T. Kosyakova,
Shule Nambari 80, Krasnodar

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya robo na ya sehemu iliyo na vigezo

Somo la 4

Mada ya somo:

Kusudi la somo: kukuza uwezo wa kutatua milinganyo ya kimantiki iliyo na vigezo.

Aina ya somo: kuanzishwa kwa nyenzo mpya.

1. (Kwa mdomo) Tatua milinganyo:

Mfano 1. Tatua mlinganyo

Suluhisho.

Hebu tutafute maadili batili a:

Jibu. Kama Kama a = – 19 , basi hakuna mizizi.

Mfano 2. Tatua mlinganyo

Suluhisho.

Hebu tutafute thamani za parameta zisizo sahihi a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Jibu. Kama a = 5 a № 5 , Hiyo x=10– a .

Mfano 3. Kwa maadili gani ya parameta b mlinganyo Ina:

a) mizizi miwili; b) mzizi pekee?

Suluhisho.

1) Tafuta thamani za kigezo zisizo sahihi b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 au b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 au b = – 2.

2) Tatua mlinganyo x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

A)

Haijumuishi thamani za vigezo zisizo sahihi b , tunaona kwamba equation ina mizizi miwili ikiwa b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, lakini hii ni thamani ya kigezo batili b ; Kama b 2 –1=0 , i.e. b=1 au.

Jibu: a) ikiwa b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , kisha mizizi miwili; b) ikiwa b=1 au b=–1 , basi mzizi pekee.

Kazi ya kujitegemea

Chaguo 1

Tatua milinganyo:

Chaguo la 2

Tatua milinganyo:

Majibu

KATIKA 1. na kama a=3 , basi hakuna mizizi; Kama b) ikiwa a № 2 , basi hakuna mizizi.

SAA 2. Kama a=2 , basi hakuna mizizi; Kama a=0 , basi hakuna mizizi; Kama
b) ikiwa a=– 1 , basi equation inakuwa haina maana; ikiwa hakuna mizizi;
Kama

Kazi ya nyumbani.

Tatua milinganyo:

Majibu: a) Kama a № –2 , Hiyo x= a ; Kama a=–2 , basi hakuna ufumbuzi; b) ikiwa a № –2 , Hiyo x=2; Kama a=–2 , basi hakuna ufumbuzi; c) ikiwa a=–2 , Hiyo x- nambari yoyote isipokuwa 3 ; Kama a № –2 , Hiyo x=2; d) ikiwa a=–8 , basi hakuna mizizi; Kama a=2 , basi hakuna mizizi; Kama

Somo la 5

Mada ya somo:"Kutatua milinganyo ya kimantiki iliyo na vigezo."

Malengo ya somo:

mafunzo katika kutatua equations na hali zisizo za kawaida;
unyambulishaji fahamu na wanafunzi wa dhana za aljebra na miunganisho kati yao.

Aina ya somo: utaratibu na jumla.

Kuangalia kazi ya nyumbani.

Mfano 1. Tatua mlinganyo

a) jamaa na x; b) jamaa na y.

Suluhisho.

a) Tafuta thamani zisizo sahihi y: y=0, x=y, y 2 =y 2 -2y,

y=0- thamani ya kigezo batili y.

Kama y№ 0 , Hiyo x=y–2; Kama y=0, basi equation inakuwa haina maana.

b) Tafuta thamani za kigezo zisizo sahihi x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- thamani ya kigezo batili x; y(2+x–y)=0, y=0 au y=2+x;

y=0 haikidhi hali y(y-x)№ 0 .

Jibu: a) ikiwa y=0, basi equation inakuwa haina maana; Kama y№ 0 , Hiyo x=y–2; b) ikiwa x=0 x№ 0 , Hiyo y=2+x .

Mfano 2. Kwa maadili gani kamili ya parameta a ndio mizizi ya equation ni ya muda

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kama a № 0 au a № – 1 , Hiyo

Jibu: 5 .

Mfano 3. Tafuta kiasi x suluhu kamili za mlinganyo

Jibu. Kama y=0, basi equation haina maana; Kama y=–1, Hiyo x- nambari yoyote isipokuwa sifuri; Kama y№ 0, y№ - 1, basi hakuna masuluhisho.

Mfano 4. Tatua mlinganyo na vigezo a Na b .

Kama a№ -b , Hiyo

Jibu. Kama a= 0 au b= 0 , basi equation inakuwa haina maana; Kama a№ 0, b№ 0, a=–b , Hiyo x- nambari yoyote isipokuwa sifuri; Kama a№ 0, b№ 0, a№ -b, Hiyo x=–a, x=–b .

Mfano 5. Thibitisha kwamba kwa thamani yoyote ya kigezo n zaidi ya sifuri, mlinganyo ina mzizi mmoja sawa na -n .

Suluhisho.

yaani x=–n, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kazi ya nyumbani.

1. Tafuta suluhu kamili za mlingano

2. Kwa maadili gani ya parameter c mlinganyo Ina:
a) mizizi miwili; b) mzizi pekee?

3. Pata mizizi yote kamili ya equation Kama a KUHUSU N .

4. Tatua mlinganyo 3xy - 5x + 5y = 7: a) kiasi y; b) kiasi x .

1. Mlinganyo huo unatoshelezwa na nambari zozote kamili sawa za x na y isipokuwa sifuri.
2. a) Wakati
b) saa au
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ikiwa basi hakuna mizizi; Kama
b) ikiwa basi hakuna mizizi; Kama

Mtihani

Chaguo 1

1. Tambua aina ya mlinganyo 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 wakati: a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Tatua milinganyo: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Tatua mlinganyo 3x–xy–2y=1:

a) kiasi x ;
b) kiasi y .

nx 2 – 26x + n = 0, kujua kuwa parameta n inakubali nambari kamili pekee.

5. Ni kwa maadili gani ya b hufanya equation Ina:

a) mizizi miwili;
b) mzizi pekee?

Chaguo la 2

1. Tambua aina ya mlinganyo 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 wakati: a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Tatua milinganyo: a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 -8y+2=0 ; V)

3. Tatua mlinganyo 6x–xy+2y=5:

a) kiasi x ;
b) kiasi y .

4. Pata mizizi kamili ya equation nx 2 –22x+2n=0 , kujua kuwa parameta n inakubali nambari kamili pekee.

5. Ni kwa maadili gani ya parameta a hufanya equation Ina:

a) mizizi miwili;
b) mzizi pekee?

Majibu

KATIKA 1. 1. a) Mlingano wa mstari;
b) haijakamilika mlinganyo wa quadratic; c) mlingano wa quadratic.
2. a) Kama b=0, Hiyo x=0; Kama b№ 0, Hiyo x=0, x=b;
b) Kama cО (9;+Ґ), basi hakuna mizizi;
c) ikiwa a=–4 , basi equation inakuwa haina maana; Kama a№ –4 , Hiyo x=– a .
3. a) Kama y=3, basi hakuna mizizi; Kama);
b) a=–3, a=1.

Kazi za ziada

Tatua milinganyo:

Fasihi

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Kuhusu vigezo tangu mwanzo. – Mkufunzi, No. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Masharti muhimu katika matatizo na vigezo. - Kvant, No. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Kutatua tatizo zenye vigezo. Sehemu ya 2. - M., Mtazamo, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Shida mia tano na kumi na nne na vigezo. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Matatizo na vigezo. - M., Elimu, 1986.

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu

Mwongozo wa Marejeleo

Milinganyo ya kimantiki ni milinganyo ambapo pande zote mbili za kushoto na kulia ni semi za busara.

(Kumbuka: misemo yenye mantiki ni maneno kamili na ya sehemu bila radikali, ikijumuisha utendakazi wa kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya - kwa mfano: 6x; (m – n)2; x/3y, n.k.)

Milinganyo ya kimantiki kwa kawaida hupunguzwa kuwa fomu:

Wapi P(x) Na Q(x) ni polynomials.

Ili kutatua milinganyo kama hii, zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa Q(x), ambayo inaweza kusababisha kuonekana kwa mizizi ya nje. Kwa hivyo, wakati wa kutatua hesabu za busara za sehemu, ni muhimu kuangalia mizizi iliyopatikana.

Mlinganyo wa kimantiki huitwa nzima, au aljebra, ikiwa haugawanyi kwa usemi ulio na kigezo.

Mifano ya equation nzima ya busara:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
- = 2x - 10
4

Ikiwa katika mlinganyo wa kimantiki kuna mgawanyiko kwa usemi ulio na kigezo (x), basi mlinganyo huo unaitwa busara ya sehemu.

Mfano wa mlingano wa kimantiki wa sehemu:

15
x + - = 5x - 17
x

Milinganyo ya kimantiki kwa kawaida hutatuliwa kama ifuatavyo:

1) pata dhehebu la kawaida la sehemu na kuzidisha pande zote mbili za equation nayo;

2) kutatua equation nzima inayosababisha;

3) kuwatenga kutoka kwa mizizi yake wale ambao hupunguza denominator ya kawaida ya sehemu hadi sifuri.

Mifano ya utatuzi wa milinganyo kamili na ya sehemu.

Mfano 1. Wacha tusuluhishe mlinganyo mzima

x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Suluhisho:

Kutafuta dhehebu la chini kabisa la kawaida. Hii ni 6. Gawanya 6 kwa denominator na kuzidisha matokeo yanayotokana na nambari ya kila sehemu. Tunapata equation sawa na hii:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Kwa sababu upande wa kushoto na kulia dhehebu sawa, inaweza kuachwa. Kisha tunapata equation rahisi zaidi:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Tunatatua kwa kufungua mabano na kuchanganya maneno sawa:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Mfano unatatuliwa.

Mfano 2. Tatua mlinganyo wa kimantiki wa sehemu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x (x - 5)

Kutafuta dhehebu la kawaida. Hii ni x(x - 5). Kwa hivyo:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sasa tunaondoa dhehebu tena, kwani ni sawa kwa misemo yote. Tunapunguza maneno sawa, kusawazisha equation hadi sifuri na kupata equation ya quadratic:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Baada ya kusuluhisha mlingano wa quadratic, tunapata mizizi yake: -2 na 5.

Wacha tuangalie ikiwa nambari hizi ndio mizizi ya mlinganyo wa asili.

Katika x = -2, denominator ya kawaida x(x - 5) haipotei. Hii ina maana -2 ni mzizi wa mlingano wa awali.

Katika x = 5, denominator ya kawaida huenda kwa sifuri, na maneno mawili kati ya matatu hayana maana. Hii inamaanisha kuwa nambari 5 sio mzizi wa mlinganyo wa asili.

Jibu: x = -2

Mifano zaidi

Mfano 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Jibu: -2,2;6.

Mfano 2.

Malengo ya somo:

Kielimu:

• malezi ya dhana ya milinganyo ya kimantiki ya sehemu;
• fikiria njia mbalimbali za kutatua equations za busara za sehemu;
• fikiria algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, pamoja na hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri;
• fundisha utatuzi wa milinganyo ya kimantiki kwa kutumia algorithm;
• kuangalia kiwango cha umilisi wa mada kwa kufanya mtihani.

Maendeleo:

• kukuza uwezo wa kufanya kazi kwa usahihi na maarifa yaliyopatikana na kufikiria kimantiki;
• maendeleo ya ujuzi wa kiakili na shughuli za akili - uchambuzi, awali, kulinganisha na jumla;
• maendeleo ya mpango, uwezo wa kufanya maamuzi, na sio kuacha hapo;
• maendeleo ya fikra muhimu;
• maendeleo ya ujuzi wa utafiti.

Kuelimisha:

• kukuza hamu ya utambuzi katika somo;
• kukuza uhuru katika kutatua matatizo ya elimu;
• kulea nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho.

Aina ya somo: somo - maelezo ya nyenzo mpya.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Habari zenu! Kuna milinganyo imeandikwa kwenye ubao, waangalie kwa makini. Je, unaweza kutatua milinganyo hii yote? Ni zipi hazipo na kwa nini?

Milinganyo ambapo pande za kushoto na kulia ni misemo ya kimantiki ya sehemu huitwa milinganyo ya kimantiki ya kimantiki. Unafikiri tutasoma nini darasani leo? Tengeneza mada ya somo. Kwa hivyo, fungua daftari zako na uandike mada ya somo "Kutatua hesabu za busara za sehemu."

2. Kusasisha maarifa. Utafiti wa mbele, kazi ya mdomo na darasa.

Na sasa tutarudia nyenzo kuu za kinadharia ambazo tunahitaji kusoma mada mpya. Tafadhali jibu maswali yafuatayo:

1. Mlinganyo ni nini? ( Usawa na kigeu au vigeu.)
2. Jina la nambari ya equation 1 ni nini? ( Linear.) Suluhisho milinganyo ya mstari. (Sogeza kila kitu na kisichojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, nambari zote kulia. Toa masharti yanayofanana. Tafuta sababu isiyojulikana).
3. Jina la nambari ya equation 3 ni nini? ( Mraba.) Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic. ( Kutenga mraba kamili kwa kutumia fomula kwa kutumia nadharia ya Vieta na mifuatano yake.)
4. Uwiano ni nini? ( Usawa wa uwiano mbili.) Mali kuu ya uwiano. ( Ikiwa uwiano ni sahihi, basi bidhaa ya masharti yake kali ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.)
5. Ni mali gani hutumika wakati wa kutatua equations? ( 1. Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na moja iliyotolewa. 2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa..)
6. Ni wakati gani sehemu inalingana na sifuri? ( Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sifuri na denominator sio sifuri..)

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Tatua mlingano wa 2 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 10.

Ni mlinganyo gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kutatua kwa kutumia mali ya msingi ya uwiano? (Na. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Tatua mlingano wa 4 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 1,5.

Ni mlingano gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kusuluhisha kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa kihesabu? (Na. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jibu: 3;4.

Sasa jaribu kutatua equation namba 7 kwa kutumia mojawapo ya njia zifuatazo.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Jibu: 0;5;-2.			Jibu: 5;-2.

Eleza kwa nini hii ilitokea? Kwa nini kuna mizizi mitatu katika kesi moja na mbili katika nyingine? Je, ni nambari zipi asili za mlingano huu wa kimantiki wa sehemu?

Hadi sasa, wanafunzi hawajakutana na dhana ya mzizi wa nje; kwa kweli ni vigumu sana kwao kuelewa kwa nini hii ilitokea. Ikiwa hakuna mtu katika darasa anayeweza kutoa maelezo ya wazi ya hali hii, basi mwalimu anauliza maswali ya kuongoza.

• Je, milinganyo Nambari 2 na 4 inatofautianaje na milinganyo Nambari 5,6,7? ( Katika milinganyo Nambari 2 na 4 kuna nambari katika dhehebu, Nambari 5-7 ni misemo yenye kutofautiana..)
• Nini mzizi wa equation? ( Thamani ya kigezo ambapo mlinganyo huwa kweli.)
• Jinsi ya kujua ikiwa nambari ndio mzizi wa equation? ( Fanya hundi.)

Wakati wa kupima, baadhi ya wanafunzi wanaona kwamba wanapaswa kugawanya kwa sifuri. Wanahitimisha kuwa nambari 0 na 5 sio mizizi ya mlingano huu. Swali linatokea: je, kuna njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki ambayo inaruhusu sisi kuondoa kosa hili? Ndiyo, njia hii inategemea hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ikiwa x=5, basi x(x-5)=0, ambayo ina maana 5 ni mzizi wa nje.

Ikiwa x=-2, basi x(x-5)≠0.

Jibu: -2.

Wacha tujaribu kuunda algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki kwa njia hii. Watoto huunda algorithm wenyewe.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:

1. Hoja kila kitu kwa upande wa kushoto.
2. Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.
3. Unda mfumo: sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri.
4. Tatua mlinganyo.
5. Angalia usawa ili kuwatenga mizizi ya nje.
6. Andika jibu.

Majadiliano: jinsi ya kurasimisha suluhisho ikiwa unatumia mali ya msingi ya uwiano na kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida. (Ongeza kwenye suluhisho: ondoa kutoka kwa mizizi yake wale wanaofanya denominator ya kawaida kutoweka).

4. Uelewa wa awali wa nyenzo mpya.

Fanya kazi kwa jozi. Wanafunzi huchagua jinsi ya kutatua mlingano wenyewe kulingana na aina ya mlingano. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b,c,i); Nambari 601(a,e,g). Mwalimu anafuatilia kukamilika kwa kazi, anajibu maswali yoyote yanayotokea, na hutoa msaada kwa wanafunzi wa chini. Kujijaribu: majibu yameandikwa ubaoni.

b) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 3.

c) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 1.5.

a) Jibu: -12.5.

g) Jibu: 1;1.5.

5. Kuweka kazi ya nyumbani.

1. Soma fungu la 25 kutoka kwenye kitabu, chunguza mifano 1-3.
2. Jifunze algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu.
3. Tatua katika daftari No. 600 (a, d, e); Nambari 601(g,h).
4. Jaribu kutatua Nambari 696 (a) (hiari).

6. Kukamilisha kazi ya udhibiti kwenye mada iliyosomwa.

Kazi hiyo inafanywa kwenye vipande vya karatasi.

Kazi ya mfano:

A) Ni ipi kati ya milinganyo yenye mantiki ya sehemu?

B) Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni _______________________ na denomineta ni ___________________________________.

Q) Je, nambari -3 ndio mzizi wa nambari ya mlinganyo 6?

D) Tatua mlingano wa 7.

Vigezo vya tathmini ya kazi:

• "5" inatolewa ikiwa mwanafunzi alikamilisha zaidi ya 90% ya kazi kwa usahihi.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" hutolewa kwa mwanafunzi ambaye amekamilisha chini ya 50% ya kazi.
• Ukadiriaji wa 2 haujatolewa kwenye jarida, 3 ni hiari.

7. Tafakari.

Kwenye karatasi za kujitegemea, andika:

• 1 - ikiwa somo lilikuwa la kuvutia na linaeleweka kwako;
• 2 - kuvutia, lakini si wazi;
• 3 - sio ya kuvutia, lakini inaeleweka;
• 4 - sio ya kuvutia, sio wazi.

8. Kufanya muhtasari wa somo.

Kwa hivyo, leo katika somo tulifahamiana na hesabu za busara za sehemu, tulijifunza jinsi ya kutatua hesabu hizi. njia tofauti, walijaribu ujuzi wao kwa msaada wa mafunzo kazi ya kujitegemea. Utajifunza matokeo ya kazi yako ya kujitegemea katika somo linalofuata, na nyumbani utakuwa na fursa ya kuunganisha ujuzi wako.

Ni njia gani ya kusuluhisha milinganyo ya kimantiki, kwa maoni yako, ni rahisi, inayofikika zaidi, na yenye mantiki zaidi? Bila kujali njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki, unapaswa kukumbuka nini? Ni nini "ujanja" wa milinganyo ya kimantiki ya sehemu?

Asante kila mtu, somo limekwisha.

Kutatua milinganyo na sehemu Hebu tuangalie mifano. Mifano ni rahisi na ya kielelezo. Kwa msaada wao, utaweza kuelewa kwa njia inayoeleweka zaidi.
Kwa mfano, unahitaji kutatua equation rahisi x/b + c = d.

Equation ya aina hii inaitwa linear, kwa sababu Denominator ina nambari pekee.

Suluhisho linafanywa kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na b, kisha usawa huchukua fomu x = b * (d - c), i.e. denominator ya sehemu upande wa kushoto inaghairi.

Kwa mfano, jinsi ya kutatua mlinganyo wa sehemu:
x/5+4=9
Tunazidisha pande zote mbili kwa 5. Tunapata:
x+20=45
x=45-20=25

Mfano mwingine wakati haijulikani iko kwenye dhehebu:

Milinganyo ya aina hii inaitwa sehemu-ya kimantiki au ya sehemu tu.

Tungesuluhisha equation ya sehemu kwa kuondoa sehemu, baada ya hapo equation hii, mara nyingi, inabadilika kuwa equation ya mstari au quadratic, ambayo inaweza kutatuliwa. kwa njia ya kawaida. Unahitaji tu kuzingatia pointi zifuatazo:

• thamani ya kigezo kinachogeuza dhehebu hadi 0 haiwezi kuwa mzizi;
• Huwezi kugawanya au kuzidisha mlinganyo kwa usemi =0.

Hapa ndipo dhana ya eneo inapotumika. maadili yanayokubalika(ODZ) ni maadili kama haya ya mizizi ya equation ambayo equation inaeleweka.

Kwa hivyo, wakati wa kutatua equation, ni muhimu kupata mizizi, na kisha uangalie kwa kufuata ODZ. Mizizi hiyo ambayo hailingani na ODZ yetu imetengwa na jibu.

Kwa mfano, unahitaji kutatua equation ya sehemu:

Kulingana na kanuni hapo juu, x haiwezi kuwa = 0, i.e. ODZ ndani kwa kesi hii: x - thamani yoyote isipokuwa sifuri.

Tunaondoa dhehebu kwa kuzidisha masharti yote ya equation na x

Na tunatatua equation ya kawaida

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Jibu: x = 1/3

Wacha tusuluhishe equation ngumu zaidi:

ODZ pia ipo hapa: x -2.

Wakati wa kutatua equation hii, hatutasonga kila kitu kwa upande mmoja na kuleta sehemu kwa dhehebu la kawaida. Mara moja tutazidisha pande zote mbili za mlingano kwa usemi ambao utaghairi madhehebu yote mara moja.

Ili kupunguza madhehebu, unahitaji kuzidisha upande wa kushoto kwa x+2, na upande wa kulia na 2. Hii ina maana kwamba pande zote mbili za equation lazima ziongezwe na 2(x+2):

Hii ndio kuzidisha kwa kawaida kwa sehemu, ambayo tumejadili hapo juu.

Wacha tuandike equation sawa, lakini tofauti kidogo

Upande wa kushoto umepunguzwa na (x+2), na kulia kwa 2. Baada ya kupunguzwa, tunapata equation ya kawaida ya mstari:

x = 4 - 2 = 2, ambayo inafanana na ODZ yetu

Jibu: x = 2.

Kutatua milinganyo na sehemu sio ngumu kama inavyoweza kuonekana. Katika makala hii tumeonyesha hili kwa mifano. Ikiwa una shida yoyote na jinsi ya kutatua milinganyo na sehemu, kisha ujiondoe kwenye maoni.

§ Milinganyo 1 kamili na ya kimantiki

Katika somo hili tutaangalia dhana kama vile mlingano wa kimantiki, usemi wa kimantiki, usemi mzima, usemi wa sehemu. Wacha tufikirie kusuluhisha milinganyo ya busara.

Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo ambapo pande za kushoto na kulia ni semi za kimantiki.

Maneno ya busara ni:

Sehemu.

Usemi kamili huundwa na nambari, vigeu, nguvu kamili kwa kutumia utendakazi wa kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya kwa nambari tofauti na sifuri.

Kwa mfano:

KATIKA maneno ya sehemu kuna mgawanyiko kwa kutofautiana au kujieleza kwa kutofautiana. Kwa mfano:

Usemi wa sehemu haileti maana kwa maadili yote ya anuwai iliyojumuishwa ndani yake. Kwa mfano, usemi

saa x = -9 haina maana, kwa kuwa saa x = -9 denominator huenda kwa sifuri.

Hii ina maana kwamba mlinganyo wa kimantiki unaweza kuwa kamili au sehemu.

Mlinganyo mzima wa kimantiki ni mlingano wa kimantiki ambapo pande za kushoto na kulia ni usemi mzima.

Kwa mfano:

Mlinganyo wa kimantiki wa kimantiki ni mlinganyo wa kimantiki ambapo pande za kushoto au kulia ni vielezi vya sehemu.

Kwa mfano:

§ 2 Suluhisho la mlingano mzima wa kimantiki

Wacha tuangalie suluhisho la equation nzima ya busara.

Kwa mfano:

Wacha tuzidishe pande zote mbili za equation kwa dhehebu la kawaida zaidi la sehemu za sehemu zilizojumuishwa ndani yake.

Kwa hii; kwa hili:

1. pata dhehebu la kawaida kwa madhehebu 2, 3, 6. Ni sawa na 6;

2. pata kipengele cha ziada kwa kila sehemu. Ili kufanya hivyo, gawanya dhehebu la kawaida 6 kwa kila denominator

sababu ya ziada kwa sehemu

sababu ya ziada kwa sehemu

3. kuzidisha nambari za sehemu kwa sababu zao za ziada zinazolingana. Kwa hivyo, tunapata equation

ambayo ni sawa na mlinganyo uliotolewa

Upande wa kushoto tutafungua mabano, upande wa kulia Wacha tuisogeze upande wa kushoto, tukibadilisha ishara ya neno wakati wa kuihamisha hadi nyingine.

Wacha tulete masharti sawa ya polynomial na tupate

Tunaona kwamba equation ni ya mstari.

Baada ya kuitatua, tunapata kwamba x = 0.5.

§ 3 Suluhisho la mlingano wa kimantiki wa sehemu

Wacha tuzingatie kusuluhisha mlinganyo wa kimantiki wa sehemu.

Kwa mfano:

1.Zidisha pande zote mbili za mlingano kwa kikokoteo cha chini kabisa cha kawaida cha visehemu vya kimantiki vilivyojumuishwa ndani yake.

Wacha tupate dhehebu la kawaida la madhehebu x + 7 na x - 1.

Ni sawa na bidhaa zao (x + 7) (x - 1).

2. Wacha tupate sababu ya ziada kwa kila sehemu ya busara.

Ili kufanya hivyo, gawanya dhehebu la kawaida (x + 7) (x - 1) kwa kila denominator. Sababu ya ziada kwa sehemu

sawa na x - 1,

sababu ya ziada kwa sehemu

sawa na x+7.

3. Zidisha nambari za sehemu kwa vipengele vyake vya ziada vinavyolingana.

Tunapata mlinganyo (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), ambayo ni sawa na mlinganyo huu.

4. Zidisha binomial kwa binomial upande wa kushoto na kulia na upate mlinganyo ufuatao.

5. Tunasonga upande wa kulia kwenda kushoto, kubadilisha ishara ya kila neno wakati wa kuhamisha kinyume chake:

6. Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana za polynomial:

7. Pande zote mbili zinaweza kugawanywa na -1. Tunapata equation ya quadratic:

8. Baada ya kutatua, tutapata mizizi

Tangu katika Eq.

pande za kushoto na kulia ni misemo ya sehemu, na kwa misemo ya sehemu, kwa maadili fulani ya anuwai, dhehebu inaweza kuwa sifuri, basi ni muhimu kuangalia ikiwa dhehebu la kawaida haliendi kwa sifuri wakati x1 na x2 zinapatikana. .

Katika x = -27, denominator ya kawaida (x + 7) (x - 1) haipotei; saa x = -1, denominator ya kawaida pia si sifuri.

Kwa hiyo, mizizi yote -27 na -1 ni mizizi ya equation.

Wakati wa kutatua equation ya busara ya sehemu, ni bora kuonyesha mara moja anuwai ya maadili yanayokubalika. Ondoa maadili ambayo dhehebu la kawaida huenda hadi sifuri.

Wacha tuchunguze mfano mwingine wa kusuluhisha mlinganyo wa kimantiki wa sehemu.

Kwa mfano, hebu tutatue equation

Tunazingatia dhehebu la sehemu upande wa kulia wa equation

Tunapata equation

Wacha tupate dhehebu la kawaida kwa madhehebu (x - 5), x, x (x - 5).

Itakuwa usemi x(x - 5).

Sasa hebu tupate anuwai ya maadili yanayokubalika ya equation

Ili kufanya hivyo, tunalinganisha dhehebu la kawaida kwa sifuri x (x - 5) = 0.

Tunapata equation, kutatua ambayo tunapata kwamba kwa x = 0 au kwa x = 5 denominator ya kawaida huenda kwa sifuri.

Hii ina maana kwamba x = 0 au x = 5 haiwezi kuwa mizizi ya equation yetu.

Vizidishi vya ziada sasa vinaweza kupatikana.

Sababu ya ziada kwa sehemu za busara

sababu ya ziada kwa sehemu

itakuwa (x - 5),

na kipengele cha ziada cha sehemu

Tunazidisha nambari kwa sababu za ziada zinazolingana.

Tunapata equation x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).

Wacha tufungue mabano upande wa kushoto na kulia, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Wacha tuhamishe masharti kutoka kulia kwenda kushoto, tukibadilisha ishara ya maneno yaliyohamishwa:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Na baada ya kuleta wanachama sawa tunapata equation ya quadratic x2 - 3x - 10 = 0. Baada ya kutatua, tunapata mizizi x1 = -2; x2 = 5.

Lakini tayari tumegundua kuwa saa x = 5 denominator ya kawaida x(x - 5) huenda hadi sifuri. Kwa hiyo, mzizi wa equation yetu

itakuwa x = -2.

§ 4 Muhtasari mfupi wa somo

Muhimu kukumbuka:

Wakati wa kutatua milinganyo ya kimantiki, endelea kama ifuatavyo:

1. Tafuta dhehebu la kawaida la sehemu zilizojumuishwa kwenye mlinganyo. Kwa kuongezea, ikiwa dhehebu za sehemu zinaweza kuzingatiwa, basi ziangazie na kisha utafute dhehebu la kawaida.

2. Zidisha pande zote mbili za mlingano kwa kiashiria cha kawaida: tafuta vipengele vya ziada, zidisha nambari kwa vipengele vya ziada.

3.Tatua mlingano mzima unaotokana.

4. Ondoa kutoka kwenye mizizi yake wale ambao hufanya denominator ya kawaida kutoweka.

Orodha ya fasihi iliyotumika:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Iliyohaririwa na Telyakovsky S.A. Algebra: kitabu cha maandishi. kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi. - M.: Elimu, 2013.
2. Mordkovich A.G. Aljebra. Daraja la 8: Katika sehemu mbili. Sehemu ya 1: Kitabu cha maandishi. kwa elimu ya jumla taasisi. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Maendeleo ya somo katika aljebra: daraja la 8. - M.: VAKO, 2010.
4. Daraja la 8 la algebra: mipango ya somo kulingana na kitabu cha maandishi na Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Mwalimu, 2005.

Rudi