Jedwali la mali ya msingi ya kazi za kimsingi. Kazi na grafu

1) Kikoa cha kazi na anuwai ya utendakazi.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halali za hoja x(kigeu x), ambayo kazi y = f(x) kuamua. Masafa ya chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halisi y, ambayo kitendakazi kinakubali.

Katika hisabati ya msingi, kazi zinasomwa tu kwenye seti ya nambari halisi.

2) Kazi zero.

Chaguo za kukokotoa sifuri ni thamani ya hoja ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri.

3) Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo la kukokotoa.

Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo za kukokotoa ni seti za thamani za hoja ambazo thamani za chaguo za kukokotoa ni chanya au hasi tu.

4) Monotonicity ya kazi.

Chaguo za kukokotoa zinazoongezeka (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.

Chaguo za kukokotoa zinazopungua (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

5) Kazi ya hata (isiyo ya kawaida)..

Kitendakazi chenye usawaziko ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima ya asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa usawa f(-x) = f(x). Grafu ya kitendakazi sawasawa ina ulinganifu kuhusu kuratibu.

Chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida ni chaguo za kukokotoa ambazo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima na asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi usawa ni kweli f(-x) = - f(x) Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.

6) Kazi ndogo na zisizo na kikomo.

Chaguo za kukokotoa huitwa bounded ikiwa kuna nambari chanya M ambayo |f(x)| ≤ M kwa thamani zote za x. Ikiwa nambari kama hiyo haipo, basi kazi haina ukomo.

7) Muda wa kazi.

Chaguo za kukokotoa f(x) ni za mara kwa mara ikiwa kuna nambari isiyo ya sifuri T hivi kwamba kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zifuatazo zinashikilia: f(x+T) = f(x). Nambari hii ndogo zaidi inaitwa kipindi cha chaguo la kukokotoa. Kazi zote za trigonometric ni za mara kwa mara. (Fomula za Trigonometric).

19. Kazi za msingi za msingi, mali zao na grafu. Utumiaji wa kazi katika uchumi.

Kazi za msingi za msingi. Tabia zao na grafu

1. Kazi ya mstari.

Utendakazi wa mstari inaitwa kazi ya fomu , ambapo x ni kutofautiana, a na b ni nambari halisi.

Nambari A inayoitwa mteremko wa mstari, ni sawa na tangent ya angle ya mwelekeo wa mstari huu kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa x. Grafu ya kitendakazi cha mstari ni mstari wa moja kwa moja. Inafafanuliwa na pointi mbili.

Sifa za Kazi ya Linear

1. Kikoa cha ufafanuzi - seti ya nambari zote halisi: D(y)=R

2. Seti ya maadili ni seti ya nambari zote halisi: E(y)=R

3. Kazi inachukua thamani ya sifuri wakati au.

4. Kazi huongezeka (hupungua) juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.

5. Kitendaji cha mstari kinaendelea juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi, kinachoweza kutofautishwa na .

2. Kazi ya Quadratic.

Kazi ya fomu, ambapo x ni kutofautiana, coefficients a, b, c ni nambari halisi, inaitwa quadratic

Maarifa kazi za msingi za msingi, mali zao na grafu sio muhimu kuliko kujua meza za kuzidisha. Wao ni kama msingi, kila kitu kinategemea wao, kila kitu kinajengwa kutoka kwao na kila kitu kinashuka kwao.

Katika makala hii tutaorodhesha kazi zote kuu za msingi, kutoa grafu zao na kutoa bila hitimisho au uthibitisho sifa za kazi za kimsingi kulingana na mpango:

tabia ya kazi katika mipaka ya kikoa cha ufafanuzi, asymptotes wima (ikiwa ni lazima, angalia uainishaji wa makala ya pointi za kutoendelea kwa kazi);
hata na isiyo ya kawaida;
vipindi vya msongamano (convexity juu) na concavity (convexity chini), pointi inflection (ikiwa ni lazima, angalia kifungu cha kazi, mwelekeo wa convexity, pointi inflection, masharti ya convexity na inflection);
asymptotes oblique na usawa;
pointi za pekee za kazi;
mali maalum ya kazi fulani (kwa mfano, kipindi chanya kidogo cha kazi za trigonometric).

Ikiwa una nia au, basi unaweza kwenda kwenye sehemu hizi za nadharia.

Kazi za msingi za msingi ni: utendakazi usiobadilika (mara kwa mara), mzizi wa nth, utendaji kazi wa nguvu, utendakazi wa kipeo, utendakazi wa logarithmic, utendakazi wa trigonometric na kinyume cha trigonometric.

Urambazaji wa ukurasa.

Utendaji wa kudumu.

Utendakazi wa mara kwa mara hufafanuliwa kwenye seti ya nambari zote halisi kwa fomula , ambapo C ni nambari fulani halisi. Chaguo za kukokotoa zisizobadilika huhusisha kila thamani halisi ya kigezo huru cha x na thamani sawa ya kigezo tegemezi y - thamani C. Kazi ya mara kwa mara pia inaitwa mara kwa mara.

Grafu ya kazi ya mara kwa mara ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa x na kupita kwenye uhakika na kuratibu (0,C). Kama mfano, tutaonyesha grafu za kazi za mara kwa mara y = 5, y = -2 na, ambazo katika takwimu hapa chini zinahusiana na mistari nyeusi, nyekundu na bluu, kwa mtiririko huo.

Mali ya kazi ya mara kwa mara.

Kikoa: seti nzima ya nambari halisi.
Kazi ya mara kwa mara ni sawa.
Msururu wa thamani: seti inayojumuisha nambari ya umoja C.
Kazi ya mara kwa mara haizidi na haipunguzi (ndiyo sababu ni mara kwa mara).
Haina maana kuzungumza juu ya convexity na concavity ya mara kwa mara.
Hakuna asymptotes.
Kazi hupitia hatua (0,C) ya ndege ya kuratibu.

Mzizi wa shahada ya nth.

Wacha tuzingatie kazi ya msingi ya msingi, ambayo inatolewa na formula , ambapo n ni nambari ya asili kubwa kuliko moja.

Mzizi wa shahada ya nth, n ni nambari sawa.

Wacha tuanze na kazi ya mzizi wa nth kwa maadili hata ya kipeo cha mzizi n.

Kwa mfano, hapa kuna picha iliyo na picha za grafu za kazi na , zinalingana na mistari nyeusi, nyekundu na bluu.

Grafu za kazi za mzizi zenye kiwango sawa zina mwonekano sawa kwa maadili mengine ya kipeo.

Sifa za kazi ya mzizi wa nth kwa hata n.

Mzizi wa nth, n ni nambari isiyo ya kawaida.

Kitendaji cha mzizi wa nth na kipeo cha mizizi isiyo ya kawaida n kinafafanuliwa kwenye seti nzima ya nambari halisi. Kwa mfano, hapa kuna grafu za kazi na , zinalingana na curves nyeusi, nyekundu na bluu.

Kwa thamani zingine zisizo za kawaida za kipeo kikuu cha mizizi, grafu za chaguo za kukokotoa zitakuwa na mwonekano sawa.

Sifa za kazi ya mzizi wa nth kwa n isiyo ya kawaida.

Kazi ya nguvu.

Utendakazi wa nguvu hutolewa na fomula ya fomu .

Wacha tuchunguze aina ya grafu za kazi ya nguvu na sifa za kazi ya nguvu kulingana na thamani ya kipeo.

Hebu tuanze na utendaji kazi wa nguvu na kipeo kamili a. Katika kesi hii, kuonekana kwa grafu za kazi za nguvu na mali ya kazi hutegemea usawa au isiyo ya kawaida ya mtangazaji, na pia kwa ishara yake. Kwa hivyo, kwanza tutazingatia kazi za nguvu kwa maadili chanya isiyo ya kawaida ya kielezi a, kisha kwa vielelezo vyema, kisha kwa vielelezo hasi visivyo vya kawaida, na mwishowe, hata hasi a.

Sifa za kazi za nguvu zilizo na vielelezo vya sehemu na visivyo na mantiki (pamoja na aina ya grafu za kazi hizo za nguvu) hutegemea thamani ya kielelezo a. Tutazizingatia, kwanza, kwa kutoka sifuri hadi moja, pili, kwa kubwa zaidi ya moja, tatu, kwa kutoka minus moja hadi sifuri, nne, kwa chini ya minus moja.

Mwishoni mwa sehemu hii, kwa ukamilifu, tutaelezea kazi ya nguvu na kipeo cha sifuri.

Utendakazi wa nguvu na kipeo chanya isiyo ya kawaida.

Wacha tuchunguze kazi ya nguvu iliyo na kipeo chanya isiyo ya kawaida, ambayo ni, na = 1,3,5,....

Takwimu hapa chini inaonyesha grafu za kazi za nguvu - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari nyekundu, - mstari wa kijani. Kwa =1 tunayo kazi ya mstari y=x.

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo chanya isiyo ya kawaida.

Utendaji wa nguvu na kipeo chanya hata.

Wacha tuchunguze kazi ya nguvu iliyo na kipeo hata chanya, ambayo ni, kwa = 2,4,6, ....

Kwa mfano, tunatoa grafu za kazi za nguvu - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari mwekundu. Kwa = 2 tuna kazi ya quadratic, grafu ambayo ni parabola ya quadratic.

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo chanya hata.

Utendakazi wa nguvu na kipeo hasi isiyo ya kawaida.

Angalia grafu za kazi ya nguvu kwa maadili hasi isiyo ya kawaida ya kielelezo, ambayo ni, kwa = -1, -3, -5, ....

Takwimu inaonyesha grafu za kazi za nguvu kama mifano - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari nyekundu, - mstari wa kijani. Kwa =-1 tunayo uwiano kinyume, ambaye ni grafu hyperbola.

Sifa za kazi ya nguvu iliyo na kipeo hasi isiyo ya kawaida.

Utendakazi wa nguvu na kipeo hata hasi.

Wacha tuendelee kwenye kitendakazi cha nguvu kwa a=-2,-4,-6,….

Takwimu inaonyesha grafu za kazi za nguvu - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari mwekundu.

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo hata hasi.

Chaguo za kukokotoa nguvu zilizo na kipeo busara au kisicho na mantiki ambacho thamani yake ni kubwa kuliko sufuri na chini ya moja.

Kumbuka! Ikiwa a ni sehemu chanya yenye kiashiria chanya, basi baadhi ya waandishi huchukulia kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za nguvu kuwa muda. Imebainishwa kuwa kipeo a ni sehemu isiyoweza kupunguzwa. Sasa waandishi wa vitabu vingi vya kiada juu ya algebra na kanuni za uchambuzi HAWAFAFANUZI kazi za nguvu na kielelezo katika mfumo wa sehemu na dhehebu isiyo ya kawaida kwa maadili hasi ya hoja. Tutazingatia mtazamo huu kwa usahihi, yaani, tutazingatia seti kuwa vikoa vya ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za nguvu na vipeo vyema vya sehemu chanya. Tunapendekeza kwamba wanafunzi watafute maoni ya mwalimu wako kuhusu jambo hili fiche ili kuepuka kutokubaliana.

Hebu tuzingatie utendaji kazi wa nguvu na kipeo cha busara au kisicho na akili a, na .

Wacha tuwasilishe grafu za vitendaji vya nguvu kwa a=11/12 (mstari mweusi), a=5/7 (mstari mwekundu), (mstari wa bluu), a=2/5 (mstari wa kijani).

Chaguo za kukokotoa za nguvu zilizo na kipeo kamili cha kimantiki kisicho kamili au kisicho na mantiki zaidi ya kimoja.

Hebu tuzingatie kipengele cha kukokotoa cha nguvu chenye kipeo kamili kisicho kamili cha kimantiki au kisicho na mantiki a, na .

Wacha tuwasilishe grafu za kazi za nguvu zilizotolewa na fomula (mistari nyeusi, nyekundu, bluu na kijani kwa mtiririko huo).

Kwa maadili mengine ya kipeo a, grafu za chaguo za kukokotoa zitakuwa na mwonekano sawa.

Sifa za kipengele cha nguvu katika .

Kitendaji cha nishati kilicho na kipeo halisi ambacho ni kikubwa kuliko minus moja na chini ya sifuri.

Kumbuka! Ikiwa a ni sehemu hasi yenye dhehebu isiyo ya kawaida, basi waandishi wengine huchukulia kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa la nguvu kuwa muda. . Imebainishwa kuwa kipeo a ni sehemu isiyoweza kupunguzwa. Sasa waandishi wa vitabu vingi vya kiada juu ya algebra na kanuni za uchambuzi HAWAFAFANUZI kazi za nguvu na kielelezo katika mfumo wa sehemu na dhehebu isiyo ya kawaida kwa maadili hasi ya hoja. Tutazingatia kwa usahihi mtazamo huu, yaani, tutazingatia vikoa vya ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za nguvu na viambajengo hasi vya sehemu kuwa seti, mtawalia. Tunapendekeza kwamba wanafunzi watafute maoni ya mwalimu wako kuhusu jambo hili fiche ili kuepuka kutokubaliana.

Wacha tuendelee kwenye kazi ya nguvu, kgod.

Ili kuwa na wazo nzuri la aina ya grafu za kazi za nguvu kwa , tunatoa mifano ya grafu za kazi. (curves nyeusi, nyekundu, bluu na kijani, kwa mtiririko huo).

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo a, .

Chaguo za kukokotoa nguvu zilizo na kipeo halisi kisicho kamili ambacho ni chini ya minus moja.

Wacha tutoe mifano ya grafu za kazi za nguvu kwa , zinaonyeshwa na mistari nyeusi, nyekundu, bluu na kijani, kwa mtiririko huo.

Sifa za chaguo za kukokotoa za nguvu zilizo na kipeo hasi kisicho kamili chini ya minus moja.

Wakati = 0, tunayo kazi - hii ni mstari wa moja kwa moja ambayo hatua (0;1) haijajumuishwa (ilikubaliwa kutoambatanisha umuhimu wowote kwa usemi 0 0).

Utendakazi wa kielelezo.

Moja ya kazi kuu za kimsingi ni kazi ya kielelezo.

Grafu ya chaguo za kukokotoa za kipeo, ambapo na huchukua aina tofauti kulingana na thamani ya msingi a. Hebu tufikirie hili.

Kwanza, fikiria kesi wakati msingi wa kazi ya kielelezo inachukua thamani kutoka sifuri hadi moja, yaani,.

Kwa mfano, tunawasilisha grafu za kazi ya kielelezo kwa = 1/2 - mstari wa bluu, a = 5/6 - mstari mwekundu. Grafu za kipengele cha kukokotoa zina mwonekano sawa kwa thamani nyingine za msingi kutoka kwa muda.

Sifa za chaguo za kukokotoa zenye msingi chini ya moja.

Wacha tuendelee kwenye kesi wakati msingi wa kazi ya kielelezo ni kubwa kuliko moja, ambayo ni,.

Kama kielelezo, tunawasilisha grafu za kazi za kielelezo - mstari wa bluu na - mstari mwekundu. Kwa thamani zingine za besi kubwa kuliko moja, grafu za chaguo za kukokotoa zitakuwa na mwonekano sawa.

Sifa za chaguo za kukokotoa zenye msingi mkubwa zaidi ya moja.

Utendaji wa logarithmic.

Kitendakazi kinachofuata cha msingi ni kitendakazi cha logarithmic, ambapo , . Kitendaji cha logarithmic kinafafanuliwa tu kwa maadili chanya ya hoja, yaani, kwa .

Grafu ya chaguo za kukokotoa za logarithmic huchukua aina tofauti kulingana na thamani ya msingi a.

Kazi za kimsingi za kimsingi, mali zao za asili na grafu zinazolingana ni moja ya misingi ya maarifa ya hisabati, sawa na umuhimu kwa jedwali la kuzidisha. Kazi za kimsingi ndio msingi, msaada wa masomo ya maswala yote ya kinadharia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nakala hapa chini hutoa nyenzo muhimu juu ya mada ya kazi za kimsingi za kimsingi. Tutaanzisha istilahi, tutazipa ufafanuzi; Wacha tusome kila aina ya kazi za kimsingi kwa undani na tuchambue mali zao.

Aina zifuatazo za kazi za kimsingi zinajulikana:

Ufafanuzi 1

kazi ya mara kwa mara (mara kwa mara);
mzizi wa nth;
kazi ya nguvu;
kazi ya kielelezo;
kazi ya logarithmic;
kazi za trigonometric;
kazi za trigonometric za kindugu.

Kazi ya mara kwa mara inaelezwa na formula: y = C (C ni nambari fulani halisi) na pia ina jina: mara kwa mara. Chaguo hili la kukokotoa huamua uwasiliano wa thamani yoyote halisi ya kigezo huru cha x kwa thamani sawa ya kigezo y - thamani ya C.

Grafu ya mara kwa mara ni mstari wa moja kwa moja unaofanana na mhimili wa abscissa na hupitia hatua yenye kuratibu (0, C). Kwa uwazi, tunatoa grafu za kazi za mara kwa mara y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (zilizoonyeshwa kwa rangi nyeusi, nyekundu na bluu katika kuchora, kwa mtiririko huo).

Ufafanuzi 2

Kitendaji hiki cha kimsingi kinafafanuliwa na fomula y = x n (n ni nambari asilia kubwa kuliko moja).

Hebu fikiria tofauti mbili za kazi.

mzizi wa nth, n - hata nambari

Kwa uwazi, tunaonyesha mchoro unaoonyesha grafu za kazi kama hizi: y = x, y = x 4 na y = x8. Vipengele hivi vimewekwa rangi: nyeusi, nyekundu na bluu kwa mtiririko huo.

Grafu za utendaji wa digrii hata zina mwonekano sawa kwa maadili mengine ya kielelezo.

Ufafanuzi 3

Sifa za kazi ya mzizi wa nth, n ni nambari sawa

kikoa cha ufafanuzi - seti ya nambari zote zisizo hasi halisi [ 0, + ∞);
wakati x = 0, kazi y = x n ina thamani sawa na sifuri;
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio hata wala isiyo ya kawaida);
mbalimbali: [ 0, + ∞);
chaguo hili la kukokotoa y = x n na vielelezo vya mizizi hata huongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi;
kipengele cha kukokotoa kina mwonekano na mwelekeo wa juu katika kikoa kizima cha ufafanuzi;
hakuna pointi za inflection;
hakuna asymptotes;
grafu ya kazi kwa hata n hupitia pointi (0; 0) na (1; 1).

mzizi wa nth, n - nambari isiyo ya kawaida

Kazi kama hiyo inafafanuliwa kwenye seti nzima ya nambari halisi. Kwa uwazi, zingatia grafu za chaguo za kukokotoa y = x 3 , y = x 5 na x 9 . Katika kuchora wanaonyeshwa kwa rangi: nyeusi, nyekundu na bluu ni rangi ya curves, kwa mtiririko huo.

Thamani zingine zisizo za kawaida za kipeo kikuu cha chaguo za kukokotoa y = x n zitatoa grafu ya aina sawa.

Ufafanuzi 4

Sifa za kazi ya mzizi wa nth, n ni nambari isiyo ya kawaida

uwanja wa ufafanuzi - seti ya nambari zote halisi;
kazi hii ni isiyo ya kawaida;
anuwai ya maadili - seti ya nambari zote halisi;
kazi y = x n kwa vielelezo vya mizizi isiyo ya kawaida huongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi;
kazi ina concavity juu ya muda (- ∞ ; 0 ] na convexity juu ya muda [0, + ∞);
hatua ya inflection ina kuratibu (0; 0);
hakuna asymptotes;
Grafu ya chaguo za kukokotoa kwa n isiyo ya kawaida hupitia pointi (- 1; - 1), (0 ; 0) na (1; 1).

Kazi ya nguvu

Ufafanuzi wa 5

Kazi ya nguvu inafafanuliwa na fomula y = x a.

Kuonekana kwa grafu na mali ya kazi hutegemea thamani ya kielelezo.

wakati kazi ya nguvu ina kipeo kamili a, basi aina ya grafu ya kazi ya nguvu na sifa zake hutegemea ikiwa kipeo ni sawa au isiyo ya kawaida, pamoja na ishara gani kipeo kina. Wacha tuzingatie kesi hizi zote maalum kwa undani zaidi hapa chini;
kielelezo kinaweza kuwa cha sehemu au kisicho na maana - kulingana na hii, aina ya grafu na mali ya kazi pia hutofautiana. Tutachambua kesi maalum kwa kuweka masharti kadhaa: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
kazi ya nguvu inaweza kuwa na kipeo sifuri; pia tutachambua kesi hii kwa undani zaidi hapa chini.

Hebu tuchambue kazi ya nguvu y = x a, wakati a ni nambari chanya isiyo ya kawaida, kwa mfano, a = 1, 3, 5...

Kwa uwazi, tunaonyesha grafu za kazi hizo za nguvu: y = x (rangi ya picha nyeusi), y = x 3 (rangi ya bluu ya grafu), y = x 5 (rangi nyekundu ya grafu), y = x 7 (rangi ya mchoro ya kijani). Wakati = 1, tunapata kazi ya mstari y = x.

Ufafanuzi 6

Sifa za utendaji kazi wa nishati wakati kipeo ni chanya isiyo ya kawaida

kazi inaongezeka kwa x ∈ (- ∞ ; + ∞);
kipengele cha kukokotoa kina mnyumbuliko wa x ∈ (- ∞ ; 0 ] na mnyumbuliko wa x ∈ [ 0 ; + ∞) (bila kujumuisha kitendakazi cha mstari);
hatua ya inflection ina kuratibu (0 ; 0) (bila kujumuisha kazi ya mstari);
hakuna asymptotes;
pointi za kifungu cha kazi: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1) .

Hebu tuchambue kazi ya nguvu y = x a, wakati a ni nambari hata chanya, kwa mfano, a = 2, 4, 6...

Kwa uwazi, tunaonyesha grafu za kazi kama hizi za nguvu: y = x 2 (rangi ya picha nyeusi), y = x 4 (rangi ya bluu ya grafu), y = x 8 (rangi nyekundu ya grafu). Wakati = 2, tunapata kazi ya quadratic, grafu ambayo ni parabola ya quadratic.

Ufafanuzi 7

Sifa za utendaji kazi wa nguvu wakati kipeo ni chanya:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
kupungua kwa x ∈ (- ∞; 0 ];
kipengele cha kukokotoa kina mchongo wa x ∈ (- ∞ ; + ∞);
hakuna pointi za inflection;
hakuna asymptotes;
pointi za kifungu cha kazi: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1) .

Kielelezo hapa chini kinaonyesha mifano ya grafu za utendaji wa nguvu y = x a wakati a ni nambari hasi isiyo ya kawaida: y = x - 9 (rangi ya graphic nyeusi); y = x - 5 (rangi ya bluu ya grafu); y = x - 3 (rangi nyekundu ya grafu); y = x - 1 (rangi ya mchoro ya kijani). Wakati = - 1, tunapata uwiano wa kinyume, grafu ambayo ni hyperbola.

Ufafanuzi 8

Sifa za utendaji kazi wa nguvu wakati kipeo ni hasi isiyo ya kawaida:

Wakati x = 0, tunapata kutoendelea kwa aina ya pili, kwani lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kwa = - 1, - 3, - 5, .... Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja x = 0 ni asymptote ya wima;

safu: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞);
kazi ni isiyo ya kawaida kwa sababu y (- x) = - y (x);
kazi inapungua kwa x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
kipengele cha kukokotoa kina mnyumbuliko wa x ∈ (- ∞ ; 0) na mnyumbuliko wa x ∈ (0 ; + ∞);
hakuna pointi za inflection;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, wakati a = - 1, - 3, - 5, . . . .

pointi za kifungu cha kazi: (- 1; - 1), (1; 1) .

Kielelezo hapa chini kinaonyesha mifano ya grafu za utendaji kazi wa nguvu y = x a wakati a ni nambari hasi: y = x - 8 (rangi ya graphic nyeusi); y = x - 4 (rangi ya bluu ya grafu); y = x - 2 (rangi nyekundu ya grafu).

Ufafanuzi 9

Sifa za utendaji kazi wa nguvu wakati kipeo hata kikiwa hasi:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞);

Wakati x = 0, tunapata kutoendelea kwa aina ya pili, kwani lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kwa = - 2, - 4, - 6, .... Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja x = 0 ni asymptote ya wima;

kazi ni hata kwa sababu y(-x) = y(x);
kazi inaongezeka kwa x ∈ (- ∞ ; 0) na inapungua kwa x ∈ 0; + ∞ ;
kipengele cha kukokotoa kina mdundo katika x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞);
hakuna pointi za inflection;
asymptote mlalo - mstari wa moja kwa moja y = 0, kwa sababu:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 wakati a = - 2, - 4, - 6, . . . .

pointi za kifungu cha kazi: (- 1; 1), (1; 1).

Kuanzia mwanzo kabisa, zingatia kipengele kifuatacho: katika kesi ambapo a ni sehemu chanya yenye kiashiria cha hali ya juu, baadhi ya waandishi huchukua muda - ∞ kama kikoa cha ufafanuzi wa utendaji kazi huu wa nguvu; + ∞ , ikibainisha kuwa kipeo a ni sehemu isiyoweza kupunguzwa. Kwa sasa, waandishi wa machapisho mengi ya kielimu juu ya algebra na kanuni za uchambuzi HAWAFAFANUZI kazi za nguvu, ambapo kielelezo ni sehemu na dhehebu isiyo ya kawaida kwa maadili hasi ya hoja. Zaidi ya hayo tutazingatia hasa nafasi hii: tutachukua seti [ 0 ; + ∞). Pendekezo kwa wanafunzi: tafuta maoni ya mwalimu juu ya jambo hili ili kuzuia kutokubaliana.

Kwa hiyo, hebu tuangalie kazi ya nguvu y = x a , wakati kipeo ni nambari ya kimantiki au isiyo na mantiki, mradi 0< a < 1 .

Wacha tuonyeshe kazi za nguvu na grafu y = x a wakati a = 11 12 (rangi ya picha nyeusi); a = 5 7 (rangi nyekundu ya grafu); a = 1 3 (rangi ya bluu ya grafu); a = 2 5 (rangi ya kijani ya grafu).

Thamani zingine za kipeo a (zinazotolewa 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ufafanuzi 10

Sifa za kipengele cha nguvu katika 0< a < 1:

mbalimbali: y ∈ [0; + ∞);
kazi inaongezeka kwa x ∈ [ 0 ; + ∞);
kazi ni laini kwa x ∈ (0 ; + ∞);
hakuna pointi za inflection;
hakuna asymptotes;

Hebu tuchambue kazi ya nguvu y = x a, wakati kipeo ni nambari ya kimantiki isiyo kamili au isiyo na mantiki, mradi a > 1.

Wacha tuonyeshe na grafu kazi ya nguvu y = x a chini ya masharti yaliyotolewa kwa kutumia vitendaji vifuatavyo kama mfano: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (grafu nyeusi, nyekundu, bluu, kijani mtawalia).

Thamani zingine za kipeo a, zinazotolewa > 1, zitatoa grafu sawa.

Ufafanuzi 11

Sifa za kitendakazi cha nguvu kwa > 1:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ [0; + ∞);
mbalimbali: y ∈ [0; + ∞);
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
kazi inaongezeka kwa x ∈ [ 0 ; + ∞);
chaguo la kukokotoa lina mshikamano wa x ∈ (0 ; + ∞) (wakati 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
hakuna pointi za inflection;
hakuna asymptotes;
alama za kupitisha za kazi: (0 ; 0), (1 ; 1) .

Tafadhali kumbuka! Wakati a ni sehemu hasi yenye dhehebu isiyo ya kawaida, katika kazi za baadhi ya waandishi kuna maoni kwamba kikoa cha ufafanuzi katika kesi hii ni muda - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) kwa tahadhari kwamba kipeo a ni sehemu isiyoweza kupunguzwa. Kwa sasa, waandishi wa vifaa vya elimu juu ya algebra na kanuni za uchambuzi HAWAFAFANUZI kazi za nguvu na kielelezo kwa namna ya sehemu na dhehebu isiyo ya kawaida kwa maadili hasi ya hoja. Zaidi ya hayo, tunafuata mwonekano huu haswa: tunachukua seti (0 ; + ∞) kama kikoa cha ufafanuzi wa vitendaji vya nguvu na vipeo vya sehemu hasi. Pendekezo kwa wanafunzi: Fafanua maono ya mwalimu wako katika hatua hii ili kuepuka kutokubaliana.

Wacha tuendelee na mada na tuchambue kazi ya nguvu y = x a iliyotolewa: - 1< a < 0 .

Hebu tuwasilishe mchoro wa grafu za kazi zifuatazo: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (nyeusi, nyekundu, bluu, rangi ya kijani ya mistari, kwa mtiririko huo).

Ufafanuzi 12

Sifa za utendaji wa nguvu katika - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ wakati - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

mbalimbali: y ∈ 0; + ∞ ;
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
hakuna pointi za inflection;

Mchoro hapa chini unaonyesha grafu za kazi za nguvu y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (nyeusi, nyekundu, bluu, rangi ya kijani ya curves, kwa mtiririko huo).

Ufafanuzi 13

Sifa za kazi ya nguvu kwa a< - 1:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ 0; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ wakati a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

mbalimbali: y ∈ (0 ; + ∞);
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
kazi inapungua kwa x ∈ 0; + ∞ ;
kazi ina concavity kwa x ∈ 0; + ∞ ;
hakuna pointi za inflection;
asymptote ya usawa - mstari wa moja kwa moja y = 0;
hatua ya kifungu cha kazi: (1; 1) .

Wakati = 0 na x ≠ 0, tunapata kazi y = x 0 = 1, ambayo inafafanua mstari ambao uhakika (0; 1) umetengwa (ilikubaliwa kuwa usemi 0 0 hautapewa maana yoyote. )

Kitendaji cha kielelezo kina fomu y = a x, ambapo > 0 na ≠ 1, na grafu ya chaguo hili la kukokotoa inaonekana tofauti kulingana na thamani ya msingi a. Hebu fikiria kesi maalum.

Kwanza, hebu tuangalie hali wakati msingi wa kazi ya kielelezo una thamani kutoka sifuri hadi moja (0< a < 1) . Mfano mzuri ni grafu za kazi kwa = 1 2 (rangi ya bluu ya curve) na = 5 6 (rangi nyekundu ya curve).

Grafu za kitendakazi cha kielelezo zitakuwa na mwonekano sawa kwa maadili mengine ya msingi chini ya hali 0< a < 1 .

Ufafanuzi 14

Sifa za chaguo za kukokotoa wakati msingi ni chini ya moja:

mbalimbali: y ∈ (0 ; + ∞);
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
kipengele cha kukokotoa ambacho msingi wake ni chini ya kimoja kinapungua juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi;
hakuna pointi za inflection;
asymptoti ya mlalo - mstari wa moja kwa moja y = 0 na variable x inayoelekea + ∞;

Sasa zingatia kisa wakati msingi wa utendaji wa kielelezo ni mkubwa kuliko moja (a > 1).

Hebu tuonyeshe kesi hii maalum na grafu ya utendaji wa kielelezo y = 3 2 x (rangi ya bluu ya curve) na y = e x (rangi nyekundu ya grafu).

Thamani zingine za msingi, vitengo vikubwa, vitatoa mwonekano sawa na grafu ya kazi ya kielelezo.

Ufafanuzi 15

Sifa za utendaji wa kielelezo wakati msingi ni mkubwa kuliko moja:

uwanja wa ufafanuzi - seti nzima ya nambari halisi;
mbalimbali: y ∈ (0 ; + ∞);
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
kitendakazi kielelezo ambacho msingi wake ni mkubwa kuliko kimoja kinaongezeka kama x ∈ - ∞; + ∞ ;
kazi ina mshikamano kwa x ∈ - ∞; + ∞ ;
hakuna pointi za inflection;
asymptoti mlalo – mstari wa moja kwa moja y = 0 wenye kutofautiana x inayoelekea - ∞;
hatua ya kifungu cha kazi: (0; 1) .

Kitendakazi cha logarithmic kina fomu y = logi a (x), ambapo > 0, a ≠ 1.

Chaguo kama hilo la kukokotoa linafafanuliwa tu kwa thamani chanya za hoja: kwa x ∈ 0; + ∞ .

Grafu ya chaguo za kukokotoa za logarithmic ina mwonekano tofauti, kulingana na thamani ya msingi a.

Wacha kwanza tuzingatie hali wakati 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Thamani zingine za msingi, sio vitengo vikubwa, zitatoa aina kama hiyo ya grafu.

Ufafanuzi 16

Sifa za kitendakazi cha logarithmic wakati msingi ni chini ya moja:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ 0; + ∞ . Kama x inaelekea sifuri kutoka kulia, thamani za chaguo za kukokotoa huwa na +∞;
anuwai ya maadili: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
logarithmic
kazi ina concavity kwa x ∈ 0; + ∞ ;
hakuna pointi za inflection;
hakuna asymptotes;

Sasa hebu tuangalie kesi maalum wakati msingi wa kazi ya logarithmic ni kubwa kuliko moja: a > 1 . Mchoro hapa chini unaonyesha grafu za kazi za logarithmic y = logi 3 2 x na y = ln x (rangi ya bluu na nyekundu ya grafu, kwa mtiririko huo).

Thamani zingine za msingi zaidi ya moja zitatoa aina sawa ya grafu.

Ufafanuzi 17

Sifa za kitendakazi cha logarithmic wakati msingi ni mkubwa kuliko moja:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ 0; + ∞ . Kama x inaelekea sifuri kutoka kulia, maadili ya chaguo la kukokotoa huwa - ∞ ;
anuwai ya maadili: y ∈ - ∞ ; + ∞ (seti nzima ya nambari halisi);
kazi hii ni kazi ya fomu ya jumla (sio isiyo ya kawaida wala hata);
kazi ya logarithmic inaongezeka kwa x ∈ 0; + ∞ ;
kazi ni convex kwa x ∈ 0; + ∞ ;
hakuna pointi za inflection;
hakuna asymptotes;
hatua ya kifungu cha kazi: (1; 0) .

Kazi za trigonometric ni sine, cosine, tangent na cotangent. Hebu tuangalie mali ya kila mmoja wao na graphics sambamba.

Kwa ujumla, kazi zote za trigonometric zina sifa ya mali ya periodicity, i.e. wakati maadili ya kazi yanarudiwa kwa maadili tofauti ya hoja, tofauti kutoka kwa kila mmoja kwa kipindi f (x + T) = f (x) (T ni kipindi). Kwa hivyo, kipengee "kipindi kidogo cha chanya" kinaongezwa kwenye orodha ya mali ya kazi za trigonometric. Kwa kuongezea, tutaonyesha maadili ya hoja ambayo kazi inayolingana inakuwa sifuri.

Utendaji wa sine: y = dhambi(x)

Grafu ya kazi hii inaitwa wimbi la sine.

Ufafanuzi 18

Sifa za kazi ya sine:

kikoa cha ufafanuzi: seti nzima ya nambari halisi x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
kazi hutoweka wakati x = π · k, ambapo k ∈ Z (Z ni seti ya nambari kamili);
kazi inaongezeka kwa x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z na kupungua kwa x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
kazi ya sine ina maxima ya ndani kwa pointi π 2 + 2 π · k; 1 na minima ya ndani kwa pointi - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
kazi ya sine ni concave wakati x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ Z na mbonyeo wakati x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
hakuna asymptotes.

Utendaji wa Cosine: y = cos(x)

Grafu ya kazi hii inaitwa wimbi la cosine.

Ufafanuzi wa 19

Sifa za kazi ya cosine:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
kipindi chanya kidogo zaidi: T = 2 π;
anuwai ya maadili: y ∈ - 1; 1;
kazi hii ni sawa, kwani y (- x) = y (x);
kazi inaongezeka kwa x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z na kupungua kwa x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kazi ya cosine ina maxima ya ndani kwa pointi 2 π · k; 1, k ∈ Z na minima ya ndani katika pointi π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
kazi ya cosine ni concave wakati x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z na mbonyeo wakati x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
pointi za inflection zina kuratibu π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
hakuna asymptotes.

Utendaji wa tangent: y = t g (x)

Grafu ya kazi hii inaitwa tangent.

Ufafanuzi wa 20

Sifa za kazi ya tangent:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, ambapo k ∈ Z (Z ni seti ya nambari kamili);
Tabia ya kitendakazi cha tanjiti kwenye mpaka wa kikoa cha ufafanuzi lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Kwa hivyo, mistari ya moja kwa moja x = π 2 + π · k k ∈ Z ni asymptotes ya wima;
kazi hutoweka wakati x = π · k kwa k ∈ Z (Z ni seti ya nambari kamili);
anuwai ya maadili: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
kazi hii ni isiyo ya kawaida, kwani y (- x) = - y (x) ;
kazi inaongezeka kama - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
kitendakazi cha tanjiti ni mchongo kwa x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z na convex kwa x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z;
nukta za inflection zina viwianishi π · k ; 0 , k ∈ Z;

Kazi ya Cotangent: y = c t g (x)

Grafu ya kazi hii inaitwa cotangentoid. .

Ufafanuzi 21

Tabia za kazi ya cotangent:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ (π · k ; π + π · k) , ambapo k ∈ Z (Z ni seti ya nambari kamili);

Tabia ya kitendakazi cha kotangenti kwenye mpaka wa kikoa cha ufafanuzi lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Kwa hivyo, mistari iliyonyooka x = π · k k ∈ Z ni asymptotes za wima;

kipindi chanya kidogo zaidi: T = π;
kazi hutoweka wakati x = π 2 + π · k kwa k ∈ Z (Z ni seti ya nambari kamili);
anuwai ya maadili: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
kazi hii ni isiyo ya kawaida, kwani y (- x) = - y (x) ;
kazi inapungua kwa x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
kitendakazi cha kotanjenti ni mchongo kwa x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z na umbo mbonyeo kwa x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
pointi za inflection zina kuratibu π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z;
Hakuna asymptotes ya oblique au ya usawa.

Kazi za trigonometric kinyume ni arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent. Mara nyingi, kwa sababu ya uwepo wa kiambishi awali "arc" kwa jina, kazi za trigonometric inverse huitwa kazi za arc. .

Arc sine kazi: y = a r c dhambi (x)

Ufafanuzi wa 22

Sifa za kazi ya arcsine:

kazi hii ni isiyo ya kawaida, kwani y (- x) = - y (x) ;
kazi ya arcsine ina concavity kwa x ∈ 0; 1 na convexity kwa x ∈ - 1; 0;
pointi za inflection zina kuratibu (0; 0), ambayo pia ni sifuri ya kazi;
hakuna asymptotes.

Kazi ya arc cosine: y = a r c cos (x)

Ufafanuzi 23

Sifa za kazi ya arc cosine:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ - 1; 1;
mbalimbali: y ∈ 0; π;
kazi hii ni ya fomu ya jumla (wala hata wala isiyo ya kawaida);
kazi inapungua juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi;
kazi ya arc cosine ina concavity saa x - - 1; 0 na convexity kwa x ∈ 0; 1;
pointi za inflection zina kuratibu 0; π 2;
hakuna asymptotes.

Kitendaji cha mkazo: y = a r c t g (x)

Ufafanuzi wa 24

Sifa za kazi ya arctangent:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
anuwai ya maadili: y ∈ - π 2; π 2;
kazi hii ni isiyo ya kawaida, kwani y (- x) = - y (x) ;
kazi inaongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi;
kitendakazi cha arctangent kina msongamano wa x ∈ (- ∞ ; 0 ] na mnyumbuliko wa x ∈ [0 ; + ∞);
hatua ya inflection ina kuratibu (0; 0), ambayo pia ni sifuri ya kazi;
asymptoti za mlalo ni mistari iliyonyooka y = - π 2 kama x → - ∞ na y = π 2 kama x → + ∞ (katika takwimu, asymptotes ni mistari ya kijani).

Kazi ya tangent ya arc: y = a r c c t g (x)

Ufafanuzi wa 25

Sifa za kazi ya arccotangent:

kikoa cha ufafanuzi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
safu: y ∈ (0; π);
kazi hii ni ya fomu ya jumla;
kazi inapungua juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi;
kazi ya arc cotangent ina concavity kwa x ∈ [0; + ∞) na mnyumbuliko wa x ∈ (- ∞ ; 0 ];
hatua ya inflection ina kuratibu 0; π 2;
asymptoti za mlalo ni mistari iliyonyooka y = π kwa x → - ∞ (mstari wa kijani kibichi kwenye mchoro) na y = 0 kwa x → + ∞.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter