1. Inawezekana kuthibitisha taarifa kwamba ikiwa mfumo wa kuratibu wa mstatili OXYZ unatolewa katika nafasi, basi equation yoyote ya shahada ya kwanza na tatu. haijulikani x,y,z muhimu na kwa kutosha hufafanua ndege fulani inayohusiana na mfumo huu R. Equation hii inaitwa jumla equation ya ndege na ina mtazamo unaofuata:
A X+ B katika+ C z+ D= 0 (17)
(linganisha na equation ya jumla (15) ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege, ambayo inafuata kutoka kwa hii kwa z = 0) na kufafanua ndege. R, perpendicular kwa vector (A,B,C).
Vector - vector ya kawaida ya ndege R.
Mlinganyo (17) ni sawa na milinganyo ifuatayo.
2. Mlinganyo wa ndege inayopita kwenye sehemu fulani M( x 0, y 0, z 0):
A( X- X 0) + B( katika-katika 0) + C( z-z 0) = 0.
3. Equation ya ndege katika makundi
,
Wapi 
; 
; 
.
4. Mlinganyo wa ndege inayopita kwenye tatu kupewa pointi, sio uongo kwenye mstari huo huo, imeandikwa kama kiashiria
,
Wapi ( X 1 , y 1 , z 1), (X 2 , y 2 , z 2), (X 3 , y 3 , z 3) - kuratibu za pointi zilizotolewa.
Pembe kati ya ndege mbili hufafanuliwa kama pembe kati ya vekta zao za kawaida n 1 na n 2. Kwa hivyo hali ya ndege zinazofanana
R 1 na R 2:
na hali ya perpendicularity ya ndege mbili:
A 1 A 2 + B 1 KATIKA 2 + C 1 NA 2 = 0 .
Mfano 29. Kupitia hatua KWA(1, -3, 2) chora ndege sambamba na vekta
a =(1, 2, -3) na b =(2,-1,-1) .
Suluhisho. Acha M ( X, katika, z) - hatua ya kiholela ya ndege inayotaka. Vekta
KM = (X- 1, katika+ 3, z- 2) iko katika ndege hii, na vekta A Na b sambamba nayo. Kwa hiyo, vectors KM , a na b ni coplanar. Kisha bidhaa zao zilizochanganywa ni sawa na sifuri:
.
Kwa hivyo -(x -1) - (y + 3) - 5(z - 2) = 0 au x+ 7y + 5z + 10 = 0. Hii ni equation inayotakiwa ya ndege.
Aina tofauti milinganyo ya mstari katika nafasi
Mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi unaweza kubainishwa kama:
1) mistari ya makutano ya ndege mbili zisizo za sanjari na zisizo sawa R 1 na R 2:
;
2) milinganyo ya mstari unaopita kwenye sehemu fulani M(X 0 , katika 0 , z 0) katika mwelekeo uliowekwa na vector L = (m, n, uk):
,
ambayo inaitwa mlinganyo wa kisheria wa mstari katika nafasi;
3) milinganyo ya mstari wa moja kwa moja kupita pointi mbili zilizotolewa M(X 1 , katika 1 , z 1)
Na M(x 2 , y 2 , z 2):
;
4) milinganyo ya parametric:
.
Mfano 30. Punguza equation ya mstari wa moja kwa moja kwa fomu za kisheria na parametric
.
Suluhisho. Mstari wa moja kwa moja hufafanuliwa kama mstari wa makutano ya ndege mbili. Vekta za kawaida za ndege hizi n 1 = (3,1,-2) na n 2 = (4,-7,-1) ni za pembeni kwa mstari unaotaka, kwa hivyo bidhaa zao za vekta [ n 1 , n 2 ] = L sambamba nayo ni vekta [ n 1 , n 2 ] (au collinear yoyote) inaweza kuchukuliwa kama vekta ya mwelekeo L mstari wa moja kwa moja unaotaka.
[n 1 , n 2 ] = 
.
Hebu tuchukue kama L = 3i + j + 5k. Inabakia kupata hatua fulani kwenye mstari uliopewa. Kwa hili tunaweka, kwa mfano, z = 0. Tunapata
.
Baada ya kusuluhisha mfumo huu, tunapata X = 1, katika= - 2. Hivyo, uhakika KWA(1, -2, 0) ni ya mstari fulani, na mlinganyo wake wa kisheria una fomu
1. Aina za milinganyo ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege
| Jina | Uteuzi |
| Mlinganyo wa jumla wa mstari wa moja kwa moja kwenye ndege | Ax + Bou + C = 0 perpendicular kwa vekta = (A, B) |
| Mlinganyo wa mstari katika sehemu | Ambapo a ni uratibu wa hatua ya makutano ya mstari na mhimili wa Ox, na b ni uratibu wa hatua ya makutano ya mstari na mhimili wa Oy. |
| Mlinganyo wa kawaida wa mstari | xcos j + ysin j - p = 0, p ni urefu wa perpendicular imeshuka kutoka asili hadi mstari wa moja kwa moja, na j ni angle inayoundwa na perpendicular hii na mwelekeo mzuri wa mhimili wa Ox. |
| Equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko |
2. Matatizo ya msingi kwenye mstari wa moja kwa moja katika nafasi
| Kazi | Utekelezaji wake |
| Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili M 1 (x 1, y 1, z 1) na M 2 (x 2, y 2, z 2), |
|
| Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye ndege |
|
| Hali ya perpendicularity na usawa wa mistari | Mistari miwili inalingana ikiwa k 1 = k 2. Mistari miwili ni perpendicular ikiwa |
| Umbali kutoka kwa uhakika M(x 0, y 0) hadi mstari wa moja kwa moja Ah + Wu + C = 0 |
|
3. Aina za milinganyo ya ndege katika nafasi
| Jina | Uteuzi |
| Mlinganyo wa jumla wa ndege | Ax + By + Cz + D = 0, ambapo A, B, C ni kuratibu za vekta. |
| Mlinganyo wa ndege inayopita kwenye sehemu fulani M 0 (x 0, y 0, z 0) ni ya kawaida. vekta hii(A, B, C) | A (x – x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0. |
| Equation ya ndege katika sehemu | Nambari a, b, c ni sehemu za makutano ya ndege na shoka x, y, z, kwa mtiririko huo. |
4. Matatizo ya msingi kwenye ndege katika nafasi
| Kazi | Utekelezaji wake |
| Equation ya ndege kupita pointi tatu |
|
| Umbali kutoka kwa uhakika M 0 (x 0, y 0, z 0) hadi ndege Ах+Бу+Сz +D =0 |
|
| Pembe kati ya ndege |
|
| Masharti ya usawa na perpendicularity ya ndege | Ndege perpendicular Kama: . Ndege, sambamba, Kama |
5. Aina za milinganyo ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi
| Jina | Uteuzi |
| Milinganyo ya parametric ya mstari | |
| Milinganyo ya kisheria ya mstari |
|
| Milinganyo ya jumla ya mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi |
|
, ambapo (m, n, p) ni vector ya mwelekeo wa mstari, na M 0 (x 0, y 0, z 0) ni hatua ambayo mstari hupita.
, ambapo vector ya mwelekeo6. Matatizo ya msingi kwenye mstari wa moja kwa moja katika nafasi
| Kazi | Utekelezaji wake |
| Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja katika nafasi, kupita pointi mbili M 1 (x 1, y 1, z 1) na M 2 (x 2, y 2, z 2) |
|
| Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye nafasi |
|
| Masharti ya usawa na perpendicularity ya mistari katika nafasi | mistari ni sambamba kama mistari ni perpendicular ikiwa . |
7. Matatizo ya msingi kwenye ndege na mstari katika nafasi
8. Mikondo ya utaratibu wa pili
| Jina | Mfumo | Tafsiri ya kijiometri |
| Ellipse |
|
|
| Mduara |
|
|
| Hyperbola |
|
|
|
|
||
| Parabola | katika 2 = 2px |
|
|
|
9. Nyuso za utaratibu wa pili
| Jina | Mfumo | Tafsiri ya kijiometri |
| tufe |
|
|
| silinda ya elliptical |
|
|
| silinda ya hyperbolic |
|
|
| silinda ya kimfano |
|
|
| koni |
|
|
| ellipsoid |
|
|
| hyperboloid ya strip moja |
| |
| hyperboloid ya karatasi mbili |
|
|
| paraboloid ya mviringo |
|
|
| hyperbolic paraboloid |
|
au
Katika moduli hii, mwanafunzi lazima asome nyenzo za kinadharia juu ya iliyopendekezwa vipengele vya elimu. (sentimita. Nyenzo za kinadharia katika hisabati ya juu: nyenzo za elimu kwa mwanafunzi. Sehemu ya I. Iliyoundwa na: Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. - Togliatti: TSU, 2005 na ziada. fasihi)
Jedwali la 7 linaonyesha ratiba ya kusoma nyenzo za kinadharia za moduli ya "Jiometri ya Uchambuzi"
Jedwali 7
| mafunzo | nyenzo za kinadharia |
|
| Masomo ya kusikia | ||
| "Wazo la equation ya mstari kwenye ndege" | ||
| "Ndege na mstari katika nafasi" | Nyenzo za kinadharia juu ya mada "Vipengele vya nadharia iliyowekwa" |
|
| "Mikondo ya mpangilio wa pili" | Nyenzo za kinadharia juu ya mada "Vipengele vya nadharia ya graph" |
|
| "Nyuso za mpangilio wa pili" | Nyenzo za kinadharia juu ya mada " Maadili ya Eigen matrices" |
|
Kwa maswali yoyote, wasiliana na mshauri wa kitaaluma kwa kuuliza maswali kwenye jukwaa la tovuti ya elimu.
Mwanafunzi pia anapaswa kujifahamu kazi za kawaida na mazoezi ya moduli ili kukamilisha toleo lako la IPD (tazama Mwongozo wa kutatua matatizo: msaada wa kufundishia kwa wanafunzi Sehemu ya I. Imetungwa na: Nikitina M.G., Pavlova E.S., - Tolyatti: TSU, 2008.)
Jedwali la 8 linaonyesha ratiba ya masomo masuala ya vitendo moduli "Jiometri ya Uchambuzi"
Jedwali 8
| mafunzo | Mafunzo ya vitendo |
|
| Masomo ya kusikia | kazi ya kujitegemea |
|
| Kutatua shida kwenye mada "Mstari wa moja kwa moja kwenye ndege" | ||
| Kutatua shida kwenye mada "Ndege na mstari kwenye nafasi" | Kutatua shida kwenye mada "Vipengele vya nadharia iliyowekwa" |
|
| Kutatua shida kwenye mada "Mikondo ya agizo la pili" | Kutatua shida kwenye mada "Vipengele vya nadharia ya graph" |
|
| Kutatua shida kwenye mada "Nyuso za mpangilio wa pili" | Kutatua shida kwenye mada "Eigenvalues ya matrix" |
|
Kwa maswali yote, wasiliana na mshauri wa kitaaluma kwa kuuliza maswali kwenye jukwaa la portal ya elimu au wakati wa saa za mashauriano ya mtu binafsi (ratiba ya mashauriano ya mtu binafsi imewasilishwa kwenye bandari ya elimu).
Mwanafunzi lazima amalize chaguo lake kazi ya nyumbani(angalia kazi ya nyumbani ya kibinafsi kwa wanafunzi wanaosoma katika teknolojia ya 30/70. Sehemu ya I. Imeandaliwa na: Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. ., - Tolyatti: TSU, 2005).
Ratiba ya utekelezaji imewasilishwa na IDZ katika Jedwali 9.
Jedwali 9
| Wiki ya mafunzo | |
| kutoka kwa kazi 1 hadi 4 |
|
| kutoka 5 hadi 7 kazi |
|
| kutoka 8 hadi 11 kazi |
|
| 12.13 kazi |
Mwishoni mwa wiki ya 12, peleka IDD kwa mshauri wa kitaaluma na upokee uandikishaji wa majaribio kwenye tovuti ya elimu.
Washa wiki ya kumi na tatu Wakati wa mafunzo, wanafunzi hupitia majaribio ya moduli, ambayo yamewekwa kwenye ratiba.
Equations zote za ndege, ambazo zimejadiliwa katika aya zifuatazo, zinaweza kupatikana kutoka kwa equation ya jumla ya ndege, na pia kupunguzwa kwa mlingano wa jumla ndege. Kwa hivyo, wanapozungumza juu ya mlinganyo wa ndege, wanamaanisha mlingano wa jumla wa ndege, isipokuwa kama imeelezwa vinginevyo.
Equation ya ndege katika sehemu.
Tazama mlinganyo wa ndege 
, ambapo a, b na c ni nambari zisizo za sifuri halisi, inaitwa equation ya ndege katika sehemu.
Jina hili sio la bahati mbaya. Maadili kamili nambari a, b na c ni sawa na urefu wa sehemu ambazo ndege hukata kwenye shoka za kuratibu Ox, Oy na Oz, kwa mtiririko huo, kuhesabu kutoka asili. Ishara ya nambari a, b na c inaonyesha ni mwelekeo gani (chanya au hasi) sehemu zinapaswa kupangwa kwenye axes za kuratibu.
Kwa mfano, wacha tujenge ndani mfumo wa mstatili huratibu ndege ya Oxyz inayofafanuliwa na mlinganyo wa ndege katika sehemu 
. Ili kufanya hivyo, alama hatua ambayo ni vitengo 5 mbali na asili katika mwelekeo mbaya wa mhimili wa abscissa, vitengo 4 katika mwelekeo mbaya wa mhimili wa kuratibu, na vitengo 4 katika mwelekeo mzuri wa mhimili unaotumika. Yote iliyobaki ni kuunganisha pointi hizi na mistari ya moja kwa moja. Ndege ya pembetatu inayosababisha ni ndege inayolingana na equation ya ndege katika sehemu za fomu. .
Ili kupata zaidi habari kamili rejelea equation ya kifungu cha ndege katika sehemu, inaonyesha kupunguzwa kwa equation ya ndege katika sehemu hadi equation ya jumla ya ndege, huko pia utapata ufumbuzi wa kina mifano ya kawaida na kazi.
Mlinganyo wa kawaida wa ndege.
Equation ya jumla ya ndege ya fomu inaitwa equation ya kawaida ya ndege, Kama 
sawa na moja, yaani, 
, Na.
Mara nyingi unaweza kuona kwamba equation ya kawaida ya ndege imeandikwa kama . Hapa kuna mwelekeo wa cosines wa vector ya kawaida ya ndege iliyotolewa ya urefu wa kitengo, yaani, na p ni nambari isiyo ya hasi sawa na umbali kutoka asili hadi ndege.
Mlinganyo wa kawaida wa ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz hufafanua ndege ambayo hutolewa kutoka kwa asili na umbali p katika mwelekeo mzuri wa vekta ya kawaida ya ndege hii. 
. Ikiwa p = 0, basi ndege hupitia asili.
Wacha tutoe mfano wa equation ya kawaida ya ndege.
Acha ndege ielezwe katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz na equation ya jumla ya ndege ya fomu. 
. Mlinganyo huu wa jumla wa ndege ni mlinganyo wa kawaida wa ndege. Hakika, vector ya kawaida ya ndege hii ni 
ina urefu sawa na moja, kwa sababu 
.
Equation ya ndege katika fomu ya kawaida inakuwezesha kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege.
Tunapendekeza uelewe aina hii ya mlinganyo wa ndege kwa undani zaidi, uangalie masuluhisho ya kina kwa mifano na matatizo ya kawaida, na pia ujifunze jinsi ya kupunguza mlinganyo wa jumla wa ndege kuwa kuangalia kawaida. Unaweza kufanya hivyo kwa kurejelea makala.
Bibliografia.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Jiometri. Kitabu cha maandishi kwa darasa la 10-11 la shule ya sekondari.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Hisabati ya juu. Juzuu ya kwanza: vipengele vya aljebra ya mstari na jiometri ya uchanganuzi.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Jiometri ya uchambuzi.
12.1. Dhana za Msingi
Uso na mlinganyo wake
Uso katika nafasi unaweza kuchukuliwa kama eneo la pointi zinazokidhi hali fulani. Kwa mfano, nyanja ya radius R iliyo na kituo katika hatua O 1 ni eneo la kijiometri la pointi zote katika nafasi iliyo umbali R kutoka kwa uhakika O 1.
Mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz katika nafasi inatuwezesha kuanzisha mawasiliano ya moja kwa moja kati ya pointi katika nafasi na mara tatu ya namba x, y na z - kuratibu zao. Sifa inayofanana kwa nukta zote kwenye uso inaweza kuandikwa kama mlinganyo unaounganisha viwianishi vya pointi zote kwenye uso.
Mlinganyo wa uso uliopeanwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz ni mlinganyo F(x, y, z) = 0 na viambajengo vitatu x, y na z, ambayo inaridhishwa na kuratibu za kila nukta iliyo juu ya uso na kutoridhika. kuratibu pointi, sio uongo juu ya uso huu. Vigezo vya x, y, na z katika mlinganyo wa uso huitwa viwianishi vya sasa vya sehemu za uso.
Equation ya uso inaruhusu utafiti wa mali ya kijiometri ya uso kubadilishwa na utafiti wa equation yake. Kwa hivyo, ili kujua ikiwa nukta M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1) iko kwenye uso uliopeanwa, inatosha kubadilisha viwianishi vya nukta M 1 kwenye equation ya uso badala ya viwezo: ikiwa kuratibu hizi zinakidhi equation, basi hatua iko juu ya nyuso, ikiwa haikidhi, haisemi uongo.
Mlinganyo wa tufe
Hebu tutafute mlingano wa duara la kipenyo R na kituo katika hatua O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0). Kulingana na ufafanuzi wa tufe, umbali wa pointi zake zozote M(x; y; z) kutoka katikati O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0) ni sawa na radius R, yaani O 1 M= R. Lakini, wapi. Kwa hivyo,
Huu ndio mlinganyo unaohitajika wa tufe. Inaridhishwa na kuratibu za pointi zake yoyote na haijaridhika na kuratibu za pointi ambazo hazilala kwenye nyanja iliyotolewa.
Ikiwa katikati ya nyanja Ο 1 inalingana na asili ya kuratibu, basi equation ya nyanja inachukua fomu.
Ikiwa equation ya fomu F(x;y;z) = 0 imetolewa, basi, kwa ujumla, inafafanua uso fulani katika nafasi.
Usemi "kuzungumza kwa ujumla" unamaanisha kuwa katika hali zingine mlinganyo F(x; y; z) = 0 hauwezi kufafanua uso, lakini nukta, mstari, au kutofafanua kabisa picha yoyote ya kijiometri. Wanasema "uso huharibika."
Kwa hivyo, equation haijaridhishwa na maadili yoyote halisi ya x, y, z. Equation inaridhika tu na kuratibu za pointi zilizo kwenye mhimili wa Ox (kutoka kwa equation ifuatavyo: y = 0, z = 0, na x ni nambari yoyote).
Kwa hivyo, uso katika nafasi unaweza kufafanuliwa kijiometri na uchambuzi. Hii inasababisha uundaji wa kazi kuu mbili:
1. Sehemu inatolewa kama eneo la pointi. Pata equation ya uso huu.
2. Kwa kuzingatia mlinganyo F(x;y;z) = 0. Chunguza umbo la uso unaofafanuliwa na mlingano huu.
Milinganyo ya mstari katika nafasi
Mstari katika nafasi unaweza kuzingatiwa kama mstari wa makutano ya nyuso mbili (ona Mchoro 66) au kama eneo la pointi zinazojulikana kwa nyuso mbili.
Kama 
Na 
- milinganyo ya nyuso mbili zinazofafanua mstari L, kisha kuratibu za pointi za mstari huu zinakidhi mfumo wa hesabu mbili na tatu zisizojulikana:
(12.1)
Ulinganisho wa mfumo (12.1) huitwa milinganyo ya mstari katika nafasi. Kwa mfano, kuna milinganyo ya mhimili wa Ox.
Mstari katika nafasi inaweza kuchukuliwa kama trajectory ya uhakika (ona Mtini. 67). Katika kesi hii, inatolewa na equation ya vector
au milinganyo ya parametric
makadirio ya vekta (12.2) kwenye shoka za kuratibu. 
Kwa mfano, equations ya parametric ya helix ina fomu
Ikiwa hatua ya M inasonga sawasawa kwenye jenereta ya silinda ya mviringo, na silinda yenyewe inazunguka sawasawa karibu na mhimili, kisha hatua M inaelezea mstari wa helical (ona Mchoro 68).
12.2. Equations ya ndege katika nafasi
Uso rahisi zaidi ni ndege. Ndege iliyo katika nafasi ya Oxyz inaweza kubainishwa njia tofauti. Kila mmoja wao sambamba aina fulani milinganyo yake.
Mlinganyo wa ndege inayopita kwenye sehemu fulani inayoendana na vekta fulani
Acha ndege ya Q katika nafasi ya Oxyz ifafanuliwe kwa uhakika 
na vector perpendicular kwa ndege hii (ona Mchoro 69). Hebu tupate equation ya ndege Q. Chukua hatua ya kiholela juu yake na utunge vector. Kwa eneo lolote la uhakika M kwenye ndege Q, vekta na ni za pande zote, kwa hivyo bidhaa ya scalar sawa na sifuri:, i.e.
(12.3)
Viwianishi vya sehemu yoyote kwenye ndege ya Q vinatosheleza mlingano (12.3); viwianishi vya pointi ambazo hazipo kwenye ndege ya Q haziridhishi mlingano huu (kwao ).
Equation (12.3) inaitwa equation ya ndege kupita katika hatua fulani perpendicular kwa vector. Ni ya shahada ya kwanza kuhusiana na viwianishi vya sasa x, y, z. Vector inaitwa vector ya kawaida ya ndege.
Kupeana vigawo A, B na C kwa mlinganyo (12.3) maana tofauti, unaweza kupata mlinganyo wa ndege yoyote inayopita kwenye uhakika. Seti ya ndege zinazopitia hatua fulani inaitwa kifungu cha ndege, na equation (12.3) inaitwa equation ya kifungu cha ndege.
Mlinganyo wa jumla wa ndege
Fikiria mlingano wa jumla wa shahada ya kwanza na vigeu vitatu x, y na z:
Kwa kuchukulia kwamba angalau kihesabu kimoja cha A, B au C si sawa na sifuri, kwa mfano, tunaandika upya mlinganyo (12.4) katika fomu
Kulinganisha mlinganyo (12.5) na mlinganyo (12.3), tunaona kwamba milinganyo (12.4) na (12.5) ni mlinganyo wa ndege yenye vekta ya kawaida inayopita kwenye nukta. 
.
Kwa hivyo, equation (12.4) inafafanua ndege fulani katika mfumo wa kuratibu wa Oxyz. Equation (12.4) inaitwa mlinganyo wa jumla wa ndege.
Kesi maalum za equation ya jumla ya ndege:
1. Ikiwa D = 0, basi inachukua fomu. Mlinganyo huu unaridhika na hoja. Kwa hiyo, katika kesi hii ndege hupitia asili.
2. Ikiwa C = 0, basi tuna equation. Vekta ya kawaida iko kwenye mhimili wa Οz. Kwa hivyo, ndege ni sambamba na mhimili wa Οz; ikiwa B = 0 - sambamba na mhimili wa Oy, A = 0 - sambamba na mhimili wa Ox.
3. Ikiwa C = D = 0, basi ndege hupitia sambamba na mhimili wa Οz, yaani, ndege hupitia mhimili wa Οz. Vile vile, milinganyo inalingana na ndege zinazopita kupitia shoka za Ox na Oy, mtawalia.
4. Ikiwa A = B = 0, basi equation (12.4) inachukua fomu , yaani Ndege ni sambamba na ndege ya Oxy. Vile vile, equations na yanahusiana na ndege, kwa mtiririko huo sambamba na ndege Oyz na Οxz.
5. Ikiwa A = B = D = 0, basi equation (12.4) itachukua fomu , yaani z = 0. Hii ni equation ya ndege ya Oxy. Vile vile: y = 0 - equation ya ndege ya Οxz; x = O - mlinganyo wa ndege ya Oyz.
Mlinganyo wa ndege kupita pointi tatu zilizotolewa
Pointi tatu katika nafasi ambazo hazilala kwenye mstari sawa hufafanua ndege moja. Wacha tupate mlinganyo wa ndege Q kupitia alama tatu zilizopewa M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) na M 3 (x 3 , y 3) , z 3), bila kulalia kwenye mstari mmoja ulionyooka.
Hebu tuchukue hatua ya kiholela M(x;y;z) kwenye ndege na tutengeneze vekta , , . Vekta hizi ziko kwenye ndege ya Q, kwa hivyo ni coplanar. Tunatumia hali ya coplanarity ya vectors tatu (bidhaa zao mchanganyiko ni sawa na sifuri), tunapata, i.e.
(12.6)
Equation (12.6) ni mlinganyo wa ndege kupita pointi tatu zilizotolewa.
Equation ya ndege katika sehemu
Acha ndege ikate sehemu kwenye shoka za Ox, Oy na Oz, mtawalia a, b Na c, yaani hupitia pointi tatu A(a;0;0), B(0;b;0) Na C(0;0;c)(tazama Mchoro 70). Kubadilisha kuratibu za pointi hizi katika equation (12.6), tunapata
Kupanua kibainishi, tuna , yaani, au
(12.7)
Equation (12.7) inaitwa mlinganyo wa ndege katika sehemu kwenye shoka. Ni rahisi kutumia wakati wa kuunda ndege.
Mlinganyo wa kawaida wa ndege
Msimamo wa ndege Q imedhamiriwa kabisa kwa kutaja vekta ya kitengo iliyo na mwelekeo wa OK perpendicular, iliyoshushwa hadi
ndege kutoka asili, na urefu uk hii perpendicular (tazama Mchoro 71).
Acha sawa = uk, na α, β, g ni pembe zinazoundwa na vekta ya kitengo е na shoka za Ox, Oy na Οz. Kisha. Wacha tuchukue hatua ya kiholela M(x; y; z) kwenye ndege na kuiunganisha na asili. Wacha tuunde vekta. Kwa nafasi yoyote ya uhakika M kwenye ndege Q, makadirio ya vector ya radius kwenye mwelekeo wa vector daima ni sawa na p:, i.e.
(12.8)
Equation (12.8) inaitwa equation ya kawaida ya ndege katika fomu ya vector. Kujua kuratibu za vekta f na e, tunaandika upya equation (12.8) katika fomu.
Equation (12.9) inaitwa equation ya kawaida ya ndege katika fomu ya kuratibu.
Kumbuka kwamba mlinganyo wa jumla wa ndege (12.4) unaweza kupunguzwa hadi mlinganyo wa kawaida (12.9) kwa njia sawa na ulifanywa kwa mlinganyo wa mstari kwenye ndege. Yaani: zidisha pande zote mbili za mlinganyo (12.4) kwa sababu ya kuhalalisha 
, ambapo ishara inachukuliwa kinyume na ishara ya neno la bure D la equation ya jumla ya ndege.
Katika sehemu ya awali iliyotolewa kwa ndege katika nafasi, tulichunguza suala kutoka kwa mtazamo wa jiometri. Sasa hebu tuendelee kuelezea ndege kwa kutumia milinganyo. Kuangalia ndege kutoka upande wa algebra kunahusisha kuzingatia aina kuu za equation ya ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili O x y z wa nafasi tatu-dimensional.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ufafanuzi wa equation ya ndege
Ufafanuzi 1Ndege-Hii takwimu ya kijiometri, yenye pointi za kibinafsi. Kila hatua katika nafasi tatu-dimensional inalingana na kuratibu ambazo zinatajwa na nambari tatu. Equation ya ndege huanzisha uhusiano kati ya kuratibu za pointi zote.
Mlinganyo wa ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili 0xz una umbo la mlinganyo wenye vigezo vitatu x, y na z. Viwianishi vya sehemu yoyote iliyo ndani ya ndege fulani vinakidhi mlingano; viwianishi vya pointi nyingine zozote ambazo ziko nje ya ndege husika hazifai.
Kubadilisha ncha katika ndege fulani kuwa mlinganyo wa ndege iliyoratibu hugeuza mlinganyo kuwa utambulisho. Wakati wa kubadilisha kuratibu za hatua iliyo nje ya ndege, equation inageuka kuwa usawa usio sahihi.
Equation ya ndege inaweza kuwa na aina kadhaa. Kulingana na maalum ya matatizo yanayotatuliwa, usawa wa ndege unaweza kuandikwa kwa njia tofauti.
Mlinganyo wa jumla wa ndege
Wacha tutengeneze nadharia kisha tuandike equation ya ndege.
Nadharia 1
Ndege yoyote katika mfumo wa kuratibu wa mstatili O x y z katika nafasi ya pande tatu inaweza kubainishwa kwa mlinganyo wa fomu A x + B y + C z + D = 0, ambapo A, B, C na D- baadhi ya nambari halisi ambazo si sawa na sifuri kwa wakati mmoja. Mlinganyo wowote wa fomu A x + B y + C z + D = 0 hufafanua ndege katika nafasi ya pande tatu.
Equation ya fomu A x + B y + C z + D = 0 inaitwa equation ya jumla ya ndege. Ikiwa hutaambatisha nambari A, B, C Na D maadili maalum, basi tunapata equation ya ndege kwa fomu ya jumla.
Ni muhimu kuelewa kwamba equation λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 itafafanua ndege kwa njia sawa kabisa. Katika equation, λ ni nambari halisi isiyo ya sifuri. Hii ina maana kwamba usawa A x + B y + C z + D = 0 na λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 ni sawa.
Mfano 1
Milinganyo ya jumla ya ndege x - 2 · y + 3 · z - 7 = 0 na - 2 · x + 4 · y - 2 3 · z + 14 = 0 ni kuridhika na kuratibu za pointi sawa ziko katika tatu- nafasi ya dimensional. Hii ina maana kwamba wanafafanua ndege sawa.
Wacha tutoe ufafanuzi wa nadharia iliyojadiliwa hapo juu. Ndege na equation yake haiwezi kutenganishwa, kwa kuwa kila equation A x + B y + C z + D = 0 inalingana na ndege katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili, na kila ndege iliyo katika nafasi ya tatu-dimensional inalingana na equation yake ya fomu. A x + B y + C z + D = 0.
Mlinganyo wa ndege A x + B y + C z + D = 0 unaweza kuwa kamili au haujakamilika. Vigawo vyote A, B, C na D ndani mlinganyo kamili ni tofauti na sifuri. Vinginevyo, equation ya jumla ya ndege inachukuliwa kuwa haijakamilika.
Ndege ambazo zimeainishwa milinganyo isiyo kamili, inaweza kuwa sawa na axes ya kuratibu, kupita kupitia axes ya kuratibu, sanjari na ndege za kuratibu au kuwa iko sambamba nao, kupitia asili ya kuratibu.
Mfano 2
Fikiria nafasi katika nafasi ya ndege iliyotolewa na equation 4 · y - 5 · z + 1 = 0.
Ni sambamba na mhimili wa x na iko perpendicular kwa ndege ya O y z. Equation z = 0 inafafanua ndege ya kuratibu O y z, na equation ya jumla ya ndege ya fomu 3 x - y + 2 z = 0 inafanana na ndege inayopitia asili.
Ufafanuzi muhimu: coefficients A, B na C katika equation ya jumla ya ndege inawakilisha kuratibu za vector ya kawaida ya ndege.
Wanapozungumza juu ya usawa wa ndege, wanamaanisha usawa wa jumla wa ndege. Aina zote za usawa wa ndege, ambazo tutazungumzia katika sehemu inayofuata ya makala, zinapatikana kutoka kwa usawa wa jumla wa ndege.
Mlinganyo wa kawaida wa ndege
Equation ya ndege ya kawaida ni equation ya jumla ya ndege ya fomu A x + B y + C z + D = 0, ambayo inakidhi masharti yafuatayo: urefu wa vector n → = (A, B, C) ni sawa na moja. , i.e. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1, na D ≤ 0.
Pia, kuandika equation ya kawaida ya ndege inaweza kuwa na fomu ifuatayo cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, ambapo uk ni nambari isiyo hasi ambayo ni sawa na umbali kutoka kwa asili hadi kwa ndege, na cos α, cos β, cos γ ni kosini za mwelekeo wa vekta ya kawaida ya ndege fulani ya urefu wa kitengo.
n → = (cos α , cos β , cos γ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
Hiyo ni, kulingana na equation ya kawaida ya ndege, ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili O x y z huondolewa kutoka kwa asili kwa umbali. uk katika mwelekeo mzuri wa vector ya kawaida ya ndege hii n → = (cos α, cos β, cos γ). Kama uk sawa na sifuri, basi ndege hupitia asili.
Mfano 3
Ndege inafafanuliwa na mlinganyo wa jumla wa ndege wa fomu - 1 4 · x - 3 4 · y + 6 4 · z - 7 = 0. D = - 7 ≤ 0, vector ya kawaida ya ndege hii n → = - 1 4, - 3 4, 6 4 ina urefu sawa na moja, tangu n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 = 1. Ipasavyo, mlinganyo huu wa jumla wa ndege ni mlinganyo wa kawaida wa ndege.
Kwa utafiti wa kina zaidi wa equation ya kawaida ya ndege, tunapendekeza kwenda kwenye sehemu inayofaa. Mada hutoa uchambuzi wa matatizo na mifano ya kawaida, pamoja na mbinu za kuleta equation ya jumla ya ndege kwa fomu ya kawaida.
Ndege hukata sehemu za urefu fulani kwenye shoka za kuratibu O x, O y na O z. Urefu wa sehemu umebainishwa na nambari zisizo za sifuri halisi a, b na c. Mlinganyo wa ndege katika sehemu una fomu x a + y b + z c = 1. Ishara ya nambari a, b na c inaonyesha ni mwelekeo gani kutoka kwa thamani ya sifuri sehemu kwenye axes za kuratibu zinapaswa kupangwa.
Mfano 4
Wacha tujenge ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, ambao umebainishwa na equation ya fomula ya ndege katika sehemu x - 5 + y - 4 + z 4 = 1.
Pointi huondolewa kutoka kwa asili kwa mwelekeo mbaya na vitengo 5 kando ya mhimili wa abscissa, na vitengo 4 kwa mwelekeo mbaya kando ya mhimili wa kuratibu, na vitengo 4 kwa mwelekeo mzuri kando ya mhimili unaotumika. Weka alama alama na uziunganishe na mistari iliyonyooka.
Ndege ya pembetatu inayosababisha ni ndege inayolingana na equation ya ndege katika sehemu, ikiwa na fomu x - 5 + y - 4 + z 4 = 1.
Maelezo ya kina zaidi kuhusu mlinganyo wa ndege katika sehemu na kuleta mlinganyo wa ndege katika sehemu kwa mlinganyo wa jumla wa ndege inapatikana katika makala tofauti. Pia kuna idadi ya ufumbuzi wa matatizo na mifano juu ya mada.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter