Upanuzi wa mfululizo wa Fourier wa fomu ya jumla. Upanuzi wa mfululizo wa Taylor

Upanuzi wa mfululizo wa nne wa upanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazotolewa kwa muda katika mfululizo wa sines au cosines Fourier mfululizo kwa ajili ya kazi yenye kipindi cha kiholela Uwakilishi changamano wa mfululizo wa Fourier Fourier kwa ujumla mifumo ya orthogonal ya vitendakazi Fourier series katika a mfumo wa othogonal Sifa ndogo ya vigawo vya Fourier Kukosekana kwa usawa kwa Bessel Equality Parseval Mifumo iliyofungwa Ukamilifu na kufungwa kwa mifumo

Upanuzi wa mfululizo wa nne wa vitendakazi hata na visivyo vya kawaida A chaguo la kukokotoa f(x), linalofafanuliwa kwenye muda \-1, ambapo I > 0, huitwa hata kama grafu ya chaguo la kukokotoa hata lina ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu. Chaguo za kukokotoa f(x), iliyofafanuliwa kwenye sehemu ya J), ambapo I > 0, inaitwa isiyo ya kawaida ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kwa heshima na asili. Mfano. a) Chaguo la kukokotoa liko hata kwenye muda |-jt, jt), kwani kwa wote x e b) Chaguo la kukokotoa si la kawaida, kwani upanuzi wa safu ya Fourier ya vitendaji hata na visivyo vya kawaida ni upanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazotolewa kwa muda katika mfululizo katika sines au. cosines Fourier mfululizo kwa ajili ya chaguo la kukokotoa lenye kipindi cha kiholela Uwakilishi changamano wa mfululizo wa Fourier Fourier kwa mifumo ya jumla ya othogonal ya utendaji kazi Mfululizo wa Fourier kwa mfumo wa othogonal Sifa ndogo ya Coefficients Fourier Usawa wa Bessel Mifumo iliyofungwa Ukamilifu na kufungwa kwa mifumo c) Kazi f (x)=x2-x, ambapo haihusiani na vitendakazi hata au visivyo vya kawaida, kwani Acha kazi f(x), inayokidhi masharti ya Nadharia ya 1, iwe hata kwenye muda x|. Kisha kwa kila mtu i.e. /(g) kwani nx ni kazi hata, na f(x)sinnx ni isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, viambajengo vya Fourier vya kitendakazi kisawa sawa f(x) vitakuwa sawa. Kwa hivyo, mfululizo wa Fourier wa kitendakazi sawia una fomu 00 Ikiwa f(x) - kazi isiyo ya kawaida kwa muda [-тр, ir|, basi bidhaa f(x)cosnx itakuwa kazi isiyo ya kawaida, na bidhaa f(x) sinпх itakuwa kazi sawa. Kwa hivyo, tutakuwa na Kwa hivyo, safu ya Fourier ya kitendakazi isiyo ya kawaida ina umbo la Mfano 1. Panua kitendakazi 4 katika mfululizo wa Fourier kwenye muda -x ^ x ^ n Kwa kuwa utendaji huu ni sawa na unakidhi masharti ya Nadharia 1, kisha mfululizo wake wa Fourier una aina ya Find the Fourier coefficients. Tuna Utumiaji wa ujumuishaji kwa sehemu mara mbili, tunapata kwamba Kwa hivyo, safu ya Fourier ya chaguo la kukokotoa inaonekana kama hii: au, katika hali iliyopanuliwa, Usawa huu ni halali kwa x € yoyote, kwa kuwa katika pointi x = ±ir jumla ya mfululizo sanjari na maadili ya kazi f(x ) = x2, kwani grafu za kazi f(x) = x na jumla ya mfululizo unaotokana zimetolewa kwenye Mtini. Maoni. Mfululizo huu wa Fourier huturuhusu kupata jumla ya mfululizo mmoja wa nambari zinazobadilika, yaani, kwa x = 0 tunapata Mfano huo wa 2. Panua chaguo za kukokotoa /(x) = x katika mfululizo wa Fourier kwenye muda. Kazi /(x) inakidhi masharti ya Nadharia ya 1, kwa hivyo inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Fourier, ambayo, kwa sababu ya hali isiyo ya kawaida ya kazi hii, itakuwa na fomu ya Kuunganisha kwa sehemu, tunapata coefficients ya Fourier. Mfululizo wa nne wa chaguo hili la kukokotoa una fomu Usawa huu unashikilia kwa wote x B katika pointi x - ±t jumla ya mfululizo wa Fourier hauwiani na thamani za chaguo za kukokotoa /(x) = x, kwa kuwa ni sawa na Nje ya muda [-*, i-] jumla ya mfululizo ni mwendelezo wa mara kwa mara wa chaguo za kukokotoa /(x) = x; grafu yake imeonyeshwa kwenye Mtini. 6. § 6. Upanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazotolewa kwa muda katika mfululizo katika sines au kosini Acha kitendakazi cha monotoni kilicho na mipaka / itolewe kwa muda. Thamani za chaguo hili la kukokotoa kwenye muda 0| inaweza kufafanuliwa zaidi kwa njia mbalimbali. Kwa mfano, unaweza kufafanua kazi / kwenye sehemu tc] ili /. Katika hali hii wanasema kwamba) "imepanuliwa hadi sehemu ya 0] kwa namna ya usawa"; mfululizo wake wa Fourier utakuwa na cosines pekee. Ikiwa kazi /(x) imefafanuliwa kwa muda [-l-, mc] ili /(, basi matokeo ni kazi isiyo ya kawaida, halafu wanasema kwamba / "imepanuliwa kwa muda [-*, 0] kwa njia isiyo ya kawaida”; katika hili Katika kesi hii, mfululizo wa Fourier utakuwa na sines pekee.Kwa hivyo, kila kitendakazi cha monotonic kilicho na mipaka /(x) kinachofafanuliwa kwenye muda kinaweza kupanuliwa kuwa mfululizo wa Fourier katika sines na kosine.Mfano 1 Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Fourier: a) kwa kosini; b) kwa sines. M Chaguo hili la kukokotoa, pamoja na miendelezo yake sawa na isiyo ya kawaida katika sehemu |-x,0) itakuwa na mipaka na monotonic vipande vipande. a) Panua /(z) katika sehemu ya 0) a) Panua j\x) kwenye sehemu (-π,0| kwa njia iliyosawazishwa (Kielelezo 7), kisha safu yake ya Fourier i itakuwa na fomu Π = 1 ambapo vijigawo vya Fourier ni sawa, mtawalia kwa Kwa hiyo, b) Panua /(z) katika sehemu [-x,0] kwa njia isiyo ya kawaida (Mtini. 8). Kisha mfululizo wake wa Fourier §7. Mfululizo wa Fourier kwa chaguo za kukokotoa zenye kipindi cha kiholela Acha chaguo la kukokotoa lirekebishe) liwe la mara kwa mara na kipindi cha 21.1 ^ 0. Ili kuipanua hadi safu ya Fourier kwenye muda ambapo mimi > 0, tunafanya mabadiliko ya kutofautisha kwa kuweka x = jt. . Kisha chaguo za kukokotoa F(t) = / ^tj zitakuwa kazi ya mara kwa mara ya hoja t na kipindi na inaweza kupanuliwa kwenye sehemu hadi safu ya Fourier. Tukirudi kwa mabadiliko ya x, yaani, mpangilio, tunapata Nadharia zote halali. kwa mfululizo wa Fourier wa utendaji wa mara kwa mara wenye kipindi cha 2π , husalia kuwa halali kwa utendakazi wa mara kwa mara na kipindi cha kiholela 21. Hasa, kigezo cha kutosha cha utengano wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Fourier pia bado ni halali. Mfano 1. Panua katika mfululizo wa Fourier kazi ya muda na kipindi cha 21, iliyotolewa kwa muda [-/,/] na fomula (Mchoro 9). Kwa sababu kipengele hiki ni sawa, basi safu yake ya Fourier ina fomu ya Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya vigawo vya Fourier kwenye safu ya Fourier, tunapata Tunatambua jambo moja. mali muhimu kazi za mara kwa mara. Nadharia 5. Ikiwa kipengele cha kukokotoa kina kipindi T na kinaweza kuunganishwa, basi kwa nambari yoyote a m ya usawa inashikilia. yaani, muunganisho wa sehemu ambayo urefu wake ni sawa na kipindi T ina thamani sawa bila kujali nafasi ya sehemu hii kwenye mhimili wa nambari. Kwa kweli, Tunafanya mabadiliko ya kutofautisha katika muunganisho wa pili, tukichukulia. Hii inatoa na kwa hiyo, Kijiometri, mali hii ina maana kwamba katika kesi ya eneo la kivuli katika Mtini. Maeneo 10 ni sawa kwa kila mmoja. Hasa, kwa chaguo za kukokotoa f(x) yenye kipindi tunachopata katika Upanuzi hadi katika mfululizo wa Fourier wa vitendakazi sawa na visivyo vya kawaida, upanuzi wa chaguo za kukokotoa zilizotolewa kwa muda hadi katika mfululizo wa sines au cosines Fourier mfululizo kwa chaguo za kukokotoa zenye kiholela. kipindi Unukuzi changamano wa mfululizo wa Fourier mfululizo wa Fourier kwa ujumla utendakazi wa mifumo ya othogonal Mfululizo wa Fourier katika mfumo wa othogonal Sifa ndogo ya vigawo vya Fourier Usawa wa Bessel wa Parseval Mifumo iliyofungwa Ukamilifu na kufungwa kwa mifumo Mfano 2. Chaguo za kukokotoa x ni za muda na kipindi Kutokana na hali isiyo ya kawaida ya chaguo hili la kukokotoa, bila kukokotoa viambatanisho, tunaweza kusema kwamba kwa mali yoyote iliyothibitishwa, haswa, inaonyesha, kwamba migawo ya Fourier kazi ya mara kwa mara f(x) yenye kipindi cha 21 inaweza kukokotwa kwa kutumia fomula ambapo a ni nambari halisi ya kiholela (kumbuka kuwa utendakazi cos - na sin ina kipindi cha 2/). Mfano 3. Panua katika mfululizo wa Fourier kazi iliyotolewa kwa muda na kipindi cha 2x (Mchoro 11). 4 Hebu tutafute migawo ya Fourier ya chaguo hili la kukokotoa. Kuweka katika fomula tunapata kwamba kwa Kwa hivyo, safu ya Fourier itaonekana kama hii: Katika hatua x = jt (hatua ya kutoendelea ya aina ya kwanza) tunayo §8. Uwakilishi changamano wa mfululizo wa Fourier Sehemu hii inatumia baadhi ya vipengele uchambuzi wa kina(tazama Sura ya XXX, ambapo vitendo vyote vilivyofanywa hapa kwa semi changamano vinahalalishwa kabisa). Wacha chaguo za kukokotoa f(x) itimize masharti ya kutosha ya upanuzi kuwa mfululizo wa Fourier. Kisha kwenye sehemu ya x] inaweza kuwakilishwa na mfululizo wa fomu Kwa kutumia fomula za Euler Kubadilisha misemo hii katika mfululizo (1) badala ya cos πx na sin φx tutakuwa nayo Tunatanguliza nukuu ifuatayo Kisha mfululizo (2) utachukua Kwa hivyo, safu ya Fourier (1) inawakilishwa katika umbo changamano (3). Wacha tupate misemo ya coefficients kupitia viambatanisho. Tuna Vile vile, tunapata Fomula za mwisho za с„, с_п na с zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo: . . Coefficients с„ huitwa vigawanyiko changamano vya Fourier vya chaguo za kukokotoa. Kwa chaguo za kukokotoa za muda na kipindi), umbo changamano la mfululizo wa Fourier litachukua fomu ambapo viambajengo Cn vinakokotolewa kwa kutumia fomula. Muunganiko wa mfululizo (3) ) na (4) inaeleweka kama ifuatavyo: mfululizo (3) na (4) huitwa muunganisho wa thamani iliyopewa g, ikiwa kuna mipaka Mfano. Panua utendakazi wa kipindi katika mfululizo changamano wa Fourier. Chaguo hili la kukokotoa linakidhi masharti ya kutosha ya upanuzi hadi katika mfululizo wa Fourier. Hebu tutafute coefficients changamano ya Fourier ya chaguo hili la kukokotoa. Tuna kwa isiyo ya kawaida kwa hata n, au, kwa kifupi. Kubadilisha maadili), hatimaye tunapata Kumbuka kwamba mfululizo huu unaweza pia kuandikwa kama ifuatavyo: Mfululizo wa Fourier kwa mifumo ya jumla ya orthogonal ya utendaji 9.1. Mifumo ya othogonal ya utendakazi Hebu tuonyeshe kwa seti ya vitendaji vyote (halisi) vilivyofafanuliwa na vinavyoweza kuunganishwa kwenye muda [a, 6] na mraba, yaani, zile ambazo kiunganishi kipo. Hasa, kazi zote f(x) zinaendelea. kwa muda [a , 6], ni ya 6], na maadili ya viungo vyao vya Lebesgue sanjari na maadili ya viungo vya Riemann. Ufafanuzi. Mfumo wa utendaji, ambapo, huitwa orthogonal kwenye muda [a, b\, ikiwa Masharti (1) huchukulia, haswa, kwamba hakuna kazi yoyote iliyo sawa na sifuri. Muhimu hueleweka kwa maana ya Lebesgue. na tunaita wingi kama kawaida ya kazi.Kama katika mfumo wa orthogonal kwa n yoyote tuliyo nayo, basi mfumo wa utendaji unaitwa orthonormal. Ikiwa mfumo (y>"(x)) ni wa orthogonal, basi mfumo Mfano 1. Mfumo wa trigonometric ni orthogonal kwenye sehemu. Mfumo wa kazi ni mfumo wa kawaida wa kazi kwenye, Mfano 2. Mfumo wa cosine na mfumo wa sine ni wa kawaida. Hebu tuanzishe nukuu kwamba ni za othogonal kwa muda (0, f|, lakini si za kawaida (kwa I Ф- 2) Kwa kuwa kanuni zao ni COS Mfano 3. Polynomia zinazofafanuliwa kwa usawa zinaitwa Legendre polynomials (polynomials). n = 0 tunayo Inaweza kuthibitishwa , kwamba vitendaji huunda mfumo wa kawaida wa utendaji kwa muda.Tuonyeshe, kwa mfano, uhalisia wa polynomia za Legendre.Hebu m > n. Katika kesi hii, kuunganisha n mara kwa sehemu, tunapata tangu kwa kazi t/m = (z2 - I)m derivatives zote hadi kuagiza m - pamoja na kutoweka kwenye ncha za sehemu [-1,1). Ufafanuzi. Mfumo wa utendakazi (pn(x)) unaitwa orthogonal kwenye muda (a, b) kwa overhang p(x) ikiwa: 1) kwa zote n = 1,2,... kuna viambajengo. Hapa ni. ilichukuliwa kuwa kitendakazi cha uzani p(x) kimefafanuliwa na chanya kila mahali kwenye muda (a, b) isipokuwa kunawezekana kwa idadi fulani ya pointi ambapo p(x) inaweza kutoweka. Baada ya kufanya upambanuzi katika fomula (3), tunapata. Inaweza kuonyeshwa kwamba polynomials za Chebyshev-Hermite ni za orthogonal kwenye muda Mfano 4. Mfumo wa kazi za Bessel (jL(pix) ^ ni orthogonal kwenye zero za muda za kazi ya Bessel Mfano 5. Hebu tuzingalie polynomia za Chebyshev-Hermite , ambayo inaweza kufafanuliwa kwa kutumia usawa. Mfululizo wa nne katika mfumo wa othogonal Acha kuwe na mfumo wa othogonal wa utendaji katika muda (a, 6) na uruhusu safu (cj = const) iungane kwa muda huu hadi kazi f(x): Kuzidisha pande zote mbili za usawa wa mwisho. by - fasta) na kuunganisha juu ya x kutoka kwa 6, kutokana na orthogonality ya mfumo, tunapata kwamba operesheni hii ina, kwa ujumla, tabia rasmi. Hata hivyo, katika baadhi ya matukio, kwa mfano, wakati mfululizo (4) unaunganishwa kwa usawa, kazi zote zinaendelea na muda (a, 6) ni wa mwisho, operesheni hii ni ya kisheria. Lakini kwetu sasa ni tafsiri rasmi ambayo ni muhimu. Kwa hivyo, acha kazi itolewe. Wacha tuunde nambari c* kulingana na fomula (5) na tuandike.Msururu ulio upande wa kulia unaitwa safu ya Fourier ya kitendakazi f(x) kuhusiana na mfumo (^n(i)).Nambari Cn huitwa vijigawo vya Fourier vya chaguo za kukokotoa f(x) kuhusiana na mfumo huu. Ishara ~ in formula (6) inamaanisha tu kwamba nambari Cn zinahusiana na chaguo la kukokotoa f(x) kwa fomula (5) (haidhaniwi kuwa mfululizo ulio upande wa kulia huungana hata kidogo, kiasi kidogo hubadilika kuwa chaguo la kukokotoa f. (x)). Kwa hiyo, swali linatokea kwa kawaida: ni mali gani ya mfululizo huu? Je, "inawakilisha" kazi ya f(x) katika maana gani? 9.3. Muunganiko kwa Ufafanuzi wa wastani. Mfuatano huungana hadi kipengele ] kwa wastani ikiwa kawaida iko katika nafasi ya Nadharia 6. Ikiwa mfuatano ) huungana kwa usawa, basi huungana kwa wastani. M Acha mfuatano ()) uungane sawasawa kwenye muda [a, b] hadi kwenye chaguo za kukokotoa /(x). Hii ina maana kwamba kwa kila mtu, kwa yote ya kutosha n kubwa, tuna Kwa hiyo, ambayo taarifa yetu ifuatavyo. Mazungumzo si ya kweli: mfuatano () unaweza kuungana kwa wastani hadi /(x), lakini usiwe na muunganiko sawa. Mfano. Fikiria mlolongo nx.. Ni rahisi kuona kwamba Lakini muunganiko huu si sawa: kuna e, kwa mfano, kwamba, haijalishi n ni kubwa kiasi gani, kwenye safu za muda za cosines Fourier kwa chaguo la kukokotoa lenye kipindi cha kiholela Uwakilishi Changamano. ya mfululizo wa Fourier mfululizo wa Fourier kwa mifumo ya jumla ya othogonal ya utendaji Mfululizo wa Fourier kwa mfumo wa othogonal Sifa ndogo ya vigawo vya Fourier Usawa wa Bessel's Parseval Mifumo iliyofungwa Ukamilifu na kufungwa kwa mifumo na kuruhusu Tunaashiria kwa c* vijigawo vya Fourier vya chaguo za kukokotoa /(x ) kwa mfumo wa kawaida b Fikiria mseto wa mstari ambapo n ^ 1 ni nambari kamili isiyobadilika, na upate maadili ya viambatisho ambapo kiunganishi huchukua thamani ya chini zaidi. Hebu tuandike kwa undani zaidi.Kuunganisha muda baada ya muda, kutokana na utaratibu wa kawaida wa mfumo, tunapata.Masharti mawili ya kwanza upande wa kulia wa usawa (7) ni huru, na awamu ya tatu sio hasi. Kwa hivyo, kiunganishi (*) huchukua thamani ya chini zaidi kuwa ak = sk. Muhimu huitwa ukadiriaji wa mraba wa kitendakazi /(x) kwa mseto wa mstari wa Tn(x). Kwa hivyo, ukadiriaji wa mzizi wa mraba wa chaguo za kukokotoa /\ huchukua thamani ya chini wakati. wakati Tn(x) ni jumla ya sehemu ya 71 ya mfululizo wa Fourier wa chaguo za kukokotoa /(x) juu ya mfumo (. Kuweka ak = sk, kutoka (7) tunapata Usawa (9) huitwa utambulisho wa Bessel. Tangu kushoto kwake. upande sio hasi, basi ukosefu wa usawa wa Bessel hufuata kutoka kwake. Kwa kuwa niko hapa kiholela, usawa wa Bessel unaweza kuwakilishwa katika fomu iliyoimarishwa, yaani, kwa kazi yoyote / mfululizo wa coefficients ya Fourier ya mraba ya kazi hii katika mfumo wa kawaida ) huungana. . Kwa kuwa mfumo ni wa kawaida kwa muda [-x, m], basi ukosefu wa usawa (10) unaotafsiriwa katika nukuu ya kawaida ya mfululizo wa trigonometric Fourier inatoa uhusiano wa kufanya ambayo ni halali kwa chaguo lolote la kukokotoa /(x) lenye mraba unaoweza kuunganishwa. Ikiwa f2(x) inaweza kuunganishwa, basi kwa sababu ya hali ya lazima muunganisho wa safu upande wa kushoto wa kukosekana kwa usawa (11), tunapata hiyo. Usawa wa Parseval Kwa baadhi ya mifumo (^„(x)), ishara ya ukosefu wa usawa katika fomula (10) inaweza kubadilishwa (kwa vitendakazi vyote f(x) 6 ×) kwa ishara sawa. Usawa unaosababishwa unaitwa usawa wa Parseval-Steklov (hali ya ukamilifu). Utambulisho wa Bessel (9) unaturuhusu kuandika sharti (12) katika hali inayolingana. Kwa hivyo, utimilifu wa sharti la utimilifu humaanisha kwamba kiasi cha jumla Sn(x) cha mfululizo wa Fourier wa chaguo za kukokotoa /(x) huungana na kukokotoa. /(x) kwa wastani, i.e. kulingana na kawaida ya nafasi 6]. Ufafanuzi. Mfumo wa kawaida ( unaitwa kamili katika b2[аy b] ikiwa kila chaguo la kukokotoa linaweza kukadiria kwa usahihi wowote kwa wastani kwa mseto wa mstari wa fomu yenye idadi kubwa ya maneno ya kutosha, yaani ikiwa kwa chaguo la kukokotoa /(x) ∈ b2 [a, b\ na kwa e yoyote > 0 kuna nambari ya asili nq na nambari a\, a2y..., kiasi kwamba Hapana Kutoka kwa hoja iliyo hapo juu inafuata Nadharia ya 7. Ikiwa kwa urekebishaji mfumo mfumo ) umekamilika katika nafasi, mfululizo wa Fourier wa kitendakazi chochote / juu ya mfumo huu hubadilika na kuwa f(x) kwenye wastani, i.e. kwa kawaida Inaweza kuonyeshwa kuwa mfumo wa trigonometric umekamilika katika nafasi.Hii inamaanisha taarifa. Nadharia ya 8. Ikiwa chaguo za kukokotoa /o mfululizo wake wa trigonometric Fourier huungana kwake kwa wastani. 9.5. Mifumo iliyofungwa. Ukamilifu na kufungwa kwa mifumo Ufafanuzi. Mfumo wa kawaida wa kazi \ inaitwa imefungwa ikiwa katika nafasi Li \ a, b) hakuna kazi ya nonzero ya orthogonal kwa kazi zote Katika nafasi L2 \ a, b \, dhana za ukamilifu na kufungwa kwa mifumo ya orthonormal inafanana. Mazoezi ya 1. Panua chaguo za kukokotoa 2 katika mfululizo wa Fourier katika muda (-i-, x) 2. Panua kitendakazi kiwe mfululizo wa Fourier katika kipindi (-tr, tr) 3. Panua chaguo la kukokotoa 4 katika mfululizo wa Fourier muda (-tr, tr) katika mfululizo wa Fourier katika muda (-jt, tr) chaguo za kukokotoa 5. Panua chaguo za kukokotoa f(x) = x + x hadi katika mfululizo wa Fourier katika muda (-tr, tr). 6. Panua chaguo za kukokotoa n katika mfululizo wa Fourier katika muda (-jt, tr) 7. Panua chaguo za kukokotoa /(x) = sin2 x katika mfululizo wa Fourier katika muda (-tr, x). 8. Panua chaguo za kukokotoa f(x) = y katika mfululizo wa Fourier katika muda (-tr, jt) 9. Panua kitendakazi f(x) = | dhambi x|. 10. Panua chaguo za kukokotoa f(x) = § katika mfululizo wa Fourier katika muda (-π-, π). 11. Panua chaguo za kukokotoa f(x) = sin § katika mfululizo wa Fourier katika kipindi (-tr, tr). 12. Panua kazi f(x) = n -2x, iliyotolewa katika muda (0, x), katika mfululizo wa Fourier, ukipanua ndani ya muda (-x, 0): a) kwa namna sawa; b) kwa njia isiyo ya kawaida. 13. Panua kazi /(x) = x2, iliyotolewa katika muda (0, x), katika mfululizo wa Fourier katika sines. 14. Panua kazi /(x) = 3, iliyotolewa katika muda (-2,2), katika mfululizo wa Fourier. 15. Panua chaguo za kukokotoa f(x) = |x|, iliyotolewa katika muda (-1,1), iwe mfululizo wa Fourier. 16. Panua chaguo za kukokotoa f(x) = 2x, iliyobainishwa katika muda (0,1), iwe mfululizo wa Fourier katika sines.

Ikiwa kazi f(x) ina kwa muda fulani iliyo na uhakika A, derivatives ya maagizo yote, basi formula ya Taylor inaweza kutumika kwake:

Wapi r n- kinachojulikana muda uliosalia au salio la mfululizo, inaweza kukadiriwa kwa kutumia fomula ya Lagrange:

, ambapo nambari x iko kati X Na A.

Ikiwa kwa thamani fulani x r n®0 saa n®¥, kisha katika kikomo fomula ya Taylor inabadilika kuwa fomula inayounganika kwa thamani hii Mfululizo wa Taylor:

Hivyo kazi f(x) inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Taylor katika hatua inayohusika X, Kama:

1) ina derivatives ya maagizo yote;

2) safu iliyojengwa inaungana katika hatua hii.

Katika A=0 tunapata mfululizo unaoitwa karibu na Maclaurin:

Mfano 1 f(x)= 2x.

Suluhisho. Wacha tupate maadili ya chaguo la kukokotoa na derivatives yake X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢(x) = 2x ln 2 2, f¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya derivatives kwenye fomula ya safu ya Taylor, tunapata:

Radi ya muunganiko wa mfululizo huu ni sawa na infinity, kwa hivyo upanuzi huu ni halali kwa -¥<x<+¥.

Mfano 2 X+4) kwa chaguo za kukokotoa f(x)= e x.

Suluhisho. Kutafuta derivatives ya kazi e x na maadili yao kwa uhakika X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Kwa hivyo, safu inayohitajika ya Taylor ya kazi ina fomu:

Upanuzi huu pia ni halali kwa -¥<x<+¥.

Mfano 3 . Panua kipengele cha kukokotoa f(x)=n x katika mfululizo wa mamlaka ( X- 1),

(yaani katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika X=1).

Suluhisho. Tafuta derivatives ya chaguo hili la kukokotoa.

Kubadilisha maadili haya kwenye fomula, tunapata safu inayotaka ya Taylor:

Kwa kutumia jaribio la d'Alembert, unaweza kuthibitisha kuwa mfululizo unakutana lini

½ X- 1½<1. Действительно,

Mfululizo huungana ikiwa ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 tunapata mfululizo mbadala ambao unakidhi masharti ya kigezo cha Leibniz. Katika X=0 kazi haijafafanuliwa. Kwa hivyo, eneo la muunganiko wa safu ya Taylor ni kipindi cha nusu-wazi (0;2].

Wacha tuwasilishe upanuzi uliopatikana kwa njia hii kwenye safu ya Maclaurin (yaani, karibu na uhakika. X=0) kwa kazi zingine za kimsingi:

(2) ,

(3) ,

( mtengano wa mwisho unaitwa mfululizo wa binomial)

Mfano 4 . Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati

Suluhisho. Katika upanuzi (1) tunabadilisha X juu ya - X 2, tunapata:

Mfano 5 . Panua utendaji kazi katika mfululizo wa Maclaurin

Suluhisho. Tuna

Kwa kutumia fomula (4), tunaweza kuandika:

badala yake X kwenye fomula -X, tunapata:

Kutoka hapa tunapata:

Kufungua mabano, kupanga upya masharti ya mfululizo na kuleta masharti sawa, tunapata

Mfululizo huu hukutana katika muda

(-1;1), kwa kuwa inapatikana kutoka kwa safu mbili, ambazo kila moja huungana katika muda huu.

Maoni .

Fomula (1)-(5) pia inaweza kutumika kupanua kazi zinazolingana katika mfululizo wa Taylor, i.e. kwa kupanua utendaji katika mamlaka chanya kamili ( Ha) Ili kufanya hivyo, inahitajika kufanya mabadiliko kama haya kwenye kazi fulani ili kupata moja ya kazi (1) - (5), ambayo badala yake. X gharama k( Ha) m , ambapo k ni nambari isiyobadilika, m ni nambari chanya. Mara nyingi ni rahisi kufanya mabadiliko ya kutofautiana t=Ha na kupanua utendaji unaotokana na t katika mfululizo wa Maclaurin.

Mbinu hii inaonyesha nadharia juu ya upekee wa upanuzi wa mfululizo wa nishati wa chaguo za kukokotoa. Kiini cha nadharia hii ni kwamba katika kitongoji cha sehemu hiyo hiyo safu mbili tofauti za nguvu haziwezi kupatikana ambazo zinaweza kuunganishwa kwa kazi sawa, bila kujali jinsi upanuzi wake unafanywa.

Mfano 6 . Panua utendaji kazi katika mfululizo wa Taylor katika ujirani wa uhakika X=3.

Suluhisho. Shida hii inaweza kutatuliwa, kama hapo awali, kwa kutumia ufafanuzi wa safu ya Taylor, ambayo tunahitaji kupata derivatives ya kazi na maadili yao. X=3. Walakini, itakuwa rahisi kutumia upanuzi uliopo (5):

Mfululizo unaotokana huungana saa au -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Mfano 7 . Andika mfululizo wa Taylor kwa mamlaka ( X-1) kazi .

Suluhisho.

Mfululizo unaungana saa , au 2< x£5.

Ambayo tayari ni ya kuchosha sana. Na ninahisi kuwa wakati umefika wakati wa kutoa bidhaa mpya za makopo kutoka kwa akiba ya kimkakati ya nadharia. Inawezekana kupanua kazi katika safu kwa njia nyingine? Kwa mfano, eleza sehemu ya mstari wa moja kwa moja kulingana na sines na cosines? Inaonekana ya kushangaza, lakini kazi kama hizo zinazoonekana kuwa mbali zinaweza kuwa
"kuungana tena". Mbali na digrii zinazojulikana katika nadharia na vitendo, kuna mbinu zingine za kupanua utendaji katika mfululizo.

Katika somo hili tutafahamiana na safu ya trigonometric Fourier, kugusa suala la muunganisho wake na jumla, na, bila shaka, tutachambua mifano mingi ya upanuzi wa kazi katika safu ya Fourier. Nilitaka kwa dhati kuiita nakala hiyo "Msururu wa Nne kwa Dummies," lakini hii itakuwa ya uwongo, kwani kutatua shida kutahitaji ujuzi wa matawi mengine ya uchambuzi wa hesabu na uzoefu fulani wa vitendo. Kwa hivyo, utangulizi utafanana na mafunzo ya mwanaanga =)

Kwanza, unapaswa kukaribia usomaji wa nyenzo za ukurasa kwa fomu bora. Kulala, kupumzika na kiasi. Bila hisia kali juu ya mguu wa hamster uliovunjika na mawazo ya obsessive kuhusu ugumu wa maisha kwa samaki ya aquarium. Mfululizo wa Fourier sio ngumu kuelewa, lakini kazi za vitendo zinahitaji tu kuongezeka kwa umakini - kwa kweli, unapaswa kujiondoa kabisa kutoka kwa uchochezi wa nje. Hali hiyo inazidishwa na ukweli kwamba hakuna njia rahisi ya kuangalia suluhisho na kujibu. Kwa hivyo, ikiwa afya yako iko chini ya wastani, basi ni bora kufanya kitu rahisi zaidi. Ni ukweli.

Pili, kabla ya kuruka angani, ni muhimu kusoma jopo la chombo cha anga. Wacha tuanze na maadili ya kazi ambazo zinapaswa kubofya kwenye mashine:

Kwa thamani yoyote ya asili:

1) . Hakika, sinusoid "huunganisha" mhimili wa x kupitia kila "pi":
. Katika kesi ya maadili hasi ya hoja, matokeo, bila shaka, yatakuwa sawa: .

2) . Lakini si kila mtu alijua hili. Kosine "pi" ni sawa na "blinker":

Hoja hasi haibadilishi jambo: .

Labda hiyo inatosha.

Na tatu, wapenzi wa cosmonaut Corps, lazima uweze ... kuunganisha.
Hasa, kwa ujasiri shikilia kazi chini ya ishara tofauti, kuunganisha kipande na kuwa na amani na Fomula ya Newton-Leibniz. Wacha tuanze mazoezi muhimu ya kabla ya kukimbia. Kimsingi sipendekezi kuiruka, ili usijisumbue kwa kutokuwa na uzito baadaye:

Mfano 1

Kokotoa viambatanisho dhahiri

ambapo inachukua maadili ya asili.

Suluhisho: ujumuishaji unafanywa juu ya kigezo "x" na katika hatua hii kigezo kisichobadilika "en" kinachukuliwa kuwa kisichobadilika. Katika viungo vyote weka kazi chini ya ishara tofauti:

Toleo fupi la suluhisho ambalo lingekuwa nzuri kulenga linaonekana kama hii:

Hebu tuzoee:

Pointi nne zilizobaki ziko peke yako. Jaribu kushughulikia kazi hiyo kwa uangalifu na uandike viunga kwa njia fupi. Sampuli za suluhisho mwishoni mwa somo.

Baada ya kufanya mazoezi ya QUALITY, tunavaa nguo za anga
na kujiandaa kuanza!

Upanuzi wa chaguo za kukokotoa kuwa mfululizo wa Fourier kwenye muda

Fikiria utendaji fulani huo kuamua angalau kwa muda (na ikiwezekana kwa muda mrefu). Ikiwa kazi hii inaweza kuunganishwa kwa muda, basi inaweza kupanuliwa katika trigonometric Mfululizo wa Fourier:
, wako wapi wanaoitwa Migawo nne zaidi.

Katika kesi hii, nambari inaitwa kipindi cha mtengano, na nambari ni nusu ya maisha ya mtengano.

Ni dhahiri kwamba katika hali ya jumla safu ya Fourier ina sines na cosines:

Kwa kweli, wacha tuandike kwa undani:

Neno sifuri la mfululizo kwa kawaida huandikwa katika umbo .

Coefficients nne zaidi huhesabiwa kwa kutumia fomula zifuatazo:

Ninaelewa vyema kuwa wale wanaoanza kusoma mada bado hawako wazi kuhusu maneno mapya: kipindi cha mtengano, nusu mzunguko, Migawo nne zaidi nk. Usiogope, hii haiwezi kulinganishwa na msisimko kabla ya kwenda kwenye anga ya nje. Wacha tuelewe kila kitu katika mfano ufuatao, kabla ya kutekeleza ambayo ni busara kuuliza maswali ya vitendo:

Unahitaji kufanya nini katika kazi zifuatazo?

Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Fourier. Zaidi ya hayo, mara nyingi ni muhimu kuonyesha grafu ya kazi, grafu ya jumla ya mfululizo, jumla ya kiasi, na katika kesi ya fantasia za kisasa za uprofesa, fanya kitu kingine.

Jinsi ya kupanua kazi katika safu ya Fourier?

Kimsingi, unahitaji kupata Migawo nne zaidi, yaani kutunga na kukokotoa tatu uhakika muhimu.

Tafadhali nakili aina ya jumla ya mfululizo wa Fourier na fomula tatu za kufanya kazi kwenye daftari lako. Nimefurahiya sana kwamba baadhi ya wageni wa tovuti wanatimiza ndoto zao za utotoni za kuwa mwanaanga mbele ya macho yangu =)

Mfano 2

Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Fourier kwenye muda. Tengeneza grafu, grafu ya jumla ya mfululizo na jumla ya sehemu.

Suluhisho: Sehemu ya kwanza ya kazi ni kupanua kazi katika mfululizo wa Fourier.

Mwanzo ni kiwango, hakikisha kuandika kwamba:

Katika tatizo hili, kipindi cha upanuzi ni nusu ya kipindi.

Wacha tupanue kazi hiyo kuwa safu ya Fourier kwa muda:

Kwa kutumia fomula zinazofaa, tunapata Migawo nne zaidi. Sasa tunahitaji kutunga na kuhesabu tatu uhakika muhimu. Kwa urahisi, nitahesabu pointi:

1) Kiunga cha kwanza ni rahisi zaidi, hata hivyo, inahitaji pia mboni za macho:

2) Tumia fomula ya pili:

Kiunga hiki kinajulikana na anaichukua kipande kwa kipande:

Inatumika inapopatikana njia ya kutekeleza kazi chini ya ishara tofauti.

Katika kazi inayozingatiwa, ni rahisi zaidi kutumia mara moja fomula ya kuunganishwa na sehemu katika muunganisho dhahiri :

Vidokezo kadhaa vya kiufundi. Kwanza, baada ya kutumia formula usemi mzima lazima uambatanishwe kwenye mabano makubwa, kwa kuwa kuna mara kwa mara kabla ya kiungo cha awali. Tusimpoteze! Mabano yanaweza kupanuliwa kwa hatua yoyote zaidi; nilifanya hivi kama suluhu la mwisho. Katika "kipande" cha kwanza Tunaonyesha uangalifu wa hali ya juu katika uingizwaji; kama unavyoona, isiyobadilika haitumiki, na mipaka ya ujumuishaji hubadilishwa kuwa bidhaa. Kitendo hiki kimeangaziwa katika mabano ya mraba. Kweli, unajua muunganisho wa "kipande" cha pili cha fomula kutoka kwa kazi ya mafunzo;-)

Na muhimu zaidi - ukolezi uliokithiri!

3) Tunatafuta mgawo wa tatu wa Fourier:

Jamaa wa kiunga cha awali hupatikana, ambayo pia ni inaunganisha kipande:

Mfano huu ni ngumu zaidi, nitatoa maoni juu ya hatua zaidi hatua kwa hatua:

(1) Usemi huo umefungwa kabisa kwenye mabano makubwa. Sikutaka kuonekana kuwa boring, wanapoteza mara kwa mara mara nyingi.

(2) Katika kesi hii, mara moja nilifungua mabano haya makubwa. Tahadhari maalum Tunajitolea kwa "kipande" cha kwanza: moshi wa mara kwa mara kwenye kando na haushiriki katika uingizwaji wa mipaka ya ushirikiano ( na) kwenye bidhaa. Kwa sababu ya msongamano wa rekodi, inashauriwa tena kuangazia kitendo hiki kwa mabano ya mraba. Na "kipande" cha pili kila kitu ni rahisi zaidi: hapa sehemu ilionekana baada ya kufungua mabano makubwa, na ya mara kwa mara - kama matokeo ya kujumuisha kiunga kinachojulikana;-)

(3) Katika mabano ya mraba tunafanya mabadiliko, na kwa uunganisho sahihi - uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji.

(4) Tunaondoa "mwanga unaowaka" kutoka kwa mabano ya mraba:, na kisha ufungue mabano ya ndani:.

(5) Tunaghairi 1 na -1 kwenye mabano na kufanya urahisishaji wa mwisho.

Hatimaye, coefficients zote tatu za Fourier zinapatikana:

Wacha tuzibadilishe kwenye fomula :

Wakati huo huo, usisahau kugawanya katika nusu. Katika hatua ya mwisho, mara kwa mara ("minus mbili"), ambayo haitegemei "en," inachukuliwa nje ya jumla.

Kwa hivyo, tumepata upanuzi wa chaguo la kukokotoa kuwa safu ya Fourier kwa muda:

Hebu tujifunze suala la muunganiko wa mfululizo wa Fourier. Nitaelezea nadharia, haswa Nadharia ya Dirichlet, kwa kweli "kwenye vidole", kwa hivyo ikiwa unahitaji uundaji mkali, tafadhali rejelea kitabu cha maandishi juu ya uchambuzi wa hisabati. (kwa mfano, juzuu ya 2 ya Bohan; au juzuu ya 3 ya Fichtenholtz, lakini ni ngumu zaidi).

Sehemu ya pili ya tatizo inahitaji kuchora grafu, grafu ya jumla ya mfululizo, na grafu ya jumla ya sehemu.

Grafu ya chaguo la kukokotoa ni ya kawaida mstari wa moja kwa moja kwenye ndege, ambayo imechorwa kwa mstari mweusi wenye vitone:

Wacha tujue jumla ya safu. Kama unavyojua, mfululizo wa chaguo za kukokotoa hubadilika kuwa vitendakazi. Kwa upande wetu, mfululizo wa Fourier uliojengwa kwa thamani yoyote ya "x" itaungana kwa chaguo la kukokotoa, ambalo linaonyeshwa kwa rangi nyekundu. Kitendaji hiki kinastahimili kupasuka kwa aina ya 1 kwa pointi, lakini pia hufafanuliwa kwao (dots nyekundu kwenye mchoro)

Hivyo: . Ni rahisi kuona kuwa ni tofauti sana na kazi ya awali, ndiyo sababu katika kuingia Tilde hutumiwa badala ya ishara sawa.

Wacha tujifunze algorithm ambayo ni rahisi kwa kuunda jumla ya safu.

Katika kipindi cha kati, mfululizo wa Fourier huungana hadi kwenye chaguo la kukokotoa lenyewe (sehemu ya kati nyekundu inaambatana na mstari wa vitone vyeusi wa chaguo la kukokotoa la mstari).

Sasa hebu tuzungumze kidogo juu ya asili ya upanuzi wa trigonometric inayozingatiwa. Mfululizo wa Fourier inajumuisha tu kazi za mara kwa mara (mara kwa mara, sines na cosines), kwa hivyo jumla ya mfululizo pia ni kazi ya mara kwa mara.

Je, hii ina maana gani katika mfano wetu maalum? Na hii ina maana kwamba jumla ya mfululizo –hakika mara kwa mara na sehemu nyekundu ya muda lazima irudiwe bila mwisho upande wa kushoto na kulia.

Nadhani maana ya maneno "kipindi cha kuoza" sasa imekuwa wazi. Ili kuiweka kwa urahisi, kila wakati hali inajirudia tena na tena.

Kwa mazoezi, kawaida inatosha kuonyesha vipindi vitatu vya mtengano, kama inavyofanyika kwenye mchoro. Kweli, na pia "visiki" vya vipindi vya jirani - ili iwe wazi kuwa grafu inaendelea.

Ya riba hasa ni alama za kutoendelea za aina ya 1. Katika sehemu kama hizo, safu ya Fourier inabadilika kuwa maadili yaliyotengwa, ambayo iko katikati kabisa ya "kuruka" kwa kutoendelea (dots nyekundu kwenye mchoro). Jinsi ya kujua uwiano wa pointi hizi? Kwanza, hebu tupate uratibu wa "sakafu ya juu": kufanya hivyo, tunahesabu thamani ya kazi kwenye sehemu ya kulia ya kipindi cha kati cha upanuzi:. Ili kuhesabu mpangilio wa "sakafu ya chini," njia rahisi ni kuchukua thamani ya kushoto zaidi ya kipindi sawa: . Kiwango cha thamani ya wastani ni maana ya hesabu ya jumla ya "juu na chini": . Ukweli wa kupendeza ni kwamba wakati wa kuunda mchoro, utaona mara moja ikiwa katikati imehesabiwa kwa usahihi au vibaya.

Wacha tuunda jumla ya sehemu ya safu na wakati huo huo kurudia maana ya neno "muunganiko." Nia pia inajulikana kutokana na somo kuhusu jumla ya mfululizo wa nambari. Hebu tueleze utajiri wetu kwa undani:

Ili kutunga jumla ya sehemu, unahitaji kuandika sifuri + masharti mawili zaidi ya mfululizo. Hiyo ni,

Katika mchoro, grafu ya kazi inaonyeshwa kwa kijani kibichi, na, kama unavyoona, "hufunga" jumla kamili kabisa. Ikiwa tutazingatia jumla ya maneno matano ya safu, basi grafu ya kazi hii itakaribia mistari nyekundu kwa usahihi zaidi; ikiwa kuna maneno mia moja, basi "nyoka ya kijani" itaunganishwa kabisa na sehemu nyekundu, na kadhalika. Kwa hivyo, safu ya Fourier inabadilika kuwa jumla yake.

Inafurahisha kutambua kwamba kiasi chochote ni kazi inayoendelea, hata hivyo, jumla ya mfululizo bado haujakamilika.

Kwa mazoezi, sio nadra sana kuunda grafu ya jumla ya sehemu. Jinsi ya kufanya hivyo? Kwa upande wetu, ni muhimu kuzingatia kazi kwenye sehemu, kuhesabu maadili yake mwishoni mwa sehemu na kwa pointi za kati (kadiri unavyozingatia zaidi, grafu itakuwa sahihi zaidi). Kisha unapaswa kuashiria alama hizi kwenye mchoro na kuchora kwa uangalifu grafu kwenye kipindi hicho, na kisha "kuiga" kwa vipindi vya karibu. Jinsi nyingine? Baada ya yote, ukadiriaji pia ni kazi ya mara kwa mara... ...kwa njia fulani grafu yake inanikumbusha mdundo wa moyo hata kwenye onyesho la kifaa cha matibabu.

Kufanya ujenzi, kwa kweli, sio rahisi sana, kwani lazima uwe mwangalifu sana, kudumisha usahihi wa si chini ya nusu milimita. Walakini, nitawafurahisha wasomaji ambao hawako vizuri na kuchora - katika shida ya "halisi" sio lazima kila wakati kufanya mchoro; katika karibu 50% ya kesi ni muhimu kupanua kazi katika safu ya Fourier na ndivyo hivyo. .

Baada ya kumaliza mchoro, tunakamilisha kazi:

Jibu:

Katika kazi nyingi kazi inateseka kupasuka kwa aina ya 1 kulia wakati wa mtengano:

Mfano 3

Panua chaguo za kukokotoa ulizopewa kwa muda katika mfululizo wa Fourier. Chora grafu ya chaguo za kukokotoa na jumla ya jumla ya mfululizo.

Chaguo za kukokotoa zilizopendekezwa zimebainishwa kwa njia ya kipande (na, kumbuka, kwenye sehemu tu) na huvumilia kupasuka kwa aina ya 1 kwa uhakika. Je, inawezekana kuhesabu mgawo wa Fourier? Hakuna shida. Pande zote mbili za kushoto na kulia za chaguo za kukokotoa zinaweza kuunganishwa kwa vipindi vyake, kwa hivyo viambatanisho katika kila moja ya fomula hizo tatu vinapaswa kuwakilishwa kama jumla ya viambajengo viwili. Wacha tuone, kwa mfano, jinsi hii inafanywa kwa mgawo wa sifuri:

Muhimu wa pili uligeuka kuwa sawa na sifuri, ambayo ilipunguza kazi, lakini hii sio wakati wote.

Migawo mingine miwili ya Fourier imeelezwa vile vile.

Jinsi ya kuonyesha jumla ya mfululizo? Kwenye muda wa kushoto tunatoa sehemu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa muda - sehemu ya mstari wa moja kwa moja (tunaonyesha sehemu ya mhimili kwa ujasiri na kwa ujasiri). Hiyo ni, kwa muda wa upanuzi, jumla ya mfululizo inafanana na kazi kila mahali isipokuwa kwa pointi tatu "mbaya". Katika hatua ya kutoendelea ya kazi, mfululizo wa Fourier utaunganishwa kwa thamani iliyotengwa, ambayo iko katikati kabisa ya "kuruka" kwa kutoendelea. Si vigumu kuiona kwa mdomo: kikomo cha upande wa kushoto: , kikomo cha upande wa kulia: na, ni wazi, mratibu wa sehemu ya kati ni 0.5.

Kwa sababu ya upimaji wa jumla, picha lazima "izidishwe" katika vipindi vya karibu, haswa, kitu kimoja lazima kionyeshwe kwa vipindi na . Wakati huo huo, mfululizo wa Fourier utaungana kwa thamani za wastani.

Kwa kweli, hakuna kitu kipya hapa.

Jaribu kukabiliana na kazi hii mwenyewe. Sampuli ya takriban ya muundo wa mwisho na mchoro mwishoni mwa somo.

Upanuzi wa chaguo za kukokotoa kuwa mfululizo wa Fourier kwa muda usio na mpangilio

Kwa kipindi cha upanuzi kiholela, ambapo "el" ni nambari yoyote chanya, fomula za mfululizo wa Fourier na vigawo vya Fourier vinatofautishwa kwa hoja changamano zaidi ya sine na cosine:

Ikiwa , basi tunapata fomula za muda ambazo tulianza nazo.

Algorithm na kanuni za kutatua shida zimehifadhiwa kabisa, lakini ugumu wa kiufundi wa mahesabu huongezeka:

Mfano 4

Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Fourier na upange jumla.

Suluhisho: kweli analog ya Mfano Na. 3 na kupasuka kwa aina ya 1 kwa uhakika. Katika tatizo hili, kipindi cha upanuzi ni nusu ya kipindi. Kazi inafafanuliwa tu kwa muda wa nusu, lakini hii haibadilishi jambo hilo - ni muhimu kwamba vipande vyote viwili vya kazi vinaunganishwa.

Wacha tupanue kazi hiyo kuwa safu ya Fourier:

Kwa kuwa chaguo la kukokotoa halifanyiki katika asili, kila mgawo wa Fourier unapaswa kuandikwa kama jumla ya viambatanisho viwili:

1) Nitaandika kiunga cha kwanza kwa undani zaidi iwezekanavyo:

2) Tunaangalia kwa uangalifu uso wa Mwezi:

Pili muhimu chukua kipande kwa kipande:

Tunapaswa kuzingatia nini baada ya kufungua muendelezo wa suluhisho na nyota?

Kwanza, hatupotezi kiungo cha kwanza , ambapo sisi mara moja nitafanya kujiandikisha kwa ishara tofauti. Pili, usisahau hali mbaya ya mara kwa mara kabla ya mabano makubwa na usichanganyikiwe na ishara wakati wa kutumia formula . Mabano makubwa bado yanafaa zaidi kufungua mara moja katika hatua inayofuata.

Mengine ni suala la mbinu; ugumu unaweza tu kusababishwa na uzoefu usiotosha katika kutatua viambajengo.

Ndio, haikuwa bure kwamba wenzake mashuhuri wa mwanahisabati wa Ufaransa Fourier walikasirika - alithubutuje kupanga kazi katika safu za trigonometric?! =) Kwa njia, kila mtu labda anavutiwa na maana ya vitendo ya kazi inayohusika. Fourier mwenyewe alifanya kazi kwenye mfano wa hisabati wa conductivity ya mafuta, na baadaye mfululizo ulioitwa baada yake ulianza kutumiwa kujifunza michakato mingi ya mara kwa mara, ambayo inaonekana na isiyoonekana katika ulimwengu unaozunguka. Sasa, kwa njia, nilijipata nikifikiria kuwa haikuwa kwa bahati kwamba nililinganisha grafu ya mfano wa pili na safu ya moyo ya mara kwa mara. Wale wanaopenda wanaweza kujijulisha na matumizi ya vitendo Mabadiliko ya Fourier katika vyanzo vya watu wengine. ...Ingawa ni bora kutofanya - itakumbukwa kama Upendo wa Kwanza =)

3) Kwa kuzingatia viungo dhaifu vilivyotajwa mara kwa mara, hebu tuangalie mgawo wa tatu:

Wacha tuunganishe kwa sehemu:

Wacha tubadilishe mgawo wa Fourier uliopatikana kwenye fomula , bila kusahau kugawanya mgawo wa sifuri kwa nusu:

Wacha tupange jumla ya safu. Hebu turudie utaratibu kwa ufupi: tunajenga mstari wa moja kwa moja kwenye muda, na mstari wa moja kwa moja kwenye muda. Ikiwa thamani ya "x" ni sifuri, tunaweka nukta katikati ya "kuruka" kwa pengo na "kuiga" grafu kwa vipindi vya jirani:

Katika "makutano" ya vipindi, jumla pia itakuwa sawa na katikati ya "kuruka" kwa pengo.

Tayari. Acha nikukumbushe kuwa kazi yenyewe ni kwa hali iliyofafanuliwa tu kwa muda wa nusu na, kwa wazi, inalingana na jumla ya safu kwenye vipindi.

Jibu:

Wakati mwingine kipengele cha kukokotoa kilichotolewa kwa sehemu huendelea katika kipindi cha upanuzi. Mfano rahisi zaidi: . Suluhisho (tazama Bohan juzuu ya 2) sawa na katika mifano miwili iliyopita: licha ya mwendelezo wa utendakazi kwa uhakika, kila mgawo wa Fourier unaonyeshwa kama jumla ya viambatanisho viwili.

Juu ya muda wa mtengano alama za kutoendelea za aina ya 1 na/au kunaweza kuwa na alama zaidi za "makutano" ya grafu (mbili, tatu na kwa ujumla yoyote mwisho wingi). Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaweza kuunganishwa kwa kila sehemu, basi kinaweza kupanuliwa katika mfululizo wa Fourier. Lakini kutokana na uzoefu wa vitendo sikumbuki jambo la kikatili kama hilo. Walakini, kuna kazi ngumu zaidi kuliko zile ambazo zimezingatiwa hivi karibuni, na mwisho wa kifungu kuna viungo vya safu ya Fourier ya kuongezeka kwa utata kwa kila mtu.

Kwa sasa, hebu tupumzike, tuegemee kwenye viti vyetu na tutafakari nyota zisizo na mwisho:

Mfano 5

Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Fourier kwenye muda na upange jumla ya mfululizo.

Katika tatizo hili kazi kuendelea juu ya upanuzi wa nusu ya muda, ambayo hurahisisha suluhisho. Kila kitu kinafanana sana na Mfano Na. Hakuna njia ya kutoroka kutoka kwa chombo cha anga - itabidi uamue =) Sampuli ya muundo wa takriban mwishoni mwa somo, ratiba imeambatishwa.

Upanuzi wa mfululizo wa Fourier wa vitendakazi sawa na visivyo vya kawaida

Kwa kazi hata na isiyo ya kawaida, mchakato wa kutatua shida umerahisishwa dhahiri. Na ndiyo maana. Wacha turudi kwenye upanuzi wa chaguo la kukokotoa katika safu ya Fourier yenye kipindi cha "pi mbili" na kipindi cha kiholela "two el" .

Wacha tuchukue kuwa kazi yetu ni sawa. Neno la jumla la mfululizo, kama unavyoona, lina hata cosines na sines isiyo ya kawaida. Na ikiwa tunapanua kazi ya EVEN, basi kwa nini tunahitaji sines isiyo ya kawaida?! Wacha tuweke upya mgawo usio wa lazima: .

Hivyo, kipengele cha kukokotoa kinaweza kupanuliwa katika mfululizo wa Fourier katika cosines pekee:

Kwa sababu ya viungo vya kazi sawa pamoja na sehemu ya ujumuishaji ambayo ina ulinganifu kwa heshima na sifuri inaweza kuongezeka maradufu, kisha migawo ya Fourier iliyobaki hurahisishwa.

Kwa pengo:

Kwa muda wa kiholela:

Mifano ya vitabu vya kiada ambayo inaweza kupatikana katika karibu kitabu chochote cha uchambuzi wa hisabati ni pamoja na upanuzi wa kazi hata . Kwa kuongezea, wamekutana mara kadhaa katika mazoezi yangu ya kibinafsi:

Mfano 6

Kazi imetolewa. Inahitajika:

1) panua kazi katika mfululizo wa Fourier na period , ambapo kuna nambari chanya ya kiholela;

2) andika upanuzi kwenye muda, jenga kazi na uchora jumla ya jumla ya mfululizo.

Suluhisho: katika aya ya kwanza inapendekezwa kutatua tatizo kwa fomu ya jumla, na hii ni rahisi sana! Ikiwa hitaji litatokea, badilisha tu thamani yako.

1) Katika tatizo hili, kipindi cha upanuzi ni nusu ya kipindi. Wakati wa vitendo zaidi, haswa wakati wa kuunganishwa, "el" inachukuliwa kuwa ya kudumu

Kazi ni sawa, ambayo inamaanisha inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Fourier tu katika cosines: .

Tunatafuta mgawo wa Fourier kwa kutumia fomula . Makini na faida zao zisizo na masharti. Kwanza, ujumuishaji unafanywa juu ya sehemu nzuri ya upanuzi, ambayo inamaanisha tunaondoa moduli kwa usalama. , kwa kuzingatia tu "X" ya vipande viwili. Na, pili, ujumuishaji umerahisishwa dhahiri.

Mbili:

Wacha tuunganishe kwa sehemu:

Hivyo:
, wakati mara kwa mara , ambayo haitegemei "en", inachukuliwa nje ya jumla.

Jibu:

2) Wacha tuandike upanuzi wa muda; kwa kufanya hivyo, tunabadilisha thamani ya nusu ya kipindi katika fomula ya jumla:

Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) lina viingilio vya maagizo yote kwa muda fulani ulio na nukta a, basi fomula ya Taylor inaweza kutumika kwake:
,
Wapi r n- kinachojulikana muda uliosalia au salio la mfululizo, inaweza kukadiriwa kwa kutumia fomula ya Lagrange:
, ambapo nambari x iko kati ya x na a.

Sheria za kuingiza kazi:

Ikiwa kwa thamani fulani X r n→0 kwa n→∞, kisha katika kikomo fomula ya Taylor inaungana kwa thamani hii Mfululizo wa Taylor:
,
Kwa hivyo, kazi f(x) inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Taylor katika hatua x inayozingatiwa ikiwa:
1) ina derivatives ya maagizo yote;
2) safu iliyojengwa inaungana katika hatua hii.

Wakati = 0 tunapata mfululizo unaoitwa karibu na Maclaurin:
,
Upanuzi wa kazi rahisi zaidi (za msingi) katika safu ya Maclaurin:
Vitendaji vya kielelezo
, R=∞
Kazi za Trigonometric
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Chaguo la kukokotoa actgx halipanui katika uwezo wa x, kwa sababu ctg0=∞
Vitendaji vya hyperbolic

Vipengele vya Logarithmic
, -1
Mfululizo wa Binomial
.

Mfano Nambari 1. Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati f(x)= 2x.
Suluhisho. Wacha tupate maadili ya chaguo la kukokotoa na derivatives yake X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya derivatives kwenye fomula ya safu ya Taylor, tunapata:

Radi ya muunganiko wa mfululizo huu ni sawa na infinity, kwa hivyo upanuzi huu ni halali kwa -∞<x<+∞.

Mfano Nambari 2. Andika mfululizo wa Taylor kwa mamlaka ( X+4) kwa chaguo za kukokotoa f(x)= e x.
Suluhisho. Kutafuta derivatives ya kazi e x na maadili yao kwa uhakika X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Kwa hivyo, safu inayohitajika ya Taylor ya kazi ina fomu:

Upanuzi huu pia ni halali kwa -∞<x<+∞.

Mfano Nambari 3. Panua kipengele cha kukokotoa f(x)=n x katika mfululizo wa mamlaka ( X- 1),
(yaani katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika X=1).
Suluhisho. Tafuta derivatives ya chaguo hili la kukokotoa.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Kubadilisha maadili haya kwenye fomula, tunapata safu inayotaka ya Taylor:

Kwa kutumia jaribio la d'Alembert, unaweza kuthibitisha kuwa mfululizo unaungana kwa ½x-1½<1 . Действительно,

Mfululizo huungana ikiwa ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 tunapata mfululizo mbadala ambao unakidhi masharti ya kigezo cha Leibniz. Wakati x=0 chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa. Kwa hivyo, eneo la muunganiko wa safu ya Taylor ni kipindi cha nusu-wazi (0;2].

Mfano Nambari 4. Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati.
Suluhisho. Katika upanuzi (1) tunabadilisha x na -x 2, tunapata:
, -∞

Mfano Nambari 5. Panua utendaji kazi katika mfululizo wa Maclaurin .
Suluhisho. Tuna
Kwa kutumia fomula (4), tunaweza kuandika:

kubadilisha -x badala ya x kwenye fomula, tunapata:

Kuanzia hapa tunapata: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Kufungua mabano, kupanga upya masharti ya mfululizo na kuleta masharti sawa, tunapata
. Msururu huu huungana katika muda (-1;1), kwani hupatikana kutoka kwa safu mbili, ambazo kila moja huungana katika muda huu.

Maoni .
Fomula (1)-(5) pia inaweza kutumika kupanua kazi zinazolingana katika mfululizo wa Taylor, i.e. kwa kupanua utendaji katika mamlaka chanya kamili ( Ha) Ili kufanya hivyo, inahitajika kufanya mabadiliko kama haya kwenye kazi fulani ili kupata moja ya kazi (1) - (5), ambayo badala yake. X gharama k( Ha) m , ambapo k ni nambari isiyobadilika, m ni nambari chanya. Mara nyingi ni rahisi kufanya mabadiliko ya kutofautiana t=Ha na kupanua utendaji unaotokana na t katika mfululizo wa Maclaurin.

Njia hii inategemea nadharia juu ya upekee wa upanuzi wa chaguo la kukokotoa katika mfululizo wa nishati. Kiini cha nadharia hii ni kwamba katika kitongoji cha sehemu hiyo hiyo safu mbili tofauti za nguvu haziwezi kupatikana ambazo zinaweza kuunganishwa kwa kazi sawa, bila kujali jinsi upanuzi wake unafanywa.

Mfano Nambari 5a. Panua kazi katika mfululizo wa Maclaurin na uonyeshe eneo la muunganisho.
Suluhisho. Kwanza tunapata 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
kwa msingi:

Sehemu ya 3/(1-3x) inaweza kuchukuliwa kuwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na kipunguzo cha 3x, ikiwa |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

na eneo la muunganiko |x|< 1/3.

Mfano Nambari 6. Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor karibu na nukta x = 3.
Suluhisho. Shida hii inaweza kutatuliwa, kama hapo awali, kwa kutumia ufafanuzi wa safu ya Taylor, ambayo tunahitaji kupata derivatives ya kazi na maadili yao. X=3. Walakini, itakuwa rahisi kutumia upanuzi uliopo (5):
=
Mfululizo unaotokana huungana saa au -3

Mfano Nambari 7. Andika mfululizo wa Taylor katika uwezo (x -1) wa chaguo za kukokotoa ln(x+2) .
Suluhisho.

Msururu huungana kwa , au -2< x < 5.

Mfano nambari 8. Panua chaguo za kukokotoa f(x)=sin(πx/4) katika mfululizo wa Taylor karibu na nukta x =2.
Suluhisho. Wacha tufanye uingizwaji t=x-2:

Kwa kutumia upanuzi (3), ambapo tunabadilisha π / 4 t badala ya x, tunapata:

Mfululizo unaotokana hubadilika hadi kitendakazi ulichopewa kwa -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Hivyo,
, (-∞

Mahesabu ya takriban kwa kutumia mfululizo wa nishati

Mfululizo wa nguvu hutumiwa sana katika mahesabu ya takriban. Kwa msaada wao, unaweza kuhesabu maadili ya mizizi, kazi za trigonometric, logarithms ya nambari, na viunganisho dhahiri kwa usahihi fulani. Mfululizo pia hutumiwa wakati wa kuunganisha milinganyo tofauti.
Fikiria upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati:

Ili kukokotoa takriban thamani ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani X, mali ya eneo la muunganisho wa safu iliyoonyeshwa, za kwanza zimeachwa katika upanuzi wake. n wanachama ( n- nambari ya mwisho), na masharti yaliyobaki yanatupwa:

Ili kukadiria hitilafu ya takriban thamani iliyopatikana, ni muhimu kukadiria salio lililotupwa rn (x) . Ili kufanya hivyo, tumia mbinu zifuatazo:

ikiwa mfululizo unaosababishwa unabadilika, basi mali ifuatayo inatumiwa: kwa mfululizo mbadala unaokidhi masharti ya Leibniz, salio la mfululizo katika thamani kamili halizidi muhula wa kwanza uliotupwa..
ikiwa mfululizo uliotolewa ni wa ishara ya mara kwa mara, basi mfululizo unaojumuisha maneno yaliyotupwa hulinganishwa na uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana.
katika hali ya jumla, kukadiria salio la safu ya Taylor, unaweza kutumia fomula ya Lagrange: a x ).

Mfano Nambari 1. Hesabu ln(3) hadi 0.01 iliyo karibu zaidi.
Suluhisho. Wacha tutumie upanuzi ambapo x=1/2 (tazama mfano 5 kwenye mada iliyotangulia):

Wacha tuangalie ikiwa tunaweza kutupa salio baada ya masharti matatu ya kwanza ya upanuzi; ili kufanya hivi, tutaitathmini kwa kutumia jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana:

Kwa hivyo tunaweza kutupa hii iliyobaki na kupata

Mfano Nambari 2. Hesabu hadi 0.0001 iliyo karibu zaidi.
Suluhisho. Wacha tutumie safu ya binomial. Kwa kuwa 5 3 ni mchemraba wa nambari kamili iliyo karibu na 130, inashauriwa kuwakilisha nambari 130 kama 130 = 5 3 +5.

kwa kuwa tayari muhula wa nne wa mfululizo unaofuata unaokidhi kigezo cha Leibniz ni chini ya usahihi unaohitajika:
, kwa hivyo na masharti yanayofuata yanaweza kutupwa.
Viunganishi vingi vya uhakika au visivyofaa vinavyohitajika haviwezi kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz, kwa sababu matumizi yake yanahusishwa na kutafuta kinza, ambacho mara nyingi hakina usemi katika utendakazi wa kimsingi. Pia hutokea kwamba kupata kizuia derivative inawezekana, lakini ni kazi kubwa isiyo ya lazima. Walakini, ikiwa kazi ya kujumuisha imepanuliwa kuwa safu ya nguvu, na mipaka ya ujumuishaji ni ya muda wa muunganisho wa safu hii, basi hesabu ya takriban ya muunganisho na usahihi ulioamuliwa mapema inawezekana.

Mfano Nambari 3. Kokotoa kiungo muhimu ∫ 0 1 4 dhambi (x) x hadi ndani ya 10 -5 .
Suluhisho. Uunganisho unaofanana usio na kipimo hauwezi kuonyeshwa katika kazi za msingi, i.e. inawakilisha "kiunga kisicho cha kudumu". Fomula ya Newton-Leibniz haiwezi kutumika hapa. Wacha tuhesabu kiunga takriban.
Kugawanya neno kwa neno mfululizo wa dhambi x juu x, tunapata:

Kuunganisha kipindi hiki cha mfululizo kwa muda (hii inawezekana, kwa kuwa mipaka ya ujumuishaji ni ya muda wa muunganisho wa safu hii), tunapata:

Kwa kuwa mfululizo unaotolewa unakidhi masharti ya Leibniz na inatosha kuchukua jumla ya masharti mawili ya kwanza ili kupata thamani inayotakiwa kwa usahihi fulani.
Kwa hivyo, tunapata
.

Mfano Nambari 4. Kokotoa sehemu muhimu ∫ 0 1 4 e x 2 kwa usahihi wa 0.001.
Suluhisho.
. Hebu tuangalie ikiwa tunaweza kutupa salio baada ya muhula wa pili wa mfululizo unaotokana.
0.0001<0.001. Следовательно, .