Kiwango cha kwanza

Milinganyo ya quadratic. Mwongozo wa kina (2019)

Katika neno "quadratic equation," neno kuu ni "quadratic." Hii ina maana kwamba mlinganyo lazima lazima uwe na kigezo (sawa x) cha mraba, na kusiwe na xes kwa nguvu ya tatu (au zaidi).

Suluhisho la equations nyingi linakuja kwa kusuluhisha haswa milinganyo ya quadratic.

Hebu tujifunze kubaini kuwa huu ni mlinganyo wa quadratic na sio mlinganyo mwingine.

Mfano 1.

Wacha tuondoe dhehebu na kuzidisha kila neno la equation kwa

Wacha tuhamishe kila kitu upande wa kushoto na kupanga masharti katika mpangilio wa kushuka wa nguvu za X

Sasa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba equation hii ni quadratic!

Mfano 2.

Zidisha pande za kushoto na kulia kwa:

Mlinganyo huu, ingawa awali ulikuwa ndani yake, sio wa quadratic!

Mfano 3.

Wacha tuzidishe kila kitu kwa:

Inatisha? Daraja la nne na la pili ... Hata hivyo, ikiwa tutafanya uingizwaji, tutaona kwamba tuna equation rahisi ya quadratic:

Mfano 4.

Inaonekana kuwa huko, lakini hebu tuangalie kwa karibu. Wacha tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto:

Tazama, imepunguzwa - na sasa ni equation rahisi ya mstari!

Sasa jaribu kujiamulia ni ipi kati ya milinganyo ifuatayo ni ya quadratic na ambayo sio:

Mifano:

Majibu:

1. mraba;
2. mraba;
3. si mraba;
4. si mraba;
5. si mraba;
6. mraba;
7. si mraba;
8. mraba.

Wanahisabati kawaida hugawanya hesabu zote za quadratic katika aina zifuatazo:

• Kamilisha milinganyo ya quadratic- equations ambayo coefficients na, pamoja na neno la bure c, si sawa na sifuri (kama katika mfano). Kwa kuongeza, kati ya equations kamili za quadratic kuna kupewa- hizi ni equations ambazo mgawo (equation kutoka kwa mfano moja sio kamili tu, lakini pia imepunguzwa!)

• Milinganyo ya quadratic isiyokamilika- milinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:

  Hazijakamilika kwa sababu zinakosa kipengele fulani. Lakini equation lazima iwe na x mraba kila wakati !!! Vinginevyo, haitakuwa tena equation ya quadratic, lakini equation nyingine.

Kwa nini walikuja na mgawanyiko huo? Inaweza kuonekana kuwa kuna X yenye mraba, na sawa. Mgawanyiko huu umedhamiriwa na njia za suluhisho. Hebu tuangalie kila mmoja wao kwa undani zaidi.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kwanza, hebu tuzingatie kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika - ni rahisi zaidi!

Kuna aina za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

1. , katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.
2. , katika mlingano huu neno huru ni sawa na.
3. , katika mlinganyo huu mgawo na neno huria ni sawa.

1. i. Kwa sababu tunajua jinsi ya kuchimba Kipeo, basi hebu tueleze kutoka kwa mlinganyo huu

Usemi huo unaweza kuwa hasi au chanya. Nambari ya mraba haiwezi kuwa mbaya, kwa sababu wakati wa kuzidisha nambari mbili hasi au mbili, matokeo yatakuwa daima nambari chanya, kwa hivyo: ikiwa, basi equation haina suluhisho.

Na ikiwa, basi tunapata mizizi miwili. Hakuna haja ya kukariri fomula hizi. Jambo kuu ni kwamba lazima ujue na kukumbuka daima kwamba haiwezi kuwa chini.

Hebu jaribu kutatua baadhi ya mifano.

Mfano 5:

Tatua mlinganyo

Sasa kinachobakia ni kutoa mzizi kutoka pande za kushoto na kulia. Baada ya yote, unakumbuka jinsi ya kuchimba mizizi?

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi !!!

Mfano 6:

Tatua mlinganyo

Jibu:

Mfano 7:

Tatua mlinganyo

Lo! Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi!

Kwa hesabu kama hizo ambazo hazina mizizi, wanahisabati walikuja na ikoni maalum - (seti tupu). Na jibu linaweza kuandikwa kama hii:

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili. Hakuna vikwazo hapa, kwani hatukuondoa mizizi.
Mfano 8:

Tatua mlinganyo

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Hivyo,

Equation hii ina mizizi miwili.

Jibu:

Aina rahisi zaidi ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika (ingawa zote ni rahisi, sivyo?). Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Tutatoa mifano hapa.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic

Tunakukumbusha kwamba equation kamili ya quadratic ni equation ya fomu ya equation ambapo

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic ni ngumu zaidi (kidogo tu) kuliko hizi.

Kumbuka, Equation yoyote ya quadratic inaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Njia zingine zitakusaidia kuifanya haraka, lakini ikiwa una shida na hesabu za quadratic, kwanza bwana suluhisho kwa kutumia kibaguzi.

1. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi.

Kutatua hesabu za quadratic kwa kutumia njia hii ni rahisi sana; jambo kuu ni kukumbuka mlolongo wa vitendo na fomula kadhaa.

Ikiwa, basi equation ina mizizi. Tahadhari maalum chukua hatua. Kibaguzi () hutuambia idadi ya mizizi ya mlinganyo.

• Ikiwa, basi formula katika hatua itapunguzwa. Kwa hivyo, equation itakuwa na mzizi tu.
• Ikiwa, basi hatutaweza kutoa mzizi wa kibaguzi katika hatua hiyo. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Wacha turudi kwenye milinganyo yetu na tuangalie mifano kadhaa.

Mfano 9:

Tatua mlinganyo

Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana kwamba equation ina mizizi miwili.

Hatua ya 3.

Jibu:

Mfano 10:

Tatua mlinganyo

Equation imewasilishwa kwa fomu ya kawaida, hivyo Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja.

Jibu:

Mfano 11:

Tatua mlinganyo

Equation imewasilishwa kwa fomu ya kawaida, hivyo Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana hatutaweza kung'oa mzizi wa kibaguzi. Hakuna mizizi ya equation.

Sasa tunajua jinsi ya kuandika majibu kama haya kwa usahihi.

Jibu: hakuna mizizi

2. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta.

Ikiwa unakumbuka, kuna aina ya equation inayoitwa kupunguzwa (wakati mgawo a ni sawa na):

Milinganyo kama hii ni rahisi sana kusuluhisha kwa kutumia nadharia ya Vieta:

Jumla ya mizizi kupewa equation ya quadratic ni sawa, na bidhaa ya mizizi ni sawa.

Mfano 12:

Tatua mlinganyo

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta kwa sababu .

Jumla ya mizizi ya equation ni sawa, i.e. tunapata equation ya kwanza:

Na bidhaa ni sawa na:

Wacha tuunde na tusuluhishe mfumo:

• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Jibu: ; .

Mfano 13:

Tatua mlinganyo

Jibu:

Mfano 14:

Tatua mlinganyo

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Jibu:

QUADRATIC EQUATIONS. KIWANGO CHA WASTANI

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Kwa maneno mengine, equation ya quadratic ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - idadi fulani, na.

Nambari inaitwa ya juu zaidi au mgawo wa kwanza mlinganyo wa quadratic, - mgawo wa pili, A - mwanachama huru.

Kwa nini? Kwa sababu ikiwa equation mara moja inakuwa ya mstari, kwa sababu itatoweka.

Katika kesi hii, na inaweza kuwa sawa na sifuri. Katika equation hii ya kiti inaitwa haijakamilika. Ikiwa masharti yote yamewekwa, yaani, equation imekamilika.

Suluhisho kwa aina mbalimbali za milinganyo ya quadratic

Njia za kutatua milinganyo isiyokamilika ya quadratic:

Kwanza, hebu tuangalie njia za kutatua equations zisizo kamili za quadratic - ni rahisi zaidi.

Tunaweza kutofautisha aina zifuatazo za equations:

I., katika mlinganyo huu mgawo na neno huru ni sawa.

II. , katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.

III. , katika mlingano huu neno huru ni sawa na.

Sasa hebu tuangalie suluhisho kwa kila aina ndogo hizi.

Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Nambari ya mraba haiwezi kuwa hasi, kwa sababu unapozidisha nambari mbili hasi au mbili, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati. Ndiyo maana:

ikiwa, basi equation haina ufumbuzi;

ikiwa tuna mizizi miwili

Hakuna haja ya kukariri fomula hizi. Jambo kuu kukumbuka ni kwamba haiwezi kuwa chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi!

Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi.

Ili kuandika kwa ufupi kwamba tatizo halina ufumbuzi, tunatumia ikoni ya kuweka tupu.

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi miwili: na.

Jibu:

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Hii inamaanisha kuwa equation ina suluhisho wakati:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili: na.

Mfano:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Wacha tuangalie upande wa kushoto wa equation na tupate mizizi:

Jibu:

Njia za kutatua hesabu kamili za quadratic:

1. Mbaguzi

Kutatua hesabu za quadratic kwa njia hii ni rahisi, jambo kuu ni kukumbuka mlolongo wa vitendo na fomula kadhaa. Kumbuka, mlinganyo wowote wa quadratic unaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Umeona mzizi kutoka kwa kibaguzi katika fomula ya mizizi? Lakini ubaguzi unaweza kuwa mbaya. Nini cha kufanya? Tunahitaji kulipa kipaumbele maalum kwa hatua ya 2. Mbaguzi anatuambia idadi ya mizizi ya equation.

• Ikiwa, basi equation ina mizizi:
• Ikiwa, basi equation ina mizizi sawa, na kwa kweli, mzizi mmoja:

  Mizizi kama hiyo inaitwa mizizi mara mbili.

• Ikiwa, basi mzizi wa kibaguzi haujatolewa. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Kwa nini inawezekana kiasi tofauti mizizi? Hebu tugeukie maana ya kijiometri mlinganyo wa quadratic. Grafu ya kazi ni parabola:

Katika kesi maalum, ambayo ni equation ya quadratic,. Hii ina maana kwamba mizizi ya equation ya quadratic ni pointi za makutano na mhimili wa abscissa (mhimili). Parabola inaweza isiingiliane na mhimili hata kidogo, au inaweza kuikata kwa moja (wakati kipeo cha parabola kiko kwenye mhimili) au pointi mbili.

Kwa kuongeza, mgawo ni wajibu wa mwelekeo wa matawi ya parabola. Ikiwa, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu, na ikiwa, basi chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Jibu:.

Jibu:

Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.

Jibu:.

2. Nadharia ya Vieta

Ni rahisi sana kutumia theorem ya Vieta: unahitaji tu kuchagua jozi ya nambari ambazo bidhaa ni sawa na muda wa bure wa equation, na jumla ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume.

Ni muhimu kukumbuka kuwa nadharia ya Vieta inaweza kutumika tu ndani milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa ().

Hebu tuangalie mifano michache:

Mfano #1:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta kwa sababu . Coefficients nyingine:; .

Jumla ya mizizi ya equation ni:

Na bidhaa ni sawa na:

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na tuangalie ikiwa jumla yao ni sawa:

• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa na;
• Na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Hivyo, na ni mizizi ya equation yetu.

Jibu:; .

Mfano #2:

Suluhisho:

Wacha tuchague jozi za nambari zinazotolewa kwenye bidhaa, kisha angalia ikiwa jumla yao ni sawa:

na: wanatoa kwa jumla.

na: wanatoa kwa jumla. Ili kupata, inatosha kubadilisha tu ishara za mizizi inayodhaniwa: na, baada ya yote, bidhaa.

Jibu:

Mfano #3:

Suluhisho:

Neno la bure la equation ni hasi, na kwa hiyo bidhaa ya mizizi ni nambari hasi. Hii inawezekana tu ikiwa moja ya mizizi ni hasi na nyingine ni chanya. Kwa hivyo jumla ya mizizi ni sawa na tofauti za moduli zao.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo hutoa katika bidhaa, na ambazo tofauti zake ni sawa na:

na: tofauti yao ni sawa - haifai;

na: - haifai;

na: - haifai;

na: - yanafaa. Yote iliyobaki ni kukumbuka kuwa moja ya mizizi ni hasi. Kwa kuwa jumla yao lazima iwe sawa, mzizi ulio na moduli ndogo lazima uwe hasi: . Tunaangalia:

Jibu:

Mfano #4:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Neno la bure ni hasi, na kwa hiyo bidhaa ya mizizi ni hasi. Na hii inawezekana tu wakati mzizi mmoja wa equation ni hasi na mwingine ni chanya.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa ni sawa, na kisha tuamue ni mizizi gani inapaswa kuwa na ishara mbaya:

Ni wazi, mizizi tu na inafaa kwa hali ya kwanza:

Jibu:

Mfano #5:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Jumla ya mizizi ni hasi, ambayo ina maana kwamba angalau moja ya mizizi ni hasi. Lakini kwa kuwa bidhaa zao ni chanya, inamaanisha kuwa mizizi yote miwili ina alama ya minus.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na:

Kwa wazi, mizizi ni nambari na.

Jibu:

Kukubaliana, ni rahisi sana kuja na mizizi kwa mdomo, badala ya kuhesabu ubaguzi huu mbaya. Jaribu kutumia nadharia ya Vieta mara nyingi iwezekanavyo.

Lakini nadharia ya Vieta inahitajika ili kuwezesha na kuharakisha kupata mizizi. Ili uweze kufaidika kwa kuitumia, lazima ulete vitendo kwa otomatiki. Na kwa hili, suluhisha mifano mitano zaidi. Lakini usidanganye: huwezi kutumia kibaguzi! Nadharia ya Vieta pekee:

Suluhisho la kazi kwa kazi ya kujitegemea:

Kazi ya 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Kulingana na nadharia ya Vieta:

Kama kawaida, tunaanza uteuzi na kipande:

Haifai kwa sababu kiasi;

: kiasi ni kile unachohitaji.

Jibu:; .

Jukumu la 2.

Na tena nadharia yetu tunayopenda ya Vieta: jumla lazima iwe sawa, na bidhaa lazima iwe sawa.

Lakini kwa kuwa ni lazima sio, lakini, tunabadilisha ishara za mizizi: na (kwa jumla).

Jibu:; .

Jukumu la 3.

Hmm... Hiyo iko wapi?

Unahitaji kuhamisha masharti yote katika sehemu moja:

Jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Sawa, acha! Mlinganyo haujatolewa. Lakini nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo uliyopewa. Kwa hivyo, kwanza unahitaji kutoa equation. Ikiwa huwezi kuongoza, toa wazo hili na uitatue kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi). Acha nikukumbushe kwamba kutoa mlinganyo wa quadratic inamaanisha kufanya mgawo unaoongoza kuwa sawa:

Kubwa. Kisha jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Hapa ni rahisi kuchagua pears kama makombora: baada ya yote, ni nambari kuu (samahani kwa tautology).

Jibu:; .

Jukumu la 4.

Mwanachama huru ni hasi. Nini maalum kuhusu hili? Na ukweli ni kwamba mizizi itakuwa na ishara tofauti. Na sasa, wakati wa uteuzi, hatuangalie jumla ya mizizi, lakini tofauti katika modules zao: tofauti hii ni sawa, lakini bidhaa.

Kwa hivyo, mizizi ni sawa na, lakini moja yao ni minus. Nadharia ya Vieta inatuambia kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, yaani. Hii ina maana kwamba mzizi mdogo utakuwa na minus: na, tangu.

Jibu:; .

Jukumu la 5.

Unapaswa kufanya nini kwanza? Hiyo ni kweli, toa equation:

Tena: tunachagua sababu za nambari, na tofauti zao zinapaswa kuwa sawa na:

Mizizi ni sawa na, lakini mmoja wao ni minus. Ambayo? Jumla yao inapaswa kuwa sawa, ambayo inamaanisha kuwa minus itakuwa na mzizi mkubwa.

Jibu:; .

Acha nifanye muhtasari:

1. Nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo ya quadratic iliyotolewa.
2. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, unaweza kupata mizizi kwa uteuzi, kwa mdomo.
3. Ikiwa equation haijatolewa au hakuna equation inayopatikana jozi inayofaa waongezaji wa neno la bure, ambayo inamaanisha kuwa hakuna mizizi nzima, na unahitaji kuisuluhisha kwa njia nyingine (kwa mfano, kupitia kibaguzi).

3. Njia ya kuchagua mraba kamili

Ikiwa maneno yote yaliyo na yasiyojulikana yanawakilishwa katika mfumo wa maneno kutoka kwa fomula zilizofupishwa za kuzidisha - mraba wa jumla au tofauti - kisha baada ya kuchukua nafasi ya vigeu, equation inaweza kuwasilishwa kwa namna ya equation ya quadratic isiyo kamili ya aina.

Kwa mfano:

Mfano 1:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

Mfano 2:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

KATIKA mtazamo wa jumla mabadiliko yataonekana kama hii:

Hii ina maana:.

Je, hukukumbusha chochote? Hili ni jambo la ubaguzi! Ndivyo tulivyopata fomula ya kibaguzi.

QUADRATIC EQUATIONS. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Mlinganyo wa Quadratic- hii ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - coefficients ya equation quadratic, - muda wa bure.

Mlinganyo kamili wa quadratic- equation ambayo coefficients si sawa na sifuri.

Ilipunguza equation ya quadratic- equation ambayo mgawo, yaani:.

Mlinganyo wa quadratic usio kamili- mlinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:

• ikiwa mgawo, equation inaonekana kama:,
• ikiwa kuna neno huru, equation ina fomu: ,
• ikiwa na, equation inaonekana kama: .

1. Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

1.1. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tueleze haijulikani:

2) Angalia ishara ya usemi:

• ikiwa, basi equation haina suluhu,
• ikiwa, basi equation ina mizizi miwili.

1.2. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:,

2) Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, equation ina mizizi miwili:

1.3. Mlinganyo usio kamili wa fomu ya quadratic, ambapo:

Mlinganyo huu daima huwa na mzizi mmoja tu:.

2. Algorithm ya kutatua milinganyo kamili ya quadratic ya fomu ambapo

2.1. Suluhisho kwa kutumia ubaguzi

1) Wacha tupunguze equation kwa mtazamo wa kawaida: ,

2) Wacha tuhesabu kibaguzi kwa kutumia formula: , ambayo inaonyesha idadi ya mizizi ya equation:

3) Tafuta mizizi ya equation:

• ikiwa, basi equation ina mizizi, ambayo hupatikana na formula:
• ikiwa, basi equation ina mzizi, ambayo hupatikana na formula:
• ikiwa, basi equation haina mizizi.

2.2. Suluhisho kwa kutumia nadharia ya Vieta

Jumla ya mizizi ya equation iliyopunguzwa ya quadratic (equation ya fomu ambapo) ni sawa, na bidhaa za mizizi ni sawa, i.e. , A.

2.3. Suluhisho kwa njia ya kuchagua mraba kamili

Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya

Njia 10 za Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Mkuu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mwalimu wa hisabati

kijiji cha Kopevo, 2007

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic

1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India

1.4 Milinganyo ya quadratic na al-Khorezmi

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII karne

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Hitimisho

Fasihi

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

Uhitaji wa kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili, nyuma katika nyakati za kale, ilisababishwa na haja ya kutatua matatizo yanayohusiana na kutafuta maeneo ya mashamba ya ardhi na. kazi za ardhini ya asili ya kijeshi, pamoja na maendeleo ya unajimu na hisabati yenyewe. Milinganyo ya quadratic inaweza kutatuliwa karibu 2000 BC. e. Wababeli.

Kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walifika katika kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana.

Licha ya ngazi ya juu maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla kutatua milinganyo ya quadratic.

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic.

Hesabu ya Diophantus haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.

Wakati wa kutunga milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhu.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Tatizo 11."Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa zao ni 96"

Sababu za Diophantus kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya shida inafuata kwamba nambari zinazohitajika si sawa, kwani ikiwa zingekuwa sawa, basi bidhaa zao hazitakuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya. nusu ya jumla yao, i.e. 10 + x, nyingine ni kidogo, i.e. ya 10. Tofauti kati yao 2x .

Kwa hivyo equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kutoka hapa x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni sawa na 12 , nyingine 8 . Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwani hisabati ya Kigiriki ilijua nambari chanya tu.

Ikiwa tutatatua shida hii kwa kuchagua nambari moja inayohitajika kama isiyojulikana, basi tutakuja kwenye suluhisho la equation.

y(20 -y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ni wazi kwamba kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).

1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India

Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla suluhu za milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa kwa fomu moja ya kisheria:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Katika equation (1), coefficients, isipokuwa A, pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.

Katika India ya kale, mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida. Kitabu kimojawapo cha zamani cha Wahindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Jinsi jua linavyozifunika nyota kwa mng’ao wake, ndivyo. mtu aliyejifunza hufunika utukufu wa mwingine katika makusanyiko maarufu kwa kupendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.

Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.

Tatizo 13.

"Kundi la nyani, na kumi na wawili karibu na mizabibu ...

Wakuu, baada ya kula, walifurahiya. Walianza kuruka, kunyongwa ...

Wapo kwenye mraba, sehemu ya nane.Kulikuwa na nyani wangapi?

Nilikuwa na furaha katika kusafisha. Niambie, katika pakiti hii?

Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kwamba mizizi ya equations ya quadratic ni ya thamani mbili (Mchoro 3).

Equation inayolingana na shida 13 ni:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara anaandika chini ya kivuli:

x 2 - 64x = -768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu hadi mraba, huongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kisha kupata:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Milinganyo ya quadratic katika al - Khorezmi

Katika maandishi ya aljebra ya al-Khorezmi, uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = c.

3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. ah = s.

4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na namba", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba," i.e. bx + c = shoka 2 .

Kwa al-Khorezmi, ambaye aliepuka matumizi ya nambari hasi, masharti ya kila hesabu hizi ni nyongeza na sio kupunguzwa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhu chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaweka njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabala. Maamuzi yake, bila shaka, hayapatani kabisa na yetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.

al-Khorezmi, kama wanahisabati wote kabla ya karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika shida maalum za vitendo haijalishi. Wakati wa kusuluhisha milinganyo kamili ya quadratic, al-Khorezmi huweka sheria za kuzitatua kwa kutumia mifano fulani ya nambari, na kisha uthibitisho wa kijiometri.

Tatizo 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (ikimaanisha mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).

Suluhisho la mwandishi huenda kama hii: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kilichobaki ni 4. Chukua mizizi kutoka 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5 , unapata 3, hii itakuwa mzizi unaohitajika. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.

Risala ya al-Khorezmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na kutoa fomula kwa suluhisho lao.

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII bb

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye mistari ya al-Khwarizmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Kiitaliano Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, nchi zote za Kiislamu na Ugiriki ya Kale, hutofautishwa kwa ukamilifu na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi alitengeneza kwa uhuru mifano mipya ya aljebra ya kutatua shida na alikuwa wa kwanza barani Ulaya kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa Kitabu cha Abacus zilitumika katika karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII.

Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

x 2 + bx = c,

kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za mgawo b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlingano wa quadratic kwa njia ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Mbali na mazuri, mizizi hasi pia huzingatiwa. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya coefficients ya equation ya quadratic na mizizi yake, iliyopewa jina la Vieta, iliundwa na yeye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: B + D, ikizidishwa na A - A 2 , sawa BD, Hiyo A sawa KATIKA na sawa D ».

Ili kuelewa Vieta, tunapaswa kukumbuka hilo A, kama herufi yoyote ya vokali, ilimaanisha kisichojulikana (yetu X), vokali NDANI, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya algebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa kuna

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Kuonyesha uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equations kanuni za jumla iliyoandikwa kwa kutumia alama, Viet ilianzisha usawa katika njia za kutatua milinganyo. Walakini, ishara ya Viet bado iko mbali muonekano wa kisasa. Hakutambua namba hasi na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu ambapo mizizi yote ilikuwa chanya.

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao muundo wa aljebra unategemea. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya nne kutoka shuleni (darasa la 8) hadi kuhitimu.

Pamoja na hili programu ya hisabati Unaweza kutatua equation ya quadratic.

Programu haitoi tu jibu la shida, lakini pia inaonyesha mchakato wa suluhisho kwa njia mbili:
- kutumia kibaguzi
- kwa kutumia nadharia ya Vieta (ikiwezekana).

Kwa kuongezea, jibu linaonyeshwa kama halisi, sio makadirio.
Kwa mfano, kwa equation \(81x^2-16x-1=0\) jibu linaonyeshwa katika fomu ifuatayo:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ na si kama hii: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Mpango huu inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au algebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo yako. ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.

Ikiwa hujui sheria za kuingia polynomial ya quadratic, tunapendekeza ujitambulishe nao.

Sheria za kuingia polynomial ya quadratic

Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutenda kama kigezo.
Kwa mfano: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), nk.

Nambari zinaweza kuingizwa kama nambari kamili au sehemu.
Kwa kuongezea, nambari za sehemu zinaweza kuingizwa sio tu kwa njia ya decimal, lakini pia katika mfumo wa sehemu ya kawaida.

Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Katika sehemu za desimali, sehemu ya sehemu inaweza kutengwa kutoka kwa sehemu nzima kwa kipindi au koma.
Kwa mfano, unaweza kuingia desimali kama hii: 2.5x - 3.5x^2

Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.

Denominator haiwezi kuwa hasi.

Wakati wa kuingia sehemu ya nambari Nambari imetenganishwa na dhehebu kwa ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima imetenganishwa na sehemu na ishara ya ampersand: &
Ingizo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Matokeo: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Wakati wa kuingiza usemi unaweza kutumia mabano. Katika kesi hii, wakati wa kutatua equation ya quadratic, usemi ulioanzishwa hurahisishwa kwanza.
Kwa mfano: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Amua

Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

JavaScript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.

Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...

Kama wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Quadratic equation na mizizi yake. Milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kila moja ya milinganyo
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
inaonekana kama
\(shoka^2+bx+c=0, \)
ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari.
Katika equation ya kwanza a = -1, b = 6 na c = 1.4, kwa pili a = 8, b = -7 na c = 0, katika tatu a = 1, b = 0 na c = 4/9. Milinganyo kama hiyo inaitwa milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.
Mlinganyo wa Quadratic inaitwa mlinganyo wa fomu ax 2 +bx+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari fulani, na \(a \neq 0 \).

Nambari a, b na c ni mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Nambari a inaitwa mgawo wa kwanza, nambari b ni mgawo wa pili, na nambari c ni neno la bure.

Katika kila milinganyo ya fomu ax 2 +bx+c=0, ambapo \(a\neq 0\), nguvu kubwa zaidi ya kigezo x ni mraba. Kwa hivyo jina: quadratic equation.

Kumbuka kwamba equation ya quadratic pia inaitwa equation ya shahada ya pili, kwani upande wake wa kushoto ni polynomial ya shahada ya pili.

Mlinganyo wa quadratic ambapo mgawo wa x 2 ni sawa na 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, milinganyo ya quadratic iliyotolewa ni milinganyo
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ikiwa katika equation ya quadratic ax 2 +bx+c=0 angalau moja ya coefficients b au c ni sawa na sifuri, basi equation kama hiyo inaitwa. equation ya quadratic isiyo kamili. Kwa hivyo, milinganyo -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Katika ya kwanza yao b=0, ya pili c=0, ya tatu b=0 na c=0.

Kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
1) shoka 2 +c=0, ambapo \(c \neq 0 \);
2) shoka 2 +bx=0, ambapo \(b \neq 0 \);
3) shoka 2 =0.

Wacha tufikirie kusuluhisha milinganyo ya kila moja ya aina hizi.

Ili kusuluhisha mlingano wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ax 2 +c=0 kwa \(c \neq 0 \), sogeza neno lake lisilolipishwa hadi upande wa kulia na ugawanye pande zote mbili za mlinganyo kwa:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Mshale wa kulia x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Tangu \(c \neq 0 \), basi \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ikiwa \(-\frac(c)(a)>0\), basi equation ina mizizi miwili.

Iwapo \(-\frac(c)(a) Ili kutatua mlingano wa kiduara usio kamili wa fomu shoka 2 +bx=0 na \(b \neq 0 \) kuashiria upande wake wa kushoto na kupata mlinganyo huo.
\(x(shoka+b)=0 \Mshale wa kulia \kushoto\( \anza(safu)(l) x=0 \\ shoka+b=0 \mwisho(safu) \kulia. \Mshale wa kulia \kushoto\( \anza (safu)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \mwisho(safu) \kulia. \)

Hii ina maana kwamba mlinganyo wa robo nne usio kamili wa fomu ax 2 +bx=0 kwa \(b \neq 0 \) huwa na mizizi miwili kila wakati.

Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ax 2 =0 ni sawa na equation x 2 =0 na kwa hivyo ina mzizi mmoja 0.

Mfumo wa mizizi ya equation ya quadratic

Hebu sasa tuchunguze jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic ambayo coefficients ya zisizojulikana na neno bure ni nonzero.

Hebu tutatue equation ya quadratic kwa fomu ya jumla na matokeo yake tunapata formula ya mizizi. Kisha fomula hii inaweza kutumika kutatua mlingano wowote wa quadratic.

Tatua shoka la quadratic equation 2 +bx+c=0

Kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata mlingano wa quadratic uliopunguzwa sawa
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Wacha tubadilishe equation hii kwa kuchagua mraba wa binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^2- \kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Mshale wa Kulia \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^2 = \kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^ 2 - \frac(c)(a) \Mshale wa kulia \) \(\kushoto(x+\frac(b)(2a)\kulia)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Mshale wa kulia \kushoto(x+\frac(b)(2a)\kulia)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Mshale wa Kulia \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Mshale wa kulia x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Mshale wa Kulia \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Usemi mkali unaitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic shoka 2 +bx+c=0 (“kibaguzi” kwa Kilatini - kibaguzi). Inateuliwa na barua D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Sasa, kwa kutumia nukuu ya kibaguzi, tunaandika upya fomula ya mizizi ya equation ya quadratic:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ambapo \(D= b^2-4ac \)

Ni dhahiri kwamba:
1) Ikiwa D>0, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili.
2) Ikiwa D=0, basi equation ya quadratic ina mzizi mmoja \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ikiwa D Hivyo, kulingana na thamani ya kibaguzi, equation ya quadratic inaweza kuwa na mizizi miwili (kwa D > 0), mzizi mmoja (kwa D = 0) au haina mizizi (kwa D Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia hii. formula, inashauriwa kufanya yafuatayo:
1) kuhesabu kibaguzi na kulinganisha na sifuri;
2) ikiwa kibaguzi ni chanya au sawa na sifuri, basi tumia fomula ya mizizi; ikiwa kibaguzi ni hasi, basi andika kwamba hakuna mizizi.

Nadharia ya Vieta

Shoka la quadratic equation 2 -7x+10=0 lina mizizi 2 na 5. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa ni 10. Tunaona kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na kinyume chake. ishara, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Equation yoyote iliyopunguzwa ya quadratic ambayo ina mizizi ina mali hii.

Jumla ya mizizi ya equation ya juu ya quadratic ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure.

Wale. Nadharia ya Vieta inasema kwamba mizizi x 1 na x 2 ya equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 +px+q=0 ina mali:
\(\kushoto\( \anza(safu)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \mwisho(safu) \kulia. \)

Milinganyo ya quadratic inasomwa katika daraja la 8, kwa hivyo hakuna chochote ngumu hapa. Uwezo wa kuyatatua ni muhimu kabisa.

Mlinganyo wa quadratic ni mlinganyo wa fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a, b na c ni nambari za kiholela, na ≠ 0.

Kabla ya kusoma njia maalum za suluhisho, kumbuka kuwa hesabu zote za quadratic zinaweza kugawanywa katika madarasa matatu:

1. Usiwe na mizizi;
2. Kuwa na mzizi mmoja;
3. Wana mizizi miwili tofauti.

Hii ni tofauti muhimu kati ya equations za quadratic na zile za mstari, ambapo mzizi huwa daima na ni wa kipekee. Jinsi ya kuamua ni mizizi ngapi equation ina? Kuna jambo la ajabu kwa hili - kibaguzi.

Mbaguzi

Acha shoka la quadratic equation 2 + bx + c = 0. Kisha kibaguzi ni nambari D = b 2 - 4ac tu.

Unahitaji kujua formula hii kwa moyo. Inatoka wapi sio muhimu sasa. Jambo lingine ni muhimu: kwa ishara ya kibaguzi unaweza kuamua ni mizizi ngapi equation ya quadratic ina. Yaani:

1. Ikiwa D< 0, корней нет;
2. Ikiwa D = 0, kuna mzizi mmoja;
3. Ikiwa D> 0, kutakuwa na mizizi miwili.

Tafadhali kumbuka: kibaguzi kinaonyesha idadi ya mizizi, na sio ishara zao zote, kwani kwa sababu fulani watu wengi wanaamini. Angalia mifano na utaelewa kila kitu mwenyewe:

Kazi. Equations za quadratic zina mizizi ngapi:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wacha tuandike coefficients ya equation ya kwanza na tupate kibaguzi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kwa hivyo kibaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tofauti. Tunachambua equation ya pili kwa njia sawa:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Ubaguzi ni hasi, hakuna mizizi. Equation ya mwisho iliyobaki ni:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Kibaguzi ni sifuri - mzizi utakuwa mmoja.

Tafadhali kumbuka kuwa migawo imeandikwa kwa kila mlinganyo. Ndiyo, ni muda mrefu, ndiyo, ni wa kuchosha, lakini huwezi kuchanganya tabia mbaya na kufanya makosa ya kijinga. Chagua mwenyewe: kasi au ubora.

Kwa njia, ikiwa unapata hutegemea, baada ya muda hutahitaji kuandika coefficients zote. Utafanya shughuli kama hizo katika kichwa chako. Watu wengi huanza kufanya hivi mahali fulani baada ya hesabu 50-70 kutatuliwa - kwa ujumla, sio sana.

Mizizi ya equation ya quadratic

Sasa hebu tuendelee kwenye suluhisho lenyewe. Ikiwa kibaguzi D> 0, mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Fomula ya msingi ya mizizi ya equation ya quadratic

Wakati D = 0, unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi - utapata nambari sawa, ambayo itakuwa jibu. Hatimaye, ikiwa D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Mlingano wa kwanza:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (-3) = 16.

D > 0  mlingano una mizizi miwili. Hebu tutafute:

Mlinganyo wa pili:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0  mlingano tena una mizizi miwili. Hebu tutafute

\[\anza(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Hatimaye, equation ya tatu:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0  mlingano una mzizi mmoja. Fomula yoyote inaweza kutumika. Kwa mfano, ya kwanza:

Kama unaweza kuona kutoka kwa mifano, kila kitu ni rahisi sana. Ikiwa unajua fomula na unaweza kuhesabu, hakutakuwa na matatizo. Mara nyingi, makosa hutokea wakati wa kubadilisha coefficients hasi kwenye fomula. Hapa tena, mbinu iliyoelezwa hapo juu itasaidia: angalia formula halisi, andika kila hatua - na hivi karibuni utaondoa makosa.

Milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Inatokea kwamba equation ya quadratic ni tofauti kidogo na ile iliyotolewa katika ufafanuzi. Kwa mfano:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Ni rahisi kutambua kwamba milinganyo hii inakosa mojawapo ya istilahi. Milinganyo kama hiyo ya quadratic ni rahisi hata kusuluhisha kuliko ile ya kawaida: hauitaji hata kuhesabu kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuanzishe dhana mpya:

Ax ya equation 2 + bx + c = 0 inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili ikiwa b = 0 au c = 0, i.e. mgawo wa variable x au kipengele bure ni sawa na sifuri.

Bila shaka, kesi ngumu sana inawezekana wakati coefficients hizi zote mbili ni sawa na sifuri: b = c = 0. Katika kesi hii, equation inachukua fomu ax 2 = 0. Ni wazi, equation vile ina mizizi moja: x. = 0.

Hebu fikiria kesi zilizobaki. Hebu b = 0, kisha tupate equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0. Hebu tuibadilishe kidogo:

Kwa kuwa mzizi wa mraba wa hesabu upo tu wa nambari isiyo hasi, usawa wa mwisho unaeleweka tu kwa (−c /a) ≥ 0. Hitimisho:

1. Ikiwa katika equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0 usawa (-c / a) ≥ 0 imeridhika, kutakuwa na mizizi miwili. Fomula imetolewa hapo juu;
2. Ikiwa (−c /a)< 0, корней нет.

Kama unavyoona, ubaguzi haukuhitajika-hakuna hesabu changamano hata kidogo katika milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Kwa kweli, si lazima hata kukumbuka usawa (-c / a) ≥ 0. Inatosha kueleza thamani x 2 na kuona ni nini upande wa pili wa ishara sawa. Ikiwa kuna nambari nzuri, kutakuwa na mizizi miwili. Ikiwa ni hasi, hakutakuwa na mizizi kabisa.

Sasa hebu tuangalie equations ya fomu ax 2 + bx = 0, ambayo kipengele cha bure ni sawa na sifuri. Kila kitu ni rahisi hapa: daima kutakuwa na mizizi miwili. Inatosha kuzingatia polynomial:

Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano

Bidhaa ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Hapa ndipo mizizi inatoka. Kwa kumalizia, wacha tuangalie baadhi ya milinganyo hii:

Kazi. Tatua milinganyo ya quadratic:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Hakuna mizizi, kwa sababu mraba hauwezi kuwa sawa na nambari hasi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

KATIKA jamii ya kisasa uwezo wa kufanya shughuli na milinganyo iliyo na mraba tofauti inaweza kuwa muhimu katika maeneo mengi ya shughuli na hutumiwa sana katika mazoezi katika maendeleo ya kisayansi na kiufundi. Ushahidi wa hili unaweza kupatikana katika kubuni ya baharini na boti za mto, ndege na makombora. Kutumia mahesabu hayo, trajectories ya harakati ya aina mbalimbali za miili, ikiwa ni pamoja na vitu vya nafasi, imedhamiriwa. Mifano na kutatua equations quadratic hutumiwa si tu katika utabiri wa kiuchumi, wakati wa kubuni na ujenzi wa majengo, lakini pia katika hali ya kawaida ya kila siku. Wanaweza kuhitajika ndani safari za kupanda mlima, katika matukio ya michezo, katika maduka wakati wa ununuzi, na katika hali nyingine za kawaida sana.

Wacha tuvunje usemi huo katika vipengele vyake vya vipengele

Kiwango cha mlingano hubainishwa na thamani ya juu zaidi ya kiwango cha kigezo ambacho usemi huwa. Ikiwa ni sawa na 2, basi equation kama hiyo inaitwa quadratic.

Ikiwa tunazungumza kwa lugha ya fomula, basi maneno yaliyoonyeshwa, haijalishi yanaonekanaje, yanaweza kuletwa kwa fomu wakati upande wa kushoto wa usemi una maneno matatu. Miongoni mwao: shoka 2 (yaani, kutofautisha kwa mraba na mgawo wake), bx (isiyojulikana bila mraba na mgawo wake) na c (sehemu ya bure, ambayo ni, nambari ya kawaida). Yote hii upande wa kulia ni sawa na 0. Katika kesi wakati polynomial kama hiyo inakosa moja ya masharti yake ya msingi, isipokuwa shoka 2, inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili. Mifano na suluhisho la shida kama hizo, maadili ya anuwai ambayo ni rahisi kupata, inapaswa kuzingatiwa kwanza.

Ikiwa usemi unaonekana kama una istilahi mbili upande wa kulia, kwa usahihi zaidi shoka 2 na bx, njia rahisi zaidi ya kupata x ni kwa kuweka utofautishaji nje ya mabano. Sasa equation yetu itaonekana kama hii: x(ax+b). Ifuatayo, inakuwa dhahiri kuwa ama x=0, au shida inakuja kupata kigezo kutoka kwa usemi ufuatao: ax+b=0. Hii inaagizwa na moja ya sifa za kuzidisha. Sheria inasema kuwa bidhaa ya mambo mawili husababisha 0 tu ikiwa moja yao ni sifuri.

Mfano

x=0 au 8x - 3 = 0

Kama matokeo, tunapata mizizi miwili ya equation: 0 na 0.375.

Equations za aina hii zinaweza kuelezea harakati za miili chini ya ushawishi wa mvuto, ambayo ilianza kusonga kutoka kwa hatua fulani kuchukuliwa kama asili ya kuratibu. Hapa nukuu ya hisabati inachukua fomu ifuatayo: y = v 0 t + gt 2 /2. Kwa kubadilisha maadili muhimu, kusawazisha upande wa kulia hadi 0 na kutafuta haijulikani iwezekanavyo, unaweza kujua wakati unaopita kutoka wakati mwili unapoinuka hadi unapoanguka, pamoja na idadi nyingine nyingi. Lakini tutazungumza juu ya hili baadaye.

Kuanzisha Kujieleza

Sheria iliyoelezwa hapo juu inafanya uwezekano wa kutatua matatizo haya kwa zaidi kesi ngumu. Wacha tuangalie mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic ya aina hii.

X 2 - 33x + 200 = 0

Hii quadratic trinomial imekamilika. Kwanza, hebu tubadilishe usemi huo na kuuzingatia. Kuna mbili kati yao: (x-8) na (x-25) = 0. Matokeo yake, tuna mizizi miwili 8 na 25.

Mifano na kutatua equations za quadratic katika daraja la 9 kuruhusu njia hii kupata kutofautiana kwa maneno sio tu ya pili, lakini hata ya amri ya tatu na ya nne.

Kwa mfano: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wakati wa kuzingatia upande wa kulia katika vipengele na kutofautiana, kuna tatu kati yao, yaani, (x+1), (x-3) na (x+) 3).

Matokeo yake, inakuwa dhahiri kwamba equation hii ina mizizi mitatu: -3; -1; 3.

Kipeo

Kesi nyingine ya mlingano wa mpangilio wa pili usio kamili ni usemi unaowakilishwa katika lugha ya herufi kwa namna ambayo sehemu ya kulia imeundwa kutoka kwa vijenzi ax 2 na c. Hapa, ili kupata thamani ya kutofautiana, neno la bure linahamishiwa upande wa kulia, na baada ya hapo mzizi wa mraba hutolewa kutoka pande zote mbili za usawa. Ikumbukwe kwamba katika kwa kesi hii Kawaida kuna mizizi miwili ya equation. Vighairi pekee vinaweza kuwa usawa ambao hauna neno na neno kabisa, ambapo kigezo ni sawa na sufuri, pamoja na vibadala vya misemo wakati upande wa kulia unageuka kuwa hasi. Katika kesi ya mwisho, hakuna ufumbuzi kabisa, kwani vitendo hapo juu haviwezi kufanywa na mizizi. Mifano ya ufumbuzi wa equations ya quadratic ya aina hii inapaswa kuzingatiwa.

Katika kesi hii, mizizi ya equation itakuwa nambari -4 na 4.

Uhesabuji wa eneo la ardhi

Haja ya aina hii ya mahesabu ilionekana katika nyakati za zamani, kwa sababu maendeleo ya hisabati yalikuwa kwa kiasi kikubwa katika hizo. nyakati za mbali ilitokana na hitaji la kuamua kwa usahihi mkubwa maeneo na mizunguko ya viwanja vya ardhi.

Tunapaswa pia kuzingatia mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic kulingana na matatizo ya aina hii.

Kwa hiyo, hebu sema kuna njama ya mstatili wa ardhi, ambayo urefu wake ni mita 16 zaidi ya upana. Unapaswa kupata urefu, upana na mzunguko wa tovuti ikiwa unajua kuwa eneo lake ni 612 m2.

Ili kuanza, hebu kwanza tutengeneze mlinganyo unaohitajika. Hebu tuonyeshe kwa x upana wa eneo hilo, basi urefu wake utakuwa (x + 16). Kutoka kwa kile kilichoandikwa inafuata kwamba eneo hilo limedhamiriwa na msemo x(x+16), ambayo, kwa mujibu wa masharti ya tatizo letu, ni 612. Hii ina maana kwamba x(x+16) = 612.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic, na usemi huu ndio hasa, hauwezi kufanywa kwa njia sawa. Kwa nini? Ingawa upande wa kushoto bado una mambo mawili, bidhaa zao sio sawa na 0 hata kidogo, kwa hivyo njia tofauti hutumiwa hapa.

Mbaguzi

Kwanza kabisa, hebu tufanye mabadiliko muhimu, basi mwonekano ya usemi huu itaonekana hivi: x 2 + 16x - 612 = 0. Hii ina maana kwamba tumepokea usemi katika fomu inayolingana na kiwango kilichotajwa hapo awali, ambapo a=1, b=16, c=-612.

Huu unaweza kuwa mfano wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi. Hapa mahesabu muhimu huzalishwa kulingana na mpango: D = b 2 - 4ac. Kiasi hiki cha msaidizi sio tu hufanya iwezekanavyo kupata kiasi kinachohitajika katika equation ya utaratibu wa pili, huamua wingi. chaguzi zinazowezekana. Ikiwa D>0, kuna mbili kati yao; kwa D=0 kuna mzizi mmoja. Katika kesi ya D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kuhusu mizizi na muundo wao

Kwa upande wetu, kibaguzi ni sawa na: 256 - 4(-612) = 2704. Hii inaonyesha kwamba tatizo letu lina jibu. Ikiwa unajua k, suluhu ya milinganyo ya quadratic lazima iendelee kwa kutumia fomula iliyo hapa chini. Inakuwezesha kuhesabu mizizi.

Hii ina maana kwamba katika kesi iliyowasilishwa: x 1 =18, x 2 =-34. Chaguo la pili katika shida hii haiwezi kuwa suluhisho, kwa sababu vipimo vya njama ya ardhi haiwezi kupimwa kwa kiasi hasi, ambayo ina maana x (yaani, upana wa njama) ni m 18. Kutoka hapa tunahesabu urefu: 18 +16=34, na mzunguko 2(34+ 18)=104(m2).

Mifano na kazi

Tunaendelea na utafiti wetu wa milinganyo ya quadratic. Mifano na ufumbuzi wa kina wa kadhaa wao utapewa hapa chini.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Hebu tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto wa usawa, tufanye mabadiliko, yaani, tutapata aina ya equation ambayo kawaida huitwa kiwango, na kuifananisha na sifuri.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Kuongeza sawa, tunaamua kibaguzi: D = 49 - 48 = 1. Hii inamaanisha kuwa equation yetu itakuwa na mizizi miwili. Wacha tuzihesabu kulingana na fomula hapo juu, ambayo inamaanisha kuwa ya kwanza itakuwa sawa na 4/3, na ya pili hadi 1.

2) Sasa hebu tutatue mafumbo ya aina tofauti.

Wacha tujue ikiwa kuna mizizi yoyote hapa x 2 - 4x + 5 = 1? Ili kupata jibu la kina, hebu tupunguze polynomial kwa fomu inayolingana ya kawaida na tuhesabu kibaguzi. Katika mfano hapo juu, si lazima kutatua equation ya quadratic, kwa sababu hii sio kiini cha tatizo kabisa. Katika kesi hii, D = 16 - 20 = -4, ambayo inamaanisha kuwa hakuna mizizi.

Nadharia ya Vieta

Ni rahisi kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula zilizo hapo juu na kibaguzi, wakati mzizi wa mraba unachukuliwa kutoka kwa thamani ya mwisho. Lakini hii haifanyiki kila wakati. Walakini, kuna njia nyingi za kupata maadili ya anuwai katika kesi hii. Mfano: kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta. Amepewa jina la ambaye aliishi katika karne ya 16 huko Ufaransa na akafanya kazi nzuri sana kutokana na talanta yake ya hisabati na uhusiano mahakamani. Picha yake inaweza kuonekana katika makala.

Mfano ambao Mfaransa huyo maarufu aliona ulikuwa kama ifuatavyo. Alithibitisha kuwa mizizi ya mlinganyo huongezwa kwa nambari hadi -p=b/a, na bidhaa yake inalingana na q=c/a.

Sasa hebu tuangalie kazi maalum.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Kwa unyenyekevu, wacha tubadilishe usemi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Hebu tumia nadharia ya Vieta, hii itatupa zifuatazo: jumla ya mizizi ni -7, na bidhaa zao ni -18. Kuanzia hapa tunapata kwamba mizizi ya equation ni nambari -9 na 2. Baada ya kuangalia, tutahakikisha kwamba maadili haya ya kutofautiana yanafaa kabisa katika usemi.

Parabola grafu na equation

Dhana za utendakazi wa quadratic na milinganyo ya quadratic zinahusiana kwa karibu. Mifano ya hii tayari imetolewa mapema. Sasa hebu tuangalie baadhi ya mafumbo ya hisabati kwa undani zaidi. Equation yoyote ya aina iliyoelezwa inaweza kuwakilishwa kwa macho. Uhusiano kama huo, unaotolewa kama grafu, unaitwa parabola. Aina zake mbalimbali zinawasilishwa kwenye takwimu hapa chini.

Parabola yoyote ina vertex, yaani, hatua ambayo matawi yake yanatoka. Ikiwa a>0, huenda juu hadi isiyo na mwisho, na wakati a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Uwasilishaji unaoonekana wa chaguo za kukokotoa husaidia kutatua milinganyo yoyote, ikijumuisha zile za quadratic. Njia hii inaitwa graphical. Na thamani ya utofauti wa x ni uratibu wa abscissa katika sehemu ambazo mstari wa grafu huingiliana na 0x. Viwianishi vya kipeo vinaweza kupatikana kwa kutumia fomula iliyotolewa hivi punde x 0 = -b/2a. Na kwa kubadilisha thamani inayosababisha katika equation ya awali ya kazi, unaweza kujua y 0, yaani, uratibu wa pili wa vertex ya parabola, ambayo ni ya mhimili wa kuratibu.

Makutano ya matawi ya parabola na mhimili wa abscissa

Kuna mifano mingi ya kusuluhisha hesabu za quadratic, lakini pia kuna mifumo ya jumla. Hebu tuwaangalie. Ni wazi kwamba makutano ya grafu na mhimili 0x kwa a>0 inawezekana tu ikiwa 0 inachukua maadili hasi. Na kwa a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Vinginevyo D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Kutoka kwenye grafu ya parabola unaweza pia kuamua mizizi. Kinyume chake pia ni kweli. Hiyo ni, ikiwa si rahisi kupata uwakilishi wa kuona wa kazi ya quadratic, unaweza kusawazisha upande wa kulia wa kujieleza kwa 0 na kutatua equation inayosababisha. Na kujua pointi za makutano na mhimili wa 0x, ni rahisi zaidi kuunda grafu.

Kutoka kwa historia

Kwa kutumia equations zenye kutofautiana kwa mraba, katika siku za zamani hawakufanya tu mahesabu ya hisabati na kuamua maeneo ya takwimu za kijiometri. Wazee walihitaji hesabu kama hizo kwa uvumbuzi mkubwa katika nyanja za fizikia na unajimu, na vile vile kufanya utabiri wa unajimu.

Kama wanasayansi wa kisasa wanavyopendekeza, wakaaji wa Babeli walikuwa kati ya wa kwanza kutatua milinganyo ya quadratic. Hii ilitokea karne nne kabla ya zama zetu. Kwa kweli, mahesabu yao yalikuwa tofauti kabisa na yale yaliyokubaliwa kwa sasa na yaligeuka kuwa ya zamani zaidi. Kwa mfano, wanahisabati wa Mesopotamia hawakujua kuhusu kuwepo kwa nambari hasi. Pia hawakujua hila zingine ambazo mtoto yeyote wa kisasa wa shule anajua.

Labda hata mapema zaidi ya wanasayansi wa Babeli, mwenye hekima kutoka India Baudhayama alianza kutatua milinganyo ya roboduara. Hii ilitokea karibu karne nane kabla ya enzi ya Kristo. Kweli, hesabu za mpangilio wa pili, njia za kusuluhisha ambazo alitoa, zilikuwa rahisi zaidi. Mbali na yeye, wanahisabati wa China pia walipendezwa na maswali kama hayo katika siku za zamani. Huko Uropa, hesabu za quadratic zilianza kutatuliwa tu mwanzoni mwa karne ya 13, lakini baadaye zilitumiwa katika kazi zao na wanasayansi wakubwa kama Newton, Descartes na wengine wengi.

Rudi