Nambari kamili. Nambari kamili, nambari zinazoambatana - nambari za kushangaza

Nambari ya 6 inaweza kugawanywa yenyewe, na pia kwa 1, 2 na 3, na 6 = 1 + 2 + 3.
Nambari 28 ina mambo matano tofauti na yenyewe: 1, 2, 4, 7 na 14, na 28 = 1+2+4+7+14.
Inaweza kuzingatiwa kuwa sio kila nambari ya asili ni sawa na jumla ya vigawanyiko vyake vyote vinavyotofautiana na nambari hii. Nambari ambazo zina mali hii zimepewa jina kamili.

Hata Euclid (karne ya 3 KK) alionyesha kuwa hata nambari kamili zinaweza kupatikana kutoka kwa fomula: 2 uk –1 (2uk- 1) ili mradi R na 2 uk Kuna nambari kuu. Kwa njia hii, takriban 20 hata nambari kamili zilipatikana. Hadi sasa, hakuna nambari moja isiyo ya kawaida inayojulikana na swali la kuwepo kwao linabaki wazi. Utafiti juu ya nambari kama hizo ulianzishwa na Pythagoreans, ambao walihusisha maana maalum ya fumbo kwao na mchanganyiko wao.

Nambari ndogo ya kwanza kamili ni 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Labda ndiyo sababu mahali pa sita palionekana kuwa pa heshima zaidi kwenye karamu kati ya Warumi wa kale.

Nambari ya pili kwa ukamilifu ni 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Baadhi ya jumuiya za wasomi na vyuo vilitakiwa kuwa na wanachama 28. Huko Roma mnamo 1917, wakati wa kufanya kazi ya chini ya ardhi, majengo ya moja ya vyuo vikuu vya zamani zaidi yaligunduliwa: ukumbi na karibu nayo vyumba 28 - idadi tu ya washiriki wa taaluma hiyo.

Nambari za asili zinapoongezeka, nambari kamili hupungua. Nambari ya tatu kamili - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), ya nne - 8128 , tano - 33 550 336 , sita - 8 589 869 056 , saba - 137 438 691 328 .

Nambari nne za kwanza kamili ni: 6, 28, 496, 8128 ziligunduliwa muda mrefu uliopita, miaka 2000 iliyopita. Nambari hizi zimetolewa katika Hesabu ya Nikomachus wa Geraz, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki, mwanahisabati na mwananadharia wa muziki.
Nambari ya tano kamili iligunduliwa mnamo 1460, karibu miaka 550 iliyopita. Nambari hii 33550336 iligunduliwa na mwanahisabati wa Ujerumani Regiomontanus (karne ya 15).

Katika karne ya 16, mwanasayansi wa Ujerumani Scheibel pia alipata nambari mbili kamili zaidi: 8 589 869 056 Na 137 438 691 328 . Zinalingana na p = 17 na p = 19. Mwanzoni mwa karne ya 20, nambari tatu kamili zaidi zilipatikana (kwa p = 89, 107 na 127). Baadaye, utafutaji ulipungua hadi katikati ya karne ya 20, wakati, pamoja na ujio wa kompyuta, mahesabu zaidi ya uwezo wa binadamu yaliwezekana. Hivi sasa kuna nambari 47 hata kamili zinazojulikana.

Asili kamili ya nambari 6 na 28 ilitambuliwa na tamaduni nyingi, ikigundua kuwa Mwezi huzunguka Dunia kila baada ya siku 28, na kudai kwamba Mungu aliumba ulimwengu kwa siku 6.
Katika insha yake “Mji wa Mungu,” Mtakatifu Augustino alionyesha wazo kwamba ingawa Mungu anaweza kuumba ulimwengu mara moja, alichagua kuuumba kwa siku 6 ili kutafakari ukamilifu wa ulimwengu. Kulingana na Mtakatifu Augustino, nambari ya 6 sio kabisa kwa sababu Mungu aliichagua, lakini kwa sababu ukamilifu ni asili katika asili ya nambari hii. “Nambari 6 ni kamilifu yenyewe, na si kwa sababu Bwana aliumba vitu vyote kwa siku 6; badala yake, kinyume chake, Mungu aliumba kila kitu kilichopo katika siku 6 kwa sababu idadi hii ni kamilifu. Na ingebaki kuwa kamilifu hata kama hakungekuwa na uumbaji katika siku 6.”

Lev Nikolaevich Tolstoy zaidi ya mara moja kwa utani "alijisifu" kwamba tarehe hiyo
kuzaliwa kwake Agosti 28 (kulingana na kalenda ya wakati huo) ni nambari kamili.
Mwaka wa kuzaliwa L.N. Tolstoy (1828) pia ni nambari ya kuvutia: tarakimu mbili za mwisho (28) huunda nambari kamili; Ikiwa utabadilisha nambari za kwanza, unapata 8128 - nambari ya nne kamili.

(yaani vigawanyiko vyote isipokuwa nambari yenyewe).

Nambari ya kwanza kamili ni 6 (1 + 2 + 3 = 6), inayofuata ni 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Wanapoongezeka, idadi kamili inakuwa chini ya kawaida. Nambari kamili ya tatu ni 496, ya nne ni 8,128, ya tano ni 33,550,336, ya sita ni 8,589,869,056.

Historia ya utafiti

Asili kamili ya nambari 6 na 28 ilitambuliwa na tamaduni nyingi, ambazo zilizingatia ukweli kwamba inazunguka kila siku 28, na ambaye alidai kwamba aliumba ulimwengu kwa siku 6. Katika insha yake “Mji wa Mungu,” alionyesha wazo kwamba ingawa Mungu angeweza kuumba ulimwengu mara moja, alichagua kuuumba kwa siku 6 ili kutafakari ukamilifu wa ulimwengu. Kulingana na Mtakatifu Augustino, nambari ya 6 sio kabisa kwa sababu Mungu aliichagua, lakini kwa sababu ukamilifu ni asili katika asili ya nambari hii. “Nambari 6 ni kamilifu yenyewe, na si kwa sababu Bwana aliumba vitu vyote kwa siku 6; badala yake, kinyume chake, Mungu aliumba kila kitu kilichopo katika siku 6 kwa sababu idadi hii ni kamilifu. Na ingebaki kuwa kamilifu hata kama hakungekuwa na uumbaji katika siku 6.”

Nambari kamili walikuwa mada ya uangalizi wa karibu wa Pythagoreans, ingawa wakati wao tu nambari 2 kamili za kwanza zilijulikana. Hasa, aligundua kuwa nambari kamili sio tu sawa na jumla ya wagawanyiko wao, lakini pia zina mali zingine za kifahari. Kwa mfano, nambari kamili daima ni sawa na jumla ya mfululizo nambari za asili, kuanzia moja (yaani are ):

Zaidi ya hayo, moja ya uvumbuzi wake ulikuwa kwamba ukamilifu wa nambari unahusiana kwa karibu na "binary." Nambari 4=2\cdot2, 8=2\cdot2\cdot2, 16=2\cdot2\cdot2\cdot2 n.k. zinaitwa nguvu za 2 na zinaweza kuwakilishwa kama 2 n, Wapi n- idadi ya kuzidisha mbili. Nguvu zote za nambari ya 2 hupunguka kidogo kuwa kamili, kwani jumla ya wagawanyiko wao daima ni moja chini ya nambari yenyewe, i.e. nguvu zote za mbili:

Kwa kuwa kila nambari kamili inalingana na nambari kuu ya Mersenne (na kinyume chake), ugunduzi wa nambari mpya hata kamili ni sawa na ugunduzi wa nambari kuu za Mersenne, utafutaji uliosambazwa ambao unafanywa na mradi. Kwa sasa (Novemba 2006) kuna nambari kuu 44 zinazojulikana za Mersenne, na kwa hivyo 44 hata nambari kamili.

Nambari ya 6 inaweza kugawanywa yenyewe, na pia kwa 1, 2 na 3, na 6 = 1 + 2 + 3.
Nambari 28 ina mambo matano tofauti na yenyewe: 1, 2, 4, 7 na 14, na 28 = 1+2+4+7+14.
Inaweza kuzingatiwa kuwa sio kila nambari ya asili ni sawa na jumla ya vigawanyiko vyake vyote vinavyotofautiana na nambari hii. Nambari ambazo zina mali hii zimepewa jina kamili.

Hata Euclid (karne ya 3 KK) alionyesha kuwa hata nambari kamili zinaweza kupatikana kutoka kwa fomula: 2 uk –1 (2uk- 1) ili mradi R na 2 uk Kuna nambari kuu. Kwa njia hii, takriban 20 hata nambari kamili zilipatikana. Hadi sasa, hakuna nambari moja isiyo ya kawaida inayojulikana na swali la kuwepo kwao linabaki wazi. Utafiti juu ya nambari kama hizo ulianzishwa na Pythagoreans, ambao walihusisha maana maalum ya fumbo kwao na mchanganyiko wao.

Nambari ndogo ya kwanza kamili ni 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Labda ndiyo sababu mahali pa sita palionekana kuwa pa heshima zaidi kwenye karamu kati ya Warumi wa kale.

Nambari ya pili kwa ukamilifu ni 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Baadhi ya jumuiya za wasomi na vyuo vilitakiwa kuwa na wanachama 28. Huko Roma mnamo 1917, wakati wa kufanya kazi ya chini ya ardhi, majengo ya moja ya vyuo vikuu vya zamani zaidi yaligunduliwa: ukumbi na karibu nayo vyumba 28 - idadi tu ya washiriki wa taaluma hiyo.

Nambari za asili zinapoongezeka, nambari kamili hupungua. Nambari ya tatu kamili - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), ya nne - 8128 , tano - 33 550 336 , sita - 8 589 869 056 , saba - 137 438 691 328 .

Nambari nne za kwanza kamili ni: 6, 28, 496, 8128 ziligunduliwa muda mrefu uliopita, miaka 2000 iliyopita. Nambari hizi zimetolewa katika Hesabu ya Nikomachus wa Geraz, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki, mwanahisabati na mwananadharia wa muziki.
Nambari ya tano kamili iligunduliwa mnamo 1460, karibu miaka 550 iliyopita. Nambari hii 33550336 iligunduliwa na mwanahisabati wa Ujerumani Regiomontanus (karne ya 15).

Katika karne ya 16, mwanasayansi wa Ujerumani Scheibel pia alipata nambari mbili kamili zaidi: 8 589 869 056 Na 137 438 691 328 . Zinalingana na p = 17 na p = 19. Mwanzoni mwa karne ya 20, nambari tatu kamili zaidi zilipatikana (kwa p = 89, 107 na 127). Baadaye, utafutaji ulipungua hadi katikati ya karne ya 20, wakati, pamoja na ujio wa kompyuta, mahesabu zaidi ya uwezo wa binadamu yaliwezekana. Hivi sasa kuna nambari 47 hata kamili zinazojulikana.

Asili kamili ya nambari 6 na 28 ilitambuliwa na tamaduni nyingi, ikigundua kuwa Mwezi huzunguka Dunia kila baada ya siku 28, na kudai kwamba Mungu aliumba ulimwengu kwa siku 6.
Katika insha yake “Mji wa Mungu,” Mtakatifu Augustino alionyesha wazo kwamba ingawa Mungu anaweza kuumba ulimwengu mara moja, alichagua kuuumba kwa siku 6 ili kutafakari ukamilifu wa ulimwengu. Kulingana na Mtakatifu Augustino, nambari ya 6 sio kabisa kwa sababu Mungu aliichagua, lakini kwa sababu ukamilifu ni asili katika asili ya nambari hii. “Nambari 6 ni kamilifu yenyewe, na si kwa sababu Bwana aliumba vitu vyote kwa siku 6; badala yake, kinyume chake, Mungu aliumba kila kitu kilichopo katika siku 6 kwa sababu idadi hii ni kamilifu. Na ingebaki kuwa kamilifu hata kama hakungekuwa na uumbaji katika siku 6.”

Lev Nikolaevich Tolstoy zaidi ya mara moja kwa utani "alijisifu" kwamba tarehe hiyo
kuzaliwa kwake Agosti 28 (kulingana na kalenda ya wakati huo) ni nambari kamili.
Mwaka wa kuzaliwa L.N. Tolstoy (1828) pia ni nambari ya kuvutia: tarakimu mbili za mwisho (28) huunda nambari kamili; Ikiwa utabadilisha nambari za kwanza, unapata 8128 - nambari ya nne kamili.

Nambari kamili

Wakati mwingine nambari kamili huchukuliwa kuwa kesi maalum ya nambari za kirafiki: kila nambari kamili ni ya kirafiki kwa yenyewe. Nikomachus wa Geras, mwanafalsafa na mwanahisabati maarufu, aliandika hivi: “Nambari kamilifu ni nzuri sana. idadi kamili.” Lakini ni wangapi kati yao?” Nikomachus, aliyeishi katika karne ya kwanza WK, hakujua.

Nambari kamili ni nambari sawa na jumla ya vigawanyiko vyake vyote (pamoja na 1, lakini bila kujumuisha nambari yenyewe).

Nambari ya kwanza nzuri kabisa ambayo wanahisabati walijua juu yake Ugiriki ya Kale, kulikuwa na nambari "6". Katika nafasi ya sita kwenye karamu iliyoalikwa alilazwa mgeni aliyeheshimika zaidi na aliyeheshimika zaidi. Hadithi za Kibiblia zinadai kwamba ulimwengu uliumbwa kwa siku sita, kwa sababu hakuna nambari kamili kati ya nambari kamili kuliko "6", kwani ni ya kwanza kati yao.

Hebu tuzingatie nambari 6. Nambari ina vigawanyiko 1, 2, 3 na nambari 6 yenyewe. Ikiwa tutajumlisha vigawanyiko zaidi ya nambari yenyewe 1 + 2 + 3, basi tunapata 6. Hii inamaanisha kuwa nambari 6 ni kirafiki kwa yenyewe na ni nambari ya kwanza kamili.

Nambari kamili inayofuata inayojulikana kwa watu wa kale ilikuwa "28". Martin Gardner aliona maana maalum katika nambari hii. Kwa maoni yake, Mwezi unasasishwa kwa siku 28, kwa sababu nambari "28" ni kamilifu. Huko Roma mnamo 1917, wakati wa kazi ya chini ya ardhi, iligunduliwa jengo la ajabu: Seli ishirini na nane ziko karibu na ukumbi mkubwa wa kati. Hili lilikuwa jengo la Chuo cha Sayansi cha Neopythagorean. Ilikuwa na wanachama ishirini na nane. Hadi hivi majuzi, jumuiya nyingi za elimu zilipaswa kuwa na idadi sawa ya wanachama, mara nyingi kwa desturi tu, sababu ambazo zimesahauliwa kwa muda mrefu. Kabla ya Euclid, nambari hizi mbili kamili tu ndizo zilizojulikana, na hakuna mtu aliyejua ikiwa nambari zingine kamili zilikuwepo au ni nambari ngapi kama hizo zinaweza kuwa.

Shukrani kwa fomula yake, Euclid aliweza kupata nambari mbili kamili zaidi: 496 na 8128.

Kwa karibu miaka mia moja na tano watu walijua nambari nne tu kamili, na hakuna mtu aliyejua ikiwa kunaweza kuwa na nambari zingine ambazo zinaweza kuwakilishwa katika fomula ya Euclidean, na hakuna mtu anayeweza kusema ikiwa nambari kamili ziliwezekana ambazo hazikidhi fomula ya Euclid.

Fomula ya Euclid hukuruhusu kudhibitisha kwa urahisi mali nyingi za nambari kamili.

Nambari zote kamili ni za pembetatu. Hii inamaanisha kuwa, kwa kuchukua idadi kamili ya mipira, tunaweza kuunda pembetatu ya usawa kutoka kwao kila wakati.

Nambari zote kamili isipokuwa 6 zinaweza kuwakilishwa kama hesabu za sehemu ya safu ya cubes ya nambari zisizo za kawaida zinazofuatana 1 3 + 3 3 + 5 3 ...

Jumla ya upatanishi wa vigawanyiko vyote vya nambari kamili, pamoja na yenyewe, daima ni sawa na 2.

Kwa kuongeza, ukamilifu wa namba unahusiana kwa karibu na binary. Nambari: 4=22, 8=2? 2? 2, 16 = 2? 2? 2? 2, nk. zinaitwa nguvu za 2 na zinaweza kuwakilishwa kama 2n, ambapo n ni idadi ya mbili-mbili iliyozidishwa. Nguvu zote za nambari ya 2 hupunguka kidogo kuwa kamili, kwani jumla ya wagawanyiko wao daima ni moja chini ya nambari yenyewe.

Nambari zote kamili (isipokuwa 6) huisha kwa nukuu ya desimali na 16, 28, 36, 56, 76 au 96.

Nambari za kijamii

Dhana za nambari kamili na za kirafiki mara nyingi hutajwa kwenye fasihi hisabati ya burudani. Walakini, kwa sababu fulani, kidogo inasemwa juu ya ukweli kwamba nambari zinaweza pia kuwa marafiki kati ya kampuni. Wazo la nambari za kampuni limeelezewa vizuri katika vyanzo vya lugha ya Kiingereza.

Ushirika ni kikundi cha nambari za k ambapo jumla ya vigawanyiko sahihi vya nambari ya kwanza ni sawa na ya pili, jumla ya vigawanyiko sahihi vya pili ni sawa na ya tatu, nk. Na nambari ya kwanza ni sawa na jumla ya vigawanyiko sahihi vya nambari ya kth.

Kuna makampuni yenye washiriki 4, 5, 6, 8, 9 na hata 28, lakini tatu hazikupatikana. Mfano wa tano, moja pekee inayojulikana hadi sasa: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Uzuri Kamilifu na Ubatilifu Kamilifu wa Nambari Kamili

Acha kutafuta nambari za kuvutia!
Iache kwa maslahi angalau
nambari moja isiyovutia!
Kutoka kwa barua ya msomaji kwa Martin Gardner

Miongoni mwa nambari zote za asili za kupendeza ambazo zimesomwa kwa muda mrefu na wanahisabati, nambari kamili na nambari za kirafiki zinazohusiana zinachukua nafasi maalum. Nambari kamili ni nambari sawa na jumla ya vigawanyiko vyake vyote (pamoja na 1, lakini bila kujumuisha nambari yenyewe). Nambari ndogo kabisa kamili 6 ni sawa na jumla ya vigawanyiko vyake vitatu 1, 2 na 3. Nambari kamili inayofuata ni 28=1+2+4+7+14. Wachambuzi wa Agano la Kale wa mapema, Martin Gardner anaandika katika kitabu chake cha Hisabati Riwaya, waliona maana maalum katika ukamilifu wa namba 6 na 28. Je, ulimwengu haukuumbwa kwa siku 6, walishangaa, na je, Mwezi haujafanywa upya kwa siku 28? Mafanikio makuu ya kwanza ya nadharia ya nambari kamili yalikuwa nadharia ya Euclid kwamba nambari 2 n-1 (2n-1) ni sawa na kamilifu ikiwa nambari 2 n-1 ni kuu. Miaka elfu mbili tu baadaye, Euler alithibitisha kuwa fomula ya Euclid ina nambari zote kamilifu. Kwa kuwa hakuna nambari moja isiyo ya kawaida inayojulikana (wasomaji wana nafasi ya kupata moja na kutukuza jina lao), kwa kawaida wakati wa kuzungumza juu ya nambari kamili, wanamaanisha nambari hata kamili.

Tukiangalia kwa karibu fomula ya Euclid, tutaona uhusiano kati ya nambari kamili na masharti ya maendeleo ya kijiometri 1, 2, 4, 8, 16, ... Uunganisho huu unaweza kufuatiliwa vyema kwa kutumia mfano. hadithi ya kale, kulingana na ambayo Raja aliahidi mvumbuzi wa chess malipo yoyote. Mvumbuzi aliuliza kuweka nafaka moja ya ngano kwenye mraba wa kwanza wa chessboard, nafaka mbili kwenye mraba wa pili, nafaka nne kwenye tatu, nane kwenye nne, na kadhalika. Kwenye mwisho, kiini cha 64, nafaka 2 63 zinapaswa kumwagika, na kwa jumla ubao wa chess kutakuwa na "kundi" la punje 2 64 -1 za ngano. Hii ni zaidi ya ambayo imekusanywa katika mavuno yote katika historia ya wanadamu. Ikiwa kwenye kila mraba wa chessboard tunaandika ni nafaka ngapi za ngano ambazo mvumbuzi wa chess angestahili kwa ajili yake, na kisha kuondoa nafaka moja kutoka kwa kila mraba, basi idadi ya nafaka iliyobaki italingana kabisa na usemi katika mabano katika Euclid. fomula. Ikiwa nambari hii ni ya msingi, basi kuzidisha kwa idadi ya nafaka kwenye seli iliyotangulia (yaani, kwa 2n-1), tunapata nambari kamili! Nambari kuu za fomu 2 n -1 zinaitwa nambari za Mersenne kwa heshima ya mwanahisabati wa Ufaransa wa karne ya 17. Kwenye ubao wa chess na nafaka moja imeondolewa kutoka kwa kila mraba, kuna nambari tisa za Mersenne zinazolingana na tisa nambari kuu, chini ya 64, yaani: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 na 61. Kuzizidisha kwa idadi ya nafaka kwenye seli zilizopita, tunapata namba tisa za kwanza kamili. (Nambari n=29, 37, 41, 43, 47, 53, na 59 hazitoi nambari za Mersenne, yaani, nambari zinazolingana ni mchanganyiko wa 2n-1.) Fomula ya Euclid hukuruhusu kudhibitisha kwa urahisi sifa nyingi za nambari kamili. Kwa mfano, nambari zote kamili ni za pembetatu. Hii inamaanisha kwamba, kwa kuchukua idadi kamili ya mipira, tunaweza kuunda pembetatu ya usawa kutoka kwao kila wakati. Kutoka kwa fomula ile ile ya Euclid hufuata sifa nyingine ya ajabu ya nambari kamili: nambari zote kamili, isipokuwa 6, zinaweza kuwakilishwa kama hesabu za sehemu ya safu ya cubes ya nambari zisizo za kawaida mfululizo 13+33+53+... La kushangaza zaidi ni kwamba. jumla ya upatanisho wa wagawanyiko wote wa nambari kamili , ikiwa ni pamoja na yeye mwenyewe, daima ni sawa na 2. Kwa mfano, kuchukua vigawanyiko vya nambari kamili 28, tunapata:

Kwa kuongeza, uwakilishi wa nambari kamili katika fomu ya binary, ubadilishaji wa tarakimu za mwisho za nambari kamili na maswali mengine ya kuvutia ambayo yanaweza kupatikana katika maandiko juu ya hisabati ya burudani ni ya kuvutia. Ya kuu - kuwepo kwa idadi isiyo ya kawaida kamili na kuwepo kwa idadi kubwa zaidi kamili - bado haijatatuliwa. Kutoka kwa nambari kamili hadithi inatiririka hadi nambari za kirafiki. Hizi ni nambari mbili, ambayo kila moja ni sawa na jumla ya wagawanyiko wa nambari ya pili ya kirafiki. Nambari ndogo zaidi za kirafiki, 220 na 284, zilijulikana kwa Pythagoreans, ambao waliwaona kuwa ishara ya urafiki. Jozi zifuatazo za nambari za urafiki, 17296 na 18416, ziligunduliwa na mwanasheria wa Ufaransa na mwanahisabati Pierre Fermat mnamo 1636 tu, na nambari zilizofuata zilipatikana na Descartes, Euler na Legendre. Niccolo Paganini wa Italia mwenye umri wa miaka kumi na sita (jina la mpiga fidla maarufu) alishtua ulimwengu wa hisabati mnamo 1867 kwa ujumbe kwamba nambari 1184 na 1210 ni za kirafiki! Jozi hii, iliyo karibu na 220 na 284, ilipuuzwa na wanahisabati wote maarufu ambao walisoma nambari za kirafiki.
Ya kupendeza haswa kwa amateurs ni mpango wa kupata nambari kamili. Mpango wake ni rahisi: katika kitanzi, kwa kila nambari, angalia jumla ya wagawanyiko wake na ulinganishe na nambari yenyewe - ikiwa ni sawa, basi nambari hii ni kamilifu.

VAR I,N,Summa: LONGINT ;
Kigawanyaji: INTEGER;
anza KWA MIMI:=3 HADI 34000000 ANZA Muhtasari:=1;
KWA Ditel:=2 HADI SQRT(I)
ANZA N:=(I DIV Divider);
IF N*Delitel=MIMI BASI Summa:=Summa + Delitel + (I DIV Delitel);
MWISHO;
IF INT(SQRT(I))=SQRT(I) BASI Summa:=Summa-INT(SQRT(I));
IF I=Summa BASI WRITELN(I,’ - ‘,Summa) ;
MWISHO;
MWISHO.

Kumbuka kwamba idadi ya vigawanyaji vya kila nambari itakayojaribiwa inakua hadi kipeo kutoka kwa nambari. Fikiria kwa nini hii ni hivyo. Na uzuri huo wa kweli ni kitu ambacho hakina maana kabisa katika kaya, lakini kipenzi sana kwa wajuzi wa kweli.

Rudi