Masharti ya vekta kuwa perpendicular
Vectors ni perpendicular ikiwa na tu ikiwa wao bidhaa ya scalar sawa na sifuri.
Imepewa vekta mbili a(xa;ya) na b(xb;yb). Vekta hizi zitakuwa za kawaida ikiwa usemi xaxb + yayb = 0.
Vectors ni sambamba ikiwa bidhaa zao za msalaba ni sifuri
Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Matatizo ya msingi kwenye mstari wa moja kwa moja kwenye ndege.
Mstari wowote wa moja kwa moja kwenye ndege unaweza kutajwa na equation ya kwanza ya Ax + By + C = 0, na mara kwa mara A na B si sawa na sifuri kwa wakati mmoja, i.e. A2 + B2 0. Mlingano huu wa mpangilio wa kwanza unaitwa mlingano wa jumla moja kwa moja. Kulingana na maadili mara kwa mara A, B na C kesi maalum zifuatazo zinawezekana: - C = 0, A 0, B 0 - mstari wa moja kwa moja hupitia asili - A = 0, B 0, C 0 ( By
C = 0) - mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa Oy - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa Oy - B = C = 0, A 0 - mstari mnyoofu unapatana na mhimili wa Oy - A = C = 0, B 0 - mstari ulionyooka unapatana na mhimili wa Ox. Mlinganyo wa mstari ulionyooka unaweza kuwakilishwa katika kwa namna mbalimbali kulingana na masharti yoyote ya awali.
Ikiwa angalau moja ya mgawo A, B, kiwango cha C Ax+By+C=0 ni sawa na 0, ur-e
kuitwa haijakamilika. Kwa fomu ya equation ya mstari wa moja kwa moja mtu anaweza kuhukumu msimamo wake
kujaa OXU. Kesi zinazowezekana:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) inatosheleza mlinganyo huu, kumaanisha kuwa ni sawa
hupitia asili
2 A=0 L: Ву+С=0 - kawaida v-r n=(0,B) ni sawa na mhimili wa OX kutoka hapa
inafuata kwamba mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili wa OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - thamani nominella n=(A,0) ni sawa na mhimili wa OY kutoka hapa
inafuata kwamba mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili wa op-amp
4 A=0, C=0 L: Kwa=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - haipiti asili na huingiliana
shoka zote mbili.
Mlinganyo mstari wa moja kwa moja" kwenye ndege, kupita pointi mbili zilizotolewa na: 
Pembe kati ya ndege.
Uhesabuji wa viashiria
Hesabu ya vibainishi inategemea sifa zao zinazojulikana, ambazo zinatumika kwa vibainishi vya maagizo yote. Hizi ndizo sifa:
1. Ukipanga upya safu mlalo mbili (au safu wima mbili) za kibainishi, kibainishi kitabadilisha ishara.
2. Ikiwa vipengele vinavyolingana vya safu mbili (au safu mbili) za kibainishi ni sawa au sawia, basi kibainishi ni sawa na sifuri.
3. Thamani ya kibainishi haitabadilika ikiwa utabadilisha safu na safu, kudumisha mpangilio wao.
4. Ikiwa vipengele vyote vya safu (au safu) vina sababu ya kawaida, basi inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya kuamua.
5. Thamani ya kibainishi haitabadilika ikiwa vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (au safu) vinaongezwa kwa vipengele vya safu moja (au safu), ikizidishwa na nambari sawa.
Matrix na vitendo vilivyo juu yao
Matrix- kitu cha hisabati kilichoandikwa kwa namna ya meza ya mstatili wa nambari (au vipengele vya pete) na kuruhusu shughuli za algebraic (kuongeza, kutoa, kuzidisha, nk) kati yake na vitu vingine sawa. Kwa kawaida, matrices huwakilishwa kama meza mbili-dimensional (mstatili). Wakati mwingine matrices ya multidimensional au matrices yasiyo ya mstatili huzingatiwa.
Kwa kawaida, matrix inaashiria kwa herufi kubwa ya alfabeti ya Kilatini na kuangaziwa na mabano ya pande zote "(…)" (pia yana alama ya mabano ya mraba “[…]" au mistari iliyonyooka mara mbili "||…||").
Nambari zinazounda tumbo (vipengele vya matrix) mara nyingi huonyeshwa kwa herufi sawa na tumbo yenyewe, lakini herufi ndogo (kwa mfano, a11 ni kipengele cha matrix A).
Kila kipengele cha matrix kina usajili 2 (aij) - ya kwanza "i" inaashiria nambari ya safu ambayo kipengele kinapatikana, na ya pili "j" inaashiria nambari ya safu. Wanasema "dimensional matrix", kumaanisha kuwa matrix ina safu mlalo na safuwima n. Daima katika tumbo sawa
Operesheni kwenye matrices
Acha aij iwe vipengele vya matrix A, na bij iwe vipengele vya matrix B.
Uendeshaji wa mstari:
Kuzidisha matrix A kwa nambari λ (alama: λA) inajumuisha kuunda matrix B, vitu ambavyo hupatikana kwa kuzidisha kila kipengele cha matrix A kwa nambari hii, ambayo ni, kila kipengele cha matrix B ni sawa na
Ongezeko la matiti A + B ni operesheni ya kupata matrix C, vitu vyote ambavyo ni sawa na jumla ya jozi ya vitu vyote vinavyolingana vya matiti A na B, ambayo ni, kila sehemu ya matrix C ni sawa na
Utoaji wa matrices A - B hufafanuliwa sawa na kuongeza; hii ni operesheni ya kutafuta matrix C ambayo vipengele vyake.
Kuongeza na kutoa kunaruhusiwa tu kwa matrices ya ukubwa sawa.
Kuna matrix ya sifuri Θ kwamba kuiongeza kwenye matrix nyingine A haibadilishi A, yaani
Vipengele vyote vya matrix ya sifuri ni sawa na sifuri.
Operesheni zisizo za mstari:
Kuzidisha kwa matrix (muundo: AB, mara chache na ishara ya kuzidisha) ni operesheni ya kuhesabu matrix C, vitu ambavyo ni sawa na jumla ya bidhaa za vitu kwenye safu inayolingana ya jambo la kwanza na safu ya pili. .cij = ∑ aikbkj k
Kipengele cha kwanza lazima kiwe na idadi sawa ya safuwima na idadi ya safu mlalo katika pili. Ikiwa matrix A ina mwelekeo B - , basi mwelekeo wa bidhaa zao AB = C ni. Kuzidisha kwa matrix sio mabadiliko.
Kuzidisha kwa tumbo ni ushirika. Matrices ya mraba pekee yanaweza kuinuliwa kwa mamlaka.
Ubadilishaji wa matrix (ishara: AT) ni operesheni ambayo matrix inaonyeshwa kuhusiana na diagonal kuu, ambayo ni.
Ikiwa A ni matrix ya saizi, basi AT ni matrix ya saizi
Derivative kazi ngumu
Kazi changamano ina fomu: F(x) = f(g(x)), i.e. ni kazi ya utendaji. Kwa mfano, y = sin2x, y = ln(x2+2x), nk.
Ikiwa katika hatua x kazi ya kukokotoa g(x) ina derivative g"(x), na katika uhakika u = g(x) chaguo za kukokotoa f(u) ina derivative f"(u), basi derivative ya chaguo za kukokotoa changamano f(g(x)) katika nukta x ipo na ni sawa na f"(u)g"(x).
Kitengo cha chaguo cha kukokotoa kisicho dhahiri
Katika shida nyingi, chaguo la kukokotoa y(x) limebainishwa kwa ukamilifu. Kwa mfano, kwa kazi zilizo hapa chini
haiwezekani kupata utegemezi y(x) kwa uwazi.
Algorithm ya kuhesabu derivative y"(x) kutoka kwa chaguo kamili cha kukokotoa ni kama ifuatavyo:
Kwanza unahitaji kutofautisha pande zote mbili za equation kwa heshima na x, kwa kudhani kuwa y ni kazi inayoweza kutofautishwa ya x na kutumia sheria kwa kuhesabu derivative ya kazi changamano;
Tatua mlingano unaotokana na derivative y"(x).
Hebu tuangalie mifano michache ya kueleza.
Tofautisha chaguo za kukokotoa y(x) zilizotolewa na mlinganyo.
Wacha tutofautishe pande zote mbili za equation kwa heshima na kutofautisha x:
nini husababisha matokeo
Utawala wa Lapital
Utawala wa L'Hopital. Acha kazi f(x) na g(x) iwe na mazingira. t-ki x0 pr-nye f' na g' bila kujumuisha uwezekano wa t-tu x0 hii sana. Acha lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 ili f(x)/g(x) ya x®x0 itoe 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), inapolingana na kikomo cha uwiano wa chaguo za kukokotoa lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Kigezo cha monotonicity ya chaguo za kukokotoa kuwa na derivative kwenye muda) Wacha kitendakazi. 
kuendelea
(a,b), na ina derivative f"(x) katika kila nukta. Kisha
1)f huongezeka kwa (a,b) ikiwa na iwapo tu
2) hupungua kwa (a,b) ikiwa na iwapo tu
2. (Hali ya kutosha kwa monotonicity kali ya chaguo za kukokotoa kuwa na derivative kwenye muda) Wacha kitendakazi. 
inaendelea kwenye (a,b), na ina derivative f"(x) katika kila nukta. Kisha
1) ikiwa basi f huongezeka sana kwenye (a,b);
2) ikiwa basi f itapungua kabisa kwenye (a,b).
Kuzungumza, kwa ujumla, sio kweli. Derivative ya kazi ya monotonic madhubuti inaweza kutoweka. Hata hivyo, seti ya pointi ambapo derivative si sifuri lazima iwe mnene kwenye muda (a,b). Kwa usahihi, inafanya.
3. (Kigezo cha monotonicity kali ya chaguo za kukokotoa kuwa na derivative kwenye muda) Wacha na derivative f"(x) imefafanuliwa kila mahali kwenye muda. Kisha f huongezeka kwa uthabiti kwa muda (a,b) ikiwa na iwapo tu masharti mawili yafuatayo yatatimizwa:
Bidhaa ya dot ya vekta. Pembe kati ya vekta. Hali ya usawa au perpendicularity ya vectors.
Bidhaa ya scalar ya vekta ni bidhaa ya urefu wao na cosine ya pembe kati yao:
Taarifa zifuatazo zinathibitishwa kwa njia sawa kabisa na katika planimetry:
Bidhaa ya scalar ya vekta mbili za nonzero ni sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta ni za perpendicular.
Mraba wa scalar wa vector, yaani, bidhaa ya scalar yenyewe na yenyewe, ni sawa na mraba wa urefu wake.
Bidhaa ya scalar ya vectors mbili na iliyotolewa na kuratibu zao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula
Vekta ni za pembeni ikiwa na tu ikiwa bidhaa yao ya nukta ni sifuri. Mfano. Imepewa vekta mbili na . Vekta hizi zitakuwa perpendicular ikiwa usemi x1x2 + y1y2 = 0. Pembe kati ya vekta zisizo za sifuri ni pembe kati ya mistari iliyonyooka ambayo vekta hizi ni viongozi. Kwa ufafanuzi, angle kati ya vector yoyote na vector sifuri inachukuliwa kuwa sawa na sifuri. Ikiwa pembe kati ya vectors ni 90 °, basi vectors vile huitwa perpendicular. Tutaashiria pembe kati ya veta kama ifuatavyo:
ohm Ili kufanya hivyo, kwanza tunatanguliza dhana ya sehemu.
Ufafanuzi 1
Tutaita sehemu sehemu ya mstari ambayo imefungwa na pointi pande zote mbili.
Ufafanuzi 2
Miisho ya sehemu ni pointi zinazoiwekea kikomo.
Ili kuanzisha ufafanuzi wa vector, tunaita moja ya mwisho wa sehemu mwanzo wake.
Ufafanuzi 3
Tutaita vector (sehemu iliyoelekezwa) sehemu ambayo imeonyeshwa ambayo hatua ya mpaka ni mwanzo wake na ambayo ni mwisho wake.
Dokezo: \overline(AB) ni vekta AB inayoanzia kwa uhakika A na kuishia kwa nukta B.
Vinginevyo, katika barua moja ndogo: \ overline (a) (Mchoro 1).
Ufafanuzi 4
Tutaita vekta ya sifuri hatua yoyote ambayo ni ya ndege.
Alama: \overline(0) .
Wacha sasa tueleze moja kwa moja ufafanuzi wa vekta za collinear.
Pia tutaanzisha ufafanuzi wa bidhaa ya scalar, ambayo tutahitaji baadaye.
Ufafanuzi 6
Bidhaa ya scalar ya vekta mbili zilizopewa ni scalar (au nambari) ambayo ni sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi mbili na cosine ya pembe kati ya vekta hizi.
Kihesabu inaweza kuonekana kama hii:
\ujumla(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Bidhaa ya nukta pia inaweza kupatikana kwa kutumia viwianishi vya vekta kama ifuatavyo
\jumla(α)\jumla(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Ishara ya perpendicularity kupitia uwiano
Nadharia 1
Kwa vectors zisizo za sifuri kuwa perpendicular kwa kila mmoja, ni muhimu na ya kutosha kwamba bidhaa zao za scalar za vectors hizi ni sawa na sifuri.
Ushahidi.
Umuhimu: Wacha tupewe vekta \ overline(α) na \overline(β) ambazo zina viwianishi (α_1,α_2,α_3) na (β_1,β_2,β_3), mtawaliwa, na ziko sawa kwa kila mmoja. Kisha tunahitaji kuthibitisha usawa ufuatao
Kwa kuwa vekta \ overline(α) na \overline(β) ni za pembeni, pembe kati yao ni 90^0. Wacha tupate bidhaa ya scalar ya vekta hizi kwa kutumia fomula kutoka kwa Ufafanuzi wa 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Utoshelevu: Acha usawa uwe kweli \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Wacha tuthibitishe kuwa veta \overline(α) na \overline(β) zitakuwa za kawaida kwa kila mmoja.
Kwa ufafanuzi wa 6, usawa utakuwa wa kweli
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β)))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\ overline(α),\overline(β))=90^\circ
Kwa hivyo, veta \ overline(α) na \overline(β) zitakuwa za kawaida kwa kila mmoja.
Nadharia imethibitishwa.
Mfano 1
Thibitisha kuwa vekta zilizo na viwianishi (1,-5,2) na (2,1,3/2) ni za pembeni.
Ushahidi.
Wacha tupate bidhaa ya scalar kwa vekta hizi kwa kutumia formula iliyotolewa hapo juu
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Hii inamaanisha, kulingana na Theorem 1, vekta hizi ni za kawaida.
Kutafuta vekta ya perpendicular kwa vekta mbili zilizopewa kwa kutumia bidhaa ya msalaba
Hebu kwanza tujulishe dhana ya bidhaa ya vector.
Ufafanuzi 7
Bidhaa ya vekta ya vekta mbili itakuwa vekta ambayo itakuwa ya kawaida kwa vekta zote mbili, na urefu wake utakuwa sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi na sine ya pembe kati ya vekta hizi, na pia vekta hii iliyo na mbili. za mwanzo zina mwelekeo sawa na mfumo wa kuratibu wa Cartesian.
Uteuzi: \jumla(α)x\overline(β)x.
Ili kupata bidhaa ya vector, tutatumia formula
\overline(α)х\overline(β)=\anza(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Kwa kuwa vector ya bidhaa ya msalaba wa vectors mbili ni perpendicular kwa wote wa vectors hizi, itakuwa vector. Hiyo ni, ili kupata vector perpendicular kwa vectors mbili, unahitaji tu kupata bidhaa zao za vector.
Mfano 2
Pata vekta inayoendana na vekta iliyo na viwianishi \overline(α)=(1,2,3) na \overline(β)=(-1,0,3)
Wacha tupate bidhaa ya vekta ya vekta hizi.
\overline(α)х\overline(β)=\anza(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\jumla(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
Maagizo
Ikiwa vekta ya asili inaonyeshwa kwenye mchoro katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa pande mbili na moja ya pembejeo inahitaji kujengwa hapo, endelea kutoka kwa ufafanuzi wa perpendicularity ya vectors kwenye ndege. Inasema kwamba angle kati ya jozi hiyo ya makundi yaliyoelekezwa lazima iwe sawa na 90 °. Idadi isiyo na kikomo ya vekta kama hizo zinaweza kujengwa. Kwa hiyo, chora katika yoyote eneo linalofaa ndege perpendicular kwa vector asili, kuweka sehemu juu yake, sawa na urefu ikipewa jozi ya alama zilizoamriwa na kukabidhi moja ya ncha zake kuwa asili ya vekta ya perpendicular. Fanya hili kwa kutumia protractor na rula.
Ikiwa vekta asili imetolewa na viwianishi vya pande mbili ā = (X₁;Y₁), chukulia kuwa bidhaa ya scalar ya jozi ya vekta za pembeni lazima iwe sawa na sufuri. Hii ina maana kwamba unahitaji kuchagua kwa vekta inayotaka ō = (X₂,Y₂) viwianishi vile ambavyo usawa (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 utashikilia. Hii inaweza kufanywa hivi: chagua yoyote. thamani isiyo ya sifuri ya kuratibu X₂, na ukokotoe uratibu wa Y₂ kwa kutumia fomula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Kwa mfano, kwa vekta ā = (15;5) kutakuwa na vekta ō, yenye abscissa, sawa na moja, na mratibu sawa na -(15*1)/5 = -3, i.e. ō = (1;-3).
Kwa mfumo wa kuratibu wa tatu-dimensional na nyingine yoyote ya orthogonal, hali sawa ya lazima na ya kutosha kwa perpendicularity ya vectors ni kweli - bidhaa zao za scalar lazima ziwe sawa na sifuri. Kwa hivyo, ikiwa sehemu iliyoelekezwa ya awali imetolewa na viwianishi ā = (X₁,Y₁,Z₁), chagua kwa jozi ya alama zilizopangwa ō = (X₂,Y₂,Z₂) kulingana nayo viwianishi hivyo vinavyokidhi hali (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Njia rahisi ni kugawa thamani moja kwa X₂ na Y₂, na kukokotoa Z₂ kutoka kwa usawa uliorahisishwa Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Kwa mfano, kwa vekta ā = (3,5,4) hii itachukua fomu ifuatayo: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kisha kuchukua abscissa na kuratibu ya vector perpendicular kama moja, na katika kesi hii itakuwa sawa na -(3+5)/4 = -2.
Vyanzo:
- pata vector ikiwa ni perpendicular
Wanaitwa perpendicular vekta, pembe kati ya ambayo ni 90º. Vectors perpendicular hujengwa kwa kutumia zana za kuchora. Ikiwa kuratibu zao zinajulikana, basi perpendicularity ya vectors inaweza kuchunguzwa au kupatikana kwa kutumia mbinu za uchambuzi.
Utahitaji
- - protractor;
- - dira;
- - mtawala.
Maagizo
Weka kwa hatua ya mwanzo ya vector. Chora mduara na radius ya kiholela. Kisha jenga mbili na vituo kwenye pointi ambapo mduara wa kwanza uliingilia mstari ambao vekta iko. Radi ya miduara hii lazima iwe sawa kwa kila mmoja na kubwa zaidi kuliko mzunguko wa kwanza uliojengwa. Katika sehemu za makutano ya miduara, jenga mstari wa moja kwa moja ambao utakuwa perpendicular kwa vector asili kwa asili yake, na panga juu yake vector perpendicular kwa hii.
Tafuta vekta inayoendana na ile ambayo inaratibu na ni sawa na (x;y). Ili kufanya hivyo, tafuta jozi ya nambari (x1;y1) ambayo inaweza kukidhi usawa x x1+y y1=0. Katika kesi hii, vekta iliyo na kuratibu (x1;y1) itakuwa ya kawaida kwa vekta na kuratibu (x;y).
Kifungu hiki kinaonyesha maana ya perpendicularity ya vectors mbili kwenye ndege katika nafasi tatu-dimensional na kutafuta kuratibu za vector perpendicular kwa moja au jozi nzima ya vector. Mada inatumika kwa matatizo yanayohusisha milinganyo ya mistari na ndege.
Tutazingatia hali ya lazima na ya kutosha kwa perpendicularity ya vectors mbili, kutatua njia ya kupata vector perpendicular moja iliyotolewa, na kugusa juu ya hali ya kupata vector ambayo ni perpendicular kwa vectors mbili.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Hali ya lazima na ya kutosha kwa perpendicularity ya vectors mbili
Hebu tutumie sheria kuhusu vectors perpendicular kwenye ndege na katika nafasi tatu-dimensional.
Ufafanuzi 1
Mradi pembe kati ya vekta mbili zisizo sifuri ni sawa na 90 ° (pipa 2) inaitwa. perpendicular.
Hii ina maana gani, na ni katika hali gani ni muhimu kujua kuhusu perpendicularity yao?
Kuanzisha perpendicularity inawezekana kwa njia ya kuchora. Wakati wa kupanga vector kwenye ndege kutoka kupewa pointi unaweza kupima kijiometri angle kati yao. Hata ikiwa perpendicularity ya vectors imeanzishwa, haitakuwa sahihi kabisa. Mara nyingi, kazi hizi hazikuruhusu kufanya hivyo kwa kutumia protractor, kwa hivyo njia hii inatumika tu wakati hakuna kitu kingine kinachojulikana kuhusu veta.
Kesi nyingi za kudhibitisha upenyo wa vekta mbili zisizo za sifuri kwenye ndege au angani hufanywa kwa kutumia. hali muhimu na ya kutosha kwa perpendicularity ya vectors mbili.
Nadharia 1
Bidhaa ya scalar ya vekta mbili zisizo za sifuri a → na b → sawa na sifuri ili kukidhi usawa a → , b → = 0 inatosha kwa upenyo wao.
Ushahidi 1
Acha vekta zilizopewa → na b → ziwe za pembeni, basi tutathibitisha usawa a ⇀ , b → = 0 .
Kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya dot ya vekta tunajua kuwa ni sawa bidhaa ya urefu wa vectors iliyotolewa na cosine ya angle kati yao. Kwa hali, a → na b → ni perpendicular, ambayo ina maana, kulingana na ufafanuzi, angle kati yao ni 90 °. Kisha tuna → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Sehemu ya pili ya uthibitisho
Isipokuwa kwamba ⇀, b → = 0, inathibitisha utofauti wa → na b →.
Kwa kweli, uthibitisho ni kinyume cha ule uliopita. Inajulikana kuwa a → na b → sio sifuri, ambayo ina maana kwamba kutoka kwa usawa a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ tunapata cosine. Kisha tunapata cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0. Kwa kuwa cosine ni sifuri, tunaweza kuhitimisha kuwa pembe a →, b → ^ ya vekta a → na b → ni sawa na 90 °. Kwa ufafanuzi, hii ni mali ya lazima na ya kutosha.
Hali ya perpendicularity kwenye ndege ya kuratibu
Sura bidhaa ya scalar katika kuratibu inaonyesha ukosefu wa usawa (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , halali kwa vekta zenye viwianishi a → = (a x , a y) na b → = (b x , b y), kwenye ndege na (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y kwa vekta a → = (a x , a y , a z) na b → = (b x , b y , b z) katika nafasi. Hali ya lazima na ya kutosha kwa perpendicularity ya vectors mbili katika ndege ya kuratibu ni x · b x + a y · b y = 0, kwa nafasi ya tatu-dimensional x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Wacha tuiweke kwa vitendo na tuangalie mifano.
Mfano 1
Angalia mali ya perpendicularity ya vectors mbili a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Suluhisho
Ili kutatua tatizo hili, unahitaji kupata bidhaa ya scalar. Ikiwa kulingana na hali ni sawa na sifuri, basi ni perpendicular.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Hali hiyo imefikiwa, ambayo ina maana kwamba vectors zilizopewa ni perpendicular kwa ndege.
Jibu: ndio, vekta zilizopewa a → na b → ni za kawaida.
Mfano 2
Kuratibu vekta i → , j → , k → zimetolewa. Angalia ikiwa vekta i → - j → na i → + 2 · j → + 2 · k → zinaweza kuwa za pembeni.
Suluhisho
Ili kukumbuka jinsi kuratibu za vector zimeamua, unahitaji kusoma makala kuhusu kuratibu za vekta ndani mfumo wa mstatili kuratibu Kwa hivyo, tunaona kwamba vekta zilizopewa i → - j → na i → + 2 · j → + 2 · k → zina kuratibu zinazolingana (1, - 1, 0) na (1, 2, 2). Tunabadilisha maadili ya nambari na kupata: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Usemi huo si sawa na sifuri, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, ambayo ina maana kwamba vekta i → - j → na i → + 2 j → + 2 k → sio perpendicular, kwani hali haijafikiwa.
Jibu: hapana, vekta i → - j → na i → + 2 · j → + 2 · k → si perpendicular.
Mfano 3
Vekta zilizopewa a → = (1, 0, - 2) na b → = (λ, 5, 1). Pata thamani ya λ ambayo vekta hizi ni za kawaida.
Suluhisho
Tunatumia hali ya perpendicularity ya vekta mbili kwenye nafasi ndani sura ya mraba, basi tunapata
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Jibu: vekta ziko pembezoni kwa thamani λ = 2.
Kuna matukio wakati swali la perpendicularity haliwezekani hata chini ya hali ya lazima na ya kutosha. Kutokana na data inayojulikana kwenye pande tatu za pembetatu kwenye vectors mbili, inawezekana kupata pembe kati ya vekta na uangalie.
Mfano 4
Kutokana na pembetatu A B C na pande A B = 8, A C = 6, B C = cm 10. Angalia vectors A B → na A C → kwa perpendicularity.
Suluhisho
Ikiwa vekta A B → na A C → ni za pembetatu, pembetatu A B C inachukuliwa kuwa ya mstatili. Kisha tunatumia theorem ya Pythagorean, ambapo B C ni hypotenuse ya pembetatu. Usawa B C 2 = A B 2 + A C 2 lazima iwe kweli. Inafuata kwamba 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Hii ina maana kwamba A B na A C ni miguu ya pembetatu A B C, kwa hiyo, A B → na A C → ni perpendicular.
Ni muhimu kujifunza jinsi ya kupata kuratibu za vector perpendicular kwa moja iliyotolewa. Hii inawezekana wote kwenye ndege na katika nafasi, mradi vectors ni perpendicular.
Kutafuta vekta perpendicular kwa moja iliyotolewa katika ndege.
Vekta isiyo ya sifuri a → inaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya vekta za perpendicular kwenye ndege. Wacha tuonyeshe hii kwenye mstari wa kuratibu.
Kwa kupewa vekta isiyo sifuri a → iliyolala kwenye mstari ulionyooka a. Kisha b → iliyotolewa, iko kwenye mstari wowote perpendicular kwa mstari a, inakuwa perpendicular kwa →. Ikiwa vekta i → inaendana na vekta j → au vekta yoyote λ · j → na λ sawa na nambari yoyote halisi isipokuwa sifuri, basi kutafuta viwianishi vya vekta b → perpendicular kwa → = (a x , a y ) imepunguzwa hadi seti isiyo na kikomo ya suluhisho. Lakini ni muhimu kupata kuratibu za vector perpendicular a → = (a x , a y) . Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuandika hali ya perpendicularity ya vectors katika fomu ifuatayo: a x · b x + a y · b y = 0. Tuna b x na b y, ambayo ni kuratibu zinazohitajika za vector perpendicular. Wakati x ≠ 0, thamani ya b y sio sifuri, na b x inaweza kuhesabiwa kutoka kwa usawa a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Kwa x = 0 na y ≠ 0, tunaweka b x thamani yoyote isipokuwa sifuri, na kupata b y kutoka kwa usemi b y = - a x · b x a y .
Mfano 5
Imepewa vekta iliyo na kuratibu a → = (- 2, 2) . Tafuta vector perpendicular hii.
Suluhisho
Wacha tuonyeshe vekta inayotaka kama b → (b x , b y) . Viwianishi vyake vinaweza kupatikana kutokana na hali ya kwamba vekta a → na b → ni za pembeni. Kisha tunapata: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Hebu tuwape b y = 1 na badala: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Kwa hivyo, kutoka kwa formula tunapata b x = - 2 - 2 = 1 2. Hii ina maana kwamba vekta b → = (1 2 , 1) ni vekta perpendicular kwa → .
Jibu: b → = (1 2 , 1) .
Ikiwa swali linafufuliwa kuhusu nafasi tatu-dimensional, tatizo linatatuliwa kulingana na kanuni sawa. Kwa vekta iliyotolewa → = (a x , a y , a z) kuna idadi isiyo na kikomo ya vekta za perpendicular. Itarekebisha hii kwenye ndege ya kuratibu yenye pande tatu. Kutokana na → kulala kwenye mstari a. Ndege inayoelekea moja kwa moja a inaonyeshwa na α. Katika kesi hii, vector yoyote isiyo ya sifuri b → kutoka kwa ndege α ni perpendicular kwa →.
Ni muhimu kupata kuratibu za b → perpendicular kwa vector isiyo ya sifuri a → = (a x , a y , a z) .
Acha b → itolewe na viwianishi b x , b y na b z . Ili kuzipata, ni muhimu kutumia ufafanuzi wa hali ya perpendicularity ya vectors mbili. Usawa a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 lazima utimizwe. Kutoka kwa hali → sio sifuri, ambayo inamaanisha kuwa moja ya viwianishi ina thamani isiyo sawa na sifuri. Hebu tuchukulie kwamba x ≠ 0, (a y ≠ 0 au a z ≠ 0). Kwa hiyo, tuna haki ya kugawanya ukosefu wote wa usawa a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 kwa kuratibu hii, tunapata usemi b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Tunatoa thamani yoyote kwa kuratibu b y na b x, kuhesabu thamani ya b x kulingana na formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vekta ya pembeni inayotakiwa itakuwa na thamani a → = (a x, a y, a z).
Wacha tuangalie uthibitisho kwa kutumia mfano.
Mfano 6
Imepewa vekta iliyo na viwianishi a → = (1, 2, 3) . Pata vector perpendicular moja kwa moja.
Suluhisho
Hebu tuonyeshe vector inayotakiwa na b → = (b x , b y , b z) . Kulingana na hali ambayo vectors ni perpendicular, bidhaa ya scalar lazima iwe sawa na sifuri.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ikiwa thamani ya b y = 1, b z = 1, basi b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Inafuata kwamba kuratibu za vector b → (- 5, 1, 1) . Vekta b → ni moja wapo ya vekta zinazoendana na ile iliyotolewa.
Jibu: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Kutafuta kuratibu za vector perpendicular kwa vectors mbili zilizotolewa
Tunahitaji kupata kuratibu za vekta katika nafasi tatu-dimensional. Ni perpendicular kwa vekta zisizo za collinear a → (a x , a y , a z) na b → = (b x , b y , b z) . Isipokuwa kwamba vekta a → na b → ni collinear, itatosha kupata vekta yenye mwelekeo wa → au b → kwenye tatizo.
Wakati wa kutatua, dhana ya bidhaa ya vector ya vectors hutumiwa.
Bidhaa ya Vector ya vekta a → na b → ni vekta ambayo kwa wakati mmoja inaendana na → na b →. Ili kutatua tatizo hili, bidhaa ya vector a → × b → hutumiwa. Kwa nafasi ya pande tatu ina umbo a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Wacha tuangalie bidhaa ya vekta kwa undani zaidi kwa kutumia shida ya mfano.
Mfano 7
Vectors b → = (0, 2, 3) na → = (2, 1, 0) hutolewa. Pata viwianishi vya vekta yoyote inayoendana na data kwa wakati mmoja.
Suluhisho
Ili kutatua, unahitaji kupata bidhaa ya vector ya vekta. (Tafadhali rejelea aya kuhesabu kibainishi cha matrix kupata vector). Tunapata:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Jibu: (3 , - 6 , 4) - viwianishi vya vekta ambayo kwa wakati mmoja ni sawa na iliyopewa → na b → .
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter