Kwa hivyo, urefu wa vekta huhesabiwa kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya kuratibu zake. 
. Urefu wa vekta ya n-dimensional huhesabiwa sawa 
. Ikiwa tunakumbuka kwamba kila uratibu wa vector ni tofauti kati ya kuratibu za mwisho na mwanzo, basi tunapata formula kwa urefu wa sehemu, i.e. Umbali wa Euclidean kati ya pointi.
Bidhaa ya Scalar vekta mbili kwenye ndege ni bidhaa ya urefu wa vekta hizi na cosine ya pembe kati yao: 
. Inaweza kuthibitishwa kuwa bidhaa ya scalar ya vectors mbili 
= (x 1, x 2) na 
= (y 1 , y 2) ni sawa na jumla ya bidhaa za kuratibu zinazolingana za vekta hizi: 
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .
Katika nafasi ya n-dimensional, bidhaa ya scalar ya vekta X= (x 1, x 2,...,x n) na Y= (y 1, y 2,...,y n) inafafanuliwa kama jumla ya bidhaa. ya kuratibu zao zinazofanana: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.
Uendeshaji wa kuzidisha vekta kwa kila mmoja ni sawa na kuzidisha matrix ya safu kwa safu wima. Tunasisitiza kuwa matokeo yatakuwa nambari, sio vekta.
Bidhaa ya scalar ya vekta ina mali zifuatazo (axioms):
1) Sifa ya kubadilisha: X*Y=Y*X.
2) Mali ya usambazaji kwa heshima ya kuongeza: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.
3) Kwa nambari yoyote halisi 
.
4)
, ifX sio vekta sifuri; 
ifX ni vekta sifuri.
Nafasi ya vekta ya mstari ambayo bidhaa ya scalar ya vekta inatolewa ambayo inakidhi misemo minne inayolingana inaitwa. Vekta ya mstari wa Euclideannafasi.
Ni rahisi kuona kwamba tunapozidisha vekta yoyote peke yake, tunapata mraba wa urefu wake. Hivyo ni tofauti urefu vekta inaweza kufafanuliwa kama mzizi wa mraba wa mraba wake wa scalar:.
Urefu wa vekta una sifa zifuatazo:
1) |X| = 0Х = 0;
2) |X| = ||*|X|, wapi nambari halisi;
3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky usawa);
4) |X+Y||X|+|Y| ( usawa wa pembetatu).
Pembe kati ya vekta katika nafasi ya n-dimensional imedhamiriwa kulingana na dhana ya bidhaa ya scalar. Kwa kweli, ikiwa 
, Hiyo 
. Sehemu hii sio kubwa kuliko moja (kulingana na usawa wa Cauchy-Bunyakovsky), kwa hivyo kutoka hapa tunaweza kupata .
Vekta mbili zinaitwa ya mifupa au perpendicular, ikiwa bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri. Kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya scalar inafuata kwamba vector sifuri ni orthogonal kwa vector yoyote. Ikiwa vectors zote za orthogonal sio sifuri, basi cos= 0, yaani=/2 = 90 o.
Hebu tuangalie tena Mchoro 7.4. Inaweza kuonekana kutoka kwa takwimu kwamba cosine ya pembe ya mwelekeo wa vekta kwa mhimili mlalo inaweza kuhesabiwa kama 
, na kosine ya pembemielekeo ya vekta kwa mhimili wima ni kama 
. Nambari hizi kawaida huitwa mwelekeo cosines. Ni rahisi kuthibitisha kwamba jumla ya mraba wa cosines ya mwelekeo daima ni sawa na moja: cos 2 +cos 2 = 1. Vile vile, dhana za cosine za mwelekeo zinaweza kuletwa kwa nafasi za vipimo vya juu.
Msingi wa nafasi ya Vector
Kwa vekta, tunaweza kufafanua dhana mchanganyiko wa mstari,utegemezi wa mstari Na uhuru sawa na jinsi dhana hizi zilivyoletwa kwa safu mlalo za matrix. Pia ni kweli kwamba ikiwa vekta zinategemea mstari, basi angalau moja yao inaweza kuonyeshwa kwa mstari kulingana na wengine (yaani, ni mchanganyiko wao wa mstari). Kinyume chake pia ni kweli: ikiwa moja ya vekta ni mchanganyiko wa mstari wa zingine, basi vekta hizi zote kwa pamoja zinategemeana.
Kumbuka kwamba ikiwa kati ya vectors a l , a 2 ,...a m kuna vector sifuri, basi seti hii ya vectors ni lazima tegemezi linearly. Kwa hakika, tunapata l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ikiwa, kwa mfano, tunalinganisha mgawo j kwenye vekta ya sifuri kwa moja, na coefficients nyingine zote kwa sifuri. Katika kesi hii, sio coefficients zote zitakuwa sawa na sifuri ( j ≠ 0).
Kwa kuongeza, ikiwa baadhi ya sehemu ya vekta kutoka kwa seti ya vekta hutegemea mstari, basi vekta hizi zote zinategemea mstari. Kwa kweli, ikiwa vekta zingine zitatoa vekta sifuri katika mchanganyiko wao wa mstari na mgawo ambao sio sifuri, basi vekta zilizobaki zinazozidishwa na mgawo wa sifuri zinaweza kuongezwa kwa jumla hii ya bidhaa, na bado itakuwa sifuri.
Jinsi ya kuamua ikiwa vekta zinategemea mstari?
Kwa mfano, hebu tuchukue vekta tatu: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) na 3 = (3, 1, 4, 3). Wacha tuunda matrix kutoka kwao, ambayo watakuwa nguzo:
Kisha swali la utegemezi wa mstari litapunguzwa ili kuamua kiwango cha matrix hii. Ikiwa inageuka kuwa sawa na tatu, basi nguzo zote tatu zinajitegemea kwa mstari, na ikiwa inageuka kuwa chini, basi hii itaonyesha utegemezi wa mstari wa vekta.
Kwa kuwa kiwango ni 2, vekta hutegemea mstari.
Kumbuka kuwa suluhu la tatizo linaweza pia kuanza kwa hoja ambazo zinatokana na ufafanuzi wa uhuru wa mstari. Yaani, tengeneza equation ya vekta l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, ambayo itachukua fomu l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Kisha tunapata mfumo wa equations:
Kutatua mfumo huu kwa kutumia njia ya Gaussian kutapunguzwa hadi kupata matrix ya hatua sawa, tu itakuwa na safu moja zaidi - masharti ya bure. Zote zitakuwa sifuri, kwani mabadiliko ya mstari wa zero hayawezi kusababisha matokeo tofauti. Mfumo uliobadilishwa wa equations utachukua fomu:
Suluhisho la mfumo huu litakuwa (-с;-с; с), ambapo с ni nambari ya kiholela; kwa mfano, (-1;-1;1). Hii ina maana kwamba tukichukua l = -1; 2 =-1 na 3 = 1, basi l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, i.e. vekta kwa kweli hutegemea mstari.
Kutoka kwa mfano uliotatuliwa inakuwa wazi kwamba ikiwa tutachukua idadi ya vekta kubwa kuliko ukubwa wa nafasi, basi watakuwa wanategemea linearly. Kwa kweli, ikiwa tulichukua vekta tano katika mfano huu, tungepata matrix 4 x 5, ambayo kiwango chake hakiwezi kuwa kubwa zaidi ya nne. Wale. idadi ya juu zaidi ya safu wima zinazojitegemea kimstari bado haitakuwa zaidi ya nne. Vekta mbili, tatu au nne za nne-dimensional zinaweza kujitegemea kwa mstari, lakini tano au zaidi haziwezi. Kwa hivyo, si zaidi ya vekta mbili zinaweza kujitegemea kwa mstari kwenye ndege. Vekta zozote tatu katika nafasi ya pande mbili zinategemea mstari. Katika nafasi ya pande tatu, vekta nne (au zaidi) zinategemea kila wakati. Nakadhalika.
Ndiyo maana mwelekeo nafasi inaweza kufafanuliwa kama idadi ya juu zaidi ya vekta huru zinazoweza kuwa ndani yake.
Seti ya vekta za n-linearly zinazojitegemea za nafasi ya n-dimensional R inaitwa msingi nafasi hii.
Nadharia. Kila vekta ya nafasi ya mstari inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi, na kwa njia ya kipekee.
Ushahidi. Hebu vekta e l , e 2 ,...e n kuunda nafasi ya msingi-dimensional R. Hebu tuthibitishe kwamba vekta yoyote X ni mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi. Kwa kuwa, pamoja na vekta X, idadi ya vekta itakuwa (n +1), veta hizi (n +1) zitakuwa tegemezi kwa mstari, i.e. kuna nambari l , 2 ,..., n ,, zisizo sawa na sifuri kwa wakati mmoja, kiasi kwamba
l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0
Katika kesi hii, 0, kwa sababu vinginevyo tungepata l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, ambapo si coefficients zote l , 2 ,..., n ni sawa na sifuri. Hii inamaanisha kuwa vekta za msingi zitakuwa tegemezi kwa mstari. Kwa hivyo, tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation ya kwanza na:
( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0
Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n
Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,
wapi x j = -( j /), 
.
Sasa tunathibitisha kuwa uwakilishi kama huo katika mfumo wa mchanganyiko wa mstari ni wa kipekee. Hebu tuchukue kinyume chake, i.e. kwamba kuna uwakilishi mwingine:
Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n
Wacha tuondoe kutoka kwayo muda kwa muda usemi uliopatikana hapo awali:
0 = (y l – x 1) e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n
Kwa kuwa vekta za msingi zinajitegemea kwa mstari, tunapata hiyo (y j - x j) = 0, 
, yaani y j = x j . Kwa hivyo usemi uligeuka kuwa sawa. Nadharia imethibitishwa.
Usemi X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n unaitwa mtengano vekta X kulingana na e l, e 2,...e n, na nambari x l, x 2,...x n - kuratibu vector x kuhusiana na msingi huu, au kwa msingi huu.
Inaweza kuthibitishwa kuwa ikiwa vekta za nnonzero za nafasi ya n-dimensional Euclidean ni za othogonal za jozi, basi zinaunda msingi. Kwa hakika, hebu tuzidishe pande zote mbili za usawa l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 kwa vector yoyote e i. Tunapata l (e l *е i) + 2 (e 2 *е i) +...+ n (e n *е i) = 0 i (e i *е i) = 0 i = 0 kwa i.
Vekta e l , e 2 ,...e n ya umbo la n-dimensional Euclidean msingi wa kawaida, ikiwa vectors hizi ni pairwise orthogonal na kawaida ya kila mmoja wao ni sawa na moja, i.e. ikiwa e i *e j = 0 kwa i≠j na |е i | = 1 kwai.
Theorem (hakuna ushahidi). Katika kila nafasi ya n-dimensional Euclidean kuna msingi wa kawaida.
Mfano wa msingi wa kawaida ni mfumo wa n vectors e i , ambayo sehemu ya i-th ni sawa na moja na vipengele vilivyobaki ni sawa na sifuri. Kila vector vile inaitwa ort. Kwa mfano, vectors (1, 0, 0), (0, 1, 0) na (0, 0, 1) huunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.
Bidhaa ya scalar ya vekta (hapa inajulikana kama SP). wapendwa! Mtihani wa hisabati ni pamoja na kikundi cha shida kwenye utatuzi wa vekta. Tayari tumezingatia baadhi ya matatizo. Unaweza kuwaona katika kitengo cha "Vekta". Kwa ujumla, nadharia ya vectors sio ngumu, jambo kuu ni kujifunza mara kwa mara. Mahesabu na uendeshaji na vectors katika kozi ya hisabati ya shule ni rahisi, kanuni sio ngumu. Angalia. Katika makala hii tutachambua matatizo kwenye SP ya vectors (iliyojumuishwa katika Uchunguzi wa Jimbo la Umoja). Sasa "kuzamishwa" katika nadharia:
H Ili kupata kuratibu za vekta, unahitaji kuondoa kutoka kwa kuratibu za mwisho wakekuratibu zinazolingana za asili yake
Na zaidi:
*Urefu wa Vekta (moduli) imedhamiriwa kama ifuatavyo:
Hizi formula lazima zikumbukwe!!!
Wacha tuonyeshe pembe kati ya veta:
Ni wazi kuwa inaweza kutofautiana kutoka 0 hadi 180 0(au kwa radians kutoka 0 hadi Pi).
Tunaweza kupata hitimisho fulani kuhusu ishara ya bidhaa ya scalar. Urefu wa vector ni thamani chanya, Ni dhahiri. Hii inamaanisha ishara ya bidhaa ya scalar inategemea thamani ya cosine ya pembe kati ya vectors.
Kesi zinazowezekana:
1. Ikiwa pembe kati ya vectors ni papo hapo (kutoka 0 0 hadi 90 0), basi cosine ya angle itakuwa na thamani nzuri.
2. Ikiwa angle kati ya vectors ni obtuse (kutoka 90 0 hadi 180 0), basi cosine ya angle itakuwa na thamani hasi.
*Katika digrii sifuri, yaani, wakati vekta zina mwelekeo sawa, cosine sawa na moja na ipasavyo matokeo yatakuwa chanya.
Katika 180 o, yaani, wakati vekta zina mwelekeo tofauti, cosine ni sawa na minus moja,na ipasavyo matokeo yatakuwa hasi.
Sasa JAMBO MUHIMU!
Saa 90 o, yaani, wakati vectors ni perpendicular kwa kila mmoja, cosine ni sawa na sifuri, na kwa hiyo SP ni sawa na sifuri. Ukweli huu (matokeo, hitimisho) hutumika katika kutatua matatizo mengi pale tunapozungumzia msimamo wa jamaa vekta, pamoja na shida zilizojumuishwa katika benki ya wazi ya kazi katika hisabati.
Wacha tutengeneze taarifa: bidhaa ya scalar ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta hizi ziko kwenye mistari ya perpendicular.
Kwa hivyo, fomula za vekta za SP:
Ikiwa kuratibu za veta au kuratibu za alama za mwanzo na mwisho wao zinajulikana, basi tunaweza kupata pembe kati ya veta kila wakati:
Wacha tuzingatie majukumu:
27724 Tafuta bidhaa ya scalar ya vekta a na b.
Tunaweza kupata bidhaa ya scalar ya vekta kwa kutumia moja ya fomula mbili:
Pembe kati ya vekta haijulikani, lakini tunaweza kupata kuratibu za vekta kwa urahisi na kisha kutumia fomula ya kwanza. Kwa kuwa asili ya vekta zote mbili inalingana na asili ya kuratibu, kuratibu za vekta hizi ni sawa na kuratibu za miisho yao, ambayo ni.
Jinsi ya kupata kuratibu za vekta imeelezewa ndani.
Tunahesabu:
Jibu: 40
Wacha tupate kuratibu za veta na tumia formula:
Ili kupata kuratibu za vekta, ni muhimu kutoa kuratibu zinazofanana za mwanzo wake kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vector, ambayo ina maana.
Tunahesabu bidhaa ya scalar:
Jibu: 40
Tafuta pembe kati ya vekta a na b. Toa jibu lako kwa digrii.
Acha kuratibu za veta ziwe na fomu:
Ili kupata pembe kati ya vekta, tunatumia formula ya bidhaa ya scalar ya vekta:
Cosine ya pembe kati ya vekta:
Kwa hivyo:
Kuratibu za vekta hizi ni sawa:
Wacha tuzibadilishe katika fomula:
Pembe kati ya veta ni digrii 45.
Jibu: 45
Bidhaa ya dot ya vekta
Tunaendelea kukabiliana na vectors. Katika somo la kwanza Vectors kwa dummies Tuliangalia dhana ya vector, vitendo na vectors, kuratibu vector na matatizo rahisi na vectors. Ikiwa ulikuja kwenye ukurasa huu kwa mara ya kwanza kutoka kwa injini ya utaftaji, ninapendekeza sana kusoma kifungu cha utangulizi hapo juu, kwani ili kujua nyenzo unahitaji kufahamiana na masharti na nukuu ninazotumia, kuwa na maarifa ya kimsingi juu ya vekta na. kuwa na uwezo wa kutatua matatizo ya msingi. Somo hili ni mwendelezo wa kimantiki wa mada, na ndani yake nitachambua kwa undani kazi za kawaida, ambayo hutumia bidhaa ya scalar ya vectors. Hii ni shughuli MUHIMU SANA.. Jaribu kutoruka mifano; wanakuja na bonasi muhimu - mazoezi yatakusaidia kujumuisha nyenzo ulizoshughulikia na kupata bora katika kutatua shida za kawaida katika jiometri ya uchanganuzi.
Ongezeko la vekta, kuzidisha vekta kwa nambari.... Itakuwa ni ujinga kufikiri kwamba wanahisabati hawajapata kitu kingine. Mbali na hatua zilizojadiliwa tayari, kuna idadi ya shughuli zingine na vekta, ambazo ni: bidhaa ya dot ya vekta, bidhaa ya vector ya vekta Na bidhaa mchanganyiko wa vekta. Bidhaa za scalar za vekta zinajulikana kwetu kutoka shuleni, bidhaa zingine mbili kawaida zinahusiana na kozi. hisabati ya juu. Mada ni rahisi, algorithm ya kutatua shida nyingi ni moja kwa moja na inaeleweka. Kitu pekee. Kuna habari nyingi nzuri, kwa hivyo haifai kujaribu kujua na kutatua kila kitu mara moja. Hii ni kweli hasa kwa dummies; niamini, mwandishi hataki kabisa kujisikia kama Chikatilo kutoka hisabati. Kweli, sio kutoka kwa hisabati, kwa kweli, ama =) Wanafunzi walioandaliwa zaidi wanaweza kutumia vifaa kwa kuchagua, kwa maana fulani, "kupata" maarifa yaliyokosekana, kwako nitakuwa Hesabu isiyo na madhara Dracula =)
Hebu hatimaye tufungue mlango na tutazame kwa shauku kitakachotokea wakati vekta mbili zinapokutana...
Ufafanuzi wa bidhaa ya scalar ya vectors.
Tabia za bidhaa za scalar. Kazi za kawaida
Dhana ya bidhaa ya nukta
Kwanza kuhusu pembe kati ya vekta. Nadhani kila mtu anaelewa kwa usawa ni nini pembe kati ya vekta, lakini ikiwa tu, maelezo zaidi kidogo. Wacha tuzingatie vekta za nonzero za bure na . Ikiwa utapanga vekta hizi kutoka kwa hatua ya kiholela, utapata picha ambayo wengi tayari wamefikiria kiakili: 
Ninakubali, hapa nilielezea hali hiyo kwa kiwango cha uelewa. Ikiwa unahitaji ufafanuzi madhubuti wa pembe kati ya vekta, tafadhali rejelea kitabu cha maandishi; kwa shida za vitendo, kimsingi, haina maana kwetu. Pia HAPA NA HAPA nitapuuza vekta sifuri mahali kwa sababu ya umuhimu wao mdogo wa kiutendaji. Nilihifadhi mahususi kwa wanaotembelea tovuti mahiri ambao wanaweza kunilaumu kwa kutokamilika kwa kinadharia kwa baadhi ya taarifa zinazofuata.
inaweza kuchukua maadili kutoka digrii 0 hadi 180 (0 hadi radians), ikijumuisha. Uchambuzi, ukweli huu umeandikwa katika mfumo wa usawa mara mbili:
au 
(katika radians). Katika fasihi, ishara ya pembe mara nyingi ruka na imeandikwa tu.
Ufafanuzi: Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni NAMBA sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi na cosine ya pembe kati yao: 
Sasa hii ni ufafanuzi mkali kabisa.
Tunazingatia habari muhimu:
Uteuzi: bidhaa ya scalar inaashiria au kwa urahisi.
Matokeo ya operesheni ni NUMBER: Vekta inazidishwa na vekta, na matokeo yake ni nambari. Hakika, ikiwa urefu wa vekta ni nambari, cosine ya pembe ni nambari, basi bidhaa zao 
pia itakuwa nambari.
Mifano michache tu ya joto-up:
Mfano 1
Suluhisho: Tunatumia formula 
. KATIKA kwa kesi hii:
Jibu:
Maadili ya Cosine yanaweza kupatikana ndani meza ya trigonometric. Ninapendekeza kuichapisha - itahitajika karibu na sehemu zote za mnara na itahitajika mara nyingi.
Kwa mtazamo wa kihesabu, bidhaa ya scalar haina kipimo, ambayo ni, matokeo, katika kesi hii, ni nambari tu na ndivyo hivyo. Kutoka kwa mtazamo wa matatizo ya fizikia, bidhaa ya scalar daima ina fulani maana ya kimwili, yaani, baada ya matokeo unahitaji kuonyesha kitengo kimoja au kingine cha kimwili. Mfano wa kisheria wa kuhesabu kazi ya nguvu inaweza kupatikana katika kitabu chochote cha maandishi (formula ni bidhaa ya scalar). Kazi ya nguvu inapimwa katika Joules, kwa hiyo, jibu litaandikwa kabisa hasa, kwa mfano,.
Mfano 2
Tafuta kama 
, na pembe kati ya vekta ni sawa na .
Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea, jibu liko mwishoni mwa somo.
Pembe kati ya vekta na thamani ya bidhaa yenye nukta
Katika Mfano wa 1 bidhaa ya scalar iligeuka kuwa chanya, na katika Mfano wa 2 iligeuka kuwa mbaya. Wacha tujue ni nini ishara ya bidhaa ya scalar inategemea. Wacha tuangalie formula yetu: 
. Urefu wa vectors zisizo za sifuri daima ni chanya: , hivyo ishara inaweza tu kutegemea thamani ya cosine.
Kumbuka: Ili kuelewa vyema habari iliyo hapa chini, ni bora kusoma grafu ya cosine kwenye mwongozo Grafu za kazi na mali. Tazama jinsi cosine inavyofanya kwenye sehemu.
Kama ilivyoelezwa tayari, pembe kati ya vekta inaweza kutofautiana ndani 
, na kesi zifuatazo zinawezekana:
1) Kama kona kati ya vekta yenye viungo: 
(kutoka digrii 0 hadi 90), basi 
, Na bidhaa ya dot itakuwa chanya iliyoelekezwa pamoja, basi angle kati yao inachukuliwa kuwa sifuri, na bidhaa ya scalar pia itakuwa chanya. Kwa kuwa , fomula hurahisisha: .
2) Kama kona kati ya vekta butu: 
(kutoka digrii 90 hadi 180), basi 
, na vivyo hivyo, bidhaa ya nukta ni hasi: . Kesi maalum: ikiwa vekta maelekezo kinyume, basi angle kati yao inazingatiwa kupanuliwa: (nyuzi 180). Bidhaa ya scalar pia ni hasi, tangu
Taarifa za mazungumzo pia ni kweli:
1) Ikiwa , basi pembe kati ya vekta hizi ni papo hapo. Vinginevyo, vekta ni za mwelekeo shirikishi.
2) Ikiwa , basi pembe kati ya vekta hizi ni butu. Vinginevyo, vekta ziko katika mwelekeo tofauti.
Lakini kesi ya tatu ni ya kuvutia sana:
3) Kama kona kati ya vekta moja kwa moja: (digrii 90), basi bidhaa ya scalar ni sifuri:. Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi . Taarifa inaweza kutayarishwa kwa ukamilifu kama ifuatavyo: Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta ni orthogonal. Mfupi nukuu ya hisabati: 
! Kumbuka
: Hebu kurudia misingi ya mantiki ya hisabati: Aikoni ya matokeo ya mantiki ya pande mbili kwa kawaida husomwa "ikiwa na tu", "ikiwa na tu ikiwa". Kama unaweza kuona, mishale imeelekezwa kwa pande zote mbili - "kutoka hii inafuata hii, na kinyume chake - kutoka kwa hiyo ifuatavyo hii." Nini, kwa njia, ni tofauti gani kutoka kwa ikoni ya kufuata njia moja? Ikoni inasema hiyo tu, kwamba “kutokana na hili hufuata hili,” na si ukweli kwamba kinyume chake ni kweli. Kwa mfano:, lakini si kila mnyama ni panther, hivyo katika kesi hii huwezi kutumia icon. Wakati huo huo, badala ya icon Je! tumia ikoni ya upande mmoja. Kwa mfano, wakati wa kutatua shida, tuligundua kuwa tulihitimisha kuwa vekta ni za orthogonal: 
- kiingilio kama hicho kitakuwa sahihi, na inafaa zaidi kuliko 
.
Kesi ya tatu ina umuhimu mkubwa wa vitendo, kwani hukuruhusu kuangalia ikiwa vekta ni za orthogonal au la. Tutatua tatizo hili katika sehemu ya pili ya somo.
Tabia za bidhaa ya dot
Hebu turudi kwenye hali wakati vectors mbili iliyoelekezwa pamoja. Katika kesi hii, angle kati yao ni sifuri, , na formula ya bidhaa ya scalar inachukua fomu:.
Ni nini hufanyika ikiwa vekta inazidishwa yenyewe? Ni wazi kuwa vekta imejipanga yenyewe, kwa hivyo tunatumia fomula iliyorahisishwa hapo juu:
Nambari inaitwa mraba wa scalar vekta, na zimeashiriwa kama .
Hivyo, mraba wa scalar wa vekta ni sawa na mraba wa urefu wa vekta iliyotolewa:
Kutoka kwa usawa huu tunaweza kupata fomula ya kuhesabu urefu wa vekta:
Kufikia sasa inaonekana kuwa haijulikani, lakini malengo ya somo yataweka kila kitu mahali pake. Ili kutatua matatizo tunayohitaji pia sifa za bidhaa ya dot.
Kwa vekta za kiholela na nambari yoyote, mali zifuatazo ni kweli:
1) - ya kubadilisha au ya kubadilisha sheria ya bidhaa za scalar.
2) 
- usambazaji au kusambaza sheria ya bidhaa za scalar. Kwa urahisi, unaweza kufungua mabano.
3) 
- ushirika au ushirika sheria ya bidhaa za scalar. Mara kwa mara inaweza kupatikana kutoka kwa bidhaa ya scalar.
Mara nyingi, aina zote za mali (ambazo pia zinahitaji kuthibitishwa!) zinatambuliwa na wanafunzi kama takataka zisizo za lazima, ambayo unahitaji tu kukariri na kusahau salama mara baada ya mtihani. Inaweza kuonekana kuwa ni nini muhimu hapa, kila mtu tayari anajua kutoka kwa daraja la kwanza kwamba kupanga upya mambo haibadilishi bidhaa:. Lazima nikuonye kwamba katika hisabati ya juu ni rahisi kuharibu mambo kwa njia kama hiyo. Kwa hivyo, kwa mfano, mali ya ubadilishaji sio kweli kwa matrices ya algebra. Pia si kweli kwa bidhaa ya vector ya vekta. Kwa hivyo, kwa kiwango cha chini, ni bora kuzama katika mali yoyote ambayo utapata katika kozi ya juu ya hisabati ili kuelewa kile unachoweza kufanya na kile ambacho huwezi kufanya.
Mfano 3
.
Suluhisho: Kwanza, hebu tufafanue hali na vector. Hii ni nini hata hivyo? Jumla ya vekta ni vekta iliyofafanuliwa vizuri, ambayo inaonyeshwa na. Tafsiri ya kijiometri ya vitendo na vekta inaweza kupatikana katika makala Vectors kwa dummies. Parsley sawa na vector ni jumla ya vectors na.
Kwa hivyo, kulingana na hali hiyo, inahitajika kupata bidhaa ya scalar. Kwa nadharia, unahitaji kutumia formula ya kufanya kazi 
, lakini shida ni kwamba hatujui urefu wa vekta na angle kati yao. Lakini hali inatoa vigezo sawa kwa vekta, kwa hivyo tutachukua njia tofauti:
(1) Badilisha maneno ya vekta.
(2) Tunafungua mabano kulingana na sheria ya kuzidisha polynomia; kizunguzungu cha lugha chafu kinaweza kupatikana kwenye kifungu. Nambari tata au Kuunganisha Kazi ya Kimaudhui-Fractional. Sitajirudia =) Kwa njia, mali ya usambazaji wa bidhaa ya scalar inatuwezesha kufungua mabano. Tuna haki.
(3) Katika maneno ya kwanza na ya mwisho tunaandika kwa ufupi miraba ya scalar ya vekta: 
. Katika muhula wa pili tunatumia commutability ya bidhaa scalar:.
(4) Tunawasilisha maneno yanayofanana: .
(5) Katika neno la kwanza tunatumia fomula ya mraba ya scalar, ambayo ilitajwa si muda mrefu uliopita. Katika muhula wa mwisho, ipasavyo, kitu kimoja hufanya kazi:. Tunapanua muda wa pili kulingana na fomula ya kawaida 
.
(6) Badilisha masharti haya 
, na kwa UMAKINI fanya mahesabu ya mwisho.
Jibu:
Thamani mbaya ya bidhaa ya scalar inasema ukweli kwamba angle kati ya vectors ni butu.
Shida ni ya kawaida, hapa kuna mfano wa kuisuluhisha mwenyewe:
Mfano 4
Pata bidhaa ya scalar ya vekta na ikiwa inajulikana hivyo 
.
Sasa kazi nyingine ya kawaida, kwa fomula mpya ya urefu wa vekta. Nukuu hapa itapishana kidogo, kwa hivyo kwa uwazi nitaiandika tena kwa herufi tofauti:
Mfano 5
Tafuta urefu wa vekta ikiwa 
.
Suluhisho itakuwa kama ifuatavyo:
(1) Tunatoa usemi wa vekta.
(2) Tunatumia fomula ya urefu: , na usemi wote ve hufanya kama vekta "ve".
(3) Tunatumia fomula ya shule kwa mraba wa jumla. Angalia jinsi inavyofanya kazi hapa kwa njia ya kushangaza: - kwa kweli, ni mraba wa tofauti, na, kwa kweli, ndivyo ilivyo. Wale wanaotaka wanaweza kupanga upya vekta: - kitu kimoja kinatokea, hadi upangaji upya wa masharti.
(4) Yafuatayo tayari yanajulikana kutokana na matatizo mawili yaliyotangulia.
Jibu: 
Kwa kuwa tunazungumza juu ya urefu, usisahau kuonyesha kipimo - "vitengo".
Mfano 6
Tafuta urefu wa vekta ikiwa 
.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Tunaendelea kubana vitu muhimu kutoka kwa bidhaa ya nukta. Wacha tuangalie fomula yetu tena 
. Kutumia kanuni ya uwiano, tunaweka upya urefu wa veta kwa dhehebu la upande wa kushoto: 
Wacha tubadilishane sehemu: 
Nini maana ya fomula hii? Ikiwa urefu wa vectors mbili na bidhaa zao za scalar zinajulikana, basi tunaweza kuhesabu cosine ya angle kati ya vectors hizi, na kwa hiyo, angle yenyewe.
Je, bidhaa ya nukta ni nambari? Nambari. Ni nambari za urefu wa vekta? Nambari. Hii inamaanisha kuwa sehemu pia ni nambari. Na ikiwa cosine ya pembe inajulikana: 
, kisha kutumia utendaji wa kinyume Ni rahisi kupata pembe yenyewe: 
.
Mfano 7
Tafuta pembe kati ya vekta na ikiwa inajulikana kuwa .
Suluhisho: Tunatumia formula:
Washa hatua ya mwisho mahesabu, mbinu ya kiufundi ilitumiwa - kuondoa ujinga katika denominator. Ili kuondoa kutokuwa na akili, nilizidisha nambari na denominator kwa .
Hivyo kama 
, Hiyo: 
Maadili kinyume kazi za trigonometric inaweza kupatikana na meza ya trigonometric. Ingawa hii hutokea mara chache. Katika shida za jiometri ya uchanganuzi, mara nyingi zaidi dubu fulani dhaifu kama , na thamani ya pembe inapaswa kupatikana takriban kwa kutumia kikokotoo. Kwa kweli, tutaona picha kama hiyo zaidi ya mara moja.
Jibu: 
Tena, usisahau kuonyesha vipimo - radians na digrii. Binafsi, ili ni wazi "kusuluhisha maswali yote", napendelea kuashiria zote mbili (isipokuwa hali hiyo, kwa kweli, inahitaji kuwasilisha jibu tu kwa radians au digrii tu).
Sasa unaweza kujitegemea kukabiliana na kazi ngumu zaidi:
Mfano 7*
Imepewa urefu wa vekta na pembe kati yao. Tafuta pembe kati ya vekta, .
Kazi sio ngumu sana kwani ni ya hatua nyingi.
Wacha tuangalie algorithm ya suluhisho:
1) Kulingana na hali, unahitaji kupata pembe kati ya vekta na, kwa hivyo unahitaji kutumia formula. 
.
2) Pata bidhaa ya scalar (angalia Mifano No. 3, 4).
3) Tafuta urefu wa vekta na urefu wa vekta (tazama Mifano No. 5, 6).
4) Mwisho wa suluhisho unaambatana na Mfano Nambari 7 - tunajua nambari , ambayo inamaanisha ni rahisi kupata pembe yenyewe: 
Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.
Sehemu ya pili ya somo imejitolea kwa bidhaa sawa ya scalar. Kuratibu. Itakuwa rahisi zaidi kuliko katika sehemu ya kwanza.
Bidhaa ya dot ya vekta,
inayotolewa na kuratibu kwa misingi ya kawaida
Jibu:
Bila kusema, kushughulika na kuratibu ni ya kupendeza zaidi.
Mfano 14
Pata bidhaa ya scalar ya vekta na ikiwa
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Hapa unaweza kutumia ushirika wa operesheni, ambayo ni, usihesabu, lakini mara moja chukua mara tatu nje ya bidhaa ya scalar na kuzidisha nayo ndani. mapumziko ya mwisho. Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.
Mwishoni mwa aya, mfano wa uchochezi juu ya kuhesabu urefu wa vekta:
Mfano 15
Tafuta urefu wa vekta 
, Kama
Suluhisho: Njia ya sehemu iliyopita inajipendekeza tena: lakini kuna njia nyingine:
Wacha tupate vekta:
Na urefu wake kulingana na formula isiyo na maana 
:
Bidhaa ya nukta haifai hapa hata kidogo!
Pia sio muhimu wakati wa kuhesabu urefu wa vekta:
Acha. Hatupaswi kuchukua fursa ya mali dhahiri ya urefu wa vekta? Unaweza kusema nini juu ya urefu wa vector? Vekta hii Mara 5 zaidi ya vector. Mwelekeo ni kinyume, lakini hii haijalishi, kwa sababu tunazungumza juu ya urefu. Kwa wazi, urefu wa vector ni sawa na bidhaa moduli nambari kwa urefu wa vekta:
- ishara ya moduli "inakula" minus inayowezekana ya nambari.
Hivyo:
Jibu:
Fomula ya kosine ya pembe kati ya vekta ambazo zimebainishwa na kuratibu
sasa tunayo habari kamili, ili formula inayotokana hapo awali ya cosine ya pembe kati ya vekta 
eleza kupitia kuratibu za vekta:
Cosine ya pembe kati ya vekta za ndege na, iliyobainishwa katika misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula:
.
Cosine ya pembe kati ya vekta za nafasi, iliyobainishwa katika misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula: 
Mfano 16
Imepewa wima tatu za pembetatu. Tafuta (pembe ya vertex).
Suluhisho: Kulingana na masharti, mchoro hauhitajiki, lakini bado: 
Pembe inayohitajika imewekwa na arc ya kijani. Wacha tukumbuke mara moja jina la shule kwa pembe: - Tahadhari maalum juu wastani barua - hii ni vertex ya angle tunayohitaji. Kwa ufupi, unaweza pia kuandika kwa urahisi.
Kutoka kwa mchoro ni dhahiri kabisa kuwa pembe ya pembetatu inalingana na pembe kati ya veta na, kwa maneno mengine: 
.
Inashauriwa kujifunza jinsi ya kufanya uchambuzi kiakili.
Wacha tupate vekta: 
Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar:
Na urefu wa veta: 
Cosine ya pembe:
Huu ndio utaratibu wa kukamilisha kazi ambayo ninapendekeza kwa dummies. Wasomaji wa hali ya juu zaidi wanaweza kuandika mahesabu "katika mstari mmoja": 
Hapa kuna mfano wa thamani ya "mbaya" ya cosine. Thamani inayosababishwa sio ya mwisho, kwa hivyo hakuna uhakika katika kuondoa kutokuwa na akili katika dhehebu.
Wacha tupate pembe yenyewe:
Ikiwa unatazama mchoro, matokeo yanawezekana kabisa. Kuangalia, angle inaweza pia kupimwa na protractor. Usiharibu kifuniko cha mfuatiliaji =)
Jibu: 
Katika jibu hilo hatusahau hilo aliuliza juu ya pembe ya pembetatu(na sio juu ya pembe kati ya veta), usisahau kuonyesha jibu kamili: na takriban thamani ya pembe: 
, kupatikana kwa kutumia kikokotoo.
Wale ambao wamefurahia mchakato wanaweza kukokotoa pembe na kuthibitisha uhalali wa usawa wa kisheria
Mfano 17
Pembetatu hufafanuliwa katika nafasi na kuratibu za wima zake. Pata pembe kati ya pande na
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo
Sehemu fupi ya mwisho itatolewa kwa makadirio, ambayo pia yanahusisha bidhaa ya scalar:
Makadirio ya vekta kwenye vekta. Makadirio ya vekta kwenye shoka za kuratibu.
Kosini za mwelekeo wa vekta
Fikiria vekta na: 
Wacha tupange vekta kwenye vekta; kufanya hivyo, kutoka mwanzo na mwisho wa vekta tunaacha. perpendiculars kwa vekta (mistari yenye alama za kijani). Fikiria kwamba miale ya mwanga huanguka perpendicularly kwenye vekta. Kisha sehemu (mstari nyekundu) itakuwa "kivuli" cha vector. Katika kesi hii, makadirio ya vekta kwenye vekta ni UREFU wa sehemu. Yaani PROJECTION NI NAMBA.
NUMBER hii imeashiriwa kama ifuatavyo: , "vekta kubwa" inaashiria vekta AMBAYO mradi, "vekta ndogo ya usajili" inaashiria vekta WASHA ambayo inakadiriwa.
Ingizo lenyewe linasomeka kama hii: "makadirio ya vekta "a" kwenye vekta "kuwa"."
Ni nini hufanyika ikiwa vekta "kuwa" ni "fupi sana"? Tunatoa mstari wa moja kwa moja ulio na vector "kuwa". Na vector "a" itakadiriwa tayari kwa mwelekeo wa vekta "kuwa", kwa urahisi - kwa mstari wa moja kwa moja ulio na vekta "kuwa". Kitu kimoja kitatokea ikiwa vekta "a" imeahirishwa katika ufalme wa thelathini - bado itaonyeshwa kwa urahisi kwenye mstari ulio sawa ulio na vekta "kuwa".
Ikiwa pembe kati ya vekta yenye viungo(kama kwenye picha), basi
Ikiwa vekta ya mifupa, basi (makadirio ni hatua ambayo vipimo vinazingatiwa sifuri).
Ikiwa pembe kati ya vekta butu(katika takwimu, kiakili panga upya mshale wa vector), kisha (urefu sawa, lakini kuchukuliwa na ishara ya minus).
Wacha tupange vekta hizi kutoka kwa hatua moja: 
Ni wazi, wakati vekta inaposonga, makadirio yake hayabadilika