Leo tutaangalia ni idadi gani inayoitwa sawia, jinsi grafu ya usawa inavyoonekana, na jinsi yote haya yanaweza kuwa na manufaa kwako sio tu katika masomo ya hisabati, lakini pia nje ya shule.
Vile uwiano tofauti
Uwiano taja idadi mbili ambazo zinategemeana.
Utegemezi unaweza kuwa wa moja kwa moja na wa kinyume. Kwa hivyo, uhusiano kati ya kiasi huelezewa kwa uwiano wa moja kwa moja na kinyume.
Uwiano wa moja kwa moja- Huu ni uhusiano kati ya idadi mbili ambayo kuongezeka au kupungua kwa moja yao husababisha kuongezeka au kupungua kwa nyingine. Wale. mtazamo wao haubadiliki.
Kwa mfano, kadri unavyoweka bidii katika kusoma kwa mitihani, ndivyo alama zako za juu zinavyoongezeka. Au kadiri unavyochukua vitu vingi unapopanda, ndivyo mkoba wako utakavyokuwa mzito zaidi kubeba. Wale. Kiasi cha juhudi kinachotumika kuandaa mitihani kinalingana moja kwa moja na alama zilizopatikana. Na idadi ya vitu vilivyowekwa kwenye mkoba ni sawa na uzito wake.
Uwiano kinyume-Hii utegemezi wa kazi, ambapo kupungua au kuongezeka kwa mara kadhaa kwa wingi wa kujitegemea (inaitwa hoja) husababisha uwiano (yaani, idadi sawa ya nyakati) kuongezeka au kupungua kwa wingi wa tegemezi (inaitwa kazi).
Hebu tuonyeshe kwa mfano rahisi. Unataka kununua mapera kwenye soko. Tufaha kwenye kaunta na kiasi cha pesa kwenye pochi yako ziko katika uwiano wa kinyume. Wale. Kadiri unavyonunua tufaha nyingi, ndivyo pesa zitakavyokuwa zimesalia.
Kazi na grafu yake
Kitendakazi cha uwiano kinyume kinaweza kuelezewa kama y = k/x. Ambayo x≠ 0 na k≠ 0.
Kitendaji hiki kina sifa zifuatazo:
- Kikoa chake cha ufafanuzi ni seti ya nambari zote halisi isipokuwa x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Masafa ni nambari zote halisi isipokuwa y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Haina viwango vya juu zaidi au vya chini zaidi.
- Ni isiyo ya kawaida na grafu yake ina ulinganifu kuhusu asili.
- Isiyo ya mara kwa mara.
- Grafu yake haiingiliani na shoka za kuratibu.
- Haina sufuri.
- Kama k> 0 (yaani hoja huongezeka), chaguo la kukokotoa hupungua sawia kwenye kila vipindi vyake. Kama k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Kadiri hoja inavyoongezeka ( k> 0) thamani hasi za chaguo za kukokotoa ziko katika muda (-∞; 0), na thamani chanya ziko katika muda (0; +∞). Wakati hoja inapungua ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Grafu ya kitendakazi cha uwiano kinyume inaitwa hyperbola. Imeonyeshwa kama ifuatavyo:
Matatizo ya uwiano kinyume
Ili kuifanya iwe wazi, hebu tuangalie kazi kadhaa. Sio ngumu sana, na kuzitatua kutakusaidia kuibua usawa ni nini na jinsi maarifa haya yanaweza kuwa muhimu katika maisha yako ya kila siku.
Kazi nambari 1. Gari linatembea kwa kasi ya 60 km / h. Ilimchukua saa 6 kufika alikokuwa akienda. Je, itamchukua muda gani kufikia umbali huo huo ikiwa anasonga kwa kasi mara mbili?
Tunaweza kuanza kwa kuandika fomula inayoelezea uhusiano kati ya muda, umbali na kasi: t = S/V. Kubali, inatukumbusha sana juu ya utendaji tofauti wa uwiano. Na inaashiria kwamba muda ambao gari hutumia barabarani na mwendo wa mwendo ni kinyume.
Ili kuthibitisha hili, hebu tupate V 2, ambayo kulingana na hali ni mara 2 zaidi: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Kisha tunahesabu umbali kwa kutumia formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sasa sio ngumu kujua wakati t 2 inahitajika kutoka kwetu kulingana na hali ya shida: t 2 = 360/120 = masaa 3.
Kama unaweza kuona, wakati wa kusafiri na kasi kwa kweli ni sawia: kwa kasi mara 2 zaidi kuliko kasi ya asili, gari itatumia wakati 2 chini ya barabara.
Suluhisho la shida hii pia linaweza kuandikwa kama sehemu. Kwa hivyo, wacha kwanza tuunde mchoro huu:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Mishale inaonyesha uhusiano wa uwiano kinyume. Pia wanapendekeza kwamba wakati wa kuchora uwiano upande wa kulia rekodi lazima zigeuzwe: 60/120 = x/6. Tunapata wapi x = 60 * 6/120 = masaa 3.
Kazi nambari 2. Warsha inaajiri wafanyikazi 6 ambao wanaweza kumaliza kiasi fulani cha kazi katika masaa 4. Ikiwa idadi ya wafanyikazi itapunguzwa kwa nusu, itachukua muda gani kwa wafanyikazi waliobaki kumaliza kazi sawa?
Hebu tuandike masharti ya tatizo katika fomu mchoro wa kuona:
↓ wafanyikazi 6 - masaa 4
↓ wafanyakazi 3 - x h
Wacha tuandike hii kama sehemu: 6/3 = x/4. Na tunapata x = 6 * 4/3 = masaa 8. Ikiwa kuna wafanyakazi mara 2 wachache, wale waliobaki watatumia mara 2 zaidi kufanya kazi yote.
Kazi nambari 3. Kuna mabomba mawili yanayoingia kwenye bwawa. Kupitia bomba moja, maji hutiririka kwa kasi ya 2 l/s na kujaza bwawa kwa dakika 45. Kupitia bomba lingine, bwawa litajaa kwa dakika 75. Maji huingia kwa kasi gani kwenye bwawa kupitia bomba hili?
Kuanza, hebu tupunguze idadi yote tuliyopewa kulingana na hali ya shida kwa vitengo sawa vya kipimo. Ili kufanya hivyo, tunaelezea kasi ya kujaza bwawa kwa lita kwa dakika: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l/min.
Kwa kuwa inafuata kutoka kwa hali kwamba bwawa hujaza polepole zaidi kupitia bomba la pili, hii ina maana kwamba kiwango cha mtiririko wa maji ni cha chini. Uwiano ni kinyume. Wacha tuonyeshe kasi isiyojulikana kupitia x na kuchora mchoro ufuatao:
↓ 120 l/dak - 45 min
↓ x l/dakika - dakika 75
Na kisha tunatengeneza uwiano: 120/x = 75/45, kutoka wapi x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Katika tatizo, kiwango cha kujaza cha bwawa kinaonyeshwa kwa lita kwa pili; hebu tupunguze jibu tulilopokea kwa fomu sawa: 72/60 = 1.2 l / s.
Kazi nambari 4. Nyumba ndogo ya uchapishaji ya kibinafsi inachapisha kadi za biashara. Mfanyikazi wa nyumba ya uchapishaji anafanya kazi kwa kasi ya kadi 42 za biashara kwa saa na anafanya kazi siku nzima - masaa 8. Ikiwa angefanya kazi haraka na kuchapisha kadi za biashara 48 kwa saa moja, angeweza kurudi nyumbani mapema kiasi gani?
Tunafuata njia iliyothibitishwa na kuchora mchoro kulingana na hali ya shida, tukitaja thamani inayotaka kama x:
↓ Kadi 42 za biashara/saa - saa 8
↓ Kadi 48 za biashara kwa saa - x h
Tuna uhusiano wa usawa: idadi ya kadi za biashara zaidi mfanyakazi wa nyumba ya uchapishaji huchapisha kwa saa, idadi sawa ya mara chache atahitaji kukamilisha kazi sawa. Kujua hili, wacha tuunda sehemu:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = saa 7.
Kwa hivyo, baada ya kumaliza kazi katika masaa 7, mfanyakazi wa nyumba ya uchapishaji anaweza kwenda nyumbani saa moja mapema.
Hitimisho
Inaonekana kwetu kwamba matatizo haya ya uwiano kinyume ni rahisi sana. Tunatumaini kwamba sasa pia unawafikiria hivyo. Na jambo kuu ni kwamba ujuzi juu ya utegemezi wa uwiano wa wingi unaweza kweli kuwa na manufaa kwako zaidi ya mara moja.
Sio tu katika masomo ya hesabu na mitihani. Lakini hata hivyo, unapojiandaa kwenda safari, kwenda ununuzi, uamua kupata pesa kidogo wakati wa likizo, nk.
Tuambie kwenye maoni ni mifano gani ya mahusiano ya uwiano kinyume na ya moja kwa moja unaona karibu nawe. Wacha iwe mchezo kama huo. Utaona jinsi inavyosisimua. Usisahau kushiriki makala hii katika mitandao ya kijamii ili marafiki na wanafunzi wenzako pia waweze kucheza.
blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.
Ilikamilishwa na: Chepkasov Rodion
Mwanafunzi wa darasa la 6
MBOU "Shule ya Sekondari Na. 53"
Barnaul
Mkuu: Bulykina O.G.
mwalimu wa hisabati
MBOU "Shule ya Sekondari Na. 53"
Barnaul
Utangulizi. 1
Mahusiano na uwiano. 3
Moja kwa moja na kinyume utegemezi sawia. 4
Utumiaji wa uwiano wa moja kwa moja na kinyume 6
utegemezi wakati wa kutatua matatizo mbalimbali.
Hitimisho. kumi na moja
Fasihi. 12
Utangulizi.
Neno uwiano linatokana na neno la Kilatini uwiano, ambalo kwa ujumla linamaanisha uwiano, usawa wa sehemu (uwiano fulani wa sehemu kwa kila mmoja). Katika nyakati za kale, mafundisho ya uwiano yaliheshimiwa sana na Pythagoreans. Kwa idadi walihusisha mawazo juu ya mpangilio na uzuri katika maumbile, juu ya chodi za konsonanti katika muziki na maelewano katika ulimwengu. Waliita aina fulani za idadi ya muziki au ya usawa.
Hata katika nyakati za kale, mwanadamu aligundua kwamba matukio yote katika asili yanaunganishwa na kila mmoja, kwamba kila kitu kiko katika harakati inayoendelea, mabadiliko, na, wakati inaonyeshwa kwa idadi, inaonyesha mifumo ya kushangaza.
Pythagoreans na wafuasi wao walitafuta usemi wa nambari kwa kila kitu ulimwenguni. Waligundua; Nini uwiano wa hisabati lala kwa msingi wa muziki (uwiano wa urefu wa kamba hadi lami, uhusiano kati ya vipindi, uwiano wa sauti katika chords zinazotoa sauti ya harmonic). Pythagoreans walijaribu kudhibitisha kihesabu wazo la umoja wa ulimwengu, walisema kwamba msingi wa ulimwengu ulikuwa wa ulinganifu. maumbo ya kijiometri. Pythagoreans walitafuta msingi wa hisabati kwa uzuri.
Akiwafuata Wapythagoras, mwanasayansi wa zama za kati Augustine aliuita urembo “usawa wa nambari.” Mwanafalsafa msomi Bonaventure aliandika hivi: “Hakuna urembo na raha bila uwiano, na uwiano upo hasa katika idadi. Ni lazima kila kitu kihesabiwe.” Leonardo da Vinci aliandika juu ya matumizi ya uwiano katika sanaa katika mkataba wake juu ya uchoraji: "Mchoraji hujumuisha kwa uwiano wa mifumo ile ile iliyofichwa katika asili ambayo mwanasayansi anajua katika mfumo wa sheria ya nambari."
Uwiano ulitumiwa kutatua matatizo mbalimbali katika nyakati za kale na Zama za Kati. Aina fulani za matatizo sasa zinatatuliwa kwa urahisi na haraka kwa kutumia uwiano. Uwiano na uwiano ulikuwa na hutumiwa sio tu katika hisabati, lakini pia katika usanifu na sanaa. Uwiano katika usanifu na sanaa unamaanisha kudumisha uhusiano fulani kati ya saizi sehemu mbalimbali jengo, umbo, uchongaji au kazi nyingine ya sanaa. Uwiano katika hali kama hizi ni hali ya ujenzi sahihi na mzuri na taswira
Katika kazi yangu, nilijaribu kuzingatia matumizi ya uhusiano wa moja kwa moja na wa kinyume katika maeneo mbalimbali ya maisha, kufuatilia uhusiano na masomo ya kitaaluma kupitia kazi.
Mahusiano na uwiano.
Sehemu ya nambari mbili inaitwa mtazamo haya nambari.
Mtazamo unaonyesha, ni mara ngapi nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili au ni sehemu gani nambari ya kwanza ni ya pili.
Kazi.
Tani 2.4 za peari na tani 3.6 za maapulo zililetwa kwenye duka. Ni sehemu gani ya matunda yaliyoletwa ni pears?
Suluhisho . Hebu tutafute kiasi cha matunda walicholeta: 2.4+3.6=6(t). Ili kupata sehemu gani ya matunda yaliyoletwa ni peari, tunafanya uwiano 2.4: 6=. Jibu pia linaweza kuandikwa kama sehemu ya desimali au kama asilimia: = 0.4 = 40%.
Inverse pande zote kuitwa nambari, ambao bidhaa zao ni sawa na 1. Kwa hiyo uhusiano huo unaitwa kinyume cha uhusiano.
Fikiria uwiano mbili sawa: 4.5:3 na 6:4. Hebu tuweke ishara sawa kati yao na tupate uwiano: 4.5:3=6:4.
Uwiano ni usawa wa mahusiano mawili: a : b =c :d au = 
, A na d ziko wapi masharti ya uwiano uliokithiri, c na b - wanachama wastani(masharti yote ya uwiano ni tofauti na sifuri).
Mali ya msingi ya uwiano:
kwa uwiano sahihi, bidhaa ya maneno uliokithiri ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.
Kwa kutumia sifa ya kubadilisha ya kuzidisha, tunapata kwamba katika uwiano sahihi masharti ya hali ya juu au maneno ya kati yanaweza kubadilishwa. Uwiano unaosababishwa pia utakuwa sahihi.
Kutumia mali ya msingi ya uwiano, unaweza kupata neno lake lisilojulikana ikiwa maneno mengine yote yanajulikana.
Ili kupata muda usiojulikana uliokithiri wa uwiano, unahitaji kuzidisha masharti ya wastani na kugawanya kwa neno kali linalojulikana. x : b = c : d , x = 
Ili kupata neno la kati lisilojulikana la uwiano, unahitaji kuzidisha masharti yaliyokithiri na ugawanye kwa neno la kati linalojulikana. a : b =x : d , x = 
.
Mahusiano ya uwiano wa moja kwa moja na kinyume.
Thamani za idadi mbili tofauti zinaweza kutegemeana. Kwa hivyo, eneo la mraba inategemea urefu wa upande wake, na kinyume chake - urefu wa upande wa mraba hutegemea eneo lake.
Idadi mbili zinasemekana kuwa sawia ikiwa, pamoja na kuongezeka
(punguza) mmoja wao mara kadhaa, mwingine huongeza (hupungua) idadi sawa ya nyakati.
Ikiwa idadi mbili ni sawia moja kwa moja, basi uwiano wa maadili yanayolingana ya kiasi hiki ni sawa.
Mfano utegemezi wa uwiano wa moja kwa moja .
Katika kituo cha mafuta 2 lita za petroli zina uzito wa kilo 1.6. Watapima kiasi gani 5 lita za petroli?
Suluhisho:
Uzito wa mafuta ya taa ni sawia na ujazo wake.
2l - 1.6 kg
5l - x kilo
2:5=1.6:x,
x=5*1.6 x=4
Jibu: 4 kg.
Hapa uwiano wa uzito kwa kiasi bado haubadilika.
Vipimo viwili vinaitwa inversely sawia ikiwa, wakati mmoja wao huongezeka (hupungua) mara kadhaa, nyingine hupungua (huongezeka) kwa kiasi sawa.
Ikiwa idadi ni kinyume chake, basi uwiano wa maadili ya kiasi kimoja ni sawa na uwiano wa kinyume wa maadili yanayolingana ya kiasi kingine.
P mfanouhusiano wa uwiano kinyume.
Mistatili miwili ina eneo moja. Urefu wa mstatili wa kwanza ni 3.6 m na upana ni 2.4 m urefu wa mstatili wa pili ni 4.8 m Tafuta upana wa mstatili wa pili.
Suluhisho:
Mstatili 1 3.6 m 2.4 m
2 mstatili 4.8 m x m
3.6 m x m
4.8 m 2.4 m
x = 3.6 * 2.4 = 1.8 m
Jibu: 1.8 m.
Kama unaweza kuona, shida zinazohusisha idadi sawia zinaweza kutatuliwa kwa kutumia idadi.
Si kila wingi mbili ni sawia moja kwa moja au kinyume sawia. Kwa mfano, urefu wa mtoto huongezeka kadiri umri wake unavyoongezeka, lakini maadili haya hayalingani, kwani wakati umri unaongezeka mara mbili, urefu wa mtoto hauzidi mara mbili.
Matumizi ya vitendo utegemezi wa uwiano wa moja kwa moja na kinyume.
Kazi nambari 1
KATIKA maktaba ya shule Vitabu 210 vya hisabati, ambayo ni 15% ya mkusanyiko mzima wa maktaba. Je, kuna vitabu vingapi kwenye mkusanyiko wa maktaba?
Suluhisho:
Jumla ya vitabu vya kiada - ? - 100%
Wanahisabati - 210 -15%
15% 210 kitaaluma.
X = 100* 210 = vitabu 1400 vya kiada
100% x akaunti. 15
Jibu: 1400 vitabu vya kiada.
Tatizo namba 2
Mwendesha baiskeli husafiri kilomita 75 kwa masaa 3. Je, itamchukua muda gani mwendesha baiskeli kusafiri kilomita 125 kwa mwendo huo huo?
Suluhisho:
Saa 3 - 75 km
H - 125 km
Wakati na umbali ni idadi ya sawia moja kwa moja, kwa hivyo
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Jibu: ndani ya masaa 5.
Tatizo namba 3
8 mabomba yanayofanana inajaza dimbwi kwa dakika 25. Itachukua dakika ngapi kujaza dimbwi na bomba 10 kama hizo?
Suluhisho:
Mabomba 8 - dakika 25
mabomba 10 -? dakika
Idadi ya mabomba ni inversely sawia na wakati, hivyo
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Jibu: katika dakika 20.
Tatizo namba 4
Timu ya wafanyikazi 8 hukamilisha kazi hiyo kwa siku 15. Ni wafanyikazi wangapi wanaweza kukamilisha kazi hiyo kwa siku 10 huku wakifanya kazi kwa tija sawa?
Suluhisho:
Siku 8 za kazi - siku 15
Wafanyikazi - siku 10
Idadi ya wafanyikazi inalingana na idadi ya siku, kwa hivyo
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Jibu: wafanyakazi 12.
Tatizo namba 5
Kutoka kilo 5.6 za nyanya, lita 2 za mchuzi hupatikana. Ni lita ngapi za mchuzi zinaweza kupatikana kutoka kwa kilo 54 za nyanya?
Suluhisho:
5.6 kg - 2 l
54 kg -? l
Idadi ya kilo ya nyanya ni sawa sawa na kiasi cha mchuzi uliopatikana, kwa hiyo
5.6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Jibu: 19 l.
Tatizo namba 6
Ili joto la jengo la shule, makaa ya mawe yalihifadhiwa kwa siku 180 kwa kiwango cha matumizi
tani 0.6 za makaa ya mawe kwa siku. Je, usambazaji huu utaendelea kwa siku ngapi ikiwa tani 0.5 zitatumika kila siku?
Suluhisho:
Idadi ya siku
Kiwango cha matumizi
Idadi ya siku ni kinyume na kiwango cha matumizi ya makaa ya mawe, kwa hiyo
180: x = 0.5: 0.6,
x = 180*0.6:0.5,
x = 216.
Jibu: siku 216.
Tatizo namba 7
KATIKA chuma Kwa sehemu 7 za chuma kuna sehemu 3 za uchafu. Je, ni tani ngapi za uchafu ziko kwenye ore ambayo ina tani 73.5 za chuma?
Suluhisho:
Idadi ya sehemu
Uzito
Chuma
73,5
Uchafu
Idadi ya sehemu ni sawia moja kwa moja na wingi, kwa hiyo
7: 73.5 = 3: x.
x = 73.5 * 3:7,
x = 31.5.
Jibu: 31.5 t
Tatizo namba 8
Gari hilo lilisafiri kilomita 500, likitumia lita 35 za petroli. Ni lita ngapi za petroli zitahitajika kusafiri kilomita 420?
Suluhisho:
Umbali, km
Petroli, l
Umbali ni sawia moja kwa moja na matumizi ya petroli, hivyo
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29.4.
Jibu: 29.4 l
Tatizo namba 9
Katika masaa 2 tulipata 12 crucian carp. Ni carp ngapi ya crucian itakamatwa kwa masaa 3?
Suluhisho:
Idadi ya carp crucian haitegemei wakati. Kiasi hiki hakina uwiano wa moja kwa moja au uwiano kinyume.
Jibu: Hakuna jibu.
Tatizo namba 10
Biashara ya madini inahitaji kununua mashine 5 mpya kwa kiasi fulani cha pesa kwa bei ya rubles elfu 12 kwa moja. Je, biashara inaweza kununua ngapi kati ya mashine hizi ikiwa bei ya mashine moja inakuwa rubles elfu 15?
Suluhisho:
Idadi ya magari, pcs.
Bei, rubles elfu
Idadi ya magari ni inversely sawia na gharama, hivyo
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Jibu: magari 4.
Tatizo namba 11
Katika mji N kwenye mraba P kuna duka ambalo mmiliki wake ni mkali sana kwamba kwa kuchelewa hutoa rubles 70 kutoka kwa mshahara kwa kuchelewa 1 kwa siku. Wasichana wawili, Yulia na Natasha, hufanya kazi katika idara moja. Yao mshahara inategemea idadi ya siku za kazi. Yulia alipokea rubles 4,100 kwa siku 20, na Natasha alipaswa kupokea zaidi katika siku 21, lakini alichelewa kwa siku 3 mfululizo. Natasha atapokea rubles ngapi?
Suluhisho:
Siku za kazi
Mshahara, kusugua.
Julia
4100
Natasha
Kwa hivyo, mshahara ni sawa na idadi ya siku za kazi
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 kusugua. Natasha alipaswa kuipokea.
4305 - 3 * 70 = 4095 (kusugua.)
Jibu: Natasha atapata rubles 4095.
Tatizo namba 12
Umbali kati ya miji miwili kwenye ramani ni sentimita 6. Tafuta umbali kati ya miji hii kwenye ardhi ikiwa kiwango cha ramani ni 1: 250000.
Suluhisho:
Wacha tuonyeshe umbali kati ya miji kwenye ardhi na x (kwa sentimita) na tupate uwiano wa urefu wa sehemu kwenye ramani hadi umbali wa ardhini, ambayo itakuwa sawa na kiwango cha ramani: 6: x = 1. : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Jibu: 15 km.
Tatizo namba 13
4000 g ya suluhisho ina 80 g ya chumvi. Je! ni mkusanyiko gani wa chumvi katika suluhisho hili?
Suluhisho:
Uzito, g
Kuzingatia,%
Suluhisho
4000
Chumvi
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Jibu: Mkusanyiko wa chumvi ni 2%.
Tatizo namba 14
Benki inatoa mkopo kwa 10% kwa mwaka. Umepokea mkopo wa rubles 50,000. Je, ni kiasi gani unapaswa kurudi benki kwa mwaka?
Suluhisho:
50,000 kusugua.
100%
x kusugua.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 kusugua. ni 10%.
50,000 + 5000=55,000 (kusugua.)
Jibu: kwa mwaka benki itapata rubles 55,000 nyuma.
Hitimisho.
Kama tunavyoweza kuona kutoka kwa mifano iliyotolewa, uhusiano wa moja kwa moja na wa kinyume unatumika katika nyanja mbalimbali za maisha:
Uchumi,
Biashara,
Katika uzalishaji na viwanda,
Kupika,
Ujenzi na usanifu.
Michezo,
Ufugaji,
Topografia,
Wanafizikia,
Kemia, nk.
Katika lugha ya Kirusi pia kuna methali na maneno ambayo huanzisha uhusiano wa moja kwa moja na wa kinyume:
Inaporudi, ndivyo itakavyojibu.
Kadiri kisiki kilivyo juu, ndivyo kivuli kinavyokuwa juu.
Watu wengi zaidi, oksijeni kidogo.
Na ni tayari, lakini mjinga.
Hisabati ni moja wapo ya sayansi kongwe; iliibuka kwa msingi wa mahitaji na matakwa ya wanadamu. Baada ya kupitia historia ya malezi tangu Ugiriki ya Kale, bado inabaki kuwa muhimu na muhimu katika Maisha ya kila siku mtu yeyote. Dhana ya uwiano wa moja kwa moja na wa kinyume imejulikana tangu nyakati za kale, kwa kuwa ilikuwa sheria za uwiano ambazo zilihamasisha wasanifu wakati wa ujenzi wowote au uumbaji wa sanamu yoyote.
Ujuzi juu ya idadi hutumiwa sana katika nyanja zote za maisha na shughuli za binadamu - mtu hawezi kufanya bila hiyo wakati uchoraji (mandhari, bado maisha, picha, nk), pia imeenea kati ya wasanifu na wahandisi - kwa ujumla, ni vigumu. fikiria kuunda kitu chochote bila kutumia maarifa juu ya uwiano na uhusiano wao.
Fasihi.
Hisabati-6, N.Ya. Vilenkin et al.
Algebra -7, G.V. Dorofeev na wengine.
Hisabati-9, GIA-9, iliyohaririwa na F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
Hisabati-6, vifaa vya didactic, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Matatizo katika hisabati kwa darasa la 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988
Mkusanyiko wa matatizo na mifano katika darasa la 5-6 la hisabati, N.A. Tereshin,
T.N. Tereshina, M. "Aquarium" 1997
Mfano
1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8, nk.Kipengele cha uwiano
Uhusiano wa mara kwa mara wa kiasi cha uwiano huitwa kipengele cha uwiano. Mgawo wa uwiano unaonyesha ni vitengo ngapi vya kiasi kimoja kwa kila kitengo cha kingine.
Uwiano wa moja kwa moja
Uwiano wa moja kwa moja- utegemezi wa kazi, ambayo kiasi fulani inategemea wingi mwingine kwa njia ambayo uwiano wao unabaki mara kwa mara. Kwa maneno mengine, vigezo hivi vinabadilika sawia, kwa hisa sawa, yaani, ikiwa hoja inabadilika mara mbili kwa mwelekeo wowote, basi kazi pia inabadilika mara mbili katika mwelekeo huo.
Kihisabati, uwiano wa moja kwa moja umeandikwa kama fomula:
f(x) = ax,a = const
Uwiano kinyume
Uwiano kinyume- hii ni utegemezi wa kazi, ambayo ongezeko la thamani ya kujitegemea (hoja) husababisha kupungua kwa uwiano wa thamani ya tegemezi (kazi).
Kihisabati, uwiano wa kinyume umeandikwa kama fomula:
Sifa za kazi:
Vyanzo
Wikimedia Foundation. 2010.
Malengo ya msingi:
- kuanzisha dhana ya utegemezi wa uwiano wa moja kwa moja na kinyume wa kiasi;
- fundisha jinsi ya kutatua matatizo kwa kutumia vitegemezi hivi;
- kukuza maendeleo ya ujuzi wa kutatua shida;
- kuunganisha ujuzi wa kutatua equations kwa kutumia uwiano;
- kurudia hatua na kawaida na desimali;
- kuendeleza kufikiri kimantiki wanafunzi.
WAKATI WA MADARASA
I. Kujiamua kwa shughuli(Wakati wa kupanga)
- Wavulana! Leo katika somo tutafahamiana na shida zinazotatuliwa kwa kutumia idadi.
II. Kusasisha maarifa na ugumu wa kurekodi katika shughuli
2.1. Kazi ya mdomo (Dakika 3)
- Tafuta maana ya misemo na ujue neno lililosimbwa kwenye majibu.
14 - s; 0.1 - na; 7 - l; 0.2 - a; 17 - c; 25 - kwa
- Neno linalotokana ni nguvu. Umefanya vizuri!
- Kauli mbiu ya somo letu la leo: Nguvu iko katika maarifa! Ninatafuta - hiyo inamaanisha kuwa ninajifunza!
- Tengeneza sehemu kutoka kwa nambari zinazopatikana. (14:7 = 0.2:0.1 n.k.)
2.2. Wacha tuangalie uhusiano kati ya idadi tunayojua (dakika 7)
- umbali unaofunikwa na gari kwa kasi ya mara kwa mara, na wakati wa harakati zake: S = v t ( kwa kasi ya kuongezeka (wakati), umbali huongezeka);
- kasi ya gari na wakati uliotumika kwenye safari: v=S:t(wakati wa kusafiri njia huongezeka, kasi hupungua);
–
gharama ya bidhaa kununuliwa kwa bei moja na wingi wake:
C = a · n (pamoja na ongezeko (kupungua) kwa bei, gharama ya ununuzi huongezeka (hupungua));
- bei ya bidhaa na wingi wake: a = C: n (pamoja na ongezeko la wingi, bei inapungua)
- eneo la mstatili na urefu wake (upana): S = a · b (pamoja na kuongezeka kwa urefu (upana), eneo huongezeka;
– urefu na upana wa mstatili: a = S: b (kadiri urefu unavyoongezeka, upana hupungua;
- idadi ya wafanyikazi wanaofanya kazi fulani kwa tija sawa ya kazi, na wakati inachukua kukamilisha kazi hii: t = A: n (na idadi ya wafanyikazi inaongezeka, wakati unaotumika kufanya kazi hupungua); .
Tumepata utegemezi ambao, kwa kuongezeka kwa idadi moja mara kadhaa, mwingine huongezeka mara moja kwa kiasi sawa (mifano imeonyeshwa kwa mishale) na utegemezi ambao, kwa kuongezeka kwa kiasi kimoja mara kadhaa, kiasi cha pili hupungua kwa idadi sawa ya nyakati.
Vitegemezi hivyo huitwa uwiano wa moja kwa moja na kinyume.
Utegemezi wa sawia moja kwa moja- uhusiano ambao thamani moja huongezeka (hupungua) mara kadhaa, thamani ya pili huongezeka (hupungua) kwa kiasi sawa.
Uhusiano wa uwiano kinyume- uhusiano ambao thamani moja huongezeka (hupungua) mara kadhaa, thamani ya pili hupungua (huongezeka) kwa kiasi sawa.
III. Kuweka kazi ya kujifunza
- Ni tatizo gani linalotukabili? (Jifunze kutofautisha kati ya mistari iliyonyooka na utegemezi kinyume)
-Hii- lengo somo letu. Sasa tengeneza mada somo. (Uhusiano wa uwiano wa moja kwa moja na kinyume).
- Umefanya vizuri! Andika mada ya somo kwenye madaftari yako. (Mwalimu anaandika mada ubaoni.)
IV. "Ugunduzi" wa maarifa mapya(dakika 10)
Hebu tuangalie tatizo namba 199.
1. Kichapishaji huchapisha kurasa 27 kwa dakika 4.5. Je, itachukua muda gani kuchapisha kurasa 300?
Kurasa 27 - 4.5 min.
Kurasa 300 - x?
2. Sanduku lina pakiti 48 za chai, 250 g kila moja. Je, utapata pakiti ngapi za 150g za chai hii?
Pakiti 48 - 250 g.
X? - 150 g.
3. Gari iliendesha kilomita 310, kwa kutumia lita 25 za petroli. Je! gari inaweza kusafiri umbali gani kwenye tanki kamili ya lita 40?
310 km - 25 l
X? - 40 l
4. Moja ya gia za clutch ina meno 32, na nyingine ina 40. Gia ya pili itafanya mapinduzi ngapi wakati ya kwanza itafanya mapinduzi 215?
Meno 32 - 315 rev.
Meno 40 - x?
Ili kukusanya sehemu, mwelekeo mmoja wa mishale ni muhimu; kwa hili, kwa uwiano wa kinyume, uwiano mmoja hubadilishwa na kinyume.
Kwenye ubao, wanafunzi hupata maana ya idadi; papo hapo, wanafunzi hutatua tatizo moja wanalochagua.
- Tengeneza sheria ya kutatua shida na utegemezi wa sawia wa moja kwa moja na wa kinyume.
Jedwali linaonekana kwenye ubao:
V. Uimarishaji wa msingi katika hotuba ya nje(dakika 10)
Kazi za karatasi:
- Kutoka kilo 21 za pamba, kilo 5.1 za mafuta zilipatikana. Ni mafuta ngapi yatapatikana kutoka kwa kilo 7 za mbegu za pamba?
- Ili kujenga uwanja huo, tingatinga 5 zilisafisha eneo hilo kwa dakika 210. Je, itachukua muda gani tingatinga 7 kufuta tovuti hii?
VI. Kazi ya kujitegemea kwa kujipima dhidi ya kiwango(dakika 5)
Wanafunzi wawili hukamilisha kazi No. 225 kwa kujitegemea bodi zilizofichwa, na zingine ziko kwenye madaftari. Kisha wanaangalia kazi ya algorithm na kuilinganisha na suluhisho kwenye ubao. Makosa yanarekebishwa na sababu zao zimedhamiriwa. Ikiwa kazi imekamilika kwa usahihi, basi wanafunzi huweka ishara "+" karibu nao.
Wanafunzi wanaofanya makosa katika kazi ya kujitegemea wanaweza kutumia washauri.
VII. Kuingizwa katika mfumo wa maarifa na marudio№ 271, № 270.
Watu sita wanafanya kazi kwenye bodi. Baada ya dakika 3-4, wanafunzi wanaofanya kazi kwenye bodi huwasilisha masuluhisho yao, na wengine huangalia kazi na kushiriki katika majadiliano yao.
VIII. Tafakari ya shughuli (muhtasari wa somo)
- Umejifunza nini kipya katika somo?
-Walirudia nini?
- Ni algorithm gani ya kutatua shida za sehemu?
- Je, tumefikia lengo letu?
- Unatathminije kazi yako?
§ 129. Ufafanuzi wa awali.
Mtu hushughulika kila wakati na anuwai ya idadi. Mfanyikazi na mfanyikazi wanajaribu kufika kazini kwa wakati fulani, mtembea kwa miguu ana haraka ya kufika mahali fulani kwa njia fupi, stoker. inapokanzwa mvuke wasiwasi kwamba joto katika boiler linaongezeka polepole, meneja wa biashara hufanya mipango ya kupunguza gharama za uzalishaji, nk.
Mtu anaweza kutoa idadi yoyote ya mifano kama hiyo. Muda, umbali, joto, gharama - yote haya ni kiasi mbalimbali. Katika sehemu ya kwanza na ya pili ya kitabu hiki, tulifahamiana na idadi fulani ya kawaida: eneo, ujazo, uzito. Tunakutana na idadi nyingi wakati wa kusoma fizikia na sayansi zingine.
Fikiria kuwa unasafiri kwa treni. Kila mara unatazama saa yako na kugundua ni muda gani umekuwa njiani. Unasema, kwa mfano, kwamba saa 2, 3, 5, 10, 15 zimepita tangu treni yako ilipoondoka, n.k. Nambari hizi zinawakilisha vipindi tofauti vya wakati; zinaitwa maadili ya wingi huu (wakati). Au unatazama nje ya dirisha na kufuata machapisho ya barabara ili kuona umbali ambao treni yako inasafiri. Nambari 110, 111, 112, 113, 114 km zinaangaza mbele yako. Nambari hizi zinawakilisha umbali tofauti ambao treni imesafiri kutoka mahali ilipotoka. Pia huitwa maadili, wakati huu wa ukubwa tofauti (njia au umbali kati ya pointi mbili). Kwa hivyo, idadi moja, kwa mfano, wakati, umbali, joto, inaweza kuchukua nyingi maana tofauti.
Tafadhali kumbuka kuwa mtu karibu kamwe hazingatii idadi moja tu, lakini huiunganisha kila wakati na idadi zingine. Anapaswa kushughulikia wakati huo huo na idadi mbili, tatu au zaidi. Fikiria kuwa unahitaji kufika shuleni kufikia saa tisa. Unatazama saa yako na unaona kuwa una dakika 20. Kisha utagundua haraka kama unapaswa kuchukua tramu au kama unaweza kutembea kwenda shule. Baada ya kufikiria, unaamua kutembea. Ona kwamba wakati ulikuwa unafikiria, ulikuwa unatatua tatizo fulani. Kazi hii imekuwa rahisi na inayojulikana, kwani unasuluhisha shida kama hizo kila siku. Ndani yake ulilinganisha haraka idadi kadhaa. Ni wewe uliyetazama saa, maana yake ulizingatia muda, kisha ukawaza kiakili umbali kutoka nyumbani kwako hadi shuleni; Hatimaye, ulilinganisha maadili mawili: kasi ya hatua yako na kasi ya tramu, na ukahitimisha kuwa kwa muda fulani (dakika 20) utakuwa na muda wa kutembea. Kutokana na hili mfano rahisi unaona katika mazoezi yetu kiasi fulani kimeunganishwa, yaani kinategemeana
Sura ya kumi na mbili ilizungumza juu ya uhusiano wa idadi ya homogeneous. Kwa mfano, ikiwa sehemu moja ni 12 m na nyingine ni 4 m, basi uwiano wa sehemu hizi itakuwa 12: 4.
Tulisema kwamba hii ni uwiano wa idadi mbili za homogeneous. Njia nyingine ya kusema hii ni kwamba ni uwiano wa nambari mbili jina moja.
Sasa kwa kuwa tumefahamu zaidi idadi na tumeanzisha dhana ya thamani ya wingi, tunaweza kueleza ufafanuzi wa uwiano kwa njia mpya. Kwa kweli, tulipozingatia sehemu mbili 12 m na 4 m, tulikuwa tunazungumza juu ya thamani moja - urefu, na 12 m na 4 m zilikuwa mbili tu. maana tofauti thamani hii.
Kwa hivyo, katika siku zijazo, tunapoanza kuzungumza juu ya uwiano, tutazingatia maadili mawili ya kiasi kimoja, na uwiano wa thamani moja ya kiasi kwa thamani nyingine ya kiasi sawa itaitwa mgawo wa kugawanya thamani ya kwanza. kwa pili.
§ 130. Thamani zinalingana moja kwa moja.
Hebu fikiria tatizo ambalo hali yake inajumuisha kiasi mbili: umbali na wakati.
Jukumu la 1. Mwili unaotembea kwa usawa na kwa usawa husafiri cm 12 kila sekunde. Amua umbali unaosafirishwa na mwili kwa sekunde 2, 3, 4, ..., 10.
Wacha tuunde jedwali ambalo linaweza kutumika kufuatilia mabadiliko ya wakati na umbali.
Jedwali linatupa fursa ya kulinganisha safu hizi mbili za maadili. Tunaona kutoka kwake kwamba wakati maadili ya idadi ya kwanza (wakati) huongezeka polepole kwa 2, 3, ..., mara 10, basi maadili ya wingi wa pili (umbali) pia huongezeka kwa 2, 3, ..., mara 10. Kwa hivyo, wakati maadili ya kiasi kimoja yanapoongezeka mara kadhaa, maadili ya kiasi kingine huongezeka kwa kiasi sawa, na wakati maadili ya kiasi kimoja hupungua mara kadhaa, maadili ya kiasi kingine hupungua kwa nambari sawa.
Acheni sasa tuchunguze tatizo linalohusisha kiasi hicho mawili: kiasi cha maada na gharama yake.
Jukumu la 2. 15 m ya kitambaa gharama 120 rubles. Kuhesabu gharama ya kitambaa hiki kwa kiasi kingine cha mita zilizoonyeshwa kwenye meza.
Kwa kutumia jedwali hili, tunaweza kufuatilia jinsi gharama ya bidhaa inavyoongezeka hatua kwa hatua kulingana na ongezeko la wingi wake. Licha ya ukweli kwamba tatizo hili linahusisha kiasi tofauti kabisa (katika tatizo la kwanza - wakati na umbali, na hapa - wingi wa bidhaa na thamani yake), hata hivyo, kufanana kubwa kunaweza kupatikana katika tabia ya kiasi hiki.
Kwa kweli, katika mstari wa juu wa jedwali kuna nambari zinazoonyesha idadi ya mita za kitambaa; chini ya kila mmoja wao kuna nambari inayoonyesha gharama ya idadi inayolingana ya bidhaa. Hata mtazamo wa haraka kwenye jedwali hili unaonyesha kwamba nambari katika safu za juu na za chini zinaongezeka; juu ya uchunguzi wa karibu wa jedwali na wakati wa kulinganisha safu wima za mtu binafsi, inagunduliwa kuwa katika hali zote maadili ya idadi ya pili huongezeka kwa idadi sawa ya nyakati kama maadili ya ongezeko la kwanza, i.e. kwanza wingi huongezeka, sema, mara 10, kisha thamani ya wingi wa pili pia iliongezeka mara 10.
Ikiwa tutaangalia kupitia meza kutoka kulia kwenda kushoto, tutagundua hiyo maadili maalum maadili yatapungua kwa nambari sawa mara moja. Kwa maana hii, kuna mfanano usio na masharti kati ya kazi ya kwanza na ya pili.
Jozi za idadi ambayo tulikutana nayo katika shida ya kwanza na ya pili inaitwa sawia moja kwa moja.
Kwa hivyo, ikiwa viwango viwili vinahusiana kwa namna ambayo thamani ya moja yao inaongezeka (inapungua) mara kadhaa, thamani ya nyingine huongezeka (hupungua) kwa kiasi sawa, basi kiasi hicho huitwa sawia moja kwa moja. .
Kiasi kama hicho pia kinasemekana kuhusishwa na kila mmoja kwa uhusiano wa sawia moja kwa moja.
Kuna idadi kubwa sawa inayopatikana katika maumbile na katika maisha yanayotuzunguka. Hapa kuna baadhi ya mifano:
1. Muda kazi (siku, siku mbili, siku tatu, nk) na mapato, iliyopokelewa wakati huu na mshahara wa kila siku.
2. Kiasi kitu chochote kilichofanywa kwa nyenzo zenye homogeneous, na uzito kipengee hiki.
§ 131. Mali ya kiasi cha uwiano wa moja kwa moja.
Wacha tuchukue shida ambayo inahusisha idadi mbili zifuatazo: muda wa kazi na mapato. Ikiwa mapato ya kila siku ni rubles 20, basi mapato kwa siku 2 yatakuwa rubles 40, nk. Ni rahisi zaidi kuunda meza ambayo nambari fulani siku zitalingana na mapato fulani.
Kuangalia jedwali hili, tunaona kwamba idadi zote mbili zilichukua maadili 10 tofauti. Kila thamani ya thamani ya kwanza inalingana na thamani fulani ya thamani ya pili, kwa mfano, siku 2 zinalingana na rubles 40; Siku 5 zinalingana na rubles 100. Katika jedwali nambari hizi zimeandikwa moja chini ya nyingine.
Tayari tunajua kwamba ikiwa idadi mbili ni sawia moja kwa moja, basi kila mmoja wao, katika mchakato wa mabadiliko yake, huongezeka mara nyingi kama mwingine huongezeka. Inafuata mara moja kutoka kwa hii: ikiwa tunachukua uwiano wa maadili yoyote mawili ya kiasi cha kwanza, basi itakuwa sawa na uwiano wa maadili mawili yanayofanana ya kiasi cha pili. Hakika:
Kwa nini hii inatokea? Lakini kwa sababu maadili haya ni sawia moja kwa moja, i.e. wakati mmoja wao (wakati) iliongezeka kwa mara 3, basi nyingine (mapato) iliongezeka kwa mara 3.
Kwa hivyo tumefikia hitimisho lifuatalo: ikiwa tutachukua maadili mawili ya idadi ya kwanza na kuigawanya kwa kila mmoja, na kisha kugawanya kwa moja maadili yanayolingana ya idadi ya pili, basi katika hali zote mbili tutapata nambari sawa, yaani, uhusiano sawa. Hii ina maana kwamba mahusiano mawili ambayo tuliandika hapo juu yanaweza kuunganishwa na ishara sawa, i.e.
Hakuna shaka kwamba ikiwa hatutachukua mahusiano haya, lakini mengine, na sio kwa utaratibu huo, lakini kwa utaratibu tofauti, tutapata usawa wa mahusiano. Kwa kweli, tutazingatia maadili ya idadi yetu kutoka kushoto kwenda kulia na kuchukua maadili ya tatu na tisa:
60:180 = 1 / 3 .
Kwa hivyo tunaweza kuandika:
Hii inasababisha hitimisho lifuatalo: ikiwa idadi mbili ni sawia moja kwa moja, basi uwiano wa maadili mawili yaliyochukuliwa kiholela ya kiasi cha kwanza ni sawa na uwiano wa maadili mawili yanayofanana ya kiasi cha pili.
§ 132. Mfumo wa uwiano wa moja kwa moja.
Hebu tufanye meza ya gharama ya kiasi mbalimbali cha pipi, ikiwa kilo 1 kati yao inagharimu rubles 10.4.
Sasa tuifanye hivi. Chukua nambari yoyote kwenye mstari wa pili na ugawanye kwa nambari inayolingana kwenye mstari wa kwanza. Kwa mfano:
Unaona kwamba katika quotient idadi sawa hupatikana wakati wote. Kwa hiyo, kwa jozi fulani ya kiasi cha uwiano wa moja kwa moja, mgawo wa kugawanya thamani yoyote ya kiasi kimoja kwa thamani inayolingana ya kiasi kingine ni nambari isiyobadilika (yaani, haibadiliki). Katika mfano wetu, mgawo huu ni 10.4. Nambari hii ya mara kwa mara inaitwa kipengele cha uwiano. KATIKA kwa kesi hii inaonyesha bei ya kitengo cha kipimo, i.e. kilo moja ya bidhaa.
Jinsi ya kupata au kuhesabu mgawo wa uwiano? Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchukua thamani yoyote ya wingi mmoja na ugawanye kwa thamani inayofanana ya nyingine.
Wacha tuonyeshe dhamana hii ya kiholela ya idadi moja kwa herufi katika , na thamani inayolingana ya wingi mwingine - barua X , kisha mgawo wa uwiano (tunaashiria KWA) tunapata kwa mgawanyiko:
Katika usawa huu katika - kugawanyika, X - mgawanyiko na KWA- quotient, na kwa kuwa, kwa mali ya mgawanyiko, mgawanyiko ni sawa na mgawanyiko uliozidishwa na mgawo, tunaweza kuandika:
y = K x
Usawa unaosababishwa unaitwa formula ya uwiano wa moja kwa moja. Kwa kutumia fomula hii, tunaweza kuhesabu idadi yoyote ya maadili ya moja ya idadi ya sawia moja kwa moja ikiwa tunajua maadili yanayolingana ya kiasi kingine na mgawo wa uwiano.
Mfano. Kutoka kwa fizikia tunajua uzito huo R ya mwili wowote ni sawa na mvuto wake maalum d , ikizidishwa na ujazo wa mwili huu V, i.e. R = d V.
Hebu tuchukue baa tano za chuma za ujazo tofauti; kujua mvuto maalum chuma (7.8), tunaweza kuhesabu uzani wa nafasi hizi kwa kutumia formula:
R = 7,8 V.
Kulinganisha fomula hii na fomula katika = KWA X , tunaona hivyo y = R, x = V, na mgawo wa uwiano KWA= 7.8. Fomula ni sawa, ni herufi tofauti tu.
Kutumia fomula hii, wacha tutengeneze meza: basi kiasi cha 1 tupu kiwe sawa na mita 8 za ujazo. cm, basi uzito wake ni 7.8 8 = 62.4 (g). Kiasi cha 2 tupu ni mita za ujazo 27. cm.Uzito wake ni 7.8 27 = 210.6 (g). Jedwali litaonekana kama hii:
Hesabu nambari ambazo hazipo kwenye jedwali hili kwa kutumia fomula R= d V.
§ 133. Mbinu nyingine za kutatua matatizo kwa wingi sawia moja kwa moja.
Katika aya iliyotangulia, tulitatua tatizo ambalo hali yake ilijumuisha idadi ya sawia moja kwa moja. Kwa kusudi hili, kwanza tulipata fomula ya uwiano wa moja kwa moja na kisha tukatumia fomula hii. Sasa tutaonyesha njia nyingine mbili za kutatua matatizo sawa.
Wacha tutengeneze shida kwa kutumia data ya nambari iliyotolewa kwenye jedwali katika aya iliyotangulia.
Kazi. tupu na ujazo wa mita 8 za ujazo. cm ina uzito wa g 62.4 Je, tupu yenye ujazo wa mita za ujazo 64 itakuwa na uzito gani? sentimita?
Suluhisho. Uzito wa chuma, kama unavyojulikana, ni sawa na kiasi chake. Ikiwa 8 cu. cm uzito 62.4 g, kisha 1 cu. cm itakuwa na uzito mara 8 chini, i.e.
62.4:8 = 7.8 (g).
tupu na ujazo wa mita za ujazo 64. cm itakuwa na uzito mara 64 zaidi ya 1 mita za ujazo tupu. cm, i.e.
7.8 64 = 499.2(g).
Tulitatua shida yetu kwa kupunguza umoja. Maana ya jina hili inathibitishwa na ukweli kwamba ili kulitatua tulilazimika kupata uzito wa kitengo cha ujazo katika swali la kwanza.
2. Njia ya uwiano. Wacha tusuluhishe shida sawa kwa kutumia njia ya uwiano.
Kwa kuwa uzito wa chuma na kiasi chake ni idadi ya uwiano wa moja kwa moja, uwiano wa maadili mawili ya kiasi kimoja (kiasi) ni sawa na uwiano wa maadili mawili yanayofanana ya kiasi kingine (uzito), i.e.
(barua R tuliteua uzito usiojulikana wa tupu). Kutoka hapa:
(G).
Tatizo lilitatuliwa kwa kutumia njia ya uwiano. Hii inamaanisha kuwa ili kuisuluhisha, sehemu iliundwa kutoka kwa nambari zilizojumuishwa katika hali hiyo.
§ 134. Thamani zinawiana kinyume.
Fikiria tatizo lifuatalo: “Waashi watano wanaweza kuongeza kuta za matofali nyumbani kwa siku 168. Amua ni siku ngapi waashi 10, 8, 6, n.k. wanaweza kukamilisha kazi sawa."
Ikiwa waashi 5 waliweka kuta za nyumba katika siku 168, basi (pamoja na tija sawa ya kazi) waashi 10 wanaweza kuifanya kwa nusu ya wakati, kwani kwa wastani watu 10 hufanya kazi mara mbili kama watu 5.
Hebu tutengeneze jedwali ambalo tunaweza kufuatilia mabadiliko katika idadi ya wafanyakazi na saa za kazi.
Kwa mfano, ili kujua ni siku ngapi inachukua wafanyikazi 6, lazima kwanza uhesabu siku ngapi inachukua mfanyakazi mmoja (168 5 = 840), na kisha ni siku ngapi inachukua wafanyikazi sita (840: 6 = 140). Kuangalia jedwali hili, tunaona kwamba idadi zote mbili zilichukua maadili sita tofauti. Kila thamani ya wingi wa kwanza inalingana na moja maalum; thamani ya thamani ya pili, kwa mfano, 10 inalingana na 84, nambari ya 8 inalingana na nambari 105, nk.
Ikiwa tutazingatia maadili ya idadi zote mbili kutoka kushoto kwenda kulia, tutaona kwamba maadili ya idadi ya juu yanaongezeka, na maadili ya kiasi cha chini yanapungua. Kuongezeka na kupungua kunategemea sheria ifuatayo: maadili ya idadi ya wafanyikazi huongezeka kwa nyakati sawa na maadili ya wakati wa kufanya kazi hupungua. Wazo hili linaweza kuelezewa kwa urahisi zaidi kama ifuatavyo: kadiri wafanyikazi wanavyohusika zaidi katika kazi yoyote, ndivyo wanahitaji muda mfupi wa kukamilisha. kazi fulani. Kiasi mbili ambazo tumekutana nazo katika shida hii zinaitwa sawia kinyume.
Kwa hivyo, ikiwa viwango viwili vinahusiana kwa namna ambayo thamani ya moja yao inaongezeka (inapungua) mara kadhaa, thamani ya nyingine inapungua (huongezeka) kwa kiasi sawa, basi kiasi hicho huitwa kinyume na uwiano. .
Kuna idadi nyingi sawa katika maisha. Hebu tutoe mifano.
1. Ikiwa kwa rubles 150. Ikiwa unahitaji kununua kilo kadhaa za pipi, idadi ya pipi itategemea bei ya kilo moja. Kadiri bei inavyokuwa juu, ndivyo bidhaa ndogo unazoweza kununua kwa pesa hizi; hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza:
Bei ya pipi inapoongezeka mara kadhaa, idadi ya kilo za pipi ambazo zinaweza kununuliwa kwa rubles 150 hupungua kwa kiasi sawa. Katika kesi hiyo, kiasi mbili (uzito wa bidhaa na bei yake) ni kinyume chake.
2. Ikiwa umbali kati ya miji miwili ni kilomita 1,200, basi inaweza kufunikwa nyakati tofauti kulingana na kasi ya harakati. Zipo njia tofauti usafiri: kwa miguu, kwa farasi, kwa baiskeli, kwa mashua, kwa gari, kwa treni, kwa ndege. Kasi ya chini, inachukua muda zaidi kusonga. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza:
Kwa ongezeko la kasi mara kadhaa, wakati wa kusafiri hupungua kwa kiasi sawa. Hii ina maana kwamba chini ya hali hizi, kasi na wakati ni kiasi cha uwiano.
§ 135. Mali ya kiasi cha uwiano kinyume.
Hebu tuchukue mfano wa pili, ambao tuliutazama katika aya iliyotangulia. Huko tulishughulika na idadi mbili - kasi na wakati. Ikiwa tunatazama jedwali la maadili ya kiasi hiki kutoka kushoto kwenda kulia, tutaona kwamba maadili ya kiasi cha kwanza (kasi) yanaongezeka, na maadili ya pili (wakati) yanapungua, na kasi huongezeka kwa kiasi sawa na wakati unapungua. Si vigumu kuelewa kwamba ikiwa utaandika uwiano wa baadhi ya maadili ya kiasi kimoja, basi haitakuwa sawa na uwiano wa maadili yanayolingana ya kiasi kingine. Kwa kweli, ikiwa tunachukua uwiano wa thamani ya nne ya thamani ya juu hadi ya saba (40: 80), basi haitakuwa sawa na uwiano wa maadili ya nne na saba ya thamani ya chini (30: 15). Inaweza kuandikwa kama hii:
40:80 si sawa na 30:15, au 40:80 =/=30:15.
Lakini ikiwa badala ya moja ya mahusiano haya tunachukua kinyume chake, basi tunapata usawa, yaani, kutoka kwa mahusiano haya itawezekana kuunda uwiano. Kwa mfano:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Kwa msingi wa yaliyotangulia, tunaweza kupata hitimisho lifuatalo: ikiwa idadi mbili ni sawia, basi uwiano wa maadili mawili yaliyochukuliwa kiholela ya idadi moja ni sawa na uwiano wa kinyume wa maadili yanayolingana ya kiasi kingine.
§ 136. Fomula ya uwiano kinyume.
Fikiria tatizo: “Kuna vipande 6 vya kitambaa cha hariri ukubwa tofauti Na aina tofauti. Vipande vyote vina gharama sawa. Kipande kimoja kina 100 m ya kitambaa, bei ya rubles 20. kwa mita Ni mita ngapi katika kila moja ya vipande vingine vitano, ikiwa mita ya kitambaa katika vipande hivi inagharimu 25, 40, 50, 80, 100 rubles, mtawaliwa? Ili kutatua shida hii, wacha tuunda meza:
Tunahitaji kujaza seli tupu katika safu mlalo ya juu ya jedwali hili. Hebu kwanza tujaribu kuamua ni mita ngapi kwenye kipande cha pili. Hii inaweza kufanywa kama ifuatavyo. Kutoka kwa hali ya tatizo inajulikana kuwa gharama ya vipande vyote ni sawa. Gharama ya kipande cha kwanza ni rahisi kuamua: ina mita 100 na kila mita ina gharama ya rubles 20, ambayo ina maana kwamba kipande cha kwanza cha hariri kina thamani ya rubles 2,000. Kwa kuwa kipande cha pili cha hariri kina kiasi sawa cha rubles, basi, kugawanya rubles 2,000. kwa bei ya mita moja, yaani 25, tunapata ukubwa wa kipande cha pili: 2,000: 25 = 80 (m). Kwa njia hiyo hiyo tutapata ukubwa wa vipande vingine vyote. Jedwali litaonekana kama hii:
Ni rahisi kuona kuwa kuna uhusiano wa sawia kati ya idadi ya mita na bei.
Ikiwa unafanya mahesabu muhimu mwenyewe, utaona kwamba kila wakati unapaswa kugawanya nambari 2,000 kwa bei ya m 1. Kinyume chake, ikiwa sasa unaanza kuzidisha ukubwa wa kipande kwa mita kwa bei ya m 1. , utapata daima namba 2000. Hii na ilikuwa ni lazima kusubiri, kwa kuwa kila kipande kina gharama ya rubles 2,000.
Kuanzia hapa tunaweza kuteka hitimisho lifuatalo: kwa jozi fulani ya viwango vya usawa, bidhaa ya thamani yoyote ya kiasi kimoja kwa thamani inayolingana ya kiasi kingine ni nambari ya mara kwa mara (yaani, haibadilika).
Katika tatizo letu, bidhaa hii ni sawa na 2,000. Angalia kwamba katika tatizo la awali, ambalo lilizungumzia kasi ya harakati na wakati unaohitajika kuhama kutoka mji mmoja hadi mwingine, pia kulikuwa na idadi ya mara kwa mara kwa tatizo hilo (1,200).
Kwa kuzingatia kila kitu, ni rahisi kupata fomula ya usawa. Hebu tuonyeshe thamani fulani ya wingi mmoja kwa barua X , na thamani inayolingana ya kiasi kingine inawakilishwa na barua katika . Kisha, kulingana na hapo juu, kazi X juu katika lazima iwe sawa na thamani fulani isiyobadilika, ambayo tunaashiria kwa herufi KWA, i.e.
x y = KWA.
Katika usawa huu X - multiplicand katika - multiplier na K- kazi. Kwa mujibu wa mali ya kuzidisha, kuzidisha ni sawa na bidhaa iliyogawanywa na multiplicand. Ina maana,
Hii ndiyo fomula ya uwiano kinyume. Kwa kuitumia, tunaweza kuhesabu idadi yoyote ya maadili ya moja ya idadi ya usawa, tukijua maadili ya nyingine na nambari ya mara kwa mara. KWA.
Wacha tufikirie shida nyingine: "Mwandishi wa insha moja alihesabu kwamba ikiwa kitabu chake kiko katika muundo wa kawaida, basi kitakuwa na kurasa 96, lakini ikiwa ni muundo wa mfukoni, basi kitakuwa na kurasa 300. Alijaribu tofauti tofauti, alianza na kurasa 96, kisha akawa na herufi 2,500 kwa kila ukurasa. Kisha akachukua nambari za kurasa zilizoonyeshwa kwenye jedwali lililo hapa chini na akahesabu tena ni herufi ngapi kwenye ukurasa huo.”
Wacha tujaribu kuhesabu ni herufi ngapi kwenye ukurasa ikiwa kitabu kina kurasa 100.
Kuna herufi 240,000 katika kitabu kizima, kwani 2,500 96 = 240,000.
Kwa kuzingatia hili, tunatumia fomula ya uwiano kinyume ( katika - idadi ya barua kwenye ukurasa, X - idadi ya kurasa):
Katika mfano wetu KWA= 240,000 kwa hiyo
Kwa hivyo kuna herufi 2,400 kwenye ukurasa.
Vile vile, tunajifunza kwamba ikiwa kitabu kina kurasa 120, basi idadi ya herufi kwenye ukurasa itakuwa:
Jedwali letu litaonekana kama hii:
Jaza seli zilizobaki mwenyewe.
§ 137. Mbinu nyingine za kutatua matatizo kwa wingi kinyume na uwiano.
Katika aya iliyotangulia, tulitatua matatizo ambayo masharti yake yalijumuisha wingi wa uwiano kinyume. Kwanza tulitoa fomula ya uwiano kinyume na kisha tukatumia fomula hii. Sasa tutaonyesha suluhisho zingine mbili kwa shida kama hizo.
1. Mbinu ya kupunguza umoja.
Kazi. Wageuzaji 5 wanaweza kufanya kazi fulani ndani ya siku 16. Ni kwa siku ngapi wageuzaji 8 wanaweza kukamilisha kazi hii?
Suluhisho. Kuna uhusiano wa kinyume kati ya idadi ya wanaogeuka na saa za kazi. Ikiwa wageukaji 5 wanafanya kazi katika siku 16, basi mtu mmoja atahitaji mara 5 zaidi kwa hili, i.e.
Wageuzaji 5 hukamilisha kazi hiyo ndani ya siku 16,
Kigeuza 1 kitakamilisha baada ya siku 16 5 = 80.
Tatizo linauliza ni siku ngapi itachukua watu 8 kukamilisha kazi. Kwa wazi, wataweza kukabiliana na kazi mara 8 kwa kasi zaidi kuliko turner 1, i.e. in
80: 8 = 10 (siku).
Hili ndilo suluhu la tatizo kwa kulipunguza kwa umoja. Hapa ilikuwa ni lazima kwanza kabisa kuamua muda unaohitajika kukamilisha kazi na mfanyakazi mmoja.
2. Njia ya uwiano. Hebu tutatue tatizo sawa kwa njia ya pili.
Kwa kuwa kuna uhusiano wa usawa kati ya idadi ya wafanyikazi na wakati wa kufanya kazi, tunaweza kuandika: muda wa kazi ya wageuzaji 5 idadi mpya ya wageuzaji (8) muda wa kazi ya wageuza 8 idadi ya awali ya wageuzaji (5) Wacha tuonyeshe muda unaohitajika wa kazi kwa barua X na kuiweka katika uwiano ulioonyeshwa kwa maneno, nambari zinazohitajika:
Tatizo sawa linatatuliwa na njia ya uwiano. Ili kulitatua, tulilazimika kuunda sehemu kutoka kwa nambari zilizojumuishwa kwenye taarifa ya shida.
Kumbuka. Katika aya zilizopita tulichunguza suala la uwiano wa moja kwa moja na kinyume. Asili na maisha hutupa mifano mingi ya utegemezi wa sawia wa moja kwa moja na kinyume wa idadi. Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba aina hizi mbili za utegemezi ni rahisi tu. Pamoja nao, kuna utegemezi mwingine, ngumu zaidi kati ya wingi. Kwa kuongeza, mtu haipaswi kufikiri kwamba ikiwa idadi yoyote mbili huongezeka kwa wakati mmoja, basi kuna lazima uwiano wa moja kwa moja kati yao. Hii ni mbali na kweli. Kwa mfano, ushuru kwa reli huongezeka kulingana na umbali: tunaposafiri zaidi, tunalipa zaidi, lakini hii haimaanishi kuwa malipo yanalingana na umbali.