Ndio, ndio: maendeleo ya hesabu sio mchezo kwako :)

Naam, marafiki, ikiwa unasoma maandishi haya, basi uthibitisho wa ndani unaniambia kuwa bado haujui maendeleo ya hesabu ni nini, lakini kwa kweli (hapana, kama hiyo: SOOOOO!) unataka kujua. Kwa hivyo, sitakutesa kwa utangulizi mrefu na nitaenda moja kwa moja kwenye uhakika.

Kwanza, mifano michache. Wacha tuangalie seti kadhaa za nambari:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Je, seti hizi zote zinafanana nini? Kwa mtazamo wa kwanza, hakuna kitu. Lakini kwa kweli kuna kitu. Yaani: kila kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia kwa nambari sawa.

Jihukumu mwenyewe. Seti ya kwanza ni nambari zinazofuatana, kila inayofuata ikiwa moja zaidi ya ile iliyotangulia. Katika kesi ya pili, tofauti kati ya nambari zilizo karibu tayari ni tano, lakini tofauti hii bado ni ya kudumu. Katika kesi ya tatu, kuna mizizi kabisa. Hata hivyo, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, na $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kinaongezeka tu kwa $\sqrt(2)$ (na usiogope kwamba nambari hii haina mantiki).

Kwa hivyo: mlolongo wote kama huo huitwa maendeleo ya hesabu. Wacha tutoe ufafanuzi mkali:

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari ambapo kila inayofuata inatofautiana na ile ya awali kwa kiasi sawa kabisa inaitwa maendeleo ya hesabu. Kiasi kile ambacho nambari hutofautiana huitwa tofauti ya kuendelea na mara nyingi huonyeshwa na herufi $d$.

Dokezo: $\left(((a)_(n)) \kulia)$ ndio mwendelezo wenyewe, $d$ ndio tofauti yake.

Na vidokezo kadhaa muhimu. Kwanza, maendeleo yanazingatiwa tu kuamuru mlolongo wa nambari: zinaruhusiwa kusomwa madhubuti kwa mpangilio ambao zimeandikwa - na hakuna kitu kingine chochote. Nambari haziwezi kupangwa upya au kubadilishana.

Pili, mlolongo yenyewe unaweza kuwa na mwisho au usio na mwisho. Kwa mfano, seti (1; 2; 3) ni wazi ni mwendelezo wa kihesabu wa kikomo. Lakini ukiandika kitu katika roho (1; 2; 3; 4; ...) - hii tayari ni maendeleo yasiyo na mwisho. Ellipsis baada ya nne inaonekana kudokeza kwamba kuna nambari chache zaidi zinazokuja. Wengi sana, kwa mfano. :)

Pia ningependa kutambua kwamba maendeleo yanaweza kuongezeka au kupungua. Tayari tumeona zile zinazoongezeka - seti sawa (1; 2; 3; 4; ...). Hapa kuna mifano ya kupungua kwa maendeleo:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

SAWA SAWA: mfano wa mwisho inaweza kuonekana kuwa ngumu kupita kiasi. Lakini wengine, nadhani, unaelewa. Kwa hivyo, tunaanzisha ufafanuzi mpya:

Ufafanuzi. Maendeleo ya hesabu inaitwa:

1. kuongezeka ikiwa kila kipengele kinachofuata ni kikubwa kuliko kilichotangulia;
2. kupungua ikiwa, kinyume chake, kila kipengele kinachofuata ni kidogo kuliko kilichotangulia.

Kwa kuongezea, kuna kinachojulikana kama "stationary" mlolongo - zinajumuisha nambari sawa ya kurudia. Kwa mfano, (3; 3; 3; ...).

Swali moja tu linabaki: jinsi ya kutofautisha maendeleo yanayoongezeka kutoka kwa kupungua? Kwa bahati nzuri, kila kitu hapa kinategemea tu ishara ya nambari ya $ d$, i.e. tofauti za maendeleo:

1. Ikiwa $d \gt 0$, basi maendeleo yanaongezeka;
2. Ikiwa $d \lt 0$, basi maendeleo yanapungua kwa wazi;
3. Hatimaye, kuna kesi $d=0$ - katika kesi hii maendeleo yote yanapunguzwa hadi mlolongo wa stationary. nambari zinazofanana: (1; 1; 1; 1; ...), n.k.

Hebu tujaribu kukokotoa tofauti $d$ kwa maendeleo matatu yanayopungua yaliyotolewa hapo juu. Ili kufanya hivyo, inatosha kuchukua vitu viwili vilivyo karibu (kwa mfano, ya kwanza na ya pili) na uondoe nambari upande wa kushoto kutoka kwa nambari ya kulia. Itakuwa kama hii:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kama tunavyoona, katika yote kesi tatu tofauti kweli aligeuka kuwa hasi. Na sasa kwa kuwa tumeelewa zaidi au chini ya ufafanuzi, ni wakati wa kujua jinsi maendeleo yanavyoelezewa na ni mali gani wanayo.

Masharti ya maendeleo na fomula ya kurudia

Kwa kuwa vipengele vya mlolongo wetu haviwezi kubadilishwa, vinaweza kuhesabiwa:

\[\kushoto(((a)_(n)) \kulia)=\kushoto\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \haki\)\]

Vipengele vya kibinafsi vya seti hii huitwa washiriki wa maendeleo. Wanaonyeshwa na nambari: mwanachama wa kwanza, wa pili, nk.

Kwa kuongezea, kama tunavyojua tayari, masharti ya karibu ya maendeleo yanahusiana na formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Mshale wa Kulia ((a)_(n)))=((a)_(n-1))+d \]

Kwa kifupi, ili kupata muhula wa $n$th wa mwendelezo, unahitaji kujua muhula wa $n-1$th na tofauti $d$. Njia hii inaitwa mara kwa mara, kwa sababu kwa msaada wake unaweza kupata nambari yoyote tu kwa kujua moja uliopita (na kwa kweli, zote zilizopita). Hii ni ngumu sana, kwa hivyo kuna formula ya ujanja zaidi ambayo inapunguza mahesabu yoyote kwa muhula wa kwanza na tofauti:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\kushoto(n-1 \kulia)d\]

Labda tayari umekutana na fomula hii. Wanapenda kutoa katika kila aina ya vitabu vya kumbukumbu na vitabu vya ufumbuzi. Na katika kitabu chochote cha hesabu cha busara ni moja ya kwanza.

Walakini, napendekeza ufanye mazoezi kidogo.

Kazi nambari 1. Andika masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu $\left(((a)_(n)) \kulia)$ if $((a)_(1)))=8,d=-5$.

Suluhisho. Kwa hivyo, tunajua neno la kwanza $((a)_(1))=8$ na tofauti ya mwendelezo $d=-5$. Hebu tutumie fomula iliyotolewa hivi punde na tubadilishe $n=1$, $n=2$ na $n=3$:

\[\anza(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kulia)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kushoto(1-1 \kulia)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kushoto(2-1 \kulia)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kushoto(3-1 \kulia)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \mwisho(patanisha)\]

Jibu: (8; 3; −2)

Ni hayo tu! Tafadhali kumbuka: maendeleo yetu yanapungua.

Bila shaka, $n=1$ haikuweza kubadilishwa - muhula wa kwanza tayari unajulikana kwetu. Walakini, kwa kubadilisha umoja, tulikuwa na hakika kwamba hata kwa muhula wa kwanza fomula yetu inafanya kazi. Katika hali nyingine, kila kitu kilikuja kwa hesabu ya banal.

Kazi nambari 2. Andika masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu ikiwa muhula wake wa saba ni sawa na -40 na muhula wake wa kumi na saba ni sawa na -50.

Suluhisho. Wacha tuandike hali ya shida kwa maneno yanayojulikana:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kushoto\( \anza(patanisha) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \mwisho(panga) \kulia.\]

\[\kushoto\( \anza(panga) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \mwisho(panga) \haki.\]

Ninaweka ishara ya mfumo kwa sababu mahitaji haya lazima yatimizwe kwa wakati mmoja. Sasa hebu tukumbuke kwamba ikiwa tunaondoa ya kwanza kutoka kwa equation ya pili (tuna haki ya kufanya hivyo, kwa kuwa tuna mfumo), tunapata hii:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(1))+16d-\kushoto(((a)_(1))+6d \kulia)=-50-\kushoto(-40 \kulia); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \mwisho(patanisha)\]

Ndio jinsi ilivyo rahisi kupata tofauti ya maendeleo! Kilichobaki ni kubadilisha nambari iliyopatikana katika milinganyo yoyote ya mfumo. Kwa mfano, katika ya kwanza:

\[\ anza(tumbo) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Download \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \mwisho(matrix)\]

Sasa, tukijua muhula wa kwanza na tofauti, inabaki kupata neno la pili na la tatu:

\[\anza(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \mwisho(patanisha)\]

Tayari! Tatizo linatatuliwa.

Jibu: (−34; −35; -36)

Angalia sifa ya kuvutia ya maendeleo ambayo tuligundua: ikiwa tutachukua istilahi $n$th na $m$th na kuziondoa kutoka kwa kila moja, tunapata tofauti ya mwendelezo ikizidishwa na nambari $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kushoto(n-m \kulia)\]

Rahisi lakini sana mali muhimu, ambayo hakika unahitaji kujua - kwa msaada wake unaweza kuharakisha kwa kiasi kikubwa ufumbuzi wa matatizo mengi ya maendeleo. Hapa kuna mfano wazi wa hii:

Kazi nambari 3. Muhula wa tano wa maendeleo ya hesabu ni 8.4, na muhula wake wa kumi ni 14.4. Tafuta muhula wa kumi na tano wa mwendelezo huu.

Suluhisho. Kwa kuwa $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, na tunahitaji kupata $((a)_(15))$, tunaona yafuatayo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \mwisho(patanisha)\]

Lakini kwa masharti $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, kwa hivyo $5d=6$, ambayo tunayo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \mwisho(patanisha)\]

Jibu: 20.4

Ni hayo tu! Hatukuhitaji kuunda mifumo yoyote ya milinganyo na kuhesabu muhula wa kwanza na tofauti - kila kitu kilitatuliwa kwa mistari michache tu.

Sasa hebu tuangalie aina nyingine ya tatizo - kutafuta maneno hasi na chanya ya maendeleo. Sio siri kwamba ikiwa maendeleo yanaongezeka, na muda wake wa kwanza ni mbaya, basi mapema au baadaye maneno mazuri yataonekana ndani yake. Na kinyume chake: masharti ya maendeleo yanayopungua yatakuwa hasi mapema au baadaye.

Wakati huo huo, si mara zote inawezekana kupata wakati huu "kichwa-juu" kwa sequentially kupitia vipengele. Mara nyingi, matatizo yanaandikwa kwa njia ambayo bila kujua fomula, hesabu zingechukua karatasi kadhaa—tungelala tu huku tukipata jibu. Kwa hiyo, hebu tujaribu kutatua matatizo haya kwa njia ya haraka.

Kazi nambari 4. Kuna istilahi ngapi hasi katika maendeleo ya hesabu -38.5; -35.8; ...?

Suluhisho. Kwa hivyo, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kutoka ambapo tunapata tofauti mara moja:

Kumbuka kuwa tofauti ni chanya, hivyo maendeleo yanaongezeka. Muhula wa kwanza ni hasi, kwa hivyo kwa kweli wakati fulani tutajikwaa kwenye nambari chanya. Swali pekee ni wakati hii itatokea.

Wacha tujaribu kujua: hadi lini (yaani hadi nini nambari ya asili$n$) uzembe wa masharti umehifadhiwa:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(n)) \lt 0\Mshale wa kulia ((a)_(1))+\kushoto(n-1 \kulia)d \lt 0; \\ & -38.5+\kushoto(n-1 \kulia)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kulia. \\ & -385+27\cdot \kushoto(n-1 \kulia) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Kulia ((n)_(\max ))=15. \\ \mwisho(patanisha)\]

Mstari wa mwisho unahitaji maelezo fulani. Kwa hivyo tunajua kuwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kwa upande mwingine, tumeridhika na nambari kamili tu za nambari (zaidi ya hayo: $n\in \mathbb(N)$), kwa hivyo nambari kubwa inayoruhusiwa ni $n=15$, na hakuna kesi 16. .

Kazi nambari 5. Katika maendeleo ya hesabu $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tafuta idadi ya muhula chanya wa kwanza wa mwendelezo huu.

Hili litakuwa shida sawa na ile iliyotangulia, lakini hatujui $((a)_(1))$. Lakini maneno ya jirani yanajulikana: $((a)_(5))$ na $((a)_(6))$, kwa hivyo tunaweza kupata tofauti ya mwendelezo kwa urahisi:

Kwa kuongezea, wacha tujaribu kuelezea muhula wa tano kupitia ya kwanza na tofauti kwa kutumia fomula ya kawaida:

\[\anza(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kulia)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdoti 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \mwisho(patanisha)\]

Sasa tunaendelea kwa mlinganisho na kazi ya awali. Wacha tujue ni wakati gani katika mlolongo wetu nambari chanya zitaonekana:

\[\anza(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \kulia)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Mshale wa Kulia ((n)_(\min ))=56. \\ \mwisho(patanisha)\]

Suluhisho la chini kabisa la ukosefu huu wa usawa ni nambari 56.

Tafadhali kumbuka: katika kazi ya mwisho kila kitu kilishuka kwa usawa mkali, kwa hivyo chaguo $n=55$ haitatufaa.

Sasa kwa kuwa tumejifunza jinsi ya kutatua matatizo rahisi, hebu tuendelee kwenye magumu zaidi. Lakini kwanza, hebu tujifunze mali nyingine muhimu sana maendeleo ya hesabu, ambayo itatuokoa muda mwingi na seli zisizo sawa katika siku zijazo. :)

Maana ya hesabu na indentations sawa

Wacha tuzingatie masharti kadhaa mfululizo ya ukuaji wa hesabu unaoongezeka $\left(((a)_(n)) \kulia)$. Wacha tujaribu kuziweka alama kwenye mstari wa nambari:

Masharti ya kuendelea kwa hesabu kwenye mstari wa nambari

Nilitia alama maneno kiholela $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, na si baadhi $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, n.k. Kwa sababu sheria ambayo nitakuambia sasa inafanya kazi sawa kwa "sehemu" zozote.

Na kanuni ni rahisi sana. Wacha tukumbuke fomula inayorudiwa na tuiandike kwa maneno yote yaliyowekwa alama:

\[\anza(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \mwisho(patanisha)\]

Walakini, usawa huu unaweza kuandikwa tena tofauti:

\[\anza(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \mwisho(patanisha)\]

Naam, basi nini? Na ukweli kwamba masharti $((a)_(n-1))$ na $((a)_(n+1))$ yapo katika umbali sawa kutoka $((a)_(n)) $ . Na umbali huu ni sawa na $d$. Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu masharti $((a)_(n-2))$ na $((a)_(n+2))$ - pia yameondolewa kutoka $((a)_(n) )$ kwa umbali sawa na $2d$. Tunaweza kuendelea na ad infinitum, lakini maana inaonyeshwa vyema na picha

Masharti ya maendeleo yapo kwa umbali sawa kutoka katikati

Je, hii ina maana gani kwetu? Hii inamaanisha kuwa $((a)_(n))$ inaweza kupatikana ikiwa nambari za jirani zinajulikana:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+(a)_(n+1)))(2)\]

Tumepata kauli nzuri sana: kila neno la maendeleo ya hesabu ni sawa na maana ya hesabu ya maneno jirani! Zaidi ya hayo: tunaweza kurudi nyuma kutoka $((a)_(n))$ yetu kwenda kushoto na kulia sio kwa hatua moja, lakini kwa $k$ hatua - na formula bado itakuwa sahihi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+(a)_(n+k)))(2)\]

Wale. tunaweza kupata $((a)_(150))$ kwa urahisi ikiwa tunajua $((a)_(100))$ na $((a)_(200))$, kwa sababu $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa ukweli huu hautupi chochote muhimu. Walakini, katika mazoezi, shida nyingi zimeundwa mahsusi kutumia maana ya hesabu. Angalia:

Kazi Nambari 6. Pata thamani zote za $x$ ambazo nambari zake $-6((x)^(2))$, $x+1$ na $14+4((x)^(2))$ ni masharti mfululizo ya maendeleo ya hesabu (katika mpangilio ulioonyeshwa).

Suluhisho. Kwa kuwa nambari hizi ni washiriki wa mwendelezo, hali ya maana ya hesabu imeridhika kwao: kipengele cha kati $x+1$ kinaweza kuonyeshwa kulingana na vipengele vya jirani:

\[\anza(linganisha) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \mwisho(patanisha)\]

Iligeuka classic mlinganyo wa quadratic. Mizizi yake: $x=2$ na $x=-3$ ndio majibu.

Jibu: -3; 2.

Kazi Nambari 7. Tafuta thamani za $$ ambazo nambari $-1;4-3;(()^(2))+1$ huunda mwendelezo wa hesabu (kwa mpangilio huo).

Suluhisho. Wacha tueleze tena neno la kati kupitia maana ya hesabu ya maneno jirani:

\[\anza(linganisha) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kushoto| \cdot 2 \kulia.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \mwisho(patanisha)\]

Mlinganyo wa quadratic tena. Na tena kuna mizizi miwili: $x=6$ na $x=1$.

Jibu: 1; 6.

Ikiwa katika mchakato wa kutatua tatizo unakuja na namba fulani za ukatili, au huna uhakika kabisa wa usahihi wa majibu yaliyopatikana, basi kuna mbinu ya ajabu ambayo inakuwezesha kuangalia: je, tumetatua tatizo kwa usahihi?

Hebu tuseme katika tatizo nambari 6 tulipata majibu −3 na 2. Je, tunawezaje kuangalia kama majibu haya ni sahihi? Hebu tu tuziunganishe kwenye hali ya awali na tuone kitakachotokea. Acha nikukumbushe kwamba tuna nambari tatu ($-6(()^(2))$, $+1$ na $14+4(()^(2))$), ambazo lazima ziunde mwendelezo wa hesabu. Hebu tubadilishe $x=-3$:

\[\anza(linganisha) & x=-3\Mshale wa Kulia \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \mwisho(panga)\]

Tulipata nambari -54; −2; 50 ambayo inatofautiana na 52 bila shaka ni maendeleo ya hesabu. Jambo hilo hilo hufanyika kwa $x=2$:

\[\anza(linganisha) & x=2\Mshale wa Kulia \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \mwisho(panga)\]

Tena maendeleo, lakini kwa tofauti ya 27. Hivyo, tatizo lilitatuliwa kwa usahihi. Wale wanaotaka wanaweza kuangalia shida ya pili peke yao, lakini nitasema mara moja: kila kitu ni sawa huko pia.

Kwa ujumla, wakati wa kutatua shida za mwisho, tulikutana na nyingine ukweli wa kuvutia, ambayo pia inahitaji kukumbukwa:

Ikiwa nambari tatu ziko hivi kwamba ya pili ni ya kati hesabu kwanza na mwisho, basi nambari hizi huunda maendeleo ya hesabu.

Katika siku zijazo, kuelewa taarifa hii itaturuhusu "kuunda" maendeleo muhimu kulingana na hali ya shida. Lakini kabla ya kushiriki katika "ujenzi" huo, tunapaswa kuzingatia ukweli mmoja zaidi, ambao unafuata moja kwa moja kutoka kwa kile ambacho tayari kimejadiliwa.

Vipengee vya kuweka vikundi na muhtasari

Wacha turudi kwenye mhimili wa nambari tena. Wacha tuangalie washiriki kadhaa wa maendeleo, kati yao, labda. ina thamani ya wanachama wengine wengi:

Kuna vipengele 6 vilivyowekwa alama kwenye mstari wa nambari

Hebu tujaribu kueleza “mkia wa kushoto” kupitia $((a)_(n))$ na $d$, na “mkia wa kulia” kupitia $((a)_(k))$ na $d$. Ni rahisi sana:

\[\anza(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \mwisho(patanisha)\]

Sasa kumbuka kuwa viwango vifuatavyo ni sawa:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \mwisho(panga)\]

Kwa ufupi, ikiwa tunazingatia kama mwanzo vitu viwili vya mwendelezo, ambavyo kwa jumla ni sawa na nambari fulani $S$, na kisha kuanza kutoka kwa vitu hivi kwa mwelekeo tofauti (kuelekea kila mmoja au kinyume chake kusonga mbali), basi jumla ya vipengele ambavyo tutajikwaa pia vitakuwa sawa$S$. Hii inaweza kuwakilishwa kwa uwazi zaidi graphically:

Viingilio sawa hutoa kiasi sawa

Kuelewa ukweli huu kutaturuhusu kutatua shida kimsingi zaidi ngazi ya juu magumu kuliko yale tuliyozingatia hapo juu. Kwa mfano, hizi:

Kazi Nambari 8. Tambua tofauti ya maendeleo ya hesabu ambayo muda wa kwanza ni 66, na bidhaa ya maneno ya pili na ya kumi na mbili ni ndogo iwezekanavyo.

Suluhisho. Wacha tuandike kila kitu tunachojua:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \mwisho(panga)\]

Kwa hivyo, hatujui tofauti ya maendeleo $d$. Kwa kweli, suluhisho lote litajengwa karibu na tofauti, kwani bidhaa $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

\[\anza(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kushoto(66+d \kulia)\cdot \kushoto(66+11d \kulia)= \\ & =11 \cdot \kushoto(d+66 \kulia)\cdot \kushoto(d+6 \kulia). \mwisho(panga)\]

Kwa wale walio kwenye tanki: Nilichukua kizidishi jumla cha 11 kati ya mabano ya pili. Kwa hivyo, bidhaa inayotakiwa ni kazi ya quadratic kwa heshima ya kutofautiana $d$. Kwa hivyo, fikiria kazi $f\left(d \kulia)=11\left(d+66 \kulia)\left(d+6 \kulia)$ - grafu yake itakuwa parabola na matawi juu, kwa sababu. ikiwa tutapanua mabano, tunapata:

\[\anza(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \kulia)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \mwisho(align)\]

Kama unaweza kuona, mgawo wa muda wa juu ni 11 - hii ni nambari chanya, kwa hivyo tunashughulika na parabola iliyo na matawi juu:

ratiba kazi ya quadratic- parabola

Tafadhali kumbuka: parabola hii inachukua thamani yake ya chini katika kipeo chake na abscissa $((d)_(0))$. Kwa kweli, tunaweza kuhesabu abscissa hii kwa mpango wa kawaida(kuna fomula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), lakini itakuwa sawa zaidi kutambua kwamba kipeo kinachohitajika kiko kwenye mhimili wa ulinganifu wa parabola, kwa hivyo uhakika $((d) _(0))$ ni sawa kutoka kwa mizizi ya equation $f\left(d \right)=0$:

\[\anza(align) & f\left(d \kulia)=0; \\ & 11\cdot \kushoto(d+66 \kulia)\cdot \kushoto(d+6 \kulia)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2)))=-6. \\ \mwisho(patanisha)\]

Ndiyo sababu sikuwa na haraka sana kufungua mabano: kwa fomu yao ya awali, mizizi ilikuwa rahisi sana kupata. Kwa hivyo, abscissa ni sawa na maana ya hesabu ya nambari -66 na -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Nambari iliyogunduliwa inatupa nini? Pamoja nayo, bidhaa inayohitajika inachukua thamani ndogo(kwa njia, hatukuwahi kuhesabu $((y)_(\min ))$ - hii haihitajiki kwetu). Wakati huo huo, nambari hii ni tofauti ya maendeleo ya awali, i.e. tulipata jibu. :)

Jibu: -36

Kazi Nambari 9. Kati ya nambari $-\frac(1)(2)$ na $-\frac(1)(6)$ weka nambari tatu ili pamoja na nambari hizi zitengeneze maendeleo ya hesabu.

Suluhisho. Kimsingi, tunahitaji kufanya mlolongo wa nambari tano, na ya kwanza na nambari ya mwisho tayari inajulikana. Wacha tuonyeshe nambari zinazokosekana kwa vijiti $x$, $y$ na $z$:

\[\kushoto(((a)_(n)) \kulia)=\kushoto\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kulia\ )\]

Kumbuka kwamba nambari $y$ ni "katikati" ya mlolongo wetu - ni sawa na nambari $x$ na $z$, na kutoka kwa nambari $-\frac(1)(2)$ na $-\frac (1)(6)$. Na ikiwa kwa sasa hatuwezi kupata $y$ kutoka kwa nambari $x$ na $z$, basi hali ni tofauti na miisho ya mwendelezo. Wacha tukumbuke maana ya hesabu:

Sasa, tukijua $y$, tutapata nambari zilizobaki. Kumbuka kuwa $x$ iko kati ya nambari $-\frac(1)(2)$ na $y=-\frac(1)(3)$ ambazo tumezipata hivi punde. Ndiyo maana

Kwa kutumia hoja zinazofanana, tunapata nambari iliyobaki:

Tayari! Tulipata nambari zote tatu. Wacha tuandike kwa jibu kwa mpangilio ambao wanapaswa kuingizwa kati ya nambari za asili.

Jibu: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Kazi nambari 10. Kati ya nambari 2 na 42, ingiza nambari kadhaa ambazo, pamoja na nambari hizi, huunda ukuaji wa hesabu, ikiwa unajua kuwa jumla ya nambari ya kwanza, ya pili na ya mwisho ya nambari zilizoingizwa ni 56.

Suluhisho. Tatizo ngumu zaidi, ambalo, hata hivyo, linatatuliwa kulingana na mpango sawa na uliopita - kupitia maana ya hesabu. Shida ni kwamba hatujui ni nambari ngapi zinazohitajika kuingizwa. Kwa hiyo, hebu tufikirie kwa uhakika kwamba baada ya kuingiza kila kitu kutakuwa na nambari za $ n$ hasa, na ya kwanza ni 2, na ya mwisho ni 42. Katika kesi hii, maendeleo ya hesabu yanayotakiwa yanaweza kuwakilishwa kwa fomu:

\[\kushoto(((a)_(n)) \kulia)=\kushoto\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kulia\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Kumbuka, hata hivyo, kwamba nambari $((a)_(2))$ na $((a)_(n-1))$ zinapatikana kutoka kwa nambari 2 na 42 kwenye kingo kwa hatua moja kuelekea nyingine. yaani. katikati ya mlolongo. Na hii ina maana kwamba

\[((a)_(2))+(a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakini basi usemi ulioandikwa hapo juu unaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \kushoto(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kulia)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kujua $((a)_(3))$ na $((a)_(1))$, tunaweza kupata kwa urahisi tofauti ya mwendelezo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kushoto(3-1 \kulia)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Kulia d=5. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kilichobaki ni kupata masharti yaliyobaki:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdoti 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo, tayari katika hatua ya 9 tutafika mwisho wa kushoto wa mlolongo - nambari 42. Kwa jumla, nambari 7 tu zilipaswa kuingizwa: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jibu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Matatizo ya neno na maendeleo

Kwa kumalizia, ningependa kuzingatia michache ya kiasi kazi rahisi. Kweli, rahisi kama hiyo: kwa wanafunzi wengi wanaosoma hisabati shuleni na hawajasoma yaliyoandikwa hapo juu, shida hizi zinaweza kuonekana kuwa ngumu. Walakini, hizi ni aina za shida zinazoonekana katika OGE na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, kwa hivyo ninapendekeza ujitambue.

Kazi nambari 11. Timu ilitoa sehemu 62 mnamo Januari, na katika kila mwezi uliofuata walitoa sehemu 14 zaidi kuliko mwezi uliopita. Timu ilitoa sehemu ngapi mnamo Novemba?

Suluhisho. Kwa wazi, idadi ya sehemu zilizoorodheshwa kwa mwezi zitawakilisha ongezeko la hesabu. Aidha:

\[\anza(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kushoto(n-1 \kulia)\cdoti 14. \\ \mwisho(patanisha)\]

Novemba ni mwezi wa 11 wa mwaka, kwa hivyo tunahitaji kupata $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdoti 14=202\]

Kwa hivyo, sehemu 202 zitatolewa mnamo Novemba.

Kazi nambari 12. Warsha ya kuweka vitabu ilifunga vitabu 216 katika Januari, na katika kila mwezi uliofuata ilifunga vitabu 4 zaidi kuliko mwezi uliopita. Warsha ilifunga vitabu vingapi mwezi Desemba?

Suluhisho. Yote sawa:

$\anza(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kushoto(n-1 \kulia)\cdoti 4. \\ \mwisho(align)$

Desemba ni mwezi wa mwisho, wa 12 wa mwaka, kwa hivyo tunatafuta $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdoti 4=260\]

Hili ndilo jibu - vitabu 260 vitafungwa mwezi Desemba.

Kweli, ikiwa umesoma hadi sasa, nina haraka kukupongeza: umemaliza kwa mafanikio "kozi ya mpiganaji mchanga" katika maendeleo ya hesabu. Unaweza kuendelea kwa usalama kwenye somo linalofuata, ambapo tutasoma fomula ya jumla ya maendeleo, pamoja na matokeo muhimu na muhimu sana kutoka kwayo.

Watu wengine huchukulia neno "maendeleo" kwa tahadhari, kama neno ngumu sana kutoka kwa sehemu hisabati ya juu. Wakati huo huo, maendeleo rahisi zaidi ya hesabu ni kazi ya mita ya teksi (ambapo bado ipo). Na kuelewa kiini (na katika hisabati hakuna kitu muhimu zaidi kuliko "kuelewa kiini") cha mlolongo wa hesabu sio ngumu sana, baada ya kuchambua dhana chache za kimsingi.

Mlolongo wa nambari za hisabati

Mlolongo wa nambari kawaida huitwa safu ya nambari, ambayo kila moja ina nambari yake.

a 1 ni mwanachama wa kwanza wa mlolongo;

na 2 ni muda wa pili wa mlolongo;

na 7 ni mshiriki wa saba wa mfuatano huo;

na n ni mwanachama wa nth wa mlolongo;

Walakini, sio seti yoyote ya nambari na nambari inayotuvutia. Tutazingatia mfuatano wa nambari ambapo thamani ya neno la nth inahusiana na nambari yake ya kawaida kwa uhusiano ambao unaweza kutengenezwa kwa uwazi kimahesabu. Kwa maneno mengine: thamani ya nambari ya nambari ya nth ni kazi fulani ya n.

a ni thamani ya mwanachama wa mlolongo wa nambari;

n - yake nambari ya serial;

f(n) ni chaguo la kukokotoa, ambapo nambari ya mpangilio katika mfuatano wa nambari n ndiyo hoja.

Ufafanuzi

Kuendelea kwa hesabu kwa kawaida huitwa mfuatano wa nambari ambapo kila neno linalofuata ni kubwa (chini) kuliko la awali kwa nambari sawa. Fomula ya muhula wa nth wa mlolongo wa hesabu ni kama ifuatavyo:

a n - thamani ya mwanachama wa sasa wa maendeleo ya hesabu;

n+1 - formula ya nambari inayofuata;

d - tofauti (idadi fulani).

Ni rahisi kuamua kwamba ikiwa tofauti ni chanya (d>0), basi kila mwanachama anayefuata wa mfululizo unaozingatiwa atakuwa mkubwa zaidi kuliko uliopita na maendeleo hayo ya hesabu yatakuwa yanaongezeka.

Katika grafu hapa chini ni rahisi kuona kwa nini mlolongo wa nambari inayoitwa "kuongezeka".

Katika hali ambapo tofauti ni hasi (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Thamani ya mwanachama iliyobainishwa

Wakati mwingine ni muhimu kuamua thamani ya neno lolote la kiholela a n ya maendeleo ya hesabu. Hii inaweza kufanywa kwa kuhesabu sequentially maadili ya wanachama wote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya kwanza hadi ya taka. Hata hivyo, njia hii haikubaliki kila wakati ikiwa, kwa mfano, ni muhimu kupata thamani ya muda wa elfu tano au milioni nane. Mahesabu ya jadi yatachukua muda mwingi. Hata hivyo, maendeleo maalum ya hesabu yanaweza kusomwa kwa kutumia fomula fulani. Pia kuna fomula ya muhula wa nth: thamani ya neno lolote la kuendelea kwa hesabu inaweza kuamuliwa kama jumla ya muhula wa kwanza wa mwendelezo na tofauti ya mwendelezo, ikizidishwa na idadi ya muhula unaotaka, kupunguzwa kwa moja.

Fomula ni ya ulimwengu wote kwa ajili ya kuongeza na kupunguza maendeleo.

Mfano wa kuhesabu thamani ya neno fulani

Wacha tutatue shida ifuatayo ya kupata thamani ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu.

Hali: kuna maendeleo ya hesabu na vigezo:

Muda wa kwanza wa mlolongo ni 3;

Tofauti katika safu ya nambari ni 1.2.

Kazi: unahitaji kupata thamani ya maneno 214

Suluhisho: kuamua thamani ya neno fulani, tunatumia fomula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Kubadilisha data kutoka kwa taarifa ya shida hadi usemi, tunayo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Jibu: Muda wa 214 wa mlolongo ni sawa na 258.6.

Faida za njia hii ya hesabu ni dhahiri - suluhisho lote huchukua si zaidi ya mistari 2.

Jumla ya idadi fulani ya masharti

Mara nyingi sana, katika safu fulani ya hesabu, inahitajika kuamua jumla ya maadili ya baadhi ya sehemu zake. Ili kufanya hivyo, pia hakuna haja ya kuhesabu maadili ya kila neno na kisha kuziongeza. Njia hii inatumika ikiwa idadi ya maneno ambayo jumla yake inahitaji kupatikana ni ndogo. Katika hali nyingine, ni rahisi zaidi kutumia formula ifuatayo.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu kutoka 1 hadi n ni sawa na jumla ya maneno ya kwanza na ya nth, yanayozidishwa na idadi ya neno n na kugawanywa na mbili. Ikiwa katika fomula thamani ya neno la nth inabadilishwa na usemi kutoka kwa aya iliyotangulia ya kifungu, tunapata:

Mfano wa hesabu

Kwa mfano, wacha tutatue shida na hali zifuatazo:

Muda wa kwanza wa mlolongo ni sifuri;

Tofauti ni 0.5.

Shida inahitaji kuamua jumla ya masharti ya safu kutoka 56 hadi 101.

Suluhisho. Wacha tutumie fomula ya kuamua kiwango cha maendeleo:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Kwanza, tunaamua jumla ya maadili ya masharti 101 ya maendeleo kwa kubadilisha masharti tuliyopewa ya shida yetu kwenye fomula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Ni wazi, ili kujua jumla ya masharti ya maendeleo kutoka 56 hadi 101, ni muhimu kutoa S 55 kutoka S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kwa hivyo, jumla ya maendeleo ya hesabu kwa mfano huu ni:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Mfano wa matumizi ya vitendo ya maendeleo ya hesabu

Mwishoni mwa makala, hebu turudi kwa mfano wa mlolongo wa hesabu iliyotolewa katika aya ya kwanza - taximeter (mita ya gari la teksi). Hebu tufikirie mfano huu.

Kupanda teksi (ambayo ni pamoja na kilomita 3 za kusafiri) hugharimu rubles 50. Kila kilomita inayofuata inalipwa kwa kiwango cha rubles 22 / km. Umbali wa kusafiri ni kilomita 30. Kuhesabu gharama ya safari.

1. Hebu tuondoe kilomita 3 za kwanza, bei ambayo ni pamoja na gharama ya kutua.

30 - 3 = 27 km.

2. Hesabu zaidi si chochote zaidi ya kuchanganua mfululizo wa nambari za hesabu.

Nambari ya mwanachama - idadi ya kilomita zilizosafiri (ondoa tatu za kwanza).

Thamani ya mwanachama ni jumla.

Neno la kwanza katika tatizo hili litakuwa sawa na 1 = 50 rubles.

Tofauti ya maendeleo d = 22 r.

nambari tunayopendezwa nayo ni thamani ya muda wa (27+1) wa maendeleo ya hesabu - usomaji wa mita mwishoni mwa kilomita 27 ni 27.999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Mahesabu ya data ya kalenda kwa muda mrefu bila mpangilio yanategemea fomula zinazoelezea mfuatano fulani wa nambari. Katika astronomia, urefu wa obiti inategemea kijiometri kwa umbali wa mwili wa mbinguni hadi nyota. Kwa kuongezea, safu kadhaa za nambari hutumiwa kwa mafanikio katika takwimu na maeneo mengine yaliyotumika ya hesabu.

Aina nyingine ya mlolongo wa nambari ni kijiometri

Uendelezaji wa kijiometri una sifa ya viwango vikubwa vya mabadiliko ikilinganishwa na maendeleo ya hesabu. Sio bahati mbaya kwamba katika siasa, sosholojia, na dawa, ili kuonyesha kasi kubwa ya kuenea kwa jambo fulani, kwa mfano, ugonjwa wakati wa janga, wanasema kwamba mchakato unaendelea katika maendeleo ya kijiometri.

Neno la Nth la safu ya nambari za kijiometri hutofautiana na ile ya awali kwa kuwa inazidishwa na nambari fulani ya mara kwa mara - dhehebu, kwa mfano, neno la kwanza ni 1, denominator ni sawa na 2, basi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - thamani ya muda wa sasa wa maendeleo ya kijiometri;

b n + 1 - formula ya muda unaofuata wa maendeleo ya kijiometri;

q ni denominator ya maendeleo ya kijiometri (idadi ya mara kwa mara).

Ikiwa grafu ya maendeleo ya hesabu ni mstari wa moja kwa moja, basi maendeleo ya kijiometri huchora picha tofauti kidogo:

Kama ilivyo kwa hesabu, kuendelea kwa kijiometri kuna fomula ya thamani ya neno la kiholela. Muhula wowote wa nth wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na bidhaa ya muhula wa kwanza na denominator ya kuendelea kwa nguvu ya n kupunguzwa kwa moja:

Mfano. Tuna maendeleo ya kijiometri na muhula wa kwanza sawa na 3 na denominator ya maendeleo sawa na 1.5. Wacha tupate muhula wa 5 wa mwendelezo

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Jumla ya idadi fulani ya maneno pia huhesabiwa kwa kutumia fomula maalum. Jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri ni sawa na tofauti kati ya bidhaa ya muhula wa nth wa maendeleo na denominator yake na muda wa kwanza wa maendeleo, umegawanywa na denominator iliyopunguzwa na moja:

Ikiwa b n itabadilishwa kwa kutumia fomula iliyojadiliwa hapo juu, thamani ya jumla ya masharti ya n ya safu ya nambari inayozingatiwa itachukua fomu:

Mfano. Mwendelezo wa kijiometri huanza na muhula wa kwanza sawa na 1. Kiashiria kimewekwa kuwa 3. Hebu tutafute jumla ya maneno nane ya kwanza.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Wazo la mlolongo wa nambari linamaanisha kwamba kila nambari asilia inalingana na thamani fulani halisi. Msururu kama huo wa nambari unaweza kuwa wa kiholela au kuwa na mali fulani - maendeleo. Katika kesi ya mwisho, kila kipengele kinachofuata (mwanachama) cha mlolongo kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia uliopita.

Ukuaji wa hesabu ni mlolongo wa nambari za nambari ambazo washiriki wake wa karibu hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa nambari sawa (vitu vyote vya safu, kuanzia ya 2, vina mali sawa). Nambari hii - tofauti kati ya maneno ya awali na yafuatayo - ni mara kwa mara na inaitwa tofauti ya maendeleo.

Tofauti ya maendeleo: ufafanuzi

Fikiria mlolongo unaojumuisha j thamani A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ni ya seti ya nambari asili N. Hesabu kuendelea, kulingana na ufafanuzi wake, ni mfuatano , ambapo a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Thamani d ndiyo tofauti inayotakikana ya mwendelezo huu.

d = a(j) – a(j-1).

Kuonyesha:

• Mwendelezo unaoongezeka, ambapo d > 0. Mfano: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Kupungua kwa maendeleo, basi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Maendeleo ya tofauti na vipengele vyake vya kiholela

Ikiwa masharti 2 ya kiholela ya maendeleo yanajulikana (i-th, k-th), basi tofauti ya mlolongo fulani inaweza kuamua kulingana na uhusiano:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ambayo ina maana d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Tofauti ya maendeleo na muhula wake wa kwanza

Usemi huu utasaidia kuamua thamani isiyojulikana tu katika hali ambapo nambari ya kipengele cha mlolongo inajulikana.

Tofauti ya maendeleo na jumla yake

Jumla ya mwendelezo ni jumla ya masharti yake. Ili kuhesabu jumla ya thamani ya vipengele vyake vya kwanza vya j, tumia fomula inayofaa:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakini tangu a(j) = a(1) + d(j – 1), kisha S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Hesabu na maendeleo ya kijiometri

Taarifa za kinadharia

Taarifa za kinadharia

	Maendeleo ya hesabu	Maendeleo ya kijiometri
Ufafanuzi	Maendeleo ya hesabu n ni mfuatano ambao kila mwanachama, kuanzia wa pili, ni sawa na mshiriki wa awali aliyeongezwa kwa nambari sawa d (d- tofauti ya maendeleo)	Maendeleo ya kijiometri b n ni mlolongo wa nambari zisizo sifuri, kila neno ambalo, kuanzia la pili, ni sawa na neno la awali lililozidishwa na nambari sawa. q (q- dhehebu la maendeleo)
Fomula ya kurudia	Kwa asili yoyote n a n + 1 = a n + d	Kwa asili yoyote n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Muhula wa nth	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Mali ya tabia
Jumla ya masharti n ya kwanza

Mifano ya kazi na maoni

Zoezi 1

Katika maendeleo ya hesabu ( n) a 1 = -6, a 2

Kulingana na fomula ya neno la nth:

ya 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Kwa hali:

a 1= -6, basi ya 22= -6 + 21 d.

Inahitajika kupata tofauti za maendeleo:

d = a 2 - 1 = -8 – (-6) = -2

ya 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Jibu: ya 22 = -48.

Jukumu la 2

Pata muda wa tano wa maendeleo ya kijiometri: -3; 6;....

Njia ya 1 (kwa kutumia fomula ya n-term)

Kulingana na fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Kwa sababu b 1 = -3,

Njia ya 2 (kwa kutumia fomula inayorudiwa)

Kwa kuwa dhehebu la mwendelezo ni -2 (q = -2), basi:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Jibu: b 5 = -48.

Jukumu la 3

Katika maendeleo ya hesabu ( n) a 74 = 34; ya 76= 156. Tafuta muhula wa sabini na tano wa mwendelezo huu.

Kwa maendeleo ya hesabu, mali ya tabia ina fomu .

Kwa hivyo:

.

Wacha tubadilishe data kwenye fomula:

Jibu: 95.

Jukumu la 4

Katika maendeleo ya hesabu ( a n) n= 3n - 4. Tafuta jumla ya maneno kumi na saba ya kwanza.

Ili kupata jumla ya masharti ya n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu, fomula mbili hutumiwa:

.

Ambayo ni katika kwa kesi hii rahisi zaidi kutumia?

Kwa hali, fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya asili inajulikana ( n) n= 3n - 4. Unaweza kupata mara moja na a 1, Na ya 16 bila kupata d. Kwa hiyo, tutatumia fomula ya kwanza.

Jibu: 368.

Jukumu la 5

Katika maendeleo ya hesabu ( n) a 1 = -6; a 2= -8. Tafuta muhula wa ishirini na mbili wa mwendelezo.

Kulingana na fomula ya neno la nth:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Kwa hali, ikiwa a 1= -6, basi ya 22= -6 + 21d . Inahitajika kupata tofauti za maendeleo:

d = a 2 - 1 = -8 – (-6) = -2

ya 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Jibu: ya 22 = -48.

Jukumu la 6

Maneno kadhaa mfululizo ya maendeleo ya kijiometri yameandikwa:

Tafuta neno la muendelezo lenye lebo x.

Wakati wa kutatua, tutatumia fomula ya neno la nth b n = b 1 ∙ q n - 1 kwa maendeleo ya kijiometri. Awamu ya kwanza ya maendeleo. Ili kupata dhehebu la uendelezaji q, unahitaji kuchukua masharti yoyote ya uendelezaji na ugawanye na ya awali. Katika mfano wetu, tunaweza kuchukua na kugawanya kwa. Tunapata hiyo q = 3. Badala ya n, tunabadilisha 3 katika fomula, kwani ni muhimu kupata muda wa tatu wa maendeleo ya kijiometri iliyotolewa.

Kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula, tunapata:

.

Jibu:.

Jukumu la 7

Kutoka kwa maendeleo ya hesabu yaliyotolewa na fomula ya neno la nth, chagua moja ambayo hali imeridhika ya 27 > 9:

Kwa kuwa sharti lililotolewa lazima litimizwe kwa muhula wa 27 wa kuendelea, tunabadilisha 27 badala ya n katika kila moja ya hatua nne. Katika hatua ya 4 tunapata:

.

Jibu: 4.

Jukumu la 8

Katika maendeleo ya hesabu a 1= 3, d = -1.5. Bainisha thamani ya juu n ambayo ukosefu wa usawa unashikilia n > -6.

Maendeleo ya hesabu taja mlolongo wa nambari (masharti ya mwendelezo)

Ambayo kila neno linalofuata hutofautiana na lile lililotangulia kwa neno jipya, ambalo pia huitwa tofauti ya hatua au maendeleo.

Kwa hivyo, kwa kubainisha hatua ya maendeleo na muda wake wa kwanza, unaweza kupata vipengele vyake vyovyote kwa kutumia fomula

Tabia za maendeleo ya hesabu

1) Kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia nambari ya pili, ndio maana ya hesabu ya washiriki wa awali na wanaofuata wa maendeleo.

Mazungumzo pia ni ya kweli. Ikiwa maana ya hesabu ya masharti yasiyo ya kawaida (hata) yanayokaribiana ya mwendelezo ni sawa na neno linalosimama kati yao, basi mlolongo huu wa nambari ni mwendelezo wa hesabu. Kutumia taarifa hii, ni rahisi sana kuangalia mlolongo wowote.

Pia, kwa mali ya maendeleo ya hesabu, fomula iliyo hapo juu inaweza kujumuishwa kwa jumla kwa zifuatazo

Hii ni rahisi kuthibitisha ikiwa utaandika masharti upande wa kulia wa ishara sawa

Mara nyingi hutumiwa katika mazoezi ili kurahisisha mahesabu katika matatizo.

2) Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu huhesabiwa kwa kutumia fomula

Kumbuka vizuri formula ya jumla ya maendeleo ya hesabu; ni muhimu katika mahesabu na mara nyingi hupatikana katika hali rahisi za maisha.

3) Ikiwa unahitaji kupata sio jumla nzima, lakini sehemu ya mlolongo kuanzia muda wake wa kth, basi fomula ifuatayo itakuwa na manufaa kwako.

4) Ya manufaa ya vitendo ni kutafuta jumla ya masharti n ya mwendelezo wa hesabu kuanzia nambari ya kth. Ili kufanya hivyo, tumia formula

Juu ya hili nyenzo za kinadharia mwisho na tunaendelea na kutatua matatizo ya kawaida kwa vitendo.

Mfano 1. Tafuta muhula wa arobaini wa maendeleo ya hesabu 4;7;...

Suluhisho:

Kulingana na hali tuliyo nayo

Wacha tuamue hatua ya maendeleo

Kwa kutumia fomula inayojulikana sana, tunapata muhula wa arobaini wa kuendelea

Mfano 2. Maendeleo ya hesabu hutolewa na muhula wake wa tatu na saba. Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo na jumla ya kumi.

Suluhisho:

Hebu tuandike vipengele vilivyotolewa vya maendeleo kwa kutumia fomula

Tunaondoa kwanza kutoka kwa equation ya pili, kwa matokeo tunapata hatua ya maendeleo

Tunabadilisha thamani iliyopatikana katika milinganyo yoyote ili kupata muhula wa kwanza wa kuendelea kwa hesabu

Tunahesabu jumla ya masharti kumi ya kwanza ya maendeleo

Bila kutumia mahesabu magumu, tulipata kiasi kinachohitajika.

Mfano 3. Maendeleo ya hesabu hutolewa na denominator na mojawapo ya masharti yake. Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo, jumla ya masharti yake 50 kuanzia 50 na jumla ya 100 za kwanza.

Suluhisho:

Hebu tuandike fomula ya kipengele cha mia cha maendeleo

na kupata wa kwanza

Kulingana na ya kwanza, tunapata muhula wa 50 wa maendeleo

Kupata jumla ya sehemu ya maendeleo

na jumla ya 100 za kwanza

Kiasi cha maendeleo ni 250.

Mfano 4.

Tafuta idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu ikiwa:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Suluhisho:

Wacha tuandike milinganyo kulingana na muhula wa kwanza na hatua ya kuendelea na tuamue

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula ya jumla ili kuamua idadi ya maneno katika jumla

Tunafanya kurahisisha

na kutatua equation ya quadratic

Kati ya maadili mawili yaliyopatikana, nambari 8 tu inafaa hali ya shida. Kwa hivyo, jumla ya masharti nane ya kwanza ya mwendelezo ni 111.

Mfano 5.

Tatua mlinganyo

1+3+5+...+x=307.

Suluhisho: Mlinganyo huu ni jumla ya maendeleo ya hesabu. Wacha tuandike muhula wake wa kwanza na tupate tofauti katika maendeleo

Rudi