Kiwango cha matrix ya utambulisho ni sawa na. Tafuta kiwango cha matrix: njia na mifano

Nambari r inaitwa kiwango cha matrix A ikiwa:
1) katika tumbo A kuna ndogo ya utaratibu r, tofauti na sifuri;
2) watoto wote wa mpangilio (r+1) na zaidi, ikiwa wapo, ni sawa na sifuri.
Vinginevyo, kiwango cha matrix ni agizo dogo zaidi isipokuwa sifuri.
Uteuzi: rangA, r A au r.
Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba r ni nambari kamili nambari chanya. Kwa tumbo lisilo na maana, cheo kinachukuliwa kuwa sifuri.

Kusudi la huduma. Kikokotoo cha mtandaoni kimeundwa kutafuta cheo cha matrix. Katika kesi hii, suluhisho limehifadhiwa katika muundo wa Neno na Excel. tazama suluhisho la mfano.

Maagizo. Chagua kipimo cha matrix, bofya Inayofuata.

Ufafanuzi. Hebu matrix ya cheo r itolewe. Kidogo chochote cha matrix ambacho ni tofauti na sifuri na ina utaratibu r inaitwa msingi, na safu na safu za vipengele vyake huitwa safu na safu za msingi.
Kulingana na ufafanuzi huu, matrix A inaweza kuwa na watoto wa msingi kadhaa.

Kiwango cha matrix ya utambulisho E ni n (idadi ya safu mlalo).

Mfano 1. Ukipewa matrices mawili, na watoto wao , . Ni ipi kati yao inaweza kuchukuliwa kama msingi?
Suluhisho. Ndogo M 1 =0, kwa hivyo haiwezi kuwa msingi wa matrices yoyote. Ndogo M 2 =-9≠0 na ina agizo la 2, ambayo inamaanisha inaweza kuchukuliwa kama msingi wa matrices A au / na B, mradi wana safu sawa na 2. Kwa kuwa detB=0 (kama kiambishi chenye safu wima mbili sawia), basi rangB=2 na M 2 inaweza kuchukuliwa kama msingi mdogo wa matrix B. Kiwango cha matrix A ni 3, kutokana na ukweli kwamba detA=-27≠ 0 na, kwa hivyo, mpangilio wa msingi mdogo wa matrix hii lazima iwe sawa na 3, ambayo ni, M 2 sio msingi wa matrix A. Kumbuka kuwa matrix A ina msingi mmoja mdogo, sawa na kibainishi cha matrix A.

Theorem (kuhusu msingi mdogo). Safu yoyote (safu) ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa safu zake za msingi (safu).
Corollaries kutoka theorem.

Kila (r+1) safu wima (safu) matrix ya cheo r inategemea mstari.
Ikiwa safu ya matrix ni chini ya idadi ya safu (safu wima), basi safu zake (safu) zinategemea mstari. Ikiwa rangA ni sawa na idadi ya safu (safu wima), basi safu (safu) zinajitegemea kimstari.
Kiamuzi cha matrix A ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa safu mlalo (safu wima) zinategemeana kimstari.
Ukiongeza safu mlalo (safu) nyingine kwenye safu (safu) ya matrix, ikizidishwa na nambari yoyote isipokuwa sifuri, basi kiwango cha matrix hakitabadilika.
Ikiwa utavuka safu (safu) kwenye tumbo, ambayo ni mchanganyiko wa mstari wa safu zingine (safu), basi kiwango cha matrix hakitabadilika.
Kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu ya safu zake zinazojitegemea (safu).
Idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea kimstari ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu wima zinazojitegemea kimstari.

Mfano 2. Tafuta kiwango cha matrix .
Suluhisho. Kulingana na ufafanuzi wa cheo cha matrix, tutatafuta mdogo wa utaratibu wa juu, tofauti na sifuri. Kwanza tunabadilisha matrix kuwa zaidi mtazamo rahisi. Ili kufanya hivyo, zidisha safu ya kwanza ya matrix kwa (-2) na uiongeze kwa pili, kisha uiongezee kwa (-1) na uongeze kwa tatu.

Ili kufanya kazi na dhana ya cheo cha matrix, tutahitaji taarifa kutoka kwa mada "Algebraic inayosaidia na watoto. Aina za watoto na za algebraic." Kwanza kabisa, hii inahusu neno "matrix madogo", kwa kuwa tutaamua kiwango cha matrix kwa usahihi kupitia watoto.

Kiwango cha Matrix ni utaratibu wa juu wa watoto wake, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri.

Matrices sawa- matrices ambao safu zao ni sawa na kila mmoja.

Hebu tueleze kwa undani zaidi. Tuseme kwamba kati ya watoto wa daraja la pili kuna angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri. Na watoto wote ambao utaratibu wao ni wa juu kuliko wawili ni sawa na sifuri. Hitimisho: kiwango cha matrix ni 2 au, kwa mfano, kati ya watoto wa agizo la kumi kuna angalau moja ambayo sio sawa na sifuri. Na watoto wote ambao utaratibu wao ni wa juu kuliko 10 ni sawa na sifuri. Hitimisho: kiwango cha matrix ni 10.

Kiwango cha matrix $A$ kinaonyeshwa kama ifuatavyo: $\rang A$ au $r(A)$. Kiwango cha matrix ya sifuri $O$ inachukuliwa kuwa sifuri, $\rang O=0$. Acha nikukumbushe kwamba kuunda matrix madogo unahitaji kuvuka safu na safu, lakini haiwezekani kuvuka safu na safu zaidi kuliko matrix yenyewe inayo. Kwa mfano, ikiwa matrix $F$ ina ukubwa $5\mara 4$ (yaani ina safu mlalo 5 na safu wima 4), basi mpangilio wa juu wa watoto wake ni nne. Haitawezekana tena kuunda watoto wa utaratibu wa tano, kwa kuwa watahitaji safu 5 (na tuna 4 tu). Hii ina maana kwamba cheo cha matrix $ F $ haiwezi kuwa zaidi ya nne, i.e. $\rang F≤4$.

Katika hali ya jumla zaidi, hapo juu ina maana kwamba ikiwa matrix ina safu $m$ na $n$ safuwima, basi cheo chake hakiwezi kuzidi ndogo zaidi ya $m$ na $n$, i.e. $\rang A≤\min(m,n)$.

Kimsingi, kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango hufuata njia ya kuipata. Mchakato wa kupata kiwango cha matrix, kwa ufafanuzi, unaweza kuwakilishwa kimkakati kama ifuatavyo:

Acha nieleze mchoro huu kwa undani zaidi. Hebu tuanze hoja tangu mwanzo, i.e. kutoka kwa agizo la kwanza la watoto wa matrix $A$.

Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa kwanza (yaani, vipengele vya matrix $A$) ni sawa na sifuri, basi $\rang A=0$. Ikiwa kati ya watoto wa kwanza kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 1$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa pili.
Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi $\rang A=1$. Ikiwa kati ya watoto wa pili kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 2$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa tatu.
Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, basi $\rang A=2$. Ikiwa kati ya watoto wa daraja la tatu kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 3$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa daraja la nne.
Ikiwa watoto wote wa daraja la nne ni sawa na sifuri, basi $\rang A=3$. Ikiwa kati ya watoto wa daraja la nne kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 4$. Tunaendelea na kuangalia watoto wa daraja la tano na kadhalika.

Nini kinatungoja mwishoni mwa utaratibu huu? Inawezekana kwamba kati ya watoto wa utaratibu wa kth kutakuwa na angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri, na watoto wote (k +1) wa utaratibu watakuwa sawa na sifuri. Hii ina maana kwamba k ni utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, i.e. cheo kitakuwa sawa na k. Kunaweza kuwa na hali tofauti: kati ya watoto wa utaratibu wa kth kutakuwa na angalau moja ambayo si sawa na sifuri, lakini haitawezekana tena kuunda (k + 1) kuagiza watoto. Katika kesi hii, kiwango cha matrix pia ni sawa na k. Kwa kifupi, mpangilio wa nambari ya mwisho isiyo ya sifuri iliyotungwa itakuwa sawa na kiwango cha matrix.

Wacha tuendelee kwenye mifano ambayo mchakato wa kupata kiwango cha matrix, kwa ufafanuzi, utaonyeshwa wazi. Nisisitize tena kwamba katika mifano ya mada hii tutaanza kupata daraja la matrices kwa kutumia ufafanuzi wa cheo tu. Njia zingine (kuhesabu kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto, kuhesabu kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi) zinajadiliwa katika mada zifuatazo.

Kwa njia, si lazima hata kidogo kuanza utaratibu wa kupata cheo na watoto wa utaratibu mdogo, kama ilivyofanywa katika mifano Nambari 1 na No. Unaweza kwenda mara moja kwa watoto wa maagizo ya juu (angalia mfano No. 3).

Mfano Nambari 1

Pata kiwango cha matrix $A=\left(\anza(safu)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)$.

Matrix hii ina ukubwa wa $3\mara 5$, i.e. ina safu tatu na safu wima tano. Kati ya nambari 3 na 5, kiwango cha chini ni 3, kwa hivyo kiwango cha matrix $ A $ sio zaidi ya 3, i.e. $\rang A≤ 3$. Na usawa huu ni dhahiri, kwa kuwa hatutaweza tena kuunda watoto wa nne - wanahitaji safu 4, na tuna 3 tu. Hebu tuendelee moja kwa moja kwenye mchakato wa kutafuta cheo cha matrix iliyotolewa.

Miongoni mwa watoto wa utaratibu wa kwanza (yaani kati ya vipengele vya matrix $ A $) kuna zisizo za sifuri. Kwa mfano, 5, -3, 2, 7. Kwa ujumla, hatuna nia ya jumla ya mambo yasiyo ya sifuri. Kuna angalau kipengele kimoja kisicho sifuri - na hiyo inatosha. Kwa kuwa kati ya watoto wa kwanza kuna angalau moja isiyo ya sifuri, tunahitimisha kuwa $\rang A≥ 1$ na kuendelea na kuangalia watoto wa pili.

Wacha tuanze kuchunguza watoto wa mpangilio wa pili. Kwa mfano, katika makutano ya safu 1, Nambari ya 2 na safu wima 1, Nambari 4 kuna vipengele vya vidogo vifuatavyo: $\left|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \mwisho(safu) \kulia|. Kwa kiashiria hiki, vipengele vyote vya safu ya pili ni sawa na sifuri, kwa hiyo kiashiria yenyewe ni sawa na sifuri, i.e. $\left|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(safu) \right|=0$ (angalia sifa Na. 3 katika mada ya sifa za vibainishi). Au unaweza kukokotoa kibainishi hiki kwa kutumia fomula Nambari 1 kutoka kwa sehemu ya kukokotoa vibainishi vya mpangilio wa pili na wa tatu:

$$ \kushoto|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \mwisho(safu) \kulia|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Mtoto wa kwanza wa daraja la pili tuliyemjaribu aligeuka kuwa sawa na sifuri. Hii ina maana gani? Kuhusu hitaji la kuangalia zaidi watoto wa mpangilio wa pili. Aidha wote watageuka kuwa sifuri (na kisha cheo kitakuwa sawa na 1), au kati yao kutakuwa na angalau mdogo mmoja ambaye ni tofauti na sifuri. Hebu jaribu kufanya chaguo bora zaidi kwa kuandika mdogo wa pili, vipengele ambavyo viko kwenye makutano ya safu ya 1, Nambari ya 2 na safu No. safu)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \mwisho(safu) \kulia|$. Wacha tupate dhamana ya mtoto huyu wa mpangilio wa pili:

$$ \left|\anza(safu)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \mwisho(safu) \kulia|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Mtoto huyu si sawa na sifuri. Hitimisho: kati ya watoto wa pili kuna angalau moja isiyo ya sifuri. Kwa hivyo $\rang A≥ 2$. Tunahitaji kuendelea na masomo ya watoto wa daraja la tatu.

Ikiwa tutachagua safu nambari 2 au safu nambari 4 kuunda watoto wa mpangilio wa tatu, basi watoto kama hao watakuwa sawa na sifuri (kwani watakuwa na safu wima sifuri). Inabakia kuangalia moja tu ndogo ya tatu, vipengele ambavyo viko kwenye makutano ya nguzo No 1, No. 3, No. 5 na safu No. Wacha tuandike hii ndogo na tupate thamani yake:

$$ \kushoto|\anza(safu)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \mwisho(safu) \kulia|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Kwa hivyo, watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri. Kidogo cha mwisho kisicho sifuri tulichokusanya kilikuwa cha mpangilio wa pili. Hitimisho: utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja isiyo ya sifuri, ni 2. Kwa hiyo, $\rang A=2$.

Jibu: $\rang A=2$.

Mfano Nambari 2

Pata safu ya matrix $A=\left(\anza(safu) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \mwisho(safu) \kulia)$.

Tunayo tumbo la mraba la mpangilio wa nne. Hebu tuangalie mara moja kwamba cheo cha matrix hii haizidi 4, i.e. $\rang A≤ 4$. Wacha tuanze kutafuta kiwango cha matrix.

Miongoni mwa watoto wa utaratibu wa kwanza (yaani, kati ya vipengele vya matrix $ A $) kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, kwa hiyo $\rang A≥ 1$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa pili. Kwa mfano, katika makutano ya safu nambari 2, Nambari 3 na safu nambari 1 na nambari 2, tunapata ndogo ya mpangilio wa pili: $\left| \anza(safu) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \mwisho(safu) \kulia|$. Wacha tuihesabu:

$$\kushoto| \anza(safu) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \mwisho(safu) \kulia|=0-10=-10. $$

Miongoni mwa watoto wa daraja la pili kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, hivyo $\rang A≥ 2$.

Wacha tuendelee kwa watoto wa daraja la tatu. Hebu tupate, kwa mfano, mdogo ambaye vipengele vyake viko kwenye makutano ya safu No. 1, No. 3, No.

$$\kushoto | \anza(safu) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \mwisho(safu) \kulia|=105-105=0. $$

Kwa kuwa mdogo huyu wa tatu aligeuka kuwa sawa na sifuri, ni muhimu kuchunguza mdogo mwingine wa tatu. Ama zote zitakuwa sawa na sifuri (basi cheo kitakuwa sawa na 2), au kati yao kutakuwa na angalau moja ambayo si sawa na sifuri (kisha tutaanza kusoma watoto wa daraja la nne). Wacha tuchunguze mtoto wa mpangilio wa tatu, vitu ambavyo viko kwenye makutano ya safu nambari 2, nambari 3, nambari 4 na safu 2, nambari 3, nambari 4:

$$\kushoto| \anza(safu) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \mwisho(safu) \kulia|=-28. $$

Miongoni mwa watoto wa daraja la tatu kuna angalau moja isiyo ya sifuri, hivyo $\rang A≥ 3$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa daraja la nne.

Mtoto yeyote wa mpangilio wa nne yuko kwenye makutano ya safu mlalo nne na safu wima nne za matrix $A$. Kwa maneno mengine, mtoto wa mpangilio wa nne ndiye kiamuaji cha matrix $A$, kwani matrix hii ina safu 4 na safu wima 4. Kiamuzi cha matrix hii kilihesabiwa kwa mfano Nambari 2 ya mada "Kupunguza mpangilio wa kibainishi katika safu (safu)", kwa hivyo hebu tuchukue matokeo yaliyokamilishwa.

$$\kushoto| \anza(safu) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \mwisho (safu)\kulia|=86. $$

Kwa hivyo mpangilio mdogo wa nne sio sawa na sifuri. Hatuwezi tena kuunda watoto wa mpangilio wa tano. Hitimisho: utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja isiyo ya sifuri, ni 4. Matokeo: $\rang A=4$.

Jibu: $\rang A=4$.

Mfano Nambari 3

Tafuta kiwango cha matrix $A=\left(\anza(safu) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \mwisho(safu) \kulia)$.

Hebu tukumbuke mara moja kwamba matrix hii ina safu 3 na safu wima 4, kwa hivyo $\rang A≤ 3$. Katika mifano iliyopita, tulianza mchakato wa kutafuta cheo kwa kuzingatia watoto wa utaratibu mdogo (wa kwanza). Hapa tutajaribu mara moja kuangalia watoto wa utaratibu wa juu zaidi. Kwa matrix $A$ hawa ni watoto wa mpangilio wa tatu. Wacha tuchunguze mtoto wa mpangilio wa tatu, vitu ambavyo viko kwenye makutano ya safu nambari 1, nambari 2, nambari 3 na safu nambari 2, nambari 3, nambari 4:

$$\kushoto| \anza(safu) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \mwisho(safu) \kulia|=-8-60-20=-88. $$

Kwa hiyo, utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, ni 3. Kwa hiyo, cheo cha matrix ni 3, i.e. $\rang A=3$.

Jibu: $\rang A=3$.

Kwa ujumla, kupata kiwango cha tumbo kwa ufafanuzi ni, kwa ujumla, kazi kubwa ya kazi. Kwa mfano, matrix ndogo kiasi ya ukubwa $5\mara 4$ ina watoto 60 wa mpangilio wa pili. Na hata ikiwa 59 kati yao ni sawa na sifuri, basi mtoto wa 60 anaweza kugeuka kuwa sio sifuri. Kisha itabidi usome watoto wa mpangilio wa tatu, ambayo tumbo hili lina vipande 40. Kawaida wao hujaribu kutumia njia zisizo ngumu, kama vile njia ya kupakana na watoto au njia ya mabadiliko sawa.

Ufafanuzi. Kiwango cha Matrix ni idadi ya juu zaidi ya safu mlalo huru zinazozingatiwa kama vekta.

Nadharia ya 1 kuhusu kiwango cha matrix. Kiwango cha Matrix inaitwa mpangilio wa juu wa nonzero mdogo wa matrix.

Tayari tulijadili wazo la mtoto mdogo katika somo juu ya viashiria, na sasa tutaifanya kwa ujumla. Wacha tuchukue idadi fulani ya safu na idadi fulani ya safu kwenye tumbo, na hii "kiasi gani" inapaswa kuwa chini ya idadi ya safu na safu wima za matrix, na kwa safu na safu hii "ngapi" inapaswa kuwa nambari sawa. Kisha katika makutano ya safu ngapi na safu wima ngapi kutakuwa na matrix ya mpangilio wa chini kuliko matrix yetu ya asili. Kiamuzi ni matriki na kitakuwa kidogo katika mpangilio wa kth ikiwa "baadhi" iliyotajwa (idadi ya safu mlalo na safuwima) inaashiria k.

Ufafanuzi. Ndogo ( r+1) mpangilio, ambamo mtoto aliyechaguliwa yuko r-agizo linaitwa kupakana kwa mtoto mdogo.

Njia mbili zinazotumiwa sana ni kutafuta kiwango cha matrix. Hii njia ya kupakana na watoto Na njia ya mabadiliko ya msingi(Njia ya Gauss).

Wakati wa kutumia njia ya watoto wanaopakana, theorem ifuatayo hutumiwa.

Nadharia ya 2 kwenye safu ya matrix. Ikiwa mtoto mdogo anaweza kutengenezwa kutoka kwa vipengele vya matrix r th mpangilio, sio sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na r.

Wakati wa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi, mali ifuatayo hutumiwa:

Ikiwa, kupitia mabadiliko ya kimsingi, matrix ya trapezoidal inachukuliwa ambayo ni sawa na ile ya asili, basi. cheo cha matrix hii ni idadi ya mistari ndani yake isipokuwa mistari inayojumuisha sufuri kabisa.

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto

Mdogo anayepakana anaitwa mdogo hali ya juu kuhusiana na ile iliyotolewa, ikiwa hii ndogo ya daraja la juu ina ndogo iliyotolewa.

Kwa mfano, kwa kuzingatia matrix

Hebu tuchukue mdogo

Watoto wa mpakani watakuwa:

Algorithm ya kupata kiwango cha matrix ijayo.

1. Tafuta watoto wa mpangilio wa pili ambao si sawa na sifuri. Ikiwa watoto wote wa utaratibu wa pili ni sawa na sifuri, basi cheo cha matrix kitakuwa sawa na moja (r =1 ).

2. Ikiwa kuna angalau mdogo wa utaratibu wa pili ambao si sawa na sifuri, basi tunatunga watoto wa mpaka wa utaratibu wa tatu. Ikiwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na mbili ( r =2 ).

3. Ikiwa angalau mmoja wa watoto wa mpaka wa utaratibu wa tatu si sawa na sifuri, basi tunatunga watoto wa mpaka. Ikiwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa nne ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na tatu ( r =2 ).

4. Endelea kwa njia hii mradi ukubwa wa matrix unaruhusu.

Mfano 1. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Ndogo ya utaratibu wa pili .

Hebu tuiweke mpaka. Kutakuwa na watoto wanne wanaopakana:

Kwa hivyo, watoto wote wanaopakana wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix hii ni sawa na mbili ( r =2 ).

Mfano 2. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Kiwango cha matrix hii ni sawa na 1, kwa kuwa watoto wote wa daraja la pili la matrix hii ni sawa na sifuri (katika hili, kama ilivyo kwa watoto wa mpaka katika mifano miwili ifuatayo, wanafunzi wapendwa wanaalikwa kuthibitisha wenyewe, labda kwa kutumia sheria za kuhesabu viashiria), na kati ya watoto wa utaratibu wa kwanza , yaani, kati ya vipengele vya matrix, kuna zisizo za sifuri.

Mfano 3. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Agizo la pili la matrix hii ni , na watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kiwango cha matrix hii ni mbili.

Mfano 4. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Kiwango cha matrix hii ni 3, kwani mtoto pekee wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni 3.

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi (Njia ya Gauss)

Tayari katika mfano 1 ni wazi kwamba kazi ya kuamua kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mpaka watoto inahitaji kuhesabu. idadi kubwa viashiria. Kuna, hata hivyo, njia ya kupunguza kiasi cha hesabu kwa kiwango cha chini. Njia hii inategemea utumiaji wa mabadiliko ya msingi ya matrix na pia inaitwa njia ya Gauss.

Shughuli zifuatazo zinaeleweka kama mabadiliko ya msingi ya matrix:

1) kuzidisha safu au safu wima yoyote ya matrix kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;

2) kuongeza kwa vipengele vya safu yoyote au safu ya matrix vipengele vinavyolingana vya safu nyingine au safu, kuzidisha kwa idadi sawa;

3) kubadilisha safu mbili au nguzo za matrix;

4) kuondoa safu za "null", ambayo ni, wale ambao vipengele vyake vyote ni sawa na sifuri;

5) kufuta mistari yote ya uwiano isipokuwa moja.

Nadharia. Wakati wa mabadiliko ya kimsingi, kiwango cha matrix haibadilika. Kwa maneno mengine, ikiwa tunatumia mabadiliko ya kimsingi kutoka kwa matrix A akaenda kwenye tumbo B, Hiyo.

Pia tutazingatia matumizi muhimu ya vitendo ya mada: utafiti wa mfumo milinganyo ya mstari kwa umoja.

Je! ni daraja gani la matrix?

Epigraph ya ucheshi ya makala ina sehemu kubwa ukweli. Kawaida tunahusisha neno "cheo" na aina fulani ya uongozi, mara nyingi na ngazi ya kazi. Maarifa zaidi, uzoefu, uwezo, uhusiano, nk mtu anayo. - nafasi yake ya juu na anuwai ya fursa. Katika maneno ya vijana, cheo kinarejelea kiwango cha jumla cha "mwinuko."

Na ndugu zetu wa hisabati wanaishi kwa kanuni sawa. Hebu tuchukue wachache nasibu kwa matembezi matrices sifuri:

Hebu fikiria juu yake, ikiwa katika matrix sufuri zote, basi tunaweza kuzungumzia cheo gani? Kila mtu anafahamu usemi usio rasmi "sufuri kamili". Katika jamii ya matrices kila kitu ni sawa:

Cheo cha matrix ya sifurisaizi yoyote ni sawa na sifuri.

Kumbuka : Matrix ya sifuri inaonyeshwa na herufi ya Kigiriki "theta"

Ili kuelewa vyema kiwango cha matrix, hapa nitatumia vifaa kusaidia jiometri ya uchambuzi. Fikiria sifuri vekta nafasi yetu ya tatu-dimensional, ambayo haina kuweka mwelekeo maalum na haina maana kwa ajili ya kujenga msingi wa ushirika. Kutoka kwa mtazamo wa algebraic, kuratibu vector iliyotolewa iliyorekodiwa ndani tumbo"moja kwa tatu" na mantiki (kwa maana ya kijiometri iliyoonyeshwa) fikiria kuwa kiwango cha matrix hii ni sifuri.

Sasa tuangalie machache isiyo ya sifuri vekta za safu Na vekta za safu:

Kila mfano una angalau kipengele kimoja kisicho sifuri, na hiyo ni kitu!

Cheo cha vekta yoyote isiyo ya sifuri ya safu mlalo (vekta ya safu wima) ni sawa na moja

Na kwa ujumla - ikiwa kwenye tumbo ukubwa wa kiholela kuna angalau kipengele kimoja kisicho na sifuri, basi cheo chake si kidogo vitengo.

Vekta za safu mlalo za aljebra na vekta za safu wima ni dhahania kwa kiwango fulani, kwa hivyo hebu tugeukie tena uhusiano wa kijiometri. Isiyo ya sifuri vekta huweka mwelekeo wa uhakika katika nafasi na inafaa kwa ajili ya kujenga msingi, kwa hivyo kiwango cha matrix kitazingatiwa sawa na moja.

Taarifa za kinadharia : katika algebra ya mstari, vekta ni kipengele cha nafasi ya vekta (iliyofafanuliwa kupitia axioms 8), ambayo, hasa, inaweza kuwakilisha safu iliyopangwa (au safu) ya nambari halisi na uendeshaji wa kuongeza na kuzidisha kwa nambari halisi iliyofafanuliwa. kwa ajili yao. Pamoja na zaidi maelezo ya kina kuhusu vectors inaweza kupatikana katika makala Mabadiliko ya mstari.

tegemezi kwa mstari(iliyoonyeshwa kupitia kila mmoja). Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, mstari wa pili una kuratibu za vector ya collinear , ambayo haikuendeleza jambo hata kidogo katika ujenzi msingi wa pande tatu, kuwa katika maana hii superfluous. Kwa hivyo, kiwango cha matrix hii pia ni sawa na moja.

Wacha tuandike tena kuratibu za veta kwenye safu wima ( transpose matrix):

Nini kimebadilika katika suala la cheo? Hakuna kitu. Safu ni sawia, ambayo ina maana kwamba cheo ni sawa na moja. Kwa njia, kumbuka kuwa mistari yote mitatu pia ni sawia. Wanaweza kutambuliwa na kuratibu tatu veta za collinear za ndege, ambayo moja tu muhimu kwa ajili ya kujenga msingi "gorofa". Na hii inaendana kabisa na yetu maana ya kijiometri cheo.

Taarifa muhimu inafuata kutoka kwa mfano hapo juu:

Kiwango cha matrix katika safu ni sawa na kiwango cha matrix katika safu wima. Tayari nilitaja hili kidogo katika somo kuhusu ufanisi njia za kuhesabu kiashiria.

Kumbuka : utegemezi wa mstari wa safu unamaanisha utegemezi wa safu wima (na kinyume chake). Lakini ili kuokoa wakati, na nje ya mazoea, karibu kila wakati nitazungumza juu ya utegemezi wa mstari wa kamba.

Wacha tuendelee kumfundisha mnyama wetu mpendwa. Wacha tuongeze kuratibu za vekta nyingine ya collinear kwenye tumbo kwenye safu ya tatu :

Je, alitusaidia katika kujenga msingi wa pande tatu? Bila shaka sivyo. Vekta zote tatu hutembea na kurudi kwenye njia ile ile, na kiwango cha matrix ni sawa na moja. Unaweza kuchukua veta nyingi za collinear kama unavyopenda, sema, 100, weka kuratibu zao kwenye tumbo la "mia moja kwa tatu", na kiwango cha skyscraper kama hiyo bado kitabaki moja.

Wacha tufahamiane na matrix, safu ambazo kujitegemea linearly. Jozi ya vectors zisizo za collinear zinafaa kwa ajili ya kujenga msingi wa tatu-dimensional. Kiwango cha matrix hii ni mbili.

Je! ni daraja gani la matrix? Mistari haionekani kuwa sawia ... kwa hiyo, kwa nadharia, ni tatu. Walakini, kiwango cha matrix hii pia ni mbili. Niliongeza mistari miwili ya kwanza na kuandika matokeo chini, i.e. walionyesha linearly mstari wa tatu kupitia mbili za kwanza. Kijiometri, safu za matrix zinahusiana na kuratibu za tatu vekta za coplanar, na kati ya hizi tatu kuna jozi ya wandugu wasio wa collinear.

Kama unavyoona, utegemezi wa mstari katika matrix inayozingatiwa sio dhahiri, na leo tutajifunza jinsi ya kuileta wazi.

Nadhani watu wengi wanaweza kukisia kiwango cha matrix ni nini!

Fikiria matrix ambayo safu zake kujitegemea linearly. Fomu ya Vectors msingi wa ushirika, na kiwango cha matrix hii ni tatu.

Kama unavyojua, vekta yoyote ya nne, ya tano, ya kumi ya nafasi ya tatu-dimensional itaonyeshwa kwa mstari kulingana na vekta za msingi. Kwa hivyo, ikiwa unaongeza idadi yoyote ya safu kwenye tumbo, basi kiwango chake bado itakuwa sawa na tatu.

Mawazo yanayofanana inaweza kufanywa kwa matrices ya ukubwa mkubwa (bila shaka, bila maana yoyote ya kijiometri).

Ufafanuzi : cheo cha matrix ni kiwango cha juu safu mlalo huru. Au: Kiwango cha matrix ni idadi ya juu zaidi ya safu wima zinazojitegemea. Ndiyo, idadi yao daima ni sawa.

Mwongozo muhimu wa vitendo pia unafuata kutoka hapo juu: kiwango cha matrix haizidi kipimo chake cha chini. Kwa mfano, katika tumbo safu nne na nguzo tano. Kipimo cha chini ni nne, kwa hivyo, kiwango cha matrix hii hakika haitazidi 4.

Uteuzi: katika nadharia ya ulimwengu na mazoezi hakuna kiwango kinachokubalika kwa ujumla cha kuteua kiwango cha tumbo; Kwa hivyo, kwa kuzingatia utani maarufu juu ya kuzimu ya Amerika na Urusi, wacha tuonyeshe kiwango cha matrix na neno la asili. Kwa mfano:. Na ikiwa matrix "haina jina", ambayo kuna mengi, basi unaweza kuandika tu.

Jinsi ya kupata kiwango cha matrix kwa kutumia watoto?

Ikiwa bibi yetu alikuwa na safu ya tano kwenye tumbo lake, basi tungepaswa kuhesabu mwingine mdogo wa utaratibu wa 4 ("bluu", "raspberry" + safu ya 5).

Hitimisho: mpangilio wa juu wa mtoto asiye na sifuri ni tatu, ambayo inamaanisha.

Labda sio kila mtu ameelewa kikamilifu kifungu hiki: mdogo wa agizo la 4 ni sawa na sifuri, lakini kati ya watoto wa agizo la 3 kulikuwa na isiyo ya sifuri - kwa hivyo agizo la juu. isiyo ya sifuri ndogo na sawa na tatu.

Swali linatokea, kwa nini usihesabu mara moja kiashiria? Kweli, kwanza, katika kazi nyingi matrix sio mraba, na pili, hata ikiwa utapata dhamana isiyo ya sifuri, kazi hiyo itakataliwa, kwani kawaida inajumuisha suluhisho la "chini-juu". Na katika mfano unaozingatiwa, kiashiria cha sifuri cha agizo la 4 kinaturuhusu kusema kwamba kiwango cha matrix ni chini ya nne tu.

Lazima nikiri, nilikuja na tatizo nililolichambua mwenyewe ili kueleza vizuri mbinu ya kuwapakana watoto wadogo. Katika mazoezi halisi, kila kitu ni rahisi zaidi:

Mfano 2

Tafuta kiwango cha matrix kwa kutumia mbinu ya watoto wadogo

Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Je, algorithm inafanya kazi kwa kasi lini? Wacha turudi kwenye tumbo lile lile la nne kwa nne. . Kwa wazi, suluhisho litakuwa fupi zaidi katika kesi ya "nzuri" watoto wa kona:

Na, ikiwa, basi, vinginevyo -.

Kufikiri sio dhahania kabisa - kuna mifano mingi ambapo jambo zima ni mdogo tu kwa watoto wa angular.

Walakini, katika hali zingine njia nyingine ni nzuri zaidi na bora:

Jinsi ya kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya Gaussian?

Aya imekusudiwa kwa wasomaji ambao tayari wanaifahamu Njia ya Gaussian na zaidi au chini ya got mikono yao juu yake.

Kwa mtazamo wa kiufundi, njia sio riwaya:

1) kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tunapunguza matrix kwa fomu ya hatua;

2) kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya safu.

Ni wazi kabisa kwamba kutumia njia ya Gaussian haibadilishi kiwango cha matrix, na kiini hapa ni rahisi sana: kulingana na algorithm, wakati wa mabadiliko ya kimsingi, safu zote zisizo za lazima za sawia (tegemezi za mstari) zinatambuliwa na kuondolewa, na kusababisha "mabaki kavu" - idadi kubwa ya safu zinazojitegemea.

Wacha tubadilishe matrix ya zamani inayojulikana na kuratibu za veta tatu za collinear:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu.

(2) Mistari sifuri huondolewa.

Kwa hivyo, kuna mstari mmoja uliobaki, kwa hivyo. Bila kusema, hii ni haraka sana kuliko kuhesabu watoto sifuri tisa wa agizo la 2 na kisha tu kutoa hitimisho.

Nakukumbusha hilo lenyewe matrix ya algebraic hakuna kinachoweza kubadilishwa, na mabadiliko yanafanywa ili kuamua tu kiwango! Kwa njia, hebu tukae tena juu ya swali, kwa nini sivyo? Matrix ya chanzo hubeba taarifa ambazo kimsingi ni tofauti na taarifa za matriki na safu mlalo. Katika baadhi mifano ya hisabati(hakuna kutia chumvi) tofauti katika nambari moja inaweza kuwa suala la maisha na kifo. ...Imekumbukwa walimu wa shule wanahisabati wa madarasa ya msingi na sekondari ambao bila huruma walikata daraja kwa pointi 1-2 kwa kutokuwa sahihi au kupotoka kutoka kwa algoriti. Na ilikuwa ya kukatisha tamaa sana wakati, badala ya "A" inayoonekana kuhakikishiwa, ikawa "nzuri" au mbaya zaidi. Uelewa ulikuja baadaye sana - jinsi nyingine ya kukabidhi satelaiti, vichwa vya nyuklia na mimea ya nguvu kwa mtu? Lakini usijali, sifanyi kazi katika maeneo haya =)

Wacha tuendelee kwenye kazi zenye maana zaidi, ambapo, kati ya mambo mengine, tutafahamiana na mbinu muhimu za hesabu. Njia ya Gauss:

Mfano 3

Pata kiwango cha matrix kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi

Suluhisho: matrix ya "nne kwa tano" imetolewa, ambayo ina maana kwamba cheo chake hakika si zaidi ya 4.

Katika safu ya kwanza, hakuna 1 au -1, kwa hiyo, vitendo vya ziada vinahitajika ili kupata angalau kitengo kimoja. Wakati wote wa uwepo wa wavuti, nimeulizwa swali mara kwa mara: "Inawezekana kupanga upya safu wakati wa mabadiliko ya kimsingi?" Hapa, tulipanga upya safu ya kwanza na ya pili, na kila kitu ni sawa! Katika kazi nyingi ambapo hutumiwa Njia ya Gaussian, safu wima zinaweza kupangwa upya. LAKINI HAZIHITAJI. Na uhakika sio hata katika machafuko iwezekanavyo na vigezo, uhakika ni kwamba katika kozi ya classical ya utafiti hisabati ya juu kitendo hiki haijazingatiwa jadi, kwa hivyo curtsy kama hiyo itaangaliwa kwa upotovu (au hata kulazimishwa kufanya kila kitu tena).

Jambo la pili linahusu idadi. Unapofanya uamuzi wako, ni muhimu kutumia kanuni ifuatayo ya kidole gumba: mabadiliko ya kimsingi yanapaswa, ikiwezekana, kupunguza nambari za matrix. Baada ya yote, ni rahisi zaidi kufanya kazi na moja, mbili, tatu kuliko, kwa mfano, na 23, 45 na 97. Na hatua ya kwanza inalenga sio tu kupata moja katika safu ya kwanza, lakini pia katika kuondoa namba. 7 na 11.

Kwanza suluhisho kamili, kisha maoni:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3. Na kwa lundo: mstari wa 1 uliongezwa kwenye mstari wa 4, ukizidishwa na -1.

(2) Mistari mitatu ya mwisho ni sawia. Mstari wa 3 na wa 4 uliondolewa, mstari wa pili ulihamishwa hadi nafasi ya kwanza.

(3) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -3.

Matrix iliyopunguzwa kwa fomu ya echelon ina safu mbili.

Jibu:

Sasa ni zamu yako kutesa tumbo la nne kwa nne:

Mfano 4

Tafuta kiwango cha matrix kwa kutumia mbinu ya Gaussian

Nakukumbusha hilo Njia ya Gaussian haimaanishi ugumu usio na utata, na uamuzi wako utatofautiana na uamuzi wangu. Mfano mfupi wa kazi mwishoni mwa somo.

Nitumie njia gani kupata kiwango cha matrix?

Katika mazoezi, mara nyingi haijaelezwa kabisa ni njia gani inapaswa kutumika kupata cheo. Katika hali kama hiyo, hali inapaswa kuchambuliwa - kwa matiti fulani ni busara zaidi kusuluhisha kupitia watoto, wakati kwa wengine ni faida zaidi kutumia mabadiliko ya kimsingi:

Mfano 5

Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho: njia ya kwanza kwa namna fulani hupotea mara moja =)

Juu kidogo, nilishauri nisiguse nguzo za matrix, lakini kunapokuwa na safu ya sifuri, au safu wima sawia/sanjari, basi inafaa kukatwa:

(1) Safu ya tano ni sifuri, iondoe kwenye tumbo. Kwa hivyo, kiwango cha matrix sio zaidi ya nne. Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1. Hii ni sehemu nyingine ya saini ya njia ya Gauss, ambayo inabadilisha hatua ifuatayo kuwa matembezi ya kupendeza:

(2) Kwa mistari yote, kuanzia ya pili, mstari wa kwanza uliongezwa.

(3) Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1, mstari wa tatu uligawanywa na 2, mstari wa nne uligawanywa na 3. Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tano, ulizidishwa na -1.

(4) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa tano, ukizidishwa na -2.

(5) Mistari miwili ya mwisho ni sawia, ya tano inafutwa.

Matokeo yake ni mistari 4.

Jibu:

Jengo la kawaida la orofa tano kwa masomo ya kujitegemea:

Mfano 6

Tafuta kiwango cha matrix

Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.

Ikumbukwe kwamba maneno "cheo cha tumbo" haionekani mara nyingi katika mazoezi, na katika matatizo mengi unaweza kufanya bila hiyo kabisa. Lakini kuna kazi moja ambapo dhana inayohusika ndiyo kuu mwigizaji, na kuhitimisha makala tutaangalia matumizi haya ya vitendo:

Jinsi ya kusoma mfumo wa hesabu za mstari kwa uthabiti?

Mara nyingi, pamoja na suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari kwa mujibu wa hali hiyo, kwanza inahitajika kuchunguza kwa utangamano, yaani, kuthibitisha kwamba suluhisho lolote lipo kabisa. Jukumu muhimu katika uthibitishaji kama huo linachezwa na Nadharia ya Kronecker-Capelli, ambayo nitaunda ndani fomu inayohitajika:

Kama cheo matrices ya mfumo sawa na cheo mfumo wa matrix uliopanuliwa, basi mfumo ni thabiti, na ikiwa nambari hii inafanana na idadi ya haijulikani, basi suluhisho ni la pekee.

Kwa hivyo, kusoma mfumo kwa utangamano ni muhimu kuangalia usawa , wapi - matrix ya mfumo(kumbuka istilahi kutoka kwa somo Njia ya Gauss), A- matrix ya mfumo uliopanuliwa(yaani matrix yenye coefficients ya vigezo + safu ya maneno huru).

Acha A iwe matrix ya saizi m\ nyakati n na k iwe nambari ya asili, isiyozidi m na n: k\leqslant\min$m;n$. Mpangilio mdogo wa kth matriki A ni kibainishi cha mkusanyiko wa mpangilio wa k-th unaoundwa na vipengele kwenye makutano ya safu mlalo za k zilizochaguliwa kiholela na safu wima k za matrix A. Wakati wa kuashiria watoto, tutaonyesha nambari za safu zilizochaguliwa kama fahirisi za juu, na nambari za safu wima zilizochaguliwa kama fahirisi za chini, tukizipanga kwa mpangilio wa kupanda.

Mfano 3.4. Andika watoto wa maagizo tofauti ya matrix

A=\anza(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\mwisho(pmatrix)\!.

Suluhisho. Matrix A ina vipimo 3\times4 . Ina: watoto 12 wa utaratibu wa 1, kwa mfano, mdogo M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; Watoto wa daraja la 18, kwa mfano, M_(()_(23))^(()^(12))=\anza(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; Watoto wa mpangilio wa 4, kwa mfano,

M_(()_(134))^(()^(123))= \anza(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \mwisho(vmatrix)=0.

Katika matrix A ya saizi m\ nyakati n, mpangilio mdogo wa r-th unaitwa msingi, ikiwa ni nonzero na watoto wote wa (r+1)-ro ili ni sawa na sifuri au hawapo kabisa.

Kiwango cha Matrix inaitwa utaratibu wa msingi mdogo. Hakuna msingi mdogo katika matrix ya sifuri. Kwa hiyo, cheo cha matrix ya sifuri ni, kwa ufafanuzi, sawa na sifuri. Kiwango cha matrix A kinaonyeshwa na \jina la opereta(rg)A.

Mfano 3.5. Pata watoto wote wa msingi na kiwango cha matrix

A=\anza(pmmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmmatrix)\!.

Suluhisho. Watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matriki hii ni sawa na sifuri, kwa kuwa viambishi hivi vina safu mlalo ya sifuri ya tatu. Kwa hiyo, ni mtoto wa pili tu aliye katika safu mbili za kwanza za tumbo anaweza kuwa msingi. Kupitia watoto 6 wanaowezekana, tunachagua zisizo sifuri

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \anza(vmatrix)1&2\\0&2 \mwisho( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \anza(vmatrix) 2&0\\2&3\mwisho(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \anza(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Kila moja ya watoto hawa watano ni ya msingi. Kwa hivyo, kiwango cha matrix ni 2.

Vidokezo 3.2

1. Ikiwa katika matrix watoto wote wa utaratibu wa kth ni sawa na sifuri, basi wadogo wa utaratibu wa juu pia ni sawa na sifuri. Hakika, kupanua utaratibu mdogo wa (k + 1)-ro juu ya safu yoyote, tunapata jumla ya bidhaa za vipengele vya safu hii na watoto wa utaratibu wa kth, na ni sawa na sifuri.

2. Kiwango cha matrix ni sawa na mpangilio wa juu zaidi wa nonzero mdogo wa matrix hii.

3. Ikiwa matrix ya mraba isiyoharibika, basi cheo chake ni sawa na utaratibu wake. Ikiwa matrix ya mraba ni ya umoja, basi kiwango chake ni chini ya mpangilio wake.

4. Uteuzi pia hutumika kwa cheo \jina la opereta(Rg)A,~ \jina la kiendeshaji(rang)A,~ \jina la opereta(cheo)A.

5. Kiwango cha matrix ya kuzuia inafafanuliwa kama kiwango cha matrix ya kawaida (ya nambari), i.e. bila kujali muundo wake wa kuzuia. Katika kesi hii, kiwango cha matrix ya block sio chini ya safu ya vizuizi vyake: \jina la opereta(rg)(A\mid B)\geqslant\jina la opereta(rg)A Na \jina la opereta(rg)(A\mid B)\geqslant\jina la opereta(rg)B, kwa kuwa watoto wote wa matrix A (au B ) pia ni watoto wa matrix ya kuzuia (A\mid B) .

Nadharia kwa msingi mdogo na kiwango cha matrix

Hebu tuzingatie nadharia kuu zinazoonyesha sifa za utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa safu (safu) za matrix.

Nadharia 3.1 kwa msingi mdogo. Katika matrix ya kiholela, kila safu (safu) ni mchanganyiko wa safu wima (safu) ambamo msingi mdogo unapatikana.

Hakika, bila kupoteza kwa ujumla, tunadhani kuwa katika matrix A ya ukubwa m \ nyakati n msingi mdogo iko katika safu za kwanza na safu za kwanza za r. Fikiria kibainishi

D=\anza(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

ambayo hupatikana kwa kugawa kwa msingi mdogo wa matrix A inayolingana vipengele vya sth safu na safu ya k-th. Kumbuka kwamba kwa yoyote 1\leqslant s\leqslant m na kibainishi hiki ni sawa na sifuri. Ikiwa s\leqslant r au k\leqslant r , basi kibainishi D kina safu mlalo mbili zinazofanana au safu wima mbili zinazofanana. Ikiwa s>r na k>r, basi kiashiria D ni sawa na sifuri, kwa kuwa ni ndogo ya (r+l)-ro ili. Kupanua kibainishi kwenye mstari wa mwisho, tunapata

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldets+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

ambapo D_(r+1\,j) ni viambajengo vya aljebra vya vipengele vya safu mlalo ya mwisho. Kumbuka kuwa D_(r+1\,r+1)\ne0 kwani hii ni msingi mdogo. Ndiyo maana

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldets+\lambda_r\cdot a_(sr), Wapi \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldets,r.

Kuandika usawa wa mwisho wa s=1,2,\ldets,m, tunapata

\anza(pmmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmmatrix)= \lambda_1\cdot\! \anza(pmmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\mwisho(pmmatrix)+\ldets \lambda_r\cdot\! \anza(pmmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\mwisho(pmmatrix)\!.

hizo. kth safu (kwa yoyote 1\leqslant k\leqslant n) ni mchanganyiko wa mstari wa safu wima za msingi mdogo, ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Msingi wa nadharia ndogo hutumika kuthibitisha nadharia muhimu zifuatazo.

Masharti ya kibainishi kuwa sifuri

Nadharia 3.2 (hali ya lazima na ya kutosha kwa kibainishi kuwa sifuri). Ili kiashiria kiwe sawa na sifuri, ni muhimu na ya kutosha kwamba moja ya safu zake (moja ya safu zake) iwe mchanganyiko wa mstari wa safu zilizobaki (safu).

Hakika, umuhimu unafuata kutoka kwa msingi wa nadharia ndogo. Ikiwa kiashiria cha matrix ya mraba ya utaratibu n ni sawa na sifuri, basi cheo chake ni chini ya n, i.e. angalau safu wima moja haijajumuishwa katika msingi mdogo. Kisha safu hii iliyochaguliwa, na Theorem 3.1, ni mchanganyiko wa mstari wa safu ambazo msingi mdogo unapatikana. Kwa kuongeza, ikiwa ni lazima, kwenye mchanganyiko huu safu nyingine zilizo na coefficients sifuri, tunapata kwamba safu iliyochaguliwa ni mchanganyiko wa mstari wa safu zilizobaki za matrix. Utoshelevu hufuata kutokana na sifa za kibainishi. Ikiwa, kwa mfano, safu wima ya mwisho A_n ya kibainishi \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linearly walionyesha kwa njia ya mapumziko

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldets+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

kisha kuongeza kwa safu A_n A_1 ikizidishwa na (-\lambda_1), kisha safu wima A_2 ikizidishwa na (-\lambda_2), nk. safu A_(n-1) ikizidishwa na (-\lambda_(n-1)) tunapata kibainishi \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) na safu wima isiyofaa ambayo ni sawa na sifuri (mali 2 ya kibainishi).

Kubadilika kwa kiwango cha matrix chini ya mabadiliko ya kimsingi

Nadharia 3.3 (juu ya kutofautiana kwa cheo chini ya mabadiliko ya msingi). Wakati wa mabadiliko ya msingi ya safuwima (safu) za matrix, safu yake haibadilika.

Kweli, iwe hivyo. Wacha tuchukulie kuwa kama matokeo ya badiliko moja la msingi la safu wima A tulipata matrix A". Ikiwa mabadiliko ya aina ya I yalifanywa (ruhusa ya safu wima mbili), basi ndogo yoyote (r+l)-ro ya mpangilio. ya matrix A" ni sawa na ndogo inayolingana (r+l )-ro ya mpangilio wa matrix A, au inatofautiana nayo kwa ishara (mali ya 3 ya kibainishi). Ikiwa mabadiliko ya aina ya II yalifanywa (kuzidisha safu kwa nambari \lambda\ne0 ), basi ndogo yoyote (r+l)-ro ya mpangilio wa matrix A" ni sawa na ndogo inayolingana (r+l) -ro ya mpangilio wa matrix A au tofauti nayo kizidishi \lambda\ne0 (mali 6 ya kibainishi) Ikiwa mabadiliko yamefanywa. Aina ya III(kuongeza kwenye safu wima moja safu nyingine iliyozidishwa na nambari \Lambda), basi dogo lolote la mpangilio wa (r+1) wa matrix A" ni sawa na ndogo inayolingana ya mpangilio wa (r+1) wa mpangilio. matrix A (mali 9 ya kibainishi), au ni sawa na jumla ya watoto wawili (r+l)-ro ya mpangilio wa matrix A (mali 8 ya kibainishi). , watoto wote (r+l)-ro wa mpangilio wa matrix A" ni sawa na sufuri, kwa kuwa watoto wote (r) ni sawa na sifuri. +l)-ro ya mpangilio wa matrix A . Kwa hivyo, imethibitishwa kuwa kwa mabadiliko ya msingi ya safu, kiwango cha matrix hakiwezi kuongezeka. Kwa kuwa mabadiliko ya kinyume na yale ya msingi ni ya msingi, kiwango cha matrix hakiwezi kupungua wakati wa mabadiliko ya msingi ya safu, i.e. haibadiliki. Vile vile, imethibitishwa kuwa kiwango cha matrix haibadilika chini ya mabadiliko ya safu ya msingi.

Muhimu 1. Ikiwa safu moja (safu) ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa safu zake zingine (safu), basi safu wima hii (safu) inaweza kufutwa kutoka kwa matrix bila kubadilisha safu yake.

Hakika, kamba kama hiyo inaweza kufanywa sifuri kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, na kamba ya sifuri haiwezi kujumuishwa katika msingi mdogo.

Muhimu 2. Ikiwa matrix imepunguzwa kwa fomu rahisi zaidi (1.7), basi

\jina la opereta(rg)A=\jina la kiendeshaji(rg)\Lambda=r\,.

Hakika, matrix ya fomu rahisi (1.7) ina msingi mdogo wa utaratibu wa rth.

Muhimu 3. Matrix yoyote ya mraba isiyo ya umoja ni ya msingi, kwa maneno mengine, matrix yoyote ya mraba isiyo ya umoja ni sawa na matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa.

Hakika, ikiwa A ni matrix ya mraba isiyo ya umoja ya mpangilio wa nth, basi \jina la opereta(rg)A=n(tazama aya ya 3 ya maoni 3.2). Kwa hivyo, kuleta matrix A kwa fomu rahisi zaidi (1.7) kwa mabadiliko ya kimsingi, tunapata matrix ya kitambulisho \Lambda=E_n , kwani \jina la kiendeshaji(rg)A=\jina la kiendeshaji(rg)\Lambda=n(angalia Mfululizo 2). Kwa hivyo, matrix A ni sawa na matriki ya kitambulisho E_n na inaweza kupatikana kutoka kwayo kama matokeo ya idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi. Hii inamaanisha kuwa matrix A ni ya msingi.

Nadharia 3.4 (kuhusu kiwango cha matrix). Kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea za matrix hii.

Kwa kweli, basi \jina la opereta(rg)A=r. Kisha matrix A ina safu r zinazojitegemea kwa mstari. Hizi ni mistari ambayo msingi mdogo iko. Ikiwa walikuwa wanategemea mstari, basi mdogo huyu angekuwa sawa na sifuri kwa Theorem 3.2, na cheo cha matrix A haingekuwa sawa na r. Wacha tuonyeshe kuwa r- idadi ya juu safu huru za mstari, i.e. safu mlalo zozote zinategemea p>r. Hakika, tunaunda matrix B kutoka kwa safu hizi za p. Kwa kuwa matrix B ni sehemu ya matrix A, basi \jina la kiendeshaji(rg)B\leqslant \jina la kiendeshaji(rg)A=r

Hii inamaanisha kuwa angalau safu mlalo moja ya matrix B haijajumuishwa katika msingi mdogo wa matriki hii. Kisha, kwa msingi wa nadharia ndogo, ni sawa na mchanganyiko wa mstari wa safu ambayo msingi mdogo iko. Kwa hivyo, safu za matrix B zinategemea mstari. Kwa hivyo, matriki A ina safu mlalo huru zaidi ya r.

Muhimu 1. Idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea kimstari katika mkusanyiko ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu wima zinazojitegemea kimstari:

\jina la opereta(rg)A=\jina la kiendeshaji(rg)A^T.

Taarifa hii inafuata kutoka kwa Nadharia 3.4 ikiwa tutaitumia kwenye safu mlalo za matriki iliyopitishwa na kuzingatia kwamba watoto hawabadiliki wakati wa uhamishaji (mali ya 1 ya kibainishi).

Muhimu 2. Wakati wa mabadiliko ya msingi ya safu za matrix, utegemezi wa mstari (au uhuru wa mstari) wa mfumo wowote wa safu wima za matrix hii huhifadhiwa.

Kwa kweli, hebu tuchague safu wima zozote za k za matrix A fulani na tutunge matrix B kutoka kwao. Wacha matrix A" ipatikane kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi ya safu A, na matrix B" ipatikane kama matokeo ya mabadiliko sawa ya safu za matrix B. Kwa nadharia 3.3 \jina la opereta(rg)B"=\jina la kiendeshaji(rg)B. Kwa hiyo, ikiwa nguzo za matrix B zilikuwa huru kwa mstari, i.e. k=\jina la opereta(rg)B(ona Corollary 1), kisha safu wima za matrix B" pia zinajitegemea kimstari, kwani k=\jina la opereta(rg)B". Ikiwa safu wima za matrix B zilitegemea mstari (k>\jina la opereta(rg)B), basi safu wima za matrix B" pia zinategemeana (k>\jina la opereta(rg)B"). Kwa hivyo, kwa safuwima zozote za matrix A, utegemezi wa mstari au uhuru wa mstari huhifadhiwa chini ya mabadiliko ya msingi ya safu.

Vidokezo 3.3

1. Kwa mujibu wa Mfuatano wa 1 wa Nadharia ya 3.4, sifa ya safu wima iliyoonyeshwa katika Mfuatano wa 2 pia ni kweli kwa mfumo wowote wa safu mlalo za matrix ikiwa mabadiliko ya kimsingi yanafanywa kwenye safu wima zake pekee.

2. Nadharia ya 3 ya Nadharia 3.3 inaweza kuboreshwa kama ifuatavyo: matrix yoyote ya mraba isiyo ya umoja, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi ya safu mlalo zake pekee (au safu wima zake pekee), inaweza kupunguzwa hadi matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa.

Kwa kweli, kwa kutumia mabadiliko ya safu ya msingi tu, matrix yoyote A inaweza kupunguzwa kwa fomu iliyorahisishwa \ Lambda (Mchoro 1.5) (ona Theorem 1.1). Kwa kuwa matrix A haina umoja (\det(A)\ne0), safu wima zake zinajitegemea kimstari. Hii ina maana kwamba safu wima za matrix \Lambda pia zinajitegemea kimstari (Corollary 2 of Theorem 3.4). Kwa hiyo, fomu iliyorahisishwa \Lambda ya tumbo isiyo ya umoja A inafanana na fomu yake rahisi zaidi (Mchoro 1.6) na ni matrix ya utambulisho \Lambda=E (angalia Corollary 3 ya Theorem 3.3). Kwa hivyo, kwa kubadilisha tu safu za matrix isiyo ya umoja, inaweza kupunguzwa kwa matrix ya utambulisho. Hoja kama hiyo ni halali kwa mabadiliko ya kimsingi ya safu wima za matrix isiyo ya umoja.

Cheo cha bidhaa na jumla ya matrices

Nadharia 3.5 (kwenye safu ya bidhaa ya matrices). Kiwango cha bidhaa ya matrices haizidi safu ya mambo:

\jina la opereta(rg)(A\cdot B)\leqslant \min$\jina la opereta(rg)A,\jina la opereta(rg)B$.

Kwa kweli, acha matrices A na B ziwe na saizi m\times p na p\times n . Wacha tugawanye matrix A tumbo C=AB\koloni\,(A\katikati C). Bila shaka hilo \jina la kiendeshaji(rg)C\leqslant\jina la opereta(rg)(A\mid C), kwa kuwa C ni sehemu ya matrix (A\mid C) (tazama aya ya 5 ya maoni 3.2). Kumbuka kuwa kila safu C_j, kulingana na operesheni ya kuzidisha matrix, ni mchanganyiko wa safu wima A_1,A_2,\ldets,A_p matrices A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldets+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldets,n.

Safu kama hiyo inaweza kufutwa kutoka kwa matrix (A\mid C) bila kubadilisha kiwango chake (Corollary 1 of Theorem 3.3). Kuvuka safu zote za matrix C, tunapata: \jina la opereta(rg)(A\mid C)=\jina la kiendeshaji(rg)A. Kuanzia hapa, \jina la kiendeshaji(rg)C\leqslant\jina la opereta(rg)(A\mid C)=\jina la opereta(rg)A. Vile vile, tunaweza kuthibitisha kwamba hali hiyo imeridhika wakati huo huo \jina la opereta(rg)C\leqslant\jina la kiendeshaji(rg)B, na kutoa hitimisho kuhusu uhalali wa nadharia hiyo.

Matokeo. A ni matrix ya mraba isiyo ya umoja, basi \jina la opereta(rg)(AB)= \jina la kiendeshaji(rg)B Na \jina la opereta(rg)(CA)=\jina la kiendeshaji(rg)C, i.e. cheo cha matrix haibadiliki wakati wa kuzidisha kutoka kushoto au kulia kwa matrix ya mraba isiyo ya umoja.

Nadharia 3.6 juu ya safu ya jumla ya matrices. Kiwango cha jumla ya matrices haizidi jumla ya safu za masharti:

\jina la kiendeshaji(rg)(A+B)\leqslant \jina la kiendeshaji(rg)A+\jina la kiendeshaji(rg)B.

Kwa kweli, wacha tuunda matrix (A+B\katikati A\katikati ya B). Kumbuka kwamba kila safu ya matrix A+B ni mchanganyiko wa mstari wa safu wima A na B. Ndiyo maana \jina la opereta(rg)(A+B\katikati A\mid B)= \jina la kiendeshaji(rg)(A\mid B). Ikizingatiwa kuwa idadi ya safu wima zinazojitegemea kimstari kwenye matrix (A\katikati B) haizidi \jina la opereta(rg)A+\jina la kiendeshaji(rg)B, a \jina la opereta(rg)(A+B)\leqslant \jina la kiendeshaji(rg)(A+B\mid A\mid B)(tazama sehemu ya 5 ya Hotuba 3.2), tunapata ukosefu wa usawa unaothibitishwa.