kwamba ikiwa angalau moja ya mipaka hii haina ukomo, basi hakuna asymptote ya oblique.
Asymptote ya oblique, kama ile ya usawa, inaweza kuwa ya upande mmoja.
Mfano. Pata asymptotes zote za grafu ya chaguo la kukokotoa.
Suluhisho .
Chaguo la kukokotoa limefafanuliwa kwa . Wacha tupate kikomo chake cha upande mmoja kwa alama.
Kwa sababu 
Na 
(vikomo vingine viwili vya upande mmoja haviwezi kupatikana tena), basi mistari iliyonyooka ni asymptotes za wima za grafu ya chaguo la kukokotoa.
Hebu tuhesabu
(tumia sheria ya L'Hopital) = 
.
Hii ina maana kwamba mstari wa moja kwa moja ni asymptote ya usawa.
Kwa kuwa asymptote ya usawa ipo, hatutafuti tena wale walio na mwelekeo (hawapo).
Jibu: Grafu ina asymptotes mbili za wima na moja ya usawa.
Utafiti wa jumla wa kazi y = f(x).
Upeo wa kazi. Tafuta kikoa chake cha ufafanuzi(D f ). Ikiwa sio ngumu sana, ni muhimu pia kupata safu(D E ). Ikiwa sio ngumu sana, ni muhimu pia kupata safu(D). (Walakini, katika hali nyingi, swali la kutafuta
) imeahirishwa hadi mwisho wa kazi upatikane.) Tabia maalum za kazi. Jua sifa za jumla za kazi: usawa, isiyo ya kawaida, upimaji, nk. Sio kila chaguo la kukokotoa lina sifa kama vile hata au isiyo ya kawaida. Chaguo la kukokotoa ni dhahiri si la kawaida wala si la kawaida ikiwa kikoa chake cha ufafanuzi hakina ulinganifu kuhusiana na nukta 0 kwenye mhimili. Ng'ombe
. Tafuta kikoa chake cha ufafanuzi(D Vivyo hivyo, kwa kazi yoyote ya mara kwa mara kikoa cha ufafanuzi kinajumuisha mhimili mzima wa kweli au umoja wa mifumo ya kurudia mara kwa mara ya vipindi.
Asymptotes za wima. Jua jinsi chaguo la kukokotoa linavyofanya wakati hoja inakaribia alama za mpaka za kikoa cha ufafanuzi Tafuta kikoa chake cha ufafanuzi(D), ikiwa pointi hizo za mipaka zipo. Katika kesi hii, asymptotes za wima zinaweza kuonekana. Ikiwa kazi ina pointi za kutoendelea ambayo haijafafanuliwa, basi pointi hizi zinapaswa pia kuangaliwa kwa uwepo wa asymptotes za wima za kazi.: Asymptotes ya oblique na ya usawa. = Ikiwa uwanja wa ufafanuzi + ) inajumuisha miale ya umbo (a;+) au (−;b), basi unaweza kujaribu kupata asymptoti za oblique (au asymptotes mlalo) kwa x+ au x-, mtawalia, i.e. pata limxf(x). Asymptotes za oblique y: Asymptotes ya oblique na ya usawa. = ) inajumuisha miale ya umbo (a;+) au (−;b), basi unaweza kujaribu kupata asymptoti za oblique (au asymptotes mlalo) kwa x+ au x-, mtawalia, i.e. pata limxf(x). kx
b, ambapo k=limx+xf(x) na b=limx+(f(x)−x). Asymptotes za usawa D(0). Tabia maalum za kazi. Jua sifa za jumla za kazi: usawa, isiyo ya kawaida, upimaji, nk. Sio kila chaguo la kukokotoa lina sifa kama vile hata au isiyo ya kawaida. Chaguo la kukokotoa ni dhahiri si la kawaida wala si la kawaida ikiwa kikoa chake cha ufafanuzi hakina ulinganifu kuhusiana na nukta 0 kwenye mhimili. Pata pia pointi za makutano ya grafu na mhimili D(, kwa nini pata mizizi ya equation x
) = 0 (au hakikisha kuwa hakuna mizizi).
Equation mara nyingi inaweza kutatuliwa takriban tu, lakini kutenganisha mizizi husaidia kuelewa vizuri muundo wa grafu.
Kupata sehemu za makutano ya grafu na asymptote. Katika baadhi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kupata pointi za tabia za grafu ambazo hazikutajwa katika aya zilizopita. Kwa mfano, ikiwa kitendakazi kina asymptote iliyoinama, basi unaweza kujaribu kujua ikiwa kuna sehemu zozote za makutano ya grafu na asymptote hii. Kutafuta vipindi vya convexity na concavity. Hii inafanywa kwa kuchunguza ishara ya derivative ya pili f(x). Tafuta sehemu za unyambulishaji kwenye makutano ya vipindi vya mbonyeo na mbonyeo. Hesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika sehemu za unyambulishaji. Ikiwa kipengele cha kukokotoa kina pointi nyingine za mwendelezo (isipokuwa pointi za inflection) ambapo derivative ya pili ni 0 au haipo, basi ni muhimu pia kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika pointi hizi. Baada ya kupata f(x) tunatatua ukosefu wa usawa f(x)0. Katika kila vipindi vya suluhisho kazi itakuwa laini kuelekea chini. Kwa kusuluhisha ukosefu wa usawa wa f(x)0, tunapata vipindi ambavyo kazi ya kukokotoa imebonyea kwenda juu (hiyo ni concave). Tunafafanua nukta za unyambulishaji kama zile nukta ambazo utendaji hubadilisha mwelekeo wa unyambulishaji (na ni endelevu). Asymptotes ya grafu ya chaguo za kukokotoa
Roho ya asymptote imekuwa ikizunguka kwenye tovuti kwa muda mrefu na hatimaye kuonekana katika makala tofauti na kuleta furaha kwa wasomaji ambao wanashangaa. utafiti kamili wa kazi. Kupata dalili za grafu ni mojawapo ya sehemu chache za kazi hii ambayo inashughulikiwa katika kozi ya shule kwa njia ya muhtasari tu, kwani matukio yanahusu hesabu.
mipaka ya kazi, lakini bado yanahusiana hisabati ya juu. Kwa wageni ambao wana uelewa mdogo wa uchanganuzi wa hisabati, nadhani kidokezo kiko wazi ;-) ...acha, simama, unaenda wapi? Mipaka- ni rahisi! Mifano ya asymptotes ilikutana mara moja katika somo la kwanza kuhusu grafu za kazi za msingi
, na mada sasa inazingatiwa kwa kina. Kwa hivyo asymptote ni nini? Fikiria hatua ya kutofautiana
Katika ndege, asymptotes huwekwa kulingana na eneo lao la asili:
1) Asymptotes wima, ambazo hutolewa kwa mlinganyo wa fomu , ambapo "alpha" ni nambari halisi. Mwakilishi maarufu anafafanua mhimili wa kuratibu yenyewe,
kwa hisia kidogo za kichefuchefu tunakumbuka hyperbole.
2) Asymptotes za Oblique zimeandikwa kwa jadi equation ya mstari wa moja kwa moja Na mteremko. Wakati mwingine kikundi tofauti kutenga kesi maalum- asymptotes mlalo. Kwa mfano, hyperbola sawa na asymptote.
Wacha twende haraka, tupige mada na mlipuko mfupi wa bunduki ya mashine:
Je, grafu ya chaguo la kukokotoa inaweza kuwa na asymptote ngapi?Sio moja, moja, mbili, tatu, ... au nyingi bila kikomo. Hatuendi mbali kwa mifano, tukumbuke kazi za msingi. Parabola, parabola za ujazo, na wimbi la sine hazina dalili hata kidogo. Grafu ya chaguo za kukokotoa, logarithmic ina asymptoti moja. Arctangent na arccotangent zina mbili kati yao, na tangent na cotangent zina nyingi sana. Sio kawaida kwa grafu kuwa na asymptotes za mlalo na wima. Hyperbole, nitakupenda daima.
Ina maana gani?Asymptotes wima za grafu ya chaguo za kukokotoa Asymptote ya wima ya grafu kawaida iko katika hatua ya kutoendelea bila kikomo kazi. Ni rahisi: ikiwa kazi ina kutokuwepo kwa ukomo kwa uhakika, basi mstari wa moja kwa moja iliyotolewa na equation
, na mada sasa inazingatiwa kwa kina. ni asymptote wima ya grafu.
: Kumbuka kuwa ingizo linatumika kurejelea dhana mbili tofauti kabisa. Ikiwa hoja imedokezwa au mlinganyo wa mstari inategemea muktadha. 
Kwa hivyo, ili kuanzisha uwepo wa asymptote ya wima kwa uhakika, inatosha kuonyesha kwamba angalau moja ya mipaka ya upande mmoja. usio na mwisho. Mara nyingi hii ni mahali ambapo denominator ya kazi ni sifuri. Kimsingi, tayari tumepata asymptotes wima ndani mifano ya hivi karibuni somo juu ya mwendelezo wa kitendakazi . Lakini katika baadhi ya matukio kuna kikomo kimoja tu cha upande mmoja, na ikiwa ni usio, basi tena - penda na upendeze asymptote ya wima. Kielelezo rahisi zaidi: na mhimili wa kuratibu (ona.
).
Grafu na mali ya kazi za msingi
Kutoka hapo juu, ukweli dhahiri pia unafuata: ikiwa kazi inaendelea, basi hakuna asymptotes za wima. Kwa sababu fulani parabola ilikuja akilini. Kweli, wapi unaweza "kushikamana" mstari wa moja kwa moja hapa? ...ndio... naelewa... Wafuasi wa mjomba Freud wakawa na wasiwasi =)
Taarifa ya mazungumzo kwa ujumla ni ya uongo: kwa mfano, chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, lakini imenyimwa kabisa asymptotes.Oblique (kama kesi maalum - mlalo) asymptotes inaweza kuchorwa ikiwa hoja ya chaguo za kukokotoa inaelekea "pamoja na infinity" au "minus infinity". Kwa hiyo, grafu ya kazi haiwezi kuwa na asymptotes zaidi ya mbili za oblique. Kwa mfano, grafu ya chaguo za kukokotoa za kielelezo ina asymptote moja ya mlalo katika , na grafu ya arctangent at ina asymptotes mbili kama hizo, na tofauti kwa hapo.
Wakati grafu katika sehemu zote mbili inakaribia asymptote moja ya oblique, basi "infinities" kawaida huunganishwa chini ya ingizo moja. Kwa mfano, ...ulikisia kwa usahihi: .
Mkuu kanuni ya kidole gumba :
Ikiwa kuna mbili mwisho kikomo 
, basi mstari wa moja kwa moja ni asymptote ya oblique ya grafu ya kazi katika . Ikiwa angalau moja ya mipaka iliyoorodheshwa haina mwisho, basi hakuna asymptote ya oblique.
, na mada sasa inazingatiwa kwa kina. : fomula zitasalia kuwa halali ikiwa "x" inaelekea tu "pamoja na infinity" au "minus infinity".
Wacha tuonyeshe kuwa parabola haina asymptotes za oblique: 
Kikomo ni usio, ambayo ina maana hakuna asymptote oblique. Kumbuka kwamba katika kutafuta kikomo 
hitaji limetoweka kwani jibu tayari limepokelewa.
, na mada sasa inazingatiwa kwa kina.
: Iwapo una (au utakuwa) na matatizo kuelewa ishara za kuongeza-minus, toa-plus, tafadhali tazama usaidizi mwanzoni mwa somo.
juu ya utendaji usio na ukomo, ambapo nilikuambia jinsi ya kutafsiri kwa usahihi ishara hizi.
Ni dhahiri kwamba kazi yoyote ya quadratic, cubic, polynomial ya digrii 4 na ya juu pia haina asymptotes oblique.
Sasa hebu tuhakikishe kwamba grafu pia haina asymptote ya oblique. Ili kufichua kutokuwa na uhakika tunatumia Utawala wa L'Hopital
:
, ambayo ndiyo ilihitaji kuangaliwa.
Wakati kazi inakua kwa muda usiojulikana, lakini hakuna mstari wa moja kwa moja ambao grafu yake ingekaribia karibu sana.
Wacha tuendelee kwenye sehemu ya vitendo ya somo:
Jinsi ya kupata asymptotes ya grafu ya kazi?Hivi ndivyo hasa inavyoundwa kazi ya kawaida, na inajumuisha kupata asymptotes ZOTE za grafu (wima, iliyoelekezwa/mlalo). Ingawa, kwa usahihi zaidi katika kuuliza swali, tunazungumza juu ya utafiti wa uwepo wa asymptotes (baada ya yote, kunaweza kuwa hakuna kabisa). Wacha tuanze na kitu rahisi:
Mfano 1
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho linaweza kugawanywa kwa urahisi katika nukta mbili:
1) Kwanza tunaangalia ikiwa kuna asymptotes wima. Denominator huenda kwa sifuri saa , na ni wazi mara moja kwamba katika hatua hii kazi inakabiliwa pengo lisilo na mwisho, na mstari wa moja kwa moja uliotolewa na equation ni asymptote ya wima ya grafu ya kazi. Lakini, kabla ya kuteka hitimisho kama hilo, ni muhimu kupata mipaka ya upande mmoja: 
Ninakukumbusha mbinu ya kuhesabu ambayo vile vile nilizingatia katika makala hiyo Mwendelezo wa utendakazi. Kuvunja pointi. Katika usemi ulio chini ya ishara ya kikomo tunabadilisha . Hakuna kitu cha kuvutia katika nambari:
.
Lakini katika denominator inageuka usio na kikomo nambari hasi
:
, huamua hatima ya kikomo.
Upeo wa kushoto hauna mwisho, na, kwa kanuni, tayari inawezekana kufanya uamuzi kuhusu kuwepo kwa asymptote ya wima. Lakini mipaka ya upande mmoja inahitajika sio tu kwa hili - INASAIDIA KUELEWA JINSI graph ya kazi iko na kuijenga KWA USAHIHI. Kwa hivyo, lazima pia tuhesabu kikomo cha mkono wa kulia: 
Hitimisho: mipaka ya upande mmoja haina mwisho, ambayo ina maana kwamba mstari wa moja kwa moja ni asymptote ya wima ya grafu ya kazi katika .
Kikomo cha kwanza yenye mwisho, ambayo inamaanisha ni muhimu "kuendelea na mazungumzo" na kupata kikomo cha pili:
Kikomo cha pili pia yenye mwisho.
Kwa hivyo, asymptote yetu ni:
Hitimisho: mstari wa moja kwa moja uliobainishwa na equation ni asymptote ya mlalo ya grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye .
Ili kupata asymptote ya mlalounaweza kutumia formula iliyorahisishwa:
Kama ipo yenye mwisho limit, kisha mstari wa moja kwa moja ni asymptote ya mlalo ya grafu ya chaguo la kukokotoa kwenye .
Ni rahisi kuona kwamba nambari na denominator ya kazi utaratibu sawa wa ukuaji, ambayo inamaanisha kuwa kikomo kinachotafutwa kitakuwa na kikomo: 
Jibu:
Kwa mujibu wa hali hiyo, huna haja ya kukamilisha kuchora, lakini ikiwa unaendelea kikamilifu utafiti wa kazi, kisha kwenye rasimu tunatengeneza mchoro mara moja: 
Kulingana na mipaka mitatu iliyopatikana, jaribu kujifikiria mwenyewe jinsi grafu ya kazi inaweza kupatikana. Je, ni vigumu kabisa? Pata alama 5-6-7-8 na uziweke alama kwenye mchoro. Walakini, grafu ya kazi hii imeundwa kwa kutumia mabadiliko ya grafu ya kipengele cha msingi cha kukokotoa, na wasomaji waliochunguza kwa uangalifu Mfano wa 21 wa kifungu kilicho hapo juu wanaweza kukisia kwa urahisi ni aina gani ya curve hii.
Mfano 2
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Napenda kukukumbusha kwamba ni rahisi kugawanya mchakato katika pointi mbili - asymptotes wima na asymptotes oblique. Katika suluhisho la sampuli, asymptote ya usawa inapatikana kwa kutumia mpango rahisi.
Kwa mazoezi, kazi za busara za sehemu mara nyingi hukutana, na baada ya mafunzo juu ya hyperbolas, tutafanya kazi hiyo kuwa ngumu:
Mfano 3
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa 
Suluhisho: Moja, mbili na imekamilika:
1) Asymptotes za wima ziko katika maeneo ya kutoendelea kabisa, kwa hivyo unahitaji kuangalia ikiwa dhehebu huenda hadi sifuri. Hebu tuamue mlinganyo wa quadratic
:
Ubaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili halisi, na kazi imeongezeka sana =) 
Ili kupata zaidi mipaka ya upande mmoja quadratic trinomial Ni rahisi kutengeneza kiwanda:
(kwa nukuu fupi, "minus" ilijumuishwa kwenye mabano ya kwanza). Ili kuwa upande salama, hebu tuangalie kwa kufungua mabano kiakili au kwenye rasimu.
Wacha tuandike tena kitendakazi katika fomu 
Wacha tupate mipaka ya upande mmoja kwa uhakika: 
Na kwa uhakika: 
Kwa hivyo, mistari iliyonyooka ni asymptotes ya wima ya grafu ya kazi inayohusika.
2) Ikiwa unatazama kazi 
, basi ni dhahiri kabisa kwamba kikomo kitakuwa na mwisho na tuna asymptote ya usawa. Wacha tuonyeshe uwepo wake kwa njia fupi: 
Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja (mhimili wa abscissa) ni asymptote ya usawa ya grafu ya kazi hii.
Jibu:
Mipaka iliyopatikana na asymptotes hutoa habari nyingi kuhusu grafu ya kazi. Jaribu kufikiria kiakili mchoro huo ukizingatia ukweli ufuatao: 
Chora toleo lako la grafu kwenye rasimu yako.
Kwa kweli, mipaka iliyopatikana haiamui wazi kuonekana kwa grafu, na unaweza kufanya makosa, lakini mazoezi yenyewe yatatoa msaada muhimu wakati utafiti kamili wa kazi. Picha sahihi- mwishoni mwa somo.
Mfano 4
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa
Mfano 5
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa 
Hizi ni kazi za suluhisho la kujitegemea. Grafu zote mbili zina asymptotes za usawa, ambazo hugunduliwa mara moja na huduma zifuatazo: katika Mfano wa 4. utaratibu wa ukuaji dhehebu zaidi, kuliko mpangilio wa ukuaji wa nambari, na katika Mfano wa 5 nambari na denominator utaratibu sawa wa ukuaji. Katika suluhisho la sampuli, kazi ya kwanza inachunguzwa kwa uwepo wa asymptotes ya oblique kwa ukamilifu, na pili - kupitia kikomo.
Asymptotes mlalo, katika hisia yangu ya kibinafsi, ni ya kawaida zaidi kuliko zile ambazo "zimeinama kweli." Kesi ya jumla iliyosubiriwa kwa muda mrefu:
Mfano 6
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa 
Suluhisho: classic ya aina:
1) Kwa kuwa denominator ni chanya, basi kazi kuendelea kwenye mstari mzima wa nambari, na hakuna asymptotes wima. ...Je, hii ni nzuri? Sio neno sahihi - bora! Pointi namba 1 imefungwa.
2) Wacha tuangalie uwepo wa asymptotes za oblique:
Kikomo cha kwanza yenye mwisho, basi tuendelee. Wakati wa kuhesabu kikomo cha pili cha kuondoa kutokuwa na uhakika "infinity minus infinity" Tunaleta usemi huo kwa dhehebu la kawaida: 
Kikomo cha pili pia yenye mwisho Kwa hivyo, grafu ya kazi inayohusika ina asymptote ya oblique:
Hitimisho:
Hivyo, wakati graph ya kazi 
karibu sana inakaribia mstari wa moja kwa moja: 
Kumbuka kuwa inaingiliana na asymptote yake ya oblique kwa asili, na sehemu za makutano kama hizo zinakubalika - ni muhimu kwamba "kila kitu ni cha kawaida" kwa infinity (kwa kweli, hapa ndipo tunazungumza juu ya asymptotes).
Mfano 7
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho: hakuna kitu maalum cha kutoa maoni, kwa hivyo nitatoa mfano wa takriban wa suluhisho la mwisho:
1) Asymptotes za wima. Hebu tuchunguze hoja. 
Mstari wa moja kwa moja ni asymptote wima ya grafu iliyo .
2) Dalili za Oblique: 
Mstari wa moja kwa moja ni asymptote iliyoinamishwa kwa grafu katika .
Jibu: 
Vikomo vya upande mmoja na asymptotes zilizopatikana huturuhusu kutabiri kwa ujasiri wa juu jinsi grafu ya chaguo hili la kukokotoa inavyoonekana. Mchoro sahihi mwishoni mwa somo.
Mfano 8
Tafuta dalili za grafu ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; kwa urahisi wa kuhesabu mipaka fulani, unaweza kugawanya nambari kwa neno la denominator kwa muda. Tena, wakati wa kuchambua matokeo yako, jaribu kuchora grafu ya kazi hii.
Kwa wazi, wamiliki wa asymptotes "halisi" za oblique ni grafu za kazi hizo za busara za sehemu ambayo kiwango cha juu cha nambari ni kikubwa zaidi kuliko kiwango cha juu zaidi cha denominator. Ikiwa ni zaidi, hakutakuwa na asymptote ya oblique (kwa mfano,).
Lakini miujiza mingine hufanyika maishani:
Mfano 9
Mfano 11
Chunguza grafu ya chaguo za kukokotoa kwa uwepo wa asymptotes
Suluhisho: ni wazi 
, kwa hiyo tunazingatia tu nusu ya ndege inayofaa, ambapo kuna grafu ya kazi.
Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja (mhimili wa kuratibu) ni asymptote ya wima ya grafu ya kazi katika .
2) Utafiti juu ya asymptote ya oblique inaweza kufanywa kulingana na mpango kamili, lakini katika kifungu hicho. Sheria za L'Hopital tuligundua hilo kazi ya mstari mpangilio wa juu wa ukuaji kuliko logarithmic, kwa hivyo: 
(Angalia Mfano wa 1 wa somo sawa).
Hitimisho: mhimili wa x ni asymptote ya mlalo ya grafu ya chaguo za kukokotoa katika .
Jibu:
, Kama;
, Kama.
Kuchora kwa uwazi: 
Inafurahisha kwamba kazi inayoonekana kuwa sawa haina asymptotes hata kidogo (wale wanaotaka wanaweza kuangalia hii).
Mifano miwili ya mwisho ya kujisomea:
Mfano 12
Chunguza grafu ya chaguo za kukokotoa kwa uwepo wa asymptotes 