Mifano changamano ya milinganyo ya mstari. Kutatua milinganyo rahisi ya mstari

Kujifunza kusuluhisha milinganyo ni mojawapo ya kazi kuu ambazo aljebra huleta kwa wanafunzi. Kuanzia na rahisi zaidi, wakati linajumuisha moja haijulikani, na kuendelea na ngumu zaidi na zaidi. Ikiwa haujajua vitendo vinavyohitajika kufanywa na hesabu kutoka kwa kikundi cha kwanza, itakuwa ngumu kuelewa wengine.

Ili kuendelea na mazungumzo, unahitaji kukubaliana juu ya nukuu.

Fomu ya jumla ya equation ya mstari na moja isiyojulikana na kanuni ya ufumbuzi wake

Equation yoyote ambayo inaweza kuandikwa kama hii:

a *x = b,

kuitwa mstari. Hii formula ya jumla. Lakini mara nyingi katika kazi milinganyo ya mstari iliyoandikwa kwa fomu isiyo wazi. Kisha ni muhimu kufanya mabadiliko yanayofanana ili kupata nukuu inayokubaliwa kwa ujumla. Vitendo hivi ni pamoja na:

kufungua mabano;
kusonga masharti yote na thamani ya kutofautiana kwa upande wa kushoto wa usawa, na wengine kwa kulia;
kupunguzwa kwa maneno sawa.

Katika kesi ambapo idadi isiyojulikana iko kwenye dhehebu la sehemu, unahitaji kuamua maadili yake ambayo usemi hautakuwa na maana. Kwa maneno mengine, unahitaji kujua kikoa cha ufafanuzi wa equation.

Kanuni ambayo milinganyo yote ya mstari hutatuliwa inakuja hadi kugawanya thamani iliyo upande wa kulia wa mlinganyo kwa mgawo ulio mbele ya kigezo. Hiyo ni, "x" itakuwa sawa na b/a.

Kesi maalum za hesabu za mstari na suluhisho zao

Wakati wa hoja, nyakati zinaweza kutokea wakati milinganyo ya mstari kuchukua mojawapo ya aina maalum. Kila mmoja wao ana suluhisho maalum.

Katika hali ya kwanza:

a *x = 0, na ≠ 0.

Suluhisho la equation kama hiyo daima itakuwa x = 0.

Katika kesi ya pili, "a" inachukua thamani sawa na sifuri:

0 * x = 0.

Jibu la equation kama hiyo itakuwa nambari yoyote. Hiyo ni, ina idadi isiyo na kikomo ya mizizi.

Hali ya tatu inaonekana kama hii:

0 * x = ndani, ambapo katika ≠ 0.

Mlinganyo huu hauna maana. Kwa sababu hakuna mizizi inayokidhi.

Mtazamo wa jumla wa mlingano wa mstari na vigeu viwili

Kutoka kwa jina lake inakuwa wazi kuwa tayari kuna idadi mbili isiyojulikana ndani yake. Milinganyo ya mstari katika vigezo viwili angalia kama hii:

a * x + b * y = c.

Kwa kuwa kuna mambo mawili yasiyojulikana kwenye rekodi, jibu litaonekana kama jozi ya nambari. Hiyo ni, haitoshi kutaja thamani moja tu. Hili litakuwa jibu lisilo kamili. Jozi ya kiasi ambacho equation inakuwa utambulisho ni suluhisho kwa mlinganyo. Zaidi ya hayo, katika jibu, tofauti inayokuja kwanza katika alfabeti daima imeandikwa kwanza. Wakati mwingine wanasema kwamba nambari hizi zinamridhisha. Kwa kuongeza, kunaweza kuwa na idadi isiyo na kipimo ya jozi kama hizo.

Jinsi ya kutatua equation ya mstari na haijulikani mbili?

Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kuchagua jozi yoyote ya nambari ambazo zinageuka kuwa sahihi. Kwa unyenyekevu, unaweza kuchukua moja ya haijulikani sawa na nambari kuu, na kisha utafute ya pili.

Wakati wa kutatua, mara nyingi unapaswa kufanya hatua ili kurahisisha equation. Wanaitwa mabadiliko ya utambulisho. Zaidi ya hayo, sifa zifuatazo daima ni kweli kwa equations:

kila neno linaweza kuhamishwa hadi sehemu tofauti ya usawa kwa kubadilisha ishara yake na ile iliyo kinyume;
Pande za kushoto na za kulia za equation yoyote inaruhusiwa kugawanywa na nambari sawa, mradi tu si sawa na sifuri.

Mifano ya kazi zilizo na milinganyo ya mstari

Kazi ya kwanza. Tatua milinganyo ya mstari: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Katika mlinganyo unaokuja kwanza kwenye orodha hii, gawanya tu 20 kwa 4. Matokeo yatakuwa 5. Hili ndilo jibu: x = 5.

Mlinganyo wa tatu unahitaji kwamba mabadiliko ya utambulisho yafanywe. Itajumuisha kufungua mabano na kuleta masharti sawa. Baada ya hatua ya kwanza, equation itachukua fomu: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Kisha unahitaji kusonga vitu vyote visivyojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, na wengine kwenda kulia. Equation itaonekana kama hii: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Baada ya kuongeza maneno sawa: 14x = 16. Sasa inaonekana sawa na ya kwanza, na ufumbuzi wake ni rahisi kupata. Jibu litakuwa x=8/7. Lakini katika hisabati unatakiwa kutenga sehemu nzima kutoka kwa sehemu isiyofaa. Kisha matokeo yatabadilishwa, na "x" itakuwa sawa na moja nzima na moja ya saba.

Katika mifano iliyobaki, vigezo viko kwenye dhehebu. Hii inamaanisha kuwa kwanza unahitaji kujua ni kwa maadili gani hesabu zinafafanuliwa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuwatenga nambari ambazo madhehebu huenda hadi sifuri. Katika mfano wa kwanza ni "-4", kwa pili ni "-3". Hiyo ni, maadili haya yanahitaji kutengwa na jibu. Baada ya hayo, unahitaji kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa maneno katika denominator.

Kufungua mabano na kuleta maneno sawa, katika kwanza ya equations hizi tunapata: 5x + 15 = 4x + 16, na kwa pili 5x + 15 = 4x + 12. Baada ya mabadiliko, suluhisho la equation ya kwanza itakuwa x = -1. Ya pili inageuka kuwa sawa na "-3", ambayo ina maana kwamba mwisho hauna ufumbuzi.

Jukumu la pili. Tatua mlingano: -7x + 2y = 5.

Tuseme kwamba kwanza haijulikani x = 1, basi equation itachukua fomu -7 * 1 + 2y = 5. Kuhamia kwa upande wa kulia usawa, sababu ni "-7" na kubadilisha ishara yake kwa plus, inageuka kuwa 2y = 12. Hii ina maana y = 6. Jibu: mojawapo ya suluhu za equation x = 1, y = 6.

Aina ya jumla ya ukosefu wa usawa na kigezo kimoja

Wote hali zinazowezekana kwa ukosefu wa usawa zimewasilishwa hapa:

a * x > b;
a*x< в;
a * x ≥b;
a * x ≤в.

Kwa ujumla, inaonekana kama equation rahisi ya mstari, ni ishara sawa tu inayobadilishwa na kutofautiana.

Kanuni za mabadiliko ya utambulisho wa kutofautiana

Kama tu milinganyo ya mstari, usawa unaweza kurekebishwa kulingana na sheria fulani. Wanachemka kwa yafuatayo:

usemi wowote wa alfabeti au nambari unaweza kuongezwa kwa pande za kushoto na kulia za usawa, na ishara ya usawa inabaki sawa;
Unaweza pia kuzidisha au kugawanya kwa kitu kimoja nambari chanya, hii tena haibadilishi ishara;
wakati wa kuzidisha au kugawanya kwa kitu kimoja nambari hasi usawa utasalia kuwa kweli mradi ishara ya ukosefu wa usawa itabadilishwa.

Mtazamo wa jumla wa usawa mara mbili

Kukosekana kwa usawa kunaweza kuonyeshwa katika shida:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Inaitwa mara mbili kwa sababu imepunguzwa na ishara za kutofautiana kwa pande zote mbili. Inatatuliwa kwa kutumia sheria sawa na usawa wa kawaida. Na kupata jibu kunakuja kwa safu ya mabadiliko sawa. Mpaka rahisi zaidi kupatikana.

Vipengele vya kutatua usawa mara mbili

Ya kwanza ni picha yake kwenye mhimili wa kuratibu. Hakuna haja ya kutumia njia hii kwa usawa rahisi. Lakini katika kesi ngumu inaweza kuwa muhimu tu.

Ili kuonyesha ukosefu wa usawa, unahitaji kuweka alama kwenye mhimili pointi zote ambazo zilipatikana wakati wa hoja. Hizi ni maadili batili, ambayo yanaonyeshwa kwa nukta zilizochomwa, na maadili kutoka kwa ukosefu wa usawa unaopatikana baada ya mabadiliko. Hapa, pia, ni muhimu kuteka dots kwa usahihi. Ikiwa ukosefu wa usawa ni mkali, ni hivyo< или >, basi maadili haya yanapigwa nje. Katika usawa usio mkali, pointi lazima ziwe kivuli.

Kisha ni muhimu kuonyesha maana ya kutofautiana. Hii inaweza kufanyika kwa kutumia shading au arcs. Makutano yao yataonyesha jibu.

Kipengele cha pili kinahusiana na kurekodi kwake. Kuna chaguzi mbili zinazotolewa hapa. Ya kwanza ni ukosefu wa usawa. Ya pili ni kwa namna ya vipindi. Inatokea pamoja naye kwamba shida hutokea. Jibu katika nafasi kila mara huonekana kama kigezo chenye ishara ya uanachama na mabano yenye nambari. Wakati mwingine kuna nafasi kadhaa, basi unahitaji kuandika ishara "na" kati ya mabano. Ishara hizi zinaonekana kama hii: ∈ na ∩. Mabano ya nafasi pia yana jukumu. Mzunguko wa pande zote huwekwa wakati hatua imetengwa na jibu, na moja ya mstatili inajumuisha thamani hii. Ishara ya infinity daima iko kwenye mabano.

Mifano ya kutatua usawa

1. Tatua ukosefu wa usawa 7 - 5x ≥ 37.

Baada ya mabadiliko rahisi, tunapata: -5x ≥ 30. Kugawanya kwa "-5" tunaweza kupata usemi ufuatao: x ≤ -6. Hili tayari ni jibu, lakini linaweza kuandikwa kwa njia nyingine: x ∈ (-∞; -6].

2. Tatua usawa maradufu -4< 2x + 6 ≤ 8.

Kwanza unahitaji kutoa 6 kila mahali.Unapata: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Mlinganyo wa mstari ni mlingano wa aljebra ambao jumla ya digrii za polynomia ni sawa na moja. Kutatua equations linear - sehemu mtaala wa shule, na sio ngumu zaidi. Walakini, wengine bado wana ugumu wa kukamilisha mada hii. Tunatumai baada ya kusoma nyenzo hii, shida zote kwako zitakuwa jambo la zamani. Kwa hiyo, hebu tufikirie. jinsi ya kutatua milinganyo ya mstari.

Fomu ya jumla

Equation ya mstari inawakilishwa kama:

shoka + b = 0, ambapo a na b ni nambari zozote.

Ingawa a na b inaweza kuwa nambari yoyote, maadili yao huathiri idadi ya masuluhisho ya mlinganyo. Kuna kesi kadhaa maalum za suluhisho:

Ikiwa a=b=0, mlinganyo una idadi isiyo na kikomo ya masuluhisho;
Ikiwa a=0, b≠0, mlinganyo hauna suluhu;
Ikiwa a≠0, b=0, mlinganyo una suluhisho: x = 0.

Katika tukio ambalo nambari zote mbili zina maadili yasiyo ya sifuri, equation lazima isuluhishwe ili kupata usemi wa mwisho kwa kutofautiana.

Jinsi ya kuamua?

Kutatua mlinganyo wa mstari kunamaanisha kupata kigezo ni sawa na nini. Jinsi ya kufanya hili? Ndiyo, ni rahisi sana - kutumia shughuli rahisi za aljebra na kufuata sheria za uhamisho. Ikiwa equation inaonekana mbele yako kwa fomu ya jumla, una bahati; unachohitaji kufanya ni:

Hoja b kwa upande wa kulia wa equation, bila kusahau kubadilisha ishara (kanuni ya uhamisho!), kwa hiyo, kutoka kwa usemi wa fomu ax + b = 0, usemi wa fomu unapaswa kupatikana: ax = -b.
Tumia sheria: kupata moja ya sababu (x - kwa upande wetu), unahitaji kugawanya bidhaa (-b kwa upande wetu) kwa sababu nyingine (a - kwa upande wetu). Kwa hivyo, unapaswa kupata usemi wa fomu: x = -b/a.

Hiyo ni - suluhisho limepatikana!

Sasa hebu tuangalie mfano maalum:

2x + 4 = 0 - hoja b sawa na kwa kesi hii 4, kulia
2x = -4 - gawanya b kwa a (usisahau kuhusu ishara ya kuondoa)
x = -4/2 = -2

Ni hayo tu! Suluhisho letu: x = -2.

Kama unavyoona, suluhu ya mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja ni rahisi sana kupata, lakini kila kitu ni rahisi sana ikiwa tunabahatika kupata mlinganyo katika umbo lake la jumla. Katika hali nyingi, kabla ya kusuluhisha equation katika hatua mbili zilizoelezewa hapo juu, unahitaji pia kupunguza usemi uliopo. muonekano wa jumla. Walakini, hii pia sio kazi ngumu sana. Wacha tuangalie kesi maalum kwa kutumia mifano.

Kutatua kesi maalum

Kwanza, hebu tuangalie kesi ambazo tulielezea mwanzoni mwa kifungu na tueleze maana ya kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho na hakuna suluhisho.

Ikiwa a=b=0, mlinganyo utaonekana kama: 0x + 0 = 0. Tukitekeleza hatua ya kwanza, tunapata: 0x = 0. Je, upuuzi huu unamaanisha nini, unashangaa! Baada ya yote, bila kujali nambari gani unayozidisha kwa sifuri, daima unapata sifuri! Haki! Ndio maana wanasema kwamba equation ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho - haijalishi unachukua nambari gani, usawa utakuwa kweli, 0x = 0 au 0 = 0.
Ikiwa a=0, b≠0, equation itaonekana kama: 0x + 3 = 0. Fanya hatua ya kwanza, tunapata 0x = -3. Ujinga tena! Ni dhahiri kwamba usawa huu hautakuwa kweli kamwe! Ndio maana wanasema kuwa equation haina suluhu.
Ikiwa a≠0, b = 0, equation itaonekana kama: 3x + 0 = 0. Kufanya hatua ya kwanza, tunapata: 3x = 0. Suluhisho ni nini? Ni rahisi, x = 0.

Imepotea katika tafsiri

Kesi maalum zilizoelezewa sio zote ambazo milinganyo ya mstari inaweza kutushangaza. Wakati mwingine equation ni vigumu kutambua kwa mtazamo wa kwanza. Hebu tuangalie mfano:

12x - 14 = 2x + 6

Je, huu ni mlinganyo wa mstari? Vipi kuhusu sifuri upande wa kulia? Hatutaharakisha hitimisho, tutachukua hatua - tutahamisha vipengele vyote vya equation yetu kwa upande wa kushoto. Tunapata:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sasa toa kama kutoka kama, tunapata:

10x - 20 = 0

Umejifunza? Mlinganyo wa mstari zaidi kuwahi kutokea! Suluhisho ambalo ni: x = 20/10 = 2.

Ikiwa tunayo mfano huu:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ndio, hii pia ni equation ya mstari, mabadiliko zaidi tu yanahitajika kufanywa. Kwanza, hebu tufungue mabano:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sasa tunafanya uhamishaji:
25x - 4 = 0 - inabaki kupata suluhisho kwa kutumia mpango unaojulikana tayari:
25x = 4,
x = 4/25 = 0.16

Kama unaweza kuona, kila kitu kinaweza kutatuliwa, jambo kuu sio kuwa na wasiwasi, lakini kuchukua hatua. Kumbuka, ikiwa equation yako ina vigezo tu vya shahada ya kwanza na nambari, una equation ya mstari, ambayo, bila kujali jinsi inaonekana mwanzoni, inaweza kupunguzwa kwa fomu ya jumla na kutatuliwa. Tunatumahi kuwa kila kitu kitafanya kazi kwako! Bahati njema!

Wakati wa kusuluhisha hesabu za mstari, tunajitahidi kupata mzizi, ambayo ni, dhamana ya kutofautisha ambayo itageuza equation kuwa usawa sahihi.

Ili kupata mzizi wa equation unayohitaji mabadiliko sawa huleta equation tuliyopewa kwa fomu

\(x=[nambari]\)

Nambari hii itakuwa mzizi.

Hiyo ni, sisi kubadilisha equation, na kuifanya rahisi kwa kila hatua, mpaka sisi kupunguza kwa equation primitive kabisa "x = idadi", ambapo mzizi ni dhahiri. Mabadiliko yanayotumika sana wakati wa kusuluhisha milinganyo ya mstari ni yafuatayo:

Kwa mfano: ongeza \(5\) kwa pande zote mbili za mlinganyo \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Tafadhali kumbuka kuwa tunaweza kupata matokeo sawa kwa haraka zaidi kwa kuandika tano kwa upande mwingine wa mlinganyo na kubadilisha ishara yake. Kwa kweli, hivi ndivyo shule "kuhamisha kwa usawa na mabadiliko ya ishara kwenda kinyume" inafanywa.

2. Kuzidisha au kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari au usemi sawa.

Kwa mfano: gawanya mlinganyo \(-2x=8\) kwa minus mbili

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Kawaida hatua hii inafanywa mwishoni kabisa, wakati equation tayari imepunguzwa kwa fomu \(ax=b\), na tunagawanya na \(a\) ili kuiondoa kutoka kushoto.

3. Kutumia mali na sheria za hisabati: kufungua mabano, kuleta maneno sawa, kupunguza sehemu, nk.

Ongeza \(2x\) kushoto na kulia

Ondoa \(24\) kutoka pande zote za mlinganyo

Tunawasilisha maneno sawa tena

Sasa tunagawanya equation na \(-3\), na hivyo kuondoa X ya mbele upande wa kushoto.

Jibu : \(7\)

Jibu limepatikana. Hata hivyo, hebu tuangalie. Ikiwa saba ni mzizi, basi kuibadilisha badala ya X kwenye equation ya asili inapaswa kusababisha usawa sahihi - nambari sawa kushoto na kulia. Tujaribu.

Uchunguzi:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Ilifanikiwa. Hii ina maana kwamba saba kwa hakika ni mzizi wa mlingano asilia wa mstari.

Usiwe mvivu kuangalia majibu uliyopata kwa kubadilisha, haswa ikiwa unasuluhisha mlinganyo kwenye mtihani au mtihani.

Swali linabaki - jinsi ya kuamua nini cha kufanya na equation katika hatua inayofuata? Jinsi ya kuibadilisha hasa? Gawanya na kitu? Au kupunguza? Na ni lazima nipunguze nini hasa? Gawanya na nini?

Jibu ni rahisi:

Kusudi lako ni kuleta equation kwa fomu \(x=[namba]\), ambayo ni, upande wa kushoto ni x bila coefficients na nambari, na upande wa kulia ni nambari tu isiyo na anuwai. Kwa hiyo, angalia nini kinakuzuia na fanya kinyume cha kile sehemu inayoingilia hufanya.

Ili kuelewa hili vyema, hebu tuangalie suluhisho la mlinganyo wa mstari \(x+3=13-4x\) hatua kwa hatua.

Hebu tufikirie: equation hii inatofautiana vipi na \(x=[nambari]\)? Nini kinatuzuia? Nini tatizo?

Kweli, kwanza, hizo tatu zinaingilia, kwani upande wa kushoto kunapaswa kuwa na X pekee, bila nambari. Troika "inafanya nini"? Imeongezwa kwa X. Kwa hivyo, kuiondoa - ondoa watatu sawa. Lakini ikiwa tutaondoa tatu kutoka kushoto, lazima tuzitoe kutoka kwa kulia ili usawa usivunjwe.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Sawa. Sasa nini kinakuzuia? \(4x\) upande wa kulia, kwa sababu lazima kuwe na nambari tu hapo. \(4x\) kukatwa- tunaondoa kwa kuongeza.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sasa tunawasilisha masharti sawa upande wa kushoto na kulia.

Inakaribia kuwa tayari. Kilichobaki ni kuondoa tano upande wa kushoto. Anafanya nini"? Huzidisha kwenye x. Basi hebu tuondoe mgawanyiko.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Suluhisho limekamilika, mzizi wa equation ni mbili. Unaweza kuangalia kwa kubadilisha.

taarifa, hiyo mara nyingi kuna mzizi mmoja tu katika milinganyo ya mstari. Walakini, kesi mbili maalum zinaweza kutokea.

Kesi maalum 1 - hakuna mizizi katika equation ya mstari.

Mfano . Tatua mlingano \(3x-1=2(x+3)+x\)

Suluhisho :

Jibu : hakuna mizizi.

Kwa kweli, ukweli kwamba tutakuja kwa matokeo kama haya ulionekana mapema, hata tulipopokea \(3x-1=3x+6\). Fikiria juu yake: \(3x\) ambayo tulitoa \(1\), na \(3x\) ambayo tuliongeza \(6\) inawezaje kuwa sawa? Ni wazi, hakuna njia, kwa sababu walifanya jambo lile lile vitendo tofauti! Ni wazi kuwa matokeo yatatofautiana.

Kesi maalum 2 - equation ya mstari ina idadi isiyo na kikomo ya mizizi.

Mfano . Tatua mlingano wa mstari \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Suluhisho :

Jibu : nambari yoyote.

Hii, kwa njia, ilionekana hata mapema, kwenye hatua: \(8x+12=8x+12\). Hakika, kushoto na kulia ni maneno sawa. Chochote X utakayobadilisha, itakuwa nambari sawa huko na huko.

Milinganyo changamano zaidi ya mstari.

Mlinganyo wa asili hauonekani mara moja kama mstari; wakati mwingine "hufunikwa" kama milinganyo mingine ngumu zaidi. Hata hivyo, katika mchakato wa mabadiliko, kujificha hupotea.

Mfano . Tafuta mzizi wa mlingano \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Suluhisho :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Inaweza kuonekana kuwa kuna x mraba hapa - hii sio equation ya mstari! Lakini usikimbilie. Hebu tutume maombi
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Kwa nini matokeo ya upanuzi \((x-4)^(2)\) yako kwenye mabano, lakini matokeo \(3+x)^(2)\) sio? Kwa sababu kuna minus mbele ya mraba wa kwanza, ambayo itabadilisha ishara zote. Na ili usisahau kuhusu hili, tunachukua matokeo katika mabano, ambayo sasa tunafungua.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Tunawasilisha masharti sawa
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Tunawasilisha zinazofanana tena.
		Kama hii. Inabadilika kuwa equation ya asili ni ya mstari kabisa, na X iliyo na mraba sio kitu zaidi ya skrini ya kutuchanganya. :) Tunakamilisha suluhisho kwa kugawanya equation na \(2\), na tunapata jibu.

Jibu : \(x=5\)

Mfano . Tatua mlingano wa mstari \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Suluhisho :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Equation haionekani kuwa ya mstari, ni aina fulani ya sehemu ... Hata hivyo, hebu tuondoe madhehebu kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida ya wote - sita.
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Panua mabano upande wa kushoto
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sasa hebu tupunguze madhehebu
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sasa inaonekana kama mstari wa kawaida! Tumalizie.
		Kwa kutafsiri kupitia usawa tunakusanya X upande wa kulia na nambari upande wa kushoto

		Kweli, kugawanya pande za kulia na kushoto na \(-4\), tunapata jibu

Jibu : \(x=-1.25\)

Mifumo ya milinganyo imetumika sana katika tasnia ya uchumi na mfano wa hisabati michakato mbalimbali. Kwa mfano, wakati wa kutatua matatizo ya usimamizi na mipango ya uzalishaji, njia za vifaa (tatizo la usafiri) au uwekaji wa vifaa.

Mifumo ya equations haitumiwi tu katika hisabati, lakini pia katika fizikia, kemia na biolojia, wakati wa kutatua matatizo ya kutafuta ukubwa wa idadi ya watu.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni milinganyo miwili au zaidi yenye vigezo kadhaa ambavyo ni muhimu kupata suluhisho la kawaida. Msururu kama huo wa nambari ambao milinganyo yote inakuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kuwa mfuatano huo haupo.

Mlinganyo wa mstari

Milinganyo ya fomu ax+by=c inaitwa linear. Majina x, y ni majina yasiyojulikana ambayo thamani yake lazima ipatikane, b, a ni mgawo wa viambajengo, c ni neno lisilolipishwa la mlinganyo.
Kutatua equation kwa kupanga njama itaonekana kama mstari wa moja kwa moja, pointi zote ambazo ni suluhisho kwa polynomial.

Aina za mifumo ya milinganyo ya mstari

Mifano rahisi zaidi inachukuliwa kuwa mifumo ya milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili X na Y.

F1(x, y) = 0 na F2(x, y) = 0, ambapo F1,2 ni vitendaji na (x, y) ni vigezo vya chaguo za kukokotoa.

Tatua mfumo wa milinganyo - hii inamaanisha kupata thamani (x, y) ambapo mfumo unageuka kuwa usawa wa kweli au kubainisha hilo maadili yanayofaa x na y haipo.

Jozi ya maadili (x, y), iliyoandikwa kama kuratibu za nukta, inaitwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari.

Ikiwa mifumo ina suluhisho moja la kawaida au hakuna suluhisho lipo, huitwa sawa.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya mstari ni mifumo ambayo upande wake wa kulia ni sawa na sifuri. Ikiwa sehemu ya kulia baada ya ishara sawa ina thamani au imeonyeshwa na chaguo la kukokotoa, mfumo kama huo ni tofauti.

Idadi ya vigezo inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi tunapaswa kuzungumza juu ya mfano wa mfumo wa equations linear na vigezo tatu au zaidi.

Wakati wanakabiliwa na mifumo, watoto wa shule wanadhani kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya haijulikani, lakini hii sivyo. Idadi ya milinganyo kwenye mfumo haitegemei vigeuzo; kunaweza kuwa na nyingi kama unavyotaka.

Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

Hakuna njia ya jumla ya uchanganuzi ya kutatua mifumo kama hii; njia zote zinatokana na suluhu za nambari. Kozi ya hisabati ya shule inaelezea kwa undani mbinu kama vile vibali, nyongeza za aljebra, uingizwaji, na pia njia za picha na matrix, suluhisho kwa njia ya Gaussian.

Kazi kuu wakati wa kufundisha njia za suluhisho ni kufundisha jinsi ya kuchambua mfumo kwa usahihi na kupata algorithm ya suluhisho bora kwa kila mfano. Jambo kuu sio kukariri mfumo wa sheria na vitendo kwa kila njia, lakini kuelewa kanuni za kutumia njia fulani.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari wa programu ya daraja la 7 shule ya Sekondari rahisi sana na kuelezewa kwa kina sana. Katika kitabu chochote cha hisabati, sehemu hii inapewa umakini wa kutosha. Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss na Cramer inasomwa kwa undani zaidi katika miaka ya kwanza ya elimu ya juu.

Kutatua mifumo kwa kutumia njia mbadala

Vitendo vya njia ya uingizwaji vinalenga kuelezea thamani ya kigezo kimoja katika suala la pili. Usemi huo hubadilishwa kuwa mlinganyo uliobaki, kisha hupunguzwa kuwa fomu yenye kigezo kimoja. Kitendo kinarudiwa kulingana na idadi ya haijulikani kwenye mfumo

Wacha tutoe suluhisho kwa mfano wa mfumo wa hesabu za mstari wa darasa la 7 kwa kutumia njia mbadala:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, kigezo cha x kilionyeshwa kupitia F(X) = 7 + Y. Usemi uliotokana, uliowekwa badala ya mlingano wa 2 wa mfumo badala ya X, ulisaidia kupata kigezo kimoja cha Y katika mlingano wa 2. . Suluhisho mfano huu haisababishi ugumu na hukuruhusu kupata thamani ya Y. Hatua ya mwisho Hii ni hundi ya maadili yaliyopokelewa.

Si mara zote inawezekana kutatua mfano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kubadilisha. Milinganyo inaweza kuwa changamano na kuelezea kutofautisha katika suala la pili isiyojulikana itakuwa ngumu sana kwa hesabu zaidi. Wakati kuna zaidi ya 3 zisizojulikana katika mfumo, kutatua kwa kubadilisha pia siofaa.

Suluhisho la mfano wa mfumo wa milinganyo isiyo na usawa ya mstari:

Suluhisho kwa kutumia nyongeza ya algebra

Wakati wa kutafuta suluhisho kwa mifumo kwa kutumia njia ya kuongeza, hufanya nyongeza ya muda baada ya muda na kuzidisha milinganyo kwa nambari tofauti. Lengo kuu la shughuli za hisabati ni mlinganyo katika kigezo kimoja.

Utumiaji wa njia hii unahitaji mazoezi na uchunguzi. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza wakati kuna vigeu 3 au zaidi si rahisi. Nyongeza ya aljebra ni rahisi kutumia wakati milinganyo ina sehemu na desimali.

Algorithm ya suluhisho:

Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari fulani. Matokeo yake hatua ya hesabu moja ya mgawo wa kutofautisha lazima iwe sawa na 1.
Ongeza neno linalotokana na usemi kwa muhula na upate mojawapo ya yasiyojulikana.
Badilisha thamani inayotokana na mlingano wa 2 wa mfumo ili kupata kigezo kilichosalia.

Njia ya suluhisho kwa kuanzisha kigezo kipya

Tofauti mpya inaweza kuletwa ikiwa mfumo unahitaji kutafuta suluhu kwa si zaidi ya milinganyo miwili; idadi ya zisizojulikana pia zinapaswa kuwa zisizozidi mbili.

Njia hiyo hutumiwa kurahisisha mojawapo ya milinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya. Equation mpya inatatuliwa kwa iliyoanzishwa haijulikani, na thamani inayotokana hutumiwa kuamua kutofautiana kwa asili.

Mfano unaonyesha kuwa kwa kuanzisha kibadilishaji kipya cha t, iliwezekana kupunguza equation ya 1 ya mfumo hadi ile ya kawaida. quadratic trinomial. Unaweza kutatua polynomial kwa kutafuta kibaguzi.

Ni muhimu kupata thamani ya kibaguzi kwa kutumia formula inayojulikana: D = b2 - 4 * a * c, ambapo D ni kibaguzi kinachohitajika, b, a, c ni sababu za polynomial. Katika mfano uliopeanwa, a=1, b=16, c=39, kwa hivyo D=100. Ikiwa mbaguzi Juu ya sifuri, basi kuna suluhisho mbili: t = -b±√D / 2*a, ikiwa kibaguzi chini ya sifuri, basi kuna suluhisho moja tu: x= -b / 2*a.

Suluhisho la mifumo inayotokana hupatikana kwa njia ya kuongeza.

Njia ya kuona ya kutatua mifumo

Inafaa kwa mifumo 3 ya equation. Njia hiyo inajumuisha kuunda grafu za kila equation iliyojumuishwa kwenye mfumo kwenye mhimili wa kuratibu. Kuratibu za pointi za makutano ya curves na itakuwa uamuzi wa jumla mifumo.

Njia ya graphical ina idadi ya nuances. Wacha tuangalie mifano kadhaa ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa njia ya kuona.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, kwa kila mstari pointi mbili zilijengwa, maadili ya kutofautiana x yalichaguliwa kiholela: 0 na 3. Kulingana na maadili ya x, maadili ya y yalipatikana: 3 na 0. Pointi zilizo na kuratibu (0, 3) na (3, 0) ziliwekwa alama kwenye grafu na kuunganishwa na mstari.

Hatua lazima zirudiwe kwa equation ya pili. Hatua ya makutano ya mistari ni suluhisho la mfumo.

Mfano ufuatao unahitaji kupata suluhu la picha kwa mfumo wa milinganyo ya mstari: 0.5x-y+2=0 na 0.5x-y-1=0.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, mfumo hauna suluhisho, kwa sababu grafu ni sawa na haziingiliani kwa urefu wao wote.

Mifumo kutoka kwa mifano 2 na 3 ni sawa, lakini inapojengwa inakuwa dhahiri kuwa suluhisho zao ni tofauti. Ikumbukwe kwamba si mara zote inawezekana kusema kama mfumo una suluhisho au la; ni muhimu kila wakati kuunda grafu.

Matrix na aina zake

Matrices hutumiwa kwa noti fupi mifumo ya milinganyo ya mstari. Matrix ni meza aina maalum kujazwa na nambari. n*m ina n - safu mlalo na safu wima m.

Matrix ni mraba wakati idadi ya safu na safu ni sawa. Vekta ya matrix ni matrix ya safu wima moja yenye idadi isiyo na kikomo ya safu mlalo. Matrix iliyo na zile pamoja na moja ya diagonals na vipengele vingine vya sifuri inaitwa utambulisho.

Matrix inverse ni matrix inapozidishwa ambayo ya asili inabadilika kuwa matrix ya kitengo; matrix kama hiyo inapatikana tu kwa mraba wa asili.

Sheria za kubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa matrix

Kuhusiana na mifumo ya milinganyo, mgawo na masharti huru ya milinganyo huandikwa kama nambari za matrix; mlinganyo mmoja ni safu mlalo moja ya matriki.

Safu mlalo ya matrix inasemekana kuwa isiyo na zero ikiwa angalau kipengele kimoja cha safu mlalo si sifuri. Kwa hiyo, ikiwa katika equations yoyote idadi ya vigezo hutofautiana, basi ni muhimu kuingia sifuri mahali pa kukosa haijulikani.

Safu wima za matrix lazima zilingane kabisa na vigeuzo. Hii ina maana kwamba coefficients ya kutofautiana x inaweza kuandikwa tu katika safu moja, kwa mfano ya kwanza, mgawo wa y haijulikani - tu kwa pili.

Wakati wa kuzidisha matrix, vitu vyote vya matrix huzidishwa kwa mpangilio na nambari.

Chaguzi za kutafuta matrix inverse

Njia ya kupata matrix inverse ni rahisi sana: K -1 = 1 / |K|, ambapo K -1 - matrix ya kinyume, na |K| ni kiashiria cha matrix. |K| lazima isiwe sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho.

Kiamuzi kinahesabiwa kwa urahisi kwa matrix mbili kwa mbili; unahitaji tu kuzidisha vitu vya diagonal kwa kila mmoja. Kwa chaguo la "tatu kwa tatu", kuna fomula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Unaweza kutumia fomula, au unaweza kukumbuka kuwa unahitaji kuchukua kipengee kimoja kutoka kwa kila safu na kila safu ili nambari za safu na safu za vitu zisirudiwe kwenye kazi.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Njia ya matrix ya kupata suluhisho hukuruhusu kupunguza maingizo magumu wakati wa kutatua mifumo yenye idadi kubwa ya anuwai na equations.

Katika mfano, nm ni coefficients ya equations, matrix ni vector x n ni vigezo, na b n ni masharti ya bure.

Mifumo ya kutatua kwa kutumia njia ya Gaussian

KATIKA hisabati ya juu Njia ya Gaussian inasomwa pamoja na njia ya Cramer, na mchakato wa kutafuta ufumbuzi wa mifumo inaitwa njia ya ufumbuzi wa Gauss-Cramer. Njia hizi hutumiwa kupata vigezo vya mifumo yenye idadi kubwa ya milinganyo ya mstari.

Njia ya Gauss inafanana sana na suluhu kwa kubadilisha na kuongeza aljebra, lakini ni ya kimfumo zaidi. Katika kozi ya shule, suluhisho kwa njia ya Gaussian hutumiwa kwa mifumo ya 3 na 4 equations. Madhumuni ya njia ni kupunguza mfumo kwa fomu ya trapezoid inverted. Kwa njia ya mabadiliko ya aljebra na uingizwaji, thamani ya kutofautiana moja inapatikana katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo. Mlinganyo wa pili ni usemi ulio na 2 zisizojulikana, wakati 3 na 4 ziko, mtawaliwa, na 3 na 4 anuwai.

Baada ya kuleta mfumo kwa fomu iliyoelezwa, suluhisho zaidi linapunguzwa kwa uingizaji wa mfululizo wa vigezo vinavyojulikana katika equations ya mfumo.

Katika vitabu vya kiada vya shule kwa darasa la 7, mfano wa suluhisho kwa njia ya Gauss umeelezewa kama ifuatavyo:

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, katika hatua (3) milinganyo miwili ilipatikana: 3x 3 -2x 4 = 11 na 3x 3 +2x 4 =7. Kutatua milinganyo yoyote itakuruhusu kujua moja ya vigeuzo x n.

Nadharia ya 5, ambayo imetajwa katika maandishi, inasema kwamba ikiwa moja ya equations ya mfumo inabadilishwa na sawa, basi mfumo wa matokeo pia utakuwa sawa na wa awali.

Mbinu ya Gaussian ni ngumu kwa wanafunzi kuelewa sekondari, lakini ni mojawapo ya wengi njia za kuvutia kukuza ustadi wa watoto wanaosoma chini ya mpango huo utafiti wa kina katika madarasa ya hisabati na fizikia.

Kwa urahisi wa kurekodi, mahesabu kawaida hufanywa kama ifuatavyo:

Coefficients ya equations na masharti ya bure yameandikwa kwa namna ya matrix, ambapo kila safu ya matrix inafanana na moja ya equations ya mfumo. hutenganisha upande wa kushoto wa equation kutoka kulia. Nambari za Kirumi zinaonyesha nambari za milinganyo kwenye mfumo.

Kwanza, andika matrix ya kufanyiwa kazi, kisha vitendo vyote vinavyofanywa na safu moja ya safu. Matrix inayosababishwa imeandikwa baada ya ishara ya "mshale" na shughuli muhimu za algebra zinaendelea hadi matokeo yanapatikana.

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ambayo moja ya diagonals ni sawa na 1, na coefficients nyingine zote ni sawa na sifuri, yaani, tumbo hupunguzwa kwa fomu ya kitengo. Hatupaswi kusahau kufanya mahesabu na nambari za pande zote za equation.

Njia hii ya kurekodi sio ngumu sana na hukuruhusu usikengeushwe kwa kuorodhesha mengi yasiyojulikana.

Matumizi ya bure ya njia yoyote ya ufumbuzi itahitaji huduma na uzoefu fulani. Sio njia zote ni za asili ya kutumika. Njia zingine za kupata suluhisho zinapendekezwa zaidi katika eneo fulani la shughuli za wanadamu, wakati zingine zipo kwa madhumuni ya kielimu.

Linear equations ni haki wapole na mada wazi hisabati ya shule. Lakini, cha kushangaza, idadi ya makosa nje ya bluu wakati wa kusuluhisha hesabu za mstari ni kidogo tu kuliko katika mada zingine - milinganyo ya quadratic, logarithms, trigonometry na wengine. Sababu za makosa mengi ni mabadiliko ya banal sawa ya milinganyo. Kwanza kabisa, hii ni machafuko katika ishara wakati wa kuhamisha maneno kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine, na pia makosa wakati wa kufanya kazi na sehemu na coefficients ya sehemu. Ndiyo ndiyo! Sehemu pia huonekana katika milinganyo ya mstari! Pande zote. Hapo chini tutachambua hesabu mbaya kama hizi.)

Kweli, tusivute paka kwa mkia na tuanze kuifikiria, sivyo? Kisha tunasoma na kuzama ndani yake.)

Mlingano wa mstari ni nini? Mifano.

Kwa kawaida equation ya mstari inaonekana kama hii:

shoka + b = 0,

Ambapo a na b ni nambari yoyote. Aina yoyote: nambari, sehemu, hasi, isiyo na maana - kunaweza kuwa na yoyote!

Kwa mfano:

7x + 1 = 0 (hapa a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (hapa a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (hapa a = 1/2, b = -1.1)

Kwa ujumla, unaelewa, natumaini.) Kila kitu ni rahisi, kama katika hadithi ya hadithi. Kwa wakati huu... Na ikiwa utaangalia kwa karibu nukuu ya jumla ax+b=0, na ufikirie kidogo? Baada ya yote, a na b ni nambari yoyote! Na ikiwa tuna, sema, a = 0 na b = 0 (nambari yoyote inaweza kuchukuliwa!), basi tutapata nini?

0 = 0

Lakini hiyo sio furaha yote! Je, ikiwa, tuseme, a = 0, b = -10? Halafu inageuka kuwa aina fulani ya upuuzi:

0 = 10.

Jambo ambalo linaudhi sana na linadhoofisha imani katika hisabati ambayo tumeipata kwa jasho na damu... Hasa wakati wa majaribio na mitihani. Lakini kati ya usawa huu usioeleweka na wa kushangaza, unahitaji pia kupata X! Ambayo haipo kabisa! Na hapa, hata wanafunzi waliojitayarisha vizuri wanaweza wakati mwingine kuanguka katika kile kinachoitwa stupor ... Lakini usijali! Katika somo hili pia tutaangalia mshangao kama huo. Na pia hakika tutapata X kutoka kwa usawa kama huo.) Zaidi ya hayo, X hii inaweza kupatikana sana, kwa urahisi sana. Ndiyo ndiyo! Inashangaza lakini ni kweli.)

Sawa, hiyo inaeleweka. Lakini unawezaje kujua kwa kuonekana kwa kazi kuwa ni mlinganyo wa mstari na sio mlinganyo mwingine? Kwa bahati mbaya, si mara zote inawezekana kutambua aina ya equation tu kwa kuonekana. Jambo ni kwamba sio tu equations ya fomu ax + b = 0 inaitwa linear, lakini pia equations nyingine yoyote ambayo, kwa njia moja au nyingine, inaweza kupunguzwa kwa fomu hii kwa mabadiliko ya kufanana. Unajuaje kama inajumlisha au la? Mpaka huwezi kutatua mfano - karibu sio kabisa. Hii inasikitisha. Lakini kwa aina fulani za equations, unaweza kusema mara moja kwa ujasiri ikiwa ni mstari au la kwa mtazamo mmoja wa haraka.

Ili kufanya hivyo, hebu tuangalie tena muundo wa jumla wa equation yoyote ya mstari:

shoka + b = 0

Tafadhali kumbuka: katika equation ya mstari Kila mara tofauti x pekee iko katika shahada ya kwanza na idadi fulani! Ni hayo tu! Hakuna kingine. Wakati huo huo, hakuna X kwenye mraba, kwenye mchemraba, chini ya mzizi, chini ya logarithm na vitu vingine vya kigeni. Na (muhimu zaidi!) hakuna sehemu na X katika madhehebu! Lakini sehemu zilizo na nambari katika denominators au mgawanyiko kwa nambari- kwa urahisi!

Kwa mfano:

Huu ni mlinganyo wa mstari. Mlinganyo una X pekee kwa nguvu na nambari za kwanza. Na hakuna X katika nguvu za juu - mraba, mraba, na kadhalika. Ndio, kuna sehemu hapa, lakini wakati huo huo madhehebu ya sehemu yana nambari pekee. Yaani, mbili na tatu. Kwa maneno mengine, hakuna mgawanyiko kwa x.

Na hapa ni equation

Haiwezi kuitwa tena mstari, ingawa hapa, pia, kuna nambari tu na X kwa nguvu ya kwanza. Kwa sababu, kati ya mambo mengine, pia kuna sehemu na X katika madhehebu. Na baada ya kurahisisha na mabadiliko, equation kama hiyo inaweza kuwa chochote: mstari, quadratic - chochote.

Jinsi ya kutatua equations za mstari? Mifano.

Kwa hivyo unasuluhisha vipi milinganyo ya mstari? Soma na ushangae.) Suluhisho zima la milinganyo ya mstari inategemea mambo makuu mawili tu. Hebu tuorodheshe.

1) Seti ya hatua za kimsingi na sheria za hisabati.

Hizi ni kutumia mabano, kufungua mabano, kufanya kazi na sehemu, kufanya kazi na nambari hasi, meza za kuzidisha, na kadhalika. Maarifa na ujuzi huu ni muhimu si tu kwa ajili ya kutatua equations linear, lakini kwa hisabati yote kwa ujumla. Na, ikiwa una shida na hii, kumbuka alama za chini. Vinginevyo utakuwa na wakati mgumu...

Wapo wawili tu. Ndiyo ndiyo! Zaidi ya hayo, mabadiliko haya ya kimsingi ya kitambulisho yana msingi wa suluhisho la sio tu la mstari, lakini kwa ujumla milinganyo yoyote ya kihesabu! Kwa neno moja, suluhisho la equation nyingine yoyote - quadratic, logarithmic, trigonometric, irrational, nk. - kama sheria, huanza na mabadiliko haya ya kimsingi. Lakini suluhisho la equations za mstari, kwa kweli, huisha nao (mabadiliko). Jibu lililo tayari.) Kwa hivyo usiwe mvivu na uangalie kiungo.) Zaidi ya hayo, milinganyo ya mstari pia inachambuliwa kwa kina huko.

Naam, nadhani ni wakati wa kuanza kuangalia mifano.

Kuanza, kama kuongeza joto, wacha tuangalie mambo kadhaa ya kimsingi. Bila sehemu yoyote au kengele nyingine na filimbi. Kwa mfano, equation hii:

x – 2 = 4 – 5x

Huu ni mlinganyo wa kawaida wa mstari. X zote ziko kwenye nguvu ya kwanza na hakuna mgawanyiko wa X popote. Mpango wa suluhisho katika milinganyo kama hii kila wakati ni sawa na rahisi sana: masharti yote yenye X lazima yakusanywe upande wa kushoto, na masharti yote bila ya X (yaani nambari) lazima yakusanywe upande wa kulia. Basi hebu tuanze kukusanya.

Ili kufanya hivyo, tunazindua mabadiliko ya kwanza ya utambulisho. Tunahitaji kusonga -5x kwenda kushoto, na kusonga -2 kwenda kulia. Kwa mabadiliko ya ishara, bila shaka.) Kwa hivyo tunahamisha:

x + 5x = 4 + 2

Haya basi. Nusu ya vita imefanywa: X zimekusanywa kwenye rundo, na hivyo kuwa na idadi. Sasa tunawasilisha sawa upande wa kushoto, na tunawahesabu kulia. Tunapata:

6x = 6

Tunakosa nini sasa ili kupata furaha kamili? Ndio, ili X safi ibaki upande wa kushoto! Na sita huingia njiani. Jinsi ya kujiondoa? Sasa tunaendesha mabadiliko ya pili ya utambulisho - kugawanya pande zote mbili za equation na 6. Na - voila! Jibu liko tayari.)

x = 1

Kwa kweli, mfano huo ni wa zamani kabisa. Kwa wazo la jumla kukamata. Kweli, wacha tuamue jambo muhimu zaidi. Kwa mfano, hebu tuangalie equation hii:

Hebu tuitazame kwa undani.) Huu pia ni mlinganyo wa mstari, ingawa inaweza kuonekana kuwa kuna sehemu hapa. Lakini katika sehemu kuna mgawanyiko kwa mbili na kuna mgawanyiko kwa tatu, lakini hakuna mgawanyiko kwa kujieleza na X! Basi tuamue. Kwa kutumia mabadiliko sawa, ndio.)

Tufanye nini kwanza? Na X - kushoto, bila X - kulia? Kimsingi, hii inawezekana. Kuruka kwa Sochi kupitia Vladivostok.) Au unaweza kuchukua njia fupi, mara moja ukitumia njia ya ulimwengu wote na yenye nguvu. Ikiwa unajua mabadiliko ya kitambulisho, bila shaka.)

Kwanza, ninauliza swali kuu: ni nini kinachokuvutia zaidi na kisichopenda zaidi kuhusu mlingano huu? Watu 99 kati ya 100 watasema: sehemu! Na watakuwa sahihi.) Basi tuwaondoe kwanza. Salama kwa equation yenyewe.) Kwa hivyo, wacha tuanze mara moja mabadiliko ya kitambulisho cha pili- kutoka kwa kuzidisha. Je, tunapaswa kuzidisha upande wa kushoto na nini ili denominator ipunguzwe kwa ufanisi? Hiyo ni kweli, mbili. Vipi kuhusu upande wa kulia? Kwa tatu! Lakini ... Hisabati ni mwanamke asiyebadilika. Yeye, unaona, anahitaji kuzidisha pande zote mbili pekee kwa idadi sawa! Kuzidisha kila sehemu kwa nambari yake mwenyewe haifanyi kazi ... Tutafanya nini? Kitu... Tafuta maelewano. Ili kukidhi tamaa zetu (kuondoa sehemu) na sio kuchukiza hisabati.) Hebu tuzidishe sehemu zote mbili kwa sita!) Hiyo ni, kwa dhehebu la kawaida la sehemu zote zilizojumuishwa katika equation. Kisha kwa mpigo mmoja wote wawili na watatu watapunguzwa!)

Basi hebu tuzidishe. Upande wote wa kushoto na upande wote wa kulia! Kwa hiyo, tunatumia mabano. Hivi ndivyo utaratibu yenyewe unavyoonekana:

Sasa tunafungua mabano haya haya:

Sasa, tukiwakilisha 6 kama 6/1, hebu tuzidishe sita kwa kila sehemu ya kushoto na kulia. Huu ni kuzidisha kwa kawaida kwa sehemu, lakini iwe hivyo, nitaelezea kwa undani:

Na hapa - tahadhari! Niliweka nambari (x-3) kwenye mabano! Hii yote ni kwa sababu wakati wa kuzidisha sehemu, nambari inazidishwa kabisa, kabisa! Na usemi wa x-3 lazima ufanyike kazi kama muundo mmoja muhimu. Lakini ukiandika nambari kama hii:

6x-3,

Lakini tuna kila kitu sawa na tunahitaji kuikamilisha. Nini cha kufanya baadaye? Ungependa kufungua mabano kwenye nambari iliyo upande wa kushoto? Kwa vyovyote vile! Wewe na mimi tulizidisha pande zote mbili kwa 6 ili kuondoa sehemu, na sio kuwa na wasiwasi juu ya kufungua mabano. Katika hatua hii tunahitaji kupunguza sehemu zetu. Kwa hisia ya kuridhika sana, tunapunguza madhehebu yote na kupata equation bila sehemu yoyote, katika mtawala:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

Na sasa mabano yaliyobaki yanaweza kufunguliwa:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Mlinganyo unaendelea kuwa bora na bora! Sasa hebu tukumbuke tena kuhusu mabadiliko ya kwanza ya kufanana. Kwa uso wa moja kwa moja tunarudia spell kutoka madarasa ya vijana: na X - kushoto, bila X - kulia. Na utumie mabadiliko haya:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Tunawasilisha zinazofanana upande wa kushoto na kuhesabu kulia:

13x = 39

Inabakia kugawanya sehemu zote mbili kwa 13. Hiyo ni, tumia mabadiliko ya pili tena. Tunagawanya na kupata jibu:

x = 3

Kazi imekamilika. Kama unavyoona, katika equation hii tulilazimika kutumia mabadiliko ya kwanza mara moja (maneno ya kuhamisha) na ya pili mara mbili: mwanzoni mwa suluhisho tulitumia kuzidisha (kwa 6) ili kuondoa sehemu, na mwisho. ya suluhisho tulitumia mgawanyiko (na 13), kuondoa mgawo mbele ya X. Na suluhisho la yoyote (ndiyo, yoyote!) linear equation lina mchanganyiko wa mabadiliko haya sawa katika mlolongo mmoja au mwingine. Wapi hasa kuanza - kutoka equation maalum inategemea. Katika maeneo mengine ni faida zaidi kuanza na uhamisho, na kwa wengine (kama katika mfano huu) na kuzidisha (au mgawanyiko).

Tunafanya kazi kutoka rahisi hadi ngumu. Hebu sasa tufikirie ukatili mtupu. Na rundo la sehemu na mabano. Nami nitakuambia jinsi ya kutojisumbua.)

Kwa mfano, hapa kuna equation:

Tunaangalia equation kwa dakika, tunaogopa, lakini bado tunajivuta pamoja! Tatizo kuu ni wapi pa kuanzia? Unaweza kuongeza sehemu upande wa kulia. Unaweza kutoa sehemu katika mabano. Unaweza kuzidisha sehemu zote mbili kwa kitu. Au kugawanya ... Kwa hivyo ni nini bado kinawezekana? Jibu: kila kitu kinawezekana! Hisabati haikatazi hatua zozote zilizoorodheshwa. Na haijalishi ni mlolongo gani wa vitendo na mabadiliko unayochagua, jibu litakuwa sawa kila wakati - moja sahihi. Isipokuwa, kwa kweli, kwa hatua fulani unakiuka kitambulisho cha mabadiliko yako na, kwa hivyo, kufanya makosa ...

Na, ili usifanye makosa, katika mifano ya kisasa kama hii, daima ni muhimu sana kutathmini. mwonekano na ufikirie akilini mwako: nini kinaweza kufanywa kwa mfano ili upeo kurahisisha kwa hatua moja?

Basi hebu kufikiri ni nje. Upande wa kushoto ni sita katika madhehebu. Binafsi, siwapendi, na ni rahisi sana kuwaondoa. Acha nizidishe pande zote mbili za mlinganyo kwa 6! Kisha sita upande wa kushoto zitapunguzwa kwa ufanisi, sehemu kwenye mabano hazitaenda popote bado. Naam, hiyo ni sawa. Tutashughulika nao baadaye kidogo.) Lakini kwa upande wa kulia, tunayo madhehebu ya 2 na 3 ya kughairi. Ni kwa hatua hii (kuzidisha kwa 6) tunapata kurahisisha upeo katika hatua moja!

Baada ya kuzidisha, equation yetu mbaya yote inakuwa kama hii:

Ikiwa huelewi hasa jinsi equation hii ilitokea, basi haujaelewa uchambuzi wa mfano uliopita vizuri. Na nilijaribu, kwa njia ...

Kwa hivyo, wacha tufunue:

Sasa hatua ya kimantiki zaidi itakuwa kutenga sehemu zilizo upande wa kushoto, na kutuma 5x upande wa kulia. Wakati huo huo, tutawasilisha sawa kwa upande wa kulia. Tunapata:

Bora zaidi tayari. Sasa upande wa kushoto umejitayarisha kwa kuzidisha. Je, tunapaswa kuzidisha upande wa kushoto na nini ili wote watano na wanne wapunguzwe mara moja? Tarehe 20! Lakini pia tunayo hasara kwa pande zote mbili za equation. Kwa hivyo, itakuwa rahisi zaidi kuzidisha pande zote mbili za equation sio kwa 20, lakini kwa -20. Kisha katika moja akapiga swoop wote minuses na FRACTIONS zitatoweka.

Kwa hivyo tunazidisha:

Mtu yeyote ambaye bado haelewi hatua hii ina maana kwamba tatizo haliko katika equations. Matatizo yapo kwenye misingi! Tukumbuke tena Kanuni ya Dhahabu mabano ya kufungua:

Ikiwa nambari inazidishwa na usemi fulani katika mabano, basi nambari hii lazima iongezwe kwa mpangilio kwa kila neno la usemi huu. Zaidi ya hayo, ikiwa nambari ni chanya, basi ishara za maneno huhifadhiwa baada ya upanuzi. Ikiwa hasi, badilisha hadi kinyume:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Hasara zetu zilitoweka baada ya kuzidisha pande zote mbili kwa -20. Na sasa tunazidisha mabano na sehemu upande wa kushoto na kabisa nambari chanya 20. Kwa hiyo, wakati mabano haya yanafunguliwa, ishara zote zilizokuwa ndani yao zimehifadhiwa. Lakini ambapo mabano katika nambari za sehemu hutoka, tayari nilielezea kwa undani katika mfano uliopita.

Sasa unaweza kupunguza sehemu:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Fungua mabano iliyobaki. Tena, tunaifunua kwa usahihi. Mabano ya kwanza yanazidishwa na nambari nzuri ya 4 na, kwa hiyo, ishara zote zinahifadhiwa wakati zinafunguliwa. Lakini mabano ya pili yanazidishwa hasi nambari ni -5 na, kwa hivyo, ishara zote zimebadilishwa:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Yamebaki mambo madogo madogo tu. Na X upande wa kushoto, bila X wa kulia:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Hiyo ni karibu yote. Kwa upande wa kushoto unahitaji X safi, lakini nambari -35 iko njiani. Kwa hiyo tunagawanya pande zote mbili kwa (-35). Acha nikukumbushe kwamba mabadiliko ya pili ya utambulisho huturuhusu kuzidisha na kugawanya pande zote mbili Vyovyote nambari. Ikiwa ni pamoja na hasi.) Ilimradi sio sifuri! Jisikie huru kugawanya na kupata jibu:

X = 2/35

Wakati huu X iligeuka kuwa ya sehemu. Ni sawa. Mfano kama huo.)

Kama tunavyoona, kanuni ya kutatua hesabu za mstari (hata zile ngumu zaidi) ni rahisi sana: tunachukua equation ya asili na, kwa kutumia mabadiliko yanayofanana, hurahisisha mfululizo hadi tupate jibu. Kwa misingi, bila shaka! Shida kuu hapa ni kutofaulu kwa kufuata misingi (kwa mfano, kuna minus mbele ya mabano, na walisahau kubadilisha ishara wakati wa kupanua), na pia katika hesabu za banal. Kwa hivyo usipuuze mambo ya msingi! Ndio msingi wa hisabati zingine zote!

Baadhi ya mambo ya kufurahisha ya kufanya wakati wa kutatua milinganyo ya mstari. Au matukio maalum.

Kila kitu kingekuwa sawa. Walakini ... Miongoni mwa hesabu za mstari pia kuna lulu za kuchekesha ambazo katika mchakato wa kuzitatua zinaweza kukuingiza kwenye mshtuko mkali. Hata mwanafunzi bora.)

Kwa mfano, hapa kuna mlinganyo usio na hatia:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Kupiga miayo kwa upana na kuchoka kidogo, tunakusanya X zote upande wa kushoto na nambari zote upande wa kulia:

7x-4x-3x = 5-2-3

Tunawasilisha zinazofanana, hesabu na upate:

0 = 0

Ni hayo tu! Nilitoa mfano wa hila! Usawa huu wenyewe hauleti pingamizi lolote: sifuri kweli ni sawa na sifuri. Lakini X haipo! Bila kuwaeleza! Na lazima tuandike katika jibu, kwa nini sawa na x . Vinginevyo, uamuzi hauhesabu, ndiyo.) Nini cha kufanya?

Usiwe na wasiwasi! Katika kesi zisizo za kawaida, zaidi dhana za jumla na kanuni za hisabati. Mlinganyo ni nini? Jinsi ya kutatua equations? Inamaanisha nini kutatua equation?

Kutatua equation kunamaanisha kupata Wote maadili ya kutofautisha x, ambayo, ikibadilishwa kuwa asili equation itatupa usawa sahihi (utambulisho)!

Lakini tuna usawa wa kweli tayari imetokea! 0=0, au tuseme, hakuna mahali popote!) Tunaweza tu kukisia ni X gani tunapata usawa huu. Ni aina gani za X zinaweza kubadilishwa asili equation, ikiwa baada ya kuzibadilisha zote bado zitapunguzwa hadi sifuri? Bado hujaelewa?

Hakika! X inaweza kubadilishwa yoyote!!! Kabisa yoyote. Peana chochote unachotaka. Angalau 1, angalau -23, angalau 2.7 - chochote! Bado zitapunguzwa na matokeo yake, ukweli safi utabaki. Ijaribu, ibadilishe na ujionee mwenyewe.)

Hili hapa jibu lako:

x - nambari yoyote.

Katika nukuu ya kisayansi usawa huu umeandikwa kama ifuatavyo:

Ingizo hili linasomeka hivi: "X ni nambari yoyote halisi."

Au kwa namna nyingine, kwa vipindi:

Ibuni jinsi unavyopenda zaidi. Hili ni jibu sahihi na kamili kabisa!

Sasa nitabadilisha nambari moja tu katika mlingano wetu wa asili. Sasa hebu tusuluhishe equation hii:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Tena tunahamisha masharti, kuhesabu na kupata:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Na una maoni gani kuhusu utani huu? Kulikuwa na equation ya kawaida ya mstari, lakini ikawa usawa usioeleweka

0 = 1…

Kwa kusema kisayansi, tulipata usawa wa uongo. Lakini kwa Kirusi hii sio kweli. Bullshit. Upuuzi.) Kwa sababu sifuri sio sawa na moja!

Na sasa hebu tuchunguze tena ni aina gani za X, zikibadilishwa kuwa equation ya asili, zitatupa. usawa wa kweli? Ambayo? Lakini hakuna! Haijalishi ni X gani unabadilisha, kila kitu bado kitafupishwa na kila kitu kitabaki ujinga.)

Hili hapa jibu: hakuna masuluhisho.

KATIKA nukuu ya hisabati jibu kama hili limeundwa kama hii:

Inasomeka: "X ni ya seti tupu."

Majibu kama haya katika hisabati pia hufanyika mara nyingi: sio kila wakati hesabu zozote zina mizizi kwa kanuni. Baadhi ya milinganyo huenda isiwe na mizizi hata kidogo. Hata kidogo.

Hapa kuna maajabu mawili. Natumai kuwa sasa kutoweka kwa ghafla kwa X kutoka kwa equation hakutakuacha ukiwa na wasiwasi milele. Hii inajulikana sana.)

Na kisha nasikia swali la kimantiki: watakuwa katika OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja? Juu ya Mtihani wa Jimbo la Umoja yenyewe kama kazi - hapana. Rahisi sana. Lakini katika OGE au katika matatizo ya neno - kwa urahisi! Kwa hivyo sasa wacha tufunze na tuamue:

Majibu (katika mkanganyiko): -2; -1; nambari yoyote; 2; hakuna suluhisho; 7/13.

Kila kitu kilifanyika? Kubwa! Una nafasi nzuri katika mtihani.

Je, kuna kitu hakijumuishi? Hm... Huzuni, bila shaka. Hii ina maana bado kuna mapungufu mahali fulani. Ama katika misingi au katika mabadiliko yanayofanana. Au ni suala la kutojali tu. Soma somo tena. Kwa sababu hii sio mada ambayo inaweza kutolewa kwa urahisi katika hisabati ...

Bahati njema! Hakika atakutabasamu, niamini!)