Maagizo
Ikiwa unahitaji kupata cosine pembe katika pembetatu ya kiholela, unahitaji kutumia theorem ya cosine:
ikiwa pembe ni ya papo hapo: cos? = (a2 + b2 - c2)/(2ab);
ikiwa pembe: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), ambapo a, b ni urefu wa pande zilizo karibu na kona, c ni urefu wa upande ulio kinyume na kona.
Nukuu za hisabati cosine - cos.
Thamani ya cosine haiwezi kuwa kubwa kuliko 1 na chini ya -1.
Vyanzo:
- jinsi ya kuhesabu cosine ya pembe
- Kazi za trigonometric kwenye duara ya kitengo
Cosine ni kazi ya msingi ya trigonometriki ya pembe. Uwezo wa kuamua cosine ni muhimu katika aljebra ya vekta wakati wa kuamua makadirio ya vekta kwenye shoka mbalimbali.
Maagizo
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
Kuna pembetatu yenye pande a, b, c sawa na 3, 4, 5 mm, kwa mtiririko huo.
Tafuta kosini pembe kati ya pande kubwa.
Wacha tuonyeshe pembe iliyo kinyume na upande a na?, basi, kulingana na fomula inayotolewa hapo juu, tunayo:
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8
Jibu: 0.8.
Ikiwa pembetatu ni pembe ya kulia, basi kupata kosini na kwa pembe inatosha kujua urefu wa pande zote mbili tu ( kosini pembe ya kulia ni 0).
Hebu kuwe na pembetatu ya kulia yenye pande a, b, c, ambapo c ni hypotenuse.
Hebu fikiria chaguzi zote:
Tafuta cos?, ikiwa urefu wa pande a na b (ya pembetatu) hujulikana
Wacha tutumie nadharia ya Pythagorean:
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
Ili kuhakikisha kuwa fomula inayotokana ni sahihi, tunaibadilisha kutoka kwa mfano 1, i.e.
Baada ya kufanya mahesabu kadhaa ya msingi, tunapata:
Vile vile kupatikana kosini katika mstatili pembetatu katika hali zingine:
Inajulikana a na c (hypotenuse na upande wa kinyume), kupata cos?
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Kubadilisha maadili a=3 na c=5 kutoka kwa mfano, tunapata:
Inajulikana b na c (hypotenuse na mguu wa karibu).
Tafuta cos?
Baada ya kufanya mabadiliko sawa (yaliyoonyeshwa katika mifano 2 na 3), tunapata hiyo katika kesi hii kosini V pembetatu kuhesabiwa kwa kutumia formula rahisi sana:
Unyenyekevu wa formula inayotokana inaweza kuelezewa kwa urahisi: kwa kweli, karibu na kona? mguu ni makadirio ya hypotenuse, urefu wake ni sawa na urefu wa hypotenuse unaozidishwa na cos?.
Kubadilisha maadili b=4 na c=5 kutoka kwa mfano wa kwanza, tunapata:
Hii ina maana kwamba fomula zetu zote ni sahihi.
Kidokezo cha 5: Jinsi ya kupata pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia
Moja kwa moja kaboni Pembetatu labda ni moja ya maarufu zaidi, kutoka kwa mtazamo wa kihistoria, maumbo ya kijiometri. "Suruali" ya Pythagorean inaweza tu kushindana na "Eureka!" Archimedes.
Utahitaji
- - kuchora ya pembetatu;
- - mtawala;
- - protractor
Maagizo
Jumla ya pembe za pembetatu ni digrii 180. Katika mstatili pembetatu pembe moja (moja kwa moja) itakuwa daima digrii 90, na wengine ni papo hapo, i.e. chini ya digrii 90 kila moja. Kuamua ni angle gani iliyo katika mstatili pembetatu ni sawa, tumia rula kupima pande za pembetatu na kuamua kubwa zaidi. Ni hypotenuse (AB) na iko kinyume na pembe ya kulia (C). Pande mbili zilizobaki huunda pembe ya kulia na miguu (AC, BC).
Mara tu unapoamua ni pembe gani iliyo kali, unaweza kutumia protractor kuhesabu pembe kwa kutumia fomula za hisabati.
Kuamua pembe kwa kutumia protractor, panga sehemu yake ya juu (hebu tuionyeshe na herufi A) na alama maalum kwenye mtawala katikati ya protractor; mguu wa AC unapaswa kuendana na makali yake ya juu. Weka alama kwenye sehemu ya nusu duara ya protractor mahali ambapo hypotenuse AB. Thamani katika hatua hii inalingana na pembe katika digrii. Ikiwa kuna maadili 2 yaliyoonyeshwa kwenye protractor, basi kwa pembe ya papo hapo unahitaji kuchagua ndogo, kwa pembe ya obtuse - kubwa zaidi.
Pata thamani inayotokana na vitabu vya marejeleo vya Bradis na ubaini ni pembe gani thamani ya nambari inayotokana inalingana. Bibi zetu walitumia njia hii.
Kwa upande wetu, inatosha kuchukua na kazi ya hesabu fomula za trigonometric. Kwa mfano, kikokotoo cha Windows kilichojengwa. Fungua programu ya "Calculator", katika kipengee cha menyu ya "Tazama", chagua "Uhandisi". Piga hesabu ya sine ya pembe inayotaka, kwa mfano, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5
Badili kikokotoo hadi modi ya utendakazi ya kinyume kwa kubofya kitufe cha INV kwenye onyesho la kikokotoo, kisha ubofye kitufe cha utendakazi cha arcsine (kilichoonyeshwa kwenye onyesho kama sin minus ya nguvu ya kwanza). Ujumbe unaofuata utaonekana kwenye dirisha la hesabu: asind (0.5) = 30. I.e. thamani ya pembe inayotaka ni digrii 30.
Vyanzo:
- Meza za Bradis (sines, cosines)
Nadharia ya cosine katika hisabati hutumiwa mara nyingi wakati inahitajika kupata upande wa tatu wa pembe na pande mbili. Hata hivyo, wakati mwingine hali ya tatizo imewekwa kwa njia nyingine kote: unahitaji kupata angle na kupewa pande tatu.
Maagizo
Fikiria kwamba unapewa pembetatu ambayo urefu wa pande mbili na thamani ya pembe moja hujulikana. Pembe zote za pembetatu hii si sawa kwa kila mmoja, na pande zake pia ni tofauti kwa ukubwa. Angle γ iko kinyume na upande wa pembetatu, iliyoteuliwa AB, ambayo ni takwimu hii. Kupitia pembe hii, na vile vile kupitia pande zilizobaki za AC na BC, unaweza kupata upande wa pembetatu ambao haujulikani kwa kutumia theorem ya cosine, ukipata fomula iliyowasilishwa hapa chini:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ambapo a=BC, b=AB, c=AC
Nadharia ya cosine inaitwa vinginevyo nadharia ya jumla ya Pythagorean.
Sasa fikiria kwamba pande zote tatu za takwimu zinatolewa, lakini angle yake γ haijulikani. Kwa kujua kwamba umbo a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, badilisha usemi huu ili thamani inayotaka iwe pembe γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Kisha weka mlinganyo ulio hapo juu katika umbo tofauti kidogo: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Usemi huu unapaswa kugeuzwa kuwa ulio hapa chini: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Kinachobaki ni kubadilisha nambari kwenye fomula na kufanya mahesabu.
Ili kupata cosine, iliyoashiria γ, lazima ionyeshwa kwa suala la kinyume cha trigonometry, inayoitwa arc cosine. Arc cosine ya nambari m ni thamani ya pembe γ ambayo cosine ya angle γ ni sawa na m. Chaguo za kukokotoa y=arccos m zinapungua. Hebu fikiria, kwa mfano, kwamba cosine ya angle γ ni sawa na nusu moja. Kisha pembe γ inaweza kufafanuliwa kupitia arc cosine kama ifuatavyo:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60 °, ambapo m = 1/2.
Vivyo hivyo, unaweza kupata pembe zilizobaki za pembetatu na pande zake zingine mbili zisizojulikana.
Sine na cosine ni kazi mbili za trigonometric zinazoitwa "moja kwa moja". Ndio ambao wanapaswa kuhesabiwa mara nyingi zaidi kuliko wengine, na kutatua tatizo hili leo kila mmoja wetu ana chaguo kubwa la chaguzi. Chini ni baadhi ya wengi njia rahisi.
Maagizo
Tumia protractor, penseli, na kipande cha karatasi ikiwa hakuna njia nyingine ya kuhesabu inapatikana. Moja ya ufafanuzi wa cosine hutolewa kwa suala la pembe za papo hapo katika pembetatu ya kulia - ni sawa na uwiano kati ya urefu wa mguu kinyume na angle hii na urefu. Chora pembetatu ambayo moja ya pembe iko kulia (90°) na nyingine ni pembe unayotaka kukokotoa. Urefu wa pande haijalishi - chora kwa njia ambayo ni rahisi kwako kupima. Pima urefu wa mguu unaotaka na hypotenuse na ugawanye wa kwanza na wa pili kwa kutumia yoyote kwa njia inayofaa.
Tumia faida ya thamani ya vitendaji vya trigonometric kwa kutumia kikokotoo kilichojengwa ndani ya injini ya utafutaji ya Nigma ikiwa una ufikiaji wa mtandao. Kwa mfano, ikiwa unahitaji kuhesabu cosine ya angle ya 20 °, kisha baada ya kupakia ukurasa kuu wa huduma http://nigma.ru, ingiza "cosine 20" kwenye uwanja wa swala la utafutaji na ubofye "Tafuta! ” kitufe. Unaweza kuacha "digrii" na kubadilisha neno "cosine" na cos - kwa hali yoyote, injini ya utafutaji itaonyesha matokeo sahihi kwa maeneo 15 ya decimal (0.939692620785908).
Fungua programu ya kawaida iliyowekwa na mfumo wa uendeshaji Mfumo wa Windows, ikiwa hakuna ufikiaji wa Mtandao. Unaweza kufanya hivyo, kwa mfano, kwa kusisitiza wakati huo huo funguo za kushinda na r, kisha uingie amri ya calc na kubofya kitufe cha OK. Ili kuhesabu kazi za trigonometric, hapa kuna kiolesura kinachoitwa "uhandisi" au "kisayansi" (kulingana na toleo la OS) - chagua kipengee unachotaka katika sehemu ya "Angalia" ya menyu ya kikokotoo. Baada ya hayo, ingiza thamani ya pembe na ubofye kitufe cha cos kwenye kiolesura cha programu.
Video kwenye mada
Kidokezo cha 8: Jinsi ya Kubainisha Pembe katika Pembetatu ya Kulia
Rectangular ina sifa ya mahusiano fulani kati ya pembe na pande. Kujua maadili ya baadhi yao, unaweza kuhesabu wengine. Kwa kusudi hili, formula hutumiwa, kulingana, kwa upande wake, juu ya axioms na theorems ya jiometri.
Trigonometry, kama sayansi, ilitoka Mashariki ya Kale. Uwiano wa kwanza wa trigonometric ulitolewa na wanaastronomia ili kuunda kalenda sahihi na mwelekeo wa nyota. Mahesabu haya yanahusiana na trigonometry ya spherical, wakati katika kozi ya shule wanasoma uwiano wa pande na pembe za pembetatu ya ndege.
Trigonometry ni tawi la hisabati ambalo hujishughulisha na sifa za kazi za trigonometriki na uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu.
Wakati wa enzi ya utamaduni na sayansi katika milenia ya 1 BK, ujuzi ulienea kutoka Mashariki ya Kale hadi Ugiriki. Lakini uvumbuzi kuu wa trigonometry ni sifa ya waume Ukhalifa wa Kiarabu. Hasa, mwanasayansi wa Turkmen al-Marazwi alianzisha kazi kama vile tangent na cotangent, na akakusanya majedwali ya kwanza ya maadili ya sines, tangents na cotangent. Dhana za sine na cosine zilianzishwa na wanasayansi wa Kihindi. Trigonometry ilipokea umakini mwingi katika kazi za takwimu kubwa za zamani kama Euclid, Archimedes na Eratosthenes.
Kiasi cha msingi cha trigonometry
Kazi za msingi za trigonometriki za hoja ya nambari ni sine, kosine, tanjiti, na cotangent. Kila mmoja wao ana grafu yake mwenyewe: sine, cosine, tangent na cotangent.
Njia za kuhesabu maadili ya idadi hii ni msingi wa nadharia ya Pythagorean. Inajulikana zaidi kwa watoto wa shule katika uundaji: "Suruali ya Pythagorean ni sawa kwa pande zote," kwa kuwa uthibitisho hutolewa kwa kutumia mfano wa pembetatu ya kulia ya isosceles.
Sine, cosine na mahusiano mengine huanzisha uhusiano kati ya pembe za papo hapo na pande za pembetatu yoyote ya kulia. Wacha tuwasilishe fomula za kukokotoa idadi hizi kwa pembe A na tufuatilie uhusiano kati ya vitendaji vya trigonometric:
Kama unaweza kuona, tg na ctg ni utendaji kinyume. Ikiwa tutafikiria mguu a kama bidhaa ya dhambi A na hypotenuse c, na mguu b kama cos A * c, tunapata fomula zifuatazo za tangent na cotangent:
Mduara wa Trigonometric
Kielelezo, uhusiano kati ya idadi iliyotajwa inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:
Mzunguko, ndani kwa kesi hii, inawakilisha kila kitu maadili iwezekanavyo angle α - kutoka 0 ° hadi 360 °. Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kila kazi inachukua hasi au thamani chanya kulingana na ukubwa wa pembe. Kwa mfano, dhambi α itakuwa na ishara "+" ikiwa α ni ya robo ya 1 na 2 ya mduara, yaani, iko katika safu kutoka 0 ° hadi 180 °. Kwa α kutoka 180 ° hadi 360 ° (robo III na IV), dhambi α inaweza tu kuwa thamani hasi.
Hebu jaribu kujenga meza za trigonometric kwa pembe maalum na kujua maana ya kiasi.
Maadili ya α sawa na 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° na kadhalika huitwa kesi maalum. Maadili ya kazi za trigonometric kwao huhesabiwa na kuwasilishwa kwa namna ya meza maalum.
Pembe hizi hazikuchaguliwa kwa nasibu. Jina π katika majedwali ni la radiani. Rad ni pembe ambayo urefu wa arc ya duara inalingana na radius yake. Thamani hii ilianzishwa ili kuanzisha utegemezi wa ulimwengu wote; wakati wa kuhesabu katika radiani, urefu halisi wa radius katika cm haijalishi.
Pembe katika jedwali za vitendaji vya trigonometriki zinalingana na maadili ya radian:
Kwa hivyo, si vigumu kukisia kwamba 2π ni duara kamili au 360 °.
Sifa za kazi za trigonometric: sine na cosine
Ili kuzingatia na kulinganisha mali ya msingi ya sine na cosine, tangent na cotangent, ni muhimu kuteka kazi zao. Hii inaweza kufanywa kwa namna ya curve iliyo katika mfumo wa kuratibu wa pande mbili.
Fikiria meza ya kulinganisha mali ya sine na cosine:
| Wimbi la sine | Cosine |
|---|---|
| y = dhambi x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| dhambi x = 0, kwa x = πk, ambapo k ϵ Z | cos x = 0, kwa x = π/2 + πk, ambapo k ϵ Z |
| dhambi x = 1, kwa x = π/2 + 2πk, ambapo k ϵ Z | cos x = 1, saa x = 2πk, ambapo k ϵ Z |
| dhambi x = - 1, saa x = 3π/2 + 2πk, ambapo k ϵ Z | cos x = - 1, kwa x = π + 2πk, ambapo k ϵ Z |
| dhambi (-x) = - dhambi x, yaani kazi ni isiyo ya kawaida | cos (-x) = cos x, yaani kazi ni sawa |
| kazi ni ya mara kwa mara, kipindi kidogo ni 2π | |
| sin x › 0, na x inayomilikiwa na robo ya 1 na 2 au kutoka 0° hadi 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pamoja na x inayomilikiwa na sehemu ya I na IV au kutoka 270° hadi 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pamoja na x mali ya robo ya tatu na ya nne au kutoka 180° hadi 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pamoja na x inayomilikiwa na robo ya 2 na 3 au kutoka 90° hadi 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| kuongezeka kwa muda [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | huongezeka kwa muda [-π + 2πk, 2πk] |
| hupungua kwa vipindi [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | hupungua kwa vipindi |
| derivative (dhambi x)’ = cos x | derivative (cos x)’ = - dhambi x |
Kuamua kama kipengele cha kukokotoa ni sawa au la ni rahisi sana. Inatosha kufikiria mduara wa trigonometric na ishara za idadi ya trigonometric na kiakili "kunja" grafu inayohusiana na mhimili wa OX. Ikiwa ishara zinapatana, kazi ni hata, vinginevyo ni isiyo ya kawaida.
Utangulizi wa radiani na uorodheshaji wa sifa za kimsingi za mawimbi ya sine na cosine huturuhusu kuwasilisha muundo ufuatao:
Ni rahisi sana kuthibitisha kuwa fomula ni sahihi. Kwa mfano, kwa x = π/2, sine ni 1, kama ilivyo kosine ya x = 0. Ukaguzi unaweza kufanywa kwa majedwali ya kushauriana au kwa kufuatilia mikondo ya utendaji kwa thamani fulani.
Mali ya tangentsoids na cotangentsoids
Grafu za kazi za tanjiti na kotanjenti hutofautiana kwa kiasi kikubwa kutoka kwa vitendaji vya sine na kosine. Thamani za tg na ctg ni maelewano ya kila mmoja.
- Y = jua x.
- Tanjiti huelekea kwa thamani za y kwa x = π/2 + πk, lakini haizifikii kamwe.
- Kipindi kidogo chanya cha tangentoid ni π.
- Tg (- x) = - tg x, yaani kazi ni isiyo ya kawaida.
- Tg x = 0, kwa x = πk.
- Utendaji unaongezeka.
- Tg x › 0, kwa x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, kwa x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Nyingi (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Zingatia taswira ya mchoro ya kotangentoid iliyo hapa chini kwenye maandishi.
Tabia kuu za cotangentoids:
- Y = kitanda x.
- Tofauti na kazi za sine na cosine, katika tangentoid Y inaweza kuchukua maadili ya seti ya nambari zote halisi.
- Cotangentoid ina mwelekeo wa thamani za y kwa x = πk, lakini haifikii kamwe.
- Kipindi kidogo chanya cha cotangentoid ni π.
- Ctg (- x) = - ctg x, yaani kazi ni isiyo ya kawaida.
- Ctg x = 0, kwa x = π/2 + πk.
- Kitendaji kinapungua.
- Ctg x › 0, kwa x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, kwa x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Nyingi (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Sahihi
Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe ni nini itakusaidia kuelewa pembetatu sahihi.
Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia (kwa mfano wetu hii ni upande \(AC\)); miguu ni pande mbili zilizobaki \(AB\) na \(BC\) (zilizo karibu na pembe ya kulia), na, ikiwa tunazingatia miguu inayohusiana na pembe \(BC\), basi mguu \(AB\) ni mguu wa karibu, na mguu \(BC\) ni kinyume chake. Kwa hiyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ni nini?
Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.
Katika pembetatu yetu:
\[ \dhambi \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.
Katika pembetatu yetu:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangent ya pembe- hii ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) kwa karibu (karibu).
Katika pembetatu yetu:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).
Katika pembetatu yetu:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya katika nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent Na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus Na kosini. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:
Cosine→gusa→gusa→karibu;
Cotangent→gusa→gusa→karibu.
Kwanza kabisa, unahitaji kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kwani uwiano wa pande za pembetatu hautegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe sawa). Usiamini? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:
Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe \(\beta \) . Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe \(\beta \) kutoka kwa pembetatu \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.
Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na uimarishe!
Kwa pembetatu \ (ABC \) iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata \(\dhambi \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\anza(safu)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\\alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\mwisho(safu) \)
Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe \(\beta \) .
Majibu: \(\dhambi \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Mduara wa kitengo (trigonometric).
Kwa kuelewa dhana za digrii na radiani, tulizingatia mduara wenye kipenyo sawa na \(1\) . Mzunguko kama huo unaitwa single. Itakuwa muhimu sana wakati wa kusoma trigonometry. Kwa hiyo, hebu tuangalie kwa undani zaidi.
Kama unaweza kuona, mduara huu umejengwa ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu Radi ya duara ni sawa na moja, wakati katikati ya duara iko kwenye asili ya kuratibu, nafasi ya awali ya vekta ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\) (kwa mfano wetu, hii. ni radius \(AB\)).
Kila nukta kwenye duara inalingana na nambari mbili: kuratibu kando ya mhimili \(x\) na kuratibu kando ya mhimili wa \(y\). Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu \(ACG\) . Ni ya mstatili kwa sababu \(CG\) inaendana na mhimili \(x\) .
\(\cos \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni nini? Hiyo ni sawa \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Kwa kuongeza, tunajua kwamba \(AC\) ni radius ya duara ya kitengo, ambayo ina maana \(AC=1\) . Hebu tubadilishe thamani hii katika fomula yetu ya cosine. Hiki ndicho kinachotokea:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(\dhambi \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni sawa na nini? Naam, bila shaka, \(\dhambi \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Badilisha thamani ya radius \(AC\) kwenye fomula hii na upate:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Kwa hivyo, unaweza kusema ni nini kinachoratibu hatua \(C\) ya mduara inayo? Naam, hakuna njia? Je, ikiwa utagundua kuwa \(\cos \ \alpha \) na \(\sin \alpha \) ni nambari tu? \(\cos \alpha \) inalingana na kuratibu gani? Kweli, kwa kweli, kuratibu \(x\)! Na \(\sin \ alpha \) inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, ratibu \(y\)! Hivyo uhakika \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Je, basi \(tg \alpha \) na \(ctg \alpha \) ni sawa na nini? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi unaolingana wa tangent na cotangent na tupate hiyo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Kwa mfano, kama kwenye picha hii:
Nini kimebadilika katika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, hebu tugeuke tena kwenye pembetatu ya kulia. Zingatia pembetatu ya kulia \((A)_(1))((C)_(1))G \) : pembe (inayopakana na pembe \(\beta \) ). Ni nini thamani ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kwa pembe \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Hiyo ni kweli, tunafuata ufafanuzi unaolingana wa kazi za trigonometric:
\(\anza(safu)(l)\sin \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\pembe ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\mwisho(safu) \)
Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu \(y\) ; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu \(x\) ; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.
Imetajwa tayari kuwa nafasi ya awali ya vekta ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\). Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya thamani fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.
Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius kuzunguka duara ni \(360()^\circ \) au \(2\pi \) . Je, inawezekana kuzungusha vekta ya radius na \(390()^\circ \) au kwa \(-1140()^\circ \)? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kwa hivyo, vekta ya radius itafanya mapinduzi moja kamili na kusimama kwenye nafasi \(30()^\circ \) au \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Katika kesi ya pili, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaani, vekta ya radius itafanya mapinduzi matatu kamili na kuacha kwenye nafasi \(-60()^\circ \) au \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu tunaweza kuhitimisha kuwa pembe ambazo hutofautiana na \(360()^\circ \cdot m \) au \(2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari yoyote), yanahusiana na nafasi sawa ya vector ya radius.
Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha pembe \(\beta =-60()^\circ \) . Picha sawa inalingana na kona \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) na kadhalika. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa na formula ya jumla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) au \(\beta +2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari kamili)
\(\anza(safu)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\mwisho(safu) \)
Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu maadili ni nini:
\(\anza(safu)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\dhambi \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\mwisho(safu) \)
Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:
Je, una matatizo? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:
\(\anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\mwisho(safu)\)
Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: kona ndani \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) inalingana na hatua iliyo na kuratibu \(\left(0;1 \right) \) , kwa hivyo:
\(\ dhambi 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- haipo;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki hiyo hiyo, tunagundua kuwa pembe ndani \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ ) yanahusiana na pointi na kuratibu \(\kushoto(-1;0 \kulia),\text( )\kushoto(0;-1 \kulia),\text( )\left(1;0 \kulia),\text( )\left(0 ;1 \kulia) \), kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazofanana. Jaribu mwenyewe kwanza, na kisha uangalie majibu.
Majibu:
\(\mtindo wa maonyesho \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\mtindo wa maonyesho \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\\pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- haipo
\(\dhambi \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- haipo
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\dhambi \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- haipo
\(\dhambi \ 450()^\circ =\sin \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\dhambi \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- haipo
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:
Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:
\(\kushoto. \anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\mwisho(safu) \kulia\)\ \maandishi(Lazima ukumbuke au uweze kuionyesha!! \) !}
Lakini maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) kama inavyoonyeshwa kwenye jedwali hapa chini, lazima ukumbuke:
Usiogope, sasa tutakuonyesha mfano mmoja wa kukariri kwa urahisi kwa maadili yanayolingana:
Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pamoja na thamani ya tangent ya pembe katika \(30()^\circ \) . Kujua maadili haya \(4\) ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:
\(\anza(safu)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \mwisho(safu) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ukijua hili, unaweza kurejesha maadili ya \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Nambari "\(1 \)" italingana na \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) na denominata "\(\sqrt(\text(3)) \)" italingana na \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mchoro na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka tu \(4\) maadili kutoka kwa meza.
Kuratibu za nukta kwenye duara
Je, inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye mduara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko? Naam, bila shaka unaweza! Wacha tupate fomula ya jumla ya kupata viwianishi vya nukta. Kwa mfano, hapa kuna duara mbele yetu:
Tunapewa hatua hiyo \(K(((x)_(0)));((y)_(0)))=K(3;2) \)- katikati ya mduara. Radi ya mduara ni \(1.5\) . Ni muhimu kupata kuratibu za uhakika \(P\) zilizopatikana kwa kuzungusha uhakika \(O\) na \(\delta \) digrii.
Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu \(x\) ya nukta \(P\) inalingana na urefu wa sehemu \(TP=UQ=UK+KQ\) . Urefu wa sehemu \(UK\) inalingana na kuratibu \(x\) ya katikati ya duara, yaani, ni sawa na \(3\) . Urefu wa sehemu \(KQ\) unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
Halafu tunayo hiyo kwa uhakika \(P\) kuratibu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Kwa kutumia mantiki sawa, tunapata thamani ya y kuratibu kwa uhakika \(P\) . Hivyo,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Kwa hivyo, katika mtazamo wa jumla kuratibu za pointi imedhamiriwa na fomula:
\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \mwisho(safu) \), Wapi
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - kuratibu za katikati ya duara,
\(r\) - radius ya duara,
\(\delta \) - angle ya mzunguko wa radius ya vector.
Kama unavyoona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sawa na sifuri na radius ni sawa na moja:
\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \mwisho(safu) \)
Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!
Katika makala hii tutaonyesha jinsi ya kutoa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe na nambari katika trigonometria. Hapa tutazungumza juu ya nukuu, kutoa mifano ya maingizo, na kutoa vielelezo vya picha. Kwa kumalizia, hebu tuchore usawa kati ya ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent katika trigonometry na jiometri.
Urambazaji wa ukurasa.
Ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent
Wacha tuone jinsi wazo la sine, cosine, tangent na cotangent linaundwa katika kozi ya hesabu ya shule. Katika masomo ya jiometri, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia hutolewa. Na baadaye trigonometry inasomwa, ambayo inazungumzia sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko na namba. Wacha tuwasilishe ufafanuzi huu wote, tutoe mifano na tutoe maoni muhimu.
Pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia
Kutoka kwa kozi ya jiometri tunajua ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia. Zinatolewa kama uwiano wa pande za pembetatu ya kulia. Wacha tutoe muundo wao.
Ufafanuzi.
Sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse.
Ufafanuzi.
Cosine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Ufafanuzi.
Tangenti ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia- hii ni uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.
Ufafanuzi.
Cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia- hii ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.
Majina ya sine, cosine, tangent na cotangent pia yanaletwa hapo - sin, cos, tg na ctg, mtawaliwa.
Kwa mfano, ikiwa ABC ni pembetatu ya kulia yenye pembe ya kulia C, basi sine ya pembe ya papo hapo A ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume BC na hypotenuse AB, yaani, sin∠A=BC/AB.
Ufafanuzi huu hukuruhusu kuhesabu maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya papo hapo kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu ya kulia, na vile vile kutoka. maadili yanayojulikana tafuta urefu wa pande nyingine kwa kutumia sine, kosine, tanjiti, kotanji na urefu wa moja ya pande. Kwa mfano, ikiwa tungejua kuwa katika pembetatu ya kulia mguu AC ni sawa na 3 na hypotenuse AB ni sawa na 7, basi tunaweza kuhesabu thamani ya cosine ya pembe ya papo hapo A kwa ufafanuzi: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Pembe ya mzunguko
Katika trigonometry, wanaanza kuangalia angle kwa upana zaidi - wao huanzisha dhana ya angle ya mzunguko. Ukubwa wa pembe ya mzunguko, tofauti na pembe ya papo hapo, sio tu kwa digrii 0 hadi 90; pembe ya mzunguko katika digrii (na katika radiani) inaweza kuonyeshwa kwa nambari yoyote halisi kutoka -∞ hadi +∞.
Kwa mwanga huu, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent hutolewa si ya angle ya papo hapo, lakini ya angle ya ukubwa wa kiholela - angle ya mzunguko. Zinatolewa kupitia viwianishi vya x na y vya hatua A 1, ambayo kinachojulikana kama hatua ya kuanzia A (1, 0) huenda baada ya kuzunguka kwa pembe α karibu na hatua O - mwanzo wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. na katikati ya mzunguko wa kitengo.
Ufafanuzi.
Sine ya pembe ya mzungukoα ni mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y.
Ufafanuzi.
Cosine ya pembe ya mzungukoα inaitwa abscissa ya uhakika A 1, yaani, cosα=x.
Ufafanuzi.
Tangenti ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa uwiano wa nukta A 1 kwa abscissa yake, yaani, tanα=y/x.
Ufafanuzi.
Cotangent ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 kwa kuratibu yake, yaani, ctgα=x/y.
Sine na cosine hufafanuliwa kwa angle yoyote α, kwa kuwa tunaweza daima kuamua abscissa na kuratibu ya uhakika, ambayo hupatikana kwa kuzunguka hatua ya kuanzia kwa angle α. Lakini tangent na cotangent haijafafanuliwa kwa pembe yoyote. Tangenti haijafafanuliwa kwa pembe α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi hatua yenye sifuri abscissa (0, 1) au (0, -1), na hii hutokea kwa pembe 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Hakika, katika pembe kama hizo za mzunguko, usemi tgα=y/x hauna maana, kwani una mgawanyiko kwa sifuri. Kuhusu kotanjiti, haijafafanuliwa kwa pembe α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi mahali na kuratibu sifuri (1, 0) au (-1, 0), na hii hutokea kwa pembe 180° k, k ∈Z. (π·k rad).
Kwa hivyo, sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote za mzunguko, tanjiti hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), na kotangent imefafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 180° ·k. , k∈Z (π·k rad).
Ufafanuzi huo ni pamoja na majina ambayo tayari tunajulikana sisi sin, cos, tg na ctg, pia hutumiwa kuteua sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya mzunguko (wakati mwingine unaweza kupata majina tan na cot sambamba na tanjiti na cotangent) . Kwa hivyo sine ya pembe ya mzunguko ya digrii 30 inaweza kuandikwa kama sin30°, maingizo tg(-24°17′) na ctgα yanahusiana na tanjiti ya pembe ya mzunguko -24 digrii dakika 17 na cotangent ya pembe ya mzunguko α. . Kumbuka kwamba wakati wa kuandika kipimo cha radian cha pembe, jina "rad" mara nyingi huachwa. Kwa mfano, kosine ya pembe ya mzunguko ya pi rad tatu kwa kawaida huashiria cos3·π.
Kwa kumalizia hatua hii, ni muhimu kuzingatia kwamba wakati wa kuzungumza juu ya sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko, maneno "pembe ya mzunguko" au neno "mzunguko" mara nyingi huachwa. Hiyo ni, badala ya maneno "sine ya pembe ya mzunguko alpha," maneno "sine ya pembe ya alpha" au hata mfupi zaidi, "sine alpha," hutumiwa kwa kawaida. Hali hiyo hiyo inatumika kwa cosine, tangent na cotangent.
Tutasema pia kwamba fasili za sine, kosine, tanjiti na kotanji za pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia zinapatana na ufafanuzi ambao umetolewa hivi punde wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe ya mzunguko kuanzia digrii 0 hadi 90. Tutahalalisha hili.
Nambari
Ufafanuzi.
Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t ni nambari sawa na sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe ya mzunguko katika t radiani, mtawalia.
Kwa mfano, kosine ya nambari 8·π kwa ufafanuzi ni nambari sawa na kosine ya pembe ya 8·π rad. Na kosine ya pembe ya 8·π rad ni sawa na moja, kwa hivyo, kosine ya nambari 8·π ni sawa na 1.
Kuna mbinu nyingine ya kubainisha sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Inajumuisha ukweli kwamba kila nambari halisi t inahusishwa na hatua kwenye mduara wa kitengo na kituo katika asili ya mfumo wa kuratibu wa mstatili, na sine, cosine, tangent na cotangent imedhamiriwa kupitia kuratibu za hatua hii. Hebu tuangalie hili kwa undani zaidi.
Wacha tuonyeshe jinsi mawasiliano yanaanzishwa kati ya nambari halisi na vidokezo kwenye duara:
- nambari 0 imepewa sehemu ya kuanzia A (1, 0);
- nambari chanya t inahusishwa na hatua ya mzunguko wa kitengo, ambayo tutapata ikiwa tunasonga kando ya mduara kutoka kwa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na kutembea kwa urefu wa t;
- nambari hasi t inahusishwa na hatua ya mduara wa kitengo, ambayo tutapata ikiwa tunasonga kando ya mduara kutoka mahali pa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na kutembea kwa urefu |t| .
Sasa tunaendelea na ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya nambari t. Wacha tuchukue kuwa nambari t inalingana na nukta kwenye duara A 1 (x, y) (kwa mfano, nambari &pi/2; inalingana na nukta A 1 (0, 1) ).
Ufafanuzi.
Sine ya nambari t ni mratibu wa nukta kwenye duara la kitengo sambamba na nambari t, yaani, sint=y.
Ufafanuzi.
Cosine ya nambari t inaitwa abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, gharama = x.
Ufafanuzi.
Tangenti ya nambari t ni uwiano wa kuratibu na abscissa ya uhakika kwenye mzunguko wa kitengo unaofanana na namba t, yaani, tgt=y/x. Katika uundaji mwingine sawa, tanjenti ya nambari t ni uwiano wa sine ya nambari hii kwa kosine, yaani, tgt=sint/cost.
Ufafanuzi.
Cotangent ya nambari t ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu ya hatua kwenye mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, ctgt=x/y. Uundaji mwingine ni huu: tanjiti ya nambari t ni uwiano wa kosine ya nambari t hadi sine ya nambari t: ctgt=cost/sint.
Hapa tunaona kwamba fasili zilizotolewa hivi punde zinapatana na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa aya hii. Hakika, hatua kwenye mduara wa kitengo sambamba na nambari t inafanana na hatua iliyopatikana kwa kuzungusha mahali pa kuanzia kwa pembe ya t radians.
Bado inafaa kufafanua jambo hili. Tuseme tuna dhambi ya kuingia3. Tunawezaje kuelewa ikiwa tunazungumza kuhusu sine ya nambari 3 au sine ya pembe ya mzunguko ya radiani 3? Hii kawaida ni wazi kutoka kwa muktadha, vinginevyo inaweza kuwa sio ya umuhimu wa kimsingi.
Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari
Kulingana na ufafanuzi uliotolewa katika aya iliyotangulia, kila pembe ya mzunguko α inalingana kabisa thamani maalum sinα ni sawa na thamani ya cosα. Kwa kuongezea, pembe zote za mzunguko zaidi ya 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zinalingana na thamani za tgα, na thamani zingine zaidi ya 180°k, k∈Z (πk rad ) - thamani. ya ctgA. Kwa hiyo sinα, cosα, tanα na ctgα ni kazi za pembe α. Kwa maneno mengine, hizi ni kazi za hoja ya angular.
Tunaweza kuzungumza vivyo hivyo kuhusu sifa za sine, kosine, tanjiti na cotangent ya hoja ya nambari. Hakika, kila nambari halisi t inalingana na thamani maalum ya sint, pamoja na gharama. Kwa kuongezea, nambari zote zaidi ya π/2+π · K, k∈Z zinahusiana na maadili TGT, na nambari π · K, k∈Z - maadili CTGT.
Kazi za sine, kosine, tangent na cotangent zinaitwa kazi za msingi za trigonometric.
Kwa kawaida huwa wazi kutokana na muktadha iwapo tunashughulikia utendaji wa trigonometriki za hoja ya angular au hoja ya nambari. Vinginevyo, tunaweza kufikiria tofauti huru kama kipimo cha pembe (hoja ya angular) na hoja ya nambari.
Walakini, shuleni tunasoma kazi za nambari, ambayo ni, kazi ambazo hoja zao, pamoja na maadili yao ya kazi yanayolingana, ni nambari. Kwa hivyo, ikiwa tunazungumza haswa juu ya kazi, basi inashauriwa kuzingatia kazi za trigonometric kama kazi za hoja za nambari.
Uhusiano kati ya ufafanuzi kutoka kwa jiometri na trigonometry
Ikiwa tutazingatia pembe ya mzunguko α kuanzia digrii 0 hadi 90, basi ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya mzunguko katika muktadha wa trigonometria yanawiana kikamilifu na ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya an. pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia, ambayo hutolewa katika kozi ya jiometri. Hebu kuhalalisha hili.
Wacha tuonyeshe mduara wa kitengo katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili wa Oxy. Wacha tuweke alama mahali pa kuanzia A(1, 0) . Wacha tuizungushe kwa pembe α kuanzia digrii 0 hadi 90, tunapata uhakika A 1 (x, y). Wacha tuachane na perpendicular A 1 H kutoka kwa uhakika A 1 hadi mhimili wa Ox.
Ni rahisi kuona kwamba katika pembetatu ya kulia A 1 OH sawa na pembe mzunguko α, urefu wa mguu OH ulio karibu na pembe hii ni sawa na abscissa ya uhakika A 1, yaani, |OH|=x, urefu wa mguu A 1 H kinyume na kona ni sawa na kuratibu ya uhakika A 1, yaani, |A 1 H|=y, na urefu wa hypotenuse OA 1 ni sawa na moja, kwa kuwa ni kipenyo cha duara la kitengo. Kisha, kwa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya pembe ya papo hapo α katika pembetatu ya kulia A 1 OH ni sawa na uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, yaani, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Na kwa ufafanuzi kutoka trigonometria, sine ya pembe ya mzunguko α ni sawa na mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y. Hii inaonyesha kuwa kubainisha sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni sawa na kubainisha sine ya pembe ya mzunguko α wakati α ni kutoka digrii 0 hadi 90.
Vile vile, inaweza kuonyeshwa kuwa ufafanuzi wa cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo α ni sawa na ufafanuzi wa cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko α.
Bibliografia.
- Jiometri. 7-9 darasa: kitabu cha maandishi kwa elimu ya jumla taasisi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, nk]. - toleo la 20. M.: Elimu, 2010. - 384 p.: mgonjwa. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Jiometri: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 7-9. elimu ya jumla taasisi / A. V. Pogorelov. - Toleo la 2 - M.: Elimu, 2001. - 224 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra na kazi za msingi : Mafunzo kwa wanafunzi wa darasa la 9 sekondari/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Imehaririwa na Daktari wa Sayansi ya Kimwili na Hisabati O. N. Golovin. - 4th ed. M.: Elimu, 1969.
- Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
- Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - toleo la 14 - M.: Elimu, 2004 - 384 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A.G. Algebra na mwanzo wa uchambuzi. Daraja la 10. Saa 2 uk Sehemu ya 1: mafunzo kwa taasisi za elimu(kiwango cha wasifu)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Toleo la 4., ongeza. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Aljebra na kuanza uchambuzi wa hisabati. Daraja la 10: kitabu cha maandishi. kwa elimu ya jumla taasisi: msingi na wasifu. viwango /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; imehaririwa na A. B. Zhizhchenko. - Toleo la 3. - I.: Elimu, 2010.- 368 p.: mgonjwa.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.
Mhadhara: Sine, kosine, tangent, cotangent ya pembe ya kiholela
Sine, cosine ya pembe ya kiholela
Ili kuelewa kazi za trigonometric ni nini, hebu tuangalie mduara na radius ya kitengo. Mduara huu una kituo katika asili kwenye ndege ya kuratibu. Kuamua kazi zilizotolewa tutatumia vekta ya radius AU, ambayo huanza katikati ya duara, na uhakika R ni hatua kwenye mduara. Vekta ya radius huunda alfa ya pembe yenye mhimili OH. Kwa kuwa mduara una radius, sawa na moja, Hiyo AU = R = 1.
Ikiwa kutoka kwa uhakika R punguza perpendicular kwa mhimili OH, basi tunapata pembetatu sahihi na hypotenuse sawa na moja.
Ikiwa vector ya radius inakwenda saa, basi mwelekeo huu unaitwa hasi, ikiwa inasonga kinyume cha saa - chanya.
Sine ya pembe AU, ni mratibu wa uhakika R vekta kwenye mduara.
Hiyo ni, ili kupata thamani ya sine ya alpha ya pembe fulani, ni muhimu kuamua kuratibu U juu ya uso.
Vipi thamani iliyopewa ilipokelewa? Kwa kuwa tunajua kuwa sine ya pembe ya kiholela katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu ulio kinyume na hypotenuse, tunapata hiyo.
Na tangu R=1, Hiyo dhambi(α) = y 0 .
Katika mduara wa kitengo, thamani ya kuratibu haiwezi kuwa chini ya -1 na kubwa kuliko 1, ambayo ina maana
Sine inachukua thamani chanya katika robo ya kwanza na ya pili ya duara ya kitengo, na hasi katika tatu na nne.
Cosine ya pembe mduara uliotolewa unaoundwa na vekta ya radius AU, ni abscissa ya uhakika R vekta kwenye mduara.
Hiyo ni, ili kupata thamani ya cosine ya alpha ya angle iliyotolewa, ni muhimu kuamua kuratibu X juu ya uso.
Cosine ya pembe ya kiholela katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse, tunapata hiyo.
Na tangu R=1, Hiyo cos(α) = x 0 .
Katika mduara wa kitengo, thamani ya abscissa haiwezi kuwa chini ya -1 na kubwa kuliko 1, ambayo ina maana
Cosine inachukua thamani chanya katika robo ya kwanza na ya nne ya mzunguko wa kitengo, na hasi katika pili na ya tatu.
Tangentipembe ya kiholela Uwiano wa sine na kosine huhesabiwa.
Ikiwa tunazingatia pembetatu ya kulia, basi hii ni uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu. Ikiwa tunazungumzia juu ya mduara wa kitengo, basi hii ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa.
Kwa kuzingatia mahusiano haya, inaweza kueleweka kuwa tangent haiwezi kuwepo ikiwa thamani ya abscissa ni sifuri, yaani, kwa pembe ya digrii 90. Tangenti inaweza kuchukua maadili mengine yote.
Tangent ni chanya katika robo ya kwanza na ya tatu ya mzunguko wa kitengo, na hasi katika pili na ya nne.