Katika somo hili tutajifunza chaguzi mbalimbali mwingiliano wa duara na mstari wa moja kwa moja. Hebu tukumbuke ufafanuzi unaotumiwa sana katika kesi hii. Mstari wa moja kwa moja ni axiomatic isiyojulikana takwimu ya kijiometri, ambao ni mstari hata ulionyooka usio na mwanzo wala mwisho. Mduara ni seti ya pointi zinazolingana na kituo cha kawaida (katikati ya duara), iliyounganishwa na curve ya kawaida. Kwa maneno mengine, mduara ni curve ya kawaida iliyofungwa ambayo inaelezea upeo wa eneo linalowezekana.
Kwa kusema, kuna chaguzi tatu kwa nafasi ya jamaa ya duara na mstari wa moja kwa moja. Katika kesi ya kwanza, mstari wa moja kwa moja unaendesha kabisa nje ya mduara uliopewa, bila kuingilia au kugusa popote. Ikiwa mstari wa moja kwa moja unagusa hasa hatua moja maalum kutoka kwa seti kwenye mduara, basi mstari huu unaitwa tangent kuhusiana na mduara huu.
Tangent ina moja mali muhimu zaidi. Radi inayotolewa kwa hatua ya tangent ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja yenyewe. Video inaonyesha mduara wenye kituo cha O, mstari A na hatua tanjiti K. Kwa kuwa hatua hii ni ya umoja, mstari A ni tanjenti kwa mduara huu. Na pembe ya K inayoundwa na radius na sehemu yoyote ya mstari wa moja kwa moja ni sawa - sawa na digrii 90. Pia inafaa kuzingatia kipengele muhimu- tangent ina sehemu moja tu ya mawasiliano. Haiwezekani kuteka mstari wa moja kwa moja ili kugusa pointi mbili kwenye mduara tangentially.
Ikiwa mstari wetu wa moja kwa moja A unapita kwenye mzunguko mzima, ukigusa eneo lake la ndani, basi hii tayari ni ya tatu kesi maalum mwingiliano wa takwimu hizi. Katika kesi hii, mstari wa moja kwa moja hupita kwa ukali kupitia pointi mbili kwenye mduara - sema, B na C. Inaitwa mzunguko wa secant. Mstari wa secant daima hupitia pointi zozote mbili kutoka kwa seti kwenye curve. Kwa kuwa kuna pointi nyingi kwenye mduara, inawezekana kuteka idadi isiyo na kikomo ya secants (pamoja na tangents) kwa mduara fulani.
Sehemu ya ndani ya mstari wa secant, kimsingi sehemu ya BC, ni chord kwa duara. Ikiwa secant inapita katikati ya duara, basi sehemu yake ya ndani inawakilishwa na chord kubwa zaidi - kipenyo. Katika kesi hii, pointi za makutano B na C ziko kwenye umbali mkubwa kutoka kwa kila mmoja (kulingana na mali ya kipenyo). Ni rahisi kuelewa kuwa kesi maalum kinyume ni secant ambayo huunda chord na thamani isiyo na kikomo; kwa kweli, tayari ni tangent.
Sehemu ya P mara nyingi inakabiliwa na matatizo - inaunganisha hatua inayofaa kwenye mstari wa moja kwa moja na katikati ya mduara yenyewe kwa njia fupi zaidi. Kwa maneno mengine, P ni sehemu ya TO, ambapo T ni hatua kwenye mstari wa moja kwa moja BC. Sehemu hii ni perpendicular kwa mstari, ugani wake kwa mduara yenyewe ni radius yake. Thamani ya mstari ya sehemu hii inaweza kuhesabiwa kwa njia ya cosine ya pembe inayoundwa na radius na mstari wa secant, na vertex kwenye hatua ya sehemu.
Wacha tukumbuke ufafanuzi muhimu - ufafanuzi wa duara]
Ufafanuzi:
Mduara ulio na kituo katika hatua O na radius R ni seti ya pointi zote za ndege ziko umbali R kutoka kwa uhakika O.
Wacha tuangalie ukweli kwamba mduara ni seti kila mtu pointi zinazokidhi hali iliyoelezwa. Hebu tuangalie mfano:
Pointi A, B, C, D ya mraba ni sawa na hatua E, lakini sio mduara (Mchoro 1).
Mchele. 1. Mchoro kwa mfano
KATIKA kwa kesi hii takwimu ni mduara, kwa kuwa yote ni seti ya pointi equidistant kutoka katikati.
Ikiwa unaunganisha pointi mbili kwenye mduara, unapata chord. Chord inayopita katikati inaitwa kipenyo.
MB - chord; AB - kipenyo; MnB ni arc, ni mkataba na MV chord;
Pembe inaitwa kati.
Pointi O ndio kitovu cha duara.
Mchele. 2. Mchoro kwa mfano
Kwa hivyo, tulikumbuka mduara ni nini na vitu vyake kuu. Sasa hebu tuendelee kuzingatia nafasi ya jamaa ya mduara na mstari wa moja kwa moja.
Imepewa mduara na kituo cha O na radius r. Mstari wa moja kwa moja P, umbali kutoka katikati hadi mstari wa moja kwa moja, yaani, perpendicular kwa OM, ni sawa na d.
Tunadhani kwamba hatua O haiko kwenye mstari wa P.
Kutokana na mduara na mstari wa moja kwa moja, tunahitaji kupata idadi ya pointi za kawaida.
Kesi ya 1 - umbali kutoka katikati ya duara hadi mstari wa moja kwa moja ni chini ya radius ya duara:
Katika kesi ya kwanza, wakati umbali d ni chini ya radius ya duara r, uhakika M iko ndani ya mduara. Kutoka hatua hii tutapanga makundi mawili - MA na MB, urefu ambao utakuwa . Tunajua maadili ya r na d, d ni chini ya r, ambayo ina maana usemi upo na pointi A na B zipo. Pointi hizi mbili ziko kwenye mstari wa moja kwa moja kwa ujenzi. Wacha tuangalie ikiwa wamelala kwenye duara. Wacha tuhesabu umbali wa OA na OB kwa kutumia nadharia ya Pythagorean:
Mchele. 3. Mchoro wa kesi 1
Umbali kutoka katikati hadi pointi mbili ni sawa na radius ya mduara, kwa hiyo tumethibitisha kwamba pointi A na B ni za mduara.
Kwa hivyo, pointi A na B ni za mstari kwa ujenzi, ni za mduara na kile kilichothibitishwa - mduara na mstari una pointi mbili za kawaida. Hebu tuthibitishe kwamba hakuna pointi nyingine (Mchoro 4).
Mchele. 4. Kielelezo kwa uthibitisho
Ili kufanya hivyo, chukua hatua ya kiholela C kwenye mstari wa moja kwa moja na ufikirie kuwa iko kwenye mduara - umbali OS = r. Katika kesi hii, pembetatu ni isosceles na wastani wake ON, ambayo hailingani na sehemu ya OM, ni urefu. Tunapata utata: perpendiculars mbili zimeshuka kutoka kwa uhakika O kwenye mstari wa moja kwa moja.
Kwa hivyo, hakuna alama zingine za kawaida kwenye mstari P na duara. Tumethibitisha kwamba katika kesi ambapo umbali d ni chini ya radius ya mduara r, mstari wa moja kwa moja na mduara una pointi mbili tu zinazofanana.
Kesi ya pili - umbali kutoka katikati ya duara hadi mstari wa moja kwa moja ni sawa na radius ya mduara (Mchoro 5):
Mchele. 5. Mchoro wa kesi 2
Kumbuka kwamba umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja ni urefu wa perpendicular, katika kesi hii OH ni perpendicular. Kwa kuwa, kwa hali, urefu wa OH ni sawa na radius ya mduara, basi uhakika H ni wa mduara, hivyo uhakika H ni wa kawaida kwa mstari na mduara.
Hebu tuthibitishe kwamba hakuna pointi nyingine za kawaida. Kwa kulinganisha: tuseme kwamba nukta C kwenye mstari ni ya duara. Katika kesi hii, umbali wa OS ni sawa na r, na kisha OS ni sawa na OH. Lakini katika pembetatu ya kulia, hypotenuse OC ni kubwa kuliko mguu OH. Tulipata mkanganyiko. Kwa hivyo, dhana ni ya uwongo na hakuna uhakika zaidi ya H ambayo ni ya kawaida kwa mstari na duara. Tumethibitisha kuwa katika kesi hii kuna jambo moja tu la kawaida.
Kesi ya 3 - umbali kutoka katikati ya duara hadi mstari wa moja kwa moja ni mkubwa kuliko radius ya duara:
Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ni urefu wa perpendicular. Tunatoa perpendicular kutoka kwa uhakika O hadi mstari wa P, tunapata hatua H, ambayo haina uongo kwenye mduara, kwani OH ni kwa hali kubwa kuliko radius ya mduara. Hebu tuthibitishe kwamba hatua nyingine yoyote kwenye mstari haipo kwenye mduara. Hii inaonekana wazi kutoka kwa pembetatu ya kulia, hypotenuse OM ambayo ni kubwa kuliko mguu OH, na kwa hivyo ni kubwa kuliko radius ya duara, kwa hivyo uhakika M sio wa duara, kama sehemu nyingine yoyote kwenye mstari. Tumethibitisha kwamba katika kesi hii mduara na mstari wa moja kwa moja hawana pointi za kawaida (Mchoro 6).
Mchele. 6. Mchoro wa kesi 3
Hebu tuzingatie nadharia . Hebu tufikiri kwamba mstari wa moja kwa moja AB una pointi mbili za kawaida na mduara (Mchoro 7).
Mchele. 7. Mchoro wa nadharia
Tuna chord AB. Pointi H, kwa makubaliano, ni katikati ya chord AB na iko kwenye kipenyo cha CD.
Inahitajika kuthibitisha kwamba katika kesi hii kipenyo ni perpendicular kwa chord.
Uthibitisho:
Fikiria pembetatu ya isosceles OAB, ni isosceles kwa sababu.
Pointi H, kwa kawaida, ni sehemu ya katikati ya chord, ambayo ina maana ya katikati ya AB ya pembetatu ya isosceles. Tunajua kwamba wastani wa pembetatu ya isosceles ni perpendicular kwa msingi wake, ambayo ina maana ni urefu: , kwa hiyo, kwa hiyo, inathibitishwa kuwa kipenyo kinachopita katikati ya chord ni perpendicular yake.
Haki na nadharia ya mazungumzo : ikiwa kipenyo ni perpendicular kwa chord, basi inapita katikati yake.
Imepewa mduara ulio na kituo O, kipenyo chake cha CD na chord AB. Inajulikana kuwa kipenyo ni perpendicular kwa chord, ni muhimu kuthibitisha kwamba inapita katikati yake (Mchoro 8).
Mchele. 8. Mchoro wa nadharia
Uthibitisho:
Fikiria pembetatu ya isosceles OAB, ni isosceles kwa sababu. OH, kwa kawaida, ni urefu wa pembetatu, kwani kipenyo ni perpendicular kwa chord. Urefu katika pembetatu ya isosceles pia ni wastani, hivyo AN = HB, ambayo ina maana kwamba hatua H ni katikati ya chord AB, ambayo ina maana kwamba imethibitishwa kuwa kipenyo cha perpendicular kwa chord hupita katikati yake.
Nadharia ya moja kwa moja na ya mazungumzo inaweza kuwa ya jumla kama ifuatavyo.
Nadharia:
Kipenyo ni perpendicular kwa chord ikiwa tu inapita katikati yake.
Kwa hivyo, tumezingatia kesi zote za nafasi ya jamaa ya mstari na mduara. Katika somo linalofuata tutaangalia tangent kwa duara.
Bibliografia
- Alexandrov A.D. nk Jiometri daraja la 8. - M.: Elimu, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Jiometri 8. - M.: Elimu, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Jiometri daraja la 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Fmclass.ru ().
Kazi ya nyumbani
Kazi ya 1. Pata urefu wa sehemu mbili za chord ambayo kipenyo cha mduara huigawanya, ikiwa urefu wa chord ni 16 cm na kipenyo ni perpendicular yake.
Kazi ya 2. Onyesha idadi ya alama za kawaida za mstari na mduara ikiwa:
a) umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja hadi katikati ya duara ni 6 cm, na radius ya mduara ni 6.05 cm;
b) umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja hadi katikati ya mduara ni 6.05 cm, na radius ya mduara ni 6 cm;
c) umbali kutoka kwa mstari wa moja kwa moja hadi katikati ya mduara ni 8 cm, na radius ya mduara ni 16 cm.
Kazi ya 3. Pata urefu wa chord ikiwa kipenyo ni perpendicular yake, na moja ya makundi yaliyokatwa na kipenyo kutoka kwake ni 2 cm.
Acha mduara na mstari wa moja kwa moja upewe kwenye ndege. Hebu tushushe perpendicular kutoka katikati ya duara C kwenye mstari huu wa moja kwa moja; hebu tuonyeshe kwa msingi wa hii perpendicular. Hoja inaweza kuchukua nafasi tatu zinazowezekana kuhusiana na duara: a) lala nje ya duara, b) kwenye duara, c) ndani ya duara. Kulingana na hili, mstari wa moja kwa moja utachukua moja ya nafasi tatu tofauti zinazowezekana kuhusiana na mduara, ulioelezwa hapa chini.
a) Hebu msingi wa perpendicular umeshuka kutoka katikati C ya mduara hadi mstari wa moja kwa moja uongo nje ya mduara (Mchoro 197). Kisha mstari wa moja kwa moja hauingii mduara; pointi zake zote ziko katika eneo la nje. Kwa kweli, katika kwa kesi hii kulingana na hali hiyo, huondolewa katikati kwa umbali mkubwa zaidi kuliko radius). Zaidi ya hayo, kwa nukta yoyote M kwenye mstari ulionyooka a tunayo, yaani, kila nukta kwenye mstari uliopeanwa iko nje ya duara.
b) Hebu msingi wa perpendicular uanguke kwenye mduara (Mchoro 198). Kisha mstari wa moja kwa moja a una nukta moja ya kawaida na duara. Hakika, ikiwa M ni hatua nyingine yoyote ya mstari, basi (wale waliopendekezwa ni mrefu zaidi kuliko perpendicular) uhakika M iko katika eneo la nje. Mstari kama huo, ambao una sehemu moja ya kawaida na duara, inaitwa tangent kwa duara katika hatua hii. Hebu tuonyeshe kwamba, kinyume chake, ikiwa mstari wa moja kwa moja una hatua moja ya kawaida na mduara, basi radius inayotolewa kwa hatua hii ni perpendicular kwa mstari huu wa moja kwa moja. Kwa kweli, wacha tushushe kipenyo kutoka katikati hadi kwenye mstari huu. Ikiwa msingi wake umewekwa ndani ya mduara, basi mstari wa moja kwa moja ungekuwa na pointi mbili za kawaida nayo, kama inavyoonyeshwa kwenye c). Ikiwa inaweka nje ya duara, basi kwa mujibu wa a) mstari wa moja kwa moja haungekuwa na pointi za kawaida na mduara.
Kwa hiyo, inabakia kudhani kwamba perpendicular huanguka kwenye hatua ya kawaida ya mstari na mduara - katika hatua ya tangency yao. Imethibitishwa kuwa muhimu
Nadharia. Mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu kwenye mduara hugusa duara ikiwa na tu ikiwa ni perpendicular kwa radius inayotolewa kwa uhakika huo.
Kumbuka kwamba ufafanuzi wa tanjiti kwa mduara uliotolewa hapa hauhamishiki hadi kwenye mikondo mingine. Zaidi ufafanuzi wa jumla tangent ya mstari wa moja kwa moja kwa mstari uliopinda inahusishwa na dhana ya nadharia ya mipaka na inajadiliwa kwa undani katika kozi. hisabati ya juu. Hapa tutazungumza tu juu yake dhana ya jumla. Hebu mduara na uelekeze A juu yake itolewe (Mchoro 199).
Hebu tuchukue hatua nyingine A kwenye mduara na kuunganisha pointi zote mbili za mstari wa moja kwa moja AA. Hebu pointi A, ikisonga kwenye mduara, ichukue mfululizo wa nafasi mpya, inakaribia zaidi na zaidi kwa uhakika A. Mstari wa moja kwa moja AA, unaozunguka A, unachukua nafasi kadhaa: katika kesi hii, hatua ya kusonga inapokaribia hatua A. , mstari wa moja kwa moja huwa unafanana na tangent AT. Kwa hivyo, tunaweza kuzungumza juu ya tanjiti kama nafasi ya kikomo ya sekanti inayopita kwenye sehemu fulani na nukta kwenye curve inayoikaribia bila kikomo. Katika fomu hii, ufafanuzi wa tangent inatumika kwa curves sana mtazamo wa jumla(Kielelezo 200).
c) Hatimaye, basi hatua iko ndani ya mduara (Mchoro 201). Kisha. Tutazingatia miduara iliyoelekezwa inayochorwa kwa mstari wa moja kwa moja A kutoka katikati ya C, na besi zikisonga mbali na uhakika katika mwelekeo wowote kati ya mbili zinazowezekana. Urefu wa waliotega utaongezeka kwa usawa kadiri msingi wake unavyosonga mbali na uhakika; ongezeko hili la urefu wa mwelekeo hutokea hatua kwa hatua ("kuendelea") kutoka kwa maadili karibu na kwa maadili makubwa kiholela, kwa hiyo inaonekana wazi kwamba kwa nafasi fulani ya besi zilizopendekezwa urefu wao utakuwa sawa kabisa pointi zinazofanana K na L za mstari zitalala kwenye mduara.
Imekusanywa na mwalimu wa hesabu
Shule ya Sekondari ya MBOU Nambari 18, Krasnoyarsk
Andreeva Inga Viktorovna
Msimamo wa jamaa wa mstari wa moja kwa moja na mduara
KUHUSU R - eneo
NA D - kipenyo
AB- sauti
- Mduara na katikati kwa uhakika KUHUSU eneo r
- Mstari wa moja kwa moja ambao haupiti katikati KUHUSU
- Wacha tuonyeshe umbali kutoka katikati ya duara hadi mstari wa moja kwa moja kwa herufi s
Kesi tatu zinawezekana:
- 1) s
- kidogo radius ya duara, kisha mstari wa moja kwa moja na mduara unao pointi mbili za kawaida .
Direct AB inaitwa secant kuhusiana na mduara.
Kesi tatu zinawezekana:
- 2 ) s = r
- Ikiwa umbali kutoka katikati ya duara hadi mstari wa moja kwa moja sawa radius ya duara, kisha mstari wa moja kwa moja na mduara unao nukta moja tu ya kawaida .
s = r
r Ikiwa umbali kutoka katikati ya mzunguko hadi mstari wa moja kwa moja ni mkubwa zaidi kuliko radius ya mzunguko, basi mstari wa moja kwa moja na mduara hauna pointi za kawaida. sr r O" upana = "640" Kesi tatu zinawezekana:
- 3 ) sr
- Ikiwa umbali kutoka katikati ya duara hadi mstari wa moja kwa moja zaidi radius ya duara, kisha mstari wa moja kwa moja na mduara hawana pointi za kawaida .
Tanji kwa mduara
Ufafanuzi: P mstari ambao una hatua moja tu ya kawaida na mduara inaitwa tangent kwa mduara, na hatua yao ya kawaida inaitwa hatua ya tangent ya mstari na mduara.
s = r
- mstari wa moja kwa moja - secant
- mstari wa moja kwa moja - secant
- hakuna pointi za kawaida
- mstari wa moja kwa moja - secant
- mstari wa moja kwa moja - tangent
- r = 15 cm, s = 11 cm
- r = 6 cm, s = 5.2 cm
- r = 3.2 m, s = 4.7 m
- r = 7 cm, s = 0.5 dm
- r = 4 cm, s = 4 0 mm
Suluhisha nambari 633.
- OABC - mraba
- AB = 6 cm
- Mduara na katikati O ya radius 5 cm
sekunde kutoka kwa mistari iliyonyooka OA, AB, BC, AC
Mali ya Tangent: Tanjiti kwa mduara ni sawa na kipenyo kinachochorwa hadi mahali pa kupunguka.
m- tangent kwa duara na katikati KUHUSU
M- sehemu ya mawasiliano
OM- radius
Ishara ya Tangent: Ikiwa mstari wa moja kwa moja unapita mwisho wa radius iliyolala kwenye duara na ni perpendicular kwa radius, basi ni mbele.
mduara na kituo KUHUSU
eneo OM
m- mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua M
m - tangent
Mali ya tangents kupitia nukta moja:
Sehemu za tangent kwa
miduara inayotolewa
kutoka kwa hatua sawa, ni sawa na
tengeneza pembe sawa
na mstari ulionyooka kupita
hatua hii na katikati ya duara.
▼ Kwa mali ya tangent
∆ AVO, ∆ ASO – mstatili
∆ ABO= ∆ ACO – kando ya hypotenuse na mguu:
OA - jumla,