Nambari kuu zinaweza kugawanywa na wao wenyewe. Nambari kuu

Nambari kuu ni nambari asilia (chanya kamili) ambayo inaweza kugawanywa bila salio kwa nambari asilia mbili tu: yenyewe na yenyewe. Kwa maneno mengine, nambari kuu ina vigawanyiko viwili vya asili: na nambari yenyewe.

Kwa ufafanuzi, seti ya wagawanyiko wote wa nambari kuu ni vipengele viwili, i.e. inawakilisha seti.

Seti ya nambari zote kuu inaonyeshwa na ishara. Kwa hivyo, kwa sababu ya ufafanuzi wa seti ya nambari kuu, tunaweza kuandika:.

Mlolongo wa nambari kuu unaonekana kama hii:

Nadharia ya Msingi ya Hesabu

Nadharia ya Msingi ya Hesabu inasema kwamba kila nambari asilia kubwa kuliko moja inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu, na kwa njia ya kipekee, hadi mpangilio wa sababu. Kwa hivyo, nambari kuu ni "vizuizi vya ujenzi" vya msingi vya seti nambari za asili.

Kichwa cha upanuzi wa nambari asili="Imetolewa na QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kisheria:

nambari kuu iko wapi, na . Kwa mfano, upanuzi wa kisheria wa nambari asilia inaonekana kama hii: .

Kuwakilisha nambari ya asili kama bidhaa ya primes pia inaitwa uainishaji wa nambari.

Sifa za Nambari Kuu

Ungo wa Eratosthenes

Moja ya algorithms maarufu ya kutafuta na kutambua nambari kuu ni ungo wa Eratosthenes. Kwa hivyo algorithm hii ilipewa jina la mwanahisabati wa Uigiriki Eratosthenes wa Cyrene, ambaye anachukuliwa kuwa mwandishi wa algorithm.

Ili kupata nambari zote kuu chini ya nambari fulani, kufuata njia ya Eratosthenes, unahitaji kufuata hatua hizi:

Hatua ya 1. Andika nambari zote za asili kutoka kwa mbili hadi , i.e. .
Hatua ya 2. Agiza thamani kwa kutofautisha, yaani, thamani sawa na nambari kuu ndogo zaidi.
Hatua ya 3. Toa katika orodha nambari zote kutoka hadi zile ni zidishio za , yaani, nambari: .
Hatua ya 4. Tafuta nambari ya kwanza ambayo haijavuka kwenye orodha kubwa kuliko , na weka thamani ya nambari hii kwa kigezo.
Hatua ya 5. Rudia hatua ya 3 na 4 hadi nambari ifikiwe.

Mchakato wa kutumia algorithm utaonekana kama hii:

Nambari zote ambazo hazijavuka kwenye orodha mwishoni mwa mchakato wa kutumia algoriti zitakuwa seti ya nambari kuu kutoka hadi .

Dhana ya Goldbach

Jalada la kitabu “Uncle Petros and the Goldbach Hypothesis”

Licha ya ukweli kwamba nambari kuu zimesomwa na wanahisabati kwa muda mrefu, shida nyingi zinazohusiana bado hazijatatuliwa leo. Moja ya shida maarufu ambazo hazijatatuliwa ni Dhana ya Goldbach, ambayo imeundwa kama ifuatavyo:

Ni kweli kwamba kila nambari kubwa kuliko mbili inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari mbili kuu (dhahania ya binary ya Goldbach)?
Je, ni kweli kwamba kila nambari isiyo ya kawaida zaidi ya 5 inaweza kuwakilishwa kama jumla? tatu rahisi nambari (hypothesis ya ternary Goldbach)?

Inapaswa kusemwa kwamba nadharia ya mwisho ya Goldbach ni kesi maalum ya nadharia ya binary ya Goldbach, au kama wanahisabati wanasema, nadharia ya mwisho ya Goldbach ni dhaifu kuliko nadharia ya binary ya Goldbach.

Dhana ya Goldbach ilijulikana sana nje ya jumuiya ya hisabati mwaka wa 2000 kutokana na kudumaa kwa uuzaji na kampuni za uchapishaji za Bloomsbury USA (USA) na Faber na Faber (Uingereza). Wachapishaji hawa, wakiwa wametoa kitabu "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture," waliahidi kulipa zawadi ya dola za Kimarekani milioni 1 kwa yeyote atakayethibitisha nadharia ya Goldbach ndani ya miaka 2 tangu tarehe ya kuchapishwa kwa kitabu hicho. Wakati mwingine zawadi iliyotajwa kutoka kwa wachapishaji huchanganyikiwa na zawadi za kutatua Matatizo ya Tuzo ya Milenia. Usikose, nadharia ya Goldbach haijaainishwa na Taasisi ya Clay kama "changamoto ya milenia," ingawa inahusiana kwa karibu na Nadharia ya Riemann- moja ya "changamoto za milenia".

Kitabu "Nambari kuu. Barabara ndefu kwenda kwa ukomo"

Jalada la kitabu “Ulimwengu wa Hisabati. Nambari kuu. Barabara ndefu kwenda kwa ukomo"

Zaidi ya hayo, ninapendekeza kusoma kitabu maarufu cha sayansi kinachovutia, maelezo ambayo yanasema: "Utafutaji wa nambari kuu ni mojawapo ya matatizo ya kitendawili zaidi katika hisabati. Wanasayansi wamekuwa wakijaribu kuitatua kwa milenia kadhaa, lakini, wakikua na matoleo mapya na nadharia, siri hii bado haijatatuliwa. Kuonekana kwa nambari kuu sio chini ya mfumo wowote: zinaonekana kwa hiari katika mfululizo wa nambari za asili, na kupuuza majaribio yote ya wanahisabati kutambua mifumo katika mlolongo wao. Kitabu hiki kitamruhusu msomaji kufuatilia mageuzi ya dhana za kisayansi kutoka nyakati za kale hadi leo na kuanzisha nadharia zinazovutia zaidi za kutafuta nambari kuu.”

Zaidi ya hayo, nitanukuu mwanzo wa sura ya pili ya kitabu hiki: “Nambari kuu ni mojawapo ya mada muhimu, ambayo inaturudisha kwenye mwanzo kabisa wa hisabati, na kisha, kwenye njia ya kuongezeka kwa ugumu, inatuongoza kwenye mstari wa mbele. sayansi ya kisasa. Kwa hivyo, itakuwa muhimu sana kufuatilia historia ya kuvutia na ngumu ya nadharia ya nambari kuu: jinsi ilivyokua, jinsi ukweli na ukweli ambao sasa unakubaliwa kwa ujumla ulikusanywa. Katika sura hii tutaona jinsi vizazi vya wanahisabati vilisoma kwa uangalifu nambari asilia ili kutafuta sheria iliyotabiri kuonekana kwa nambari kuu - sheria ambayo ilizidi kuwa ngumu kadri utafutaji ulivyoendelea. Pia tutaangalia kwa undani muktadha wa kihistoria: chini ya hali gani wanahisabati walifanya kazi na ni kwa kiwango gani kazi yao ilihusisha mazoea ya fumbo na nusu ya kidini, ambayo hayafanani kabisa na mbinu za kisayansi, inayotumika siku hizi. Hata hivyo, polepole na kwa shida, uwanja ulitayarishwa kwa maoni mapya ambayo yaliwatia moyo Fermat na Euler katika karne ya 17 na 18.”

Nambari ni tofauti: asili, busara, busara, integer na fractional, chanya na hasi, ngumu na kuu, isiyo ya kawaida na hata, halisi, nk Kutoka kwa makala hii unaweza kujua ni nambari gani kuu.

Ni nambari gani zinazoitwa "rahisi" kwa Kiingereza?

Mara nyingi, watoto wa shule hawajui jinsi ya kujibu moja ya maswali rahisi katika hisabati mwanzoni, juu ya nambari kuu ni nini. Mara nyingi huchanganya nambari kuu na nambari asilia (yaani, nambari ambazo watu hutumia wakati wa kuhesabu vitu, wakati katika vyanzo vingine huanza na sifuri, na kwa zingine na moja). Lakini hizi ni dhana mbili tofauti kabisa. Nambari kuu ni nambari asilia, ambayo ni, nambari kamili na nambari chanya ambazo ni kubwa kuliko moja na ambazo zina vigawanyiko 2 tu vya asili. Zaidi ya hayo, mojawapo ya vigawanyiko hivi ni nambari iliyotolewa, na ya pili ni moja. Kwa mfano, tatu ni nambari kuu kwa sababu haiwezi kugawanywa bila salio na nambari yoyote isipokuwa yenyewe na moja.

Nambari za mchanganyiko

Kinyume cha nambari kuu ni nambari za mchanganyiko. Pia ni ya asili, pia ni kubwa zaidi kuliko moja, lakini hawana mbili, lakini idadi kubwa ya wagawanyiko. Kwa hivyo, kwa mfano, nambari 4, 6, 8, 9, nk ni za asili, za mchanganyiko, lakini sio nambari kuu. Kama unaweza kuona, hizi ni nambari hata, lakini sio zote. Lakini "mbili" ni nambari sawa na "nambari ya kwanza" katika safu ya nambari kuu.

Kufuatia

Ili kuunda mfululizo wa nambari kuu, ni muhimu kuchagua kutoka kwa nambari zote za asili, kwa kuzingatia ufafanuzi wao, yaani, unahitaji kutenda kwa kupingana. Inahitajika kuchunguza kila nambari asilia chanya ili kuona ikiwa ina vigawanyiko zaidi ya viwili. Wacha tujaribu kuunda safu (mlolongo) ambao una nambari kuu. Orodha huanza na mbili, ikifuatiwa na tatu, kwani inaweza kugawanywa peke yake na moja. Fikiria nambari ya nne. Je, ina vigawanyiko vingine zaidi ya vinne na kimoja? Ndio, nambari hiyo ni 2. Kwa hivyo nne sio nambari kuu. Tano pia ni ya msingi (haijagawanywa na nambari nyingine yoyote, isipokuwa 1 na 5), lakini sita inaweza kugawanywa. Na kwa ujumla, ukifuata nambari zote hata, utaona kuwa isipokuwa "mbili", hakuna hata mmoja wao aliye mkuu. Kutoka kwa hili tunahitimisha kwamba hata nambari, isipokuwa mbili, sio kuu. Ugunduzi mwingine: nambari zote zinazogawanywa na tatu, isipokuwa zile tatu zenyewe, ziwe sawa au zisizo za kawaida, pia sio kuu (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, nk.). Vile vile hutumika kwa nambari ambazo zinaweza kugawanywa na tano na saba. Wingi wao wote pia si rahisi. Hebu tufanye muhtasari. Kwa hivyo, nambari rahisi za nambari moja zinajumuisha nambari zote zisizo za kawaida isipokuwa moja na tisa, na hata "mbili" ni nambari sawa. Makumi wenyewe (10, 20,... 40, nk) si rahisi. Nambari za nambari mbili, nambari tatu, nk zinaweza kuamua kulingana na kanuni zilizo hapo juu: ikiwa hawana wagawanyiko isipokuwa wao wenyewe na mmoja.

Nadharia juu ya mali ya nambari kuu

Kuna sayansi ambayo inasoma sifa za nambari kamili, pamoja na nambari kuu. Hili ni tawi la hisabati linaloitwa juu. Mbali na mali ya nambari kamili, pia anashughulika na nambari za algebraic na transcendental, pamoja na kazi za asili tofauti zinazohusiana na hesabu ya nambari hizi. Katika masomo haya, pamoja na njia za msingi na za algebra, zile za uchambuzi na kijiometri pia hutumiwa. Hasa, "Nadharia ya Nambari" inahusika na utafiti wa nambari kuu.

Nambari kuu ni "vizuizi vya ujenzi" vya nambari za asili

Katika hesabu kuna nadharia inayoitwa theorem ya msingi. Kulingana na hilo, nambari yoyote ya asili, isipokuwa moja, inaweza kuwakilishwa kama bidhaa, sababu ambazo ni nambari kuu, na mpangilio wa mambo ni wa kipekee, ambayo inamaanisha kuwa njia ya uwakilishi pia ni ya kipekee. Inaitwa kuhesabu nambari asilia kuwa sababu kuu. Kuna jina lingine la mchakato huu - factorization ya idadi. Kwa msingi wa hii, nambari kuu zinaweza kuitwa " nyenzo za ujenzi”, “vizuizi” vya kutengeneza nambari asilia.

Tafuta nambari kuu. Vipimo vya unyenyekevu

Wanasayansi wengi kutoka nyakati tofauti walijaribu kutafuta kanuni (mifumo) ya kutafuta orodha ya nambari kuu. Sayansi inajua mifumo inayoitwa ungo wa Atkin, ungo wa Sundartham, na ungo wa Eratosthenes. Walakini, hazitoi matokeo yoyote muhimu, na mtihani rahisi hutumiwa kupata nambari kuu. Wanahisabati pia waliunda algoriti. Kawaida huitwa vipimo vya ubora. Kwa mfano, kuna mtihani uliotengenezwa na Rabin na Miller. Inatumiwa na waandishi wa maandishi. Pia kuna jaribio la Kayal-Agrawal-Sasquena. Hata hivyo, licha ya usahihi wa kutosha, ni vigumu sana kuhesabu, ambayo inapunguza umuhimu wake wa vitendo.

Je, seti ya nambari kuu ina kikomo?

Mwanasayansi wa kale wa Kigiriki Euclid aliandika katika kitabu chake "Elements" kwamba seti ya primes ni infinity. Alisema hivi: “Wacha tufikirie kwa muda kwamba idadi kuu ina kikomo. Kisha hebu tuwazidishe kwa kila mmoja, na kuongeza moja kwa bidhaa. Nambari iliyopatikana kama matokeo ya vitendo hivi rahisi haiwezi kugawanywa na safu yoyote ya nambari kuu, kwa sababu iliyobaki itakuwa moja kila wakati. Hii inamaanisha kuwa kuna nambari nyingine ambayo bado haijajumuishwa kwenye orodha ya nambari kuu. Kwa hiyo, dhana yetu si ya kweli, na seti hii haiwezi kuwa na kikomo. Kando na uthibitisho wa Euclid, kuna fomula ya kisasa zaidi iliyotolewa na mwanahisabati wa Uswizi wa karne ya kumi na nane Leonhard Euler. Kulingana na hayo, jumla ya kurudishana kwa jumla ya nambari za n za kwanza hukua bila kikomo kadiri nambari n inavyoongezeka. Na hapa kuna fomula ya nadharia kuhusu usambazaji wa nambari kuu: (n) hukua kama n/ln (n).

Nambari kuu kubwa zaidi ni ipi?

Leonard Euler huyo aliweza kupata idadi kubwa zaidi ya wakati wake. Hii ni 2 31 - 1 = 2147483647. Hata hivyo, kufikia 2013, nyingine sahihi zaidi katika orodha ya nambari kuu ilihesabiwa - 2 57885161 - 1. Inaitwa nambari ya Mersenne. Ina takriban tarakimu milioni 17 za desimali. Kama unaweza kuona, nambari iliyopatikana na mwanasayansi wa karne ya kumi na nane ni ndogo mara kadhaa kuliko hii. Hii ilikuwa kama inavyopaswa kuwa, kwa sababu Euler alifanya hesabu hii kwa mikono, ilhali mtu wetu wa kisasa labda alisaidiwa na kompyuta. Kwa kuongezea, nambari hii ilipatikana katika Kitivo cha Hisabati katika moja ya vitivo vya Amerika. Nambari zilizopewa jina la mwanasayansi huyu hufaulu mtihani wa ubora wa Luc-Lemaire. Walakini, sayansi haitaki kuishia hapo. Wakfu wa Electronic Frontier Foundation, ambao ulianzishwa mwaka 1990 nchini Marekani (EFF), umetoa zawadi ya fedha kwa kupata idadi kubwa ya watu wakuu. Na ikiwa hadi 2013 tuzo hiyo ilitolewa kwa wanasayansi hao ambao wangewapata kutoka kati ya milioni 1 na 10. nambari za desimali, basi leo takwimu hii imefikia kutoka milioni 100 hadi bilioni 1. Zawadi hizo ni kati ya dola 150 hadi 250 elfu za Kimarekani.

Majina ya nambari kuu maalum

Nambari hizo ambazo zilipatikana shukrani kwa algorithms iliyoundwa na wanasayansi fulani na kupitisha mtihani wa unyenyekevu huitwa maalum. Hapa kuna baadhi yao:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Urahisi wa nambari hizi, zilizopewa jina la wanasayansi hapo juu, huanzishwa kwa kutumia vipimo vifuatavyo:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge na wengine.

Sayansi ya kisasa haiishii hapo, na labda katika siku za usoni ulimwengu utajifunza majina ya wale ambao waliweza kupokea tuzo ya $ 250,000 kwa kupata nambari kuu kuu.

Tafsiri

Sifa za nambari kuu zilisomwa kwanza na wanahisabati Ugiriki ya Kale. Wanahisabati wa shule ya Pythagorean (500 - 300 KK) walipendezwa kimsingi na sifa za fumbo na nambari za nambari kuu. Walikuwa wa kwanza kuja na mawazo kuhusu nambari kamili na za kirafiki.

Nambari kamili ina jumla ya vigawanyiko vyake sawa na yenyewe. Kwa mfano, wagawanyaji sahihi wa nambari 6 ni 1, 2 na 3. 1 + 2 + 3 = 6. Wagawanyiko wa nambari 28 ni 1, 2, 4, 7 na 14. Zaidi ya hayo, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Nambari huitwa kirafiki ikiwa jumla ya wagawanyiko sahihi wa nambari moja ni sawa na nyingine, na kinyume chake - kwa mfano, 220 na 284. Tunaweza kusema kwamba nambari kamili ni ya kirafiki kwa yenyewe.

Kufikia wakati wa Vipengele vya Euclid mnamo 300 B.K. kadhaa tayari zimethibitishwa mambo muhimu kuhusu nambari kuu. Katika Kitabu cha IX cha Vipengele, Euclid alithibitisha kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu. Hii, kwa njia, ni moja ya mifano ya kwanza ya kutumia uthibitisho kwa kupingana. Pia anathibitisha Nadharia ya Msingi ya Hesabu - kila nambari kamili inaweza kuwakilishwa kipekee kama bidhaa ya nambari kuu.

Pia alionyesha kwamba ikiwa nambari 2n-1 ni ya msingi, basi nambari 2n-1 * (2n-1) itakuwa kamili. Mtaalamu mwingine wa hisabati, Euler, aliweza kuonyesha mwaka wa 1747 kwamba wote hata nambari kamili inaweza kuandikwa katika fomu hii. Hadi leo haijulikani ikiwa kuna nambari zisizo za kawaida.

Katika mwaka wa 200 BC. Eratosthenes ya Kigiriki ilikuja na algoriti ya kutafuta nambari kuu inayoitwa Ungo wa Eratosthenes.

Na kisha kulikuwa na mapumziko makubwa katika historia ya utafiti wa nambari kuu, zinazohusiana na Zama za Kati.

Ugunduzi ufuatao ulifanywa tayari mwanzoni mwa karne ya 17 na mwanahisabati Fermat. Alithibitisha dhana ya Albert Girard kwamba nambari yoyote kuu ya fomu 4n+1 inaweza kuandikwa kipekee kama jumla ya miraba miwili, na pia akatunga nadharia kwamba nambari yoyote inaweza kuandikwa kama jumla ya miraba minne.

Yeye maendeleo mbinu mpya factorization ya idadi kubwa, na akaionyesha kwenye namba 2027651281 = 44021 × 46061. Pia alithibitisha Theorem Ndogo ya Fermat: ikiwa p ni nambari kuu, basi kwa integer yoyote itakuwa kweli kwamba p = modulo p.

Taarifa hii inathibitisha nusu ya kile kilichojulikana kama "dhahania ya Kichina" na ilianza miaka ya 2000: nambari kamili n ni kuu ikiwa na ikiwa 2 n -2 inaweza kugawanywa na n. Sehemu ya pili ya nadharia iligeuka kuwa ya uwongo - kwa mfano, 2,341 - 2 inaweza kugawanywa na 341, ingawa nambari 341 ni mchanganyiko: 341 = 31 × 11.

Nadharia Ndogo ya Fermat ilitumika kama msingi wa matokeo mengine mengi katika nadharia ya nambari na mbinu za kupima ikiwa nambari ni za kwanza - nyingi ambazo bado zinatumika leo.

Fermat aliwasiliana sana na watu wa wakati wake, haswa na mtawa anayeitwa Maren Mersenne. Katika moja ya barua zake, alidhani kwamba nambari za fomu 2 n +1 zitakuwa za msingi kila wakati ikiwa n ni nguvu ya mbili. Alijaribu hii kwa n = 1, 2, 4, 8 na 16, na alikuwa na hakika kwamba katika kesi ambapo n haikuwa nguvu ya mbili, nambari hiyo haikuwa ya msingi. Nambari hizi zinaitwa nambari za Fermat, na miaka 100 tu baadaye Euler alionyesha kuwa nambari inayofuata, 2 32 + 1 = 4294967297, inaweza kugawanywa na 641, na kwa hivyo sio mkuu.

Nambari za fomu 2 n - 1 pia zimekuwa somo la utafiti, kwa kuwa ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa n ni mchanganyiko, basi nambari yenyewe pia ni mchanganyiko. Nambari hizi zinaitwa nambari za Mersenne kwa sababu alizisoma sana.

Lakini sio nambari zote za fomu 2 n - 1, ambapo n ni mkuu, ni kuu. Kwa mfano, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Hii iligunduliwa kwanza mwaka wa 1536.

Kwa miaka mingi, nambari za aina hii ziliwapa wanahisabati nambari kuu zinazojulikana zaidi. Kwamba M 19 ilithibitishwa na Cataldi mnamo 1588, na kwa miaka 200 ilikuwa nambari kuu inayojulikana zaidi, hadi Euler alipothibitisha kuwa M 31 pia ilikuwa kuu. Rekodi hii ilisimama kwa miaka mia nyingine, na kisha Lucas alionyesha kuwa M 127 ni mkuu (na hii tayari ni idadi ya tarakimu 39), na baada ya utafiti huo uliendelea na ujio wa kompyuta.

Mnamo 1952, ukuu wa nambari M 521, M 607, M 1279, M 2203 na M 2281 ilithibitishwa.

Kufikia 2005, nakala 42 za Mersenne zilikuwa zimepatikana. Kubwa zaidi yao, M 25964951, ina tarakimu 7816230.

Kazi ya Euler ilikuwa na athari kubwa kwa nadharia ya nambari, pamoja na nambari kuu. Alipanua Theorem Ndogo ya Fermat na kuanzisha φ-function. Ilianzisha nambari ya 5 ya Fermat 2 32 +1, ilipata jozi 60 za nambari za kirafiki, na kuunda (lakini haikuweza kuthibitisha) sheria ya usawa wa mara nne.

Alikuwa wa kwanza kuanzisha mbinu uchambuzi wa hisabati na kuendeleza nadharia ya uchanganuzi ya nambari. Alithibitisha kwamba sio tu mfululizo wa harmonic ∑ (1/n), lakini pia mfululizo wa fomu

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Matokeo yaliyopatikana kwa jumla ya upatanishi wa nambari kuu pia hutofautiana. Jumla ya maneno n ya safu ya usawa inakua takriban kama logi(n), na safu ya pili inatofautiana polepole zaidi kama log[ log(n)]. Hii ina maana kwamba, kwa mfano, jumla ya uwiano wa nambari zote kuu zilizopatikana hadi sasa zitatoa 4 tu, ingawa mfululizo bado unatofautiana.

Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba nambari kuu zinasambazwa kwa nasibu kati ya nambari kamili. Kwa mfano, kati ya nambari 100 mara moja kabla ya 10000000 kuna primes 9, na kati ya namba 100 mara moja baada ya thamani hii kuna 2 tu. Lakini juu ya makundi makubwa namba kuu zinasambazwa sawasawa. Legendre na Gauss walishughulikia masuala ya usambazaji wao. Gauss aliwahi kumwambia rafiki kuwa katika dakika 15 za bure yeye huhesabu idadi ya primes katika nambari 1000 zinazofuata. Kufikia mwisho wa maisha yake, alikuwa amehesabu nambari zote kuu hadi milioni 3. Legendre na Gauss walihesabu kwa usawa kwamba kwa n kubwa msongamano mkuu ni 1/logi(n). Legendre alikadiria idadi ya nambari kuu katika safu kutoka 1 hadi n kama

π(n) = n/(logi(n) - 1.08366)

Na Gauss ni kama kiunganishi cha logarithmic

π(n) = ∫ 1/logi(t) dt

Na muda wa kuunganishwa kutoka 2 hadi n.

Taarifa kuhusu msongamano wa primes 1/logi(n) inajulikana kama Nadharia ya Usambazaji Mkuu. Walijaribu kuthibitisha hilo katika karne yote ya 19, na maendeleo yalipatikana na Chebyshev na Riemann. Waliiunganisha na nadharia ya Riemann, dhahania ambayo bado haijathibitishwa kuhusu usambazaji wa sufuri za chaguo za kukokotoa za Riemann zeta. Msongamano wa nambari kuu ulithibitishwa kwa wakati mmoja na Hadamard na Vallée-Poussin mnamo 1896.

Bado kuna maswali mengi ambayo hayajatatuliwa katika nadharia ya nambari kuu, ambayo baadhi yake ni ya mamia ya miaka:

Nadharia kuu pacha ni kuhusu idadi isiyo na kikomo ya jozi za nambari kuu ambazo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa 2.
Dhana ya Goldbach: nambari yoyote sawa, kuanzia 4, inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari kuu mbili.
Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n 2 + 1?
Inawezekana kila wakati kupata nambari kuu kati ya n 2 na (n + 1) 2? (ukweli kwamba kila wakati kuna nambari kuu kati ya n na 2n ilithibitishwa na Chebyshev)
Je, idadi ya matoleo ya awali ya Fermat haina kikomo? Je, kuna chaguzi zozote za Fermat baada ya 4?
ipo maendeleo ya hesabu ya nambari kuu zinazofuatana kwa urefu wowote? kwa mfano, kwa urefu wa 4: 251, 257, 263, 269. Urefu wa juu uliopatikana ni 26.
Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya seti za nambari kuu tatu mfululizo katika maendeleo ya hesabu?
n 2 - n + 41 ni nambari kuu ya 0 ≤ n ≤ 40. Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu kama hizo? Swali sawa kwa fomula n 2 - 79 n + 1601. Nambari hizi ni kuu kwa 0 ≤ n ≤ 79.
Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n# + 1? (n# ni matokeo ya kuzidisha nambari zote kuu chini ya n)
Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n# -1 ?
Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n? + 1?
Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n? - 1?
ikiwa p ni mkuu, je 2 p -1 huwa haina miraba kuu kati ya mambo yake?
mlolongo wa Fibonacci una idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu?

Nambari kuu pacha kubwa zaidi ni 2003663613 × 2 195000 ± 1. Zinajumuisha tarakimu 58711 na ziligunduliwa mwaka wa 2007.

Nambari kuu kubwa ya kiwanda (ya aina n! ± 1) ni 147855! - 1. Ina tarakimu 142891 na ilipatikana mwaka wa 2002.

Nambari kuu kubwa zaidi ya awali (idadi ya fomu n# ± 1) ni 1098133# + 1.

Lebo: Ongeza vitambulisho

Nakala hiyo inajadili dhana za nambari kuu na zenye mchanganyiko. Ufafanuzi wa nambari kama hizo hutolewa kwa mifano. Tunatoa uthibitisho kwamba idadi ya nambari kuu haina kikomo na tutairekodi kwenye jedwali la nambari kuu kwa kutumia njia ya Eratosthenes. Ushahidi utatolewa ili kubaini ikiwa nambari ni kuu au ya mchanganyiko.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nambari Kuu na Mchanganyiko - Ufafanuzi na Mifano

Nambari kuu na za mchanganyiko zimeainishwa kama nambari chanya. Lazima ziwe kubwa kuliko moja. Vigawanyiko pia vimegawanywa kuwa rahisi na mchanganyiko. Ili kuelewa dhana ya nambari za mchanganyiko, lazima kwanza usome dhana za vigawanyiko na vizidishi.

Ufafanuzi 1

Nambari kuu ni nambari kamili ambazo ni kubwa kuliko moja na zina vigawanyiko viwili chanya, ambayo ni, wao wenyewe na 1.

Ufafanuzi 2

Nambari za mchanganyiko ni nambari kamili ambazo ni kubwa zaidi ya moja na zina angalau vigawanyiko vitatu chanya.

Moja sio nambari kuu au ya mchanganyiko. Ina kigawanyiko kimoja tu chanya, kwa hivyo ni tofauti na nambari zingine zote chanya. Nambari zote chanya huitwa nambari za asili, ambayo ni, kutumika katika kuhesabu.

Ufafanuzi 3

Nambari kuu ni nambari za asili ambazo zina vigawanyiko viwili tu.

Ufafanuzi 4

Nambari ya mchanganyiko ni nambari asilia ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili chanya.

Nambari yoyote ambayo ni kubwa kuliko 1 ni ya msingi au ya mchanganyiko. Kutoka kwa mali ya mgawanyiko tunayo hiyo 1 na nambari a daima itakuwa vigawanyiko kwa nambari yoyote a, ambayo ni kwamba, itagawanywa yenyewe na kwa 1. Wacha tutoe ufafanuzi wa nambari kamili.

Ufafanuzi 5

Nambari za asili ambazo sio kuu zinaitwa nambari za mchanganyiko.

Nambari kuu: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Wanaweza kugawanywa peke yao na 1. Nambari za mchanganyiko: 6, 63, 121, 6697. Hiyo ni, nambari ya 6 inaweza kugawanywa kuwa 2 na 3, na 63 kuwa 1, 3, 7, 9, 21, 63 na 121 kuwa 11, 11, ambayo ni, wagawanyiko wake watakuwa 1, 11, 121. Nambari 6697 imegawanywa kuwa 37 na 181. Kumbuka kuwa dhana za nambari kuu na nambari za coprime ni dhana tofauti.

Ili kurahisisha kutumia nambari kuu, unahitaji kutumia meza:

Jedwali la nambari zote za asili zilizopo sio kweli, kwani kuna idadi yao isiyo na kikomo. Nambari zinapofikia ukubwa wa 10000 au 1000000000, basi unapaswa kuzingatia kutumia Ungo wa Eratosthenes.

Wacha tuangalie nadharia inayoelezea taarifa ya mwisho.

Nadharia 1

Kigawanyo chanya kidogo zaidi ya 1 ya nambari asilia kubwa kuliko moja ni nambari kuu.

Ushahidi 1

Wacha tuchukue kuwa a ni nambari asilia ambayo ni kubwa kuliko 1, b ndio kigawanyaji kidogo kisicho cha moja cha a. Inahitajika kudhibitisha kuwa b ni nambari kuu kwa kutumia njia ya kupingana.

Wacha tuchukue kuwa b ni nambari ya mchanganyiko. Kuanzia hapa tunayo kwamba kuna kigawanyo cha b, ambacho ni tofauti na 1 na vile vile kutoka kwa b. Kigawanyiko kama hicho kinaonyeshwa kama b 1. Ni lazima hali hiyo 1< b 1 < b ilikamilika.

Kutoka kwa hali ni wazi kuwa a imegawanywa na b, b imegawanywa na b 1, ambayo inamaanisha kuwa wazo la mgawanyiko linaonyeshwa kama ifuatavyo. a = b q na b = b 1 · q 1 , kutoka wapi a = b 1 · (q 1 · q) , wapi q na q 1 ni nambari kamili. Kulingana na kanuni ya kuzidisha nambari kamili, tunayo kwamba bidhaa ya nambari kamili ni nambari kamili yenye usawa wa fomu a = b 1 · (q 1 · q) . Inaweza kuonekana kuwa b 1 ni kigawanyo cha nambari a. Kutokuwa na usawa 1< b 1 < b Sivyo inalingana, kwa sababu tunapata kuwa b ndio kigawanyo chanya na kisicho 1 cha a.

Nadharia 2

Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu.

Ushahidi 2

Yamkini tunachukua nambari maalum ya nambari asili n na kuziashiria kama p 1, p 2, ..., p n. Wacha tuchunguze chaguo la kupata nambari kuu tofauti na zile zilizoonyeshwa.

Wacha tuzingatie nambari p, ambayo ni sawa na p 1, p 2, ..., p n + 1. Sio sawa na kila nambari inayolingana na nambari kuu za fomu p 1, p 2, ..., p n. Nambari p ni kuu. Kisha theorem inachukuliwa kuthibitishwa. Ikiwa ni mchanganyiko, basi unahitaji kuchukua nukuu p n + 1 na kuonyesha kwamba kigawanyiko hakipatani na yoyote ya p 1, p 2, ..., p n.

Ikiwa hii haikuwa hivyo, basi, kwa kuzingatia mali ya mgawanyiko wa bidhaa p 1, p 2, ..., p n. , tunapata kwamba inaweza kugawanywa na pn + 1. Kumbuka kuwa usemi p n + 1 kugawanya nambari p ni sawa na jumla p 1, p 2, ..., p n + 1. Tunapata kwamba usemi p n + 1 Muda wa pili wa jumla hii, ambayo ni sawa na 1, lazima igawanywe, lakini hii haiwezekani.

Inaweza kuonekana kuwa nambari yoyote kuu inaweza kupatikana kati ya nambari yoyote kuu. Inafuata kwamba kuna idadi kubwa isiyo na kikomo.

Kwa kuwa kuna idadi kubwa ya nambari kuu, meza ni mdogo kwa nambari 100, 1000, 10000, na kadhalika.

Wakati wa kuunda jedwali la nambari kuu, unapaswa kuzingatia kwamba kazi kama hiyo inahitaji ukaguzi wa nambari, kuanzia 2 hadi 100. Ikiwa hakuna mgawanyiko, imeandikwa kwenye meza ikiwa ni mchanganyiko, basi haijaingizwa kwenye meza.

Hebu tuangalie hatua kwa hatua.

Ikiwa unapoanza na nambari ya 2, basi ina wagawanyiko 2 tu: 2 na 1, ambayo ina maana inaweza kuingizwa kwenye meza. Sawa na nambari 3. Nambari ya 4 ni ya mchanganyiko; Nambari ya 5 ni kuu, ambayo inamaanisha inaweza kurekodiwa kwenye meza. Fanya hivi hadi nambari 100.

Mbinu hii isiyofaa na ndefu. Unaweza kuunda meza, lakini utalazimika kutumia idadi kubwa wakati. Inahitajika kutumia vigezo vya mgawanyiko, ambayo itaharakisha mchakato wa kupata wagawanyiko.

Njia ya kutumia ungo wa Eratosthenes inachukuliwa kuwa rahisi zaidi. Wacha tuangalie majedwali ya mfano hapa chini. Kuanza, nambari 2, 3, 4, ..., 50 zimeandikwa.

Sasa unahitaji kuvuka nambari zote ambazo ni zidishi za 2. Tekeleza migongo inayofuatana. Tunapata meza kama hii:

Tunaendelea na kuvuka nambari ambazo ni zidishi za 5. Tunapata:

Toa nambari ambazo ni zidishi za 7, 11. Hatimaye meza inaonekana kama

Wacha tuendelee kwenye uundaji wa nadharia.

Nadharia 3

Kigawanyaji kidogo zaidi cha chanya na kisicho-1 cha nambari ya msingi a hakizidi a, ambapo a ni mzizi wa hesabu wa nambari iliyotolewa.

Ushahidi 3

Ni muhimu kuashiria b kigawanyo kidogo zaidi cha nambari ya mchanganyiko a. Kuna nambari kamili q, ambapo a = b · q, na tuna hiyo b ≤ q. Ukosefu wa usawa wa fomu haukubaliki b > q, kwa sababu hali imekiukwa. Pande zote mbili za ukosefu wa usawa b ≤ q zinapaswa kuzidishwa na yoyote nambari chanya b sio sawa na 1. Tunapata kwamba b · b ≤ b · q, ambapo b 2 ≤ a na b ≤ a.

Kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa ni wazi kuwa kuvuka kwa nambari kwenye meza kunaongoza kwa ukweli kwamba ni muhimu kuanza na nambari ambayo ni sawa na b 2 na inakidhi usawa b 2 ≤ a. Hiyo ni, ikiwa utaondoa nambari ambazo ni zidishi za 2, basi mchakato huanza na 4, na mazidisho ya 3 na 9, na kuendelea hadi 100.

Kukusanya jedwali kama hilo kwa kutumia nadharia ya Eratosthenes kunapendekeza kwamba nambari zote za mchanganyiko zinapotolewa, nambari kuu zitabaki ambazo hazizidi n. Katika mfano ambapo n = 50, tunayo hiyo n = 50. Kutoka kwa hili tunapata kwamba ungo wa Eratosthenes huchuja nambari zote za mchanganyiko ambazo thamani yake si kubwa kuliko thamani ya mzizi wa 50. Kutafuta nambari hufanywa kwa kuvuka nje.

Kabla ya kusuluhisha, unahitaji kujua ikiwa nambari ni kuu au ya mchanganyiko. Vigezo vya mgawanyiko hutumiwa mara nyingi. Hebu tuangalie hili katika mfano hapa chini.

Mfano 1

Thibitisha kuwa nambari 898989898989898989 ni mchanganyiko.

Suluhisho

Jumla ya nambari za nambari fulani ni 9 8 + 9 9 = 9 17. Hii inamaanisha kuwa nambari 9 · 17 inaweza kugawanywa na 9, kulingana na jaribio la mgawanyiko na 9. Inafuata kwamba ni mchanganyiko.

Ishara kama hizo haziwezi kudhibitisha ukuu wa nambari. Ikiwa uthibitishaji unahitajika, hatua zingine zinapaswa kuchukuliwa. Wengi njia inayofaa- ni rundo la nambari. Wakati wa mchakato, nambari kuu na za mchanganyiko zinaweza kupatikana. Hiyo ni, nambari zisizidi thamani. Hiyo ni, nambari lazima ibadilishwe kuwa sababu kuu. ikiwa hii imeridhika, basi nambari a inaweza kuchukuliwa kuwa kuu.

Mfano 2

Amua nambari ya mchanganyiko au kuu 11723.

Suluhisho

Sasa unahitaji kupata vigawanyiko vyote vya nambari 11723. Haja ya kutathmini 11723 .

Kuanzia hapa tunaona kwamba 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , na 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Kwa makadirio sahihi zaidi ya nambari 11723, unahitaji kuandika usemi 108 2 = 11 664, na 109 2 = 11 881 , Hiyo 108 2 < 11 723 < 109 2 . Inafuata kwamba 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Wakati wa kupanua, tunaona kwamba 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 zote ni nambari kuu. Mchakato huu wote unaweza kuonyeshwa kama mgawanyiko kwa safu wima. Hiyo ni, gawanya 11723 na 19. Nambari 19 ni moja ya sababu zake, kwani tunapata mgawanyiko bila salio. Wacha tuwakilishe mgawanyiko kama safu:

Inafuata kwamba 11723 ni nambari ya mchanganyiko, kwa sababu kwa kuongeza yenyewe na 1 ina mgawanyiko wa 19.

Jibu: 11723 ni nambari iliyojumuishwa.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Tafsiri

Sifa za nambari kuu zilisomwa kwanza na wanahisabati wa Ugiriki ya Kale. Wanahisabati wa shule ya Pythagorean (500 - 300 KK) walipendezwa kimsingi na sifa za fumbo na nambari za nambari kuu. Walikuwa wa kwanza kuja na mawazo kuhusu nambari kamili na za kirafiki.

Kufikia wakati wa Vipengele vya Euclid mnamo 300 B.K. Mambo kadhaa muhimu kuhusu nambari kuu tayari yamethibitishwa. Katika Kitabu cha IX cha Vipengele, Euclid alithibitisha kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu. Hii, kwa njia, ni moja ya mifano ya kwanza ya kutumia uthibitisho kwa kupingana. Pia anathibitisha Nadharia ya Msingi ya Hesabu - kila nambari kamili inaweza kuwakilishwa kipekee kama bidhaa ya nambari kuu.

Pia alionyesha kwamba ikiwa nambari 2n-1 ni ya msingi, basi nambari 2n-1 * (2n-1) itakuwa kamili. Mtaalamu mwingine wa hisabati, Euler, aliweza kuonyesha mwaka wa 1747 kwamba nambari zote hata kamili zinaweza kuandikwa katika fomu hii. Hadi leo haijulikani ikiwa kuna nambari zisizo za kawaida.

Katika mwaka wa 200 BC. Eratosthenes ya Kigiriki ilikuja na algoriti ya kutafuta nambari kuu inayoitwa Ungo wa Eratosthenes.