Ni mraba, na ina maneno matatu (). Kwa hiyo inageuka - trinomial ya mraba.
Mifano Sivyo trinomia za mraba:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - cubic quadrinomial
\(2x+1\) - binomial ya mstari
Mzizi wa mraba wa trinomial:
Mfano:
Utatu \(x^2-2x+1\) una mzizi \(1\), kwa sababu \(1^2-2 1+1=0\)
Utatu \(x^2+2x-3\) una mizizi \(1\) na \(-3\), kwa sababu \(1^2+2-3=0\) na \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Kwa mfano: ikiwa unahitaji kupata mizizi ya quadratic trinomial \(x^2-2x+1\), tunailinganisha na sifuri na kutatua equation \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Tayari. Mzizi ni \(1\).
Mtengano wa trinomial ya quadratic kuwa:
Utatu wa mraba \(ax^2+bx+c\) unaweza kupanuliwa kama \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ikiwa milinganyo \(ax^2+bx+c=0\) ni kubwa kuliko sifuri \ (x_1\) na \(x_2\) ni mizizi ya mlingano sawa).
Kwa mfano, zingatia utatu \(3x^2+13x-10\).
Mlinganyo wa quadratic \(3x^2+13x-10=0\) una kibaguzi sawa na 289 (kubwa kuliko sifuri) na mizizi sawa na \(-5\) na \(\frac(2)(3)\) . Kwa hivyo \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Ni rahisi kuthibitisha usahihi wa taarifa hii - ikiwa sisi , basi tutapata utatu asilia.
Utatu wa mraba \(ax^2+bx+c\) unaweza kuwakilishwa kama \(a(x-x_1)^2\) ikiwa kibaguzi cha mlinganyo \(ax^2+bx+c=0\) sufuri.
Kwa mfano, zingatia utatu \(x^2+6x+9\).Mlinganyo wa quadratic \(x^2+6x+9=0\) una kibaguzi sawa na \(0\) na mzizi wa kipekee sawa na \(-3\). Hii inamaanisha \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (hapa mgawo ni \(a=1\), kwa hivyo haijaandikwa kabla ya mabano - hakuna haja). Tafadhali kumbuka kuwa ubadilishaji sawa unaweza kufanywa na .
Utatu wa mraba \(ax^2+bx+c\) hauwezi kubadilishwa ikiwa kibaguzi cha mlinganyo \(ax^2+bx+c=0\) ni chini ya sifuri.
Kwa mfano, trinomia \(x^2+x+4\) na \(-5x^2+2x-1\) zina kibaguzi chini ya sifuri. Kwa hiyo, haiwezekani kuwahesabu.
Mfano
. Kipengele \(2x^2-11x+12\).
Suluhisho
:
Wacha tupate mizizi ya mlinganyo wa quadratic \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Kwa hivyo, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
Jibu
: \(2(x-1.5)(x-4)\)
Jibu linalotokana linaweza kuandikwa tofauti: \((2x-3)(x-4)\).
Mfano
. (Kazi kutoka kwa OGE) Utatu wa mraba umebainishwa \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Tafuta \(a\).
Suluhisho:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
Jibu
: \(-1,6\)
Ili kuainisha, ni muhimu kurahisisha misemo. Hii ni muhimu ili iweze kupunguzwa zaidi. Upanuzi wa polynomial ina maana wakati shahada yake sio chini ya mbili. Polynomial yenye shahada ya kwanza inaitwa linear.
Nakala hiyo itashughulikia dhana zote za mtengano, misingi ya kinadharia na njia za kuunda polynomial.
Nadharia
Nadharia 1Wakati polynomial yoyote yenye shahada n, yenye fomu P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, huwakilishwa kama bidhaa iliyo na kipengele kisichobadilika chenye kiwango cha juu kabisa cha n na n vipengele vya mstari (x - x i), i = 1, 2, ..., n, kisha P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ·. . . · (x - x 1) , ambapo x i, i = 1, 2, ..., n ni mizizi ya polynomial.
Nadharia imekusudiwa kwa mizizi ya aina changamano x i, i = 1, 2, ..., n na kwa mgawo changamano k, k = 0, 1, 2, ..., n. Huu ndio msingi wa mtengano wowote.
Wakati mgawo wa fomu k, k = 0, 1, 2, ..., n ni nambari halisi, basi mizizi tata itatokea kwa jozi za conjugate. Kwa mfano, mizizi x 1 na x 2 kuhusiana na polynomial ya fomu P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 inachukuliwa kuwa conjugate ngumu, basi mizizi mingine ni ya kweli, ambayo tunapata kwamba polynomial inachukua fomu P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, ambapo x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Maoni
Mizizi ya polynomial inaweza kurudiwa. Hebu tuchunguze uthibitisho wa nadharia ya algebra, tokeo la nadharia ya Bezout.
Nadharia ya msingi ya algebra
Nadharia 2Polynomial yoyote yenye digrii n ina angalau mzizi mmoja.
Nadharia ya Bezout
Baada ya kugawanya polynomial ya fomu P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 kwa (x - s), kisha tunapata salio, ambayo ni sawa na polynomial kwa uhakika s, kisha tunapata
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , ambapo Q n - 1 (x) ni polynomial yenye shahada n - 1.
Sambamba na nadharia ya Bezout
Wakati mzizi wa polynomial P n (x) inachukuliwa kuwa s, basi P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Muhtasari huu unatosha wakati unatumiwa kuelezea suluhisho.
Kuanzisha trinomial ya quadratic
Utatu wa mraba wa umbo a x 2 + b x + c unaweza kujumuishwa katika vipengele vya mstari. basi tunapata kwamba a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , ambapo x 1 na x 2 ni mizizi (tata au halisi).
Hii inaonyesha kwamba upanuzi wenyewe hupunguza kutatua equation ya quadratic baadaye.
Mfano 1
Faili utatu wa quadratic.
Suluhisho
Inahitajika kupata mizizi ya equation 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata thamani ya kibaguzi kwa kutumia formula, basi tunapata D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Kuanzia hapa tunayo hiyo
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Kutoka kwa hili tunapata kwamba 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Ili kufanya hundi, unahitaji kufungua mabano. Kisha tunapata usemi wa fomu:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Baada ya kuangalia, tunafika kwenye usemi wa asili. Hiyo ni, tunaweza kuhitimisha kuwa mtengano ulifanyika kwa usahihi.
Mfano 2
Factor trinomial ya quadratic ya fomu 3 x 2 - 7 x - 11 .
Suluhisho
Tunaona kwamba ni muhimu kuhesabu equation ya quadratic inayotokana ya fomu 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Ili kupata mizizi, unahitaji kuamua thamani ya kibaguzi. Tunapata hilo
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Kutokana na hili tunapata kwamba 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Mfano 3
Weka alama ya polinomia 2 x 2 + 1.
Suluhisho
Sasa tunahitaji kutatua equation ya quadratic 2 x 2 + 1 = 0 na kupata mizizi yake. Tunapata hilo
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Mizizi hii inaitwa conjugate tata, ambayo inamaanisha upanuzi wenyewe unaweza kuonyeshwa kama 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Mfano 4
Oza trinomial ya quadratic x 2 + 1 3 x + 1 .
Suluhisho
Kwanza unahitaji kutatua equation ya quadratic ya fomu x 2 + 1 3 x + 1 = 0 na kupata mizizi yake.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Baada ya kupata mizizi, tunaandika
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Maoni
Ikiwa thamani ya kibaguzi ni hasi, basi polynomials zitabaki polynomia za mpangilio wa pili. Inafuata kutoka kwa hii kwamba hatutazipanua kuwa sababu za mstari.
Mbinu za kuongeza polynomial ya digrii zaidi ya mbili
Wakati wa kuoza, njia ya ulimwengu wote inachukuliwa. Kesi nyingi zaidi zinatokana na muhtasari wa nadharia ya Bezout. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchagua thamani ya mizizi x 1 na kupunguza shahada yake kwa kugawanya na polynomial na 1 kwa kugawanya na (x - x 1). Polynomial inayotokana inahitaji kupata mzizi x 2, na mchakato wa utafutaji ni wa mzunguko hadi tupate upanuzi kamili.
Ikiwa mizizi haipatikani, basi njia nyingine za factorization hutumiwa: kikundi, maneno ya ziada. Mada hii inahusisha kusuluhisha milinganyo yenye nguvu za juu zaidi na vigawo kamili.
Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano
Fikiria kesi wakati neno la bure ni sawa na sifuri, basi fomu ya polynomial inakuwa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .
Inaweza kuonekana kuwa mzizi wa polynomial kama hiyo itakuwa sawa na x 1 = 0, kisha polynomial inaweza kuwakilishwa kama usemi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Njia hii inachukuliwa kuwa inachukua sababu ya kawaida kutoka kwa mabano.
Mfano 5
Factor shahada ya tatu polynomial 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Suluhisho
Tunaona kwamba x 1 = 0 ndio mzizi wa polynomial iliyotolewa, basi tunaweza kuondoa x kutoka kwa mabano ya usemi mzima. Tunapata:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Wacha tuendelee kutafuta mizizi ya utatu wa mraba 4 x 2 + 8 x - 1. Wacha tupate kibaguzi na mizizi:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Kisha inafuata hiyo
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Kuanza, hebu tuzingatie njia ya mtengano iliyo na coefficients integer ya fomu P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, ambapo mgawo wa shahada ya juu zaidi ni 1.
Wakati polynomial ina mizizi kamili, basi huchukuliwa kuwa vigawanyiko vya neno huru.
Mfano 6
Tenga usemi f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Suluhisho
Wacha tuchunguze ikiwa kuna mizizi kamili. Inahitajika kuandika vigawanyiko vya nambari - 18. Tunapata hiyo ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Inafuata kwamba polynomial hii ina mizizi kamili. Unaweza kuangalia kwa kutumia mpango wa Horner. Ni rahisi sana na hukuruhusu kupata haraka mgawo wa upanuzi wa polynomial:
Inafuata kwamba x = 2 na x = - 3 ni mizizi ya polynomial asili, ambayo inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya fomu:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Tunaendelea na upanuzi wa trinomial ya quadratic ya fomu x 2 + 2 x + 3.
Kwa kuwa kibaguzi ni hasi, inamaanisha hakuna mizizi halisi.
Jibu: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Maoni
Inaruhusiwa kutumia uteuzi wa mizizi na mgawanyiko wa polynomial na polynomial badala ya mpango wa Horner. Hebu tuendelee kuzingatia upanuzi wa polynomial yenye coefficients integer ya fomu P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , ambayo ya juu zaidi ni sawa na moja.
Kesi hii hutokea kwa sehemu za busara.
Mfano 7
Factorize f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Suluhisho
Ni muhimu kuchukua nafasi ya kutofautiana y = 2 x, unapaswa kuendelea na polynomial na coefficients sawa na 1 kwa kiwango cha juu zaidi. Unahitaji kuanza kwa kuzidisha usemi na 4. Tunapata hilo
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Wakati kazi inayotokana ya fomu g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ina mizizi kamili, basi eneo lao ni kati ya wagawanyiko wa muda wa bure. Kuingia kutaonekana kama:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Wacha tuendelee kuhesabu kazi g (y) katika nukta hizi ili kupata sifuri kama matokeo. Tunapata hilo
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Tunaona kwamba y = - 5 ni mzizi wa equation ya fomu y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ambayo ina maana x = y 2 = - 5 2 ni mzizi wa kazi ya awali.
Mfano 8
Inahitajika kugawanya na safu 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 na x + 5 2.
Suluhisho
Wacha tuandike na tupate:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kukagua vigawanyiko itachukua muda mwingi, kwa hivyo ni faida zaidi kuorodhesha trinomial ya quadratic ya fomu x 2 + 7 x + 3. Kwa kusawazisha sifuri tunapata kibaguzi.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Inafuata hiyo
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Mbinu za bandia za kuunda polynomial
Mizizi ya busara sio asili katika polynomia zote. Kwa kufanya hivyo, unahitaji kutumia mbinu maalum ili kupata sababu. Lakini sio polynomia zote zinaweza kupanuliwa au kuwakilishwa kama bidhaa.
Mbinu ya kupanga vikundi
Kuna matukio wakati unaweza kuweka masharti ya polynomial ili kupata sababu ya kawaida na kuiweka nje ya mabano.
Mfano 9
Weka alama ya polinomia x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Suluhisho
Kwa sababu mgawo ni nambari kamili, basi huenda mizizi inaweza pia kuwa nambari kamili. Kuangalia, chukua maadili 1, - 1, 2 na - 2 ili kuhesabu thamani ya polynomial katika pointi hizi. Tunapata hilo
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Hii inaonyesha kuwa hakuna mizizi; ni muhimu kutumia njia nyingine ya upanuzi na ufumbuzi.
Inahitajika kuweka kikundi:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Baada ya kupanga polima asilia, unahitaji kuiwakilisha kama bidhaa ya trinomia mbili za mraba. Ili kufanya hivyo tunahitaji factorize. tunapata hiyo
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Maoni
Urahisi wa kuweka vikundi haimaanishi kuwa kuchagua maneno ni rahisi vya kutosha. Hakuna njia maalum ya ufumbuzi, kwa hiyo ni muhimu kutumia nadharia na sheria maalum.
Mfano 10
Kipengele cha polynomial x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Suluhisho
Polynomial iliyotolewa haina mizizi kamili. Masharti yanapaswa kuunganishwa. Tunapata hilo
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Baada ya factorization tunapata hiyo
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha na binomial ya Newton kuangazia polimanomia
Kuonekana mara nyingi haifafanui wazi ni njia gani inapaswa kutumika wakati wa mtengano. Baada ya mabadiliko kufanywa, unaweza kujenga mstari unaojumuisha pembetatu ya Pascal, vinginevyo wanaitwa binomial ya Newton.
Mfano 11
Eleza nambari ya polynomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Suluhisho
Inahitajika kubadilisha usemi kuwa fomu
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Mlolongo wa mgawo wa jumla katika mabano unaonyeshwa na usemi x + 1 4 .
Hii ina maana tuna x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = x + 1 4 - 3.
Baada ya kutumia tofauti ya mraba, tunapata
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Fikiria usemi ulio kwenye mabano ya pili. Ni wazi kuwa hakuna knights huko, kwa hivyo tunapaswa kutumia tofauti ya fomula ya mraba tena. Tunapata usemi wa fomu
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Mfano 12
Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Suluhisho
Wacha tuanze kubadilisha usemi. Tunapata hilo
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Inahitajika kutumia formula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti ya cubes. Tunapata:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Njia ya kuchukua nafasi ya kutofautisha wakati wa kuunda polynomial
Wakati wa kuchukua nafasi ya kutofautiana, shahada imepunguzwa na polynomial inachukuliwa.
Mfano 13
Fahamu polynomial ya fomu x 6 + 5 x 3 + 6 .
Suluhisho
Kulingana na hali hiyo, ni wazi kuwa ni muhimu kufanya uingizwaji y = x 3. Tunapata:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Mizizi ya equation ya quadratic inayotokana ni y = - 2 na y = - 3, kisha
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Inahitajika kutumia formula ya kuzidisha kwa kifupi kwa jumla ya cubes. Tunapata maneno ya fomu:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Hiyo ni, tulipata mtengano uliotaka.
Kesi zilizojadiliwa hapo juu zitasaidia katika kuzingatia na kuainisha polynomial kwa njia tofauti.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Inahitajika kuangazia polimanomia wakati wa kurahisisha misemo (ili upunguzaji ufanyike), wakati wa kusuluhisha milinganyo, au wakati wa kutenganisha kazi ya kimantiki katika sehemu rahisi.
Inaleta maana kuongea juu ya kuainisha polynomial ikiwa digrii yake sio chini ya mbili.
Polynomial ya shahada ya kwanza inaitwa mstari.
Wacha kwanza tuzingatie misingi ya kinadharia, kisha tuende moja kwa moja kwa njia za uundaji wa polynomial.
Urambazaji wa ukurasa.
Nadharia ya lazima.
Nadharia.
Polynomial yoyote ya digrii n aina inawakilishwa na bidhaa ya sababu ya mara kwa mara kwa nguvu ya juu na n vizidishi vya mstari, i=1, 2, ..., n, yaani, na, i=1, 2, ..., n ndio mizizi ya polynomial.
Nadharia hii imeundwa kwa mizizi ngumu, i=1, 2, ..., n na coefficients changamano, k=0, 1, 2, ..., n. Ni msingi wa kuainisha polynomial yoyote.
Ikiwa coefficients k=0, 1, 2, ..., n ni nambari halisi, basi mizizi changamano ya polynomial LAZIMA itokee katika jozi changamano changamani.
Kwa mfano, ikiwa mizizi ya polynomial ni conjugate ngumu, na mizizi iliyobaki ni halisi, basi polynomial itawakilishwa kwa fomu, ambapo
Maoni.
Miongoni mwa mizizi ya polynomial kunaweza kuwa na kurudia.
Uthibitisho wa nadharia unafanywa kwa kutumia nadharia ya msingi ya algebra Na mfululizo wa nadharia ya Bezout.
Nadharia ya msingi ya algebra.
Polynomial yoyote ya digrii n ina angalau mzizi mmoja (tata au halisi).
Nadharia ya Bezout.
Wakati wa kugawanya polynomial na (x-s) iliyobaki ni sawa na thamani ya polynomial katika hatua s, yaani, ambapo kuna polynomial ya shahada n-1.
Sambamba na nadharia ya Bezout.
Kama s ni mzizi wa polynomial, basi.
Tutatumia muhtasari huu mara nyingi wakati wa kuelezea suluhisho kwa mifano.
Kuanzisha trinomial ya quadratic.
Utatu wa mraba umetenganishwa katika vipengele viwili vya mstari: wapi na ni mizizi (tata au halisi).
Kwa hivyo, uundaji wa trinomial ya quadratic hupunguzwa ili kutatua equation ya quadratic.
Mfano.
Factor a quadratic trinomial.
Suluhisho.
Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic 
.
Ubaguzi wa equation ni sawa, kwa hivyo, 
Hivyo, 
.
Kuangalia, unaweza kupanua mabano:. Wakati wa kuangalia, tulifika kwenye trinomial ya asili, kwa hivyo mtengano ulikuwa sahihi.
Mfano.
Suluhisho.
Equation ya quadratic inayolingana ni 
.
Wacha tupate mizizi yake. 
Ndiyo maana, 
.
Mfano.
Sababu ya polynomial.
Suluhisho.
Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic. 
Tulipata jozi ya mizizi tata ya conjugate.
Upanuzi wa polynomial utakuwa na fomu 
.
Mfano.
Faili utatu wa quadratic.
Suluhisho.
Wacha tusuluhishe equation ya quadratic 
.
Ndiyo maana, 
Maoni:
Katika kile kinachofuata, na ubaguzi mbaya, tutaacha polynomials za pili katika fomu yao ya awali, yaani, hatutawatenganisha katika vipengele vya mstari na masharti magumu ya bure.
Mbinu za kuongeza polynomial ya digrii zaidi ya mbili.
Kwa ujumla, kazi hii inahitaji mbinu ya ubunifu, kwani hakuna njia ya ulimwengu wote ya kuisuluhisha. Lakini hebu jaribu kutoa vidokezo vichache.
Katika idadi kubwa ya matukio, uainishaji wa polynomial unategemea muhtasari wa nadharia ya Bezout, yaani, mzizi hupatikana au kuchaguliwa na kiwango cha polynomial hupunguzwa kwa moja kwa kugawanya na . Mzizi wa polynomial unaosababishwa hutafutwa na mchakato unarudiwa hadi upanuzi kamili.
Ikiwa mzizi hauwezi kupatikana, basi mbinu maalum za upanuzi hutumiwa: kutoka kwa kikundi hadi kuanzisha maneno ya ziada ya kipekee.
Wasilisho zaidi linatokana na ujuzi ulio na coefficients kamili.
Kuondoa sababu ya kawaida.
Hebu tuanze na kesi rahisi zaidi, wakati neno la bure ni sawa na sifuri, yaani, polynomial ina fomu .
Kwa wazi, mzizi wa polynomial kama hii ni , yaani, tunaweza kuwakilisha polynomial katika fomu.
Njia hii sio zaidi ya kuweka sababu ya kawaida nje ya mabano.
Mfano.
Factor polynomial ya shahada ya tatu.
Suluhisho.
Ni wazi, ni nini mzizi wa polynomial, yaani X inaweza kutolewa nje ya mabano:
Wacha tupate mizizi ya trinomial ya quadratic 
Hivyo, 
Factoring polynomial na mizizi mantiki.
Kwanza, hebu tuchunguze njia ya kupanua polynomial na coefficients integer ya fomu , mgawo wa shahada ya juu ni sawa na moja.
Katika kesi hii, ikiwa polynomial ina mizizi kamili, basi ni vigawanyiko vya neno la bure.
Mfano.
Suluhisho.
Wacha tuangalie ikiwa kuna mizizi isiyobadilika. Ili kufanya hivyo, andika vigawanyiko vya nambari -18
:. Hiyo ni, ikiwa polynomial ina mizizi kamili, basi ni kati ya nambari zilizoandikwa. Wacha tuangalie nambari hizi kwa mlolongo kwa kutumia mpango wa Horner. Urahisi wake pia upo katika ukweli kwamba mwisho tunapata mgawo wa upanuzi wa polynomial: 
Hiyo ni, x=2 Na x=-3 ndio mizizi ya polynomial asili na tunaweza kuiwakilisha kama bidhaa:
Inabakia kupanua trinomial ya quadratic.
Ubaguzi wa trinomial hii ni mbaya, kwa hiyo haina mizizi halisi.
Jibu:
Maoni:
badala ya mpango wa Horner, mtu anaweza kutumia uteuzi wa mzizi na mgawanyiko unaofuata wa polynomial na polynomial.
Sasa fikiria upanuzi wa polynomial na coefficients integer ya fomu , na mgawo wa shahada ya juu si sawa na moja.
Katika kesi hii, polynomial inaweza kuwa na mizizi ya busara.
Mfano.
Fafanua usemi.
Suluhisho.
Kwa kufanya mabadiliko ya kutofautiana y=2x, wacha tuendelee kwenye polynomial yenye mgawo sawa na moja katika kiwango cha juu zaidi. Ili kufanya hivyo, kwanza zidisha usemi kwa 4
.
Ikiwa kazi inayosababisha ina mizizi kamili, basi ni kati ya wagawanyiko wa neno la bure. Hebu tuandike:
Wacha tuhesabu kwa mpangilio maadili ya chaguo la kukokotoa g(y) kwa pointi hizi hadi sifuri ifikiwe. 
Hiyo ni, y=-5 ndio mzizi 
, kwa hiyo, ni mzizi wa kazi ya awali. Wacha tugawanye polynomial kwa safu (kona) kwenye binomial. 
Hivyo, 
Haipendekezi kuendelea kukagua vigawanyiko vilivyobaki, kwani ni rahisi kuainisha trinomial inayosababishwa ya quadratic. 
Kwa hivyo, 
Mbinu za bandia za kuunda polynomial.
Polynomials sio daima kuwa na mizizi ya busara. Katika kesi hii, wakati wa kutengeneza, unapaswa kutafuta njia maalum. Lakini, haijalishi ni kiasi gani tungependa, baadhi ya polynomials (au tuseme idadi kubwa) haziwezi kuwakilishwa kama bidhaa.
Mbinu ya kupanga vikundi.
Wakati mwingine inageuka kwa kikundi masharti ya polynomial, ambayo inakuwezesha kupata sababu ya kawaida na kuiondoa kwenye mabano.
Mfano.
Panua polynomial 
kwa kuzidisha.
Suluhisho.
Kwa kuwa viambajengo ni nambari kamili, kunaweza kuwa na mizizi kamili kati ya vigawanyiko vya neno huria. Wacha tuangalie maadili 1
, -1
, 2
Na -2
, kukokotoa thamani ya polynomial katika pointi hizi. 
Hiyo ni, hakuna mizizi nzima. Wacha tuangalie njia nyingine ya kuoza.
Wacha tupange kikundi: 
Baada ya kupanga kikundi, polima asilia iliwakilishwa kama bidhaa ya trinomia mbili za mraba. Hebu tuzichambue. 
Kwanza kabisa, hebu tuonyeshe baadhi ya majina ya kawaida. Wacha tuzingatie polynomials ambazo zina herufi moja tu, kwa mfano, herufi x. Halafu rahisi zaidi ni polynomial ambayo kuna maneno mawili, na moja yao ina herufi x hadi digrii ya kwanza, na nyingine haina herufi x kabisa, kwa mfano, 3x - 5 au 15 - 7x au 8z. + 7 (hapa badala ya herufi x inachukuliwa herufi z), nk Polynomia hizo huitwa binomials za mstari .
3x² – 5x + 7 au x² + 2x – 1
au 5y² + 7y + 8 au z² - 5z - 2, nk.
Polynomials vile huitwa trinomia za mraba.
Kisha, tunaweza kuunda quadrinomial ya ujazo, kwa mfano:
x³ + 2x² – x + 1 au 3x³ – 5x² – 2x – 3 n.k.,
polynomial ya shahada ya nne, kwa mfano:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5, nk.
Inawezekana kuashiria hesabu kwa x, kwa x², kwa x³, n.k. pia kwa herufi, kwa mfano, kwa herufi a, b, c, n.k. Kisha tunapata:
1) aina ya jumla ya shoka ya binomial + b, mstari kwa heshima na x,
2) aina ya jumla ya utatu wa quadratic (inayohusiana na x): ax² + bx + c,
3) aina ya jumla ya trinomia ya ujazo (inayohusiana na x): ax³ + bx² + cx + d, nk.
Kwa kubadilisha herufi a, b, c, d... katika fomula hizi na nambari tofauti, tunapata kila aina ya binomial za mstari, trinomia za mraba, n.k. Kwa mfano, katika fomula ax² + bx + c, inayoonyesha jumla. fomu ya utatu wa quadratic, tunabadilisha herufi a na nambari + 3, herufi b na nambari -2 na herufi na nambari -1, tunapata trinomial ya mraba 3x² - 2x - 1. Katika hali fulani, Inawezekana pia kupata binomial kwa kubadilisha moja ya herufi na sifuri, kwa mfano, ikiwa a = +1, b = 0 na c = -3, basi tunapata quadratic binomial x² - 3.
Unaweza kujifunza kuainisha baadhi ya trinomia za quadratic kwa haraka katika vipengele vya mstari. Hata hivyo, tutajiwekea kikomo kwa kuzingatia tu zile trinomia za quadratic ambazo zinakidhi masharti yafuatayo:
1) mgawo wa neno linaloongoza (kwa x²) ni +1,
2) unaweza kupata nambari mbili kamili (na ishara, au nambari mbili za jamaa) kiasi kwamba jumla yao ni sawa na mgawo wa x hadi nguvu ya kwanza na bidhaa zao ni sawa na neno lisilo na x (ambapo hakuna herufi x zote).
Mifano. 1. x² + 5x + 6; Ni rahisi kiakili kupata nambari mbili (na ishara) ili jumla yao iwe sawa na +5 (mgawo wa x) na ili bidhaa zao = +6 (neno lisilo na x) - nambari hizi ni: +2 na + 3 [kwa kweli, +2 + 3 = +5 na (+2) ∙ (+3) = +6]. Kutumia nambari hizi mbili, tunabadilisha neno + 5x kwa maneno mawili, yaani: +2x + 3x (bila shaka, +2x + 3x = +5x); basi neno letu la kiufundi litabadilishwa kiholela kuwa x² + 2x + 3x + 6 ya muda wa nne. Hebu sasa tutumie mbinu ya kuweka kambi kwayo, tukigawa istilahi mbili za kwanza kwa kundi moja na mbili za mwisho kwa lingine:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
Katika kikundi cha kwanza tulichukua x nje ya mabano na kwa pili +3, tulipata maneno mawili ambayo yalikuwa na sababu ya kawaida (x + 2), ambayo pia tulitoa kwenye mabano, na trinomial x² + 5x + 6 imetengana katika vipengele 2 vya mstari: x + 2 na x + 3.
2. x² – x – 12. Hapa unahitaji kupata nambari mbili (jamaa) ili jumla yao iwe sawa na –1 na ili bidhaa yao iwe sawa na –12. Nambari hizi ni: -4 na +3.
Angalia: -4 + 3 = -1; (–4) (+3) = –12. Kwa kutumia nambari hizi, tunabadilisha neno -x na maneno mawili: -x = -4x + 3x, - tunapata:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² - 7x + 6; hapa nambari zinazohitajika ni: -6 na -1. [Angalia: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Hapa washiriki wa kikundi cha pili -x + 6 walipaswa kufungwa kwenye mabano, na alama ya minus mbele yao.
4. x² + 8x - 48. Hapa unahitaji kupata nambari mbili ili jumla yao iwe +8 na bidhaa zao ni -48. Kwa kuwa bidhaa lazima iwe na ishara ya minus, nambari zinazohitajika lazima ziwe na ishara tofauti, kwa kuwa jumla ya nambari zetu zina ishara +, basi thamani kamili ya nambari nzuri lazima iwe kubwa zaidi. Kupanua nambari ya hesabu 48 katika mambo mawili (na hii inaweza kufanyika kwa njia tofauti), tunapata: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Kutoka kwa upanuzi huu ni rahisi kuchagua ile inayofaa mahitaji yetu , yaani: 48 = 4 ∙ 12. Kisha nambari zetu ni: +12 na -4. Mengine ni rahisi:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x - 12. Hapa unahitaji kupata nambari 2 ili jumla yao iwe +7 na bidhaa zao = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Inavyoonekana, 3 na 4 zingekuwa nambari zinazofaa, lakini lazima zichukuliwe kwa ishara tofauti ili bidhaa zao ziwe sawa na -12, na kisha jumla yao hakuna kesi inaweza. kuwa +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Sababu zingine pia hazitoi nambari zinazohitajika; Kwa hivyo, tunafikia hitimisho kwamba bado hatujaweza kutenganisha trinomia hizi za quadratic kwa sababu za mstari, kwani mbinu yetu haitumiki kwake (haikidhi ya pili ya masharti ambayo yalianzishwa mwanzoni).
UPANDE WA TATU III
§ 54. Mtengano wa trinomia ya quadratic katika vipengele vya mstari
Katika sehemu hii tutazingatia swali lifuatalo: katika hali gani ni trinomial ya quadratic shoka 2 + bx + c inaweza kuwakilishwa kama bidhaa
(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)
jamaa wawili wa mstari X vizidishi vyenye coefficients halisi a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Tuseme kwamba quadratic trinomial iliyotolewa shoka 2 + bx + c tuwakilishe kwa fomu
shoka 2 + bx + c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)
Upande wa kulia wa fomula (1) hutoweka wakati X = - b 1 / a 1 na X = - b 2 / a 2 (a 1 na a 2 si sawa na sifuri kwa hali). Lakini katika kesi hii idadi ni b 1 / a 1 na - b 2 / a 2 ndio mizizi ya mlingano
shoka 2 + bx + c = 0.
Kwa hiyo, ubaguzi wa trinomial ya quadratic shoka 2 + bx + c lazima iwe isiyo hasi.
2. Kinyume chake, tuseme kwamba kibaguzi D = b 2 - 4ac quadratic trinomial shoka 2 + bx + c isiyo hasi. Kisha trinomial hii ina mizizi halisi x 1 na x 2. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, tunapata:
shoka 2 + bx + c =A (x 2 + b / a X + c / a ) = A [x 2 - (x 1 + x 2) X + x 1 x 2 ] =
= A [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = A [X (X - x 1) - x 2 (X - x 1) =
=a (X - x 1)(X - x 2).
shoka 2 + bx + c = a (X - x 1)(X - x 2), (2)
Wapi x 1 na x 2 - mizizi ya trinomial shoka 2 + bx + c . Mgawo A inaweza kuhusishwa na mojawapo ya mambo mawili ya mstari, kwa mfano,
a (X - x 1)(X - x 2) = (ah - shoka 1)(X - x 2).
Lakini hii ina maana kwamba katika kesi chini ya kuzingatia trinomial mraba shoka 2 + bx + c iwakilishe kama bidhaa ya vipengele viwili vya mstari na coefficients halisi.
Kuchanganya matokeo yaliyopatikana katika aya ya 1 na 2, tunafika kwenye nadharia ifuatayo.
Nadharia. Utatu wa mraba shoka 2 + bx + c basi na tu inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya mambo mawili ya mstari na coefficients halisi,
shoka 2 + bx + c = (ah - shoka 1)(X - x 2),
wakati kibaguzi cha trinomial hii ya quadratic sio hasi (yaani, wakati trinomia hii ina mizizi halisi).
Mfano 1. Kiwanda cha mstari 6 x 2 - X -1.
Mizizi ya trinomial hii ya quadratic ni sawa x 1 = 1/2 na x 2 = - 1 / 3 .
Kwa hivyo, kulingana na formula (2)
6x 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3x + 1).
Mfano 2. Uainishaji wa mstari x 2 + X + 1. Kibaguzi cha utatu huu wa quadratic ni hasi:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Kwa hivyo, trinomia hii ya quadratic haiwezi kupanuliwa katika vipengele vya mstari na coefficients halisi.
Mazoezi
Eleza usemi ufuatao katika vipengele vya mstari (Na. 403 - 406):
403. 6x 2 - 7X + 2. 405. x 2 - X + 1.
404. 2x 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. x 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - b 2 .
Punguza sehemu (Na. 407, 408):
Tatua milinganyo:
