§ 87. Ongezeko la sehemu.
Kuongeza sehemu kuna mfanano mwingi wa kuongeza nambari nzima. Ongezeko la sehemu ni kitendo kinachojumuisha ukweli kwamba nambari kadhaa (masharti) kadhaa zimejumuishwa kuwa nambari moja (jumla), iliyo na vitengo na sehemu zote za vitengo vya maneno.
Tutazingatia kesi tatu kwa mlolongo:
1. Kuongeza sehemu na madhehebu sawa.
2. Ongezeko la sehemu zenye madhehebu tofauti.
3. Ongezeko la namba mchanganyiko.
1. Ongezeko la sehemu zenye dhehebu kama.
Fikiria mfano: 1/5 + 2/5.
Hebu tuchukue sehemu ya AB (Kielelezo 17), ichukue kama moja na kuigawanya katika sehemu 5 sawa, kisha sehemu ya AC ya sehemu hii itakuwa sawa na 1/5 ya sehemu ya AB, na sehemu ya sehemu sawa ya CD itakuwa sawa na 2/5 AB.
Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba ikiwa tunachukua sehemu ya AD, itakuwa sawa na 3/5 AB; lakini sehemu ya AD ni jumla ya sehemu za AC na CD. Kwa hivyo tunaweza kuandika:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Kwa kuzingatia masharti haya na jumla inayotokana, tunaona kwamba nambari ya jumla ilipatikana kwa kuongeza nambari za maneno, na denominator ilibakia bila kubadilika.
Kutoka hapa tunapata kanuni inayofuata: Ili kuongeza sehemu na dhehebu sawa, unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha dhehebu sawa.
Hebu tuangalie mfano:
2. Ongezeko la sehemu zenye madhehebu tofauti.
Wacha tuongeze sehemu: 3/4 + 3/8 Kwanza zinahitaji kupunguzwa hadi dhehebu la chini kabisa la kawaida:
Kiungo cha kati 6/8 + 3/8 hakikuweza kuandikwa; tumeiandika hapa kwa uwazi.
Kwa hivyo, ili kuongeza sehemu zilizo na madhehebu tofauti, lazima kwanza uzipunguze kwa kiwango cha chini kabisa cha kawaida, ongeza nambari zao na uweke lebo ya kawaida.
Wacha tuchunguze mfano (tutaandika mambo ya ziada juu ya sehemu zinazolingana):
3. Ongezeko la namba mchanganyiko.
Wacha tuongeze nambari: 2 3/8 + 3 5/6.
Hebu kwanza tulete sehemu za sehemu za nambari zetu kwa dhehebu la kawaida na tuandike tena:
Sasa tunaongeza sehemu kamili na za sehemu kwa mlolongo:
§ 88. Utoaji wa sehemu.
Kutoa sehemu hufafanuliwa kwa njia sawa na kutoa nambari nzima. Hii ni hatua kwa msaada wa ambayo, kutokana na jumla ya maneno mawili na moja wao, muda mwingine hupatikana. Wacha tuzingatie kesi tatu mfululizo:
1. Kutoa sehemu na denomineta kama.
2. Kutoa sehemu na madhehebu tofauti.
3. Utoaji wa namba mchanganyiko.
1. Kutoa sehemu na denomineta kama.
Hebu tuangalie mfano:
13 / 15 - 4 / 15
Hebu tuchukue sehemu ya AB (Mchoro 18), tuchukue kama kitengo na tugawanye katika sehemu 15 sawa; kisha sehemu ya AC ya sehemu hii itawakilisha 1/15 ya AB, na sehemu ya AD ya sehemu hiyo hiyo italingana na 13/15 AB. Hebu tutenge sehemu nyingine ED sawa na 4/15 AB.
Tunahitaji kutoa sehemu 4/15 kutoka 13/15. Katika mchoro, hii inamaanisha kuwa sehemu ya ED lazima iondolewe kutoka kwa sehemu ya AD. Kwa hivyo, sehemu ya AE itabaki, ambayo ni 9/15 ya sehemu ya AB. Kwa hivyo tunaweza kuandika:
Mfano tuliofanya unaonyesha kuwa nambari ya tofauti ilipatikana kwa kutoa nambari, lakini kiashiria kilibaki vile vile.
Kwa hivyo, ili kutoa sehemu na denominators kama, unahitaji kutoa nambari ya subtrahend kutoka kwa nambari ya minuend na kuacha denominator sawa.
2. Kutoa sehemu na madhehebu tofauti.
Mfano. 3/4 - 5/8
Kwanza, wacha tupunguze sehemu hizi kwa dhehebu la chini kabisa:
6 / 8 - 5 / 8 ya kati imeandikwa hapa kwa uwazi, lakini inaweza kurukwa baadaye.
Kwa hivyo, ili kuondoa sehemu kutoka kwa sehemu, lazima kwanza uwapunguze hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida, kisha uondoe nambari ya minuend kutoka kwa nambari ya minuend na usaini denominator ya kawaida chini ya tofauti zao.
Hebu tuangalie mfano:
3. Utoaji wa namba mchanganyiko.
Mfano. 10 3/4 - 7 2/3.
Wacha tupunguze sehemu za sehemu ya minuend na subtrahend hadi denominator ya chini kabisa:
Tulitoa nzima kutoka kwa jumla na sehemu kutoka kwa sehemu. Lakini kuna matukio wakati sehemu ya sehemu ya subtrahend ni kubwa kuliko sehemu ya sehemu ya minuend. Katika hali kama hizi, unahitaji kuchukua kitengo kimoja kutoka kwa sehemu nzima ya minuend, ugawanye katika sehemu hizo ambazo sehemu ya sehemu imeonyeshwa, na kuiongeza kwa sehemu ya sehemu ya minuend. Na kisha kutoa kutafanywa kwa njia ile ile kama katika mfano uliopita:
§ 89. Kuzidisha kwa sehemu.
Tunaposoma kuzidisha sehemu tutazingatia maswali yanayofuata:
1. Kuzidisha sehemu kwa nambari nzima.
2. Kupata sehemu ya nambari fulani.
3. Kuzidisha nambari nzima kwa sehemu.
4. Kuzidisha sehemu kwa sehemu.
5. Kuzidisha namba mchanganyiko.
6. Dhana ya riba.
7. Kupata asilimia ya nambari fulani. Hebu tuzingatie kwa mfuatano.
1. Kuzidisha sehemu kwa nambari nzima.
Kuzidisha sehemu kwa nambari nzima kuna maana sawa na kuzidisha nambari nzima kwa nambari kamili. Kuzidisha sehemu (multiplicand) kwa nambari kamili (sababu) inamaanisha kuunda jumla ya maneno yanayofanana, ambayo kila neno ni sawa na kuzidisha, na idadi ya istilahi ni sawa na kizidishi.
Hii inamaanisha kuwa ikiwa unahitaji kuzidisha 1/9 kwa 7, basi inaweza kufanywa kama hii:
Tulipata matokeo kwa urahisi, kwani hatua ilipunguzwa ili kuongeza sehemu na denominators sawa. Kwa hivyo,
Uzingatiaji wa kitendo hiki unaonyesha kuwa kuzidisha sehemu kwa nambari nzima ni sawa na kuongeza sehemu hii kwa mara nyingi zaidi ya idadi ya vitengo vilivyomo katika nambari nzima. Na kwa kuwa kuongeza sehemu kunapatikana ama kwa kuongeza nambari yake
au kwa kupunguza dhehebu lake 
, basi tunaweza kuzidisha nambari kwa nambari kamili au kugawanya dhehebu nayo, ikiwa mgawanyiko kama huo unawezekana.
Kuanzia hapa tunapata sheria:
Ili kuzidisha sehemu kwa nambari nzima, unazidisha nambari kwa nambari hiyo yote na kuacha nambari sawa, au, ikiwezekana, kugawanya kiashiria kwa nambari hiyo, na kuacha nambari bila kubadilika.
Wakati wa kuzidisha, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:
2. Kupata sehemu ya nambari fulani. Kuna matatizo mengi ambayo unapaswa kupata, au kuhesabu, sehemu ya nambari fulani. Tofauti kati ya shida hizi na zingine ni kwamba wanatoa idadi ya vitu au vitengo vya kipimo na unahitaji kupata sehemu ya nambari hii, ambayo pia imeonyeshwa hapa na sehemu fulani. Ili kuwezesha kuelewa, kwanza tutatoa mifano ya shida kama hizo, na kisha tutaanzisha njia ya kuzitatua.
Jukumu la 1. Nilikuwa na rubles 60; Nilitumia 1/3 ya pesa hizi kununua vitabu. Vitabu viligharimu kiasi gani?
Jukumu la 2. Treni lazima isafiri umbali kati ya miji A na B sawa na kilomita 300. Tayari amefunika 2/3 ya umbali huu. Hii ni kilomita ngapi?
Jukumu la 3. Kuna nyumba 400 katika kijiji, 3/4 kati yao ni matofali, iliyobaki ni ya mbao. Kiasi gani kwa jumla nyumba za matofali?
Hapa kuna baadhi ya hizo kazi nyingi kupata sehemu za nambari fulani tunayokutana nayo. Kawaida huitwa shida kupata sehemu ya nambari fulani.
Suluhisho la tatizo 1. Kutoka 60 kusugua. Nilitumia 1/3 kwenye vitabu; Hii inamaanisha kuwa ili kupata gharama ya vitabu unahitaji kugawanya nambari 60 na 3:
Kutatua tatizo 2. Suala la shida ni kwamba unahitaji kupata 2/3 ya 300 km. Hebu kwanza tuhesabu 1/3 ya 300; hii inafanikiwa kwa kugawanya kilomita 300 kwa 3:
300: 3 = 100 (hiyo ni 1/3 ya 300).
Ili kupata theluthi mbili ya 300, unahitaji kuongeza mgawo unaosababishwa, i.e., kuzidisha kwa 2:
100 x 2 = 200 (hiyo ni 2/3 ya 300).
Kutatua tatizo 3. Hapa unahitaji kuamua idadi ya nyumba za matofali ambazo hufanya 3/4 ya 400. Hebu kwanza tupate 1/4 ya 400,
400: 4 = 100 (hiyo ni 1/4 ya 400).
Ili kuhesabu robo tatu ya 400, mgawo unaopatikana lazima uongezeke mara tatu, i.e. kuzidishwa na 3:
100 x 3 = 300 (hiyo ni 3/4 ya 400).
Kulingana na suluhisho la shida hizi, tunaweza kupata sheria ifuatayo:
Ili kupata thamani ya sehemu kutoka kwa nambari fulani, unahitaji kugawanya nambari hii kwa denominator ya sehemu na kuzidisha mgawo unaosababishwa na nambari yake.
3. Kuzidisha nambari nzima kwa sehemu.
Hapo awali (§ 26) ilianzishwa kuwa kuzidisha nambari kamili kunapaswa kueleweka kama nyongeza ya maneno yanayofanana (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Katika aya hii (alama 1) ilithibitishwa kuwa kuzidisha sehemu kwa nambari kamili kunamaanisha kupata jumla ya maneno yanayofanana sawa na sehemu hii.
Katika visa vyote viwili, kuzidisha kulihusisha kupata jumla ya istilahi zinazofanana.
Sasa tunaendelea kuzidisha nambari nzima kwa sehemu. Hapa tutakutana, kwa mfano, kuzidisha: 9 2 / 3. Ni wazi kwamba ufafanuzi uliopita wa kuzidisha hautumiki kwa kesi hii. Hii ni dhahiri kutokana na ukweli kwamba hatuwezi kuchukua nafasi ya kuzidisha vile kwa kuongeza idadi sawa.
Kwa sababu ya hili, tutalazimika kutoa ufafanuzi mpya wa kuzidisha, yaani, kwa maneno mengine, jibu swali la kile kinachopaswa kueleweka kwa kuzidisha kwa sehemu, jinsi hatua hii inapaswa kueleweka.
Maana ya kuzidisha nambari nzima kwa sehemu ni wazi kutoka kwa ufafanuzi ufuatao: kuzidisha nambari kamili (kuzidisha) kwa sehemu (kuzidisha) kunamaanisha kupata sehemu hii ya vizidishi.
Yaani, kuzidisha 9 kwa 2/3 kunamaanisha kupata 2/3 ya vitengo tisa. Katika aya iliyotangulia, matatizo hayo yalitatuliwa; kwa hivyo ni rahisi kujua kuwa tutamaliza na 6.
Lakini sasa swali la kuvutia na muhimu linatokea: kwa nini ni vile vitendo mbalimbali Kupata jumla ya nambari sawa na kupata sehemu ya nambari kunaitwaje kwa neno moja "kuzidisha" katika hesabu?
Hii hutokea kwa sababu kitendo kilichotangulia (kurudia nambari na masharti mara kadhaa) na kitendo kipya (kupata sehemu ya nambari) hutoa majibu kwa maswali yanayofanana. Hii ina maana kwamba tunaendelea hapa kutokana na mazingatio kwamba maswali au kazi zenye usawaziko hutatuliwa kwa kitendo kile kile.
Ili kuelewa hili, fikiria shida ifuatayo: "M 1 ya kitambaa inagharimu rubles 50. Je, 4 m ya nguo hiyo itagharimu kiasi gani?
Tatizo hili linatatuliwa kwa kuzidisha idadi ya rubles (50) kwa idadi ya mita (4), yaani 50 x 4 = 200 (rubles).
Wacha tuchukue shida sawa, lakini ndani yake kiasi cha kitambaa kitaonyeshwa kama sehemu: "M 1 ya kitambaa inagharimu rubles 50. Je, 3/4 m ya nguo kama hiyo itagharimu kiasi gani?"
Tatizo hili pia linahitaji kutatuliwa kwa kuzidisha idadi ya rubles (50) kwa idadi ya mita (3/4).
Unaweza kubadilisha nambari ndani yake mara kadhaa zaidi, bila kubadilisha maana ya shida, kwa mfano, chukua 9/10 m au 2 3/10 m, nk.
Kwa kuwa matatizo haya yana maudhui sawa na yanatofautiana kwa idadi tu, tunaita vitendo vinavyotumiwa katika kutatua neno moja - kuzidisha.
Unawezaje kuzidisha nambari nzima kwa sehemu?
Wacha tuchukue nambari zilizokutana kwenye shida ya mwisho:
Kwa mujibu wa ufafanuzi, lazima tupate 3/4 ya 50. Hebu kwanza tupate 1/4 ya 50, na kisha 3/4.
1/4 ya 50 ni 50/4;
3/4 ya nambari 50 ni .
Kwa hivyo.
Hebu tuchunguze mfano mwingine: 12 5/8 =?
1/8 ya nambari 12 ni 12/8,
5/8 ya nambari 12 ni .
Kwa hivyo,
Kuanzia hapa tunapata sheria:
Ili kuzidisha nambari nzima kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari nzima kwa nambari ya sehemu na kuifanya bidhaa hii kuwa nambari, na utie saini kiashiria cha sehemu hii kama denominator.
Wacha tuandike sheria hii kwa kutumia herufi:
Ili kufanya sheria hii iwe wazi kabisa, ikumbukwe kwamba sehemu inaweza kuzingatiwa kama mgawo. Kwa hivyo, ni muhimu kulinganisha sheria iliyopatikana na sheria ya kuzidisha nambari na mgawo, ambayo iliwekwa katika § 38.
Ni muhimu kukumbuka kuwa kabla ya kuzidisha, unapaswa kufanya (ikiwezekana) kupunguzwa, Kwa mfano:
4. Kuzidisha sehemu kwa sehemu. Kuzidisha sehemu kwa sehemu kuna maana sawa na kuzidisha nambari nzima kwa sehemu, i.e., wakati wa kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kupata sehemu ambayo iko katika sababu kutoka kwa sehemu ya kwanza (multiplicand).
Yaani, kuzidisha 3/4 kwa 1/2 (nusu) inamaanisha kupata nusu ya 3/4.
Je, unawezaje kuzidisha sehemu kwa sehemu?
Hebu tuchukue mfano: 3/4 ikizidishwa na 5/7. Hii inamaanisha unahitaji kupata 5/7 ya 3/4. Hebu kwanza tupate 1/7 ya 3/4, na kisha 5/7
1/7 ya nambari 3/4 itaonyeshwa kama ifuatavyo:
Nambari 5/7 3/4 itaonyeshwa kama ifuatavyo:
Hivyo,
Mfano mwingine: 5/8 ikizidishwa na 4/9.
1/9 ya 5/8 ni,
4/9 ya nambari 5/8 ni .
Hivyo, 
Kutoka kwa mifano hii sheria ifuatayo inaweza kuamuliwa:
Ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari kwa nambari, na denominator na denominator, na kufanya bidhaa ya kwanza kuwa nambari, na bidhaa ya pili kuwa denominator ya bidhaa.
Hii ndio kanuni ndani mtazamo wa jumla inaweza kuandikwa kama hii:
Wakati wa kuzidisha, ni muhimu kufanya (ikiwezekana) kupunguza. Hebu tuangalie mifano:
5. Kuzidisha namba mchanganyiko. Kwa kuwa nambari zilizochanganywa zinaweza kubadilishwa kwa urahisi na sehemu zisizofaa, hali hii kawaida hutumiwa wakati wa kuzidisha nambari zilizochanganywa. Hii ina maana kwamba katika hali ambapo kuzidisha, au kuzidisha, au sababu zote mbili zinaonyeshwa kama nambari zilizochanganywa, hubadilishwa na sehemu zisizofaa. Wacha tuzidishe, kwa mfano, nambari zilizochanganywa: 2 1/2 na 3 1/5. Wacha tugeuze kila moja yao kuwa sehemu isiyofaa na kisha kuzidisha sehemu zinazosababishwa kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu kwa sehemu:
Kanuni. Ili kuzidisha nambari zilizochanganywa, lazima kwanza ubadilishe kuwa sehemu zisizofaa na kisha uzizidishe kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu kwa sehemu.
Kumbuka. Ikiwa moja ya sababu ni nambari kamili, basi kuzidisha kunaweza kufanywa kulingana na sheria ya usambazaji kama ifuatavyo.
6. Dhana ya riba. Wakati wa kutatua shida na kufanya anuwai mahesabu ya vitendo Tunatumia kila aina ya sehemu. Lakini ni lazima ikumbukwe kwamba kiasi kikubwa huruhusu sio tu yoyote, lakini mgawanyiko wa asili kwao. Kwa mfano, unaweza kuchukua mia moja (1/100) ya ruble, itakuwa kopeck, mia mbili ni kopecks 2, mia tatu ni kopecks 3. Unaweza kuchukua 1/10 ya ruble, itakuwa "kopecks 10, au kipande cha kopeck kumi. Unaweza kuchukua robo ya ruble, yaani kopecks 25, nusu ya ruble, yaani kopecks 50 (kopecks hamsini). Lakini wao kivitendo hawachukui, kwa mfano, 2/7 ya ruble kwa sababu ruble haijagawanywa katika saba.
Kitengo cha uzani, i.e. kilo, kimsingi inaruhusu mgawanyiko wa decimal, kwa mfano 1/10 kg, au g 100. Na sehemu kama hizo za kilo kama 1/6, 1/11, 1/13 sio kawaida.
Kwa ujumla, vipimo vyetu (metric) ni desimali na huruhusu mgawanyiko wa desimali.
Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba ni muhimu sana na rahisi katika aina mbalimbali za matukio kutumia njia sawa (ya sare) ya kugawanya kiasi. Uzoefu wa miaka mingi umeonyesha kwamba mgawanyiko huo wenye haki ni mgawanyiko wa "mia". Wacha tuchunguze mifano kadhaa inayohusiana na maeneo tofauti zaidi ya mazoezi ya wanadamu.
1. Bei ya vitabu imepungua kwa 12/100 ya bei ya awali.
Mfano. Bei ya awali ya kitabu ilikuwa rubles 10. Ilipungua kwa ruble 1. 20 kopecks
2. Benki za akiba hulipa wenye amana 2/100 ya kiasi kilichowekwa kwa ajili ya akiba katika mwaka huo.
Mfano. Rubles 500 zimewekwa kwenye rejista ya pesa, mapato kutoka kwa kiasi hiki kwa mwaka ni rubles 10.
3. Idadi ya wahitimu kutoka shule moja ilikuwa 5/100 ya jumla ya wanafunzi.
MFANO Kulikuwa na wanafunzi 1,200 tu katika shule hiyo, ambapo 60 walihitimu.
Sehemu ya mia ya nambari inaitwa asilimia.
Neno "asilimia" limekopwa kutoka Kilatini na mzizi wake "senti" unamaanisha mia moja. Pamoja na kihusishi (pro centum), neno hili linamaanisha "kwa mia." Maana ya usemi kama huo hufuata kutoka kwa ukweli kwamba hapo awali katika Roma ya kale riba ilikuwa pesa ambayo mdaiwa alilipa mkopeshaji "kwa kila mia." Neno "senti" linasikika kwa maneno ya kawaida: katikati (kilo mia moja), sentimita (sema sentimita).
Kwa mfano, badala ya kusema kwamba katika mwezi uliopita mmea ulizalisha 1/100 ya bidhaa zote zinazozalishwa na hiyo ilikuwa na kasoro, tutasema hivi: zaidi ya mwezi uliopita mmea ulizalisha asilimia moja ya kasoro. Badala ya kusema: mmea ulizalisha bidhaa 4/100 zaidi kuliko mpango ulioanzishwa, tutasema: mmea ulizidi mpango kwa asilimia 4.
Mifano hapo juu inaweza kuonyeshwa kwa njia tofauti:
1. Bei ya vitabu imepungua kwa asilimia 12 ya bei ya awali.
2. Benki za akiba hulipa wenye amana asilimia 2 kwa mwaka kwa kiasi kilichowekwa kwenye akiba.
3. Idadi ya wahitimu kutoka shule moja ilikuwa asilimia 5 ya wanafunzi wote wa shule.
Ili kufupisha barua, ni kawaida kuandika alama% badala ya neno "asilimia".
Walakini, unahitaji kukumbuka kuwa katika mahesabu ishara% kawaida haijaandikwa; inaweza kuandikwa katika taarifa ya shida na katika matokeo ya mwisho. Wakati wa kufanya mahesabu, unahitaji kuandika sehemu na denominator ya 100 badala ya nambari nzima na ishara hii.
Unahitaji kuweza kubadilisha nambari kamili na ikoni iliyoonyeshwa na sehemu na denominator ya 100:
Kinyume chake, unahitaji kuzoea kuandika nambari kamili na ishara iliyoonyeshwa badala ya sehemu iliyo na dhehebu la 100:
7. Kupata asilimia ya nambari fulani.
Jukumu la 1. Shule ilipokea mita za ujazo 200. m ya kuni, na kuni za birch zinachukua 30%. Je! kulikuwa na kuni ngapi za birch?
Maana ya shida hii ni kwamba kuni za birch ziliunda sehemu tu ya kuni ambazo zilipelekwa shuleni, na sehemu hii imeonyeshwa katika sehemu 30/100. Hii ina maana kwamba tuna kazi ya kutafuta sehemu ya nambari. Ili kuisuluhisha, lazima tuzidishe 200 kwa 30/100 (matatizo ya kupata sehemu ya nambari hutatuliwa kwa kuzidisha nambari kwa sehemu.).
Hii ina maana kwamba 30% ya 200 ni sawa na 60.
Sehemu ya 30/100 iliyokutana katika tatizo hili inaweza kupunguzwa kwa 10. Itawezekana kufanya upunguzaji huu tangu mwanzo; suluhisho la tatizo lisingebadilika.
Jukumu la 2. Kulikuwa na watoto 300 wa rika mbalimbali katika kambi hiyo. Watoto wenye umri wa miaka 11 ni 21%, watoto wenye umri wa miaka 12 ni 61% na hatimaye watoto wa miaka 13 ni 18%. Je! ni watoto wangapi wa kila rika walikuwepo kambini?
Katika shida hii unahitaji kufanya mahesabu matatu, i.e. kupata idadi ya watoto wa miaka 11, kisha miaka 12 na mwishowe miaka 13.
Hii inamaanisha kuwa hapa utahitaji kupata sehemu ya nambari mara tatu. Hebu tufanye:
1) Kulikuwa na watoto wangapi wenye umri wa miaka 11?
2) Kulikuwa na watoto wangapi wenye umri wa miaka 12?
3) Kulikuwa na watoto wangapi wenye umri wa miaka 13?
Baada ya kutatua tatizo, ni muhimu kuongeza nambari zilizopatikana; jumla yao inapaswa kuwa 300:
63 + 183 + 54 = 300
Ikumbukwe pia kuwa jumla ya asilimia iliyotolewa katika taarifa ya tatizo ni 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Hii inapendekeza kwamba jumla ya nambari watoto katika kambi walichukuliwa kama 100%.
3 a d a h a 3. Mfanyakazi alipokea rubles 1,200 kwa mwezi. Kati ya hizo, alitumia 65% kwa chakula, 6% kwa vyumba na joto, 4% kwa gesi, umeme na redio, 10% kwa mahitaji ya kitamaduni na 15% kuokolewa. Ni pesa ngapi zilitumika kwa mahitaji yaliyoonyeshwa kwenye shida?
Ili kutatua tatizo hili unahitaji kupata sehemu ya 1,200 mara 5. Hebu tufanye hivi.
1) Ni pesa ngapi zilitumika kununua chakula? Shida inasema kwamba gharama hii ni 65% ya mapato yote, i.e. 65/100 ya nambari 1,200. Wacha tufanye hesabu:
2) Ulilipa pesa ngapi kwa ghorofa yenye joto? Kuzingatia sawa na ile iliyotangulia, tunafika kwenye hesabu ifuatayo:
3) Ulilipa pesa ngapi kwa gesi, umeme na redio?
4) Kiasi gani cha fedha kilitumika kwa mahitaji ya kitamaduni?
5) Je, mfanyakazi aliokoa pesa ngapi?
Ili kuangalia, ni muhimu kujumlisha nambari zinazopatikana katika maswali haya 5. Kiasi kinapaswa kuwa rubles 1,200. Mapato yote yanachukuliwa kama 100%, ambayo ni rahisi kuangalia kwa kujumlisha nambari za asilimia zilizotolewa katika taarifa ya tatizo.
Tulitatua shida tatu. Licha ya ukweli kwamba matatizo haya yalishughulikiwa na mambo tofauti (utoaji wa kuni kwa shule, idadi ya watoto wa umri tofauti, gharama za mfanyakazi), yalitatuliwa kwa njia ile ile. Hii ilitokea kwa sababu katika matatizo yote ilikuwa ni lazima kupata asilimia kadhaa ya idadi iliyotolewa.
§ 90. Mgawanyiko wa sehemu.
Tunaposoma mgawanyiko wa sehemu, tutazingatia maswali yafuatayo:
1. Gawanya nambari kamili kwa nambari kamili.
2. Kugawanya sehemu kwa nambari nzima
3. Kugawanya nambari nzima kwa sehemu.
4. Kugawanya sehemu kwa sehemu.
5. Mgawanyiko wa namba mchanganyiko.
6. Kupata nambari kutoka kwa sehemu yake iliyotolewa.
7. Kupata nambari kwa asilimia yake.
Hebu tuzingatie kwa mfuatano.
1. Gawanya nambari kamili kwa nambari kamili.
Kama ilivyoonyeshwa katika idara ya nambari, mgawanyiko ni hatua ambayo inajumuisha ukweli kwamba, kwa kuzingatia bidhaa ya mambo mawili (gawio) na moja ya mambo haya (kigawanyiko), sababu nyingine hupatikana.
Tuliangalia kugawanya nambari kamili kwa nambari kamili katika sehemu ya nambari kamili. Tulikumbana na visa viwili vya mgawanyiko huko: mgawanyiko bila salio, au "kabisa" (150: 10 = 15), na mgawanyiko na salio (100: 9 = 11 na 1 iliyobaki). Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba katika uwanja wa nambari kamili, mgawanyiko halisi hauwezekani kila wakati, kwa sababu mgao sio kila wakati bidhaa ya mgawanyiko na nambari kamili. Baada ya kuanzisha kuzidisha kwa sehemu, tunaweza kuzingatia kesi yoyote ya kugawanya nambari kamili (mgawanyiko kwa sifuri pekee haujajumuishwa).
Kwa mfano, kugawanya 7 na 12 kunamaanisha kupata nambari ambayo bidhaa yake kwa 12 itakuwa sawa na 7. Nambari kama hiyo ni sehemu 7/12 kwa sababu 7/12 12 = 7. Mfano mwingine: 14: 25 = 14/25, kwa sababu 14/25 25 = 14.
Kwa hivyo, ili kugawanya nambari nzima kwa nambari nzima, unahitaji kuunda sehemu ambayo nambari yake ni sawa na gawio na denominator ni sawa na kigawanyiko.
2. Kugawanya sehemu kwa nambari nzima.
Gawanya sehemu ya 6/7 na 3. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa mgawanyiko uliotolewa hapo juu, tuna hapa bidhaa (6/7) na moja ya mambo (3); inahitajika kupata sababu ya pili ambayo, ikizidishwa na 3, ingeipa bidhaa iliyotolewa 6/7. Kwa wazi, inapaswa kuwa ndogo mara tatu kuliko bidhaa hii. Hii ina maana kwamba kazi iliyowekwa mbele yetu ilikuwa kupunguza sehemu 6/7 kwa mara 3.
Tayari tunajua kuwa kupunguza sehemu kunaweza kufanywa ama kwa kupunguza nambari yake au kwa kuongeza dhehebu lake. Kwa hivyo unaweza kuandika:
KATIKA kwa kesi hii Nambari ya 6 inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo nambari inapaswa kupunguzwa kwa nusu.
Wacha tuchukue mfano mwingine: 5 / 8 ikigawanywa na 2. Hapa nambari 5 haigawanyiki na 2, ambayo inamaanisha kuwa kiashiria kitalazimika kuzidishwa na nambari hii:
Kulingana na hili, sheria inaweza kufanywa: Ili kugawanya sehemu kwa nambari nzima, unahitaji kugawanya nambari ya sehemu kwa nambari hiyo yote.(ikiwezekana), ukiacha dhehebu sawa, au zidisha dhehebu la sehemu kwa nambari hii, ukiacha nambari sawa.
3. Kugawanya nambari nzima kwa sehemu.
Hebu iwe ni muhimu kugawanya 5 kwa 1/2, yaani, kupata nambari ambayo, baada ya kuzidisha kwa 1/2, itatoa bidhaa 5. Kwa wazi, nambari hii lazima iwe kubwa kuliko 5, kwa kuwa 1/2 ni sehemu sahihi. , na wakati wa kuzidisha nambari bidhaa ya sehemu inayofaa lazima iwe chini ya bidhaa inayozidishwa. Ili kufanya hili wazi zaidi, hebu tuandike matendo yetu kama ifuatavyo: 5: 1 / 2 = X , ambayo inamaanisha x 1 / 2 = 5.
Lazima tupate nambari kama hiyo X , ambayo, ikizidishwa na 1/2, ingetoa 5. Kwa kuwa kuzidisha nambari fulani kwa 1/2 kunamaanisha kupata 1/2 ya nambari hii, basi, kwa hiyo, 1/2. tarehe isiyojulikana X ni sawa na 5, na nambari nzima X mara mbili zaidi, yaani 5 2 = 10.
Kwa hivyo 5: 1/2 = 5 2 = 10
Hebu tuangalie: 
Hebu tuangalie mfano mwingine. Wacha tuseme unataka kugawanya 6 kwa 2/3. Hebu tujaribu kwanza kupata matokeo yaliyohitajika kwa kutumia kuchora (Mchoro 19).
Mtini.19
Wacha tuchore sehemu ya AB sawa na vitengo 6, na tugawanye kila kitengo katika sehemu 3 sawa. Katika kila kitengo, theluthi tatu (3/3) ya sehemu nzima ya AB ni kubwa mara 6, i.e. k. 18/3. Kutumia mabano madogo, tunaunganisha sehemu 18 zinazosababisha 2; Kutakuwa na sehemu 9 tu. Hii inamaanisha kuwa sehemu 2/3 iko katika vitengo 6 mara 9, au, kwa maneno mengine, sehemu 2/3 ni mara 9 chini ya vitengo 6 nzima. Kwa hivyo,
Jinsi ya kupata matokeo haya bila kuchora kwa kutumia mahesabu peke yake? Wacha tufikirie kama hii: tunahitaji kugawanya 6 na 2/3, i.e. tunahitaji kujibu swali ni mara ngapi 2/3 iko katika 6. Hebu tujue kwanza: ni mara ngapi 1/3 iko katika 6? Katika kitengo kizima kuna theluthi 3, na katika vitengo 6 kuna mara 6 zaidi, yaani theluthi 18; ili kupata nambari hii tunapaswa kuzidisha 6 kwa 3. Hii ina maana kwamba 1/3 iko katika vitengo vya b mara 18, na 2/3 iko katika vitengo vya b sio mara 18, lakini nusu mara nyingi, yaani 18: 2 = 9. Kwa hivyo , wakati wa kugawanya 6 kwa 2/3 tulifanya yafuatayo:
Kuanzia hapa tunapata sheria ya kugawanya nambari nzima kwa sehemu. Ili kugawanya nambari nzima kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari hii yote kwa dhehebu la sehemu uliyopewa na, ukifanya bidhaa hii kuwa nambari, ugawanye na nambari ya sehemu uliyopewa.
Wacha tuandike sheria kwa kutumia herufi:
Ili kufanya sheria hii iwe wazi kabisa, ikumbukwe kwamba sehemu inaweza kuzingatiwa kama mgawo. Kwa hivyo, ni muhimu kulinganisha sheria iliyopatikana na sheria ya kugawa nambari na mgawo, ambayo iliwekwa katika § 38. Tafadhali kumbuka kuwa fomula sawa ilipatikana hapo.
Wakati wa kugawanya, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:
4. Kugawanya sehemu kwa sehemu.
Wacha tuseme tunahitaji kugawanya 3/4 na 3/8. Nambari inayotokana na mgawanyiko itamaanisha nini? Itajibu swali ni mara ngapi sehemu ya 3/8 iko kwenye sehemu ya 3/4. Ili kuelewa suala hili, hebu tufanye kuchora (Mchoro 20).
Wacha tuchukue sehemu ya AB, tuichukue kama moja, tugawanye katika sehemu 4 sawa na alama sehemu 3 kama hizo. Sehemu ya AC itakuwa sawa na 3/4 ya sehemu ya AB. Wacha sasa tugawanye kila moja ya sehemu nne za asili kwa nusu, kisha sehemu ya AB itagawanywa katika sehemu 8 sawa na kila sehemu kama hiyo itakuwa sawa na 1/8 ya sehemu ya AB. Hebu tuunganishe sehemu 3 kama hizo na arcs, basi kila moja ya sehemu AD na DC itakuwa sawa na 3/8 ya sehemu ya AB. Mchoro unaonyesha kuwa sehemu sawa na 3/8 iko katika sehemu sawa na 3/4 haswa mara 2; Hii inamaanisha kuwa matokeo ya mgawanyiko yanaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Hebu tuangalie mfano mwingine. Wacha tuseme tunahitaji kugawanya 15/16 na 3/32:
Tunaweza kusababu kama hii: tunahitaji kupata nambari ambayo, baada ya kuzidisha na 3/32, itatoa bidhaa sawa na 15/16. Wacha tuandike mahesabu kama haya:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nambari isiyojulikana X ni 15/16
1/32 ya nambari isiyojulikana X ni,
Nambari 32/32 X make up.
Kwa hivyo,
Kwa hivyo, ili kugawanya sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari ya sehemu ya kwanza na dhehebu ya pili, na kuzidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na nambari ya pili, na kufanya bidhaa ya kwanza kuwa nambari. na ya pili denominator.
Wacha tuandike sheria kwa kutumia herufi:
Wakati wa kugawanya, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:
5. Mgawanyiko wa namba mchanganyiko.
Wakati wa kugawanya nambari zilizochanganywa, lazima kwanza zibadilishwe kuwa sehemu zisizofaa, na kisha sehemu zinazosababishwa lazima zigawanywe kulingana na sheria za kugawa sehemu. Hebu tuangalie mfano:
Wacha tubadilishe nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa:
Sasa hebu tugawanye:
Kwa hivyo, kugawanya nambari zilizochanganywa, unahitaji kuzibadilisha kuwa sehemu zisizofaa na kisha ugawanye kwa kutumia sheria ya kugawanya sehemu.
6. Kupata nambari kutoka kwa sehemu yake iliyotolewa.
Miongoni mwa matatizo mbalimbali ya sehemu, wakati mwingine kuna wale ambao thamani ya sehemu fulani ya nambari isiyojulikana hutolewa na unahitaji kupata nambari hii. Aina hii ya shida itakuwa kinyume cha shida ya kupata sehemu ya nambari fulani; kuna nambari ilitolewa na ilitakiwa kupata sehemu fulani ya nambari hii, hapa sehemu ya nambari ilitolewa na ilihitajika kupata nambari hii yenyewe. Wazo hili litakuwa wazi zaidi ikiwa tutageuka kutatua aina hii ya shida.
Jukumu la 1. Siku ya kwanza, glaziers ziliangazia madirisha 50, ambayo ni 1/3 ya madirisha yote ya nyumba iliyojengwa. Je, kuna madirisha mangapi katika nyumba hii?
Suluhisho. Tatizo linasema kuwa madirisha 50 ya glazed hufanya 1/3 ya madirisha yote ya nyumba, ambayo ina maana kuna madirisha mara 3 zaidi kwa jumla, i.e.
Nyumba hiyo ilikuwa na madirisha 150.
Jukumu la 2. Duka hilo liliuza kilo 1,500 za unga, ambayo ni 3/8 ya jumla ya unga ambao duka lilikuwa nao. Ugavi wa kwanza wa unga wa duka ulikuwa nini?
Suluhisho. Kutokana na hali ya tatizo ni wazi kwamba kilo 1,500 za unga unaouzwa ni 3/8 ya jumla ya hisa; Hii inamaanisha kuwa 1/8 ya hifadhi hii itakuwa chini mara 3, i.e. kuhesabu unahitaji kupunguza 1500 kwa mara 3:
1,500: 3 = 500 (hii ni 1/8 ya hifadhi).
Kwa wazi, usambazaji wote utakuwa mkubwa mara 8. Kwa hivyo,
500 8 = 4,000 (kg).
Hifadhi ya awali ya unga katika duka ilikuwa kilo 4,000.
Kwa kuzingatia shida hii, sheria ifuatayo inaweza kupatikana.
Ili kupata nambari kutoka kwa thamani fulani ya sehemu yake, inatosha kugawanya thamani hii na nambari ya sehemu na kuzidisha matokeo na denominator ya sehemu.
Tulitatua shida mbili za kupata nambari kutokana na sehemu yake. Shida kama hizo, kama inavyoonekana wazi kutoka kwa ile ya mwisho, hutatuliwa na vitendo viwili: mgawanyiko (wakati sehemu moja inapatikana) na kuzidisha (wakati nambari nzima inapatikana).
Walakini, baada ya kujifunza mgawanyiko wa sehemu, shida zilizo hapo juu zinaweza kutatuliwa kwa hatua moja, ambayo ni: mgawanyiko kwa sehemu.
Kwa mfano, kazi ya mwisho inaweza kutatuliwa kwa hatua moja kama hii:
Katika siku zijazo, tutasuluhisha shida za kupata nambari kutoka kwa sehemu yake na hatua moja - mgawanyiko.
7. Kupata nambari kwa asilimia yake.
Katika matatizo haya utahitaji kupata namba inayojua asilimia chache ya nambari hiyo.
Jukumu la 1. Mara ya kwanza mwaka wa sasa Nilipokea rubles 60 kutoka kwa benki ya akiba. mapato kutoka kwa kiasi nilichoweka akiba mwaka mmoja uliopita. Je, nimeweka pesa ngapi kwenye benki ya akiba? (Madawati ya pesa huwapa wenye amana faida ya 2% kwa mwaka.)
Suala la tatizo ni kwamba niliweka kiasi fulani cha fedha kwenye benki ya akiba na kukaa huko kwa mwaka mmoja. Baada ya mwaka mmoja, nilipokea rubles 60 kutoka kwake. mapato, ambayo ni 2/100 ya pesa nilizoweka. Nimeweka pesa ngapi?
Kwa hivyo, kujua sehemu ya pesa hii, iliyoonyeshwa kwa njia mbili (kwa rubles na sehemu), lazima tupate jumla, ambayo bado haijulikani, kiasi. Hili ni shida ya kawaida ya kupata nambari kutokana na sehemu yake. Shida zifuatazo zinatatuliwa kwa mgawanyiko:
Hii ina maana kwamba rubles 3,000 ziliwekwa katika benki ya akiba.
Jukumu la 2. Wavuvi walitimiza mpango wa kila mwezi kwa 64% katika wiki mbili, wakivuna tani 512 za samaki. Mpango wao ulikuwa nini?
Kutokana na hali ya tatizo inajulikana kuwa wavuvi walikamilisha sehemu ya mpango huo. Sehemu hii ni sawa na tani 512, ambayo ni 64% ya mpango. Hatujui ni tani ngapi za samaki zinahitajika kutayarishwa kulingana na mpango huo. Kupata nambari hii itakuwa suluhisho la shida.
Shida kama hizo hutatuliwa kwa mgawanyiko:
Hii ina maana kuwa kulingana na mpango huo, tani 800 za samaki zinahitajika kutayarishwa.
Jukumu la 3. Treni ilitoka Riga kwenda Moscow. Alipopita kilomita 276, mmoja wa abiria alimuuliza kondakta aliyepita kiasi cha safari ambayo tayari walikuwa wamesafiri. Kondakta alijibu hivi: “Tayari tumechukua asilimia 30 ya safari nzima.” Ni umbali gani kutoka Riga hadi Moscow?
Kutoka kwa hali ya shida ni wazi kuwa 30% ya njia kutoka Riga hadi Moscow ni 276 km. Tunahitaji kupata umbali mzima kati ya miji hii, i.e., kwa sehemu hii, pata nzima:
§ 91. Nambari za kubadilishana. Kubadilisha mgawanyiko na kuzidisha.
Hebu tuchukue sehemu ya 2/3 na kuchukua nafasi ya nambari badala ya denominator, tunapata 3/2. Tulipata kinyume cha sehemu hii.
Ili kupata sehemu ambayo ni kinyume cha sehemu fulani, unahitaji kuweka nambari yake badala ya denominator, na denominator badala ya nambari. Kwa njia hii tunaweza kupata usawa wa sehemu yoyote. Kwa mfano:
3/4, kinyume 4/3; 5/6, kinyume 6/5
Sehemu mbili ambazo zina mali ambayo nambari ya kwanza ni denominator ya pili, na denominator ya kwanza ni nambari ya pili, huitwa. kinyume.
Sasa hebu tufikirie juu ya sehemu gani itakuwa ya 1/2. Ni wazi, itakuwa 2/1, au 2 tu. Kwa kutafuta sehemu inverse ya ile iliyotolewa, tulipata nambari kamili. Na kesi hii haijatengwa; Badala yake, kwa sehemu zote zilizo na nambari ya 1 (moja), nakala zitakuwa nambari kamili, kwa mfano:
1/3, kinyume cha 3; 1/5, kinyume 5
Kwa kuwa katika kupata sehemu za kuheshimiana pia tulikutana na nambari kamili, katika kile kinachofuata hatutazungumza juu ya sehemu zinazofanana, lakini juu ya nambari za kubadilishana X.
Wacha tujue jinsi ya kuandika inverse ya nambari kamili. Kwa sehemu, hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi: unahitaji kuweka denominator badala ya nambari. Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kupata inverse ya integer, kwa kuwa integer yoyote inaweza kuwa na denominator ya 1. Hii ina maana kwamba inverse ya 7 itakuwa 1/7, kwa sababu 7 = 7/1; kwa nambari 10 inverse itakuwa 1/10, kwani 10 = 10/1
Wazo hili linaweza kuonyeshwa kwa njia tofauti: mrejesho wa nambari fulani hupatikana kwa kugawanya moja kwa nambari fulani. Taarifa hii ni kweli sio tu kwa nambari nzima, lakini pia kwa sehemu. Kwa kweli, ikiwa tunahitaji kuandika kinyume cha sehemu ya 5/9, basi tunaweza kuchukua 1 na kuigawanya kwa 5/9, i.e.
Sasa hebu tuonyeshe jambo moja mali nambari za kubadilishana, ambazo zitakuwa na manufaa kwetu: bidhaa ya nambari za kubadilishana ni sawa na moja. Hakika:
Kutumia mali hii, tunaweza kupata nambari za kubadilishana kwa njia ifuatayo. Wacha tuseme tunahitaji kupata ubadilishaji wa 8.
Hebu tuashirie kwa barua X , kisha 8 X = 1, kwa hivyo X = 1/8. Wacha tutafute nambari nyingine ambayo ni kinyume cha 7/12 na tuiashiria kwa herufi X , kisha 7/12 X = 1, kwa hivyo X = 1: 7/12 au X = 12 / 7 .
Tulianzisha hapa dhana ya nambari za kubadilishana ili kuongeza kidogo habari kuhusu kugawanya sehemu.
Tunapogawanya nambari 6 na 3/5, tunafanya yafuatayo:
Tafadhali lipa Tahadhari maalum kwa usemi na ulinganishe na uliyopewa: .
Ikiwa tunachukua usemi kando, bila kuunganishwa na uliopita, basi haiwezekani kutatua swali la wapi lilitoka: kutoka kwa kugawanya 6 na 3/5 au kutoka kwa kuzidisha 6 kwa 5/3. Katika visa vyote viwili kitu kimoja kinatokea. Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba kugawanya nambari moja na nyingine kunaweza kubadilishwa na kuzidisha mgao kwa kinyume cha kigawanyiko.
Mifano tunayotoa hapa chini inathibitisha kikamilifu hitimisho hili.
Kuzidisha na kugawanya sehemu.
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Operesheni hii ni nzuri zaidi kuliko kuongeza-kutoa! Kwa sababu ni rahisi zaidi. Kama ukumbusho, ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari (hii itakuwa nambari ya matokeo) na dhehebu (hii itakuwa denominator). Hiyo ni:
Kwa mfano:
Kila kitu ni rahisi sana. Na tafadhali usitafute dhehebu la kawaida! Hakuna haja yake hapa ...
Ili kugawanya sehemu kwa sehemu, unahitaji kubadilisha pili(hii ni muhimu!) sehemu na kuzizidisha, i.e.:
Kwa mfano:
Ukikutana na kuzidisha au kugawanya kwa nambari kamili na sehemu, ni sawa. Kama ilivyo kwa kuongeza, tunatengeneza sehemu kutoka kwa nambari nzima na moja kwenye dhehebu - na endelea! Kwa mfano:
Katika shule ya sekondari, mara nyingi unapaswa kukabiliana na sehemu za hadithi tatu (au hata hadithi nne!). Kwa mfano:
Ninawezaje kufanya sehemu hii ionekane nzuri? Ndiyo, rahisi sana! Tumia mgawanyiko wa nukta mbili:
Lakini usisahau kuhusu utaratibu wa mgawanyiko! Tofauti na kuzidisha, hii ni muhimu sana hapa! Bila shaka, hatutachanganya 4:2 au 2:4. Lakini ni rahisi kufanya makosa katika sehemu ya hadithi tatu. Tafadhali kumbuka kwa mfano:
Katika kesi ya kwanza (maneno upande wa kushoto):
Katika pili (maneno upande wa kulia):
Je, unahisi tofauti? 4 na 9!
Ni nini huamua utaratibu wa mgawanyiko? Ama kwa mabano, au (kama hapa) yenye urefu wa mistari mlalo. Kuza jicho lako. Na ikiwa hakuna mabano au dashi, kama:
kisha gawanya na kuzidisha kwa mpangilio, kutoka kushoto kwenda kulia!
Na pia rahisi sana na mbinu muhimu. Kwa vitendo na digrii, itakuwa muhimu sana kwako! Wacha tugawanye moja kwa sehemu yoyote, kwa mfano, na 13/15:
Risasi imegeuka! Na hii hufanyika kila wakati. Wakati wa kugawanya 1 kwa sehemu yoyote, matokeo ni sehemu sawa, tu juu chini.
Hiyo ni kwa ajili ya shughuli na sehemu. Jambo ni rahisi sana, lakini inatoa zaidi ya makosa ya kutosha. Kumbuka ushauri wa vitendo, na watakuwa wachache wao (makosa)!
Vidokezo vya vitendo:
1. Jambo muhimu zaidi wakati wa kufanya kazi na maneno ya sehemu ni usahihi na usikivu! Haya si maneno ya jumla, si matakwa mazuri! Hii hitaji kubwa! Fanya mahesabu yote kwenye Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa kama kazi kamili, yenye umakini na wazi. Ni bora kuandika mistari miwili ya ziada katika rasimu yako kuliko kufanya fujo wakati wa kufanya mahesabu ya kiakili.
2. Katika mifano na aina tofauti sehemu - nenda kwa sehemu za kawaida.
3. Tunapunguza sehemu zote hadi zinakoma.
4. Ghorofa nyingi maneno ya sehemu punguza kwa zile za kawaida kwa kutumia mgawanyiko kupitia alama mbili (angalia mpangilio wa mgawanyiko!).
5. Gawanya kitengo kwa sehemu katika kichwa chako, ukigeuza sehemu hiyo juu.
Hapa kuna kazi ambazo ni lazima ukamilishe. Majibu yanatolewa baada ya kazi zote. Tumia nyenzo kwenye mada hii na vidokezo vya vitendo. Kadiria ni mifano ngapi uliweza kutatua kwa usahihi. Mara ya kwanza! Bila calculator! Na fanya hitimisho sahihi ...
Kumbuka - jibu sahihi ni kupokea kutoka kwa pili (hasa ya tatu) wakati hauhesabu! Hayo ndiyo maisha magumu.
Kwa hiyo, kutatua katika hali ya mtihani ! Hii tayari ni maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa njia. Tunatatua mfano, angalia, suluhisha inayofuata. Tuliamua kila kitu - tuliangalia tena kutoka kwanza hadi mwisho. Lakini tu Kisha angalia majibu.
Hesabu:
Je, umeamua?
Tunatafuta majibu yanayolingana na yako. Niliandika kwa makusudi kwa kupotosha, mbali na majaribu, kwa kusema ... Hapa ni, majibu, yaliyoandikwa na semicolons.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sasa tunatoa hitimisho. Ikiwa kila kitu kilifanyika, ninafurahi kwako! Mahesabu ya kimsingi na sehemu sio shida yako! Unaweza kufanya mambo mazito zaidi. Kama sivyo...
Kwa hivyo una moja ya shida mbili. Au zote mbili mara moja.) Ukosefu wa maarifa na (au) kutojali. Lakini hii inayoweza kutengenezea Matatizo.
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Kuzidisha nambari nzima kwa sehemu sio kazi ngumu. Lakini kuna hila ambazo labda umeelewa shuleni, lakini umesahau.
Jinsi ya kuzidisha nambari nzima kwa sehemu - maneno machache
Ikiwa unakumbuka nambari na denominator ni nini na jinsi sehemu inayofaa inatofautiana na sehemu isiyofaa, ruka aya hii. Ni kwa wale ambao wamesahau kabisa nadharia.
Nambari ni sehemu ya juu ya sehemu - kile tunachogawanya. Denominator iko chini. Hivi ndivyo tunagawanya.
Sehemu sahihi ni ile ambayo nambari yake ni ndogo kuliko denominator yake. Sehemu isiyofaa ni ile ambayo nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator yake.
Jinsi ya kuzidisha nambari nzima kwa sehemu
Sheria ya kuzidisha nambari kwa sehemu ni rahisi sana - tunazidisha nambari kwa nambari, lakini usiguse denominator. Kwa mfano: mbili kuzidishwa na moja ya tano - tunapata mbili ya tano. Nne ikizidishwa na tatu ya kumi na sita ni sawa na kumi na mbili ya kumi na sita.
Kupunguza
Katika mfano wa pili, sehemu inayosababisha inaweza kupunguzwa.
Ina maana gani? Tafadhali kumbuka kuwa nambari na denominator ya sehemu hii zinagawanywa kwa nne. Gawanya nambari zote mbili kwa mgawanyiko wa kawaida na inaitwa kupunguza sehemu. Tunapata robo tatu.
Sehemu zisizofaa
Lakini tuseme tunazidisha nne kwa mbili ya tano. Ikawa ni ya nane kwa tano. Hii ni sehemu isiyofaa.
Hakika anahitaji kuletwa aina sahihi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchagua sehemu nzima kutoka kwake.
Hapa unahitaji kutumia mgawanyiko na salio. Tunapata moja na tatu kama salio.
Moja nzima na tatu ya tano ni sehemu yetu sahihi.
Kuleta thelathini na tano ya nane kwenye umbo sahihi ni vigumu zaidi.Nambari iliyo karibu zaidi na thelathini na saba ambayo inagawanywa na nane ni thelathini na mbili. Tunapogawanyika tunapata nne. Toa thelathini na mbili kutoka thelathini na tano na tunapata tatu. Matokeo: nne nzima na tatu ya nane.
Usawa wa nambari na denominator. Na hapa kila kitu ni rahisi sana na nzuri. Ikiwa nambari na denominator ni sawa, matokeo ni moja tu.
Operesheni nyingine ambayo inaweza kufanywa na sehemu za kawaida ni kuzidisha. Tutajaribu kuelezea sheria zake za msingi wakati wa kutatua shida, onyesha jinsi sehemu ya kawaida inavyozidishwa na nambari ya asili na jinsi ya kuzidisha tatu kwa usahihi. sehemu za kawaida na zaidi.
Hebu kwanza tuandike kanuni ya msingi:
Ufafanuzi 1
Ikiwa tunazidisha sehemu moja ya kawaida, basi nambari ya sehemu inayosababisha itakuwa sawa na bidhaa ya nambari za sehemu za asili, na denominator itakuwa sawa na bidhaa ya madhehebu yao. Katika hali halisi, kwa sehemu mbili a / b na c / d, hii inaweza kuonyeshwa kama b · c d = a · c b · d.
Hebu tuangalie mfano wa jinsi ya kutumia sheria hii kwa usahihi. Wacha tuseme tuna mraba ambao upande wake ni sawa na kitengo kimoja cha nambari. Kisha eneo la takwimu litakuwa mraba 1. kitengo. Ikiwa tunagawanya mraba katika mistatili sawa na pande sawa na 1 4 na 1 8 vitengo vya nambari, tunapata kwamba sasa ina rectangles 32 (kwa sababu 8 4 = 32). Ipasavyo, eneo la kila mmoja wao litakuwa sawa na 1 32 ya eneo la takwimu nzima, i.e. 1 32 sq. vitengo.
Tuna kipande cha kivuli na pande sawa na vitengo 5 8 vya nambari na vitengo 3 4 vya nambari. Ipasavyo, kuhesabu eneo lake, unahitaji kuzidisha sehemu ya kwanza na ya pili. Itakuwa sawa na 5 8 · 3 4 sq. vitengo. Lakini tunaweza kuhesabu ni mistatili ngapi imejumuishwa kwenye kipande: kuna 15 kati yao, ambayo inamaanisha. jumla ya eneo ni 15 32 vitengo vya mraba.
Kwa kuwa 5 3 = 15 na 8 4 = 32, tunaweza kuandika usawa ufuatao:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Inathibitisha sheria tuliyounda ya kuzidisha sehemu za kawaida, ambazo zinaonyeshwa kama b · c d = a · c b · d. Inafanya kazi sawa kwa sehemu zote mbili sahihi na zisizofaa; Inaweza kutumika kuzidisha visehemu vilivyo na madhehebu tofauti na yanayofanana.
Wacha tuangalie suluhisho la shida kadhaa zinazojumuisha kuzidisha kwa sehemu za kawaida.
Mfano 1
Zidisha 7 11 kwa 9 8.
Suluhisho
Kwanza, hebu tuhesabu bidhaa ya nambari za sehemu zilizoonyeshwa kwa kuzidisha 7 hadi 9. Tuna 63. Kisha tunahesabu bidhaa ya denominators na kupata: 11 · 8 = 88. Wacha tutunge nambari mbili na jibu ni: 63 88.
Suluhisho lote linaweza kuandikwa kama hii:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Jibu: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ikiwa tunapata sehemu inayoweza kupunguzwa katika jibu letu, tunahitaji kukamilisha hesabu na kufanya upunguzaji wake. Ikiwa tunapata sehemu isiyofaa, tunahitaji kutenganisha sehemu nzima kutoka kwayo.
Mfano 2
Kuhesabu bidhaa ya sehemu 4 15 na 55 6 .
Suluhisho
Kulingana na sheria iliyosomwa hapo juu, tunahitaji kuzidisha nambari kwa nambari, na dhehebu kwa dhehebu. Rekodi ya suluhisho itaonekana kama hii:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Tulipata sehemu inayoweza kupunguzwa, i.e. moja ambayo inaweza kugawanywa na 10.
Wacha tupunguze sehemu: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Kama matokeo, tulipata sehemu isiyofaa, ambayo tunachagua sehemu nzima na kupata nambari iliyochanganywa: 22 9 = 2 4 9.
Jibu: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Kwa urahisi wa kuhesabu, tunaweza pia kupunguza sehemu za awali kabla ya kufanya operesheni ya kuzidisha, ambayo tunahitaji kupunguza sehemu kwa fomu a · c b · d. Wacha tutengane maadili ya anuwai kuwa sababu rahisi na tupunguze zile zile.
Hebu tueleze hii inaonekanaje kwa kutumia data kutoka kwa kazi maalum.
Mfano 3
Kuhesabu bidhaa 4 15 55 6.
Suluhisho
Hebu tuandike mahesabu kulingana na kanuni ya kuzidisha. Tutapata:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Tangu 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 na 6 = 2 3, kisha 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Jibu: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Usemi wa nambari ambao sehemu za kawaida huzidishwa ina mali ya kubadilisha, ambayo ni, ikiwa ni lazima, tunaweza kubadilisha mpangilio wa mambo:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Jinsi ya kuzidisha sehemu na nambari ya asili
Hebu tuandike sheria ya msingi mara moja, na kisha jaribu kuelezea kwa vitendo.
Ufafanuzi 2
Ili kuzidisha sehemu ya kawaida kwa nambari asilia, unahitaji kuzidisha nambari ya sehemu hiyo kwa nambari hiyo. Katika kesi hii, denominator ya sehemu ya mwisho itakuwa sawa na denominator ya sehemu ya awali ya kawaida. Kuzidisha kwa sehemu fulani a b kwa nambari asilia n kunaweza kuandikwa kama fomula a b · n = a · n b.
Ni rahisi kuelewa fomula hii ikiwa unakumbuka kuwa nambari yoyote ya asili inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya kawaida na denominator. sawa na moja, hiyo ni:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Wacha tueleze wazo letu kwa mifano maalum.
Mfano 4
Hesabu bidhaa 2 27 mara 5.
Suluhisho
Kama matokeo ya kuzidisha nambari ya sehemu ya asili kwa sababu ya pili, tunapata 10. Kwa mujibu wa sheria iliyoelezwa hapo juu, tutapata 10 27 kama matokeo. Suluhisho lote limetolewa katika chapisho hili:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Jibu: 2 27 5 = 10 27
Tunapozidisha nambari asilia kwa sehemu, mara nyingi tunapaswa kufupisha matokeo au kuiwakilisha kama nambari iliyochanganywa.
Mfano 5
Masharti: hesabu bidhaa 8 kwa 5 12.
Suluhisho
Kulingana na sheria hapo juu, tunazidisha nambari asilia na nambari. Kama matokeo, tunapata kwamba 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Sehemu ya mwisho ina ishara za mgawanyiko na 2, kwa hivyo tunahitaji kuipunguza:
LCM (40, 12) = 4, hivyo 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Sasa tunachotakiwa kufanya ni kuchagua sehemu nzima na kuandika jibu lililo tayari: 10 3 = 3 1 3.
Katika ingizo hili unaweza kuona suluhisho zima: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Tunaweza pia kupunguza sehemu kwa kuweka nambari na denominator katika mambo makuu, na matokeo yatakuwa sawa kabisa.
Jibu: 5 12 8 = 3 1 3.
Usemi wa nambari ambayo nambari asilia inazidishwa na sehemu pia ina mali ya uhamishaji, ambayo ni, mpangilio wa mambo hauathiri matokeo:
a b · n = n · a b = a · n b
Jinsi ya kuzidisha sehemu tatu au zaidi za kawaida
Tunaweza kupanua kwa hatua ya kuzidisha sehemu za kawaida mali sawa ambayo ni tabia ya kuzidisha nambari za asili. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wenyewe wa dhana hizi.
Shukrani kwa ujuzi wa mali ya kuchanganya na ya kubadilisha, unaweza kuzidisha sehemu tatu au zaidi za kawaida. Inakubalika kupanga upya vipengele kwa urahisi zaidi au kupanga mabano kwa njia ambayo inafanya iwe rahisi kuhesabu.
Wacha tuonyeshe kwa mfano jinsi hii inafanywa.
Mfano 6
Zidisha sehemu nne za kawaida 1 20, 12 5, 3 7 na 5 8.
Suluhisho: Kwanza, hebu turekodi kazi. Tunapata 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Tunahitaji kuzidisha nambari zote na dhehebu zote kwa pamoja: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 · .
Kabla hatujaanza kuzidisha, tunaweza kurahisisha mambo kidogo na kujumuisha baadhi ya nambari katika vipengele muhimu ili kupunguza zaidi. Hii itakuwa rahisi kuliko kupunguza sehemu inayosababisha ambayo tayari iko tayari.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280
Jibu: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.
Mfano 7
Zidisha nambari 5 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Suluhisho
Kwa urahisi, tunaweza kuweka sehemu 7 8 na nambari 8, na nambari 12 na sehemu 5 36, kwani vifupisho vya siku zijazo vitakuwa wazi kwetu. Kama matokeo, tutapata:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 10 3 2 3
Jibu: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Ili kuzidisha kwa usahihi sehemu kwa sehemu au sehemu kwa nambari, unahitaji kujua sheria rahisi. Sasa tutachambua sheria hizi kwa undani.
Kuzidisha sehemu ya kawaida kwa sehemu.
Ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuhesabu bidhaa ya nambari na bidhaa ya madhehebu ya sehemu hizi.
\(\bf \frac(a)(b) \nyakati \frac(c)(d) = \frac(a \mara c)(b \mara d)\\\)
Hebu tuangalie mfano:
Tunazidisha nambari ya sehemu ya kwanza na nambari ya sehemu ya pili, na pia tunazidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na denominator ya sehemu ya pili.
\(\frac(6)(7) \nyakati \frac(2)(3) = \frac(6 \mara 2)(7 \mara 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ mara 3)(7 \mara 3) = \frac(4)(7)\\\)
Sehemu \(\frac(12)(21) = \frac(4 \mara 3)(7 \mara 3) = \frac(4)(7)\\\) ilipunguzwa kwa 3.
Kuzidisha sehemu kwa nambari.
Kwanza, hebu tukumbuke sheria, nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama sehemu \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Wacha tuitumie sheria hii wakati wa kuzidisha.
\(5 \mara \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \mara \frac(4)(7) = \frac(5 \mara 4)(1 \mara 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Sehemu isiyofaa \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) imegeuzwa kuwa sehemu iliyochanganywa.
Kwa maneno mengine, Wakati wa kuzidisha nambari kwa sehemu, tunazidisha nambari na nambari na kuacha dhehebu bila kubadilika. Mfano:
\(\frac(2)(5) \mara 3 = \frac(2 \mara 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \mara c = \frac(a \mara c)(b)\\\)
Kuzidisha sehemu zilizochanganywa.
Ili kuzidisha sehemu zilizochanganywa, lazima kwanza uwasilishe kila sehemu iliyochanganywa kama sehemu isiyofaa, na kisha utumie kanuni ya kuzidisha. Tunazidisha nambari na nambari, na kuzidisha dhehebu na dhehebu.
Mfano:
\(2\frac(1)(4) \mara 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \mara \frac(23)(6) = \frac(9 \mara 23) (4 \mara 6) = \frac(3 \mara \rangi(nyekundu) (3) \mara 23)(4 \mara 2 \mara \rangi(nyekundu) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Kuzidisha kwa sehemu na nambari zinazofanana.
Sehemu \(\bf \frac(a)(b)\) ni kinyume cha sehemu \(\bf \frac(b)(a)\), zinazotolewa a≠0,b≠0.
Visehemu \(\bf \frac(a)(b)\) na \(\bf \frac(b)(a)\) vinaitwa sehemu zinazofanana. Bidhaa ya sehemu zinazofanana ni sawa na 1.
\(\bf \frac(a)(b) \nyakati \frac(b)(a) = 1 \\\)
Mfano:
\(\frac(5)(9) \nyakati \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Maswali yanayohusiana:
Jinsi ya kuzidisha sehemu kwa sehemu?
Jibu: Bidhaa ya sehemu za kawaida ni kuzidisha kwa nambari na nambari, denominator na denominator. Ili kupata bidhaa ya sehemu zilizochanganywa, unahitaji kuzibadilisha kuwa sehemu isiyofaa na kuzidisha kulingana na sheria.
Jinsi ya kuzidisha sehemu na madhehebu tofauti?
Jibu: haijalishi ikiwa ni sawa au madhehebu tofauti Kwa sehemu, kuzidisha hutokea kulingana na sheria ya kupata bidhaa ya nambari na nambari, denominator na denominator.
Jinsi ya kuzidisha sehemu zilizochanganywa?
Jibu: kwanza kabisa, unahitaji kubadilisha sehemu iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa na kisha kupata bidhaa kwa kutumia sheria za kuzidisha.
Jinsi ya kuzidisha nambari kwa sehemu?
Jibu: tunazidisha nambari na nambari, lakini tuache denominator sawa.
Mfano #1:
Kokotoa bidhaa: a) \(\frac(8)(9) \nyakati \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \mara \frac(10)(13) \)
Suluhisho:
a) \(\frac(8)(9) \nyakati \frac(7)(11) = \frac(8 \mara 7)(9 \mara 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \nyakati \frac(10)(13) = \frac(2 \mara 10)(15 \mara 13) = \frac(2 \mara 2 \mara \rangi( nyekundu) (5))(3 \mara \rangi(nyekundu) (5) \mara 13) = \frac(4)(39)\)
Mfano #2:
Kukokotoa bidhaa za nambari na sehemu: a) \(3 \mara \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \mara 11\)
Suluhisho:
a) \(3 \mara \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \mara \frac(17)(23) = \frac(3 \mara 17)(1 \mara 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \mara 11 = \frac(2)(3) \mara \frac(11)(1) = \frac(2 \mara 11)(3 \mara 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Mfano #3:
Andika uwiano wa sehemu \(\frac(1)(3)\)?
Jibu: \(\frac(3)(1) = 3\)
Mfano #4:
Kokotoa bidhaa ya sehemu mbili zinazopingana: a) \(\frac(104)(215) \nyakati \frac(215)(104)\)
Suluhisho:
a) \(\frac(104)(215) \nyakati \frac(215)(104) = 1\)
Mfano #5:
Sehemu za kubadilishana zinaweza kuwa:
a) wakati huo huo na sehemu zinazofaa;
b) wakati huo huo sehemu zisizofaa;
c) wakati huo huo nambari za asili?
Suluhisho:
a) kujibu swali la kwanza, hebu tutoe mfano. Sehemu \(\frac(2)(3)\) ni sahihi, sehemu yake inverse itakuwa sawa na \(\frac(3)(2)\) - sehemu isiyofaa. Jibu: hapana.
b) katika takriban hesabu zote za sehemu hali hii haijafikiwa, lakini kuna idadi fulani ambayo inatimiza hali ya kuwa wakati huo huo sehemu isiyofaa. Kwa mfano, sehemu isiyofaa ni \(\frac(3)(3)\), sehemu yake kinyume ni sawa na \(\frac(3)(3)\). Tunapata sehemu mbili zisizofaa. Jibu: sio kila wakati masharti fulani wakati nambari na denominator ni sawa.
c) nambari asilia ni nambari tunazotumia wakati wa kuhesabu, kwa mfano, 1, 2, 3, .... Ikiwa tutachukua nambari \(3 = \frac(3)(1)\), basi sehemu yake inverse itakuwa \(\frac(1)(3)\). Sehemu \(\frac(1)(3)\) si nambari asilia. Ikiwa tunapitia nambari zote, uwiano wa nambari daima ni sehemu, isipokuwa 1. Ikiwa tunachukua namba 1, basi sehemu yake ya kubadilishana itakuwa \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). Nambari 1 ni nambari ya asili. Jibu: zinaweza kuwa nambari za asili wakati huo huo katika kesi moja, ikiwa hii ndio nambari 1.
Mfano #6:
Fanya bidhaa ya sehemu zilizochanganywa: a) \(4 \mara 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \mara 3\frac(2)(7)\ )
Suluhisho:
a) \(4 \mara 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \mara \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \mara 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \mara \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Mfano #7:
Je, kubadilishana mbili kunaweza kuwa nambari mchanganyiko kwa wakati mmoja?
Hebu tuangalie mfano. Wacha tuchukue sehemu iliyochanganywa \(1\frac(1)(2)\), tupate sehemu yake kinyume, ili kufanya hivyo tunaibadilisha kuwa sehemu isiyofaa \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2)\) . Sehemu yake kinyume itakuwa sawa na \(\frac(2)(3)\) . Sehemu \(\frac(2)(3)\) ni sehemu inayofaa. Jibu: Sehemu mbili ambazo ni kinyume haziwezi kuchanganywa nambari kwa wakati mmoja.