Katika video hii tutachambua seti nzima ya milinganyo ya mstari ambayo hutatuliwa kwa kutumia algoriti sawa - ndiyo maana inaitwa rahisi zaidi.
Kwanza, hebu tufafanue: equation ya mstari ni nini na ni ipi inayoitwa rahisi zaidi?
Mlinganyo wa mstari ni ule ambao kuna tofauti moja tu, na kwa kiwango cha kwanza tu.
Equation rahisi zaidi inamaanisha ujenzi:
Equations zingine zote za mstari hupunguzwa kuwa rahisi zaidi kwa kutumia algorithm:
- Panua mabano, ikiwa yapo;
- Hamisha masharti yaliyo na kigezo hadi upande mmoja wa ishara sawa, na istilahi bila kigezo hadi kingine;
- Toa maneno sawa kwa kushoto na kulia kwa ishara sawa;
- Gawanya mlinganyo unaotokana na mgawo wa tofauti $x$.
Kwa kweli, algorithm hii haisaidii kila wakati. Ukweli ni kwamba wakati mwingine baada ya mifumo hii yote mgawo wa kutofautiana $x$ hugeuka kuwa sawa na sifuri. Katika kesi hii, chaguzi mbili zinawezekana:
- Mlinganyo hauna suluhu hata kidogo. Kwa mfano, kitu kama $0\cdot x=8$ kinapotokea, i.e. upande wa kushoto ni sifuri, na upande wa kulia ni nambari nyingine isipokuwa sifuri. Katika video hapa chini tutaangalia sababu kadhaa kwa nini hali hii inawezekana.
- Suluhisho ni nambari zote. Kisa pekee wakati hii inawezekana ni wakati equation imepunguzwa kwa ujenzi $0\cdot x=0$. Ni sawa kabisa kwamba bila kujali $x$ tunayobadilisha, bado itageuka kuwa "sifuri ni sawa na sifuri", i.e. usawa sahihi wa nambari.
Sasa hebu tuone jinsi hii yote inavyofanya kazi kwa kutumia mifano ya maisha halisi.
Mifano ya kutatua milinganyo
Leo tunashughulika na hesabu za mstari, na zile rahisi tu. Kwa ujumla, mlinganyo wa mstari unamaanisha usawa wowote ambao una kigezo kimoja, na huenda kwa daraja la kwanza tu.
Miundo kama hiyo hutatuliwa kwa takriban njia sawa:
- Kwanza kabisa, unahitaji kufungua mabano, ikiwa ipo (kama ilivyo kwenye yetu mfano wa mwisho);
- Kisha kuchanganya sawa
- Hatimaye, tenga kutofautiana, i.e. songa kila kitu kilichounganishwa na kibadilishaji - masharti ambayo ndani yake - kwa upande mmoja, na uhamishe kila kitu kinachobaki bila hiyo kwa upande mwingine.
Halafu, kama sheria, unahitaji kuleta sawa kwa kila upande wa usawa unaosababishwa, na baada ya hayo yote iliyobaki ni kugawanya kwa mgawo wa "x", na tutapata jibu la mwisho.
Kwa nadharia, hii inaonekana nzuri na rahisi, lakini kwa mazoezi, hata wanafunzi wa shule ya upili wenye uzoefu wanaweza kufanya makosa ya kukera katika milinganyo rahisi ya mstari. Kwa kawaida, makosa hufanywa ama wakati wa kufungua mabano au wakati wa kuhesabu "pluses" na "minuses".
Kwa kuongeza, hutokea kwamba equation ya mstari haina ufumbuzi kabisa, au kwamba suluhisho ni mstari mzima wa nambari, i.e. nambari yoyote. Tutaangalia hila hizi katika somo la leo. Lakini tutaanza, kama ulivyoelewa tayari, na sana kazi rahisi.
Mpango wa kutatua milinganyo rahisi ya mstari
Kwanza, wacha niandike tena mpango mzima wa kutatua hesabu rahisi zaidi za mstari:
- Panua mabano, ikiwa yapo.
- Tunatenganisha vigezo, i.e. Tunahamisha kila kitu kilicho na "X" kwa upande mmoja, na kila kitu bila "X" hadi nyingine.
- Tunawasilisha masharti sawa.
- Tunagawanya kila kitu kwa mgawo wa "x".
Kwa kweli, mpango huu haufanyi kazi kila wakati; kuna hila na hila ndani yake, na sasa tutazijua.
Kutatua mifano halisi ya milinganyo rahisi ya mstari
Kazi nambari 1
Hatua ya kwanza inatuhitaji tufungue mabano. Lakini hawako katika mfano huu, kwa hivyo tunaruka hatua hii. Katika hatua ya pili tunahitaji kutenganisha vigezo. Tafadhali kumbuka: tunazungumza tu juu ya masharti ya mtu binafsi. Hebu tuandike:
Tunawasilisha masharti sawa upande wa kushoto na kulia, lakini hii tayari imefanywa hapa. Kwa hivyo, tunaendelea kwa hatua ya nne: gawanya kwa mgawo:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Kwa hivyo tulipata jibu.
Kazi nambari 2
Tunaweza kuona mabano kwenye tatizo hili, kwa hivyo wacha tuyapanue:
Wote upande wa kushoto na wa kulia tunaona takriban muundo sawa, lakini hebu tufanye kulingana na algorithm, i.e. kutenganisha vigezo:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Hii inafanya kazi katika mizizi gani? Jibu: kwa yoyote. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwamba $x$ ni nambari yoyote.
Kazi nambari 3
Equation ya mstari wa tatu inavutia zaidi:
\[\kushoto(6-x \kulia)+\kushoto(12+x \kulia)-\kushoto(3-2x \kulia)=15\]
Kuna mabano kadhaa hapa, lakini hayazidishwa na chochote, hutanguliwa tu na ishara tofauti. Wacha tuyachambue:
Tunafanya hatua ya pili ambayo tayari tunaijua:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Wacha tufanye hesabu:
Tunatekeleza hatua ya mwisho- gawanya kila kitu kwa mgawo wa "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Mambo ya Kukumbuka Wakati wa Kutatua Milinganyo ya Mistari
Ikiwa tutapuuza kazi rahisi sana, ningependa kusema yafuatayo:
- Kama nilivyosema hapo juu, sio kila equation ya mstari ina suluhisho - wakati mwingine hakuna mizizi;
- Hata ikiwa kuna mizizi, kunaweza kuwa na sifuri kati yao - hakuna chochote kibaya na hilo.
Sifuri ni nambari sawa na zingine; haupaswi kuibagua kwa njia yoyote au kudhani kuwa ikiwa utapata sifuri, basi ulifanya kitu kibaya.
Kipengele kingine kinahusiana na ufunguzi wa mabano. Tafadhali kumbuka: wakati kuna "minus" mbele yao, tunaiondoa, lakini kwenye mabano tunabadilisha ishara kuwa kinyume. Na kisha tunaweza kuifungua kwa kutumia algorithms ya kawaida: tutapata kile tulichoona katika mahesabu hapo juu.
Kuelewa hili ukweli rahisi itawawezesha kuepuka kufanya makosa ya kijinga na ya kukera katika shule ya sekondari, wakati kufanya vitendo vile ni kuchukuliwa kwa urahisi.
Kutatua milinganyo changamano ya mstari
Wacha tuendelee zaidi milinganyo changamano. Sasa ujenzi utakuwa ngumu zaidi na wakati wa kufanya mabadiliko mbalimbali kazi ya quadratic itaonekana. Walakini, hatupaswi kuogopa hii, kwa sababu ikiwa, kulingana na mpango wa mwandishi, tunasuluhisha equation ya mstari, basi wakati wa mchakato wa mabadiliko monomia zote zilizo na kazi ya quadratic hakika zitaghairi.
Mfano Nambari 1
Ni wazi, hatua ya kwanza ni kufungua mabano. Wacha tufanye hivi kwa uangalifu sana:
Sasa hebu tuangalie faragha:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Kwa wazi, equation hii haina suluhu, kwa hivyo tutaandika hii katika jibu:
\[\varnothing\]
au hakuna mizizi.
Mfano Nambari 2
Tunafanya vitendo sawa. Hatua ya kwanza:
Wacha tusogeze kila kitu kwa kutofautisha kwenda kushoto, na bila hiyo - kulia:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Kwa wazi, equation hii ya mstari haina suluhu, kwa hivyo tutaiandika hivi:
\[\varnothing\],
au hakuna mizizi.
Nuances ya suluhisho
Equations zote mbili zimetatuliwa kabisa. Kwa kutumia misemo hii miwili kama mfano, tulikuwa na hakika tena kwamba hata katika milinganyo rahisi ya mstari, kila kitu kinaweza kuwa si rahisi sana: kunaweza kuwa na moja, au hakuna, au mizizi mingi sana. Kwa upande wetu, tulizingatia hesabu mbili, zote mbili hazina mizizi.
Lakini ningependa kuteka mawazo yako kwa ukweli mwingine: jinsi ya kufanya kazi na mabano na jinsi ya kuifungua ikiwa kuna ishara ya minus mbele yao. Fikiria usemi huu:
Kabla ya kufungua, unahitaji kuzidisha kila kitu kwa "X". Tafadhali kumbuka: huzidisha kila muda wa mtu binafsi. Ndani kuna maneno mawili - kwa mtiririko huo, maneno mawili na kuongezeka.
Na tu baada ya mabadiliko haya yanayoonekana kuwa ya msingi, lakini muhimu sana na hatari yamekamilika, unaweza kufungua bracket kutoka kwa mtazamo wa ukweli kwamba kuna ishara ya minus baada yake. Ndio, ndio: sasa tu, wakati mabadiliko yamekamilika, tunakumbuka kuwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa kila kitu hapa chini hubadilisha ishara tu. Wakati huo huo, mabano yenyewe hupotea na, muhimu zaidi, "minus" ya mbele pia hupotea.
Tunafanya vivyo hivyo na equation ya pili:
Sio kwa bahati kwamba mimi huzingatia ukweli huu mdogo, unaoonekana kuwa duni. Kwa sababu kutatua equations daima ni mlolongo wa mabadiliko ya msingi, ambapo kutokuwa na uwezo wa kufanya vitendo rahisi na kwa uwazi husababisha ukweli kwamba wanafunzi wa shule ya upili huja kwangu na tena kujifunza kutatua hesabu rahisi kama hizo.
Bila shaka, siku itakuja ambapo utaboresha ujuzi huu kwa uhakika wa moja kwa moja. Hautalazimika tena kufanya mabadiliko mengi kila wakati; utaandika kila kitu kwenye mstari mmoja. Lakini wakati unajifunza tu, unahitaji kuandika kila hatua tofauti.
Kutatua milinganyo changamano zaidi ya mstari
Kile tutakachosuluhisha sasa hakiwezi kuitwa kazi rahisi zaidi, lakini maana inabaki sawa.
Kazi nambari 1
\[\kushoto(7x+1 \kulia)\kushoto(3x-1 \kulia)-21((x)^(2))=3\]
Wacha tuzidishe vitu vyote katika sehemu ya kwanza:
Wacha tufanye faragha:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Wacha tukamilishe hatua ya mwisho:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Hapa kuna jibu letu la mwisho. Na, licha ya ukweli kwamba katika mchakato wa kutatua tulikuwa na coefficients na kazi ya quadratic, walighairi kila mmoja, ambayo inafanya equation kuwa mstari na sio quadratic.
Kazi nambari 2
\[\kushoto(1-4x \kulia)\kushoto(1-3x \kulia)=6x\kushoto(2x-1 \kulia)\]
Wacha tutekeleze kwa uangalifu hatua ya kwanza: zidisha kila kipengee kutoka kwa mabano ya kwanza kwa kila kipengele kutoka kwa pili. Lazima kuwe na jumla ya istilahi nne mpya baada ya mabadiliko:
Sasa hebu tufanye kwa uangalifu kuzidisha katika kila neno:
Wacha tuhamishe maneno na "X" kushoto, na yale yasiyo - kulia:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Hapa kuna maneno sawa:
Kwa mara nyingine tena tumepokea jibu la mwisho.
Nuances ya suluhisho
Dokezo muhimu zaidi kuhusu milinganyo hii miwili ni kwamba mara tu tunapoanza kuzidisha mabano yenye zaidi ya neno moja, hufanya hivyo kwa kanuni inayofuata: tunachukua muda wa kwanza kutoka kwa kwanza na kuzidisha kwa kila kipengele kutoka kwa pili; kisha tunachukua kipengele cha pili kutoka kwa kwanza na vile vile kuzidisha na kila kipengele kutoka kwa pili. Matokeo yake, tutakuwa na masharti manne.
Kuhusu jumla ya algebra
Kwa mfano huu wa mwisho, ningependa kuwakumbusha wanafunzi jumla ya aljebra ni nini. Katika hisabati ya kitambo, kwa $1-7$ tunamaanisha kubuni rahisi: toa saba kutoka kwa moja. Katika algebra, tunamaanisha yafuatayo kwa hili: kwa nambari "moja" tunaongeza nambari nyingine, yaani "minus saba". Hivi ndivyo jumla ya aljebra hutofautiana na jumla ya hesabu ya kawaida.
Mara tu, wakati wa kufanya mabadiliko yote, kila nyongeza na kuzidisha, unapoanza kuona miundo inayofanana na ile iliyoelezwa hapo juu, hautakuwa na shida yoyote katika algebra wakati wa kufanya kazi na polynomials na equations.
Mwishowe, wacha tuangalie mifano michache zaidi ambayo itakuwa ngumu zaidi kuliko ile tuliyotazama hivi punde, na ili kuitatua itabidi kupanua kidogo kanuni zetu za kawaida.
Kutatua milinganyo na sehemu
Ili kutatua kazi kama hizo, tutalazimika kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm yetu. Lakini kwanza, wacha nikukumbushe algorithm yetu:
- Fungua mabano.
- Vigezo tofauti.
- Lete zinazofanana.
- Gawanya kwa uwiano.
Ole, algorithm hii ya ajabu, kwa ufanisi wake wote, inageuka kuwa haifai kabisa wakati tuna sehemu mbele yetu. Na katika kile tutakachoona hapa chini, tunayo sehemu upande wa kushoto na kulia katika milinganyo yote miwili.
Jinsi ya kufanya kazi katika kesi hii? Ndiyo, ni rahisi sana! Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm, ambayo inaweza kufanywa kabla na baada ya hatua ya kwanza, yaani, kuondokana na sehemu. Kwa hivyo algorithm itakuwa kama ifuatavyo:
- Ondoa sehemu.
- Fungua mabano.
- Vigezo tofauti.
- Lete zinazofanana.
- Gawanya kwa uwiano.
Inamaanisha nini "kuondoa sehemu"? Na kwa nini hii inaweza kufanywa baada na kabla ya hatua ya kwanza ya kiwango? Kwa kweli, kwa upande wetu, sehemu zote ni nambari katika denominator yao, i.e. Kila mahali denominator ni nambari tu. Kwa hivyo, ikiwa tutazidisha pande zote mbili za equation kwa nambari hii, tutaondoa sehemu.
Mfano Nambari 1
\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia))(4)=((x)^(2))-1\]
Wacha tuondoe sehemu katika equation hii:
\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)\cdot 4)(4)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]
Tafadhali kumbuka: kila kitu kinazidishwa na "nne" mara moja, i.e. kwa sababu tu una mabano mawili haimaanishi kwamba unapaswa kuzidisha kila moja kwa "nne." Hebu tuandike:
\[\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]
Sasa hebu tupanue:
Tunatenga tofauti:
Tunapunguza maneno sawa:
\[-4x=-1\kushoto| :\kushoto(-4 \kulia) \kulia.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Tumepokea suluhisho la mwisho, wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili.
Mfano Nambari 2
\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia))(5)+((x)^(2))=1\]
Hapa tunafanya vitendo vyote sawa:
\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Tatizo linatatuliwa.
Hiyo, kwa kweli, ndiyo yote nilitaka kukuambia leo.
Pointi muhimu
Matokeo muhimu ni:
- Jua algoriti ya kusuluhisha milinganyo ya mstari.
- Uwezo wa kufungua mabano.
- Usijali ikiwa una kazi za quadratic mahali fulani; uwezekano mkubwa, zitapunguzwa katika mchakato wa mabadiliko zaidi.
- Kuna aina tatu za mizizi katika milinganyo ya mstari, hata ile rahisi zaidi: mzizi mmoja, mstari mzima wa nambari ni mzizi, na hakuna mizizi kabisa.
Natumai somo hili litakusaidia kujua mada rahisi, lakini muhimu sana kwa uelewa zaidi wa hisabati zote. Ikiwa kitu haijulikani, nenda kwenye tovuti na kutatua mifano iliyotolewa hapo. Endelea kufuatilia, mambo mengi zaidi ya kuvutia yanakungoja!
Ninaendelea na mfululizo wa makala za mbinu juu ya mada ya kufundisha. Ni wakati wa kuangalia vipengele kazi ya mtu binafsi mwalimu wa hesabu kwa wanafunzi wa darasa la 7. Kwa furaha kubwa nitashiriki mawazo yangu juu ya aina za uwasilishaji wa moja ya mada muhimu zaidi kozi ya algebra katika daraja la 7 - "kufungua mabano." Ili tusijaribu kufahamu ukubwa, hebu tusimame katika hatua yake ya awali na tuchambue njia ya mwalimu ya kufanya kazi na kuzidisha polynomial na polynomial. Vipi mwalimu wa hisabati inafanya kazi katika hali ngumu, Lini mwanafunzi dhaifu haikubali aina ya maelezo ya kitamaduni? Ni kazi gani zinazopaswa kutayarishwa kwa mwanafunzi mwenye nguvu wa darasa la saba? Hebu tufikirie maswali haya na mengine.
Inaweza kuonekana, ni nini ngumu sana kuhusu hili? "Mabano ni rahisi kama ganda la pears," mwanafunzi yeyote bora atasema. "Kuna sheria ya usambazaji na mali ya mamlaka ya kufanya kazi na monomials, algorithm ya jumla kwa idadi yoyote ya masharti. Zidisheni kila mmoja kwa kila mmoja na mlete zinazofanana.” Walakini, sio kila kitu ni rahisi sana wakati wa kufanya kazi na laggards. Licha ya juhudi za mwalimu wa hesabu, wanafunzi wanaweza kufanya makosa ya ukubwa wote hata katika mabadiliko rahisi zaidi. Asili ya makosa inashangaza katika utofauti wake: kutoka kwa upungufu mdogo wa barua na ishara hadi "makosa" makubwa ya mwisho.
Ni nini kinachomzuia mwanafunzi kukamilisha mabadiliko kwa usahihi? Kwa nini kutoelewana kunawezekana?
Kuna idadi kubwa ya shida za mtu binafsi, na moja ya vizuizi kuu vya ujumuishaji na ujumuishaji wa nyenzo ni ugumu wa kubadili umakini kwa wakati na haraka, ugumu wa usindikaji wa habari nyingi. Inaweza kuonekana kuwa ya kushangaza kwa wengine ninayozungumza kiasi kikubwa, lakini mwanafunzi dhaifu wa darasa la 7 anaweza kukosa kumbukumbu na rasilimali za kutosha hata kwa muhula nne. Coefficients, vigezo, digrii (viashiria) huingilia kati. Mwanafunzi anachanganya utaratibu wa uendeshaji, anasahau ni monomials gani tayari imeongezeka na ambayo imebakia bila kuguswa, hawezi kukumbuka jinsi inavyozidishwa, nk.
Mbinu ya Nambari kwa Mkufunzi wa Hisabati
Bila shaka, unahitaji kuanza na maelezo ya mantiki nyuma ya ujenzi wa algorithm yenyewe. Jinsi ya kufanya hivyo? Tunahitaji kuibua shida: jinsi ya kubadilisha mpangilio wa vitendo katika usemi 
ili matokeo yasibadilike? Mara nyingi mimi hutoa mifano inayoelezea jinsi sheria fulani zinavyofanya kazi kwa kutumia nambari maalum. Na kisha tu ninawabadilisha na barua. Mbinu ya kutumia mbinu ya nambari itaelezwa hapa chini.
Matatizo ya motisha.
Mwanzoni mwa somo, ni vigumu kwa mwalimu wa hesabu kukusanya mwanafunzi ikiwa haelewi umuhimu wa kile kinachosomwa. Ndani ya silabasi ya darasa la 6-7, ni vigumu kupata mifano ya kutumia kanuni ya kuzidisha polima. Ningesisitiza haja ya kujifunza kubadilisha mpangilio wa vitendo katika usemi Mwanafunzi anapaswa kujua kwamba hii inasaidia kutatua matatizo kutokana na uzoefu katika kuongeza maneno sawa. Alilazimika kuziongeza pamoja wakati wa kutatua milinganyo. Kwa mfano, katika 2x+5x+13=34 anatumia hiyo 2x+5x=7x. Mkufunzi wa hesabu anahitaji tu kuelekeza umakini wa mwanafunzi kwenye hili.
Walimu wa hesabu mara nyingi hurejelea mbinu ya kufungua mabano kama kanuni ya "chemchemi"..
Picha hii inakumbukwa vizuri na inapaswa kutumika. Lakini sheria hii inathibitishwaje? Wacha tukumbuke fomu ya kitambo, ambayo hutumia mabadiliko dhahiri ya kitambulisho:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Ni vigumu kwa mwalimu wa hesabu kutoa maoni juu ya jambo lolote hapa. Barua zinajieleza zenyewe. Ndio, na haihitajiki kwa mwanafunzi mwenye nguvu wa darasa la 7 maelezo ya kina. Hata hivyo, nini cha kufanya na wanyonge, ambao pointi-tupu haoni maudhui yoyote katika hii "literral jumble"?
Shida kuu ambayo inaingilia kati mtazamo wa uhalalishaji wa kihesabu wa "chemchemi" ni aina isiyo ya kawaida ya kuandika jambo la kwanza. Sio katika darasa la 5 wala la 6 mwanafunzi alilazimika kuburuta mabano ya kwanza kwa kila muhula wa pili. Watoto walishughulika tu na nambari (coefficients), mara nyingi ziko upande wa kushoto wa mabano, kwa mfano:
Kufikia mwisho wa darasa la 6, mwanafunzi ameunda picha ya kuona ya kitu - mchanganyiko fulani wa ishara (vitendo) vinavyohusishwa na mabano. Na kupotoka yoyote kutoka kwa mtazamo wa kawaida kuelekea kitu kipya kunaweza kumkosesha mwelekeo mwanafunzi wa darasa la saba. Ni taswira inayoonekana ya jozi ya "nambari + ya mabano" ambayo mwalimu wa hesabu hutumia anapofafanua.
Maelezo yafuatayo yanaweza kutolewa. Mkufunzi anasababu: “Ikiwa kulikuwa na nambari fulani mbele ya mabano, kwa mfano 5, basi tungeweza kubadilisha utaratibu katika usemi huu? Hakika. Kisha tufanye 
. Fikiria ikiwa matokeo yake yatabadilika ikiwa badala ya nambari 5 tunaingiza jumla ya 2+3 iliyofungwa kwenye mabano? Mwanafunzi yeyote atamwambia mwalimu: “Inaleta tofauti gani jinsi unavyoandika: 5 au 2+3.” Ajabu. Utapata rekodi. Mkufunzi wa hesabu huchukua mapumziko mafupi ili mwanafunzi akumbuke picha-picha ya kitu. Kisha anavuta mawazo yake kwa ukweli kwamba mabano, kama nambari, "iliyosambazwa" au "kuruka" kwa kila neno. Hii ina maana gani? Hii ina maana kwamba operesheni hii inaweza kufanywa si tu kwa idadi, lakini pia kwa mabano. Tulipata jozi mbili za mambo na . Wanafunzi wengi huvumilia kwa urahisi wao wenyewe na kuandika matokeo kwa mwalimu. Ni muhimu kulinganisha jozi zinazosababishwa na yaliyomo kwenye mabano 2+3 na 6+4 na itakuwa wazi jinsi wanavyofungua.
Ikiwa ni lazima, baada ya mfano na nambari, mwalimu wa hesabu hufanya uthibitisho wa barua. Inageuka kuwa keki kupitia sehemu sawa za algorithm iliyopita.
Uundaji wa ujuzi wa kufungua mabano
Kuunda ujuzi wa kuzidisha mabano ni mojawapo ya hatua muhimu zaidi kazi ya mwalimu wa hesabu na mada. Na muhimu zaidi kuliko hatua ya kuelezea mantiki ya utawala wa "chemchemi". Kwa nini? Mantiki ya mabadiliko yatasahaulika siku inayofuata, lakini ustadi, ikiwa utaundwa na kuunganishwa kwa wakati, utabaki. Wanafunzi hufanya operesheni hiyo kimakanika, kana kwamba wanarejesha jedwali la kuzidisha kutoka kwa kumbukumbu. Hili ndilo linalohitaji kufikiwa. Kwa nini? Iwapo kila mwanafunzi anapofungua mabano anakumbuka kwa nini yamefunguliwa hivi na si vinginevyo, atasahau kuhusu tatizo analolitatua. Ndio maana mwalimu wa hesabu hutumia wakati uliobaki wa somo kubadilisha uelewa kuwa kukariri kwa mazoea. Mkakati huu mara nyingi hutumiwa katika mada zingine.
Mkufunzi anawezaje kusitawisha ustadi wa kufungua mabano ndani ya mwanafunzi? Ili kufanya hivyo, mwanafunzi wa darasa la 7 lazima amalize idadi ya mazoezi kwa kiasi cha kutosha ili kuunganisha. Hii inazua tatizo lingine. Mwanafunzi dhaifu wa darasa la saba hawezi kukabiliana na ongezeko la idadi ya mabadiliko. Hata ndogo. Na makosa huanguka moja baada ya nyingine. Mkufunzi wa hesabu anapaswa kufanya nini? Kwanza, inashauriwa kuteka mishale kutoka kwa kila neno hadi kwa kila mmoja. Ikiwa mwanafunzi ni dhaifu sana na hawezi kubadili haraka kutoka kwa aina moja ya kazi hadi nyingine, au kupoteza umakini wakati wa kufuata amri rahisi kutoka kwa mwalimu, basi mwalimu wa hesabu mwenyewe huchota mishale hii. Na sio wote mara moja. Kwanza, mkufunzi huunganisha muhula wa kwanza katika mabano ya kushoto na kila neno kwenye mabano ya kulia na kuwauliza wafanye kuzidisha sambamba. Tu baada ya hii mishale inaelekezwa kutoka kwa muda wa pili hadi kwenye bracket sawa ya kulia. Kwa maneno mengine, mwalimu anagawanya mchakato katika hatua mbili. Ni bora kudumisha pause ya muda mfupi (sekunde 5-7) kati ya operesheni ya kwanza na ya pili.
1) Seti moja ya mishale inapaswa kuchorwa juu ya misemo, na nyingine chini yao.
2) Ni muhimu kuruka kati ya mistari angalau seli kadhaa. Vinginevyo, kurekodi itakuwa mnene sana, na mishale haitapanda tu kwenye mstari uliopita, lakini pia itachanganya na mishale kutoka kwa zoezi linalofuata.
3) Katika kesi ya kuzidisha mabano katika muundo wa 3 hadi 2, mishale hutolewa kutoka kwa bracket fupi hadi kwa muda mrefu. Vinginevyo, hakutakuwa na mbili, lakini tatu za "chemchemi" hizi. Utekelezaji wa tatu ni ngumu zaidi kwa sababu ya ukosefu wa nafasi ya bure kwa mishale.
4) mishale daima huelekeza kutoka kwa uhakika sawa. Mmoja wa wanafunzi wangu aliendelea kujaribu kuwaweka kando na hii ndio alikuja nayo:
Mpangilio huu hauruhusu kuchagua na kurekodi muhula wa sasa ambao mwanafunzi hufanya kazi nao katika kila hatua.
Kazi ya kidole cha mwalimu
4) Ili kuweka umakini kwenye jozi tofauti ya maneno yaliyozidishwa, mwalimu wa hesabu huweka vidole viwili juu yao. Hii lazima ifanyike kwa njia ambayo sio kuzuia mtazamo wa mwanafunzi. Kwa wanafunzi wasio makini zaidi, unaweza kutumia njia ya "pulsation". Mkufunzi wa hesabu husogeza kidole chake cha kwanza hadi mwanzo wa mshale (kwa moja ya masharti) na kuirekebisha, na kwa pili "hugonga" mwisho wake (hadi muhula wa pili). Ripple husaidia kuzingatia muhula ambao mwanafunzi anazidisha. Baada ya kuzidisha kwa kwanza kwa mabano sahihi, mwalimu wa hesabu anasema: "Sasa tunafanya kazi na neno lingine." Mkufunzi anasogeza "kidole kisichobadilika" kuelekea kwake, na anaendesha kidole cha "kupiga" juu ya masharti kutoka kwa mabano mengine. Mapigo hufanya kazi kama "ishara ya zamu" kwenye gari na hukuruhusu kuelekeza umakini wa mwanafunzi asiye na nia kwenye operesheni anayofanya. Ikiwa mtoto anaandika ndogo, basi penseli mbili hutumiwa badala ya vidole.
Uboreshaji wa kurudia
Kama wakati wa kusoma mada nyingine yoyote katika kozi ya aljebra, kuzidisha polima kunaweza na kunapaswa kuunganishwa na nyenzo zilizofunikwa hapo awali. Ili kufanya hivyo, mwalimu wa hisabati hutumia kazi maalum za daraja ambazo huruhusu mtu kupata matumizi ya kile kinachosomwa katika vitu mbalimbali vya hisabati. Haziunganishi mada kwa jumla moja, lakini pia hupanga kwa ufanisi marudio ya kozi nzima ya hisabati. Na kadiri mkufunzi anavyojenga madaraja, ndivyo bora zaidi.
Kijadi, vitabu vya kiada vya aljebra vya darasa la 7 huunganisha mabano yanayofungua na kutatua milinganyo ya mstari. Mwishoni mwa orodha ya nambari daima kuna kazi za utaratibu wafuatayo: kutatua equation. Wakati wa kufungua mabano, mraba hupunguzwa na equation hutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia zana za daraja la 7. Walakini, kwa sababu fulani, waandishi wa vitabu vya kiada husahau kwa urahisi juu ya kuunda grafu ya kazi ya mstari. Ili kurekebisha kasoro hii, ningewashauri wakufunzi wa hesabu kujumuisha mabano katika misemo ya uchanganuzi kazi za mstari, Kwa mfano . Katika mazoezi kama haya, mwanafunzi sio tu anafundisha ustadi wa kufanya mabadiliko sawa, lakini pia anarudia grafu. Unaweza kuuliza kupata hatua ya makutano ya "monsters" mbili, kuamua mpangilio wa pande zote mistari ya moja kwa moja, pata pointi za makutano yao na axes, nk.
Kolpakov A.N. Mkufunzi wa Hisabati huko Strogino. Moscow
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa maneno ya nambari, halisi na tofauti. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi usemi sawa bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Hoja moja zaidi inastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa maamuzi ya kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi
3−(5−7) tunapata usemi 3−5+7. Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3−(5−7)=3−5+7.
Na moja zaidi hatua muhimu. Katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwa usemi au kwenye mabano. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki +7+3, lakini kwa urahisi 7+3, licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi (5 + x) - ujue kwamba kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa, na kabla ya tano kuna plus +(+5+x).
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kuongeza
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Mfano. Fungua mabano katika usemi 2 + (7 + 3) Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha hatubadilishi ishara mbele ya nambari kwenye mabano.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kutoa
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake. Kutokuwepo kwa ishara kabla ya muhula wa kwanza kwenye mabano kunamaanisha + ishara.
Mfano. Panua mabano katika usemi 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, ambayo inamaanisha unahitaji kubadilisha ishara mbele ya nambari kwenye mabano. Katika mabano hakuna ishara kabla ya nambari 7, hii ina maana kwamba saba ni chanya, inachukuliwa kuwa kuna ishara + mbele yake.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Wakati wa kufungua mabano, tunaondoa kutoka kwa mfano minus iliyokuwa mbele ya mabano, na mabano wenyewe 2 - (+ 7 + 3), na kubadilisha ishara zilizokuwa kwenye mabano kwa kinyume chake.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Kupanua mabano wakati wa kuzidisha
Ikiwa kuna ishara ya kuzidisha mbele ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano inazidishwa na sababu iliyo mbele ya mabano. Katika hali hii, kuzidisha minus kwa minus kunatoa plus, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus, kunatoa minus.
Kwa hivyo, mabano katika bidhaa hupanuliwa kwa mujibu wa mali ya kusambaza ya kuzidisha.
Mfano. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Unapozidisha mabano kwa mabano, kila neno katika mabano ya kwanza linazidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Kwa kweli, hakuna haja ya kukumbuka sheria zote, inatosha kukumbuka moja tu, hii: c(a-b)=ca−cb. Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata kanuni (a-b)=a-b. Na tukibadilisha toa moja, tunapata kanuni −(a-b)=−a+b. Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Kufungua mabano wakati wa kugawa
Ikiwa kuna ishara ya mgawanyiko baada ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano imegawanywa na mgawanyiko baada ya mabano, na kinyume chake.
Mfano. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Jinsi ya kupanua mabano yaliyowekwa
Ikiwa usemi una mabano yaliyowekwa, hupanuliwa kwa mpangilio, kuanzia na za nje au za ndani.
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba wakati wa kufungua moja ya mabano, usiguse mabano yaliyobaki, uandike tena kama ilivyo.
Mfano. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Sasa tutaendelea na kufungua mabano katika misemo ambayo usemi katika mabano unazidishwa na nambari au usemi. Wacha tutengeneze sheria ya kufungua mabano iliyotanguliwa na ishara ya kuondoa: mabano pamoja na ishara ya minus yameachwa, na ishara za maneno yote kwenye mabano hubadilishwa na zile tofauti.
Aina moja ya mabadiliko ya usemi ni upanuzi wa mabano. Nambari, maneno halisi na maneno yenye vigezo yanaweza kutengenezwa kwa kutumia mabano, ambayo yanaweza kuonyesha utaratibu ambao vitendo vinafanywa, vyenye nambari hasi, nk. Hebu tuchukue kwamba katika maneno yaliyoelezwa hapo juu, badala ya nambari na vigezo, kunaweza kuwa na maneno yoyote.
Na wacha tuzingatie hoja moja zaidi kuhusu upekee wa kuandika suluhisho wakati wa kufungua mabano. Katika aya iliyotangulia, tulishughulikia kile kinachoitwa kufungua mabano. Kwa kufanya hivyo, kuna sheria za kufungua mabano, ambayo sasa tutapitia. Sheria hii inaamriwa na ukweli kwamba nambari chanya Ni kawaida kuandika bila mabano; katika kesi hii, mabano sio lazima. Usemi (−3.7)−(−2)+4+(−9) unaweza kuandikwa bila mabano kama −3.7+2+4−9.
Mwishowe, sehemu ya tatu ya sheria ni kwa sababu ya upekee wa kuandika nambari hasi upande wa kushoto katika usemi (ambao tulitaja katika sehemu ya mabano ya kuandika nambari hasi). Unaweza kukutana na usemi unaojumuisha nambari, ishara za kuondoa, na jozi kadhaa za mabano. Ukifungua mabano, ukisonga kutoka ndani kwenda nje, basi suluhisho litakuwa kama ifuatavyo: -(−((−(5)))))=−(−((−5))))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.
Jinsi ya kufungua mabano?
Hapa kuna maelezo: −(−2 x) ni +2 x, na kwa kuwa usemi huu huja kwanza, +2 x inaweza kuandikwa kama 2 x, -(x2)=−x2, +(-1/ x)=−1 /x na −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Sehemu ya kwanza ya sheria iliyoandikwa ya kufungua mabano inafuata moja kwa moja kutoka kwa sheria ya kuzidisha nambari hasi. Sehemu yake ya pili ni matokeo ya sheria ya kuzidisha nambari na ishara tofauti. Hebu tuendelee kwenye mifano ya kufungua mabano katika bidhaa na quotients ya namba mbili na ishara tofauti.
Ufunguzi wa mabano: sheria, mifano, ufumbuzi.
Sheria iliyo hapo juu inazingatia mlolongo mzima wa vitendo hivi na inaharakisha kwa kiasi kikubwa mchakato wa kufungua mabano. Sheria hiyo hiyo hukuruhusu kufungua mabano katika misemo ambayo ni bidhaa na misemo ya sehemu na ishara ya minus ambayo sio hesabu na tofauti.
Hebu tuangalie mifano ya matumizi ya sheria hii. Wacha tutoe sheria inayolingana. Hapo juu tayari tumekumbana na semi za fomu -(a) na -(-a), ambazo bila mabano zimeandikwa kama −a na a, mtawalia. Kwa mfano, -(3)=3, na. Hizi ni kesi maalum za sheria iliyotajwa. Sasa hebu tuangalie mifano ya kufungua mabano wakati yana hesabu au tofauti. Wacha tuonyeshe mifano ya kutumia sheria hii. Wacha tuonyeshe usemi (b1+b2) kama b, baada ya hapo tunatumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa usemi kutoka kwa aya iliyotangulia, tunayo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Kwa introduktionsutbildning, taarifa hii inaweza kupanuliwa kwa idadi kiholela ya masharti katika kila mabano. Inabakia kufungua mabano katika usemi unaosababisha, kwa kutumia sheria kutoka kwa aya zilizopita, mwisho tunapata 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2 · x · y3.
Sheria katika hisabati ni kufungua mabano ikiwa kuna (+) na (-) mbele ya mabano.
Usemi huu ni zao la mambo matatu (2+4), 3 na (5+7·8). Utalazimika kufungua mabano kwa mlolongo. Sasa tunatumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa nambari, tunayo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Digrii, misingi ambayo ni baadhi ya misemo iliyoandikwa kwenye mabano, yenye vielelezo asilia inaweza kuzingatiwa kama bidhaa ya mabano kadhaa.
Kwa mfano, hebu tubadilishe usemi (a+b+c)2. Kwanza, tunaiandika kama bidhaa ya mabano mawili (a+b+c)·(a+b+c), sasa tunazidisha mabano kwa mabano, tunapata a·a+ab+a·c+ ba+b· b+b·c+ca+cb+cc.
Pia tutasema kwamba kuongeza hesabu na tofauti za nambari mbili kwa nguvu ya asili, inashauriwa kutumia formula ya binomial ya Newton. Kwa mfano, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Sio rahisi kwanza kuchukua nafasi ya mgawanyiko na kuzidisha, na kisha utumie sheria inayolingana ya kufungua mabano kwenye bidhaa.
Inabakia kuelewa utaratibu wa kufungua mabano kwa kutumia mifano. Hebu tuchukue usemi (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Tunabadilisha matokeo haya kwa usemi asilia: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·· 7). Kilichobaki ni kumaliza kufungua mabano, matokeo yake tunayo −5+3·2:4+6·7. Hii ina maana kwamba wakati wa kusonga kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia, ufunguzi wa mabano ulitokea.
Kumbuka kwamba katika mifano yote mitatu tuliondoa tu mabano. Kwanza, ongeza 445 hadi 889. Hatua hii inaweza kufanywa kiakili, lakini si rahisi sana. Wacha tufungue mabano na tuone kwamba utaratibu uliobadilishwa utarahisisha mahesabu.
Jinsi ya kupanua mabano hadi digrii nyingine
Kuonyesha mfano na kanuni. Hebu tuangalie mfano:. Unaweza kupata thamani ya usemi kwa kuongeza 2 na 5, na kisha kuchukua nambari inayotokana na ishara tofauti. Sheria haibadilika ikiwa hakuna mbili, lakini maneno matatu au zaidi kwenye mabano. Maoni. Ishara zinabadilishwa tu mbele ya masharti. Ili kufungua mabano, kwa kesi hii tunahitaji kukumbuka mali ya ugawaji.
Kwa nambari moja kwenye mabano
Kosa lako haliko kwenye ishara, lakini katika utunzaji sahihi wa sehemu? Katika daraja la 6 tulikutana chanya na nambari hasi. Tutatatua vipi mifano na milinganyo?
Kiasi gani kwenye mabano? Unaweza kusema nini kuhusu maneno haya? Bila shaka, matokeo ya mifano ya kwanza na ya pili ni sawa, ambayo ina maana tunaweza kuweka ishara sawa kati yao: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Tulifanya nini na mabano?
Onyesho la slaidi 6 na sheria za kufungua mabano. Kwa hivyo, sheria za kufungua mabano zitatusaidia kutatua mifano na kurahisisha misemo. Ifuatayo, wanafunzi wanaulizwa kufanya kazi kwa jozi: wanahitaji kutumia mishale kuunganisha usemi ulio na mabano na usemi unaolingana bila mabano.
Slaidi ya 11 Mara moja katika Sunny City, Znayka na Dunno walibishana kuhusu ni nani kati yao aliyesuluhisha mlinganyo kwa usahihi. Ifuatayo, wanafunzi hutatua mlingano wenyewe kwa kutumia sheria za kufungua mabano. Kutatua hesabu" Malengo ya somo: elimu (kuimarisha maarifa juu ya mada: "Ufunguzi wa mabano.
Mada ya somo: “Kufungua mabano. Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza na kila neno kutoka kwa mabano ya pili na kisha kuongeza matokeo. Kwanza, mambo mawili ya kwanza yanachukuliwa, yamefungwa kwenye bracket moja zaidi, na ndani ya mabano haya mabano yanafunguliwa kulingana na moja ya sheria zilizojulikana tayari.
rawalan.freezeet.ru
Mabano ya ufunguzi: sheria na mifano (daraja la 7)
Kazi kuu ya mabano ni kubadili utaratibu wa vitendo wakati wa kuhesabu maadili maneno ya nambari . Kwa mfano, katika usemi wa nambari \(5·3+7\) kuzidisha kutahesabiwa kwanza, na kisha kuongeza: \(5·3+7 =15+7=22\). Lakini katika usemi \(5·(3+7)\) nyongeza katika mabano itahesabiwa kwanza, na kisha tu kuzidisha: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Walakini, ikiwa tunashughulika nayo usemi wa algebra zenye kutofautiana- kwa mfano, kama hii: \(2(x-3)\) - basi haiwezekani kuhesabu thamani kwenye mabano, tofauti iko njiani. Kwa hiyo, katika kesi hii, mabano "yanafunguliwa" kwa kutumia sheria zinazofaa.
Sheria za kufungua mabano
Ikiwa kuna ishara zaidi mbele ya bracket, basi bracket imeondolewa tu, usemi ndani yake unabaki bila kubadilika. Kwa maneno mengine:
Hapa inahitajika kufafanua kuwa katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwenye usemi. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki \(+7+3\), lakini kwa urahisi \(7+3\), licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. . Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi \(5+x)\) - ujue hilo kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa.
Mfano
. Fungua mabano na utoe masharti sawa: \((x-11)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ikiwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, basi wakati mabano yameondolewa, kila neno la usemi ndani yake hubadilisha ishara kuwa kinyume:
Hapa ni muhimu kufafanua kwamba wakati a ilikuwa kwenye mabano, kulikuwa na ishara ya kuongeza (hawakuandika tu), na baada ya kuondoa bracket, hii pamoja na kubadilishwa kuwa minus.
Mfano
: Rahisisha usemi \(2x-(-7+x)\).
Suluhisho
: ndani ya mabano kuna maneno mawili: \(-7\) na \(x\), na kabla ya bracket kuna minus. Hii inamaanisha kuwa ishara zitabadilika - na saba sasa zitakuwa nyongeza, na x sasa itakuwa minus. Fungua bracket na tunawasilisha masharti sawa .
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ikiwa kuna sababu mbele ya mabano, basi kila mshiriki wa mabano huzidishwa nayo, ambayo ni:
Mfano.
Panua mabano \(5(3-x)\).
Suluhisho
: Katika mabano tuna \(3\) na \(-x\), na kabla ya bracket kuna tano. Hii ina maana kwamba kila mwanachama wa mabano huzidishwa na \(5\) - nakukumbusha kwamba Alama ya kuzidisha kati ya nambari na mabano haijaandikwa katika hisabati ili kupunguza ukubwa wa maingizo..
Mfano.
Panua mabano \(-2(-3x+5)\).
Suluhisho
: Kama katika mfano uliopita, \(-3x\) na \(5\) kwenye mabano yanazidishwa na \(-2\).
Inabakia kuzingatia hali ya mwisho.
Wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano, kila muhula wa mabano ya kwanza huzidishwa kwa kila muhula wa pili:
Mfano.
Panua mabano \((2-x)(3x-1)\).
Suluhisho
: Tuna bidhaa ya mabano na inaweza kupanuliwa mara moja kwa kutumia fomula iliyo hapo juu. Lakini ili si kuchanganyikiwa, hebu tufanye kila kitu hatua kwa hatua.
Hatua ya 1. Ondoa mabano ya kwanza na zidisha kila mwanachama kwa mabano ya pili:
Hatua ya 2. Panua bidhaa za mabano na kipengele kama ilivyoelezwa hapo juu:
- Mambo ya kwanza kwanza ...
Hatua ya 3. Sasa tunazidisha na kuwasilisha maneno sawa:
Sio lazima kuelezea mabadiliko yote kwa undani kama hii; unaweza kuzidisha mara moja. Lakini ikiwa unajifunza tu jinsi ya kufungua mabano, andika kwa undani, kutakuwa na nafasi ndogo ya kufanya makosa.
Kumbuka kwa sehemu nzima. Kwa kweli, huna haja ya kukumbuka sheria zote nne, unahitaji kukumbuka moja tu, hii: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata sheria \((a-b)=a-b\) . Na tukibadilisha minus moja, tunapata kanuni \(-(a-b)=-a+b\) . Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Mabano ndani ya mabano
Wakati mwingine katika mazoezi kuna matatizo na mabano yaliyowekwa ndani ya mabano mengine. Hapa kuna mfano wa kazi kama hiyo: kurahisisha usemi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ili kutatua kazi kama hizo kwa mafanikio, unahitaji:
- kuelewa kwa uangalifu kiota cha mabano - ambayo iko ndani yake;
— fungua mabano kwa mfuatano, kuanzia, kwa mfano, na ile ya ndani kabisa.
Ni muhimu wakati wa kufungua moja ya mabano usiguse sehemu nyingine ya usemi, kuandika tena kama ilivyo.
Wacha tuangalie kazi iliyoandikwa hapo juu kama mfano.
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(7x+2(5-(3x+y))\).
Suluhisho:
Wacha tuanze kazi kwa kufungua bracket ya ndani (ile iliyo ndani). Kuipanua, tunashughulika tu na yale yanayohusiana nayo moja kwa moja - hii ni bracket yenyewe na minus mbele yake (iliyoangaziwa kwa kijani). Tunaandika upya kila kitu kingine (hakijaangaziwa) jinsi ilivyokuwa.
Kutatua matatizo ya hisabati mtandaoni
Kikokotoo cha mtandaoni.
Kurahisisha polynomial.
Kuzidisha polynomials.
Kwa kutumia hii programu ya hisabati unaweza kurahisisha polynomial.
Wakati programu inaendelea:
- huzidisha polynomials
- muhtasari wa monomia (hutoa zinazofanana)
- hufungua mabano
- inainua polynomial kwa nguvu
Programu ya kurahisisha polynomial haitoi tu jibu la shida, inatoa ufumbuzi wa kina kwa maelezo, i.e. huonyesha mchakato wa suluhisho ili uweze kuangalia ujuzi wako wa hisabati na/au aljebra.
Programu hii inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au algebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo yako. ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri kidogo.
Nadharia kidogo.
Bidhaa ya monomial na polynomial. Dhana ya polynomial
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials mtazamo wa kawaida:
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Kwa hivyo, binomial ina digrii ya tatu, na trinomial ina ya pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara tofauti.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya usambazaji kuzidisha kunaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polynomial, bidhaa ya monomial na polynomial. Kwa mfano:
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Lazima ushughulike na misemo fulani katika mabadiliko ya aljebra mara nyingi zaidi kuliko zingine. Labda maneno ya kawaida ni u, yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya miraba. Uligundua kuwa majina ya misemo haya yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, hii, bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. Walakini, mraba wa jumla ya a na b haifanyiki mara nyingi sana; kama sheria, badala ya herufi a na b, ina misemo tofauti, wakati mwingine ngumu kabisa.
Maneno yanaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida; kwa kweli, tayari umekutana na kazi kama hiyo wakati wa kuzidisha polynomia:
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
- mraba wa jumla ni sawa na jumla ya mraba na bidhaa mbili.
- mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya mraba bila bidhaa mbili.
- tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Vitabu (vitabu vya kiada) Vifupisho vya Mtihani wa Jimbo la Umoja na vipimo vya OGE Michezo ya Mtandaoni, chemshabongo Ujenzi wa grafu za kazi Kamusi ya tahajia ya lugha ya Kirusi Kamusi ya misimu ya vijana Katalogi ya shule za Kirusi Katalogi ya taasisi za elimu ya sekondari ya Urusi Katalogi ya Vyuo Vikuu vya Urusi Orodha ya kazi Kutafuta GCD na LCM Kurahisisha polynomial (kuzidisha polynomia) Kugawanya polynomia kwa a. polynomial yenye safu ya Kukokotoa sehemu za nambari Kutatua matatizo yanayohusisha asilimia Nambari tata: Jumla, tofauti, bidhaa na quotient Mifumo ya milinganyo 2 ya mstari yenye viambishi viwili Suluhisho mlinganyo wa quadratic Kupiga binomial na kuifanya quadratic trinomial Kutatua kukosekana kwa usawa Kutatua mifumo ya kukosekana kwa usawa Kupanga grafu kazi ya quadratic Kupanga grafu ya kitendakazi cha sehemu ya mstari Kutatua hesabu na maendeleo ya kijiometri Kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic Kukokotoa vikomo, viingilio, tandenti Muunganisho, kizuia derivative Utatuzi wa pembetatu Kukokotoa vitendo na vekta Kukokotoa vitendo kwa mistari na ndege Eneo maumbo ya kijiometri Mzunguko wa maumbo ya kijiometri Kiasi cha miili ya kijiometri Eneo la uso wa miili ya kijiometri
Mjenzi hali za trafiki
Hali ya hewa - habari - nyota
www.mathsolution.ru
Kupanua mabano
Tunaendelea kujifunza misingi ya algebra. Katika somo hili tutajifunza jinsi ya kupanua mabano katika misemo. Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Ili kufungua mabano, unahitaji kukariri sheria mbili tu. Kwa mazoezi ya kawaida, unaweza kufungua mabano kwa macho yako imefungwa, na sheria hizo ambazo zilihitajika kukariri zinaweza kusahauliwa kwa usalama.
Sheria ya kwanza ya kufungua mabano
Fikiria usemi ufuatao:
Thamani ya usemi huu ni 2 . Hebu tufungue mabano katika usemi huu. Kupanua mabano maana yake ni kuyaondoa bila kuathiri maana ya usemi. Hiyo ni, baada ya kuondokana na mabano, thamani ya kujieleza 8+(−9+3) bado inapaswa kuwa sawa na mbili.
Sheria ya kwanza ya kufungua mabano ni kama ifuatavyo.
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Kwa hiyo, tunaona hilo katika usemi 8+(−9+3) Kuna ishara ya kuongeza mbele ya mabano. Nyongeza hii lazima iachwe pamoja na mabano. Kwa maneno mengine, mabano yatatoweka pamoja na nyongeza iliyosimama mbele yao. Na kile kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila mabadiliko:
8−9+3 . Usemi huu ni sawa na 2 , kama usemi uliotangulia wenye mabano, ulikuwa sawa na 2 .
8+(−9+3) Na 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Mfano 2. Panua mabano katika kujieleza 3 + (−1 − 4)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa nyongeza hii imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitabaki bila kubadilika:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 2 + (−1)
KATIKA katika mfano huu kufungua mabano ikawa aina ya utendakazi wa kinyume wa kubadilisha kutoa na kuongeza. Ina maana gani?
Katika kujieleza 2−1 kutoa hutokea, lakini inaweza kubadilishwa na kuongeza. Kisha tunapata usemi 2+(−1) . Lakini ikiwa katika usemi 2+(−1) fungua mabano, unapata asili 2−1 .
Kwa hivyo, sheria ya kwanza ya kufungua mabano inaweza kutumika kurahisisha misemo baada ya mabadiliko kadhaa. Hiyo ni, ondoa mabano na uifanye rahisi zaidi.
Kwa mfano, hebu turahisishe usemi 2a+a−5b+b .
Ili kurahisisha usemi huu, maneno sawa yanaweza kutolewa. Hebu tukumbuke kwamba ili kupunguza maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients ya maneno sawa na kuzidisha matokeo kwa sehemu ya barua ya kawaida:
Nimepata usemi 3a+(−4b). Hebu tuondoe mabano katika usemi huu. Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya kwanza kufungua mabano, ambayo ni kwamba, tunaacha mabano pamoja na nyongeza inayokuja kabla ya mabano haya:
Hivyo kujieleza 2a+a−5b+b hurahisisha 3a−4b .
Baada ya kufungua mabano kadhaa, unaweza kukutana na wengine njiani. Tunatumia sheria sawa kwao kama zile za kwanza. Kwa mfano, wacha tupanue mabano katika usemi ufuatao:
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi hii, sheria ya kwanza ya kufungua mabano inatumika, ambayo ni, kuacha mabano pamoja na ishara ya pamoja inayotangulia mabano haya:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 6+(−3)+(−2)
Katika sehemu zote mbili ambapo kuna mabano, hutanguliwa na kuongeza. Hapa tena sheria ya kwanza ya kufungua mabano inatumika:
Wakati mwingine neno la kwanza kwenye mabano huandikwa bila ishara. Kwa mfano, katika usemi 1+(2+3−4) muhula wa kwanza kwenye mabano 2 imeandikwa bila ishara. Swali linatokea, ni ishara gani itatokea mbele ya mbili baada ya mabano na plus mbele ya mabano kuachwa? Jibu linaonyesha yenyewe - kutakuwa na pamoja mbele ya hizo mbili.
Kwa kweli, hata kuwa kwenye mabano kuna nyongeza mbele ya hizo mbili, lakini hatuoni kwa sababu haijaandikwa. Tayari tumesema kuwa nukuu kamili ya nambari chanya inaonekana kama +1, +2, +3. Lakini kulingana na jadi, pluses hazijaandikwa, ndiyo sababu tunaona nambari nzuri ambazo zinajulikana kwetu 1, 2, 3 .
Kwa hiyo, kupanua mabano katika usemi 1+(2+3−4) , kama kawaida, unahitaji kuacha mabano pamoja na ishara ya kuongeza mbele ya mabano haya, lakini andika neno la kwanza ambalo lilikuwa kwenye mabano na ishara ya kuongeza:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Mfano 4. Panua mabano katika kujieleza −5 + (2 − 3)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, ambayo ni, tunaacha mabano pamoja na nyongeza inayokuja kabla ya mabano haya. Lakini muhula wa kwanza, ambao tunaandika kwenye mabano na ishara ya kuongeza:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Mfano 5. Panua mabano katika kujieleza (−5)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, lakini haijaandikwa kwa sababu hapakuwa na nambari nyingine au misemo kabla yake. Kazi yetu ni kuondoa mabano kwa kutumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, yaani, kuacha mabano pamoja na hii plus (hata ikiwa haionekani)
Mfano 6. Panua mabano katika kujieleza 2a + (−6a + b)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa nyongeza hii imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila kubadilika:
2a + (−6a + b) = 2a -6a + b
Mfano 7. Panua mabano katika kujieleza 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Kuna sehemu mbili katika usemi huu ambapo unahitaji kupanua mabano. Katika sehemu zote mbili kuna plus kabla ya mabano, ambayo ina maana hii plus imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila kubadilika:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a -7b + 6c + 3a -2d
Sheria ya pili ya kufungua mabano
Sasa hebu tuangalie sheria ya pili ya kufungua mabano. Inatumika wakati kuna minus kabla ya mabano.
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake.
Kwa mfano, hebu tupanue mabano katika usemi ufuatao
Tunaona kwamba kuna minus kabla ya mabano. Hii ina maana kwamba unahitaji kutumia kanuni ya pili ya upanuzi, yaani, kuacha mabano pamoja na ishara ya minus mbele ya mabano haya. Katika kesi hii, maneno ambayo yalikuwa kwenye mabano yatabadilisha ishara yao kuwa kinyume:
Tulipata usemi bila mabano 5+2+3 . Usemi huu ni sawa na 10, kama vile usemi wa awali wenye mabano ulikuwa sawa na 10.
Kwa hivyo, kati ya maneno 5−(−2−3) Na 5+2+3 unaweza kuweka ishara sawa, kwani ni sawa na thamani sawa:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Mfano 2. Panua mabano katika kujieleza 6 − (−2 − 5)
Kuna minus kabla ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya pili ya kufungua mabano, ambayo ni, tunaacha mabano pamoja na minus inayokuja kabla ya mabano haya. Katika kesi hii, tunaandika maneno ambayo yalikuwa kwenye mabano na ishara tofauti:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya pili ya kufungua mabano:
Mfano 4. Panua mabano katika kujieleza −(−3 + 4)
Mfano 5. Panua mabano katika kujieleza −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi ya kwanza, unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, na linapokuja suala la kujieleza +(−9−2) unahitaji kutumia sheria ya kwanza:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Mfano 6. Panua mabano katika kujieleza −(−a -1)
Mfano 7. Panua mabano katika kujieleza −(4a + 3)
Mfano 8. Panua mabano katika kujieleza a − (4b + 3) + 15
Mfano 9. Panua mabano katika kujieleza 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi ya kwanza, unahitaji kutumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, na linapokuja suala la kujieleza −(3c+5) unahitaji kutumia sheria ya pili:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Mfano 10. Panua mabano katika kujieleza −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Kuna maeneo matatu ambapo unahitaji kufungua mabano. Kwanza unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, kisha ya kwanza, na ya pili tena:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Utaratibu wa kufungua mabano
Sheria za kufungua mabano ambazo tumechunguza sasa zinatokana na sheria ya ugawaji ya kuzidisha:
Kwa kweli kufungua mabano ni utaratibu ambapo kipengele cha kawaida kinazidishwa kwa kila neno kwenye mabano. Kama matokeo ya kuzidisha huku, mabano hupotea. Kwa mfano, tupanue mabano katika usemi 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Kwa hivyo, ikiwa unahitaji kuzidisha nambari kwa usemi kwenye mabano (au kuzidisha usemi kwenye mabano kwa nambari), unahitaji kusema. tufungue mabano.
Lakini sheria ya ugawaji ya kuzidisha inahusiana vipi na sheria za kufungua mabano ambazo tulichunguza hapo awali?
Ukweli ni kwamba kabla ya mabano yoyote kuna jambo la kawaida. Katika mfano 3×(4+5) jambo la kawaida ni 3 . Na katika mfano a(b+c) sababu ya kawaida ni kutofautiana a.
Ikiwa hakuna nambari au vigezo kabla ya mabano, basi jambo la kawaida ni 1 au −1 , kulingana na ishara gani iko mbele ya mabano. Ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi jambo la kawaida ni 1 . Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi jambo la kawaida ni −1 .
Kwa mfano, hebu tupanue mabano katika usemi −(3b−1). Kuna ishara ya minus mbele ya mabano, kwa hivyo unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, ambayo ni, kuacha mabano pamoja na ishara ya minus mbele ya mabano. Na andika usemi ambao ulikuwa kwenye mabano na ishara tofauti:
Tulipanua mabano kwa kutumia sheria ya kupanua mabano. Lakini mabano haya haya yanaweza kufunguliwa kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Ili kufanya hivyo, kwanza andika kabla ya mabano sababu ya kawaida 1, ambayo haikuandikwa:
Alama ya kutoa ambayo hapo awali ilisimama mbele ya mabano inarejelea kitengo hiki. Sasa unaweza kufungua mabano kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Kwa kusudi hili sababu ya kawaida −1 unahitaji kuzidisha kwa kila neno katika mabano na kuongeza matokeo.
Kwa urahisi, tunabadilisha tofauti katika mabano na kiasi:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (-1) × (-1) = −3b + 1
Kama mara ya mwisho tulipokea usemi huo −3b+1. Kila mtu atakubali kwamba wakati huu muda mwingi ulitumika kutatua mfano rahisi kama huu. Kwa hivyo, ni busara kutumia sheria zilizotengenezwa tayari za kufungua mabano, ambayo tulijadili katika somo hili:
Lakini hainaumiza kujua jinsi sheria hizi zinavyofanya kazi.
Katika somo hili tulijifunza mabadiliko mengine yanayofanana. Pamoja na kufungua mabano, kuweka jumla nje ya mabano na kuleta masharti sawa, unaweza kupanua kidogo aina mbalimbali za matatizo ya kutatuliwa. Kwa mfano:
Hapa unahitaji kufanya vitendo viwili - kwanza kufungua mabano, na kisha kuleta masharti sawa. Kwa hivyo, kwa utaratibu:
1) Fungua mabano:
2) Tunawasilisha maneno sawa:
Katika usemi unaosababisha −10b+(−1) unaweza kupanua mabano:
Mfano 2. Fungua mabano na uongeze maneno sawa katika usemi ufuatao:
1) Wacha tufungue mabano:
2) Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana. Wakati huu, ili kuokoa muda na nafasi, hatutaandika jinsi coefficients inavyozidishwa na sehemu ya barua ya kawaida.
Mfano 3. Rahisisha usemi 8m+3m na kupata thamani yake m=−4
1) Kwanza, wacha turahisishe usemi. Ili kurahisisha usemi 8m+3m, unaweza kuchukua sababu ya kawaida ndani yake m nje ya mabano:
2) Tafuta thamani ya usemi m(8+3) katika m=−4. Ili kufanya hivyo, katika usemi m(8+3) badala ya kutofautiana m badilisha nambari −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (-4) × 3 = −32 + (-12) = -44
Katika karne ya tano KK, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Zeno wa Elea aliunda aporias yake maarufu, maarufu zaidi ambayo ni "Achilles na Tortoise" aporia. Hivi ndivyo inavyosikika:Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Wakati inachukua Achilles kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.
Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ...majadiliano yanaendelea hadi leo; jumuiya ya wanasayansi bado haijaweza kufikia maoni ya pamoja juu ya kiini cha paradoksia ... walihusika katika utafiti wa suala hilo. uchambuzi wa hisabati, nadharia iliyowekwa, mbinu mpya za kimwili na kifalsafa; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhisho linalokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Kwa kadiri ninavyoelewa, vifaa vya hisabati vya kutumia vitengo tofauti vya kipimo bado havijatengenezwa, au havijatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. Kwa mtazamo wa kimaumbile, hii inaonekana kana kwamba muda unapungua hadi unakoma kabisa wakati Achilles anapokutana na kasa. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.
Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha kwa kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."
Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Baki katika vitengo vya muda vya mara kwa mara na usibadilishe kwa vitengo vinavyofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:
Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Katika muda unaofuata sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.
Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini hii sio suluhisho kamili kwa shida. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.
Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:
Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.
Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kuwa kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linapaswa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kuamua ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja kwa wakati tofauti, lakini huwezi kuamua umbali kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka kwa pointi tofauti katika nafasi kwa wakati mmoja kwa wakati, lakini kutoka kwao huwezi kuamua ukweli wa harakati (bila shaka, bado unahitaji data ya ziada kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia. ) Ninachotaka kuashiria Tahadhari maalum, ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.
Jumatano, Julai 4, 2018
Tofauti kati ya seti na seti nyingi zimeelezewa vizuri sana kwenye Wikipedia. Hebu tuone.
Kama unavyoona, "hakuwezi kuwa na vipengele viwili vinavyofanana katika seti," lakini ikiwa kuna vipengele vinavyofanana katika seti, seti kama hiyo inaitwa "multiset." Viumbe wenye akili timamu hawatawahi kuelewa mantiki hiyo ya kipuuzi. Hii ni kiwango cha kuzungumza parrots na nyani mafunzo, ambao hawana akili kutoka kwa neno "kabisa". Wanahisabati hufanya kama wakufunzi wa kawaida, wakituhubiria mawazo yao ya kipuuzi.
Hapo zamani za kale, wahandisi waliojenga daraja hilo walikuwa ndani ya boti chini ya daraja hilo wakati wakifanya majaribio ya daraja hilo. Ikiwa daraja lilianguka, mhandisi wa wastani alikufa chini ya vifusi vya uumbaji wake. Ikiwa daraja lingeweza kuhimili mzigo, mhandisi mwenye talanta alijenga madaraja mengine.
Haijalishi jinsi wanahisabati hujificha nyuma ya kifungu "nikumbuke, niko nyumbani," au tuseme, "hisabati husoma dhana dhahania," kuna kitovu kimoja ambacho huwaunganisha na ukweli. Kitovu hiki ni pesa. Wacha tutumie nadharia ya seti ya hisabati kwa wanahisabati wenyewe.
Tulisoma hisabati vizuri sana na sasa tumekaa kwenye daftari la pesa, tukitoa mishahara. Kwa hivyo mtaalamu wa hisabati anakuja kwetu kwa pesa zake. Tunamhesabu kiasi chote na kuiweka kwenye meza yetu katika mirundo tofauti, ambayo tunaweka bili za dhehebu moja. Kisha tunachukua bili moja kutoka kwa kila rundo na kumpa mwanahisabati “mshahara wake wa hisabati.” Hebu tueleze kwa mtaalamu wa hisabati kwamba atapokea bili iliyobaki tu wakati anathibitisha kwamba seti bila vipengele vinavyofanana si sawa na seti yenye vipengele vinavyofanana. Hapa ndipo furaha huanza.
Kwanza kabisa, mantiki ya manaibu itafanya kazi: "Hii inaweza kutumika kwa wengine, lakini sio kwangu!" Kisha wataanza kutuhakikishia kwamba miswada ya dhehebu moja ina nambari tofauti za bili, ambayo inamaanisha kuwa haiwezi kuchukuliwa kuwa vipengele sawa. Sawa, wacha tuhesabu mishahara kwa sarafu - hakuna nambari kwenye sarafu. Hapa mwanahisabati ataanza kukumbuka fizikia kwa bidii: kwenye sarafu tofauti kuna kiasi tofauti uchafu, muundo wa fuwele na mpangilio wa atomiki wa kila sarafu ni ya kipekee...
Na sasa nina zaidi maslahi Uliza: mstari uko wapi zaidi ya ambayo vipengele vya multiset hugeuka kuwa vipengele vya seti na kinyume chake? Mstari kama huo haupo - kila kitu kinaamuliwa na shamans, sayansi haiko karibu na kusema uwongo hapa.
Tazama hapa. Tunachagua viwanja vya mpira wa miguu vilivyo na eneo sawa la uwanja. Maeneo ya uwanja ni sawa - ambayo inamaanisha tuna seti nyingi. Lakini tukiangalia majina ya viwanja hivi hivi, tunapata vingi, maana majina ni tofauti. Kama unaweza kuona, seti sawa ya vipengele ni seti na seti nyingi. Ambayo ni sahihi? Na hapa mtaalamu wa hisabati-shaman-sharpist huchota ace ya tarumbeta kutoka kwa sleeve yake na kuanza kutuambia kuhusu seti au multiset. Kwa vyovyote vile, atatusadikisha kwamba yuko sahihi.
Ili kuelewa jinsi shamans ya kisasa inavyofanya kazi na nadharia iliyowekwa, kuifunga kwa ukweli, inatosha kujibu swali moja: vipengele vya seti moja vinatofautianaje na vipengele vya seti nyingine? Nitakuonyesha, bila "kuwaza kama si nzima" au "haiwezekani kwa ujumla."
Jumapili, Machi 18, 2018
Jumla ya nambari za nambari ni densi ya shaman na tambourini, ambayo haina uhusiano wowote na hisabati. Ndio, katika masomo ya hisabati tunafundishwa kupata jumla ya nambari za nambari na kuitumia, lakini ndiyo sababu wao ni shamans, kuwafundisha wazao wao ujuzi na hekima yao, vinginevyo shamans watakufa tu.
Je, unahitaji ushahidi? Fungua Wikipedia na ujaribu kupata ukurasa "Jumla ya nambari za nambari." Yeye hayupo. Hakuna fomula katika hisabati inayoweza kutumika kupata jumla ya tarakimu za nambari yoyote. Baada ya yote, nambari ni alama za picha, kwa msaada ambao tunaandika nambari na katika lugha ya hisabati kazi inasikika kama hii: "Tafuta jumla ya alama za picha zinazowakilisha nambari yoyote." Wanahisabati hawawezi kutatua tatizo hili, lakini shamans wanaweza kufanya hivyo kwa urahisi.
Wacha tujue ni nini na jinsi ya kufanya ili kupata jumla ya nambari za nambari fulani. Na kwa hivyo, tuwe na nambari 12345. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata jumla ya nambari za nambari hii? Hebu fikiria hatua zote kwa utaratibu.
1. Andika nambari kwenye kipande cha karatasi. Tumefanya nini? Tumebadilisha nambari kuwa ishara ya nambari ya picha. Huu sio operesheni ya hisabati.
2. Tunakata picha moja inayotokana na picha kadhaa zilizo na nambari za kibinafsi. Kukata picha sio operesheni ya kihesabu.
3. Badilisha alama za picha za kibinafsi kuwa nambari. Huu sio operesheni ya hisabati.
4. Ongeza nambari zinazosababisha. Sasa hii ni hisabati.
Jumla ya tarakimu za nambari 12345 ni 15. Hizi ni "kozi za kukata na kushona" zinazofundishwa na shamans ambazo wanahisabati hutumia. Lakini si hayo tu.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ni katika mfumo gani wa nambari tunaandika nambari. Kwa hiyo, katika mifumo tofauti Katika calculus, jumla ya tarakimu za nambari sawa zitakuwa tofauti. Katika hisabati, mfumo wa nambari unaonyeshwa kama usajili wa kulia wa nambari. Kwa idadi kubwa 12345, sitaki kudanganya kichwa changu, hebu fikiria namba 26 kutoka kwa makala kuhusu. Hebu tuandike nambari hii katika mifumo ya nambari za binary, octal, desimali na hexadecimal. Hatutaangalia kila hatua chini ya darubini; tayari tumefanya hivyo. Hebu tuangalie matokeo.
Kama unaweza kuona, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa ni tofauti. Matokeo haya hayana uhusiano wowote na hisabati. Ni sawa na ukiamua eneo la mstatili katika mita na sentimita, utapata matokeo tofauti kabisa.
Sufuri inaonekana sawa katika mifumo yote ya nambari na haina jumla ya nambari. Hii ni hoja nyingine inayounga mkono ukweli kwamba. Swali kwa wanahisabati: ni jinsi gani kitu ambacho sio nambari iliyoteuliwa katika hisabati? Je, kwa wanahisabati hakuna chochote isipokuwa nambari? Ninaweza kuruhusu hili kwa shamans, lakini si kwa wanasayansi. Ukweli sio tu juu ya nambari.
Matokeo yaliyopatikana yanapaswa kuzingatiwa kama dhibitisho kwamba mifumo ya nambari ni vitengo vya kipimo kwa nambari. Baada ya yote, hatuwezi kulinganisha nambari na vitengo tofauti vya kipimo. Ikiwa vitendo sawa na vitengo tofauti vya kipimo cha wingi sawa husababisha matokeo tofauti baada ya kulinganisha, basi hii haina uhusiano wowote na hisabati.
Hisabati halisi ni nini? Hii ndio wakati matokeo ya operesheni ya hisabati haitegemei saizi ya nambari, kitengo cha kipimo kinachotumiwa na ni nani anayefanya kitendo hiki.
Lo! Je, hii si choo cha wanawake?
- Mwanamke mchanga! Hii ni maabara ya uchunguzi wa utakatifu usio na kikomo wa roho wakati wa kupaa kwao mbinguni! Halo juu na mshale juu. Choo gani kingine?
Kike... Halo juu na mshale chini ni wa kiume.
Ikiwa kazi kama hiyo ya sanaa ya kubuni inaangaza mbele ya macho yako mara kadhaa kwa siku,
Basi haishangazi kwamba ghafla unapata ikoni ya kushangaza kwenye gari lako:
Binafsi, ninafanya bidii kuona minus digrii nne katika mtu anayepiga kinyesi (picha moja) (muundo wa picha kadhaa: ishara ya minus, nambari ya nne, muundo wa digrii). Na sidhani msichana huyu ni mpumbavu ambaye hajui fizikia. Ana mtindo dhabiti wa utambuzi wa picha za picha. Na wanahisabati wanatufundisha hili kila wakati. Hapa kuna mfano.
1A sio "minus digrii nne" au "moja a". Huyu ni "mtu wa kinyesi" au nambari "ishirini na sita" katika nukuu ya heksadesimali. Watu hao ambao hufanya kazi kila wakati katika mfumo huu wa nambari hugundua nambari na herufi kiotomatiki kama ishara moja ya picha.