Hebu M 0 - seti ya suluhisho za mfumo wa homogeneous (4) milinganyo ya mstari.
Ufafanuzi 6.12. Vekta Na 1 ,Na 2 , …, na uk, ambayo ni suluhisho la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari huitwa seti ya msingi ya suluhisho(iliyofupishwa FNR), ikiwa
1) vekta Na 1 ,Na 2 , …, na uk kujitegemea kwa mstari (yaani, hakuna hata mmoja wao anayeweza kuonyeshwa kwa masharti ya wengine);
2) suluhisho lingine lolote kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari inaweza kuonyeshwa kwa suala la suluhisho Na 1 ,Na 2 , …, na uk.
Kumbuka kwamba ikiwa Na 1 ,Na 2 , …, na uk- f.n.r. yoyote, kisha usemi k 1× Na 1 + k 2× Na 2 + … + k uk× na uk unaweza kuelezea seti nzima M Suluhisho 0 kwa mfumo (4), kwa hivyo inaitwa mtazamo wa jumla wa suluhisho la mfumo (4).
Nadharia 6.6. Mfumo wowote usio na kipimo wa milinganyo ya mstari una seti ya msingi ya suluhu.
Njia ya kupata seti ya msingi ya suluhisho ni kama ifuatavyo.
Tafuta uamuzi wa pamoja mfumo wa homogeneous wa equations linear;
Kujenga ( n – r) suluhisho za sehemu za mfumo huu, wakati maadili ya vitu visivyojulikana vya bure lazima viundwe matrix ya utambulisho;
Andika fomu ya jumla suluhisho zilizojumuishwa ndani M 0 .
Mfano 6.5. Tafuta seti ya msingi ya suluhisho kwa mfumo ufuatao:
Suluhisho. Wacha tupate suluhisho la jumla kwa mfumo huu.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Kuna tano zisizojulikana katika mfumo huu ( n= 5), ambapo kuna mambo mawili kuu yasiyojulikana ( r= 2), kuna tatu zisizojulikana za bure ( n – r), ambayo ni, seti ya msingi ya suluhisho ina vekta tatu za suluhisho. Hebu tuwajenge. Tuna x 1 na x 3 - haijulikani kuu, x 2 , x 4 , x 5 - haijulikani bila malipo
Maadili ya haijulikani bila malipo x 2 , x 4 , x 5 kuunda matrix ya utambulisho E utaratibu wa tatu. Nimepata vekta hizo Na 1 ,Na 2 , Na 3 kidato cha f.n.r. ya mfumo huu. Kisha seti ya ufumbuzi wa mfumo huu wa homogeneous itakuwa M 0 = {k 1× Na 1 + k 2× Na 2 + k 3× Na 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Wacha sasa tujue hali ya uwepo wa suluhisho zisizo za kawaida za mfumo wa usawa wa equations za mstari, kwa maneno mengine, masharti ya uwepo wa seti ya msingi ya suluhisho.
Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari una masuluhisho yasiyo ya sifuri, ambayo ni, haijulikani ikiwa
1) kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni chini ya idadi ya haijulikani;
2) katika mfumo wa homogeneous wa equations linear, idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani;
3) ikiwa katika mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana, na kiangazio cha matrix kuu ni sawa na sifuri (yaani | A| = 0).
Mfano 6.6. Kwa thamani gani ya parameta a mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari 
ina masuluhisho yasiyo ya sifuri?
Suluhisho. Wacha tutunge matrix kuu ya mfumo huu na tupate kiamua chake: = = 1×(–1) 1+1 × = – A- 4. Kiamuzi cha tumbo hili ni sawa na sifuri saa a = –4.
Jibu: –4.
7. Hesabu n- nafasi ya vekta ya dimensional
Dhana za Msingi
Katika sehemu zilizopita tayari tumekutana na dhana ya seti ya nambari halisi ziko ndani kwa utaratibu fulani. Hili ni safu mlalo (au matrix ya safu wima) na suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari na n haijulikani. Habari hii inaweza kufupishwa.
Ufafanuzi 7.1. n-dimensional hesabu vector aliita seti iliyoamriwa ya n nambari za kweli.
Maana A= (a 1 , a 2 , ..., a n), wapi a i R, i = 1, 2, …, n- mtazamo wa jumla wa vector. Nambari n kuitwa mwelekeo vekta, na nambari a i wanaitwa wake kuratibu.
Kwa mfano: A= (1, -8, 7, 4, ) - vekta tano-dimensional.
Kila kitu kimewekwa n-vekta za mwelekeo kawaida huonyeshwa kama Rn.
Ufafanuzi 7.2. Vekta mbili A= (a 1 , a 2 , ..., a n) Na b= (b 1 , b 2 , ..., b n) ya kipimo sawa sawa ikiwa na ikiwa tu viwianishi vyao vinavyolingana ni sawa, yaani a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a n= b n.
Ufafanuzi 7.3.Kiasi mbili n-vekta zenye sura A= (a 1 , a 2 , ..., a n) Na b= (b 1 , b 2 , ..., b n) inaitwa vekta a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+b n).
Ufafanuzi 7.4. Kazi nambari halisi k kwa vekta A= (a 1 , a 2 , ..., a n) inaitwa vekta k× A = (k×a 1, k×a 2, ..., k×a n)
Ufafanuzi 7.5. Vekta O= (0, 0, ..., 0) inaitwa sufuri(au vekta null).
Ni rahisi kuthibitisha kuwa vitendo (shughuli) za kuongeza veta na kuzizidisha kwa nambari halisi zina mali zifuatazo: " a, b, c Î Rn, " k, l R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Ufafanuzi 7.6. Kundi la Rn na shughuli za kuongeza vekta na kuzizidisha kwa nambari halisi iliyotolewa juu yake inaitwa nafasi ya vekta ya n-dimensional ya hesabu.
Kupewa matrices
Tafuta: 1) aA - bB,
Suluhisho: 1) Tunaipata kwa kufuatana, kwa kutumia sheria za kuzidisha matrix kwa nambari na kuongeza matrices..
2. Tafuta A*B ikiwa
Suluhisho: Tunatumia kanuni ya kuzidisha matrix
Jibu: 
3. Kwa matriki uliyopewa, tafuta M 31 ndogo na uhesabu kibainishi.
Suluhisho: Ndogo M 31 ndio kibainishi cha matrix ambayo hupatikana kutoka kwa A
baada ya kuvuka mstari wa 3 na safu ya 1. Tunapata
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Wacha tubadilishe matrix A bila kubadilisha kiashiria chake (wacha tutengeneze sifuri kwenye safu ya 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Sasa tunahesabu kibainishi cha matrix A kwa upanuzi kando ya safu mlalo ya 1
Jibu: M 31 = 0, detA = 0
Tatua kwa kutumia njia ya Gauss na njia ya Cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Suluhisho: Hebu tuangalie
Unaweza kutumia njia ya Cramer
Suluhisho la mfumo: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Wacha tutumie njia ya Gaussian.
Hebu tupunguze matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa fomu ya triangular.
Kwa urahisi wa kuhesabu, wacha tubadilishane mistari:
Zidisha mstari wa 2 kwa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) na ongeza kwa 3:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Zidisha mstari wa 1 kwa (k = -2 / 2 = -1 ) na ongeza kwa 2:
Sasa mfumo wa asili unaweza kuandikwa kama:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Kutoka kwa mstari wa 2 tunaelezea
Kutoka mstari wa 1 tunaelezea
Suluhisho ni sawa.
Jibu: (2; -5; 3)
Pata suluhisho la jumla la mfumo na FSR
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Suluhisho: Wacha tutumie njia ya Gaussian. Hebu tupunguze matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa fomu ya triangular.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Zidisha mstari wa 1 kwa (-11). Zidisha mstari wa 2 kwa (13). Wacha tuongeze mstari wa 2 hadi wa 1:
| -2 | -2 | -3 | ||
Zidisha mstari wa 2 kwa (-5). Hebu tuzidishe mstari wa 3 kwa (11). Wacha tuongeze mstari wa 3 hadi wa 2:
Zidisha mstari wa 3 kwa (-7). Hebu tuzidishe mstari wa 4 kwa (5). Wacha tuongeze mstari wa 4 hadi wa 3:
Equation ya pili ni mchanganyiko wa mstari wa wengine
Wacha tupate kiwango cha matrix.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Mtoto aliyechaguliwa ana mpangilio wa juu zaidi (wa watoto wanaowezekana) na sio sifuri (ni sawa na bidhaa ya vitu kwenye mlalo wa nyuma), kwa hivyo rang(A) = 2.
Kidogo hiki ni cha msingi. Inajumuisha coefficients kwa haijulikani x 1 , x 2 , ambayo ina maana kwamba haijulikani x 1 , x 2 ni tegemezi (msingi), na x 3 , x 4 , x 5 ni bure.
Mfumo ulio na mgawo wa tumbo hili ni sawa na mfumo wa asili na una fomu:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Kutumia njia ya kuondoa haijulikani, tunapata uamuzi wa pamoja:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Tunapata mfumo wa kimsingi wa suluhu (FSD), ambao una suluhu za (n-r). Kwa upande wetu, n = 5, r = 2, kwa hivyo, mfumo wa msingi wa suluhisho una suluhisho 3, na suluhisho hizi lazima ziwe huru.
Ili safu ziwe huru kimstari, ni muhimu na inatosha kwamba kiwango cha matriki inayojumuisha vipengele vya safu mlalo iwe sawa na idadi ya safu, yaani, 3.
Inatosha kutoa zisizojulikana za bure x 3 , x 4 , x 5 maadili kutoka kwa mistari ya kiashiria cha utaratibu wa 3, isiyo ya sifuri, na kuhesabu x 1 , x 2 .
Kiamuzi rahisi zaidi kisicho sifuri ni matrix ya utambulisho.
Lakini ni rahisi zaidi kuchukua hapa
Tunapata kwa kutumia suluhisho la jumla:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
Uamuzi wa I wa FSR: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
Suluhisho la II la FSR: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
Uamuzi wa III wa FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Kutokana na: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Tafuta: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Suluhisho: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i) (2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Jibu: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i
Tutaendelea kung'arisha teknolojia yetu mabadiliko ya msingi juu mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari.
Kulingana na aya za kwanza, nyenzo zinaweza kuonekana kuwa za kuchosha na za wastani, lakini maoni haya ni ya udanganyifu. Mbali na maendeleo zaidi ya mbinu, kutakuwa na habari nyingi mpya, kwa hiyo tafadhali jaribu kutopuuza mifano katika makala hii.
Je! ni mfumo gani wa usawa wa milinganyo ya mstari?
Jibu linapendekeza lenyewe. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa ni neno huru kila mtu equation ya mfumo ni sifuri. Kwa mfano:
Ni wazi kabisa kwamba mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, yaani, daima ina ufumbuzi. Na, kwanza kabisa, kinachoshika jicho lako ni kinachojulikana yasiyo na maana suluhisho 
. Trivial, kwa wale ambao hawaelewi maana ya kivumishi hata kidogo, inamaanisha bila show-off. Sio kielimu, kwa kweli, lakini kwa akili =) ...Kwa nini piga kuzunguka msituni, wacha tujue ikiwa mfumo huu una suluhisho zingine zozote:
Mfano 1
Suluhisho: kutatua mfumo wa homogeneous ni muhimu kuandika matrix ya mfumo na kwa msaada wa mabadiliko ya kimsingi kuleta kwa fomu ya hatua. Tafadhali kumbuka kuwa hapa hakuna haja ya kuandika bar ya wima na safu ya sifuri ya maneno ya bure - baada ya yote, bila kujali unafanya nini na zero, zitabaki zero: 
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3.
(2) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.
Kugawanya mstari wa tatu na 3 haina maana sana.
Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa homogeneous hupatikana 
, na, kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian, ni rahisi kuthibitisha kuwa suluhisho ni la kipekee.
Jibu: 
Hebu tutengeneze kigezo kilicho wazi: mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ina suluhisho dogo tu, Kama kiwango cha matrix ya mfumo(V kwa kesi hii 3) sawa na idadi ya vigezo (katika kesi hii - vipande 3).
Wacha tuchangamshe na kuelekeza redio yetu kwa wimbi la mabadiliko ya kimsingi:
Mfano 2
Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari 
Ili hatimaye kuunganisha algorithm, hebu tuchambue kazi ya mwisho:
Mfano 7
Tatua mfumo wa homogeneous, andika jibu katika fomu ya vector. 
Suluhisho: wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua: 
(1) Alama ya mstari wa kwanza imebadilishwa. Kwa mara nyingine tena ninazingatia mbinu ambayo imekutana mara nyingi, ambayo inakuwezesha kurahisisha kwa kiasi kikubwa hatua inayofuata.
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwa mstari wa 2 na wa 3. Mstari wa kwanza, uliozidishwa na 2, uliongezwa kwenye mstari wa 4.
(3) Mistari mitatu ya mwisho ni sawia, miwili kati yake imeondolewa.
Kama matokeo, matrix ya hatua ya kawaida hupatikana, na suluhisho linaendelea kwenye wimbo uliopigwa:
- vigezo vya msingi;
- Vigezo vya bure.
Hebu tueleze vigezo vya msingi kwa suala la vigezo vya bure. Kutoka kwa equation ya 2:
- badilisha katika equation ya 1:
Kwa hivyo suluhisho la jumla ni:
Kwa kuwa katika mfano unaozingatiwa kuna vigezo vitatu vya bure, mfumo wa msingi una vectors tatu.
Hebu tubadilishe thamani tatu 
kwenye suluhisho la jumla na upate vekta ambayo viwianishi vyake vinakidhi kila equation ya mfumo wa homogeneous. Na tena, narudia kwamba inashauriwa sana kuangalia kila vector iliyopokelewa - haitachukua muda mwingi, lakini itakulinda kabisa kutokana na makosa.
Kwa mara tatu ya maadili 
pata vekta
Na hatimaye kwa wale watatu 
tunapata vector ya tatu:
Jibu:, wapi
Wale wanaotaka kuzuia maadili ya sehemu wanaweza kuzingatia utatu 
na upate jibu kwa fomu sawa:
Akizungumza ya sehemu. Wacha tuangalie matrix iliyopatikana kwenye shida 
na tujiulize: je, inawezekana kurahisisha suluhisho zaidi? Baada ya yote, hapa tulielezea kwanza kutofautisha kwa msingi kupitia sehemu, kisha kupitia sehemu tofauti za kimsingi, na, lazima niseme, mchakato huu haukuwa rahisi zaidi na sio wa kupendeza zaidi.
Suluhisho la pili:
Wazo ni kujaribu chagua vigezo vingine vya msingi. Wacha tuangalie matrix na tuangalie mbili kwenye safu ya tatu. Kwa hivyo kwa nini usiwe na sifuri hapo juu? Wacha tufanye mabadiliko moja zaidi ya msingi:
Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari juu ya uwanja
UFAFANUZI. Mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo wa milinganyo (1) unaitwa mstari usio tupu. mfumo wa kujitegemea ufumbuzi wake, muda wa mstari ambao unaambatana na seti ya ufumbuzi wote wa mfumo (1).
Kumbuka kuwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari ambao una suluhu ya sifuri pekee hauna mfumo wa kimsingi wa suluhu.
PENDEKEZO 3.11. Mifumo yoyote miwili ya kimsingi ya suluhu kwa mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari inajumuisha idadi sawa maamuzi.
Ushahidi. Kwa hakika, mifumo yoyote miwili ya kimsingi ya masuluhisho ya mfumo wa milinganyo ya homogeneous (1) ni sawa na huru kimstari. Kwa hiyo, kwa Hoja 1.12, safu zao ni sawa. Kwa hivyo, idadi ya masuluhisho yaliyojumuishwa katika mfumo mmoja wa kimsingi ni sawa na idadi ya masuluhisho yaliyojumuishwa katika mfumo mwingine wowote wa kimsingi wa suluhisho.
Ikiwa tumbo kuu A la mfumo wa homogeneous wa equations (1) ni sifuri, basi vector yoyote kutoka ni suluhisho la mfumo (1); katika kesi hii, seti yoyote ya vekta huru kutoka kwa mstari ni mfumo wa msingi wa suluhisho. Ikiwa safu ya safu ya matrix A ni sawa na , basi mfumo (1) una suluhisho moja tu - sifuri; kwa hiyo, katika kesi hii, mfumo wa equations (1) hauna mfumo wa msingi wa ufumbuzi.
NADHARIA 3.12. Ikiwa safu ya matriki kuu ya mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari (1) ni chini ya idadi ya vigezo , basi mfumo (1) una mfumo wa ufumbuzi wa kimsingi unaojumuisha suluhu.
Ushahidi. Ikiwa cheo cha matrix kuu A ya mfumo wa homogeneous (1) ni sawa na sifuri au , basi ilionyeshwa hapo juu kwamba theorem ni kweli. Kwa hivyo, hapa chini inadhaniwa kuwa Assuming , tutafikiri kwamba safu wima za kwanza za matrix A zinajitegemea kimstari. Katika kesi hii, matrix A ni sawa na matriki iliyopunguzwa ya hatua kwa hatua, na mfumo (1) ni sawa na mfumo ufuatao uliopunguzwa wa milinganyo ya hatua:
Ni rahisi kuangalia kuwa mfumo wowote wa maadili ya anuwai ya bure ya mfumo (2) inalingana na suluhisho moja tu la mfumo (2) na, kwa hivyo, kwa mfumo (1). Hasa, tu ufumbuzi wa sifuri wa mfumo (2) na mfumo (1) unafanana na mfumo wa maadili ya sifuri.
Katika mfumo (2) tutawapa moja ya vigezo vya bure thamani sawa na 1, na vigezo vilivyobaki - maadili ya sifuri. Kama matokeo, tunapata suluhisho kwa mfumo wa equations (2), ambayo tunaandika kwa namna ya safu za matrix ifuatayo:
Mfumo wa safu mlalo wa matrix hii ni huru kwa mstari. Hakika, kwa scalar yoyote kutoka kwa usawa
usawa unafuata
na, kwa hiyo, usawa
Hebu tuthibitishe kwamba muda wa mstari wa mfumo wa safu za matrix C unaambatana na seti ya ufumbuzi wote wa mfumo (1).
Suluhisho la kiholela la mfumo (1). Kisha vector
pia ni suluhisho la mfumo (1), na
Unaweza kuagiza ufumbuzi wa kina kazi yako!!!Ili kuelewa ni nini mfumo wa maamuzi ya kimsingi unaweza kutazama mafunzo ya video kwa mfano sawa kwa kubofya. Sasa hebu tuendelee kwenye maelezo ya yote kazi muhimu. Hii itakusaidia kuelewa kiini cha suala hili kwa undani zaidi.
Jinsi ya kupata mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa equation ya mstari?
Wacha tuchukue kwa mfano mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:
Wacha tupate suluhisho la mfumo huu wa usawa wa milinganyo. Kuanza na, sisi unahitaji kuandika matrix ya mgawo wa mfumo.
Wacha tubadilishe matrix hii kuwa ya pembetatu. Tunaandika upya mstari wa kwanza bila mabadiliko. Na vipengele vyote vilivyo chini ya $a_(11)$ lazima vifanywe sufuri. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(21)$, unahitaji kuondoa kwanza kutoka mstari wa pili, na kuandika tofauti katika mstari wa pili. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(31)$, unahitaji kuondoa kwanza kutoka mstari wa tatu na kuandika tofauti katika mstari wa tatu. Ili kufanya sifuri badala ya kipengele $a_(41)$, unahitaji kuondoa kwanza iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa nne na kuandika tofauti katika mstari wa nne. Ili kufanya sifuri badala ya kipengele $a_(31)$, unahitaji kuondoa kwanza iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa tano na kuandika tofauti katika mstari wa tano. 
Tunaandika upya mistari ya kwanza na ya pili bila mabadiliko. Na vipengele vyote vilivyo chini ya $a_(22)$ lazima vifanywe sufuri. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(32)$, unahitaji kuondoa ya pili iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa tatu na kuandika tofauti katika mstari wa tatu. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(42)$, unahitaji kuondoa pili iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa nne na kuandika tofauti katika mstari wa nne. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(52)$, unahitaji kuondoa pili iliyozidishwa na 3 kutoka mstari wa tano na kuandika tofauti katika mstari wa tano. 
Tunaona hilo mistari mitatu ya mwisho ni sawa, kwa hivyo ukiondoa ya tatu kutoka ya nne na ya tano, zitakuwa sifuri. 
Kulingana na matrix hii andika chini mfumo mpya milinganyo.
Tunaona kwamba tuna hesabu tatu tu zinazojitegemea kwa mstari, na tano zisizojulikana, kwa hivyo mfumo wa kimsingi wa suluhisho utajumuisha vekta mbili. Kwa hiyo sisi tunahitaji kuhamisha mbili za mwisho zisizojulikana kwenda kulia.
Sasa, tunaanza kueleza zile zisizojulikana ambazo ziko upande wa kushoto kupitia zile zilizo upande wa kulia. Tunaanza na mlingano wa mwisho, kwanza tunaeleza $x_3$, kisha tunabadilisha tokeo linalofuata kwenye mlinganyo wa pili na kueleza $x_2$, na kisha kwenye mlingano wa kwanza na hapa tunaeleza $x_1$. Kwa hivyo, tulielezea mambo yote yasiyojulikana ambayo yako upande wa kushoto kupitia haijulikani ambayo iko upande wa kulia. 
Kisha badala ya $x_4$ na $x_5$, tunaweza kubadilisha nambari zozote na kupata $x_1$, $x_2$ na $x_3$. Kila tano ya nambari hizi zitakuwa chimbuko la mfumo wetu wa asili wa milinganyo. Ili kupata vekta ambazo zimejumuishwa ndani FSR tunahitaji kubadilisha 1 badala ya $x_4$, na kubadilisha 0 badala ya $x_5$, kupata $x_1$, $x_2$ na $x_3$, na kisha kinyume chake $x_4=0$ na $x_5=1$.