Wazo la mlolongo wa nambari linamaanisha kwamba kila nambari asilia inalingana na thamani fulani halisi. Msururu kama huo wa nambari unaweza kuwa wa kiholela au kuwa na mali fulani - maendeleo. Katika kesi ya mwisho, kila kipengele kinachofuata (mwanachama) cha mlolongo kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia uliopita.
Maendeleo ya hesabu- mlolongo wa maadili ya nambari ambayo washiriki wake wa karibu hutofautiana kutoka kwa kila mmoja nambari sawa(vitu vyote vya safu, kuanzia ya 2, vina mali sawa). Nambari hii - tofauti kati ya maneno ya awali na yafuatayo - ni mara kwa mara na inaitwa tofauti ya maendeleo.
Tofauti ya maendeleo: ufafanuzi
Fikiria mlolongo unaojumuisha j thamani A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ni ya seti. nambari za asili N. Uendelezaji wa hesabu, kulingana na ufafanuzi wake, ni mfuatano ambao a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) - a(j-1) = d. Thamani d ndiyo tofauti inayotakikana ya mwendelezo huu.
d = a(j) – a(j-1).
Kuonyesha:
- Mwendelezo unaoongezeka, ambapo d > 0. Mfano: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Kupungua kwa maendeleo, basi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Maendeleo ya tofauti na vipengele vyake vya kiholela
Ikiwa masharti 2 ya kiholela ya maendeleo yanajulikana (i-th, k-th), basi tofauti ya mlolongo fulani inaweza kuamua kulingana na uhusiano:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ambayo ina maana d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Tofauti ya maendeleo na muhula wake wa kwanza
Usemi huu utasaidia kuamua thamani isiyojulikana tu katika hali ambapo nambari ya kipengele cha mlolongo inajulikana.
Tofauti ya maendeleo na jumla yake
Jumla ya mwendelezo ni jumla ya masharti yake. Ili kuhesabu jumla ya thamani ya vipengele vyake vya kwanza vya j, tumia fomula inayofaa:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakini tangu a(j) = a(1) + d(j – 1), kisha S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Kabla hatujaanza kuamua matatizo ya maendeleo ya hesabu, tuangalie ni nini mlolongo wa nambari, kwa kuwa maendeleo ya hesabu ni kesi maalum mlolongo wa nambari.
Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, kila kipengele ambacho kina yake nambari ya serial . Vipengele vya seti hii huitwa washiriki wa mlolongo. Nambari ya serial ya kipengele cha mlolongo inaonyeshwa na faharisi:
Kipengele cha kwanza cha mlolongo;
Kipengele cha tano cha mlolongo;
- kipengele cha "nth" cha mlolongo, i.e. kipengele "kusimama kwenye foleni" kwa nambari n.
Kuna uhusiano kati ya thamani ya kipengele cha mfuatano na nambari yake ya mfuatano. Kwa hivyo, tunaweza kuzingatia mfuatano kama chaguo la kukokotoa ambalo hoja yake ni nambari ya mpangilio wa kipengele cha mfuatano. Kwa maneno mengine, tunaweza kusema hivyo mlolongo ni kazi ya hoja asilia:
Mlolongo unaweza kuweka kwa njia tatu:
1 . Mlolongo unaweza kubainishwa kwa kutumia meza. Katika kesi hii, tunaweka tu thamani ya kila mwanachama wa mlolongo.
Kwa mfano, Mtu aliamua kuchukua usimamizi wa wakati wa kibinafsi, na kwa kuanzia, hesabu muda gani anatumia kwenye VKontakte wakati wa wiki. Kwa kurekodi wakati kwenye jedwali, atapokea mlolongo unaojumuisha vitu saba:
Mstari wa kwanza wa meza unaonyesha idadi ya siku ya juma, ya pili - wakati katika dakika. Tunaona kwamba, yaani, Jumatatu Mtu alitumia dakika 125 kwenye VKontakte, yaani, Alhamisi - dakika 248, na, yaani, Ijumaa 15 tu.
2 . Mfuatano unaweza kubainishwa kwa kutumia fomula ya neno la nth.
Katika kesi hii, utegemezi wa thamani ya kipengele cha mlolongo kwenye nambari yake huonyeshwa moja kwa moja kwa namna ya fomula.
Kwa mfano, ikiwa, basi
Ili kupata thamani ya kipengele cha mfuatano na nambari fulani, tunabadilisha nambari ya kipengele kwenye fomula ya neno la nth.
Tunafanya vivyo hivyo ikiwa tunahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa ikiwa thamani ya hoja inajulikana. Tunabadilisha thamani ya hoja katika mlinganyo wa kukokotoa:
Ikiwa, kwa mfano, 
, Hiyo
Napenda kumbuka tena kwamba katika mlolongo, tofauti na kazi ya nambari ya kiholela, hoja inaweza tu kuwa nambari ya asili.
3 . Mlolongo unaweza kubainishwa kwa kutumia fomula inayoonyesha utegemezi wa thamani ya nambari ya mfuatano wa nambari n kwa maadili ya washiriki wa awali. Katika kesi hii, haitoshi kwetu kujua tu nambari ya mwanachama wa mlolongo ili kupata thamani yake. Tunahitaji kubainisha mshiriki wa kwanza au washiriki wachache wa kwanza wa mfuatano huo.
Kwa mfano, fikiria mlolongo 
, 
Tunaweza kupata maadili ya washiriki wa mlolongo kwa mfuatano, kuanzia ya tatu:
Hiyo ni, kila wakati, ili kupata thamani ya muda wa nth wa mlolongo, tunarudi kwa mbili zilizopita. Njia hii ya kutaja mlolongo inaitwa mara kwa mara, kutoka kwa neno la Kilatini kujirudia- kurudi.
Sasa tunaweza kufafanua maendeleo ya hesabu. Ukuaji wa hesabu ni kesi maalum rahisi ya mlolongo wa nambari.
Maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambayo, kuanzia ya pili, ni sawa na ya awali iliyoongezwa kwa nambari sawa.
Nambari inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu. Tofauti ya maendeleo ya hesabu inaweza kuwa chanya, hasi, au sawa na sifuri.
Ikiwa title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} kuongezeka.
Kwa mfano, 2; 5; 8; kumi na moja;...
Ikiwa , basi kila muda wa maendeleo ya hesabu ni chini ya uliopita, na maendeleo ni kupungua.
Kwa mfano, 2; -1; -4; -7;...
Ikiwa , basi masharti yote ya maendeleo ni sawa na nambari sawa, na maendeleo ni stationary.
Kwa mfano, 2;2;2;2;...
Sifa kuu ya maendeleo ya hesabu:
Hebu tuangalie picha.
Tunaona hilo
, na wakati huo huo
Kuongeza usawa hizi mbili, tunapata:
.
Wacha tugawanye pande zote mbili za usawa kwa 2:
Kwa hivyo, kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na maana ya hesabu ya hizo mbili jirani:
Aidha, tangu
, na wakati huo huo
, Hiyo
, na kwa hiyo
Kila neno la mwendelezo wa hesabu, kuanzia title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Mfumo wa muhula wa th.
Tunaona kwamba masharti ya maendeleo ya hesabu yanakidhi mahusiano yafuatayo:
na hatimaye
Tumepata fomula ya muhula wa nth.
MUHIMU! Mwanachama yeyote wa maendeleo ya hesabu anaweza kuonyeshwa kupitia na. Kujua muda wa kwanza na tofauti ya maendeleo ya hesabu, unaweza kupata masharti yake yoyote.
Jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu.
Katika mwendelezo wa hesabu wa kiholela, hesabu za istilahi zinazolingana na zile zilizokithiri ni sawa kwa kila moja:
Fikiria mwendelezo wa hesabu na istilahi n. Wacha jumla ya masharti n ya mwendelezo huu iwe sawa na .
Wacha tupange masharti ya maendeleo kwanza kwa mpangilio wa nambari, na kisha kwa mpangilio wa kushuka:
Wacha tuongeze kwa jozi:
Jumla katika kila mabano ni , idadi ya jozi ni n.
Tunapata:
Kwa hiyo, jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu yanaweza kupatikana kwa kutumia fomula:
Hebu tuzingatie kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu.
1 . Mlolongo hutolewa na fomula ya neno la nth: . Thibitisha kwamba mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu.
Hebu tuthibitishe kwamba tofauti kati ya maneno mawili ya karibu ya mlolongo ni sawa na idadi sawa.
Tuligundua kuwa tofauti kati ya washiriki wawili wa karibu wa mlolongo haitegemei idadi yao na ni ya kudumu. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi, mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu.
2 . Kutokana na maendeleo ya hesabu -31; -27;...
a) Tafuta masharti 31 ya mwendelezo.
b) Amua ikiwa nambari 41 imejumuishwa katika mwendelezo huu.
A) Tunaona kwamba;
Wacha tuandike fomula ya muhula wa nth kwa maendeleo yetu.
Kwa ujumla 
Kwa upande wetu 
, Ndiyo maana 
Maendeleo ya hesabu taja mlolongo wa nambari (masharti ya mwendelezo)
Ambayo kila neno linalofuata hutofautiana na lile lililotangulia kwa neno jipya, ambalo pia huitwa tofauti ya hatua au maendeleo.
Kwa hivyo, kwa kubainisha hatua ya maendeleo na muda wake wa kwanza, unaweza kupata vipengele vyake vyovyote kwa kutumia fomula
Tabia za maendeleo ya hesabu
1) Kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia nambari ya pili, ndio maana ya hesabu ya washiriki wa awali na wanaofuata wa maendeleo.
Mazungumzo pia ni ya kweli. Ikiwa maana ya hesabu ya masharti yasiyo ya kawaida (hata) yanayokaribiana ya mwendelezo ni sawa na neno linalosimama kati yao, basi mlolongo huu wa nambari ni mwendelezo wa hesabu. Kutumia taarifa hii, ni rahisi sana kuangalia mlolongo wowote.
Pia, kwa mali ya maendeleo ya hesabu, fomula iliyo hapo juu inaweza kujumuishwa kwa jumla kwa zifuatazo
Hii ni rahisi kuthibitisha ikiwa utaandika masharti upande wa kulia wa ishara sawa
Mara nyingi hutumiwa katika mazoezi ili kurahisisha mahesabu katika matatizo.
2) Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu huhesabiwa kwa kutumia fomula
Kumbuka vizuri formula ya jumla ya maendeleo ya hesabu; ni muhimu katika mahesabu na mara nyingi hupatikana katika hali rahisi za maisha.
3) Ikiwa unahitaji kupata sio jumla nzima, lakini sehemu ya mlolongo kuanzia muda wake wa kth, basi fomula ifuatayo itakuwa na manufaa kwako.
4) Ya manufaa ya vitendo ni kutafuta jumla ya masharti n ya mwendelezo wa hesabu kuanzia nambari ya kth. Ili kufanya hivyo, tumia formula
Juu ya hili nyenzo za kinadharia mwisho na tunaendelea na kutatua matatizo ya kawaida kwa vitendo.
Mfano 1. Tafuta muhula wa arobaini wa maendeleo ya hesabu 4;7;...
Suluhisho:
Kulingana na hali tuliyo nayo
Wacha tuamue hatua ya maendeleo
Kwa kutumia fomula inayojulikana sana, tunapata muhula wa arobaini wa kuendelea
Mfano 2. Maendeleo ya hesabu hutolewa na muhula wake wa tatu na saba. Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo na jumla ya kumi.
Suluhisho:
Hebu tuandike vipengele vilivyotolewa vya maendeleo kwa kutumia fomula
Tunaondoa kwanza kutoka kwa equation ya pili, kwa matokeo tunapata hatua ya maendeleo
Tunabadilisha thamani iliyopatikana katika milinganyo yoyote ili kupata muhula wa kwanza wa kuendelea kwa hesabu
Tunahesabu jumla ya masharti kumi ya kwanza ya maendeleo
Bila kutumia mahesabu magumu, tulipata kiasi kinachohitajika.
Mfano 3. Maendeleo ya hesabu hutolewa na denominator na mojawapo ya masharti yake. Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo, jumla ya masharti yake 50 kuanzia 50 na jumla ya 100 za kwanza.
Suluhisho:
Hebu tuandike fomula ya kipengele cha mia cha maendeleo
na kupata wa kwanza
Kulingana na ya kwanza, tunapata muhula wa 50 wa maendeleo
Kupata jumla ya sehemu ya maendeleo
na jumla ya 100 za kwanza
Kiasi cha maendeleo ni 250.
Mfano 4.
Tafuta idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu ikiwa:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Suluhisho:
Wacha tuandike milinganyo kulingana na muhula wa kwanza na hatua ya kuendelea na tuamue
Tunabadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula ya jumla ili kuamua idadi ya maneno katika jumla
Tunafanya kurahisisha
na kutatua equation ya quadratic
Kati ya maadili mawili yaliyopatikana, nambari 8 tu inafaa hali ya shida. Kwa hivyo, jumla ya masharti nane ya kwanza ya mwendelezo ni 111.
Mfano 5.
Tatua mlinganyo
1+3+5+...+x=307.
Suluhisho: Mlinganyo huu ni jumla ya maendeleo ya hesabu. Wacha tuandike muhula wake wa kwanza na tupate tofauti katika maendeleo
Kwa mfano, mlolongo \(2\); \(5\); \(8\); \(kumi na moja\); \(14\)... ni mwendelezo wa hesabu, kwa sababu kila kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia kwa tatu (kinaweza kupatikana kutoka kwa kilichotangulia kwa kuongeza tatu):
Katika mwendelezo huu, tofauti \(d\) ni chanya (sawa na \(3\)), na kwa hivyo kila muhula unaofuata ni mkubwa kuliko uliopita. Maendeleo kama haya yanaitwa kuongezeka.
Walakini, \(d\) pia inaweza kuwa nambari hasi. Kwa mfano, katika maendeleo ya hesabu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... tofauti ya uendelezaji \(d\) ni sawa na minus sita.
Na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kitakuwa kidogo kuliko kilichotangulia. Maendeleo haya yanaitwa kupungua.
Nukuu ya maendeleo ya hesabu
Maendeleo yanaonyeshwa kwa herufi ndogo ya Kilatini.
Nambari zinazounda mwendelezo huitwa wanachama(au vipengele).
Zinaonyeshwa kwa herufi sawa na maendeleo ya hesabu, lakini kwa faharisi ya nambari sawa na nambari ya kitu kwa mpangilio.
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) inajumuisha vipengele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) na kadhalika.
Kwa maneno mengine, kwa mwendelezo \(a_n = \kushoto\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu
Kimsingi, habari iliyowasilishwa hapo juu tayari inatosha kutatua karibu shida yoyote ya maendeleo ya hesabu (pamoja na zile zinazotolewa katika OGE).
Mfano (OGE).
Ukuaji wa hesabu hubainishwa na masharti \(b_1=7; d=4\). Tafuta \(b_5\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_5=23\)
Mfano (OGE).
Masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu yametolewa: \(62; 49; 36…\) Tafuta thamani ya neno hasi la kwanza la mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunapewa vipengele vya kwanza vya mlolongo na tunajua kwamba ni maendeleo ya hesabu. Hiyo ni, kila kipengele hutofautiana na jirani yake kwa idadi sawa. Wacha tujue ni ipi kwa kutoa iliyotangulia kutoka kwa kipengele kinachofuata: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sasa tunaweza kurejesha uendelezaji wetu kwa kipengele (cha kwanza hasi) tunachohitaji. |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(-3\)
Mfano (OGE).
Kwa kuzingatia vipengele kadhaa mfululizo vya maendeleo ya hesabu: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tafuta thamani ya kipengele kilichoteuliwa kwa herufi \(x\).
Suluhisho:
|
|
Ili kupata \(x\), tunahitaji kujua ni kiasi gani kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia, kwa maneno mengine, tofauti ya maendeleo. Hebu tutafute kutoka kwa vipengele viwili vinavyojulikana jirani: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Na sasa tunaweza kupata kile tunachotafuta kwa urahisi: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(7,5\).
Mfano (OGE).
Uendelezaji wa hesabu hufafanuliwa na masharti yafuatayo: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tafuta jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunahitaji kupata jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo. Lakini hatujui maana zao, tumepewa tu kipengele cha kwanza. Kwa hivyo, kwanza tunahesabu maadili moja baada ya nyingine, kwa kutumia kile tulichopewa: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Kiasi kinachohitajika kimepatikana. |
Jibu: \(S_6=9\).
Mfano (OGE).
Katika maendeleo ya hesabu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tafuta tofauti ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
Jibu: \(d=7\).
Fomula muhimu za maendeleo ya hesabu
Kama unaweza kuona, shida nyingi juu ya maendeleo ya hesabu zinaweza kutatuliwa kwa kuelewa jambo kuu - kwamba maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, na kila kipengele kinachofuata katika mlolongo huu kinapatikana kwa kuongeza nambari sawa kwa ile iliyotangulia ( tofauti ya maendeleo).
Hata hivyo, wakati mwingine kuna hali wakati kuamua "kichwa-juu" ni mbaya sana. Kwa mfano, fikiria kwamba katika mfano wa kwanza kabisa hatuhitaji kupata kipengele cha tano \(b_5\), lakini mia tatu themanini na sita \(b_(386)\). Je, tuongeze mara nne \(385\)? Au fikiria kuwa katika mfano wa mwisho unahitaji kupata jumla ya vitu sabini na tatu vya kwanza. Utakuwa umechoka kuhesabu ...
Kwa hivyo, katika hali kama hizi hazisuluhishi vitu "kichwa-juu", lakini hutumia fomula maalum zinazotokana na maendeleo ya hesabu. Na kuu ni fomula ya muhula wa nth wa kuendelea na fomula ya jumla ya \(n\) maneno ya kwanza.
Mfumo wa neno \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ambapo \(a_1\) ni muhula wa kwanza wa mwendelezo;
\(n\) - nambari ya kipengele kinachohitajika;
\(a_n\) - muda wa kuendelea na nambari \(n\).
Njia hii inaruhusu sisi kupata haraka hata kipengele cha mia tatu au milioni, tukijua tu ya kwanza na tofauti ya maendeleo.
Mfano.
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tafuta \(b_(246)\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_(246)=1850\).
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ambapo
\(a_n\) - muhtasari wa mwisho;
Mfano (OGE).
Mwendelezo wa hesabu hubainishwa na masharti \(a_n=3.4n-0.6\). Tafuta jumla ya masharti ya \(25\) ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Ili kuhesabu jumla ya maneno ishirini na tano ya kwanza, tunahitaji kujua thamani ya maneno ya kwanza na ishirini na tano. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
Sasa hebu tutafute muhula wa ishirini na tano kwa kubadilisha ishirini na tano badala ya \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
Naam, sasa tunaweza kuhesabu kwa urahisi kiasi kinachohitajika. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(25)=1090\).
Kwa jumla \(n\) ya maneno ya kwanza, unaweza kupata fomula nyingine: unahitaji tu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\)\ (\cdot 25\ ) badala ya \(a_n\) badilisha fomula yake \(a_n=a_1+(n-1)d\). Tunapata:
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ambapo
\(S_n\) - jumla inayohitajika ya \(n\) vipengele vya kwanza;
\(a_1\) - muhtasari wa kwanza;
\(d\) - tofauti ya maendeleo;
\(n\) - idadi ya vipengele kwa jumla.
Mfano.
Pata jumla ya masharti ya kwanza \(33\)-ex ya maendeleo ya hesabu: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
Suluhisho:
Jibu: \(S_(33)=-231\).
Matatizo magumu zaidi ya maendeleo ya hesabu
Sasa una kila kitu taarifa muhimu kwa kutatua karibu tatizo lolote la maendeleo ya hesabu. Wacha tumalizie mada kwa kuzingatia shida ambazo hauitaji tu kutumia fomula, lakini pia fikiria kidogo (katika hisabati hii inaweza kuwa muhimu ☺)
Mfano (OGE).
Pata jumla ya masharti yote mabaya ya maendeleo: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Suluhisho:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Kazi ni sawa na ile iliyopita. Tunaanza kutatua kitu kimoja: kwanza tunapata \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sasa ningependa kubadilisha \(d\) katika fomula ya jumla... na hapa inakuja nuance ndogo- hatujui \(n\). Kwa maneno mengine, hatujui ni maneno mangapi yatahitaji kuongezwa. Jinsi ya kujua? Hebu fikiria. Tutaacha kuongeza vipengele tutakapofikia kipengele chanya cha kwanza. Hiyo ni, unahitaji kujua idadi ya kipengele hiki. Vipi? Hebu tuandike fomula ya kukokotoa kipengele chochote cha maendeleo ya hesabu: \(a_n=a_1+(n-1)d\) kwa kesi yetu. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
Tunahitaji \(a_n\) ili kuwa Juu ya sifuri. Wacha tujue ni nini \(n\) hii itatokea. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Tunahamisha minus moja, bila kusahau kubadilisha ishara |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hebu tuhesabu... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...na inabadilika kuwa kipengele cha kwanza chanya kitakuwa na nambari \(66\). Ipasavyo, hasi ya mwisho ina \(n=65\). Ikiwezekana, wacha tuangalie hii. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
Kwa hivyo tunahitaji kuongeza vitu \(65\) vya kwanza. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdoti (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(65)=-630.5\).
Mfano (OGE).
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pata jumla kutoka \(26\)th hadi \(42\) kipengele kikiwa pamoja.
Suluhisho:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Katika tatizo hili unahitaji pia kupata jumla ya vipengele, lakini kuanzia si kutoka kwa kwanza, lakini kutoka \(26\)th. Kwa kesi kama hiyo hatuna fomula. Jinsi ya kuamua? |
|
|
Kwa maendeleo yetu \(a_1=-33\), na tofauti \(d=4\) (baada ya yote, tunaongeza nne kwa kipengele kilichotangulia ili kupata kinachofuata). Kujua hili, tunapata jumla ya vipengele vya kwanza \(42\)-y. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdoti 42=\) |
Sasa jumla ya vipengele \(25\) vya kwanza. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Na hatimaye, tunahesabu jibu. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Jibu: \(S=1683\).
Kwa maendeleo ya hesabu, kuna fomula kadhaa zaidi ambazo hatukuzingatia katika nakala hii kwa sababu ya matumizi yao ya chini ya vitendo. Hata hivyo, unaweza kupata yao kwa urahisi.
Kikokotoo cha mtandaoni.
Kutatua maendeleo ya hesabu.
Imetolewa: a n, d, n
Tafuta: a 1
Hii programu ya hisabati hupata \(a_1\) ya maendeleo ya hesabu kulingana na nambari zilizobainishwa na mtumiaji \(a_n, d\) na \(n\).
Nambari \(a_n\) na \(d\) zinaweza kubainishwa sio tu kama nambari kamili, lakini pia kama sehemu. Kwa kuongezea, nambari ya sehemu inaweza kuingizwa katika mfumo wa sehemu ya desimali (\(2.5\)) na kwa fomu. sehemu ya kawaida(\(-5\frac(2)(7)\)).
Mpango huo sio tu unatoa jibu kwa tatizo, lakini pia unaonyesha mchakato wa kutafuta suluhisho.
Kikokotoo hiki cha mtandaoni kinaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au algebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo yako. ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.
Ikiwa haujui sheria za kuingiza nambari, tunapendekeza ujijulishe nazo.
Sheria za kuingiza nambari
Nambari \(a_n\) na \(d\) zinaweza kubainishwa sio tu kama nambari kamili, lakini pia kama sehemu.
Nambari \(n\) inaweza tu kuwa nambari chanya.
Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Sehemu kamili na sehemu katika sehemu za desimali zinaweza kutengwa kwa kipindi au koma.
Kwa mfano, unaweza kuingia desimali kwa hivyo 2.5 au hivyo 2.5
Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.
Denominator haiwezi kuwa hasi.
Wakati wa kuingia sehemu ya nambari Nambari imetenganishwa na dhehebu kwa ishara ya mgawanyiko: /
Ingizo:
Matokeo: \(-\frac(2)(3)\)
Sehemu nzima imetenganishwa na sehemu na ishara ya ampersand: &
Ingizo:
Matokeo: \(-1\frac(2)(3)\)
Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...
Kama wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.
Michezo yetu, puzzles, emulators:
Nadharia kidogo.
Mlolongo wa nambari
KATIKA mazoezi ya kila siku nambari hutumiwa mara nyingi vitu mbalimbali ili kuonyesha mpangilio ambao zinaonekana. Kwa mfano, nyumba katika kila barabara zimehesabiwa. Katika maktaba, usajili wa wasomaji huhesabiwa na kisha kupangwa kwa utaratibu wa nambari zilizowekwa katika faili maalum za kadi.
Katika benki ya akiba, kwa kutumia nambari ya akaunti ya kibinafsi ya mweka hazina, unaweza kupata akaunti hii kwa urahisi na kuona ni amana gani iliyo juu yake. Hebu akaunti Nambari 1 iwe na amana ya rubles a1, akaunti Nambari 2 ina amana ya rubles a2, nk Inageuka. mlolongo wa nambari
a 1, a 2, a 3, ..., a N
ambapo N ni nambari ya akaunti zote. Hapa, kila nambari asilia n kutoka 1 hadi N inahusishwa na nambari n.
Pia alisoma katika hisabati mlolongo wa nambari usio na kikomo:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Nambari 1 inaitwa awamu ya kwanza ya mlolongo, nambari 2 - muhula wa pili wa mlolongo, nambari 3 - awamu ya tatu ya mlolongo na kadhalika.
Nambari n inaitwa nth (nth) mwanachama wa mlolongo, na nambari asilia n ni yake nambari.
Kwa mfano, katika mlolongo wa mraba wa nambari za asili 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... na 1 = 1 ni muda wa kwanza wa mlolongo; na n = n 2 ni muhula wa nth mifuatano; a n+1 = (n + 1) 2 ni neno la (n + 1)th (n pamoja na la kwanza) la mfuatano. Mara nyingi mlolongo unaweza kubainishwa na fomula ya neno lake la nth. Kwa mfano, fomula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \katika \mathbb(N) \) inafafanua mfuatano \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \vidoti,\frac(1)(n) , \vidoti \)
Maendeleo ya hesabu
Urefu wa mwaka ni takriban siku 365. Zaidi thamani halisi ni sawa na \(365\frac(1)(4)\) siku, hivyo kila baada ya miaka minne kosa la siku moja hujilimbikiza.
Ili kuhesabu kosa hili, siku huongezwa kwa kila mwaka wa nne, na mwaka uliopanuliwa unaitwa mwaka wa kurukaruka.
Kwa mfano, katika milenia ya tatu miaka mirefu ni miaka ya 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Katika mlolongo huu, kila mwanachama, kuanzia pili, ni sawa na uliopita, aliongeza kwa idadi sawa 4. Mlolongo huo huitwa. maendeleo ya hesabu.
Ufafanuzi.
Mlolongo wa nambari 1, 2, 3, ..., n, ... inaitwa maendeleo ya hesabu, ikiwa kwa yote ya asili n usawa
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ambapo d ni nambari fulani.
Kutoka kwa fomula hii inafuata kwamba n+1 - a n = d. Nambari D inaitwa tofauti maendeleo ya hesabu.
Kwa ufafanuzi wa maendeleo ya hesabu tunayo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
wapi
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ambapo \(n>1 \)
Kwa hivyo, kila neno la maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na maana ya hesabu ya maneno yake mawili yaliyo karibu. Hii inaelezea maendeleo ya jina "hesabu".
Kumbuka kwamba ikiwa 1 na d hutolewa, basi masharti yaliyobaki ya maendeleo ya hesabu yanaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya kawaida n+1 = a n + d. Kwa njia hii si vigumu kuhesabu masharti machache ya kwanza ya maendeleo, hata hivyo, kwa mfano, 100 tayari itahitaji mahesabu mengi. Kwa kawaida, fomula ya neno la nth hutumiwa kwa hili. Kwa ufafanuzi wa maendeleo ya hesabu
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
na kadhalika.
Hata kidogo,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kwa sababu muhula wa nth maendeleo ya hesabu hupatikana kutoka kwa muhula wa kwanza kwa kuongeza (n-1) mara nambari d.
Fomula hii inaitwa fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu.
Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu
Pata jumla ya nambari zote asilia kutoka 1 hadi 100.
Hebu tuandike kiasi hiki kwa njia mbili:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Wacha tuongeze usawa huu kwa muhula:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Jumla hii ina masharti 100
Kwa hiyo, 2S = 101 * 100, kwa hiyo S = 101 * 50 = 5050.
Wacha sasa tuzingatie maendeleo ya hesabu ya kiholela
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Wacha S n iwe jumla ya masharti n ya kwanza ya mwendelezo huu:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Kisha jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu ni sawa na
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Kwa kuwa \(a_n=a_1+(n-1)d\), kisha kuchukua nafasi ya n katika fomula hii tunapata fomula nyingine ya kutafuta jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)