Nadharia ya mipaka ni moja ya sehemu uchambuzi wa hisabati. Swali la kutatua mipaka ni pana kabisa, kwani kuna njia kadhaa za kutatua mipaka aina mbalimbali. Kuna kadhaa ya nuances na hila zinazokuwezesha kutatua hili au kikomo. Walakini, bado tutajaribu kuelewa aina kuu za mipaka ambayo mara nyingi hukutana nayo katika mazoezi.
Wacha tuanze na wazo la kikomo. Lakini kwanza, historia fupi ya kihistoria. Huko aliishi katika karne ya 19 Mfaransa, Augustin Louis Cauchy, ambaye aliweka misingi ya uchambuzi wa hisabati na kutoa ufafanuzi mkali, ufafanuzi wa kikomo, hasa. Inapaswa kusemwa kwamba Cauchy huyo huyo alikuwa, yuko, na atakuwa katika ndoto za wanafunzi wote wa fizikia na hesabu, kwani alithibitisha idadi kubwa ya nadharia za uchambuzi wa hesabu, na kila nadharia ni ya kuchukiza zaidi kuliko nyingine. Katika suala hili, hatutazingatia ufafanuzi mkali wa kikomo, lakini tutajaribu kufanya mambo mawili:
1. Elewa kikomo ni nini.
2. Jifunze kutatua aina kuu za mipaka.
Ninaomba msamaha kwa maelezo fulani yasiyo ya kisayansi, ni muhimu kwamba nyenzo hiyo inaeleweka hata kwa teapot, ambayo, kwa kweli, ni kazi ya mradi huo.
Kwa hivyo kikomo ni nini?
Na ni mfano tu wa kwanini kumfanyia shaggy bibi....
Kikomo chochote kina sehemu tatu:
1) Aikoni ya kikomo inayojulikana sana.
2) Maingizo chini ya ikoni ya kikomo, ndani kwa kesi hii. Ingizo linasomeka "X inaelekea moja." Mara nyingi - haswa, ingawa badala ya "X" katika mazoezi kuna anuwai zingine. Katika kazi za vitendo, mahali pa moja inaweza kuwa nambari yoyote, pamoja na infinity ().
3) Kazi chini ya ishara ya kikomo, katika kesi hii.
Rekodi yenyewe 
husoma kama hii: "kikomo cha chaguo la kukokotoa kama x huelekea umoja."
Wacha tuangalie swali linalofuata muhimu - neno "x" linamaanisha nini? inajitahidi kwa mmoja"? Na "kujitahidi" inamaanisha nini?
Wazo la kikomo ni dhana, kwa kusema, yenye nguvu. Wacha tujenge mlolongo: kwanza, halafu,,, ..., 
, ….
Hiyo ni, usemi "x inajitahidi kwa moja" inapaswa kueleweka kama ifuatavyo: "x" huchukua maadili kila wakati ambayo inakaribia umoja unaokaribiana kabisa na kwa vitendo sanjari nayo.
Jinsi ya kutatua mfano hapo juu? Kulingana na hapo juu, unahitaji tu kubadilisha moja kwenye kazi chini ya ishara ya kikomo:
Kwa hivyo, kanuni ya kwanza: Tunapopewa kikomo chochote, kwanza tunajaribu tu kuunganisha nambari kwenye chaguo la kukokotoa.
Tumezingatia kikomo rahisi zaidi, lakini haya pia hutokea katika mazoezi, na si mara chache sana!
Mfano na infinity:
Hebu tujue ni nini? Hii ndio kesi wakati inapoongezeka bila kikomo, yaani: kwanza, basi, basi, basi, na kadhalika ad infinitum.
Ni nini kinatokea kwa utendaji kwa wakati huu?
, , 
, …
Kwa hivyo: if , basi chaguo la kukokotoa huwa na minus infinity:
Kwa kusema, kulingana na sheria yetu ya kwanza, badala ya "X" tunabadilisha ukomo katika kazi na kupata jibu.
Mfano mwingine na infinity:
Tena tunaanza kuongezeka hadi usio na mwisho, na angalia tabia ya kazi: 
Hitimisho: wakati kazi inapoongezeka bila kikomo:
Na mfululizo mwingine wa mifano:
Tafadhali jaribu kiakili kuchambua yafuatayo kwako mwenyewe na ukumbuke aina rahisi zaidi za mipaka:
, , , , 
, , , , 
,
Ikiwa una mashaka popote, unaweza kuchukua kikokotoo na kufanya mazoezi kidogo.
Katika tukio ambalo , jaribu kuunda mlolongo , , . Ikiwa , basi , , .
Kumbuka: kwa kusema madhubuti, mbinu hii ya kuunda mlolongo wa nambari kadhaa sio sahihi, lakini kwa kuelewa mifano rahisi inafaa kabisa.
Pia makini na jambo lifuatalo. Hata kama kikomo kinatolewa kwa idadi kubwa juu, au hata na milioni: , basi ni sawa. 
, kwani mapema au baadaye "X" itachukua maadili makubwa ambayo milioni ikilinganishwa nao itakuwa microbe halisi.
Unahitaji kukumbuka nini na kuelewa kutoka kwa hapo juu?
1) Tunapopewa kikomo chochote, kwanza tunajaribu tu kubadilisha nambari kwenye chaguo la kukokotoa.
2) Lazima uelewe na usuluhishe mara moja mipaka rahisi, kama vile 
, , na kadhalika.
Sasa tutazingatia kundi la mipaka lini , na kazi ni sehemu ambayo nambari na dhehebu huwa na polimanomia.
Mfano:
Kuhesabu kikomo 
Kulingana na sheria yetu, tutajaribu kuchukua nafasi ya infinity katika kazi. Tunapata nini kileleni? Infinity. Na nini kinatokea chini? Pia infinity. Kwa hivyo, tuna kile kinachoitwa kutokuwa na uhakika wa spishi. Mtu anaweza kufikiri kwamba , na jibu ni tayari, lakini katika kesi ya jumla hii sio wakati wote, na ni muhimu kutumia mbinu fulani ya ufumbuzi, ambayo sasa tutazingatia.
Jinsi ya kutatua mipaka ya aina hii?
Kwanza tunaangalia nambari na kupata nguvu ya juu zaidi: 
Nguvu inayoongoza katika nambari ni mbili.
Sasa tunaangalia dhehebu na pia tunaipata kwa nguvu ya juu zaidi: 
Kiwango cha juu cha dhehebu ni mbili.
Kisha tunachagua nguvu ya juu zaidi ya nambari na denominator: in katika mfano huu zinafanana na ni sawa na mbili.
Kwa hivyo, njia ya suluhisho ni kama ifuatavyo: ili kufunua kutokuwa na uhakika, ni muhimu kugawanya nambari na dhehebu kwa nguvu ya juu zaidi.
Hili hapa, jibu, na sio ukomo hata kidogo.
Nini kimsingi ni muhimu katika muundo wa uamuzi?
Kwanza, tunaonyesha kutokuwa na uhakika, ikiwa kuna.
Pili, inashauriwa kukatiza suluhisho kwa maelezo ya kati. Kawaida mimi hutumia ishara, haina maana yoyote ya kihesabu, lakini inamaanisha kuwa suluhisho limeingiliwa kwa maelezo ya kati.
Tatu, katika kikomo inashauriwa kuashiria kile kinachoenda wapi. Wakati kazi imeundwa kwa mkono, ni rahisi zaidi kuifanya kwa njia hii: 
Ni bora kutumia penseli rahisi kwa maelezo.
Bila shaka, huna kufanya yoyote ya hili, lakini basi, labda, mwalimu ataonyesha mapungufu katika suluhisho au kuanza kuuliza maswali ya ziada kuhusu kazi hiyo. Je, unaihitaji?
Mfano 2
Tafuta kikomo 
Tena katika nambari na denominator tunapata katika daraja la juu zaidi: 
Kiwango cha juu cha digrii katika nambari: 3
Kiwango cha juu cha digrii katika denominator: 4
Chagua kubwa zaidi thamani, katika kesi hii nne.
Kulingana na algoriti yetu, ili kufichua kutokuwa na uhakika, tunagawanya nambari na kiashiria kwa .
Usajili kamili kazi zinaweza kuonekana kama hii:
Gawanya nambari na denominata kwa
Mfano 3
Tafuta kikomo 
Kiwango cha juu zaidi cha "X" katika nambari: 2
Kiwango cha juu zaidi cha "X" katika denominata: 1 (inaweza kuandikwa kama)
Ili kufichua kutokuwa na uhakika, ni muhimu kugawanya nambari na denominator kwa . Suluhisho la mwisho linaweza kuonekana kama hii:
Gawanya nambari na denominata kwa
Notation haimaanishi kugawanya kwa sifuri (huwezi kugawanya kwa sifuri), lakini mgawanyiko kwa nambari isiyo na kikomo.
Kwa hivyo, kwa kufichua kutokuwa na uhakika wa aina, tunaweza kuwa na uwezo nambari ya mwisho, sifuri au isiyo na mwisho.
Mipaka isiyo na uhakika wa aina na njia ya kuisuluhisha
Kundi linalofuata la mipaka linafanana kwa kiasi fulani na mipaka ambayo imezingatiwa hivi punde: nambari na denominata zina polimanomia, lakini "x" haielekei tena kutokuwa na mwisho, lakini nambari ya mwisho.
Mfano 4
Tatua kikomo 
Kwanza, wacha tujaribu kubadilisha -1 kwenye sehemu: 
Katika kesi hii, kinachojulikana kuwa kutokuwa na uhakika kinapatikana.
Kanuni ya jumla : ikiwa nambari na denominata zina polynomials, na kuna kutokuwa na uhakika wa fomu, basi kuifichua. unahitaji kuangazia nambari na denominator.
Ili kufanya hivyo, mara nyingi unahitaji kuamua mlinganyo wa quadratic na/au tumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Ikiwa mambo haya yamesahauliwa, basi tembelea ukurasa Fomula za hisabati na meza na angalia nyenzo za mbinu Njia za moto za kozi ya hisabati ya shule. Kwa njia, ni bora kuichapisha; inahitajika mara nyingi sana, na habari inachukuliwa bora kutoka kwa karatasi.
Kwa hivyo, wacha tutatue kikomo chetu 
Weka alama kwenye nambari na denominator
Ili kuhesabu nambari, unahitaji kutatua equation ya quadratic: 
Kwanza tunapata ubaguzi:
Na mzizi wake wa mraba:.
Ikiwa kibaguzi ni kikubwa, kwa mfano 361, tunatumia kikokotoo, kazi ya uchimbaji. kipeo inapatikana kwenye kikokotoo rahisi zaidi.
! Ikiwa mzizi haujatolewa kwa ukamilifu (nambari ya sehemu iliyo na koma inapatikana), kuna uwezekano mkubwa kwamba kibaguzi kilihesabiwa vibaya au kulikuwa na makosa katika kazi.
Ifuatayo, tunapata mizizi: 
Hivyo:
Wote. Nambari imebadilishwa.
Denominator. Denominator tayari ni sababu rahisi zaidi, na hakuna njia ya kurahisisha.
Kwa wazi, inaweza kufupishwa kuwa:
Sasa tunabadilisha -1 kwa usemi ambao unabaki chini ya ishara ya kikomo:
Kwa kawaida, katika kazi ya mtihani, wakati wa mtihani au mtihani, suluhisho halijaandikwa kwa undani kama huo. Katika toleo la mwisho, muundo unapaswa kuonekana kama hii:
Wacha tuimarishe nambari. 
Mfano 5
Kuhesabu kikomo 
Kwanza, toleo la "kumaliza" la suluhisho
Hebu tuangazie nambari na denominator.
Nambari:
Denominata: 
, 
Ni nini muhimu katika mfano huu?
Kwanza, lazima uwe na ufahamu mzuri wa jinsi nambari inavyofunuliwa, kwanza tulichukua 2 kutoka kwa mabano, na kisha tukatumia fomula ya tofauti ya miraba. Hii ndio fomula unayohitaji kujua na kuona.
Hisabati ni sayansi inayojenga ulimwengu. Mwanasayansi na mtu wa kawaida - hakuna mtu anayeweza kufanya bila hiyo. Kwanza, watoto wadogo wanafundishwa kuhesabu, kisha kuongeza, kupunguza, kuzidisha na kugawanya, kwa sekondari kuingia kucheza majina ya barua, na katika umri mkubwa huwezi kufanya bila wao.
Lakini leo tutazungumza juu ya nini hisabati yote inayojulikana inategemea. Kuhusu jumuiya ya nambari inayoitwa "mipaka ya mlolongo".
Mlolongo ni nini na kikomo chao kiko wapi?
Maana ya neno "mlolongo" sio ngumu kutafsiri. Huu ni mpangilio wa vitu ambapo mtu au kitu kinapatikana kwa utaratibu fulani au foleni. Kwa mfano, foleni ya tikiti kwa mbuga ya wanyama ni mlolongo. Na kunaweza kuwa na moja tu! Ikiwa, kwa mfano, unatazama foleni kwenye duka, hii ni mlolongo mmoja. Na ikiwa mtu mmoja kutoka kwenye foleni hii anaondoka ghafla, basi hii ni foleni tofauti, utaratibu tofauti.
Neno "kikomo" pia linatafsiriwa kwa urahisi - ni mwisho wa kitu. Walakini, katika hisabati, mipaka ya mlolongo ni zile maadili kwenye safu ya nambari ambayo mlolongo wa nambari huelekea. Kwa nini inajitahidi na sio mwisho? Ni rahisi, nambari ya nambari haina mwisho, na mlolongo mwingi, kama miale, una mwanzo tu na unaonekana kama hii:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Kwa hivyo ufafanuzi wa mfuatano ni kazi ya hoja asilia. Zaidi kwa maneno rahisi ni msururu wa washiriki wa seti fulani.
Mlolongo wa nambari unaundwaje?
Mfano rahisi zaidi mlolongo wa nambari inaweza kuonekana kama hii: 1, 2, 3, 4, ...n...
Mara nyingi, kwa madhumuni ya vitendo, mlolongo hujengwa kutoka kwa nambari, na kila mwanachama wa pili wa mfululizo, hebu tuonyeshe X, ana jina lake mwenyewe. Kwa mfano:
x 1 ndiye mshiriki wa kwanza wa mfuatano;
x 2 ni muhula wa pili wa mfuatano;
x 3 ni muhula wa tatu;
x n ni neno la nth.
Kwa njia za vitendo, mlolongo hutolewa formula ya jumla, ambayo kuna kutofautiana. Kwa mfano:
X n =3n, basi safu ya nambari yenyewe itaonekana kama hii:
Ni vyema kukumbuka kwamba wakati wa kuandika mlolongo kwa ujumla, unaweza kutumia barua yoyote ya Kilatini, si tu X. Kwa mfano: y, z, k, nk.
Ukuaji wa hesabu kama sehemu ya mfuatano
Kabla ya kutafuta mipaka ya mlolongo, inashauriwa kuzama zaidi katika dhana ya mfululizo wa nambari kama hiyo, ambayo kila mtu alikutana nayo wakati wa shule ya kati. Ukuaji wa hesabu ni msururu wa nambari ambamo tofauti kati ya istilahi zilizo karibu ni thabiti.
Shida: "Acha 1 = 15, na hatua ya kuendelea ya safu ya nambari d = 4. Tengeneza masharti 4 ya kwanza ya mfululizo huu"
Suluhisho: a 1 = 15 (kwa hali) ni muda wa kwanza wa maendeleo (nambari ya mfululizo).
na 2 = 15+4=19 ni muhula wa pili wa mwendelezo.
na 3 =19+4=23 ni muhula wa tatu.
na 4 =23+4=27 ni muhula wa nne.
Hata hivyo njia sawa ni vigumu kufikia maadili makubwa, kwa mfano hadi 125. . Hasa kwa kesi kama hizo, fomula inayofaa kwa mazoezi ilitolewa: n =a 1 +d(n-1). Katika kesi hii, 125 =15+4(125-1)=511.
Aina za mlolongo
Misururu mingi haina mwisho, inafaa kukumbuka maisha yako yote. Kuna mbili kuvutia kuangalia mfululizo wa nambari. Ya kwanza imetolewa na fomula n =(-1) n. Wanahisabati mara nyingi huita mlolongo huu kuwa flasher. Kwa nini? Wacha tuangalie safu yake ya nambari.
1, 1, -1, 1, -1, 1, nk. Washa mfano sawa inakuwa wazi kwamba nambari katika mfuatano zinaweza kurudiwa kwa urahisi.
Mlolongo wa kiwanda. Ni rahisi kukisia - fomula inayofafanua mlolongo ina kipengele. Kwa mfano: n = (n+1)!
Kisha mlolongo utaonekana kama hii:
a 2 = 1x2x3 = 6;
na 3 = 1x2x3x4 = 24, nk.
Mlolongo umetolewa maendeleo ya hesabu, inaitwa kupungua kwa ukomo ikiwa ukosefu wa usawa -1 unazingatiwa kwa masharti yake yote na 3 = - 1/8, nk. Kuna hata mlolongo unaojumuisha nambari sawa. Kwa hivyo, n = 6 inajumuisha idadi isiyo na kikomo ya sita. Vikomo vya mfuatano vimekuwepo kwa muda mrefu katika hisabati. Bila shaka, wanastahili kubuni yao wenyewe yenye uwezo. Kwa hiyo, wakati wa kujifunza ufafanuzi wa mipaka ya mlolongo. Kwanza, hebu tuangalie kikomo cha kazi ya mstari kwa undani: Ni rahisi kuelewa kuwa ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo unaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: hii ni nambari fulani ambayo washiriki wote wa mlolongo hukaribia kabisa. Mfano rahisi: a x = 4x+1. Kisha mlolongo yenyewe utaonekana kama hii. 5, 9, 13, 17, 21…x… Kwa hivyo, mlolongo huu utaongezeka kwa muda usiojulikana, ambayo inamaanisha kikomo chake ni sawa na infinity kama x→∞, na inapaswa kuandikwa kama hii: Ikiwa tutachukua mlolongo sawa, lakini x inaelekea 1, tunapata: Na safu ya nambari itakuwa kama hii: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, nk Kila wakati unahitaji kubadilisha nambari karibu na moja (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Kutoka kwa mfululizo huu ni wazi kwamba kikomo cha kazi ni tano. Kutoka kwa sehemu hii inafaa kukumbuka ni nini kikomo cha mlolongo wa nambari, ufafanuzi na njia ya kutatua shida rahisi. Baada ya kuchunguza kikomo cha mlolongo wa nambari, ufafanuzi wake na mifano, unaweza kuendelea na mada ngumu zaidi. Vikomo vyote vya mfuatano vinaweza kutengenezwa kwa fomula moja, ambayo kwa kawaida huchanganuliwa katika muhula wa kwanza. Kwa hivyo, seti hii ya barua, moduli na ishara za usawa inamaanisha nini? ∀ ni kibainishi cha ulimwengu wote, kinachochukua nafasi ya misemo "kwa wote", "kwa kila kitu", nk. ∃ ni kibainishi kinachowezekana, katika kesi hii inamaanisha kuwa kuna thamani fulani N inayomilikiwa na seti ya nambari asilia. Fimbo ndefu ya wima inayofuata N inamaanisha kuwa seti iliyopewa N ni "hivyo." Kwa mazoezi, inaweza kumaanisha "vile vile", "vile vile", nk. Ili kuimarisha nyenzo, soma fomula kwa sauti. Njia ya kupata kikomo cha mlolongo, ambayo ilijadiliwa hapo juu, ingawa ni rahisi kutumia, sio busara sana katika mazoezi. Jaribu kupata kikomo cha kazi hii: Ikiwa tutabadilisha maadili tofauti ya "x" (kuongezeka kila wakati: 10, 100, 1000, nk), basi tunapata ∞ kwenye nambari, lakini pia ∞ kwenye dhehebu. Hii inasababisha sehemu ya kushangaza: Lakini hii ni kweli? Kuhesabu kikomo cha mlolongo wa nambari katika kesi hii inaonekana rahisi sana. Ingewezekana kuacha kila kitu kama ilivyo, kwa sababu jibu liko tayari, na lilipokelewa chini ya hali nzuri, lakini kuna njia nyingine mahsusi kwa kesi kama hizo. Kwanza, wacha tupate digrii ya juu zaidi katika nambari ya sehemu - hii ni 1, kwani x inaweza kuwakilishwa kama x 1. Sasa wacha tupate digrii ya juu zaidi katika dhehebu. Pia 1. Wacha tugawanye nambari na dhehebu kwa kutofautisha hadi kiwango cha juu zaidi. Katika kesi hii, gawanya sehemu kwa x 1. Ifuatayo, tutapata ni thamani gani kila neno lililo na kigezo huelekea. Katika kesi hii, sehemu ndogo huzingatiwa. Kama x→∞, thamani ya kila sehemu huelekea sifuri. Unapowasilisha kazi yako kwa maandishi, unapaswa kufanya maelezo ya chini yafuatayo: Hii inasababisha usemi ufuatao: Kwa kweli, sehemu zilizo na x hazikuwa sufuri! Lakini thamani yao ni ndogo sana kwamba inaruhusiwa kabisa kutoizingatia katika mahesabu. Kwa kweli, x haitakuwa sawa na 0 katika kesi hii, kwa sababu huwezi kugawanya kwa sifuri. Tuseme profesa ana mlolongo changamano, uliotolewa, kwa wazi, na fomula tata sawa. Profesa amepata jibu, lakini ni sawa? Baada ya yote, watu wote hufanya makosa. Auguste Cauchy aliwahi kuja na njia bora ya kuthibitisha mipaka ya mlolongo. Mbinu yake iliitwa ujanja ujanja. Tuseme kwamba kuna hatua fulani a, ujirani wake katika pande zote mbili kwenye mstari wa nambari ni sawa na ε ("epsilon"). Kwa kuwa tofauti ya mwisho ni umbali, thamani yake daima ni chanya. Sasa hebu tufafanue mlolongo fulani x n na tuchukulie kuwa muhula wa kumi wa mfuatano (x 10) umejumuishwa katika kitongoji cha a. Je, tunawezaje kuandika ukweli huu katika lugha ya hisabati? Wacha tuseme x 10 iko upande wa kulia wa nukta a, kisha umbali x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sasa ni wakati wa kuelezea kwa vitendo formula iliyojadiliwa hapo juu. Ni sawa kuita nambari fulani kuwa sehemu ya mwisho ya mlolongo ikiwa kwa kikomo chake chochote usawa wa ε>0 umeridhika, na kitongoji kizima kina nambari yake ya asili N, ili washiriki wote wa mlolongo wenye nambari za juu zaidi. itakuwa ndani ya mlolongo |x n - a|< ε. Kwa ujuzi huo ni rahisi kutatua mipaka ya mlolongo, kuthibitisha au kupinga jibu tayari. Nadharia juu ya mipaka ya mlolongo ni sehemu muhimu ya nadharia, bila ambayo mazoezi haiwezekani. Kuna nadharia kuu nne tu, kukumbuka ambayo inaweza kurahisisha suluhisho au uthibitisho: Wakati mwingine unahitaji kutatua tatizo la kinyume, ili kuthibitisha kikomo fulani cha mlolongo wa nambari. Hebu tuangalie mfano. Thibitisha kuwa kikomo cha mlolongo uliotolewa na fomula ni sifuri. Kulingana na sheria iliyojadiliwa hapo juu, kwa mlolongo wowote ukosefu wa usawa |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Hebu tueleze n kwa njia ya "epsilon" ili kuonyesha kuwepo kwa nambari fulani na kuthibitisha uwepo wa kikomo cha mlolongo. Katika hatua hii, ni muhimu kukumbuka kuwa "epsilon" na "en" ni nambari nzuri na si sawa na sifuri. Sasa inawezekana kuendelea na mabadiliko zaidi kwa kutumia ujuzi kuhusu ukosefu wa usawa uliopatikana katika shule ya upili. Inakuwaje kuwa n > -3 + 1/ε. Kwa kuwa inafaa kukumbuka kuwa tunazungumza juu ya nambari za asili, matokeo yanaweza kuzungushwa kwa kuiweka kwenye mabano ya mraba. Kwa hivyo, ilithibitishwa kuwa kwa thamani yoyote ya kitongoji cha "epsilon" cha uhakika a = 0, thamani ilipatikana ili kutokuwepo kwa usawa wa awali. Kuanzia hapa tunaweza kusema kwa usalama kwamba nambari a ni kikomo cha mlolongo fulani. Q.E.D. Njia hii rahisi inaweza kutumika kuthibitisha kikomo cha mlolongo wa nambari, bila kujali jinsi inaweza kuwa ngumu kwa mtazamo wa kwanza. Jambo kuu sio hofu wakati unapoona kazi. Kuwepo kwa kikomo cha uthabiti sio lazima katika mazoezi. Unaweza kukutana kwa urahisi na mfululizo wa nambari ambazo hazina mwisho. Kwa mfano, sawa "mwanga wa mwanga" x n = (-1) n. ni dhahiri kwamba mfuatano unaojumuisha tarakimu mbili pekee, unaorudiwa kwa mzunguko, hauwezi kuwa na kikomo. Hadithi hiyo hiyo inarudiwa kwa mfuatano unaojumuisha nambari moja, zile za sehemu, zisizo na uhakika wa mpangilio wowote wakati wa hesabu (0/0, ∞/∞, ∞/0, n.k.). Hata hivyo, ni lazima ikumbukwe kwamba mahesabu yasiyo sahihi pia hutokea. Wakati mwingine kuangalia mara mbili suluhisho lako mwenyewe kutakusaidia kupata kikomo cha mlolongo. Mifano kadhaa ya mlolongo na mbinu za kuzitatua zilijadiliwa hapo juu, na sasa hebu tujaribu kuchukua kesi maalum zaidi na kuiita "mlolongo wa monotoniki." Ufafanuzi: mlolongo wowote unaweza kuitwa kuongezeka kwa monotonically ikiwa ukosefu mkali wa x n unashikilia.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Pamoja na masharti haya mawili, pia kuna usawa usio na usawa unaofanana. Ipasavyo, x n ≤ x n +1 (mlolongo usiopungua) na x n ≥ x n +1 (mlolongo usiozidi). Lakini ni rahisi kuelewa hili kwa mifano. Mlolongo uliotolewa na formula x n = 2+n huunda mfululizo wa nambari zifuatazo: 4, 5, 6, nk Huu ni mlolongo wa kuongezeka kwa monotonically. Na tukichukua x n =1/n, tunapata mfululizo: 1/3, ¼, 1/5, nk. Huu ni mlolongo wa kupungua kwa monotonically. Mfuatano ulio na mipaka ni mfuatano ambao una kikomo. Mfuatano wa kuunganika ni msururu wa nambari ambao una kikomo kisicho na kikomo. Kwa hivyo, kikomo cha mfuatano uliowekewa mipaka ni nambari yoyote halisi au changamano. Kumbuka kwamba kunaweza kuwa na kikomo kimoja tu. Kikomo cha mfuatano wa muunganisho ni wingi usio na kikomo (halisi au changamano). Ikiwa unachora mchoro wa mlolongo, basi kwa hatua fulani itaonekana kuunganishwa, huwa na kugeuka kuwa thamani fulani. Kwa hivyo jina - mlolongo wa kuunganika. Kunaweza kuwa au kusiwe na kikomo kwa mlolongo kama huo. Kwanza, ni muhimu kuelewa wakati iko; kutoka hapa unaweza kuanza wakati wa kudhibitisha kutokuwepo kwa kikomo. Kati ya mlolongo wa monotonic, mchanganyiko na tofauti hutofautishwa. Convergent ni mfuatano ambao huundwa na seti ya x na ina kikomo halisi au changamani katika seti hii. Divergent ni mlolongo ambao hauna kikomo katika seti yake (si halisi wala changamano). Zaidi ya hayo, mlolongo huungana ikiwa, katika uwakilishi wa kijiometri, mipaka yake ya juu na ya chini hukutana. Kikomo cha mfuatano wa kuunganika kinaweza kuwa sifuri katika hali nyingi, kwani mlolongo wowote usio na kikomo una kikomo kinachojulikana (sifuri). Mlolongo wowote wa muunganisho unaochukua, wote wamewekewa mipaka, lakini si mfuatano wote wenye mipaka huungana. Jumla, tofauti, bidhaa ya mifuatano miwili ya muunganisho pia ni mfuatano wa kuunganika. Hata hivyo, mgawo unaweza pia kuunganishwa ikiwa umefafanuliwa! Vikomo vya mlolongo ni muhimu (katika hali nyingi) kama tarakimu na nambari: 1, 2, 15, 24, 362, nk. Inabadilika kuwa shughuli zingine zinaweza kufanywa kwa mipaka. Kwanza, kama tarakimu na nambari, mipaka ya mlolongo wowote inaweza kuongezwa na kupunguzwa. Kulingana na nadharia ya tatu juu ya mipaka ya mlolongo, usawa wafuatayo unashikilia: kikomo cha jumla ya mlolongo ni sawa na jumla ya mipaka yao. Pili, kwa kuzingatia nadharia ya nne juu ya mipaka ya mlolongo, usawa wafuatayo ni kweli: kikomo cha bidhaa ya nambari ya nth ya mlolongo ni sawa na bidhaa ya mipaka yao. Vile vile ni kweli kwa mgawanyiko: kikomo cha mgawo wa mlolongo mbili ni sawa na mgawo wa mipaka yao, isipokuwa kwamba kikomo sio sifuri. Baada ya yote, ikiwa kikomo cha mlolongo ni sawa na sifuri, basi mgawanyiko kwa sifuri utatokea, ambayo haiwezekani. Inaweza kuonekana kuwa kikomo cha mlolongo wa nambari tayari kimejadiliwa kwa undani, lakini misemo kama vile nambari "ndogo sana" na "kubwa isiyo na kikomo" imetajwa zaidi ya mara moja. Ni wazi, ikiwa kuna mlolongo 1/x, ambapo x→∞, basi sehemu kama hiyo haina kikomo, na ikiwa mlolongo huo huo, lakini kikomo huwa na sifuri (x→0), basi sehemu hiyo inakuwa thamani kubwa sana. Na idadi kama hiyo ina sifa zao wenyewe. Sifa za kikomo cha mlolongo unao na maadili yoyote ndogo au kubwa ni kama ifuatavyo. Kwa kweli, kuhesabu kikomo cha mlolongo sio kazi ngumu kama unajua algorithm rahisi. Lakini mipaka ya uthabiti ni mada ambayo inahitaji umakini wa hali ya juu na uvumilivu. Kwa kweli, inatosha kufahamu tu kiini cha suluhisho la misemo kama hiyo. Kuanzia ndogo, unaweza kufikia urefu mkubwa kwa muda. Kutokuwa na uhakika wa aina na spishi ndio kutokuwa na uhakika kwa kawaida ambayo inahitaji kufichuliwa wakati wa kutatua vikomo. Matatizo mengi ya kikomo yanayokumbana na wanafunzi yana mashaka kama hayo. Ili kuwafunua au, kwa usahihi, ili kuepuka kutokuwa na uhakika, kuna mbinu kadhaa za bandia za kubadilisha aina ya kujieleza chini ya ishara ya kikomo. Mbinu hizi ni kama ifuatavyo: mgawanyo wa neno baada ya muda wa nambari na denominator kwa nguvu ya juu zaidi ya kutofautisha, kuzidisha kwa usemi wa mnyambuliko na uainishaji kwa upunguzaji unaofuata kwa kutumia suluhu za milinganyo ya roboduara na kanuni za kuzidisha zilizofupishwa. Kutokuwa na uhakika wa aina Mfano 1. n ni sawa na 2. Kwa hivyo, tunagawanya neno la nambari na denomineta kwa neno na: Toa maoni upande wa kulia wa usemi. Mishale na nambari zinaonyesha sehemu gani huelekea baada ya kubadilisha n maana isiyo na mwisho. Hapa, kama katika mfano 2, shahada n Kuna zaidi katika dhehebu kuliko nambari, kama matokeo ambayo sehemu nzima inaelekea kuwa isiyo na kikomo au "ndogo sana." Tunapata jibu: kikomo cha chaguo hili la kukokotoa na kigezo kinachoelekea kutokuwa na mwisho ni sawa na . Mfano 2. . Suluhisho. Hapa nguvu ya juu ya kutofautiana x ni sawa na 1. Kwa hivyo, tunagawanya neno la nambari na denominator kwa neno x: Maoni juu ya maendeleo ya uamuzi. Katika nambari tunaendesha "x" chini ya mzizi wa shahada ya tatu, na ili shahada yake ya awali (1) ibaki bila kubadilika, tunaiweka kwa kiwango sawa na mzizi, yaani, 3. Hakuna mishale au nambari za ziada. katika ingizo hili, kwa hivyo ijaribu kiakili, lakini kwa mlinganisho na mfano uliopita, tambua ni nini maneno katika nambari na denominator huwa baada ya kubadilisha infinity badala ya "x". Tulipokea jibu: kikomo cha chaguo hili la kukokotoa na kigezo kinachoelekea kutokuwa na mwisho ni sawa na sifuri. Kutokuwa na uhakika wa aina Mfano 3. Fichua kutokuwa na uhakika na upate kikomo. Suluhisho. Nambari ni tofauti ya cubes. Wacha tuichambue kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule: Denominata ina utatu wa quadratic, ambayo tutaiweka kwa kutatua equation ya quadratic (kwa mara nyingine tena kiungo cha kutatua milinganyo ya quadratic): Wacha tuandike usemi uliopatikana kama matokeo ya mabadiliko na tupate kikomo cha kazi: Mfano 4. Fungua kutokuwa na uhakika na upate kikomo Suluhisho. Nadharia ya kikomo cha mgawo haitumiki hapa, kwani Kwa hivyo, tunabadilisha sehemu sawa: kuzidisha nambari na denominator kwa konishi ya binomial hadi denominator, na kupunguza kwa x+1. Kulingana na mfululizo wa Theorem 1, tunapata usemi, kutatua ambayo tunapata kikomo kinachohitajika: Mfano 5. Fungua kutokuwa na uhakika na upate kikomo Suluhisho. Ubadilishaji wa thamani ya moja kwa moja x= 0 katika kipengele cha kukokotoa husababisha kutokuwa na uhakika wa fomu 0/0. Ili kuifichua, tunafanya mabadiliko yanayofanana na hatimaye kupata kikomo kinachohitajika: Mfano 6. Kokotoa Suluhisho: Wacha tutumie nadharia kwenye mipaka Jibu: 11 Mfano 7. Kokotoa Suluhisho: katika mfano huu mipaka ya nambari na dhehebu saa ni sawa na 0: ; Wacha tubadilishe nambari na denominator ili kupunguza sehemu kwa sababu ya kawaida inayoelekea sifuri, na, kwa hivyo, kuwezesha kutumia Nadharia ya 3. Hebu tupanue utatu wa mraba katika nambari kwa kutumia fomula , ambapo x 1 na x 2 ndio mizizi ya utatu. Ukiwa na kipengele na dhehebu, punguza sehemu kwa (x-2), kisha tumia Nadharia ya 3. Jibu: Mfano 8. Kokotoa Suluhisho: Nambari na kiashiria kinapoelekea kutokuwa na ukomo, kwa hivyo, tunapotumia Nadharia 3 moja kwa moja, tunapata usemi , ambao unawakilisha kutokuwa na uhakika. Ili kuondokana na kutokuwa na uhakika wa aina hii, unapaswa kugawanya nambari na denominator kwa nguvu ya juu ya hoja. Katika mfano huu, unahitaji kugawanya na X: Jibu: Mfano 9. Kokotoa Suluhisho: x 3: Jibu: 2 Mfano 10. Kokotoa Suluhisho: Wakati nambari na denominator huwa na ukomo. Hebu tugawanye nambari na denominator kwa nguvu ya juu ya hoja, i.e. x 5: Nambari ya sehemu inaelekea 1, dhehebu huwa 0, kwa hivyo sehemu huwa na infinity. Jibu: Mfano 11. Kokotoa Suluhisho: Wakati nambari na denominator huwa na ukomo. Hebu tugawanye nambari na denominator kwa nguvu ya juu ya hoja, i.e. x 7: Jibu: 0 Derivative. Nyingi ya chaguo za kukokotoa y = f(x) kuhusiana na hoja x inaitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza yake y hadi nyongeza x ya hoja x, wakati nyongeza ya hoja inaelekea sifuri: . Ikiwa kikomo hiki ni cha mwisho, basi kazi y = f(x) inasemekana inaweza kutofautishwa katika nukta x. Ikiwa kikomo hiki kipo, basi wanasema kwamba kazi y = f(x) ina derivative isiyo na kikomo katika nukta x. Miche ya kazi za kimsingi: 1. (const)=0 9. 3. 11. 4. 5. 13. 6. Kanuni za kutofautisha: a) V) Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa Suluhisho: Ikiwa derivative ya neno la pili inapatikana kwa kutumia sheria ya utofautishaji wa sehemu, basi neno la kwanza ni kazi ngumu, inayotokana na ambayo hupatikana na formula: Wapi basi Wakati wa kutatua fomula zifuatazo zilitumika: 1,2,10,a,c,d. Jibu: Mfano 21. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa Suluhisho: maneno yote mawili ni kazi changamano, ambapo kwa ya kwanza , , na ya pili , , basi Jibu: Programu zinazotokana na matumizi. 1. Kasi na kuongeza kasi Acha chaguo za kukokotoa s(t) zielezee nafasi kitu katika mfumo fulani wa kuratibu kwa wakati t. Kisha derivative ya kwanza ya chaguo za kukokotoa s(t) ni papo hapo kasi kitu: 2. Mlinganyo wa tangent 3. Mlinganyo wa kawaida ambapo (x0,y0) ni viwianishi vya mahali ambapo kawaida huchorwa, f′(x0) ni thamani ya kinyambulisho cha chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua hii. 4. Kuongezeka na kupungua kwa kazi 5. Upeo wa ndani wa kipengele cha kukokotoa 6. Pointi muhimu 7. Ishara ya kwanza ya kutosha ya kuwepo kwa extremum Kuamua Kikomo cha Mlolongo
Uteuzi wa jumla kwa kikomo cha mlolongo
Kutokuwa na uhakika na uhakika wa kikomo
Mtaa ni nini?
Nadharia
Uthibitisho wa mlolongo
Au labda hayupo?
Mlolongo wa monotoniki
Kikomo cha mfuatano wa kuunganika na wenye mipaka
Ukomo wa mlolongo wa monotonic
Vitendo mbalimbali na mipaka
Mali ya wingi wa mlolongo
.
. Tumepokea, kwa hivyo, nadharia juu ya kikomo cha mgawo haiwezi kutumika.
= 
12. 
14. 
v=s′=f′(t)
Nyingine ya pili ya chaguo za kukokotoa s(t) inawakilisha papo hapo kuongeza kasi kitu:
w=v′=s′′=f′′(t)
y−y0=f′(x0)(x−x0),
ambapo (x0,y0) ni viwianishi vya nukta ya tanjiti, f′(x0) ni thamani ya kinyambulisho cha chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua ya tanjiti.
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
Ikiwa f′(x0)>0, basi chaguo la kukokotoa huongezeka katika hatua x0. Katika takwimu hapa chini kazi inaongezeka kama x
Ikiwa f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
Chaguo za kukokotoa f(x) ina upeo wa ndani kwa uhakika x1, ikiwa kuna kitongoji cha uhakika x1 ili kwamba kwa wote x kutoka kitongoji hiki ukosefu wa usawa f(x1)≥f(x) unashikilia.
Vile vile, fomula f(x) inayo kima cha chini cha ndani kwa uhakika x2, ikiwa kuna kitongoji cha uhakika x2 ili kwamba kwa wote x kutoka kitongoji hiki ukosefu wa usawa f(x2)≤f(x) unashikilia.
Pointi x0 ni hatua muhimu kazi f(x), ikiwa derivative f′(x0) ndani yake ni sawa na sufuri au haipo.
Ikiwa chaguo za kukokotoa f(x) huongezeka (f′(x)>0) kwa zote x katika muda fulani (a,x1] na kupungua (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kwa yote x kutoka kwa muda)