Ufafanuzi 24.1.Nambari za nasibu taja maadili yanayowezekana r kutofautiana kwa nasibu inayoendelea R, kusambazwa kwa usawa katika muda (0; 1).
1. Kucheza kigezo cha nasibu cha kipekee.
Tuseme tunataka kucheza tofauti tofauti bila mpangilio X, yaani, kupata mlolongo wa maadili yake iwezekanavyo, kujua sheria ya usambazaji X:
X x 1 X 2 … x n
r r 1 R 2 … r uk .
Fikiria utofauti wa nasibu uliosambazwa kwa usawa katika (0, 1) R na ugawanye muda (0, 1) na vidokezo na viwianishi R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r uk-1 juu P vipindi sehemu ambavyo urefu wake ni sawa na uwezekano wenye fahirisi sawa.
Nadharia 24.1. Ikiwa kila nambari ya nasibu inayoangukia kwenye muda imepewa thamani inayowezekana, basi thamani inayochezwa itakuwa na sheria fulani ya usambazaji:
X x 1 X 2 … x n
r r 1 R 2 … r uk .
Ushahidi.
Thamani zinazowezekana za mabadiliko ya nasibu yanayotokana yanaambatana na seti X 1 , X 2 ,… x n, kwa kuwa idadi ya vipindi ni sawa P, na inapopigwa r j kwa muda, kutofautisha bila mpangilio kunaweza kuchukua moja tu ya maadili X 1 , X 2 ,… x n.
Kwa sababu R inasambazwa kwa usawa, basi uwezekano wa kuanguka katika kila muda ni sawa na urefu wake, ambayo ina maana kwamba kila thamani inalingana na uwezekano. p i. Kwa hivyo, tofauti ya nasibu inayochezwa ina sheria fulani ya usambazaji.
Mfano. Cheza maadili 10 ya tofauti tofauti isiyo ya kawaida X, sheria ya usambazaji ambayo ina fomu: X 2 3 6 8
R 0,1 0,3 0,5 0,1
Suluhisho. Hebu tugawanye muda (0, 1) katika vipindi vya sehemu: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 - (0.9; 1). Wacha tuandike nambari 10 kutoka kwa jedwali la nambari nasibu: 0.09; 0.73; 0.25; 0.33; 0.76; 0.52; 0.01; 0.35; 0.86; 0.34. Nambari za kwanza na za saba ziko kwenye muda wa D 1, kwa hivyo, katika visa hivi, utofauti wa nasibu uliochezwa ulichukua thamani. X 1 = 2; nambari ya tatu, ya nne, ya nane na ya kumi ilianguka katika muda wa D 2, ambayo inalingana na X 2 = 3; nambari ya pili, ya tano, ya sita na ya tisa walikuwa katika muda wa D 3 - katika kesi hii X = x 3 = 6; Hakukuwa na nambari katika kipindi cha mwisho. Kwa hivyo, maadili yanayowezekana yalichezwa X ni: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.
2. Kuigiza matukio kinyume.
Hebu inatakiwa kucheza vipimo, katika kila tukio ambalo tukio A inaonekana na uwezekano unaojulikana R. Zingatia tofauti tofauti isiyo ya kawaida X, ikichukua thamani 1 (ikiwa tukio A kilichotokea) kwa uwezekano R na 0 (ikiwa A haikutokea) kwa uwezekano q = 1 – uk. Kisha tutacheza tofauti hii ya nasibu kama inavyopendekezwa katika aya iliyotangulia.
Mfano. Cheza changamoto 10, kila moja ikiwa na tukio A inaonekana na uwezekano 0.3.
Suluhisho. Kwa mabadiliko ya nasibu X na sheria ya usambazaji X 1 0
R 0,3 0,7
tunapata vipindi D 1 - (0; 0.3) na D 2 - (0.3; 1). Tunatumia sampuli sawa za nambari za nasibu kama katika mfano uliopita, ambao nambari Nambari 1, 3 na 7 huanguka kwenye muda wa D 1, na wengine - kwenye muda wa D 2. Kwa hiyo, tunaweza kudhani kwamba tukio hilo A ilitokea katika majaribio ya kwanza, ya tatu, na ya saba, lakini haikutokea katika majaribio yaliyobaki.
3. Kucheza kundi kamili la matukio.
Ikiwa matukio A 1 , A 2 , …, A uk, ambao uwezekano wake ni sawa R 1 , R 2 ,… r uk, tengeneza kikundi kamili, kisha cha kucheza (hiyo ni, kuiga mlolongo wa mwonekano wao katika safu ya majaribio), unaweza kucheza tofauti isiyo ya kawaida. X na sheria ya usambazaji X 1 2 … P, baada ya kufanya hivi kwa njia sawa na katika nukta 1. Wakati huo huo, tunaamini hivyo
r r 1 R 2 … r uk
Kama X inachukua thamani x i = i, basi katika jaribio hili tukio lilitokea A i.
4. Kucheza kigeu kisicho na mpangilio.
a) Mbinu ya utendakazi kinyume.
Tuseme tunataka kucheza utofauti unaoendelea bila mpangilio X, yaani, pata mlolongo wa maadili yake iwezekanavyo Xi (i = 1, 2, …, n), kujua kazi ya usambazaji F(x).
Nadharia 24.2. Kama r i ni nambari ya nasibu, basi thamani inayowezekana Xi alicheza kutofautiana bila mpangilio X yenye kipengele cha kukokotoa cha usambazaji F(x), sambamba r i, ndio mzizi wa mlinganyo
F(Xi) = r i. (24.1)
Ushahidi.
Kwa sababu F(x) huongezeka kwa usawa katika muda kutoka 0 hadi 1, basi kuna (na ya kipekee) thamani ya hoja. Xi, ambapo kitendakazi cha usambazaji huchukua thamani r i. Hii inamaanisha kuwa equation (24.1) ina suluhisho la kipekee: Xi= F -1 (r i), Wapi F-1 - tenda kinyume na F. Wacha tuthibitishe kuwa mzizi wa equation (24.1) ni dhamana inayowezekana ya utofauti wa nasibu unaozingatiwa X. Hebu kwanza tufikirie hivyo Xi ni dhamana inayowezekana ya mabadiliko fulani ya nasibu x, na tunathibitisha kwamba uwezekano wa x kuanguka katika muda ( s, d) ni sawa na F(d) – F(c) Kwa kweli, kwa sababu ya monotonicity F(x) na hiyo F(Xi) = r i. Kisha
Kwa hivyo, kwa hivyo, uwezekano wa x kuanguka kwenye muda ( c,d) ni sawa na ongezeko la chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) kwa muda huu, kwa hivyo, x = X.
Cheza thamani 3 zinazowezekana za utofauti unaoendelea bila mpangilio X, kusambazwa kwa usawa katika muda (5; 8).
F(x) = , yaani, ni muhimu kusuluhisha equation Hebu tuchague nambari 3 za nasibu: 0.23; 0.09 na 0.56 na uzibadilishe katika mlingano huu. Wacha tupate maadili yanayolingana yanayowezekana X:
b) Mbinu ya uwekaji juu.
Iwapo chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo cha nasibu kinachochezwa kinaweza kuwakilishwa kama mseto wa vitendakazi viwili vya usambazaji:
basi, tangu lini X®¥ F(x) ® 1.
Wacha tuanzishe utofauti wa nasibu msaidizi Z na sheria ya usambazaji
Z 12 . Wacha tuchague nambari 2 za nasibu huru r 1 na r 2 na kucheza iwezekanavyo
p C 1 C 2
maana Z kwa nambari r 1 (angalia nukta 1). Kama Z= 1, basi tunatafuta thamani inayowezekana inayotaka X kutoka kwa equation, na ikiwa Z= 2, kisha tunatatua equation.
Inaweza kuthibitishwa kuwa katika kesi hii chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo cha nasibu kinachochezwa ni sawa na chaguo za kukokotoa za usambazaji.
c) Takriban uchezaji wa kigeu cha kawaida cha nasibu.
Tangu kwa R, inasambazwa kwa usawa katika (0, 1), kisha kwa jumla P huru, iliyosambazwa kwa usawa anuwai za nasibu katika muda (0,1). Kisha, kwa mujibu wa nadharia ya kikomo cha kati, kutofautisha kwa nasibu kwa kawaida kwa P® ¥ itakuwa na usambazaji karibu na kawaida, na vigezo A= 0 na s =1. Hasa, makadirio mazuri yanapatikana wakati P = 12:
Kwa hivyo, kucheza thamani inayowezekana ya utofauti wa kawaida wa nasibu X, unahitaji kuongeza nambari 12 za nasibu huru na uondoe 6 kutoka kwa jumla.
Kiini cha njia ya Monte Carlo ni kama ifuatavyo: unahitaji kupata thamani A baadhi ya kiasi alisoma. Kwa kusudi hili, chagua mabadiliko ya nasibu X ambayo matarajio yake ya hisabati ni sawa na: M(X) = a.
Kwa mazoezi, hufanya hivi: wanahesabu (kucheza) n maadili yanayowezekana x i ya mabadiliko ya nasibu X, pata maana yao ya hesabu
Na wanachukua * ya nambari inayotakikana kama makadirio (thamani ya kukadiria). Kwa hivyo, kutumia njia ya Monte Carlo, lazima uweze kucheza tofauti ya nasibu.
Wacha iwe muhimu kucheza tofauti isiyo ya kawaida ya X, i.e. kuhesabu mlolongo wa thamani zake zinazowezekana \ x i (i=1,2, ...), tukijua sheria ya usambazaji wa X. Wacha tuanzishe nukuu: R ni kigezo kisichobadilika kinachosambazwa kwa usawa katika muda (0,1) ); r i (j=1,2,...) - nambari za nasibu (thamani zinazowezekana za R).
Kanuni: Ili kucheza tofauti tofauti bila mpangilio X iliyobainishwa na sheria ya usambazaji
X x 1 x 2 ... x n
P p 1 p 2 … p n
1. Gawanya muda (0,1) wa au mhimili katika vipindi n sehemu:
Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1; р 1+ р 2), ..., Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1; 1).
2. Chagua nambari ya nasibu r j . Ikiwa r j ilianguka katika muda wa sehemu Δ i, basi thamani inayochezwa ilichukua thamani inayowezekana x i. .
Inacheza kundi kamili la matukio
Inahitajika kucheza vipimo, katika kila moja ambayo moja ya matukio ya kikundi kamili hutokea, uwezekano ambao unajulikana. Kucheza kikundi kamili cha matukio kunakuja hadi kucheza kigezo cha nasibu cha kipekee.
Kanuni: Ili kucheza majaribio, katika kila moja ambayo moja ya matukio A 1, A 2, ..., A n ya kikundi kamili hutokea, uwezekano ambao p 1, p 2, ..., p n hujulikana, inatosha kucheza thamani tofauti X na sheria ifuatayo ya usambazaji:
P p 1 p 2 … p n
Ikiwa katika mtihani thamani ya X ilichukua thamani inayowezekana x i = i, basi tukio A i ilitokea.
Inacheza Kigezo Kinachoendelea Nasibu
Chaguo za kukokotoa za usambazaji F za mabadiliko ya nasibu inayoendelea X inajulikana. Inahitajika ili kucheza X, i.e. kuhesabu mlolongo wa maadili iwezekanavyo x i (i=1,2, ...).
A. Mbinu ya utendakazi kinyume. Kanuni ya 1. x i ya mabadiliko ya nasibu ya X, ukijua kazi yake ya usambazaji F, unahitaji kuchagua nambari isiyo ya kawaida r i, kusawazisha kazi yake ya usambazaji na kutatua equation inayosababisha F (x i) = r i kwa x i.
Ikiwa wiani wa uwezekano f(x) unajulikana, basi sheria ya 2 inatumiwa.
Kanuni ya 2. Ili kucheza thamani inayowezekana x i ya mabadiliko ya nasibu ya X, ukijua uwezekano wake msongamano f, unahitaji kuchagua nambari isiyo ya kawaida r i na kutatua equation ya x i
au mlingano
ambapo a ndio dhamana ndogo kabisa ya mwisho inayowezekana ya X.
B. Mbinu ya uwekaji juu. Kanuni ya 3. Ili kucheza thamani inayowezekana ya kigezo cha X bila mpangilio, chaguo za kukokotoa za usambazaji ambazo
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),
ambapo F k (x) - vitendaji vya usambazaji (k=1, 2, ..., n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, unahitaji kuchagua nambari mbili huru za nasibu r 1 na r 2 na ukitumia nambari nasibu r 1, cheza thamani inayowezekana ya utofautishaji wa nasibu msaidizi Z (kulingana na sheria ya 1):
p C 1 C 2 … C n
Ikiwa inageuka kuwa Z=k, basi suluhisha equation F k (x) = r 2 kwa x.
Rekea 1. Ikiwa msongamano wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio X umetolewa katika fomu
f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),
ambapo f k ni msongamano wa uwezekano, mgawo C k ni chanya, jumla yao ni sawa na moja, na ikibainika kuwa Z=k, basi suluhisha (kulingana na sheria ya 2) kwa heshima na x i kuhusiana na au mlinganyo.
Uchezaji wa takriban wa kigeu cha kawaida cha nasibu
Kanuni. Ili kukadiria thamani inayowezekana x i ya mabadiliko ya kawaida ya nasibu ya X na vigezo a=0 na σ=1, unahitaji kuongeza nambari 12 huru za nasibu na kutoa 6 kutoka kwa jumla inayosababisha:
Maoni. Ikiwa unataka takriban kucheza kibadilishaji cha kawaida cha Z na matarajio ya kihesabu A na kupotoka kwa kawaida σ, basi, baada ya kucheza thamani inayowezekana ya x i kulingana na sheria iliyo hapo juu, pata dhamana inayowezekana kwa kutumia formula: z i =σx i +a.
Wacha tuonyeshe SV iliyosambazwa sawasawa katika muda (0, 1) na R, na maadili yake yanayowezekana (nambari za nasibu) na r j .
Hebu tugawanye muda .
Kutoka kwa usawa huu inafuata kwamba ikiwa kutofautisha kwa nasibu ξ zilizomo katika muda
Na< ξ < d, ξ (**)
kisha kutofautisha bila mpangilio R zilizomo katika muda
F(Na)< R< F(d), (***)
na nyuma. Kwa hivyo, kukosekana kwa usawa (**) na (***) ni sawa na, kwa hivyo, kunawezekana kwa usawa:
R(Na< ξ< d)=P[F(Na)< R< F(d)]. (****)
Tangu thamani R inasambazwa kwa usawa katika muda (0,1), kisha uwezekano wa kupiga R katika muda fulani wa muda (0,1) ni sawa na urefu wake (tazama Sura ya XI, § 6, maoni). Hasa,
R[F(Na)< R< F(d) ] = F(d) - F(Na).
Kwa hiyo, uhusiano (****) unaweza kuandikwa kwa fomu
R(Na< ξ< d)= F(d) - F(Na).
Kwa hiyo, uwezekano wa kupiga ξ katika muda ( Na,d) ni sawa na ongezeko la chaguo za kukokotoa za usambazaji F(X) kwa muda huu, ambayo ina maana kwamba ξ=X. Kwa maneno mengine, nambari X i, iliyofafanuliwa na fomula (*), ni maadili yanayowezekana ya wingi X s kutokana na kipengele cha kukokotoa cha usambazaji F(X), Q.E.D.
Kanuni ya 1.X i , kutofautiana kwa nasibu inayoendelea X, kujua kazi yake ya usambazaji F(X), unahitaji kuchagua nambari ya nasibu r i kusawazisha kazi zake za usambazaji na kutatua X i , equation inayotokana
F(X i)= r i .
Rekea 1. Ikiwa haiwezekani kusuluhisha mlingano huu kwa uwazi, basi tumia mbinu za picha au nambari.
Mfano I Cheza thamani 3 zinazowezekana za utofauti unaoendelea bila mpangilio X, kusambazwa kwa usawa katika muda (2, 10).
Suluhisho. Wacha tuandike kazi ya usambazaji wa wingi X, kusambazwa sawasawa katika muda ( A,b) (tazama Sura ya XI, § 3, mfano):
F(X)= (Ha)/ (b-A).
Kwa sharti, a = 2, b=10, kwa hivyo,
F(X)= (X- 2)/ 8.
Kutumia kanuni ya aya hii, tutaandika equation ili kupata maadili iwezekanavyo X i , ambayo tunalinganisha chaguo za kukokotoa za usambazaji na nambari nasibu:
(X i -2 )/8= r i .
Kutoka hapa X i =8 r i + 2.
Wacha tuchague nambari 3 za nasibu, kwa mfano, r i =0,11, r i =0,17, r i=0.66. Wacha tubadilishe nambari hizi kwenye mlinganyo uliotatuliwa kwa heshima na X i , Kama matokeo, tunapata maadili yanayolingana yanayowezekana X: X 1 =8·0.11+2==2.88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.
Mfano 2. Tofauti inayoendelea bila mpangilio X kusambazwa kulingana na sheria ya kielelezo iliyobainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji (parameta λ > 0 inajulikana)
F(X)= 1 - e - λ X (x>0).
Tunahitaji kutafuta fomula iliyo wazi ili kudhihirisha thamani zinazowezekana X.
Suluhisho. Kutumia kanuni ya aya hii, tunaandika equation
1 - e - λ X i
Wacha tusuluhishe equation hii X i :
e - λ X i = 1 - r i, au - λ X i = ln(1 - r i).
X i =1p(1– r i)/λ .
Nambari ya nasibu r i imefungwa katika muda (0,1); kwa hivyo nambari 1 ni r i, pia ni nasibu na ni ya muda (0,1). Kwa maneno mengine, idadi R na 1- R kusambazwa kwa usawa. Kwa hivyo, kupata X i Unaweza kutumia formula rahisi zaidi:
x i =- ln r i /λ.
Kumbuka 2. Inajulikana kuwa (tazama Sura ya XI, §3)
Hasa,
Inafuata kwamba ikiwa wiani wa uwezekano unajulikana f(x), kisha kwa kucheza X inawezekana badala ya milinganyo F(x i)=r i kuamua kuhusu x i mlinganyo
Kanuni ya 2. Ili kupata thamani inayowezekana X i (kutofautisha bila mpangilio X, kujua wiani wake wa uwezekano f(x) unahitaji kuchagua nambari ya nasibu r i na kuamua kuhusu X i , mlinganyo
au mlingano
Wapi A- thamani ndogo ya mwisho inayowezekana X.
Mfano 3. Msongamano wa uwezekano wa kutofautisha kwa nasibu unaoendelea umetolewa Xf(X)=λ (1-λх/2) katika muda (0; 2/λ); nje ya muda huu f(X)= 0. Tunahitaji kutafuta fomula iliyo wazi ili kudhihirisha thamani zinazowezekana X.
Suluhisho. Kwa mujibu wa kanuni ya 2, hebu tuandike equation
Baada ya kufanya ushirikiano na kutatua equation ya quadratic inayosababisha X i, hatimaye tunapata
