Jedwali la kutoa kwa minus linatoa nyongeza. Vitendo na minus

Hasi mbili hufanya uthibitisho- Hii ni sheria ambayo tulijifunza shuleni na kuitumia katika maisha yetu yote. Na ni nani kati yetu aliyependezwa na kwa nini? Bila shaka, ni rahisi kukumbuka taarifa hii bila kuuliza maswali yasiyo ya lazima na si kuzama kwa undani katika kiini cha suala hilo. Sasa tayari kuna habari ya kutosha ambayo inahitaji "kuchimbwa". Lakini kwa wale ambao bado wana nia ya swali hili, tutajaribu kutoa maelezo ya jambo hili la hisabati.

Tangu nyakati za zamani, watu wametumia nambari nzuri za asili: 1, 2, 3, 4, 5, ... Nambari zilitumiwa kuhesabu mifugo, mazao, maadui, nk. Wakati wa kuongeza na kuzidisha nambari mbili chanya, kila wakati unapata nambari chanya; wakati wa kugawanya idadi moja na nyingine, haukupata kila wakati. nambari kamili- hivi ndivyo nambari za sehemu zilivyoonekana. Vipi kuhusu kutoa? Kuanzia utotoni, tunajua kuwa ni bora kuongeza kidogo kwa zaidi na kutoa kidogo kutoka kwa zaidi, na tena hatutumii nambari hasi. Inatokea kwamba ikiwa nina apples 10, ninaweza tu kumpa mtu chini ya 10 au 10. Hakuna njia ninaweza kutoa apples 13, kwa sababu sina. Hakukuwa na haja ya nambari hasi kwa muda mrefu.

Tu kutoka karne ya 7 AD. Nambari hasi zilitumika katika baadhi ya mifumo ya kuhesabu kama idadi ya ziada ambayo ilifanya iwezekane kupata nambari chanya katika jibu.

Hebu tuangalie mfano, 6x - 30 = 3x - 9. Ili kupata jibu, ni muhimu kuacha masharti na haijulikani upande wa kushoto, na wengine upande wa kulia: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7 Wakati wa kutatua mlingano huu, sisi hata Hakukuwa na nambari hasi. Tunaweza kuhamisha wanachama wasiojulikana hadi upande wa kulia, na bila haijulikani - upande wa kushoto: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Wakati wa kugawanya nambari hasi na nambari hasi, tunapata jibu chanya: x = 7.

Tunaona nini?

Vitendo kwa kutumia nambari hasi inapaswa kutuongoza kwa jibu sawa na kutenda na nambari chanya. Hatupaswi tena kufikiria juu ya kutowezekana kwa vitendo na maana ya vitendo - hutusaidia kutatua shida haraka sana, bila kupunguza equation kwa fomu iliyo na nambari chanya tu. Katika mfano wetu, hatukutumia mahesabu magumu, lakini wakati kiasi kikubwa Kuongeza hesabu kwa nambari hasi kunaweza kurahisisha kazi yetu.

Baada ya muda, baada ya majaribio ya muda mrefu na mahesabu, iliwezekana kutambua sheria zinazoongoza namba zote na uendeshaji juu yao (katika hisabati huitwa axioms). Hapa ndipo ilipotoka axiom inayosema kwamba nambari mbili hasi zinapozidishwa, tunapata nambari chanya.

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Maagizo

Kuna aina nne za shughuli za hisabati: kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya. Kwa hiyo, kutakuwa na aina nne za mifano. Nambari hasi ndani ya mfano zimeangaziwa ili usichanganye operesheni ya hisabati. Kwa mfano, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) au 34:(-17).

Nyongeza. Kitendo hiki kinaweza kuonekana kama: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Kitendo cha uingizwaji: kwanza, mabano yanafunguliwa, ishara "+" inabadilishwa kuwa kinyume, kisha kutoka kwa nambari kubwa (modulo) "6" ndogo, "3," inatolewa, baada ya hapo jibu linapewa. ishara kubwa, ambayo ni, "-".
2) -3+6=3. Hii inaweza kuandikwa kulingana na kanuni ("6-3") au kulingana na kanuni "ondoa ndogo kutoka kwa kubwa na upe ishara ya kubwa kwa jibu."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Wakati wa kufungua, hatua ya kuongeza inabadilishwa na kutoa, basi moduli zinafupishwa na matokeo hupewa ishara ya minus.

Utoaji.1) 8-(-5)=8+5=13. Mabano yanafunguliwa, ishara ya hatua inabadilishwa, na mfano wa kuongeza hupatikana.
2) -9-3=-12. Vipengele vya mfano huongezwa na kupata ishara ya jumla "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Wakati wa kufungua mabano, ishara inabadilika tena kwa "+", kisha nambari ndogo hutolewa kutoka kwa nambari kubwa na ishara ya nambari kubwa inachukuliwa mbali na jibu.

Kuzidisha na kugawanya: Wakati wa kufanya kuzidisha au kugawanya, ishara haiathiri uendeshaji yenyewe. Wakati wa kuzidisha au kugawanya nambari na jibu, ishara ya "minus" imepewa; ikiwa nambari zina ishara sawa, matokeo huwa na ishara "plus". 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Vyanzo:

meza na hasara

Jinsi ya kuamua mifano? Watoto mara nyingi hugeuka kwa wazazi wao na swali hili ikiwa kazi ya nyumbani inahitaji kufanywa nyumbani. Jinsi ya kuelezea kwa usahihi mtoto suluhisho la mifano ya kuongeza na kuondoa nambari za nambari nyingi? Hebu jaribu kufikiri hili.

Utahitaji

1. Kitabu cha kiada juu ya hisabati.
2. Karatasi.
3. Kushughulikia.

Maagizo

Soma mfano. Ili kufanya hivyo, gawanya kila multivalued katika madarasa. Kuanzia mwisho wa nambari, hesabu tarakimu tatu kwa wakati mmoja na kuweka dot (23.867.567). Hebu tukumbushe kwamba tarakimu tatu za kwanza kutoka mwisho wa nambari ni vitengo, tatu zinazofuata ni za darasa, kisha mamilioni huja. Tunasoma nambari: ishirini na tatu laki nane sitini na saba elfu sitini na saba.

Andika mfano. Tafadhali kumbuka kuwa vitengo vya kila tarakimu vimeandikwa madhubuti chini ya kila mmoja: vitengo chini ya vitengo, makumi chini ya makumi, mamia chini ya mamia, nk.

Fanya kuongeza au kutoa. Anza kutekeleza kitendo na vitengo. Andika matokeo chini ya kitengo ambacho ulifanya kitendo. Ikiwa matokeo ni nambari (), basi tunaandika vitengo mahali pa jibu, na kuongeza idadi ya makumi kwa vitengo vya tarakimu. Ikiwa idadi ya vitengo vya tarakimu yoyote katika mwisho ni ndogo kuliko katika subtrahend, tunachukua vitengo 10 vya tarakimu inayofuata na kutekeleza kitendo.

Soma jibu.

Video kwenye mada

Kumbuka

Zuia mtoto wako kutumia kikokotoo hata kuangalia suluhisho kwa mfano. Nyongeza hujaribiwa kwa kutoa, na kutoa hujaribiwa kwa kuongeza.

Ushauri wa manufaa

Ikiwa mtoto ana ufahamu mzuri wa mbinu za mahesabu yaliyoandikwa ndani ya 1000, basi shughuli na nambari za tarakimu nyingi, zinazofanywa kwa njia ya kufanana, hazitasababisha matatizo yoyote.
Mpe mtoto wako shindano ili kuona ni mifano ngapi anayoweza kutatua kwa dakika 10. Mafunzo kama haya yatasaidia kubinafsisha mbinu za hesabu.

Kuzidisha ni mojawapo ya shughuli nne za msingi za hisabati ambazo zina msingi nyingi zaidi kazi ngumu. Zaidi ya hayo, kuzidisha kwa kweli kunategemea uendeshaji wa kuongeza: ujuzi wa hii inakuwezesha kutatua kwa usahihi mfano wowote.

Ili kuelewa kiini cha operesheni ya kuzidisha, ni muhimu kuzingatia kwamba kuna vipengele vitatu vinavyohusika ndani yake. Mmoja wao anaitwa sababu ya kwanza na ni nambari ambayo iko chini ya operesheni ya kuzidisha. Kwa sababu hii, ina jina la pili, lisilo la kawaida - "kuzidisha". Sehemu ya pili ya operesheni ya kuzidisha kawaida huitwa sababu ya pili: inawakilisha nambari ambayo multiplicand inazidishwa. Kwa hivyo, vipengele vyote viwili vinaitwa multipliers, ambayo inasisitiza hali yao sawa, pamoja na ukweli kwamba wanaweza kubadilishwa: matokeo ya kuzidisha hayatabadilika. Hatimaye, sehemu ya tatu ya operesheni ya kuzidisha, inayotokana na matokeo yake, inaitwa bidhaa.

Agizo la operesheni ya kuzidisha

Kiini cha operesheni ya kuzidisha inategemea rahisi zaidi operesheni ya hesabu-. Kwa kweli, kuzidisha ni jumla ya kipengele cha kwanza, au kuzidisha, idadi ya mara ambayo inalingana na kipengele cha pili. Kwa mfano, ili kuzidisha 8 kwa 4, unahitaji kuongeza namba 8 mara 4, na kusababisha 32. Njia hii, pamoja na kutoa ufahamu wa kiini cha operesheni ya kuzidisha, inaweza kutumika kuangalia matokeo yaliyopatikana. wakati wa kuhesabu bidhaa inayotaka. Inapaswa kukumbushwa katika akili kwamba uthibitishaji lazima uchukue kwamba masharti yanayohusika katika majumuisho yanafanana na yanahusiana na jambo la kwanza.

Kutatua mifano ya kuzidisha

Kwa hivyo, ili kutatua shida inayohusiana na hitaji la kuzidisha, inaweza kutosha kuongeza idadi fulani ya nyakati. nambari inayohitajika vizidishio vya kwanza. Njia hii inaweza kuwa rahisi kufanya karibu mahesabu yoyote yanayohusiana na operesheni hii. Wakati huo huo, katika hisabati mara nyingi kuna nambari za kawaida ambazo zinajumuisha nambari za nambari moja. Ili kuwezesha hesabu yao, mfumo unaoitwa kuzidisha uliundwa, ambayo ni pamoja na orodha kamili ya bidhaa za nambari chanya za nambari moja, ambayo ni, nambari kutoka 1 hadi 9. Kwa hivyo, mara tu umejifunza, unaweza kwa kiasi kikubwa. kuwezesha mchakato wa kutatua mifano ya kuzidisha, kwa kuzingatia matumizi ya nambari kama hizo. Hata hivyo, kwa chaguo ngumu zaidi itakuwa muhimu kutekeleza hili operesheni ya hisabati peke yake.

Video kwenye mada

Vyanzo:

Kuzidisha katika 2019

Kuzidisha ni mojawapo ya shughuli nne za msingi za hesabu, ambazo hutumiwa mara nyingi shuleni na shuleni Maisha ya kila siku. Unawezaje kuzidisha nambari mbili haraka?

Msingi wa mahesabu magumu zaidi ya hisabati ni shughuli nne za msingi za hesabu: kutoa, kuongeza, kuzidisha na kugawanya. Aidha, licha ya uhuru wao, shughuli hizi, juu ya uchunguzi wa karibu, zinageuka kuwa zimeunganishwa. Uunganisho kama huo upo, kwa mfano, kati ya kuongeza na kuzidisha.

Operesheni ya kuzidisha nambari

Kuna mambo matatu kuu yanayohusika katika operesheni ya kuzidisha. Ya kwanza kati ya hizi, kwa kawaida huitwa sababu ya kwanza au kuzidisha, ni nambari ambayo itakuwa chini ya operesheni ya kuzidisha. Ya pili, inayoitwa sababu ya pili, ni nambari ambayo sababu ya kwanza itazidishwa. Hatimaye, matokeo ya operesheni ya kuzidisha iliyofanywa mara nyingi huitwa bidhaa.

Ikumbukwe kwamba kiini cha operesheni ya kuzidisha kwa kweli inategemea kuongeza: kutekeleza, ni muhimu kuongeza pamoja idadi fulani ya mambo ya kwanza, na idadi ya masharti ya jumla hii lazima iwe sawa na ya pili. sababu. Mbali na kuhesabu bidhaa ya mambo mawili katika swali, algorithm hii pia inaweza kutumika kuangalia matokeo ya matokeo.

Mfano wa kutatua tatizo la kuzidisha

Hebu tuangalie ufumbuzi wa matatizo ya kuzidisha. Tuseme, kwa mujibu wa masharti ya kazi, ni muhimu kuhesabu bidhaa ya namba mbili, kati ya ambayo sababu ya kwanza ni 8, na ya pili ni 4. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa operesheni ya kuzidisha, hii ina maana kweli kwamba wewe. haja ya kuongeza namba 8 mara 4. Matokeo ni 32 - hii ni bidhaa ya namba zinazohusika, yaani, matokeo ya kuzidisha kwao.

Kwa kuongeza, ni lazima ikumbukwe kwamba sheria inayoitwa commutative inatumika kwa operesheni ya kuzidisha, ambayo inasema kwamba kubadilisha maeneo ya mambo katika mfano wa awali haitabadilisha matokeo yake. Kwa hivyo, unaweza kuongeza nambari 4 mara 8, na kusababisha bidhaa sawa - 32.

Jedwali la kuzidisha

Ni wazi kuwa kutatua idadi kubwa ya mifano kama hiyo kwa njia hii ni kazi ngumu sana. Ili kuwezesha kazi hii, kinachojulikana kama kuzidisha kiligunduliwa. Kwa kweli, ni orodha ya bidhaa za nambari chanya za tarakimu moja. Kwa ufupi, jedwali la kuzidisha ni seti ya matokeo ya kuzidisha kutoka 1 hadi 9. Mara tu umejifunza jedwali hili, huhitaji tena kuzidisha kila wakati unahitaji kutatua mfano kwa vile. nambari kuu, lakini kumbuka tu matokeo yake.

Video kwenye mada

Wakimsikiliza mwalimu wa hesabu, wanafunzi wengi huona nyenzo kama axiom. Wakati huo huo, watu wachache hujaribu kufikia chini yake na kujua kwa nini "minus" na "plus" inatoa ishara "minus", na wakati wa kuzidisha nambari mbili hasi, matokeo mazuri hutoka.

Sheria za hisabati

Watu wazima wengi hawawezi kujieleza wenyewe au watoto wao kwa nini hii inatokea. Walijua nyenzo hii shuleni, lakini hawakujaribu hata kujua sheria kama hizo zilitoka wapi. Lakini bure. Mara nyingi, watoto wa kisasa sio wepesi sana; wanahitaji kupata undani wa mambo na kuelewa, sema, kwa nini "plus" na "minus" hutoa "minus." Na wakati mwingine tomboys huuliza maswali ya hila kwa makusudi ili kufurahiya wakati ambapo watu wazima hawawezi kutoa jibu linaloeleweka. Na kwa kweli ni janga ikiwa mwalimu mchanga anapata shida ...

Kwa njia, ni lazima ieleweke kwamba sheria iliyotajwa hapo juu ni halali kwa kuzidisha na kugawanya. Bidhaa ya nambari hasi na chanya itatoa tu "minus". Ikiwa tunazungumza juu ya nambari mbili na ishara "-", basi matokeo yatakuwa nambari chanya. Vile vile huenda kwa mgawanyiko. Ikiwa moja ya nambari ni hasi, basi mgawo pia utakuwa na ishara "-".

Ili kuelezea usahihi wa sheria hii ya hisabati, ni muhimu kuunda axioms ya pete. Lakini kwanza unahitaji kuelewa ni nini. Katika hisabati, pete kawaida huitwa seti ambayo shughuli mbili zilizo na vitu viwili huhusika. Lakini ni bora kuelewa hili kwa mfano.

Axiom ya pete

Kuna sheria kadhaa za hisabati.

Ya kwanza ni ya kubadilisha, kulingana na hiyo, C + V = V + C.
Ya pili inaitwa associative (V + C) + D = V + (C + D).

Kuzidisha (V x C) x D = V x (C x D) pia huwatii.

Hakuna mtu aliyeghairi sheria kulingana na ambayo mabano yanafunguliwa (V + C) x D = V x D + C x D, pia ni kweli kwamba C x (V + D) = C x V + C x D.

Kwa kuongeza, imeanzishwa kuwa kipengele maalum, cha kuongezea-neutral kinaweza kuletwa ndani ya pete, wakati unatumiwa zifuatazo zitakuwa za kweli: C + 0 = C. Kwa kuongeza, kwa kila C kuna kipengele kinyume, ambacho kinaweza. iashiriwe kama (-C). Katika kesi hii, C + (-C) = 0.

Utoaji wa axioms kwa nambari hasi

Baada ya kukubali taarifa zilizo hapo juu, tunaweza kujibu swali: "Plus na minus kutoa ishara gani?" Kujua axiom kuhusu kuzidisha nambari hasi, ni muhimu kuthibitisha kwamba kwa hakika (-C) x V = -(C x V). Na pia kwamba usawa ufuatao ni kweli: (-(-C)) = C.

Ili kufanya hivyo, itabidi kwanza uthibitishe kuwa kila kitu kina "ndugu" mmoja tu kinyume chake. Fikiria mfano ufuatao wa uthibitisho. Hebu jaribu kufikiria kwamba kwa C namba mbili ni kinyume - V na D. Kutoka hii inafuata kwamba C + V = 0 na C + D = 0, yaani, C + V = 0 = C + D. Kukumbuka sheria za commutation na kuhusu mali ya nambari 0, tunaweza kuzingatia jumla ya namba zote tatu: C, V na D. Hebu tujaribu kujua thamani ya V. Ni mantiki kwamba V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, kwa sababu thamani ya C + D, kama ilivyochukuliwa hapo juu, ni sawa na 0. Hii ina maana V = V + C + D.

Thamani ya D imetolewa kwa njia sawa: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Kulingana na hili, inakuwa wazi kuwa V = D.

Ili kuelewa kwa nini "plus" hadi "minus" bado inatoa "minus", unahitaji kuelewa zifuatazo. Kwa hivyo, kwa kipengele (-C), C na (-(-C)) ni kinyume, yaani, ni sawa kwa kila mmoja.

Kisha ni dhahiri kwamba 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Inafuata kutoka kwa hili kwamba C x V ni kinyume cha (-)C x V, ambayo ina maana (- C) x V = -(C x V).

Kwa ukali kamili wa hisabati, ni muhimu pia kuthibitisha kwamba 0 x V = 0 kwa kipengele chochote. Ikiwa unafuata mantiki, basi 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Hii ina maana kwamba kuongeza bidhaa 0 x V haibadilishi kiasi kilichoanzishwa kwa njia yoyote. Baada ya yote, bidhaa hii ni sawa na sifuri.

Kujua axioms hizi zote, unaweza kuamua sio tu "plus" na "minus" hutoa, lakini pia kile kinachotokea wakati wa kuzidisha nambari hasi.

Kuzidisha na kugawanya nambari mbili kwa ishara "-".

Ikiwa hauingii ndani ya nuances ya hisabati, unaweza kujaribu zaidi kwa njia rahisi Eleza sheria za kushughulika na nambari hasi.

Hebu tufikiri kwamba C - (-V) = D, kulingana na hili, C = D + (-V), yaani, C = D - V. Tunahamisha V na tunapata hiyo C + V = D. Hiyo ni, C + V = C - (-V). Mfano huu unaelezea kwa nini katika usemi ambapo kuna "minuses" mbili mfululizo, ishara zilizotajwa zinapaswa kubadilishwa kuwa "plus". Sasa hebu tuangalie kuzidisha.

(-C) x (-V) = D, unaweza kuongeza na kutoa bidhaa mbili zinazofanana kwa usemi, ambao hautabadilisha thamani yake: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Kukumbuka sheria za kufanya kazi na mabano, tunapata:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Inafuata kutoka kwa hili kwamba C x V = (-C) x (-V).

Vile vile, unaweza kuthibitisha kwamba kugawanya nambari mbili hasi itasababisha nambari nzuri.

Kanuni za jumla za hisabati

Bila shaka, maelezo haya hayafai kwa watoto wa shule madarasa ya vijana ambao ndio wanaanza kujifunza nambari hasi za kufikirika. Ni bora kwao kuelezea juu ya vitu vinavyoonekana, wakibadilisha neno nyuma ya glasi ya kutazama ambayo wanaifahamu. Kwa mfano, vitu vya kuchezea vilivyobuniwa lakini havipo viko hapo. Wanaweza kuonyeshwa kwa ishara "-". Kuzidisha vitu viwili vya kioo huwahamisha kwa ulimwengu mwingine, ambao ni sawa na halisi, yaani, matokeo yake tuna idadi nzuri. Lakini kuzidisha nambari hasi ya kufikirika na chanya hutoa tu matokeo ambayo yanajulikana kwa kila mtu. Baada ya yote, "plus" ikizidishwa na "minus" inatoa "minus". Kweli, watoto hawajaribu kuelewa nuances zote za hisabati.

Ingawa, wacha tukabiliane nayo, kwa watu wengi, hata kwa elimu ya Juu Sheria nyingi zinabaki kuwa siri. Kila mtu huchukulia kwa uzito kile waalimu wanachowafundisha, bila shida kutafakari matatizo yote ambayo hisabati huficha. "Minus" kwa "minus" inatoa "plus" - kila mtu bila ubaguzi anajua hili. Hii ni kweli kwa nambari zote mbili na za sehemu.

"Adui wa adui yangu ni rafiki yangu"

Kwa nini kuondoa mara moja kuondoa moja na kuongeza moja? Kwa nini kuondoa mara moja na kuongeza moja ni sawa kuondoa moja? Jibu rahisi ni: "Kwa sababu hizi ni sheria za kufanya kazi na nambari hasi." Sheria ambazo tunajifunza shuleni na kuzitumia katika maisha yetu yote. Walakini, vitabu vya kiada havielezi kwa nini sheria ziko kama zilivyo. Tutajaribu kwanza kuelewa hili kulingana na historia ya maendeleo ya hesabu, na kisha tutajibu swali hili kutoka kwa mtazamo wa hisabati ya kisasa.

Muda mrefu uliopita, watu walijua nambari za asili tu: Walitumiwa kuhesabu vyombo, uporaji, maadui, nk Lakini nambari zenyewe hazina maana - unahitaji kuwa na uwezo wa kuzishughulikia. Nyongeza ni wazi na inaeleweka, na zaidi ya hayo, jumla ya nambari mbili za asili pia ni nambari ya asili (mtaalamu wa hisabati atasema kuwa seti ya nambari za asili imefungwa chini ya operesheni ya kuongeza). Kuzidisha kimsingi ni sawa na kuongeza ikiwa tunazungumza juu ya nambari asilia. Katika maisha, mara nyingi tunafanya vitendo vinavyohusiana na shughuli hizi mbili (kwa mfano, wakati wa ununuzi, tunaongeza na kuzidisha), na ni ajabu kufikiri kwamba mababu zetu walikutana nao mara nyingi - kuongeza na kuzidisha kulifanywa na ubinadamu kwa muda mrefu sana. iliyopita. Mara nyingi lazima ugawanye idadi fulani na wengine, lakini hapa matokeo hayaonyeshwa kila wakati kama nambari ya asili - hivi ndivyo nambari za sehemu zilivyoonekana.

Bila shaka, huwezi kufanya bila kutoa ama. Lakini kwa mazoezi, kwa kawaida tunaondoa nambari ndogo kutoka kwa nambari kubwa, na hakuna haja ya kutumia nambari hasi. (Ikiwa nina peremende na nikampa dada yangu, basi nitasalia na pipi, lakini siwezi kumpa peremende hata nikitaka.) Hii inaweza kueleza kwa nini watu hawajatumia nambari hasi kwa muda mrefu.

Nambari hasi zimeonekana katika hati za Kihindi tangu karne ya 7 BK; Inaonekana Wachina walianza kuzitumia mapema kidogo. Zilitumiwa kuhesabu deni au katika mahesabu ya kati ili kurahisisha suluhisho la milinganyo - ilikuwa zana tu ya kupata jibu chanya. Ukweli kwamba nambari hasi, tofauti na nambari chanya, hazionyeshi uwepo wa chombo chochote kilisababisha kutoaminiana kwa nguvu. Watu waliepuka nambari hasi: ikiwa shida ilikuwa na jibu hasi, waliamini kuwa hakuna jibu hata kidogo. Kutokuaminiana huku kuliendelea kwa muda mrefu sana, na hata Descartes - mmoja wa "waanzilishi" wa hisabati ya kisasa - aliwaita "uongo" (katika karne ya 17!).

Hebu fikiria equation kama mfano. Inaweza kutatuliwa kwa njia hii: hoja masharti na haijulikani kwa upande wa kushoto, na wengine kwa haki, zinageuka , , . Kwa suluhisho hili, hatukukutana hata na nambari hasi.

Lakini ilikuwa inawezekana kwa ajali kufanya hivyo tofauti: hoja masharti na haijulikani kwa upande wa kulia na kupata ,. Ili kupata haijulikani, unahitaji kugawanya nambari moja hasi na nyingine:. Lakini jibu sahihi linajulikana, na inabaki kuhitimisha kuwa .

Mfano huu rahisi unaonyesha nini? Kwanza, mantiki iliyoamua sheria za vitendo kwenye nambari hasi inakuwa wazi: matokeo ya vitendo hivi lazima yalingane na majibu ambayo yanapatikana kwa njia tofauti, bila nambari hasi. Pili, kwa kuruhusu utumiaji wa nambari hasi, tunaondoa ya kuchosha (ikiwa equation inageuka kuwa ngumu zaidi, na idadi kubwa ya maneno) tafuta suluhisho ambalo vitendo vyote hufanywa kwa nambari za asili tu. Kwa kuongezea, hatuwezi kufikiria tena kila wakati juu ya maana ya idadi iliyobadilishwa - na hii tayari ni hatua kuelekea kugeuza hesabu kuwa sayansi ya kufikirika.

Sheria za kufanya kazi na nambari hasi hazikuundwa mara moja, lakini zikawa jumla ya mifano mingi ambayo iliibuka wakati wa kutatua shida zilizotumika. Kwa ujumla, maendeleo ya hisabati yanaweza kugawanywa katika hatua: kila mmoja hatua inayofuata hutofautiana na ile ya awali na kiwango kipya cha kujiondoa wakati wa kusoma vitu. Kwa hivyo, katika karne ya 19, wanahisabati waligundua kuwa nambari kamili na polynomials, licha ya tofauti zao zote za nje, zina mengi sawa: zote mbili zinaweza kuongezwa, kupunguzwa na kuzidishwa. Shughuli hizi ziko chini ya sheria sawa - katika kesi ya idadi na katika kesi ya polynomials. Lakini kugawanya nambari kwa kila mmoja ili matokeo ni nambari tena haiwezekani kila wakati. Ni sawa na polynomials.

Kisha seti nyingine za vitu vya hisabati ziligunduliwa ambazo shughuli hizo zinaweza kufanywa: rasmi mfululizo wa nguvu, kazi zinazoendelea ... Hatimaye, ufahamu ulikuja kwamba ikiwa unasoma mali ya shughuli wenyewe, basi matokeo yanaweza kutumika kwa makusanyo haya yote ya vitu (njia hii ni tabia ya hisabati zote za kisasa).

Kama matokeo, dhana mpya iliibuka: pete. Ni seti tu ya vipengele pamoja na vitendo vinavyoweza kufanywa juu yake. Sheria za kimsingi hapa ni sheria (zinaitwa axioms) ambazo vitendo vinahusika, na sio asili ya vipengele vya kuweka (hapa ni, ngazi mpya vifupisho!). Kutaka kusisitiza kuwa ni muundo unaotokea baada ya kuanzisha axioms ambayo ni muhimu, wanahisabati wanasema: pete ya integers, pete ya polynomials, nk Kuanzia axioms, mtu anaweza kufafanua mali nyingine za pete.

Tutaunda axioms ya pete (ambayo, bila shaka, ni sawa na sheria za kufanya kazi na integers), na kisha kuthibitisha kwamba katika pete yoyote, kuzidisha minus kwa minus hutoa plus.

Pete ni seti iliyo na shughuli mbili za binary (yaani, kila operesheni inahusisha vipengele viwili vya pete), ambayo kwa jadi huitwa kuongeza na kuzidisha, na axioms zifuatazo:

Kumbuka kwamba pete, katika ujenzi wa jumla zaidi, hazihitaji kubadilika kwa kuzidisha, au invertibility yake (yaani, mgawanyiko hauwezi kufanywa kila wakati), au kuwepo kwa kitengo - kipengele cha neutral katika kuzidisha. Ikiwa tunatanguliza axioms hizi, tunapata miundo tofauti ya algebra, lakini ndani yao nadharia zote zilizothibitishwa kwa pete zitakuwa za kweli.

Sasa hebu tuthibitishe kwamba kwa vipengele vyovyote na pete ya kiholela ni kweli, kwanza,, na pili,. Taarifa kuhusu vitengo hufuata kwa urahisi kutoka kwa hii: na.

Ili kufanya hivyo tutahitaji kuanzisha ukweli fulani. Kwanza tunathibitisha kwamba kila kipengele kinaweza kuwa na kinyume kimoja tu. Kwa kweli, acha kipengele kiwe na vinyume viwili: na . Hiyo ni . Hebu fikiria kiasi. Kwa kutumia sheria za ushirika na za kubadilishana na mali ya sifuri, tunapata kwamba, kwa upande mmoja, jumla ni sawa na , na kwa upande mwingine, ni sawa na . Maana,.

Kumbuka sasa kwamba zote mbili na ni kinyume cha kipengele kimoja, kwa hivyo lazima ziwe sawa.

Ukweli wa kwanza unageuka kama hii: ambayo ni, ni kinyume, ambayo inamaanisha ni sawa.

Ili kuwa mkali kihisabati, hebu pia tueleze ni kwa nini kwa kipengele chochote . Kwa kweli,. Hiyo ni, kuongeza haibadilishi kiasi. Hii ina maana kwamba bidhaa hii ni sawa na sifuri.

Na ukweli kwamba kuna sifuri moja kwenye pete (baada ya yote, axioms inasema kwamba kitu kama hicho kipo, lakini hakuna kinachosemwa juu ya upekee wake!), Tutamwachia msomaji kama zoezi rahisi.

Evgeniy Epifanov
"Vipengele"

Maoni: 0

Jacques Sesiano

Zaidi ya milenia mbili kumekuwa na upanuzi tatu muhimu wa kikoa cha nambari. Kwanza, karibu 450 BC. wanasayansi wa shule ya Pythagorean walithibitisha kuwepo ir nambari za busara. Kusudi lao la awali lilikuwa kutathmini ulalo wa mraba wa kitengo. Pili, katika karne za XIII-XV, wanasayansi wa Ulaya, mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari, alikubali uwezekano wa moja uamuzi hasi. Na tatu, mwaka wa 1572, mtaalamu wa aljebra wa Kiitaliano Raphael Bombelli alitumia nambari changamano ili kupata suluhu halisi la mlinganyo fulani wa ujazo.

Proskuryakov I.V.

Madhumuni ya kitabu hiki ni kufafanua kwa ukali nambari, polynomia na sehemu za aljebra na kuhalalisha mali zao ambazo tayari zinajulikana kutoka shuleni, na sio kumjulisha msomaji sifa mpya. Kwa hivyo, msomaji hatapata ukweli hapa ambao ni mpya kwake (isipokuwa uwezekano wa mali fulani, halisi na nambari ngumu), lakini anajifunza jinsi ya kudhibitisha mambo ambayo anajulikana sana, kuanzia "mbili mbili ni nne" na kuishia na sheria za uendeshaji na polynomials na sehemu za algebra. Lakini msomaji atafahamiana na idadi kadhaa dhana za jumla, ina jukumu kubwa katika aljebra.

Ilya Shchurov

Mwanahisabati Ilya Shchurov o desimali, upitaji mipaka na kutokuwa na mantiki kwa nambari ya Pi.

Leon Takhtajyan

Hizi zitakuwa hadithi fupi nne. Tutaanza na namba, kisha tutazungumzia kuhusu harakati, kuhusu mabadiliko, kisha tutajadili maumbo na ukubwa, na kisha kuanzia na mwisho. Kwa mtindo huu uliosimbwa kwa kiasi fulani, tutajaribu kuangalia hisabati kutoka ndani na nje, na haswa kama somo. Kile wanahisabati wanachofikiria na kuishi kulingana nacho - tunaweza kuzungumza juu ya hili baadaye.

Vladlen Timorin

Mwanahisabati Vladlen Timorin kuhusu faida za nambari changamano, quaternion za Hamilton, nambari nane za Cayley na aina mbalimbali za nambari katika jiometri.

Jacques Sesiano

Tunajua kidogo kuhusu Diophantus. Nadhani aliishi Alexandria. Hakuna hata mmoja wa wanahisabati wa Uigiriki aliyemtaja kabla ya karne ya 4, kwa hivyo labda aliishi katikati ya karne ya 3. wengi zaidi kazi kuu Diophanta, "Hesabu" (Ἀριθμητικά), ilifanyika mwanzoni mwa "vitabu" 13 (βιβλία), yaani sura. Leo tunayo 10 kati yao, yaani: 6 katika maandishi ya Kigiriki na mengine 4 katika zama za kati Tafsiri ya Kiarabu, ambao mahali pake ni katikati ya vitabu vya Kigiriki: vitabu I-III katika Kigiriki, IV-VII katika Kiarabu, VIII-X katika Kigiriki. "Hesabu" ya Diophantus kimsingi ni mkusanyiko wa shida, takriban 260. Kusema ukweli, hakuna nadharia; wapo tu maelekezo ya jumla katika utangulizi wa kitabu, na maoni ya faragha katika baadhi ya matatizo, inapobidi. "Hesabu" tayari ina sifa za maandishi ya algebra. Matumizi ya kwanza ya Diophantus ishara tofauti kueleza haijulikani na nguvu zake, pia baadhi ya mahesabu; kama ishara zote za aljebra za Enzi za Kati, ishara yake inatokana na maneno ya hisabati. Kisha, Diophantus anaelezea jinsi ya kutatua tatizo kwa algebra. Lakini matatizo ya Diophantus si ya aljebra kwa maana ya kawaida, kwa sababu karibu yote yanajitokeza ili kutatua equation isiyojulikana au mifumo ya equations hizo.

Ulimwengu wa hisabati hauwezekani bila wao - bila nambari kuu. Nambari kuu ni nini, ni nini maalum juu yao na ina umuhimu gani kwa maisha ya kila siku? Katika filamu hii, profesa wa hisabati wa Uingereza Marcus du Sautoy atafichua siri ya nambari kuu.

George Shabat

Shuleni, sote tumeingizwa na wazo potofu kwamba kwenye seti ya nambari za busara Q kuna umbali wa kipekee wa asili (moduli ya tofauti), kwa heshima ambayo shughuli zote za hesabu zinaendelea. Walakini, pia kuna idadi isiyo na kikomo ya umbali, kinachojulikana p-adic, moja kwa kila nambari p. Kulingana na nadharia ya Ostrovsky, umbali wa "kawaida", pamoja na wale wote wa p-adic, tayari umemaliza umbali wote unaofaa. Q. Neno demokrasia ya adelic lilianzishwa na Yu. I. Manin. Kulingana na kanuni ya demokrasia ya adelic, umbali wote unaofaa kwenye Q ni sawa kabla ya sheria za hisabati (labda tu za jadi "sawa kidogo = sawa ..."). Kozi itaanzisha pete ya adelic, ambayo hukuruhusu kufanya kazi. na masafa haya yote kwa wakati mmoja.

Vladimir Arnold

J.L. Lagrange alithibitisha kuwa mlolongo wa nukuu zisizokamilika (kuanzia mahali fulani) ni wa mara kwa mara ikiwa na tu ikiwa nambari x ni kutokuwa na akili kwa quadratic. R. O. Kuzmin alithibitisha kuwa katika mlolongo wa mgawo usio kamili wa karibu nambari yoyote halisi, sehemu d_m sawa na m quotients isiyo kamili ni sawa (kwa nambari halisi za kawaida). Sehemu d_m hupungua kama m→∞ kama 1/m^2 na thamani yake ilitabiriwa na Gauss (ambaye hakuthibitisha chochote). V.I. Arnol'd alielezea (kama miaka 20 iliyopita) dhana ambayo takwimu za Gauss-Kuzmin d_m pia inashikilia kwa vipindi vya kuendelea kwa sehemu za mizizi. milinganyo ya quadratic x^2+px+q=0 (pamoja na nambari p na q): ikiwa tutaandika pamoja nukuu ambazo hazijakamilika zinazounda vipindi vya sehemu zote zinazoendelea za mizizi ya milinganyo kama hii na p^2+q^2≤R ^2, kisha sehemu ya mgawo ambayo haijakamilika kati yao itaelekea kwenye nambari d_m kama R→∞. V. A. Bykovsky na wanafunzi wake wa Khabarovsk hivi karibuni walithibitisha nadharia hii ya muda mrefu. Licha ya hili, swali la takwimu sio za herufi, lakini za maneno yaliyoundwa nao, ambayo ni vipindi vya sehemu zinazoendelea za mizizi yoyote x ya milinganyo x^2+px+q=0, iko mbali kutatuliwa.

Reed Miles

Ninaacha kichwa na dhahania kama isiyoeleweka iwezekanavyo, ili niweze kuzungumza chochote ninachohisi kwa siku. Aina nyingi za kupendeza katika uainishaji wa aina hupatikana kama Spec au Proj ya pete ya Gorenstein. Katika msimbo ⩽3, nadharia ya muundo inayojulikana sana hutoa mbinu dhahiri za kukokotoa kwa kutumia pete za Gorenstein. Kinyume chake, hakuna nadharia ya muundo inayoweza kutumika kwa mikondo ⩾4. Walakini, katika hali nyingi, makadirio ya Gorenstein (na inverse yake, Kustin-Miller unprojection) hutoa njia za kushambulia pete hizi. Mbinu hizi hutumika kwa madarasa ya hapa na pale ya pete za kisheria za nyuso za kawaida za aljebra, na kwa miundo zaidi ya utaratibu wa Q-Fano 3-folds, Sarkisov huunganisha kati ya hizi, na mikunjo 3 ya Aina A ya nadharia ya Mori.

Tangu nyakati za zamani, watu wametumia nambari nzuri za asili: 1, 2, 3, 4, 5, ... Nambari zilitumiwa kuhesabu mifugo, mazao, maadui, nk. Wakati wa kuongeza na kuzidisha nambari mbili chanya, kila wakati walipata nambari chanya; wakati wa kugawanya idadi moja na nyingine, hawakupata nambari asili kila wakati - hivi ndivyo nambari za sehemu zilivyoonekana. Vipi kuhusu kutoa? Kuanzia utotoni, tunajua kuwa ni bora kuongeza kidogo kwa zaidi na kutoa kidogo kutoka kwa zaidi, na tena hatutumii nambari hasi. Inatokea kwamba ikiwa nina apples 10, ninaweza tu kumpa mtu chini ya 10 au 10. Hakuna njia ninaweza kutoa apples 13, kwa sababu sina. Hakukuwa na haja ya nambari hasi kwa muda mrefu.

Tu kutoka karne ya 7 AD. Nambari hasi zilitumika katika baadhi ya mifumo ya kuhesabu kama idadi ya ziada ambayo ilifanya iwezekane kupata nambari chanya katika jibu.

Hebu tuangalie mfano, 6x - 30 = 3x - 9. Ili kupata jibu, ni muhimu kuacha masharti na haijulikani upande wa kushoto, na wengine upande wa kulia: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7 Wakati wa kutatua mlingano huu, sisi hata Hakukuwa na nambari hasi. Tunaweza kuhamisha masharti na haijulikani kwa upande wa kulia, na bila haijulikani kwa kushoto: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Wakati wa kugawanya nambari hasi na nambari hasi, tunapata jibu chanya: x = 7.

Tunaona nini?

Kufanya kazi na nambari hasi kunapaswa kutuletea jibu sawa na kufanya kazi na nambari chanya pekee. Hatupaswi tena kufikiria juu ya kutowezekana kwa vitendo na maana ya vitendo - hutusaidia kutatua shida haraka sana, bila kupunguza equation kwa fomu iliyo na nambari chanya tu. Katika mfano wetu, hatukutumia mahesabu magumu, lakini ikiwa kuna idadi kubwa ya maneno, mahesabu yenye nambari hasi yanaweza kufanya kazi yetu iwe rahisi.

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.