Unawezaje kujenga piramidi? Kwenye ndege r Wacha tutengeneze poligoni, kwa mfano pentagoni ABCDE. Nje ya ndege r Hebu tuchukue hatua S. Kwa kuunganisha sehemu ya S na sehemu kwa pointi zote za poligoni, tunapata piramidi ya SABCDE (Mtini.).
Point S inaitwa juu, na poligoni ABCDE ni msingi piramidi hii. Kwa hivyo, piramidi yenye S ya juu na msingi ABCDE ni muungano wa sehemu zote ambapo M ∈ ABCDE.
Pembetatu SAB, SBC, SCD, SDE, SEA huitwa nyuso za upande piramidi, pande za kawaida za nyuso za nyuma SA, SB, SC, SD, SE - mbavu za pembeni.
Piramidi zinaitwa triangular, quadrangular, p-angular kulingana na idadi ya pande za msingi. Katika Mtini. Picha za piramidi za triangular, quadrangular na hexagonal zinatolewa.
Ndege inayopita juu ya piramidi na diagonal ya msingi inaitwa diagonal, na sehemu inayotokana ni diagonal. Katika Mtini. 186 moja ya sehemu za diagonal za piramidi ya hexagonal ni kivuli.
Sehemu ya perpendicular inayotolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake inaitwa urefu wa piramidi (mwisho wa sehemu hii ni juu ya piramidi na msingi wa perpendicular).
Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi wa piramidi ni poligoni ya kawaida na vertex ya piramidi inakadiriwa katikati yake.
Nyuso zote za upande wa piramidi ya kawaida ni pembetatu za isosceles zinazofanana. Katika piramidi ya kawaida, kingo zote za kando ni sanjari.
Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem piramidi. Maneno yote ya piramidi ya kawaida yanafanana.
Ikiwa tutateua upande wa msingi kama A, na apothem kupitia h, basi eneo la uso wa upande mmoja wa piramidi ni 1/2 ah.
Jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande wa piramidi inaitwa eneo la uso wa pembeni piramidi na imeteuliwa na S side.
Kwa kuwa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inajumuisha n nyuso zinazolingana, basi
S upande = 1/2 ahn=P h / 2 ,
ambapo P ni mzunguko wa msingi wa piramidi. Kwa hivyo,
S upande =P h / 2
yaani Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem.
Jumla ya eneo la piramidi huhesabiwa na formula
S = S ocn. + S upande. .
Kiasi cha piramidi ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi wake S ocn. kwa urefu H:
V = 1 / 3 S kuu. N.
Upatikanaji wa fomula hii na zingine zitatolewa katika moja ya sura zinazofuata.
Hebu sasa tujenge piramidi kwa njia tofauti. Hebu angle ya polyhedral itolewe, kwa mfano, pentahedral, na vertex S (Mchoro.).
Hebu tuchore ndege r ili inaingilia kingo zote za pembe ya polihedral iliyotolewa kwa pointi tofauti A, B, C, D, E (Mchoro.). Kisha piramidi ya SABCDE inaweza kuzingatiwa kama makutano ya pembe ya polihedra na nusu ya nafasi na mpaka. r, ambayo vertex S iko.
Kwa wazi, idadi ya nyuso zote za piramidi inaweza kuwa ya kiholela, lakini si chini ya nne. Wakati pembe ya trihedral inapoingiliana na ndege, piramidi ya triangular inapatikana, ambayo ina pande nne. Piramidi yoyote ya pembetatu wakati mwingine huitwa tetrahedron, ambayo ina maana ya tetrahedron.
Piramidi iliyokatwa inaweza kupatikana ikiwa piramidi inaingiliwa na ndege sambamba na ndege ya msingi.
Katika Mtini. Picha ya piramidi iliyopunguzwa ya quadrangular imetolewa.
Piramidi zilizokatwa pia huitwa triangular, quadrangular, n-gonal kulingana na idadi ya pande za msingi. Kutoka kwa ujenzi wa piramidi iliyopunguzwa inafuata kwamba ina misingi miwili: juu na chini. Misingi ya piramidi iliyopunguzwa ni poligoni mbili, ambazo pande zake zinafanana kwa jozi. Nyuso za upande wa piramidi iliyopunguzwa ni trapezoids.
Urefu piramidi iliyopunguzwa ni sehemu ya perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua yoyote ya msingi wa juu hadi ndege ya chini.
Piramidi iliyopunguzwa mara kwa mara ni sehemu ya piramidi ya kawaida iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya sehemu inayofanana na msingi. Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa (trapezoid) inaitwa apothem.
Inaweza kuthibitishwa kuwa piramidi iliyofupishwa ya kawaida ina kingo za kando zinazofanana, nyuso zote za pembeni zinalingana, na nukta zote zinalingana.
Ikiwa katika truncated sahihi n-piramidi ya makaa ya mawe kupitia A Na b n onyesha urefu wa pande za besi za juu na za chini, na kupitia h ni urefu wa apothem, basi eneo la kila upande wa uso wa piramidi ni sawa na
1 / 2 (A + b n) h
Jumla ya maeneo ya nyuso zote za nyuma za piramidi inaitwa eneo la uso wake wa upande na imeteuliwa S upande. . Ni wazi, kwa truncated sahihi n-piramidi ya makaa ya mawe
S upande = n 1 / 2 (A + b n) h.
Kwa sababu pa= P na nb n= P 1 - mzunguko wa besi za piramidi iliyopunguzwa, basi
S upande = 1 / 2 (P + P 1) h,
Hiyo ni, eneo la uso wa kando wa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa ni sawa na nusu ya bidhaa ya jumla ya mzunguko wa besi zake na apothem.
Sehemu inayofanana na msingi wa piramidi
Nadharia. Ikiwa piramidi imekatizwa na ndege inayofanana na msingi, basi:1) mbavu za upande na urefu zitagawanywa katika sehemu za uwiano;
2) katika sehemu ya msalaba utapata poligoni sawa na msingi;
3) maeneo ya sehemu na besi zinahusiana kama miraba ya umbali wao kutoka juu.
Inatosha kuthibitisha theorem kwa piramidi ya triangular.
Kwa kuwa ndege sambamba zimekatizwa na ndege ya tatu kwa mistari sambamba, basi (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (mtini).
Mistari sambamba hukata pande za pembe katika sehemu za uwiano, na kwa hiyo
$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
Kwa hiyo, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 na
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\kulia|) $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 na
$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
Hivyo,
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\kulia|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$
Pembe zinazolingana za pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 zinalingana, kama pembe zilizo na pande zinazolingana na zinazofanana. Ndiyo maana
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
Maeneo ya pembetatu sawa yanahusiana kama miraba ya pande zinazolingana:
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\kulia|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 $$
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\kulia|) $$
Kwa hivyo,
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$
Nadharia. Ikiwa piramidi mbili zilizo na urefu sawa hukatwa kwa umbali sawa kutoka juu na ndege zinazofanana na besi, basi maeneo ya sehemu ni sawa na maeneo ya besi.
Hebu (Kielelezo 84) B na B 1 ziwe maeneo ya besi za piramidi mbili, H iwe urefu wa kila mmoja wao, b Na b 1 - maeneo ya sehemu kwa ndege sambamba na besi na kuondolewa kutoka kwa wima kwa umbali sawa. h.
Kulingana na nadharia iliyotangulia tutakuwa na:
$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: na \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
wapi
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: au \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$
Matokeo. Ikiwa B = B 1, basi b = b 1, i.e. Ikiwa piramidi mbili zilizo na urefu sawa zina besi sawa, basi sehemu zilizowekwa sawa kutoka juu pia ni sawa.
Nyenzo zingineSURA YA TATU
POLYhedra
1. ILIYOENDELEA NA PYRAMID
Mali ya sehemu sambamba katika piramidi
74. Nadharia. Ikiwa piramidi (mchoro 83) iliyokatizwa na ndege inayofanana na msingi, kisha:
1) mbavu za upande na urefu zimegawanywa na ndege hii katika sehemu za uwiano;
2) katika sehemu ya msalaba inageuka kuwa poligoni (abcde ), sawa na msingi;
3) Sehemu za sehemu na besi zinahusiana kama miraba ya umbali wao kutoka kwa vertex.
1) Moja kwa moja ab na AB inaweza kuchukuliwa kama mstari wa makutano ya ndege mbili sambamba (msingi na secant) na ndege ya tatu ASB; Ndiyo maana ab||AB (§ 16). Kwa sababu hiyo hiyo bc||BC, CD||CD, ... na saa|| AM; kutokana na hili
S a / a A=S b / b B=S c / c C=...=S m / m M
2) Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu ASB na a S b, kisha BSC na b S c nk tunatoa:
AB / ab=BS / bs; B.S. / bs= KK / bc ,
AB / ab= KK / bc
B.C. / bc=CS / cs; C.S. / cs= CD / CD kutoka BC / bc= CD / CD .
Pia tutathibitisha uwiano wa pande zilizobaki za poligoni ABCDE na abcde. Kwa kuwa, zaidi ya hayo, poligoni hizi zina pembe zinazolingana sawa (kama zinaundwa na pande zinazofanana na zinazoelekezwa sawa), basi zinafanana.
3) Maeneo ya poligoni sawa yanahusiana kama miraba ya pande zinazofanana; Ndiyo maana
75. Matokeo. Piramidi iliyopunguzwa ya kawaida ina msingi wa juu ambao ni poligoni ya kawaida sawa na msingi wa chini, na nyuso za upande ni sawa na isosceles trapezoids.(mchoro 83).
Urefu wa yoyote ya trapezoids hizi huitwa apothem piramidi ya kawaida iliyopunguzwa.
76. Nadharia. Ikiwa piramidi mbili zilizo na urefu sawa hukatwa kwa umbali sawa kutoka juu na ndege zinazofanana na besi, basi maeneo ya sehemu ni sawa na maeneo ya besi.
Hebu (Kielelezo 84) B na B 1 ziwe maeneo ya besi za piramidi mbili, H iwe urefu wa kila mmoja wao, b Na b 1 - maeneo ya sehemu kwa ndege sambamba na besi na kuondolewa kutoka kwa wima kwa umbali sawa. h.
Kulingana na nadharia iliyotangulia tutakuwa na:
77. Matokeo. Ikiwa B = B 1, basi b = b 1, i.e. Ikiwa piramidi mbili zilizo na urefu sawa zina besi sawa, basi sehemu zilizowekwa sawa kutoka juu pia ni sawa.
Swali:
Piramidi inakatizwa na ndege inayofanana na msingi. Eneo la msingi ni 1690dm2, na eneo la sehemu ya msalaba ni 10dm2. Kwa uwiano gani, kuhesabu kutoka kwenye kilele, je, ndege ya kukata hugawanya urefu wa piramidi?
Majibu:
ndege inayofanana inakata piramidi sawa na hii (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13
Maswali yanayofanana
- Jaribio juu ya mada: "Tahajia ya viambishi" Tunaangalia tahajia ya viambishi vya viambishi, tahajia tofauti na endelevu bila vielezi, tahajia endelevu, tofauti, iliyosisitizwa ya vielezi Chaguo 1. 1. Fungua mabano. Weka alama kwenye "gurudumu la tatu": a) ameketi (immobile); aliona (un) kwa bahati mbaya; aliimba (si) kwa sauti kubwa; Angazia safu mlalo na vielezi hasi: a) hakuna chochote; nje ya mahali; popote; mengi kabisa;