Kila sayansi inayoendelea nadharia ya jumla anuwai ya matukio, ina idadi ya dhana za kimsingi ambazo msingi wake ni. Vile, kwa mfano, katika jiometri ni dhana za uhakika, mstari wa moja kwa moja, mstari; katika mechanics - dhana ya nguvu, wingi, kasi, kuongeza kasi, nk. Kwa kawaida, sio dhana zote za kimsingi zinaweza kufafanuliwa kwa ukali, kwani kufafanua dhana kunamaanisha kuipunguza kwa zingine, zinazojulikana zaidi. Kwa wazi, mchakato wa kufafanua dhana fulani kupitia wengine lazima uishie mahali fulani, kufikia dhana za msingi zaidi ambazo wengine wote hupunguzwa na ambazo wenyewe hazijafafanuliwa kwa ukali, lakini zinaelezewa tu.
Dhana hizo za kimsingi pia zipo katika nadharia ya uwezekano. Kama ya kwanza kati ya haya, tunatanguliza dhana ya tukio.
Katika nadharia ya uwezekano, "tukio" linaeleweka kama ukweli wowote ambao unaweza kutokea au kutotokea kama matokeo ya uzoefu.
Hapa kuna mifano ya matukio:
A - kuonekana kwa kanzu ya silaha wakati wa kutupa sarafu;
B - kuonekana kwa kanzu tatu za silaha wakati sarafu inapigwa mara tatu;
C - kugonga lengo wakati wa kufukuzwa;
D - kuonekana kwa ace wakati kadi imeondolewa kwenye staha;
E - kugundua kitu wakati wa mzunguko mmoja wa skanning ya rada;
F - kukatika kwa nyuzi ndani ya saa ya operesheni ya kitanzi.
Kuzingatia matukio hapo juu, tunaona kwamba kila mmoja wao ana kiwango fulani cha uwezekano: baadhi zaidi, wengine chini, na kwa baadhi ya matukio haya tunaweza kuamua mara moja ni nani kati yao ni zaidi na ambayo haiwezekani. Kwa mfano, ni wazi mara moja kwamba tukio A linawezekana zaidi kuliko B na D. Kuhusu matukio C, E na F, hitimisho sawa haziwezi kutolewa mara moja; Kwa kufanya hivyo, itakuwa muhimu kufafanua hali ya majaribio. Njia moja au nyingine, ni wazi kwamba kila moja ya matukio haya ina kiwango fulani cha uwezekano. Ili kulinganisha kwa kiasi kikubwa matukio na kila mmoja kulingana na kiwango cha uwezekano wao, ni wazi, ni muhimu kuhusishwa na kila tukio. nambari fulani, ambayo ni kubwa zaidi tukio linawezekana. Tutaita nambari hii uwezekano wa tukio.
Kwa hivyo, tulianzisha kwa kuzingatia dhana ya pili ya msingi ya nadharia ya uwezekano - dhana ya uwezekano wa tukio. Uwezekano wa tukio ni kipimo cha nambari cha kiwango cha uwezekano wa lengo la tukio hili.
Kumbuka kwamba hata kwa kuanzishwa sana kwa dhana ya uwezekano wa tukio, tunahusisha maana fulani ya vitendo na dhana hii, yaani: kulingana na uzoefu, tunazingatia matukio hayo ambayo hutokea mara nyingi zaidi kuwa yanawezekana zaidi; uwezekano mdogo - wale ambao karibu kamwe kutokea. Kwa hivyo, dhana ya uwezekano wa tukio inahusishwa kimsingi na wazo la uzoefu, la vitendo la mzunguko wa tukio.
Wakati wa kulinganisha matukio tofauti na kila mmoja kulingana na kiwango cha uwezekano wao, lazima tuanzishe aina fulani ya kitengo cha kipimo. Ni kawaida kuchukua uwezekano wa tukio la kuaminika kama kitengo cha kipimo, i.e. tukio ambalo ni lazima litokee kutokana na uzoefu. Mfano wa tukio la kuaminika ni safu ya si zaidi ya pointi 6 wakati wa kutupa moja kete.
Ikiwa tunapeana uwezekano wa tukio fulani, sawa na moja, basi matukio mengine yote - iwezekanavyo, lakini si ya kuaminika - yatakuwa na sifa ya uwezekano chini ya moja, inayojumuisha sehemu fulani ya moja.
Kinyume cha tukio fulani ni tukio lisilowezekana, i.e. tukio ambalo haliwezi kutokea katika uzoefu fulani. Mfano wa tukio lisilowezekana ni kuonekana kwa pointi 12 wakati wa kutupa kete moja. Ni kawaida kugawa uwezekano wa sifuri kwa tukio lisilowezekana.
Kwa hivyo, kitengo cha kipimo cha uwezekano kimeanzishwa - uwezekano wa tukio la kuaminika - na anuwai ya mabadiliko katika uwezekano wa matukio yoyote - nambari kutoka 0 hadi 1.
1. Matukio ya nasibu
Nadharia ya uwezekano ni tawi la hisabati ambalo husoma mifumo ya matukio mengi ya nasibu.
Tukio ambalo tukio lake haliwezi kuhakikishwa linaitwa nasibu. Nasibu ya tukio imedhamiriwa na sababu nyingi ambazo zipo kwa makusudi, lakini haiwezekani kuzizingatia zote, pamoja na kiwango cha ushawishi wao kwenye tukio linalojifunza. Matukio hayo ya nasibu ni pamoja na: kupata nambari fulani wakati wa kutupa kete, kushinda bahati nasibu, idadi ya wagonjwa wanaofanya miadi na daktari, nk.
Na ingawa katika kila kesi maalum ni ngumu kutabiri matokeo ya mtihani, na idadi kubwa ya uchunguzi inawezekana kuanzisha uwepo wa muundo fulani. Wakati wa kutupa sarafu, utaona kwamba idadi ya vichwa na mikia inayoonekana ni takriban sawa, na wakati wa kutupa kete, nyuso tofauti pia zinaonekana, takriban sawa. Hii inaonyesha kuwa matukio ya nasibu yana mifumo yao wenyewe, lakini yanaonekana tu na idadi kubwa ya majaribio. Usahihi wa hii inathibitishwa na sheria ya idadi kubwa, ambayo ni msingi wa nadharia ya uwezekano.
Wacha tuzingatie masharti na dhana za kimsingi za nadharia ya uwezekano.
Mtihani ni seti ya masharti ambayo tukio fulani la nasibu linaweza kutokea.
Tukio - ni ukweli kwamba, masharti fulani yanapofikiwa, yanaweza kutokea au yasitokee. Matukio yanawakilisha kwa herufi kubwa Alfabeti ya Kilatini A, B, C...
Kwa mfano, tukio A- kuzaliwa kwa mvulana, tukio KATIKA - kushinda bahati nasibu, tukio C - nambari ya 4 ikianguka wakati wa kutupa kufa.
Matukio yanaweza kuaminika, yasiyowezekana na ya nasibu.
Tukio la kuaminika- hii ni tukio ambalo lazima litokee kama matokeo ya mtihani.
Kwa mfano, ikiwa kwenye kete pande zote sita . weka namba 1, kisha kuonekana kwa namba 1 wakati wa kutupa kete ni tukio la kuaminika.
Tukio lisilowezekana - ni tukio ambalo haliwezi kutokea kutokana na mtihani.
Kwa mfano, katika mfano uliojadiliwa hapo awali, hii ni mwonekano wa nambari yoyote isipokuwa 1.
Tukio la nasibu ni tukio ambalo linaweza kutokea au lisitokee wakati wa majaribio. Matukio fulani yanatekelezwa na uwezekano mbalimbali.
Kwa mfano, Mvua inatarajiwa kunyesha kesho alasiri. Katika mfano huu, kuja kwa siku ni mtihani, na kunyesha kwa mvua ni tukio la nasibu.
Matukio hayo yanaitwa haziendani, ikiwa, kama matokeo ya mtihani huu, kuonekana kwa mmoja wao hakujumuishi kuonekana kwa mwingine.
Kwa mfano, Wakati wa kupiga sarafu, kupata vichwa na mikia kwa wakati mmoja ni matukio yasiyolingana.
Matukio hayo yanaitwa pamoja, ikiwa, kama matokeo ya mtihani huu, kuonekana kwa mmoja wao hakuzuii kuonekana kwa mwingine.
Kwa mfano, Wakati wa kucheza kadi, kuonekana kwa jack na spades ni matukio ya pamoja.
Matukio hayo yanaitwa inawezekana sawa, isipokuwa kuna sababu ya kuamini kwamba mmoja wao hutokea mara nyingi zaidi kuliko mwingine!
Kwa mfano, Kupoteza kwa upande wowote wa kufa ni tukio linalowezekana sawa.
Fomu ya matukio kundi kamili la matukio, ikiwa angalau mmoja wao ana uhakika wa kutokea kama matokeo ya mtihani na zote mbili kati yao haziendani.
Kwa mfano, Kwa mikwaju 10 kwa lengo, mipigo 0 hadi 10 inawezekana. Wakati wa kutupa kufa, nambari kutoka 1 hadi 6 inaweza kuonekana. Matukio haya huunda kikundi kamili.
Matukio yaliyojumuishwa katika kundi kamili la matukio yasiyolingana na yanayowezekana kwa usawa yanaitwa matokeo, au matukio ya msingi. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa tukio la kuaminika, tunaweza kuzingatia kwamba tukio linalojumuisha kuonekana kwa moja, bila kujali, ya matukio ya kundi kamili, ni tukio la kuaminika.
Kwa mfano, Kete moja inapotupwa, nambari isiyozidi saba inaonekana. Huu ni mfano wa tukio la kuaminika.
Kesi maalum ya matukio ambayo huunda kikundi kamili ni matukio kinyume.
Matukio mawili yasiyolingana A na (soma "sio A") huitwa kinyume, ikiwa kama matokeo ya mtihani mmoja wao lazima lazima kutokea.
Kwa mfano, ikiwa udhamini unatolewa tu baada ya kupokea alama nzuri na bora katika mtihani, basi matukio "usomi" na "daraja isiyoridhisha au ya kuridhisha" ni kinyume chake.
Tukio A kuitwa nzuri tukio NDANI, ikiwa tukio litatokea A inahusisha kutokea kwa tukio KATIKA.
Kwa mfano, Wakati wa kutupa kete, kuonekana kwa nambari isiyo ya kawaida kunapendekezwa na matukio yanayohusiana na nambari 1, 3 na 5.
2. Uendeshaji kwenye matukio
Uendeshaji kwenye matukio ni sawa na uendeshaji kwenye seti.
Kiasi matukio kadhaa ni tukio linalojumuisha kutokea kwa angalau moja kati yao kama matokeo ya mtihani.
Jumla ya matukio inaweza kuonyeshwa kwa ishara "+", "È", "au".
Kielelezo cha 1 kinaonyesha tafsiri ya kijiometri kwa kutumia michoro ya Euler-Venn. Jumla ya matukio A + B Eneo lote lenye kivuli litalingana.
Mtini.1
Eneo la makutano ya tukio A Na KATIKA inalingana na matukio ya pamoja ambayo yanaweza kutokea kwa wakati mmoja. Vivyo hivyo kwa hafla A, B Na NA kuna matukio ya pamoja A Na KATIKA; A Na NA; KATIKA na C; A Na KATIKA Na NA, ambayo inaweza kutokea wakati huo huo.
Kwa mfano, urn ina mipira nyeupe, nyekundu na bluu. Matukio yafuatayo yanawezekana: A- mpira mweupe hutolewa nje; KATIKA- mpira nyekundu hutolewa nje; C - mpira wa bluu hutolewa. Tukio B + C inamaanisha kuwa tukio limetokea - mpira wa rangi hutolewa au mpira usio na nyeupe hutolewa.
Kazi matukio kadhaa ni tukio ambalo linajumuisha tukio la pamoja la matukio haya yote kama matokeo ya mtihani.
Uzalishaji wa matukio unaweza kuonyeshwa kwa ishara "x", "∩", "na".
Tafsiri ya kijiometri ya bidhaa ya matukio imewasilishwa kwenye Mtini. 2.
Mtini.2
Kwa kutengeneza matukio A Na KATIKA kutakuwa na eneo lenye kivuli ambapo viwanja vinaingiliana A Na KATIKA. Na kwa matukio matatu A Na KATIKA Na NA - jumla ya eneo, iliyojumuishwa kwa wakati mmoja katika matukio yote matatu.
Kwa mfano, Acha kadi itolewe bila mpangilio kutoka kwa safu ya kadi. Tukio A- kadi ya suti ya spades hutolewa; KATIKA - jack inatolewa nje. Kisha tukio A×B inamaanisha tukio - jack ya spades inachukuliwa nje.
Kwa tofauti matukio mawili A-B ni tukio linalojumuisha matokeo yaliyojumuishwa A, lakini haijajumuishwa KATIKA.
Katika Mtini. Kielelezo cha 3 kinaonyesha kielelezo cha tofauti ya tukio kwa kutumia michoro ya Euler-Venn.
Mtini.3
Tofauti kati ya matukio mawili A-B ni eneo lenye kivuli A bila sehemu iliyojumuishwa katika hafla hiyo KATIKA. Tofauti kati ya bidhaa za matukio A Na KATIKA na tukio NA mapenzi eneo la pamoja matukio A na matukio KATIKA bila eneo la tukio kushiriki nayo NA.
Kwa mfano, basi tukio kutokea wakati wa kutupa kufa A - kuonekana kwa idadi sawa (2,4,6), na tukio hilo KATIKA - nambari ambazo ni nyingi za 3, i.e. (3, 6). Kisha tukio A-B kuonekana kwa nambari (2,4).
3. Kuamua uwezekano wa tukio
Matukio ya nasibu yanatekelezwa kwa uwezekano tofauti. Baadhi hutokea mara nyingi zaidi, wengine mara nyingi zaidi. Ili kuhesabu uwezekano wa kutambua tukio, dhana huletwa uwezekano wa tukio.
Uwezekano wa tukio- hii ni nambari inayoonyesha kiwango cha uwezekano wa tukio kutokea wakati majaribio yanarudiwa mara nyingi.
Uwezekano unaonyeshwa na barua R(kutoka Kiingereza uwezekano - uwezekano). Uwezekano ni mojawapo ya dhana za msingi za nadharia ya uwezekano. Kuna ufafanuzi kadhaa wa dhana hii.
Classic Ufafanuzi wa uwezekano ni kama ifuatavyo. Ikiwa matokeo yote yanayowezekana ya mtihani yanajulikana na hakuna sababu ya kuamini kwamba tukio moja la random litatokea mara nyingi zaidi kuliko wengine, i.e. matukio yanawezekana kwa usawa na hayaendani, basi inawezekana kwa uchambuzi kuamua uwezekano wa tukio.
Uwezekano P(A) matukio A inayoitwa uwiano wa idadi ya matokeo mazuri T kwa jumla ya idadi ya matokeo yasiyolingana yanawezekana P:
Tabia za uwezekano:
1. Uwezekano wa tukio la nasibu A ni kati ya 0 na 1.
2. Uwezekano wa tukio fulani ni 1.
.
3. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni 0.
.
Ikiwa una nia ya swali la kichwa, labda wewe ni mwanafunzi au mvulana wa shule ambaye anakabiliwa na somo jipya. Matatizo ya nadharia ya uwezekano sasa yanatatuliwa na wanafunzi wa darasa la tano katika shule za upili, wanafunzi wa shule ya upili kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, na wanafunzi wa taaluma zote - kutoka kwa wanajiografia hadi wanahisabati. Hii ni kitu cha aina gani, na jinsi ya kuishughulikia?
Uwezekano. Hii ni nini?
Nadharia ya uwezekano, kama jina linavyopendekeza, inahusika na uwezekano. Tumezungukwa na mambo mengi na matukio ambayo, bila kujali jinsi sayansi imeendelezwa, haiwezekani kufanya utabiri sahihi. Hatujui ni kadi gani tutachora kutoka kwenye sitaha bila mpangilio au ni siku ngapi mvua itanyesha Mei, lakini tukiwa na Taarifa za ziada, tunaweza kufanya utabiri na kukokotoa uwezekano wa matukio haya nasibu.
Kwa hivyo, tunakabiliwa na dhana ya msingi tukio la nasibu- jambo ambalo tabia yake haiwezi kutabiriwa, jaribio ambalo matokeo yake hayawezi kuhesabiwa mapema, nk. Ni uwezekano wa matukio ambayo yamehesabiwa ndani kazi za kawaida Oh. Uwezekano ni chaguo fulani la kukokotoa ambalo huchukua thamani kutoka 0 hadi 1 na kubainisha tukio fulani la nasibu. 0 - tukio karibu haliwezekani, 1 - tukio ni karibu hakika, 0.5 (au "50 hadi 50") - tukio lina uwezekano wa kutokea au la.
Algorithm ya kutatua shida za kawaida za kupata uwezekano
Unaweza kujifunza zaidi kuhusu misingi ya nadharia ya uwezekano, kwa mfano, katika kitabu cha mtandaoni. Sasa tusipige kichaka, na tuunde mchoro wa takriban, ambayo inapaswa kutumika kutatua matatizo ya kawaida ya elimu kwa kuhesabu uwezekano wa tukio la nasibu, na kisha hapa chini tutaonyesha matumizi yake kwa mifano.
- Soma kazi hiyo kwa uangalifu na uelewe ni nini hasa kinachotokea (ni nini kinachotolewa kutoka kwa sanduku gani, ni nini kililala wapi, ni vifaa ngapi vinafanya kazi, nk)
- Tafuta swali kuu la shida kama "hesabu uwezekano kwamba ..." na uandike duaradufu hii katika mfumo wa tukio, uwezekano ambao lazima upatikane.
- Tukio hilo limerekodiwa. Sasa tunahitaji kuelewa ni "mpango" gani wa nadharia ya uwezekano tatizo ni la ili kuchagua kwa usahihi fomula za suluhisho.
Uwezekano
Jibu maswali ya mtihani kama vile:
- kuna mtihani mmoja (kwa mfano, kutupa kete mbili) au kadhaa (kwa mfano, kuangalia vifaa 10);
- ikiwa kuna vipimo kadhaa, ni matokeo ya tegemezi moja kwa wengine (utegemezi au uhuru wa matukio);
- tukio hutokea katika hali moja au tatizo linazungumzia hypotheses kadhaa iwezekanavyo (kwa mfano, mpira hutolewa kutoka kwa sanduku lolote la tatu, au kutoka kwa moja maalum).
Uzoefu zaidi unao katika kutatua matatizo, itakuwa rahisi zaidi kuamua ni fomula zipi zinafaa.
- Fomula (au kadhaa) imechaguliwa kwa suluhisho. Tunaandika data yote ya kazi na kuibadilisha katika fomula hii.
- Voila, uwezekano umepatikana.
Suluhisho zilizotengenezwa tayari kwa shida kwa sehemu yoyote ya nadharia ya uwezekano, zaidi ya mifano 10,000! Tafuta kazi yako:
Jinsi ya Kutatua Matatizo: Uwezekano wa Kikale
Mfano 1.Katika kundi la wanafunzi 30 kazi ya mtihani Wanafunzi 6 walipokea "5", wanafunzi 10 walipokea "4", wanafunzi 9 walipokea "3", wengine walipokea "2". Tafuta uwezekano kwamba wanafunzi 3 walipiga simu kwenye ubao walipokea "2" kwenye mtihani.
Tunaanza suluhisho kulingana na pointi zilizoelezwa hapo juu.
- Tatizo linahusisha kuchagua wanafunzi 3 kutoka kwa kikundi wanaokidhi masharti fulani.
- Ingiza tukio kuu $X$ = (Wanafunzi wote 3 walioitwa kwenye ubao walipokea "2" kwenye mtihani).
- Kwa kuwa mtihani mmoja tu hutokea katika kazi na unahusishwa na uteuzi / uchaguzi chini ya hali fulani, tunazungumzia ufafanuzi wa classical wa uwezekano. Hebu tuandike fomula: $P=m/n$, ambapo $m$ ni idadi ya matokeo yanayofaa utokeaji wa tukio $X$, na $n$ ni nambari ya matokeo yote ya msingi yanayowezekana kwa usawa.
- Sasa tunahitaji kupata thamani za $m$ na $n$ kwa tatizo hili. Kwanza, hebu tutafute idadi ya matokeo yote yanayowezekana - idadi ya njia za kuchagua wanafunzi 3 kati ya 30. Kwa kuwa utaratibu wa uchaguzi haujalishi, hii ni idadi ya mchanganyiko wa 30 kwa 3: $$n=C_(30 )^3=\frac(30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
- Tunapata uwezekano: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0.002.$$ Tatizo limetatuliwa.
Mifano zaidi: Matatizo yaliyotatuliwa kwenye uamuzi wa awali wa uwezekano.
Jinsi ya kutatua shida: formula ya Bernoulli
Mfano 2.Je, ni uwezekano gani kwamba katika 8 sarafu tosses kanzu ya silaha itaonekana mara 5?
Tena, kwa kutumia mpango wa kutatua shida za uwezekano, tunazingatia shida hii:
- Tatizo linahusisha msururu wa vipimo vinavyofanana—kutupa sarafu.
- Ingiza tukio kuu $X$ = (Pamoja na tosses 8 za sarafu, kanzu ya silaha itaonekana mara 5).
- Kwa kuwa kuna majaribio kadhaa katika tatizo, na uwezekano wa tukio (kanzu ya silaha) kutokea ni sawa katika kila jaribio, tunazungumzia mpango wa Bernoulli. Hebu tuandike fomula ya Bernoulli, ambayo inaelezea uwezekano kwamba kati ya $n$ coin kutupa koti itaonekana mara $k$ haswa: $$ P_(n)(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot ( 1-p)^ (n-k).$$
- Tunaandika data kutoka kwa hali ya shida: $n=8, p=0.5$ (uwezekano wa neti ya silaha kuanguka nje katika kila kutupa ni 0.5) na $k=5$
- Badili na upate uwezekano: $$ P(X)=P_(8)(5)=C_8^5 \cdot 0.5^5 \cdot (1-0.5)^(8-5)=\frac(8{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.!}
Mifano zaidi: Matatizo yaliyotatuliwa kwa kutumia fomula ya Bernoulli, kisuluhishi cha matatizo katika nadharia ya uwezekano.
Na ni yote? Bila shaka hapana.
Hapo juu tulitaja sehemu ndogo tu ya mada na fomula za nadharia ya uwezekano; kwa uchunguzi wa kina zaidi, unaweza kutazama kitabu cha kiada mkondoni kwenye wavuti hii (au pakua vitabu vya kiada kwenye Runinga), soma nakala za kutatua shida za uwezekano, mifano ya bure, kutumia vikokotoo vya mtandaoni. Bahati njema!
Asante kwa kusoma na kushiriki na wengine.
Nyingine makala muhimu kulingana na nadharia ya uwezekano
Makala kuhusu kutatua matatizo ya hisabati
Uchunguzi wa jambo, uzoefu, majaribio, ambayo yanaweza kufanywa mara nyingi, katika nadharia ya uwezekano kawaida huitwa. mtihani . Matokeo yake, matokeo ya mtihani huitwa tukio .
Mfano 1 . Kufaulu mtihani ni mtihani; kupokea alama fulani ni tukio. Risasi ni mtihani; kupiga eneo fulani la lengo ni tukio. Kutupa kufa ni mtihani; kuonekana kwa nambari moja au nyingine ya alama kwenye kufa kutupwa ni tukio.
Aina za matukio ya nasibu
Matukio hayo yanaitwa zisizopatana , ikiwa tukio la mmoja wao halijumuishi tukio la matukio mengine katika jaribio sawa.
Mfano 2 :
- matukio yasiyolingana : mchana na usiku, mtu anasoma na mtu analala, idadi isiyo na maana na hata;
- matukio ya pamoja : kunanyesha na theluji inanyesha, mtu anakula na mtu anasoma, nambari ni kamili na hata.
Fomu za matukio kadhaa kikundi kamili (nafasi ya matokeo) , ikiwa angalau mmoja wao anaonekana kama matokeo ya mtihani. Kwa maneno mengine, tukio la angalau moja ya matukio ya kikundi kamili ni tukio la kuaminika.
Mfano 3 .
Somo la Aljebra » Matukio ya nasibu. Uwezekano wa tukio la nasibu."
Wakati wa kuchukua mtihani, matokeo yafuatayo yanawezekana: "iliyopita", "imeshindwa", "haikuonekana"; wakati wa kutupa sarafu - "vichwa", "mikia".
Mfano 4 . Acha mkojo uwe na 6 mipira inayofanana, na 2 ambayo ni nyekundu, 3 - bluu na 1 - nyeupe. Kuna uwezekano gani wa kuchora mpira wa rangi bila mpangilio kutoka kwa urn? Je, fursa hii inaweza kuhesabiwa?
Inageuka kuwa inawezekana. Nambari hii inaitwa uwezekano wa tukio A (mpira wa rangi inaonekana). Hivyo, uwezekano ni nambari inayoonyesha kiwango cha uwezekano wa tukio kutokea .
Kila moja ya matokeo yanayowezekana ya jaribio (katika Mfano wa 4, jaribio linajumuisha kuchora mpira kutoka kwa urn) inaitwa. matokeo ya msingi .
Matokeo hayo ya msingi ambayo tukio la kupendeza kwetu hutokea huitwa nzuri tukio hili. Kwa mfano 4 tukio linapendelewa A (mpira wa rangi inaonekana) matokeo 5.
Matukio hayo yanaitwa kwa usawa iwezekanavyo , ikiwa kuna sababu ya kuamini kwamba hakuna hata mmoja wao anayewezekana zaidi kuliko mwingine.
Mfano 5 . Kuonekana kwa nambari moja au nyingine ya alama kwenye kete iliyotupwa ni matukio yanayowezekana sawa.
Uwezekano P(A) matukio A wanaita uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio hili kwa jumla ya idadi ya matokeo yote ya kimsingi yasiyolingana ambayo yanaunda kundi kamili.
Uwezekano P(A) matukio A kuamuliwa na formula
Wapi m - idadi ya matokeo mazuri ya msingi A ; n - idadi ya matokeo yote ya mtihani wa msingi.
Katika mfano kuna jumla ya matokeo 4 ya msingi 6 ; wao 5 kupendelea tukio A . Kwa hiyo, uwezekano kwamba mpira uliochukuliwa utakuwa wa rangi ni sawa P(A) = 5/6 .
Mfano 6 . Amua uwezekano wa kupata idadi isiyo ya kawaida ya alama kwenye kete.
Suluhisho. Tukio la kurusha kete A - "idadi isiyo ya kawaida ya alama zilizovingirishwa" inaweza kuandikwa kama sehemu ndogo (1, 3, 5) ya nafasi ya matokeo (1, 2, 3, 4, 5, 6) (Mchoro 1).
Idadi ya matokeo yote yanayowezekana kwa usawa n = 6, na nambari tukio nzuri A – m = 3. Kwa hiyo,
Mfano 7 . Urn ina 7 mipira: 2 nyeupe, 4 nyeusi na 1 nyekundu. Mpira mmoja hutolewa bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira uliotolewa utakuwa mweusi?
Suluhisho. Wacha tuhesabu mipira. Hebu, kwa mfano, mipira yenye nambari 1 Na 2 - nyeupe, na nambari 3, 4, 5 Na 6 - nyeusi, na toa nambari kwa mpira nyekundu 7 .
Kwa kuwa tunaweza tu kuchukua moja ya mipira saba, basi jumla ya nambari matokeo yanayowezekana sawa na saba ( n = 7 ) Kati yao 4 matokeo - kuonekana kwa mipira yenye namba 3, 4, 5 Na 6 - itasababisha mpira uliotolewa kuwa mweusi ( m = 4 ) Kwa hivyo, uwezekano wa tukio A , yenye kuonekana kwa mpira mweusi, ni sawa na
Kuhesabu uwezekano kwamba mpira uliotolewa utakuwa mweupe.
Mfano 8 .
Kuhesabu uwezekano wa kushinda kwa jumla 10 pointi wakati wa kutupa jozi ya kete.
Suluhisho. Wacha tuzingatie matokeo yote yanayowezekana kama matokeo ya kurusha kete mbili (idadi yao ni sawa na 36
- tunapendekeza kuandika katika fomu ya meza). Hasara kwa jumla 10
pointi (tukio A
) inawezekana ndani kesi tatu – 4
pointi kwenye kete ya kwanza na 6
Kwenye pili, 5
pointi juu ya kwanza na 5
Kwenye pili, 6
pointi juu ya kwanza na 4
Juu ya pili. Kwa hivyo, uwezekano wa tukio A (kushuka kwa kiasi 10
pointi) ni sawa 
Mali 1. Uwezekano kuaminika matukio A sawa na moja: P (A) = 1 .
Mali 2. Uwezekano haiwezekani matukio A sawa na sifuri: P (A) = 0 .
Mali 3. Kuna uwezekano wa tukio la nasibu nambari chanya, alihitimisha kati ya sufuri Na kitengo :
0 £ P (A) £ 1.
Mfano 9 . Tangu uwezekano wa kupata 13 pointi wakati wa kutupa jozi ya kete - tukio lisilowezekana, uwezekano wake ni sawa na sufuri .
Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano inadhania kuwa idadi ya matokeo ya mtihani wa kimsingi ina kikomo. Katika mazoezi, mara nyingi kuna vipimo ambavyo idadi ya matokeo iwezekanavyo ni usio. Kwa kuongeza, mara nyingi haiwezekani kuwakilisha matokeo ya mtihani kama seti ya matukio ya msingi. Ni ngumu zaidi kuashiria sababu za kuzingatia matukio ya kimsingi kuwa yanawezekana kwa usawa. Kwa sababu hii, pamoja na ufafanuzi wa classical wa uwezekano, ufafanuzi mwingine hutumiwa, hasa ufafanuzi wa takwimu .
Ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano
Mzunguko wa jamaa pamoja na uwezekano, ni mali ya dhana za msingi za nadharia ya uwezekano.
Mzunguko wa jamaa matukio A ni uwiano wa idadi ya majaribio ambapo tukio lilitokea kwa jumla ya idadi ya majaribio yaliyofanywa:
Wapi m - idadi ya matukio ya tukio A , n - jumla ya idadi ya majaribio.
Uwezekano wa classical huhesabiwa kabla ya jaribio, na mzunguko wa jamaa huhesabiwa baada ya jaribio. .
Uchunguzi wa muda mrefu umeonyesha kuwa ikiwa majaribio yanafanywa chini ya hali sawa, katika kila ambayo idadi ya majaribio ni kubwa, basi. mzunguko wa jamaa unaonyesha mali ya utulivu .
Mali hii inajumuisha ukweli kwamba katika majaribio tofauti mzunguko wa jamaa hubadilika kidogo (chini, vipimo vingi vinafanywa), hubadilika karibu na idadi fulani ya mara kwa mara. Hii ni nambari isiyobadilika na ndio uwezekano wa tukio kutokea.
Kwa hivyo, kwa idadi kubwa ya kutosha ya vipimo katika ubora uwezekano wa takwimu wa tukio kukubali mzunguko wa jamaa au nambari iliyo karibu nayo.
Mfano 10
. Mtaalamu wa asili K. Pearson alitupa sarafu kwa subira na baada ya kila toss hakuwa wavivu kuandika matokeo. Baada ya kufanya operesheni hii mara 24,000, aligundua kuwa nembo ya silaha ilianguka katika kesi 12,012. Kuhesabu mzunguko wa jamaa wa kupoteza kanzu ya silaha, alipata 
, ambayo ni karibu sawa na 1/2.
Watu wengi wanavutiwa na swali: inawezekana kushawishi matukio ya nasibu, kutambua muundo wowote wa matukio, na kupata matokeo yaliyohitajika. Matukio yote yanayotuzunguka hutokea na kubadilika kwa kiwango fulani cha nasibu na kutokuwa na uhakika.
Tunakutana na matukio ya nasibu mara nyingi zaidi kuliko inavyoaminika kwa kawaida. Sababu za nasibu huchangia mazingira, uchumi, siasa, kijamii na maisha ya umma, wao huamua mwendo wa mchakato wowote kupanga foleni- biashara, mawasiliano ya simu, huduma za usafiri na matibabu. Kazi ya kusimamia aina mbalimbali za michakato, ambayo inakabiliwa sana jamii ya kisasa, ni kujifunza kuabiri ulimwengu wa kubahatisha na kutenda kikamilifu kulingana na mifumo mahususi iliyofichwa.
Matukio yote ya ukweli karibu nasi yanaweza kuzingatiwa kutoka kwa mtazamo wa uwezekano wa kutokea kwao. Mwanafunzi anapofanya mtihani, uwezekano wa yeye kupata alama nzuri hutegemea sababu kadhaa: utayari wa mwanafunzi, tiketi iliyochaguliwa vizuri, ustawi, na hisia.
Mwanauchumi anaweza kupendezwa na uwezekano kwamba bei ya bidhaa haitapanda isipokuwa uzalishaji wake upungue, au uwezekano kwamba gari lililowekewa bima halitahusika katika ajali.
Matukio haya yote ni ya nasibu na yanaweza kutokea au yasitokee kwa kiwango fulani cha kutokuwa na uhakika. Kipimo cha kiasi cha kutokuwa na uhakika kama hicho ni uwezekano wa kutokea kwa tukio la nasibu, ambalo linaeleweka kama nambari inayoonyesha kiwango cha imani katika kutokea kwa tukio fulani la nasibu.
Matukio ya nasibu ni matokeo yanayowezekana ya operesheni moja, au jaribio.
Upimaji unapaswa kueleweka kama mchakato unaojumuisha masharti fulani na kusababisha mojawapo ya matokeo kadhaa yanayowezekana.
Kwa mfano: mtihani - kutupa sarafu, tukio la random - kuanguka nje ya kanzu ya silaha. Jaribio ni kuzaliwa kwa mtoto, tukio la random - jinsia ya mtoto ni kiume.
Matokeo ya uzoefu yanaweza kuwa matokeo ya uchunguzi, kipimo, tathmini.
Tukio la nasibu linaweza kujumuisha matukio kadhaa ya kimsingi .
Tokeo moja, tofauti la jaribio linaitwa tukio la msingi.
Tukio linaitwa nasibu ikiwa, kama matokeo ya mtihani (uzoefu), linaweza kutokea au haliwezi kutokea.
Kwa mfano, mpigaji risasi anaweza kulenga shabaha au asipate. Katika kesi hii, mtihani ni risasi, na matokeo iwezekanavyo ya msingi ni kupiga au kukosa lengo. Timu ya soka inaweza kushiriki katika mechi - hili ni jaribio ambalo linaweza kusababisha matokeo, au matukio ya kimsingi: kushinda, kushindwa au sare.
Daraja la mwanafunzi kwenye mtihani ni tukio la nasibu ambalo lina matukio ya msingi: kupokea daraja "bora", kupokea daraja "nzuri", kupokea daraja "kuridhisha", na kupokea alama "isiyo ya kuridhisha".
Matukio ya msingi yanaweza kuainishwa kulingana na kutokuwa na hakika kwao kuwa fulani, yasiyowezekana na ya nasibu.
Kuaminika ni tukio ambalo hakika litatokea chini ya hali fulani.
Kwa mfano, ikiwa sanduku lina sehemu za kawaida tu, basi kuondoa sehemu ya kawaida kutoka kwake ni tukio la kuaminika. Pia inaaminika kuwa katika pembetatu ya kulia, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.
Tukio ambalo haliwezi kutokea kama matokeo ya mtihani fulani huitwa kuwa haiwezekani.
Ikiwa sehemu zote kwenye sanduku ni za kawaida, basi kuondoa sehemu isiyo ya kawaida kutoka kwake ni tukio lisilowezekana. Mraba wa nambari halisi hauwezi kuwa hasi. Matukio fulani na yasiyowezekana ni, kwa ujumla, sio bahati nasibu.
Matukio ya nasibu. Uwezekano (ukurasa wa 1)
msingi kwa mbinu ya kisayansi Kupata majibu ya maswali ya aina hii ni nadharia ya uwezekano.
Asili ya nadharia ya uwezekano na malezi ya dhana za kwanza za tawi hili la hisabati ilitokea katikati ya karne ya 17, wakati Pascal, Fermat, Bernoulli walijaribu kuchambua shida zinazohusiana na. kamari mbinu mpya. Hivi karibuni ikawa wazi kuwa nadharia ibuka itapata matumizi anuwai ya kutatua shida nyingi zinazotokea katika nyanja mbalimbali shughuli za binadamu.
Kuzalisha kutosha idadi kubwa ya majaribio au vipimo, unaweza kuamua ni mara ngapi tukio hutokea na kuhesabu uwezekano wa kutokea kwake. Uwezekano ulioamuliwa kwa njia hii unaitwa takwimu au baada ya majaribio. Katika baadhi ya matukio, inawezekana kuamua uwezekano wa kabla ya majaribio, ambayo inaitwa classical.
Uwezekano wa kutokea kwa tukio A ni uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kutokea kwa tukio hili kwa jumla ya idadi ya matokeo yote ya kipekee na yasiooani. Hebu tuonyeshe idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A na M, na idadi ya matokeo yote yanayowezekana na N. Kisha, ili kuamua uwezekano, tunaweza kutumia formula P (A) = M/N.
Nilifanya jaribio: Nilijaribu kuvuta mipira 2 bila mpangilio kutoka kwa mipira 15, 2 kati yao ilikuwa nyekundu, iliyobaki ya kijani. Nilijaribu kuamua uwezekano kwamba mipira yote miwili itakuwa nyekundu; mipira yote miwili itakuwa ya kijani; mpira mmoja utakuwa nyekundu, mwingine kijani.
Matokeo yaliyochukuliwa kabla ya jaribio kuhesabiwa haki: matokeo yanayowezekana zaidi ni kuchomoa mipira 2 ya kijani kibichi, matokeo madogo zaidi ni kuchomoa mipira 2 nyekundu.
Wakati wa kulinganisha uwezekano wa vitendo na wa kinadharia, tofauti kubwa iligunduliwa, sababu ambayo ilikuwa idadi ndogo ya vipimo vilivyofanywa.
Ili kupata matokeo sahihi zaidi, inashauriwa kufanya vipimo vingi iwezekanavyo, fikiria matokeo yote ya mtihani iwezekanavyo na matokeo mazuri. Usisahau kwamba unaweza kuangalia hii kila wakati kinadharia. Katika kesi hii, uwezekano kabla na baada ya jaribio lazima sanjari.
Baada ya kufanya utafiti juu ya suala hili, nilifikia hitimisho: nadharia ya uwezekano haiathiri matukio ya nasibu, inafanya uwezekano wa kujua kiwango cha tukio lake, na uwezekano uliohesabiwa wakati wa majaribio ni sahihi zaidi, zaidi. vipimo hufanyika.
Fasihi:
- Kibzun A.I. Nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. Kozi ya msingi na mifano na matatizo / A. I. Kibzun. - M.: Fizmatlit, 2002. - 224 p.
- Kochetkov E. S., Smerchinskaya S. O., Sokolov V. V. Nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. - M.: FORUM: INFRA-M, 2006. - 240 p.
- Pismenny D. T. Muhadhara maelezo juu ya nadharia ya uwezekano, takwimu za hisabati na michakato ya nasibu. - M.: Iris-press, 2007. - 288 p.
Asante kwa kusoma na kushiriki na wengine.
Dhana kuu ya nadharia ya uwezekano ni dhana ya tukio la nasibu. Tukio la nasibu ni tukio ambalo linaweza kutokea au lisitokee iwapo masharti fulani yatatimizwa. Kwa mfano, kugonga kitu au kukosa wakati wa kufyatua kitu hiki kutoka ya silaha hii ni tukio la nasibu.
Tukio hilo linaitwa kuaminika, ikiwa ni matokeo ya mtihani lazima hutokea. Haiwezekani Tukio linaitwa ambalo haliwezi kutokea kama matokeo ya mtihani.
Matukio ya nasibu huitwa zisizopatana katika kesi fulani ikiwa hakuna wawili kati yao wanaoweza kuonekana pamoja.
Fomu ya matukio ya nasibu kikundi kamili, ikiwa wakati wa kila jaribio lolote kati yao linaweza kuonekana na hakuna tukio lingine lisilopatana nao linaweza kuonekana.
Wacha tuzingatie kundi kamili la matukio ya bahati nasibu ambayo yanawezekana kwa usawa. Tutaita matukio kama haya matokeo. Matokeo inaitwa nzuri kutokea kwa tukio $A$, ikiwa kutokea kwa tukio hili kunahusisha kutokea kwa tukio $A$.
Mfano. Urn ina mipira 8 yenye nambari (kila mpira una nambari moja kutoka 1 hadi 8).
Mipira iliyo na nambari 1, 2, 3 ni nyekundu, iliyobaki ni nyeusi. Kuonekana kwa mpira na nambari 1 (au nambari 2 au nambari 3) ni tukio linalofaa kwa kuonekana kwa mpira nyekundu. Kuonekana kwa mpira na nambari 4 (au nambari 5, 6, 7, 8) ni tukio linalofaa kwa kuonekana kwa mpira mweusi.
Uwezekano wa tukio$A$ ni uwiano wa nambari $m$ ya matokeo yanayofaa kwa tukio hili kwa jumla ya nambari $n$ ya matokeo yote ya msingi ambayo hayatangatani kwa usawa ambayo yanaunda kundi kamili $$P(A)=\frac(m)( n). \quad(1)$$
Mali 1. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja
Mali 2. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.
Mali 3. Uwezekano wa tukio nasibu ni nambari chanya kati ya sifuri na moja.
Kwa hivyo, uwezekano wa tukio lolote unakidhi ukosefu wa usawa maradufu $0 \le P(A) \le 1$ .
Vikokotoo vya mtandaoni
Idadi kubwa ya matatizo kutatuliwa kwa kutumia formula (1) yanahusiana na mada ya uwezekano wa hypergeometric. Hapo chini unaweza kupata maelezo ya shida maarufu na vikokotoo vya mkondoni kwa suluhisho zao kwa kutumia viungo:
- Tatizo kuhusu mipira (kuna $k$ nyeupe na $n$ mipira nyeusi kwenye urn, mipira $m$ inatolewa...)
- Tatizo kuhusu sehemu (sanduku lina sehemu zenye kasoro $k$ na $n$, sehemu $m$ zimetolewa...)
- Tatizo kuhusu tikiti za bahati nasibu (kuna tikiti za $k$ zilizoshinda na $n$ ambazo hazijashinda katika bahati nasibu, tikiti $m$ zimenunuliwa...)
Mifano ya ufumbuzi wa matatizo ya uwezekano wa classical
Mfano. Kuna mipira 10 iliyo na nambari kwenye uni na nambari kutoka 1 hadi 10. Mpira mmoja hutolewa nje. Kuna uwezekano gani kwamba idadi ya mpira uliotolewa haizidi 10?
Suluhisho. Acha tukio A= (Idadi ya mpira uliotolewa haizidi 10). Idadi ya kesi zinazopendelea tukio la tukio A sawa na idadi ya kesi zote zinazowezekana m=n=10. Kwa hivyo, R(A)=1. Tukio Na ya kuaminika.. Idadi ya matokeo ya msingi (idadi ya kadi)
Uwezekano unaohitajika 
.
Mifumo ya nadharia ya uwezekano mtandaoni
Katika sehemu hii utapata fomula za nadharia ya uwezekano katika toleo la mtandaoni (unaweza kuzipakua kwenye ukurasa wa Majedwali na kanuni za nadharia ya uwezekano). Ikiwa neno limepigiwa mstari, kubofya kiungo kutakupeleka maelezo ya kina neno, mifano au hesabu kwenye kikokotoo cha mtandaoni. Tumia fursa hizi!
Na pia kwa kusoma terwer tunayo:
Asante kwa kusoma na kushiriki na wengine.
I. Matukio ya nasibu. Fomula za kimsingi mtandaoni
1. Kanuni za msingi za combinatorics
Idadi ya vibali $$P_n = n!
Kitabu cha kiada juu ya Nadharia ya Uwezekano
1\cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$
Idadi ya nafasi $$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-m+1)$$
Idadi ya michanganyiko $$C_n^m =\frac(A_n^m)(P_m)=\frac(n{m! \cdot (n-m)!}$$!}
2. Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano
$$P(A) = \frac(m)(n),$$ ambapo $m$ ni idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio $A$, $n$ ni nambari ya matokeo yote ya kimsingi yanayowezekana kwa usawa.
Kwa maelezo zaidi juu ya uwezekano wa kitamaduni, angalia kitabu cha kiada mtandaoni na vikokotoo vya suluhisho.
3. Uwezekano wa jumla ya matukio
Nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana:
$$ P(A+B) = P(A)+P(B) $$
Nadharia ya kuongeza uwezekano wa hafla za pamoja:
$$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) $$
Mifano ya suluhu na nadharia ya aljebra ya tukio iko hapa.
4. Uwezekano wa matukio kutokea
Nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru:
$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$
Nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio tegemezi:
$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B). $$
$P(A|B)$ ni uwezekano wa masharti wa tukio $A$ kutokana na kwamba tukio $B$ lilitokea,
$P(B|A)$ ni uwezekano wa masharti wa tukio $B$ kutokana na kwamba tukio $A$ lilitokea.
Pata maelezo zaidi kuhusu uwezekano wa masharti.
5. Jumla ya fomula ya uwezekano
$$ P(A)=\sum_(k=1)^(n) P(H_k)\cdot P(A|H_k), $$
6. Fomula ya Bayes (Bayes). Kuhesabu uwezekano wa nyuma wa nadharia
$$ P(H_m|A) =\frac(P(H_m)\cdot P(A|H_m))(P(A)) = \frac(P(H_m)\cdot P(A|H_m))(\ jumla\mipaka_(k=1)^(n) P(H_k)\cdot P(A|H_k)), $$
ambapo $H_1, H_2, …, H_n$ ni kundi kamili la dhana.
Mifano na nadharia juu ya mada hii.
7. Fomula ya Bernoulli
$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = \frac(n{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.!}
Maelezo muhimu zaidi kuhusu fomula ya Bernoulli: nadharia na mifano, vikokotoo vya mtandaoni.
8. Tarehe inayowezekana zaidi ya tukio kutokea
Nambari inayowezekana zaidi ni $k_0$ ya kutokea kwa tukio katika majaribio huru ya $n$ (ambapo $p$ ni uwezekano wa kutokea kwa tukio katika jaribio moja):
$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$
Kokotoa thamani inayowezekana mtandaoni.
9. Mfumo wa Laplace wa Mitaa
$$ P_n(k) = \frac(1)(\sqrt(npq)) \varphi\left(\frac(k-np)(\sqrt(npq)) \kulia) $$
uwezekano wa tukio kutokea mara $k$ haswa katika majaribio huru ya $n$, $p$ ni uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio moja, $q=1-p$.
Thamani za chaguo za kukokotoa $\varphi(x)$ zimechukuliwa kutoka kwa jedwali.
10. Laplace formula muhimu
$$ P_n(m_1, m_2) = \Phi\left(\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)) \kulia)-\Phi\left(\frac(m_1-np)(\sqrt(npq) ) \kulia) $$
uwezekano wa tukio kutokea si chini ya $m_1$ na si zaidi ya mara $m_2$ katika majaribio huru ya $n$, $p$ ni uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio moja, $q=1-p$.
Thamani za chaguo za kukokotoa $\Phi(x)$ zimechukuliwa kutoka kwa jedwali.
Nadharia na mifano juu ya fomula za Moivre-Laplace.
11. Kadirio la mkengeuko wa mzunguko wa jamaa kutoka kwa uwezekano wa mara kwa mara $p$
$$ P\left(\left| \frac(m)(n) -p\right| \le \varepsilon\right) = 2 \Phi\left(\varepsilon\cdot \frac(n)(\sqrt(p) (1-p))) \kulia) $$
$\varepsilon$ ni thamani ya mkengeuko, $p$ ni uwezekano wa tukio kutokea.
Matatizo yaliyotatuliwa katika nadharia ya uwezekano
Haja kazi tayari kwa terver? Pata kwenye tovuti ya suluhisho:
Katalogi ya fomula katika nadharia ya uwezekano mtandaoni
Orodha kamili ya kurasa zilizo na fomula:
Asante kwa kusoma na kushiriki na wengine.
Tukio la nasibu -
Matukio mawili zisizopatana
Nadharia ya uwezekano
Algebra ya matukio ya nasibu, michoro ya Vienne-Euler.
Jumla ya matukio A na B ni tukio ambalo hutokea wakati ama A au B hutokea, au matukio yote mawili.
Bidhaa za A na B inayoitwa tukio ambalo hutokea ikiwa uzoefu hutokea zote mbili matukio.
Tukio Ā, kinyume na tukio A ni tukio ambalo hutokea wakati wowote tukio A halitokei.
A\B (kamilisho A hadi B)- A hutokea, lakini B haifanyiki
Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano. Combinatorics.
- ufafanuzi wa classical wa uwezekano.
m- jumla ya idadi ya matokeo
n- idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A.
Combinatorics- tawi la hisabati ambalo linasoma mpangilio wa vitu kwa mujibu wa sheria maalum na kuhesabu idadi ya njia za mipangilio hiyo. Combinatorics ilianza katika karne ya 18. Inazingatiwa kama tawi la nadharia iliyowekwa.
Ujenzi wa axiomatic wa nadharia ya uwezekano.
Axiom 1."axiom isiyo negativity" P(A)≥0
Axiom 2.“kiasi cha hali ya kawaida” P(Ω)=1
Axiom 3."axiom of additivity" Ikiwa matukio A na B hayapatani (AB=Ø), basi P(A+B)=P(A)+P(B)
Nadharia juu ya uwezekano wa jumla ya matukio.
Kwa matukio yoyote P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) (hati katika hotuba)
Uwezekano wa masharti. Matukio tegemezi na huru. Nadharia juu ya uwezekano wa matukio kutokea.
P(A|B) - uwezekano wa tukio A, ikiwa tukio B tayari limetokea - uwezekano wa masharti.
Tukio A linaitwa kujitegemea, kutoka kwa tukio B, ikiwa uwezekano wa tukio A haubadilika kulingana na tukio B linatokea au la.
Nadharia ya uwezekano wa kuzidisha: P(AB) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)
Nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru: P(AB) = P(A) P(B)
Kwa ufafanuzi wa uwezekano wa masharti,
Jumla ya fomula ya uwezekano.
Kuna matukio Н 1 , Н 2 ,…., Н n ambayo hayaoani kwa jozi na kuunda kikundi kamili. Matukio kama haya yanaitwa hypotheses. Hebu kuwe na tukio fulani A. A=AN 1 +AN 2 +...+AN n (masharti ya jumla haya hayaendani kwa jozi).
Fomula ya Bayes.
Н 1, Н 2,…., Н n A
Mpango wa Bernoulli. Fomula ya Bernoulli. Uwezekano mkubwa zaidi wa idadi ya mafanikio.
Ruhusu nambari maalum n ya majaribio mfululizo ifanyike, ambapo kila tukio A linaweza kutokea "mafanikio" au sio "kufeli", na majaribio haya yanakidhi masharti yafuatayo:
· Kila jaribio ni la nasibu kuhusiana na tukio A.i.e. kabla ya mtihani haiwezekani kusema kama A itaonekana au la;
· Majaribio yanafanywa chini ya hali zinazofanana kutoka kwa mtazamo wa uwezekano, i.e. uwezekano wa kufaulu katika kila jaribio la mtu binafsi ni p na haubadiliki kutoka kwa jaribio hadi jaribio;
· Vipimo ni vya kujitegemea, i.e. matokeo ya yeyote kati yao hayaathiri matokeo ya vipimo vingine.
Mlolongo huu wa vipimo huitwa mpango wa Bernoulli au mpango wa binomial, na vipimo vyenyewe huitwa vipimo vya Bernoulli.
Ili kuhesabu uwezekano wa P n (k) kwamba katika mfululizo wa vipimo vya n Bernoulli kutakuwa na k waliofaulu haswa, formula ya Bernoulli inatumiwa: (k = 0,1,2,...n).
10. Dhana ya kutofautiana bila mpangilio. Tofauti tofauti bila mpangilio, mbinu za kuibainisha: mfululizo wa usambazaji.
Tofauti bila mpangilio ni kiasi ambacho katika kila jaribio (kwa kila uchunguzi) huchukua moja kati ya nyingi zake maadili iwezekanavyo, haijulikani mapema ni ipi.
Discrete r.v.- r.v., seti ya maadili yanayowezekana ambayo ni ya mwisho au ya kuhesabika.
Msururu wa usambazaji r.v.(mfululizo wa usambazaji wa uwezekano). Grafu ya safu ya usambazaji imeainishwa na poligoni ya usambazaji - laini iliyovunjika inayounganisha alama na viwianishi (x i,p i)
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x k | … |
| P | uk 1 | p2 | uk 3 | … | p k | … |
Sheria ya usambazaji r.v.: p k =P((X=x k))
Matukio ya nasibu, uainishaji wao. Dhana ya uwezekano.
Tukio la nasibu - tukio ambalo, chini ya hali ya uzoefu, linaweza kutokea au haliwezi kutokea. Aidha, haijulikani mapema ikiwa itatokea au la.
Matukio mawili zisizopatana ikiwa kuonekana kwa mmoja wao hakujumuishi kuonekana kwa mwingine katika uzoefu sawa.
Nadharia ya uwezekano husoma mifumo iliyo katika matukio mengi ya nasibu. Dhana za kimsingi za nadharia ya uwezekano ziliwekwa katika mawasiliano kati ya Pascal na Fermat. Dhana hizi zilitokana na majaribio ya kuelezea kamari kihisabati.
Sura ya 1. Dhana za kimsingi na kanuni za nadharia ya uwezekano………………………………………….. 5
§ 1. Mada ya nadharia ya uwezekano. Nasibu
matukio …………………………………………. 5
§ 2. Uwezekano wa tukio la nasibu ……………… 8
§ 3 Aljebra ya matukio……………………………….. 12
§ 4 Mfumo wa kuongeza uwezekano…………… 17
§ 5 Mbinu ya axiomatic kwa nadharia
uwezekano…………………………………… 19
§ 6 Mpango wa classic nadharia ya uwezekano... 24
§ 7 Uwezekano wa kijiometri……………….. 26
§ 8 Uwezekano wa masharti. Uhuru
matukio ya nasibu ………………………………. 29
§ 9 Mfumo wa jumla wa uwezekano. Mifumo
Bayesian ……………………………………………………………………………. 39
§ Combinatorics 10…………………………………. 42
§ 11 Mpango wa Bernoulli ……………………………………………
§ 12 Uwezekano wa thamani kubwa n.
Sura ya 2. Vigezo vya nasibu na sifa zao 62
§ 1 Tofauti bila mpangilio na kazi yake
usambazaji................................................ ........ .62
§ 2 Vigezo tofauti vya nasibu.................. 67
§ 3 Vigezo vya nasibu vinavyoendelea.............. 70
§ 4 Kazi za kigezo cha nasibu .................... 78
§ Mifumo 5 ya vigeu vya nasibu…………………. 81
§ Vigezo 6 vya nasibu vinavyojitegemea …………… 89
§ 7 Thamani inayotarajiwa nasibu
maadili ………………………………………….. 94
§ 8 Mtawanyiko wa kigezo cha nasibu ………………. 109
§ 9. Wakati wa uwiano na uwiano
vigezo nasibu …………………………………. 113
Sura ya 3. Sheria ya idadi kubwa na kati
kikomo nadharia……………………… 119
§ 1 Ukosefu wa usawa wa Chebyshev ……………………………
§ 2 Sheria ya idadi kubwa………………………………… 123
§ 3 nadharia ya kikomo cha kati cha Lyapunov na
matokeo yake ……………………………………129
Matatizo katika nadharia ya uwezekano ……………………… 138
Kazi za mtu binafsi Nambari 1 katika nadharia
uwezekano ………………………………………………………… 153
Kazi za mtu binafsi No. 2 juu ya nadharia
uwezekano……………………………………………… 166
Jedwali la thamani ya kazi 
…….. 183
Jedwali la maadili kwa chaguo la kukokotoa
................................................... 185
Nguvu za nambari e....................................................... 188
Jedwali la maadili ya utendaji ………………………………………
Sura ya I. Dhana za kimsingi na kanuni za nadharia ya uwezekano.
Mada ya nadharia ya uwezekano. Matukio ya nasibu.
Somo la nadharia ya uwezekano ni mifano ya majaribio (majaribio, uchunguzi, vipimo), ambayo hufanyika mara tu seti fulani za masharti zinapoundwa.
Mifano ya majaribio:
1) kurusha sarafu mara 20,
2) kununua tikiti ya bahati nasibu,
3) kuwasili asubuhi (kati ya 8 na 9:00) kwenye kituo cha metro cha Novogireevo,
Katika mazoezi, mara nyingi hali hutokea wakati matokeo ya jaribio tunalofanya hayawezi kutabiriwa mapema kwa ujasiri kamili. Kwa mfano (tazama mifano ya majaribio hapo juu)
1) haiwezekani kutabiri kuwa kanzu ya mikono itaonekana haswa mara 9, au kanzu ya mikono itaonekana kutoka mara 7 hadi 15.
2) ushindi utaanguka kwenye tikiti ya bahati nasibu na nambari kama hii?
3) tutasubiri treni ya umeme kutoka sekunde 20 hadi 80
Katika hali kama hizi zote tunalazimika kuzingatia matokeo ya uzoefu kama tegemezi la bahati nasibu, tuchukulie kama tukio la nasibu.
Ufafanuzi. Tukio fulani linaitwa nasibu kuhusiana na uzoefu fulani ikiwa, wakati wa utekelezaji wa jaribio hili, linaweza kutokea au lisitokee.
Mfano wa tukio la bahati nasibu itakuwa kuonekana kwa kanzu ya mikono haswa mara 9 katika jaribio la kurusha sarafu mara 20, kushinda tikiti ya bahati nasibu iliyouzwa, tutangojea gari moshi kutoka sekunde 20 hadi 80, bahati mbaya ya tarehe ya kuzaliwa (katika jaribio) ya wanafunzi wawili waliochaguliwa bila mpangilio katika hotuba ya nadharia ya uwezekano na katika hadhira hii.
Matukio ya nasibu yameteuliwa baada ya hapo A, KATIKA, NA na kadhalika.
Maoni. Kulingana na ufafanuzi uliotolewa hapo juu, tukio linachukuliwa kuwa la bahati nasibu ikiwa kutokea kwake kama matokeo ya uzoefu kunawakilisha moja tu ya uwezekano mbili - itatokea au haitatokea.
Matukio ambayo hufanyika kila wakati kama matokeo ya uzoefu fulani huitwa kuaminika(jina I), ambayo haitokei kamwe - haiwezekani matukio (designation Ø).
Nadharia ya uwezekano inazingatia mifano ya majaribio hayo ambayo yanaweza kurudiwa chini ya hali sawa (kabisa) idadi isiyo na kikomo ya nyakati, i.e. tutafikiri kwamba ni, kimsingi, inawezekana kuunda mara nyingi hali sawa ambazo huleta uzoefu fulani.
Matukio ya nasibu, tukio ambalo linawezekana katika majaribio hayo, huitwa matukio makubwa ya nasibu.
Matukio makubwa ya nasibu yanapaswa kutofautishwa na yale yaliyotengwa, ambayo yana upekee kwamba uzoefu ambao matukio haya yanahusishwa kimsingi hauwezi kuzaliana. Kwa mfano, tukio "Ilianguka theluji huko Moscow mnamo Januari 1, 2010" ni kwa maana hii tukio moja (la kipekee), kwani haiwezekani kuzaliana tukio la siku maalum mara nyingi. Wakati huo huo, hafla "Ilianguka theluji huko Moscow mnamo Januari 1" (bila kutaja mwaka) bila shaka imeenea: baada ya yote, unaweza kuona hali ya hewa huko Moscow mnamo Januari 1 mara nyingi (zaidi ya miaka mingi).
Kwa maneno ya jumla zaidi, mada ya nadharia ya uwezekano inaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:
Nadharia ya uwezekano huchunguza ruwaza zinazopatikana katika matukio mengi ya nasibu.
Inabadilika kuwa matukio ya nasibu pia yanatii mifumo fulani (ya uwezekano). Matokeo ya kila uzoefu kuhusiana na tukio fulani ni ya nasibu na haina uhakika. Hata hivyo matokeo ya wastani idadi kubwa majaribio kupoteza tabia yao random na kuwa asili.
Kwa mfano, fikiria jaribio la kurusha sarafu fulani. Wacha tufikirie kuwa kutupa hufanywa mara nyingi mfululizo. Inabadilika kuwa "idadi" (matokeo ya wastani) ya utupaji ambao kanzu ya mikono huanguka (yaani, uwiano wa idadi ya kutupa vile kwa idadi ya kutupa zote) na ongezeko la idadi ya njia za kutupa. (au nambari nyingine - hii inategemea hali ya sarafu).
Hebu tutoe mfano mwingine. Chombo hicho kina gesi. Kuwa katika mwendo unaoendelea, molekuli za gesi hugonga kila mmoja na, kwa sababu hiyo, hubadilisha mara kwa mara ukubwa na mwelekeo wa kasi yao. Inaweza kuonekana kuwa inafuata kwamba shinikizo la gesi kwenye kuta za chombo, linalosababishwa na athari za molekuli ya mtu binafsi kwenye kuta, inapaswa kubadilika kwa njia ya random, isiyo na udhibiti. Hata hivyo, hii sivyo: shinikizo la gesi linatii muundo mkali (sheria ya Boyle-Mariotte). Sababu ya muundo huu iko katika ukweli kwamba shinikizo la gesi kwenye kuta za chombo ni matokeo ya wastani ya ushawishi wa idadi kubwa ya molekuli. Vipengele vya nasibu vilivyo katika mwendo wa molekuli moja kwa moja kwenye misa (kwa kuwa kuna molekuli nyingi) hughairiwa kwa pande zote, kusawazishwa, na muundo fulani wa wastani hutokea.
Ni uthabiti huu wa matokeo ya wastani, uhuru wake kutoka kwa mabadiliko ya masharti ya mtu binafsi (matokeo ya mtu binafsi ya jaribio) ambayo huamua upana wa matumizi ya nadharia ya uwezekano. Fizikia, biolojia, dawa, isimu n.k - maeneo haya yote ya sayansi hutumia (baadhi kwa kiwango kikubwa, wengine kwa kiwango kidogo) dhana na hitimisho la nadharia ya uwezekano na taaluma zinazohusiana - takwimu za hisabati, nadharia ya habari, nk.
Hebu sasa tuende kwenye muundo rahisi zaidi, muhimu zaidi katika matukio ya nasibu, ambayo hatimaye huunda msingi wa matumizi yote ya nadharia ya uwezekano kufanya mazoezi.
Taarifa zinazohusiana.