Inaweza kutajwa kwa njia tofauti (pointi moja na vector, pointi mbili na vector, pointi tatu, nk). Ni kwa kuzingatia hili kwamba equation ya ndege inaweza kuwa na aina tofauti. Pia, kulingana na hali fulani, ndege zinaweza kuwa sambamba, perpendicular, intersecting, nk. Tutazungumza juu ya hili katika makala hii. Tutajifunza jinsi ya kuunda equation ya jumla ya ndege na zaidi.

Aina ya kawaida ya equation

Wacha tuseme kuna nafasi R 3 ambayo ina mfumo wa kuratibu wa XYZ wa mstatili. Hebu tufafanue vector α, ambayo itatolewa kutoka kwa hatua ya awali O. Kupitia mwisho wa vector α tunachora ndege P, ambayo itakuwa perpendicular yake.

Wacha tuonyeshe sehemu ya kiholela kwenye P kama Q = (x, y, z). Wacha tutie saini vekta ya radius ya uhakika Q na herufi p. Katika kesi hii, urefu wa vekta α ni sawa na р=IαI na Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Hii ni vekta ya kitengo ambayo imeelekezwa kwa upande, kama vekta α. α, β na γ ni pembe zinazoundwa kati ya vekta Ʋ na maelekezo chanya ya shoka za nafasi x, y, z, mtawalia. Makadirio ya nukta yoyote QϵП kwenye vekta Ʋ ni thamani ya mara kwa mara ambayo ni sawa na p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Mlinganyo ulio hapo juu unaeleweka wakati p=0. Jambo pekee ni kwamba ndege P katika kesi hii itaingiliana na hatua O (α=0), ambayo ni asili ya kuratibu, na vector ya kitengo Ʋ iliyotolewa kutoka kwa uhakika O itakuwa perpendicular kwa P, licha ya mwelekeo wake, ambayo. inamaanisha kuwa vekta Ʋ imebainishwa kwa usahihi wa ishara. Equation ya awali ni equation ya ndege yetu P, iliyoonyeshwa kwa fomu ya vector. Lakini katika kuratibu itaonekana kama hii:

P hapa ni kubwa kuliko au sawa na 0. Tumepata equation ya ndege katika nafasi katika hali ya kawaida.

Mlinganyo wa jumla

Ikiwa tutazidisha mlinganyo katika viwianishi kwa nambari yoyote ambayo si sawa na sifuri, tunapata mlinganyo sawa na hii, ikifafanua ndege hiyohiyo. Itakuwa kama hii:

Hapa A, B, C ni nambari ambazo ni tofauti kwa wakati mmoja na sifuri. Mlinganyo huu unaitwa mlinganyo wa jumla wa ndege.

Equations za ndege. Kesi maalum

Equation katika fomu ya jumla inaweza kubadilishwa mbele ya hali ya ziada. Hebu tuangalie baadhi yao.

Hebu tuchukulie kwamba mgawo A ni 0. Hii ina maana kwamba ndege hii ni sambamba na mhimili wa Ox uliotolewa. Katika kesi hii, fomu ya equation itabadilika: Ву+Cz+D=0.

Vile vile, fomu ya equation itabadilika chini ya masharti yafuatayo:

• Kwanza, ikiwa B = 0, basi equation itabadilika kuwa Ax + Cz + D = 0, ambayo itaonyesha usawa kwa mhimili wa Oy.
• Pili, ikiwa C=0, basi equation itabadilishwa kuwa Ax+By+D=0, ambayo itaonyesha ulinganifu wa mhimili uliopewa wa Oz.
• Tatu, ikiwa D=0, mlinganyo utaonekana kama Ax+By+Cz=0, ambayo itamaanisha kuwa ndege inakatiza O (asili).
• Nne, ikiwa A=B=0, basi equation itabadilika hadi Cz+D=0, ambayo itathibitika kuwa sambamba na Oxy.
• Tano, ikiwa B=C=0, basi equation inakuwa Ax+D=0, ambayo ina maana kwamba ndege kwenda Oyz ni sambamba.
• Sita, ikiwa A=C=0, basi equation itachukua fomu Ву+D=0, yaani, itaripoti ulinganifu kwa Oxz.

Aina ya equation katika sehemu

Katika kesi wakati nambari A, B, C, D ni tofauti na sifuri, fomu ya equation (0) inaweza kuwa kama ifuatavyo:

x/a + y/b + z/c = 1,

ambamo a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Tunapata kama matokeo.Inafaa kukumbuka kuwa ndege hii itakatiza mhimili wa Ox kwa uhakika na kuratibu (a,0,0), Oy - (0,b,0), na Oz - (0,0,c )

Kwa kuzingatia equation x/a + y/b + z/c = 1, si vigumu kuibua kufikiria uwekaji wa ndege kuhusiana na mfumo fulani wa kuratibu.

Kuratibu za vector za kawaida

Vekta ya kawaida n kwa ndege P ina kuratibu ambazo ni coefficients ya equation ya jumla ya ndege hii, yaani, n (A, B, C).

Ili kuamua kuratibu za n ya kawaida, inatosha kujua equation ya jumla ya ndege iliyotolewa.

Wakati wa kutumia equation katika sehemu, ambayo ina fomu x/a + y/b + z/c = 1, na vile vile wakati wa kutumia equation ya jumla, unaweza kuandika kuratibu za vector yoyote ya kawaida ya ndege fulani: (1) /a + 1/b + 1/ Pamoja).

Ni muhimu kuzingatia kwamba vector ya kawaida husaidia kutatua matatizo mbalimbali. Ya kawaida ni pamoja na matatizo ambayo yanahusisha kuthibitisha perpendicularity au usawa wa ndege, matatizo ya kutafuta pembe kati ya ndege au pembe kati ya ndege na mistari ya moja kwa moja.

Aina ya equation ya ndege kulingana na kuratibu za uhakika na vector ya kawaida

Nonzero vekta n perpendicular kwa ndege fulani inaitwa kawaida kwa ndege fulani.

Wacha tufikirie kuwa katika nafasi ya kuratibu (mfumo wa kuratibu wa mstatili) Oxyz wamepewa:

• uhakika Mₒ na viwianishi (xₒ,yₒ,zₒ);
• vekta sifuri n=A*i+B*j+C*k.

Ni muhimu kuunda equation kwa ndege ambayo itapita kwa uhakika Mₒ perpendicular kwa kawaida n.

Tunachagua sehemu yoyote ya kiholela katika nafasi na kuiashiria M (x y, z). Acha vekta ya kipenyo cha sehemu yoyote ya M (x,y,z) iwe r=x*i+y*j+z*k, na vekta ya radius ya uhakika Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Pointi M itakuwa ya ndege fulani ikiwa vekta MₒM ni ya kawaida kwa vekta n. Wacha tuandike hali ya orthogonality kwa kutumia bidhaa ya scalar:

[MₒM, n] = 0.

Kwa kuwa MₒM = r-rₒ, equation ya vekta ya ndege itaonekana kama hii:

Mlinganyo huu unaweza kuwa na namna nyingine. Kwa kufanya hivyo, mali ya bidhaa ya scalar hutumiwa, na upande wa kushoto wa equation hubadilishwa. = -. Ikiwa tunaashiria kama c, tunapata equation ifuatayo: - c = 0 au = = c, ambayo inaonyesha uthabiti wa makadirio kwenye vekta ya kawaida ya vekta za radius ya pointi fulani ambazo ni za ndege.

Sasa tunaweza kupata fomu ya kuratibu ya kuandika equation ya vekta ya ndege yetu = 0. Tangu r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, na n = A*i+B *j+С*k, tunayo:

Inabadilika kuwa tunayo equation ya ndege inayopita kwenye sehemu ya kawaida ya n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Aina ya equation ya ndege kulingana na kuratibu za pointi mbili na collinear ya vector kwa ndege

Hebu tufafanue pointi mbili za kiholela M′ (x′,y′,z′) na M″ (x″,y″,z″), pamoja na vekta a (a′,a″,a‴).

Sasa tunaweza kuunda mlinganyo wa ndege fulani ambayo itapitia alama zilizopo M′ na M″, na vile vile nukta yoyote M yenye viwianishi (x, y, z) sambamba na vekta a.

Katika hali hii, vekta M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) na M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) lazima zilingane na vekta. a=(a′,a″,a‴), ambayo ina maana kwamba (M′M, M″M, a)=0.

Kwa hivyo, equation ya ndege yetu katika nafasi itaonekana kama hii:

Aina ya equation ya ndege inayokatiza pointi tatu

Hebu tuseme tuna pointi tatu: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ambazo si za mstari mmoja. Ni muhimu kuandika equation ya ndege inayopita kwa kupewa pointi tatu. Nadharia ya jiometri inadai kwamba aina hii ya ndege ipo, lakini ndiyo pekee na ya kipekee. Kwa kuwa ndege hii inakatiza nukta (x′,y′,z′), muundo wa mlinganyo wake utakuwa kama ifuatavyo:

Hapa A, B, C ni tofauti na sifuri kwa wakati mmoja. Pia, ndege iliyotolewa huvuka pointi mbili zaidi: (x″,y″,z″) na (x‴,y‴,z‴). Katika suala hili, masharti yafuatayo lazima yakamilishwe:

Sasa tunaweza kuunda mfumo wa homogeneous na haijulikani u, v, w:

Kwa upande wetu, x, y au z ni nukta ya kiholela ambayo inakidhi mlinganyo (1). Kwa kuzingatia equation (1) na mfumo wa milinganyo (2) na (3), mfumo wa milinganyo iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu inaridhika na vekta N (A,B,C), ambayo sio ndogo. Ndiyo maana kibainishi cha mfumo huu ni sawa na sifuri.

Equation (1) ambayo tumepata ni equation ya ndege. Inapita kwa pointi 3 hasa, na hii ni rahisi kuangalia. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupanua kibainishi chetu katika vipengele katika safu ya kwanza. Kutoka kwa sifa zilizopo za kibainishi, inafuata kwamba ndege yetu inakatiza kwa wakati mmoja pointi tatu zilizotolewa awali (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Hiyo ni, tumetatua kazi tuliyopewa.

Pembe ya dihedral kati ya ndege

Pembe ya dihedral ni kielelezo cha kijiometri cha anga kilichoundwa na ndege mbili za nusu zinazotoka kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja. Kwa maneno mengine, hii ni sehemu ya nafasi ambayo imepunguzwa na ndege hizi za nusu.

Wacha tuseme tuna ndege mbili zilizo na hesabu zifuatazo:

Tunajua kwamba vekta N=(A,B,C) na N¹=(A¹,B¹,C¹) ni za pembendiko kulingana na ndege zilizotolewa. Katika suala hili, angle φ kati ya vectors N na N¹ ni sawa na angle (dihedral) ambayo iko kati ya ndege hizi. Bidhaa ya dot ina fomu:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

haswa kwa sababu

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Inatosha kuzingatia kwamba 0≤φ≤π.

Kwa kweli, ndege mbili zinazoingiliana huunda pembe mbili (dihedral): φ 1 na φ2. Jumla yao ni sawa na π (φ 1 + φ 2 = π). Kama kwa cosines, maadili yao kamili ni sawa, lakini yanatofautiana kwa ishara, ambayo ni, cos φ 1 = -cos φ 2. Ikiwa katika equation (0) tunabadilisha A, B na C na nambari -A, -B na -C, mtawaliwa, basi equation tunayopata itaamua ndege sawa, moja tu, angle φ katika equation cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | itabadilishwa na π-φ.

Equation ya ndege perpendicular

Ndege kati ya ambayo angle ni digrii 90 huitwa perpendicular. Kutumia nyenzo zilizowasilishwa hapo juu, tunaweza kupata equation ya ndege perpendicular kwa mwingine. Hebu tuseme tuna ndege mbili: Ax+By+Cz+D=0 na A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Tunaweza kusema kwamba zitakuwa perpendicular ikiwa cosφ=0. Hii ina maana kwamba NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Mlinganyo wa ndege sambamba

Ndege mbili ambazo hazina pointi za kawaida huitwa sambamba.

Hali (milinganyo yao ni sawa na katika aya iliyotangulia) ni kwamba vekta N na N¹, ambazo ni za kawaida kwao, ni collinear. Hii ina maana kwamba masharti yafuatayo ya uwiano yanatimizwa:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Masharti ya uwiano yakiongezwa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

hii inaashiria kuwa ndege hizi zinaendana. Hii ina maana kwamba milinganyo Ax+By+Cz+D=0 na A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 inaelezea ndege moja.

Umbali kwa ndege kutoka uhakika

Wacha tuseme tuna ndege P, ambayo inatolewa na equation (0). Inahitajika kupata umbali wake kutoka kwa sehemu iliyo na viwianishi (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuleta equation ya ndege P katika fomu ya kawaida:

(ρ,v)=р (р≥0).

Katika kesi hii, ρ (x,y,z) ni vekta ya radius ya hatua yetu Q iko kwenye P, p ni urefu wa perpendicular P ambayo ilitolewa kutoka kwa nukta sifuri, v ni vekta ya kitengo, ambayo iko ndani. mwelekeo a.

Tofauti ρ-ρº radius vekta ya sehemu fulani Q = (x, y, z), inayomilikiwa na P, na vile vile vekta ya radius ya sehemu fulani Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) ni vekta kama hiyo. thamani kamili ya makadirio ambayo kwenye v ni sawa na umbali d unaohitaji kupatikana kutoka Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) hadi P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, lakini

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Kwa hiyo inageuka

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Kwa hivyo, tutapata dhamana kamili ya usemi unaosababishwa, ambayo ni, inayotaka d.

Kutumia lugha ya parameta, tunapata dhahiri:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ikiwa sehemu fulani Q 0 iko upande wa pili wa ndege P, kama asili ya kuratibu, basi kati ya vekta ρ-ρ 0 na v kuna:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Katika kesi wakati hatua Q 0, pamoja na asili ya kuratibu, iko upande huo huo wa P, basi pembe iliyoundwa ni ya papo hapo, ambayo ni:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Kama matokeo, inageuka kuwa katika kesi ya kwanza ( ρ 0,v)>р, kwa pili (ρ 0,v)<р.

Ndege ya Tangent na mlinganyo wake

Ndege ya tanjiti kwenye sehemu ya mguso ya Mº ni ndege iliyo na mikondo yote inayowezekana kwa mipinde inayochorwa kupitia sehemu hii kwenye uso.

Na aina hii ya mlinganyo wa uso F(x,y,z)=0, mlinganyo wa ndege ya tanjiti katika hatua ya tanjiti Mº(xº,yº,zº) utaonekana kama hii:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ukibainisha uso katika umbo dhahiri z=f (x,y), basi tanjiti itaelezewa na mlinganyo:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Makutano ya ndege mbili

Katika mfumo wa kuratibu (mstatili) Oxyz iko, ndege mbili П′ na П″ zinatolewa, ambazo zinaingiliana na hazifanani. Kwa kuwa ndege yoyote iliyo katika mfumo wa kuratibu wa mstatili huamuliwa na mlinganyo wa jumla, tutachukulia kwamba P′ na P″ zimetolewa na milinganyo Ax+B′y+C′z+D′=0 na A″x. +B″y+ С″z+D″=0. Katika hali hii, tuna n′ (A′,B′,C′) ya kawaida ya ndege P′ na n″ ya kawaida (A″,B″,C″) ya ndege P″. Kwa kuwa ndege zetu hazilingani na hazilingani, vekta hizi sio collinear. Kwa kutumia lugha ya hisabati, tunaweza kuandika hali hii kama ifuatavyo: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Acha mstari ulionyooka ulio kwenye makutano ya P′ na P″ ubainishwe kwa herufi a, katika kesi hii a = P′ ∩ P″.

a ni mstari ulionyooka unaojumuisha seti ya pointi zote za ndege (ya kawaida) P′ na P″. Hii ina maana kwamba viwianishi vya sehemu yoyote ya mstari a lazima vikidhi milinganyo Ax+B′y+Cz+D′=0 na A″x+B″y+C″z+D″=0. . Hii inamaanisha kuwa kuratibu za nukta itakuwa suluhisho la sehemu ya mfumo ufuatao wa hesabu:

Kama matokeo, zinageuka kuwa suluhisho la (jumla) la mfumo huu wa equations litaamua kuratibu za kila moja ya alama za mstari, ambazo zitafanya kama sehemu ya makutano ya P′ na P″, na kuamua mstari wa moja kwa moja. a katika mfumo wa kuratibu wa Oxyz (mstatili) katika nafasi.

Ili kupata mlinganyo wa jumla wa ndege, hebu tuchambue ndege inayopita kwenye sehemu fulani.

Wacha kuwe na shoka tatu za kuratibu tayari tunazojua angani - Ng'ombe, Oy Na Oz. Shikilia karatasi ili ibaki gorofa. Ndege itakuwa karatasi yenyewe na kuendelea kwake kwa pande zote.

Hebu P ndege ya kiholela angani. Kila vector perpendicular yake inaitwa vector ya kawaida kwa ndege hii. Kwa kawaida, tunazungumzia vector isiyo ya sifuri.

Ikiwa hatua yoyote kwenye ndege inajulikana P na vector fulani ya kawaida kwake, basi kwa hali hizi mbili ndege katika nafasi imefafanuliwa kabisa(kupitia hatua fulani unaweza kuchora ndege moja perpendicular kwa vector iliyotolewa). Equation ya jumla ya ndege itakuwa:

Kwa hivyo, masharti ambayo hufafanua equation ya ndege ni. Ili kujipatia equation ya ndege, kuwa na fomu ya juu, kuchukua ndege P kiholela hatua M na kuratibu kutofautiana x, y, z. Hatua hii ni ya ndege tu ikiwa vekta perpendicular kwa vector(Mchoro 1). Kwa hili, kwa mujibu wa hali ya perpendicularity ya vectors, ni muhimu na ya kutosha kwamba bidhaa ya scalar ya vectors hizi iwe sawa na sifuri, yaani.

Vector imeainishwa na hali. Tunapata kuratibu za vector kwa kutumia formula :

.

Sasa, kwa kutumia bidhaa ya scalar ya formula ya vekta , tunaelezea bidhaa ya scalar katika fomu ya kuratibu:

Tangu uhakika M(x;y;z) huchaguliwa kiholela kwenye ndege, basi equation ya mwisho inaridhika na kuratibu za hatua yoyote iliyo kwenye ndege. P. Kwa uhakika N, sio uongo kwenye ndege iliyotolewa, i.e. usawa (1) umekiukwa.

Mfano 1. Andika equation kwa ndege inayopitia hatua na perpendicular kwa vector.

Suluhisho. Wacha tutumie fomula (1) na tuitazame tena:

Katika fomula hii nambari A , B Na C viwianishi vya vekta, na nambari x0 , y0 Na z0 - kuratibu za uhakika.

Mahesabu ni rahisi sana: tunabadilisha nambari hizi kwenye fomula na kupata

Tunazidisha kila kitu kinachohitaji kuzidishwa na kuongeza nambari tu (ambazo hazina herufi). Matokeo:

.

Mlinganyo unaohitajika wa ndege katika mfano huu ulijitokeza kuonyeshwa na mlinganyo wa jumla wa shahada ya kwanza kwa heshima na viwianishi vinavyobadilika. x, y, z hatua ya kiholela ya ndege.

Kwa hivyo, equation ya fomu

kuitwa equation ya jumla ya ndege .

Mfano 2. Unda katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili ndege iliyotolewa na mlinganyo .

Suluhisho. Ili kujenga ndege, ni muhimu na ya kutosha kujua pointi zake tatu ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, kwa mfano, pointi za makutano ya ndege na axes za kuratibu.

Jinsi ya kupata pointi hizi? Ili kupata hatua ya makutano na mhimili Oz, unahitaji kubadilisha zero kwa X na Y katika equation iliyotolewa katika taarifa ya tatizo: x = y= 0 . Kwa hivyo tunapata z= 6. Kwa hivyo, ndege iliyotolewa inaingiliana na mhimili Oz kwa uhakika A(0; 0; 6) .

Kwa njia hiyo hiyo tunapata hatua ya makutano ya ndege na mhimili Oy. Katika x = z= 0 tunapata y= -3, yaani, uhakika B(0; −3; 0) .

Na hatimaye, tunapata hatua ya makutano ya ndege yetu na mhimili Ng'ombe. Katika y = z= 0 tunapata x= 2, yaani, uhakika C(2; 0; 0). Kulingana na pointi tatu zilizopatikana katika ufumbuzi wetu A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) na C(2; 0; 0) tengeneza ndege uliyopewa.

Hebu sasa tufikirie kesi maalum za equation ya jumla ya ndege. Hizi ni matukio wakati coefficients fulani za equation (2) huwa sifuri.

1. Wakati D= 0 mlingano inafafanua ndege inayopitia asili, kwa kuwa kuratibu za uhakika 0 (0; 0; 0) ridhisha mlingano huu.

2. Wakati A= 0 mlingano inafafanua ndege sambamba na mhimili Ng'ombe, kwa kuwa vector ya kawaida ya ndege hii ni perpendicular kwa mhimili Ng'ombe(makadirio yake kwenye mhimili Ng'ombe sawa na sifuri). Vile vile, lini B= 0 ndege sambamba na mhimili Oy, na lini C= 0 ndege sambamba na mhimili Oz.

3. Wakati A=D= 0 equation inafafanua ndege inayopita kwenye mhimili Ng'ombe, kwa kuwa ni sambamba na mhimili Ng'ombe (A=D= 0). Vile vile, ndege hupitia mhimili Oy, na ndege kupitia mhimili Oz.

4. Wakati A=B= 0 equation inafafanua ndege sambamba na ndege ya kuratibu xOy, kwa kuwa ni sambamba na shoka Ng'ombe (A= 0) na Oy (B= 0). Vile vile, ndege ni sambamba na ndege yOz, na ndege ni ndege xOz.

5. Wakati A=B=D= 0 equation (au z = 0) inafafanua ndege ya kuratibu xOy, kwa kuwa ni sambamba na ndege xOy (A=B= 0) na hupitia asili ( D= 0). Vivyo hivyo, Eq. y = 0 katika nafasi inafafanua ndege ya kuratibu xOz, na mlinganyo x = 0 - kuratibu ndege yOz.

Mfano 3. Unda equation ya ndege P, kupita kwenye mhimili Oy na kipindi.

Suluhisho. Kwa hivyo ndege hupitia mhimili Oy. Kwa hivyo, katika equation yake y= 0 na equation hii ina fomu . Ili kuamua coefficients A Na C hebu tuchukue fursa ya ukweli kwamba uhakika ni wa ndege P .

Kwa hivyo, kati ya kuratibu zake kuna zile ambazo zinaweza kubadilishwa kuwa equation ya ndege ambayo tayari tumetoa (). Wacha tuangalie tena kuratibu za nukta:

M0 (2; −4; 3) .

Kati yao x = 2 , z= 3 . Tunazibadilisha katika mlinganyo wa jumla na kupata mlinganyo wa kesi yetu mahususi:

2A + 3C = 0 .

Ondoka 2 A upande wa kushoto wa equation, songa 3 C kwa upande wa kulia na tunapata

A = −1,5C .

Kubadilisha thamani iliyopatikana A kwenye equation, tunapata

au .

Huu ndio mlinganyo unaohitajika katika hali ya mfano.

Tatua tatizo la equation ya ndege mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho

Mfano 4. Bainisha ndege (au ndege, ikiwa zaidi ya moja) kwa heshima ya kuratibu mihimili au kuratibu ndege ikiwa ndege/ndege zimetolewa na mlinganyo.

Suluhisho la shida za kawaida zinazotokea wakati wa majaribio ziko kwenye kitabu cha maandishi "Shida kwenye ndege: usawa, usawa, makutano ya ndege tatu kwa wakati mmoja."

Equation ya ndege kupita pointi tatu

Kama ilivyoelezwa tayari, hali ya lazima na ya kutosha ya kujenga ndege, pamoja na pointi moja na vector ya kawaida, pia ni pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo huo.

Acha pointi tatu tofauti , na, sio uongo kwenye mstari huo huo, zipewe. Kwa kuwa pointi tatu zilizoonyeshwa haziko kwenye mstari huo huo, vectors sio collinear, na kwa hiyo hatua yoyote kwenye ndege iko kwenye ndege moja na pointi, na ikiwa na tu ikiwa vectors , na coplanar, i.e. basi na lini tu mchanganyiko wa bidhaa za vekta hizi sawa na sifuri.

Kutumia usemi wa bidhaa iliyochanganywa katika kuratibu, tunapata equation ya ndege

(3)

Baada ya kufichua kiambishi, mlinganyo huu unakuwa mlinganyo wa fomu (2), i.e. equation ya jumla ya ndege.

Mfano 5. Andika mlinganyo wa ndege inayopita pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari sawa sawa:

na kuamua kesi maalum ya equation ya jumla ya mstari, ikiwa moja hutokea.

Suluhisho. Kulingana na fomula (3) tunayo:

Mlinganyo wa kawaida wa ndege. Umbali kutoka hatua hadi ndege

Equation ya kawaida ya ndege ni equation yake, iliyoandikwa kwa fomu

Ikiwa nambari zote A, B, C na D ni tofauti na sifuri, basi equation ya jumla ya ndege inaitwa. kamili. Vinginevyo, equation ya jumla ya ndege inaitwa haijakamilika.

Wacha tuzingatie milinganyo yote ya jumla isiyo kamili ya ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz katika nafasi ya pande tatu.

Acha D = 0, basi tuna mlinganyo wa jumla wa ndege usio kamili wa fomu. Ndege hii katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz hupitia asili. Hakika, tunapobadilisha viwianishi vya nukta kwenye mlinganyo usio kamili wa ndege, tunafika kwenye utambulisho .

Kwa , au , au tuna milinganyo ya jumla isiyokamilika ya ndege , au , au , mtawalia. Milinganyo hii inafafanua ndege zinazofanana na ndege zinazoratibu Oxy, Oxz na Oyz, mtawalia (tazama makala ya hali ya ndege sambamba) na kupita pointi. na vivyo hivyo. Katika. Tangu uhakika ni ya ndege kwa hali, basi kuratibu za hatua hii lazima kukidhi equation ya ndege, yaani, usawa lazima iwe kweli. Kutoka hapa tunapata. Kwa hivyo, equation inayohitajika ina fomu.

Hebu tuwasilishe njia ya pili ya kutatua tatizo hili.

Kwa kuwa ndege, equation ya jumla ambayo tunahitaji kutunga, ni sawa na ndege ya Oyz, basi kama vekta yake ya kawaida tunaweza kuchukua vector ya kawaida ya Oyz ya ndege. Vekta ya kawaida ya ndege ya kuratibu Oyz ni vekta ya kuratibu. Sasa tunajua vector ya kawaida ya ndege na uhakika wa ndege, kwa hiyo, tunaweza kuandika equation yake ya jumla (tulitatua tatizo kama hilo katika aya iliyotangulia ya makala hii):
, basi kuratibu zake lazima kukidhi equation ya ndege. Kwa hiyo, usawa ni kweli tunaipata wapi. Sasa tunaweza kuandika equation ya jumla inayotakiwa ya ndege, ina fomu.

Jibu:

Bibliografia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Hisabati ya juu. Juzuu ya kwanza: vipengele vya aljebra ya mstari na jiometri ya uchanganuzi.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Jiometri ya uchambuzi.

Equation ya ndege. Jinsi ya kuandika equation ya ndege?
Mpangilio wa pande zote wa ndege. Kazi

Jiometri ya anga sio ngumu zaidi kuliko jiometri "gorofa", na safari zetu za ndege angani huanza na nakala hii. Ili kutawala mada, unahitaji kuwa na uelewa mzuri wa vekta , kwa kuongeza, ni vyema kuwa na ujuzi wa jiometri ya ndege - kutakuwa na kufanana nyingi, analogies nyingi, hivyo habari itapigwa bora zaidi. Katika mfululizo wa masomo yangu, ulimwengu wa 2D unafungua kwa makala Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege . Lakini sasa Batman ameondoka kwenye skrini bapa ya TV na anazindua kutoka Baikonur Cosmodrome.

Wacha tuanze na michoro na alama. Kwa utaratibu, ndege inaweza kuchora kwa namna ya parallelogram, ambayo inajenga hisia ya nafasi:

Ndege haina mwisho, lakini tunayo fursa ya kuonyesha kipande chake tu. Katika mazoezi, pamoja na parallelogram, mviringo au hata wingu pia hutolewa. Kwa sababu za kiufundi, ni rahisi zaidi kwangu kuonyesha ndege kwa njia hii haswa na kwa nafasi hii haswa. Ndege halisi, ambayo tutazingatia katika mifano ya vitendo, inaweza kuwa iko kwa njia yoyote - kiakili kuchukua mchoro mikononi mwako na kuzunguka katika nafasi, kutoa ndege mteremko wowote, pembe yoyote.

Uteuzi: ndege kawaida huonyeshwa kwa herufi ndogo za Kigiriki, inaonekana ili zisiwachanganye nazo mstari wa moja kwa moja kwenye ndege au na mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi . Nimezoea kutumia barua. Katika kuchora ni barua "sigma", na sio shimo kabisa. Ingawa, ndege ya shimo hakika ni ya kuchekesha sana.

Katika baadhi ya matukio, ni rahisi kutumia barua za Kigiriki sawa na usajili wa chini ili kuteua ndege, kwa mfano,.

Ni dhahiri kwamba ndege inafafanuliwa kipekee na pointi tatu tofauti ambazo hazilala kwenye mstari mmoja. Kwa hivyo, majina ya herufi tatu za ndege ni maarufu sana - kwa alama zao, kwa mfano, nk. Mara nyingi barua huwekwa kwenye mabano: , ili usichanganye ndege na takwimu nyingine ya kijiometri.

Kwa wasomaji wenye uzoefu nitatoa menyu ya ufikiaji wa haraka:

• Jinsi ya kuunda equation ya ndege kwa kutumia uhakika na vekta mbili?
• Jinsi ya kuunda equation ya ndege kwa kutumia uhakika na vector ya kawaida?

wala hatutazimia kwa muda mrefu.

Mlinganyo wa jumla wa ndege

Equation ya jumla ya ndege ina fomu , ambapo coefficients si sawa na sifuri kwa wakati mmoja.

Idadi ya mahesabu ya kinadharia na shida za vitendo ni halali kwa msingi wa kawaida wa kawaida na kwa msingi wa nafasi (ikiwa mafuta ni mafuta, rudi kwenye somo. Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors ) Kwa unyenyekevu, tutafikiri kwamba matukio yote hutokea kwa msingi wa kawaida na mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian.

Sasa hebu tufanye mazoezi ya mawazo yetu ya anga kidogo. Ni sawa ikiwa yako ni mbaya, sasa tutaiendeleza kidogo. Hata kucheza kwenye mishipa inahitaji mafunzo.

Katika hali ya jumla, wakati nambari si sawa na sifuri, ndege huingiliana na shoka zote tatu za kuratibu. Kwa mfano, kama hii:

Narudia tena kwamba ndege inaendelea kwa muda usiojulikana katika pande zote, na tuna fursa ya kuonyesha sehemu yake tu.

Wacha tuangalie hesabu rahisi zaidi za ndege:

Jinsi ya kuelewa equation hii? Fikiria juu yake: "Z" ni sawa na sifuri kila wakati, kwa maadili yoyote ya "X" na "Y". Hii ni equation ya "asili" ya kuratibu ndege. Kwa kweli, equation inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo: , kutoka ambapo unaweza kuona wazi kwamba hatujali ni maadili gani "x" na "y" huchukua, ni muhimu kwamba "z" ni sawa na sifuri.

Vile vile:
- equation ya ndege ya kuratibu;
- equation ya ndege ya kuratibu.

Hebu tufanye shida kidogo, fikiria ndege (hapa na zaidi katika aya tunafikiri kwamba coefficients ya nambari si sawa na sifuri). Hebu tuandike upya equation katika fomu:. Jinsi ya kuielewa? "X" ni DAIMA, kwa maadili yoyote ya "Y" na "Z", sawa na nambari fulani. Ndege hii ni sambamba na ndege ya kuratibu. Kwa mfano, ndege ni sambamba na ndege na hupitia hatua.

Vile vile:
- equation ya ndege ambayo ni sambamba na ndege ya kuratibu;
- equation ya ndege ambayo ni sambamba na ndege ya kuratibu.

Wacha tuongeze wanachama:. Mlinganyo unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: , yaani, "zet" inaweza kuwa chochote. Ina maana gani? "X" na "Y" zimeunganishwa na uhusiano, ambao huchota mstari fulani wa moja kwa moja kwenye ndege (utagundua equation ya mstari katika ndege ?). Kwa kuwa "z" inaweza kuwa chochote, mstari huu wa moja kwa moja "unaigwa" kwa urefu wowote. Kwa hivyo, equation inafafanua ndege inayofanana na mhimili wa kuratibu

Vile vile:
- equation ya ndege ambayo ni sambamba na mhimili wa kuratibu;
- equation ya ndege ambayo iko sambamba na mhimili wa kuratibu.

Ikiwa maneno ya bure ni sifuri, basi ndege zitapita moja kwa moja kupitia axes zinazofanana. Kwa mfano, "usawa wa moja kwa moja" wa kawaida: . Chora mstari wa moja kwa moja kwenye ndege na uizidishe kiakili juu na chini (kwani "Z" ni yoyote). Hitimisho: ndege iliyofafanuliwa na equation inapita kupitia mhimili wa kuratibu.

Tunakamilisha ukaguzi: equation ya ndege hupitia asili. Naam, hapa ni dhahiri kabisa kwamba uhakika unakidhi equation hii.

Na hatimaye, kesi iliyoonyeshwa kwenye mchoro: - ndege ni ya kirafiki na shoka zote za kuratibu, wakati daima "hukata" pembetatu, ambayo inaweza kuwa katika octants yoyote ya nane.

Ukosefu wa usawa katika nafasi

Ili kuelewa habari unahitaji kusoma vizuri usawa wa mstari katika ndege , kwa sababu mambo mengi yatafanana. Aya itakuwa ya muhtasari mfupi wa asili na mifano kadhaa, kwani nyenzo ni nadra sana katika mazoezi.

Ikiwa equation inafafanua ndege, basi usawa
uliza nafasi nusu. Ikiwa usawa sio kali (mbili za mwisho katika orodha), basi suluhisho la usawa, pamoja na nafasi ya nusu, pia linajumuisha ndege yenyewe.

Mfano 5

Pata kitengo cha vector ya kawaida ya ndege .

Suluhisho: Vekta ya kitengo ni vekta ambayo urefu wake ni moja. Wacha tuangazie vekta hii kwa . Ni wazi kabisa kuwa vekta ni collinear:

Kwanza, tunaondoa vector ya kawaida kutoka kwa equation ya ndege:.

Jinsi ya kupata vector ya kitengo? Ili kupata vector ya kitengo, unahitaji kila gawanya uratibu wa vekta kwa urefu wa vekta.

Wacha tuandike tena vekta ya kawaida katika fomu na tupate urefu wake:

Kulingana na hapo juu:

Jibu:

Uthibitishaji: ni nini kilihitajika kuthibitishwa.

Wasomaji ambao walisoma kwa uangalifu aya ya mwisho ya somo labda waligundua hilo kuratibu za vector ya kitengo ni hasa cosines mwelekeo wa vector:

Wacha tuchukue mapumziko kutoka kwa shida iliyopo: unapopewa vekta ya kiholela isiyo ya sifuri, na kulingana na hali inahitajika kupata mwelekeo wake wa cosines (tazama shida za mwisho za somo Bidhaa ya dot ya vekta ), basi, kwa kweli, unapata collinear ya vekta kwa hii. Kweli kazi mbili katika chupa moja.

Haja ya kupata kitengo cha vekta ya kawaida hutokea katika baadhi ya matatizo ya uchambuzi wa hisabati.

Tumegundua jinsi ya kuvua vekta ya kawaida, sasa hebu tujibu swali tofauti:

Jinsi ya kuunda equation ya ndege kwa kutumia uhakika na vector ya kawaida?

Ujenzi huu mgumu wa vekta ya kawaida na sehemu inajulikana sana kwa ubao wa mishale. Tafadhali nyoosha mkono wako mbele na kiakili uchague mahali kiholela katika nafasi, kwa mfano, paka mdogo kwenye ubao wa pembeni. Kwa wazi, kupitia hatua hii unaweza kuteka ndege moja perpendicular kwa mkono wako.

Equation ya ndege inayopita kwa uhakika kwa vekta inaonyeshwa na formula:

Rudi