Chaguo la kukokotoa linaitwa hata (isiyo ya kawaida) ikiwa kwa yoyote na usawa 
.
Grafu ya kitendakazi kisawazisha ina ulinganifu kuhusu mhimili 
.
Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.
Mfano 6.2. Chunguza ikiwa kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida
1)
;
2)
;
3)
.
Suluhisho.
1) Kitendaji kinafafanuliwa wakati 
. Tutapata 
.
Wale. 
. Ina maana, kipengele hiki ni sawa.
2) kazi hufafanuliwa wakati 
Wale. 
. Kwa hivyo, kazi hii ni isiyo ya kawaida.
3) kazi inaelezwa kwa , i.e. Kwa
,
. Kwa hiyo kipengele cha kukokotoa si hata wala kisicho cha kawaida. Wacha tuiite kazi ya fomu ya jumla.
Kazi 
inaitwa kuongezeka (kupungua) kwa muda fulani ikiwa katika muda huu kila thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa (ndogo) ya chaguo la kukokotoa.
Kazi zinazoongezeka (kupungua) kwa muda fulani huitwa monotonic.
Ikiwa kazi 
kutofautisha kwa muda 
na ina derivative chanya (hasi). 
, kisha kazi 
huongezeka (hupungua) kwa muda huu.
Mfano 6.3. Pata vipindi vya monotonicity ya kazi
1)
;
3)
.
Suluhisho.
1) Chaguo hili la kukokotoa limefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari. Hebu tutafute derivative.
Derivative ni sawa na sifuri if 
Na 
. Kikoa cha ufafanuzi ni mhimili wa nambari, umegawanywa na dots 
,
kwa vipindi. Wacha tuamue ishara ya derivative katika kila kipindi.
Katika muda 
derivative ni hasi, kazi hupungua kwa muda huu.
Katika muda 
derivative ni chanya, kwa hiyo, kazi huongezeka kwa muda huu.
2) Kitendaji hiki kinafafanuliwa ikiwa 
au
.
Tunaamua ishara ya trinomial ya quadratic katika kila muda.
Hivyo, uwanja wa ufafanuzi wa kazi
Hebu tutafute derivative 
,
, Kama 
, i.e. 
, Lakini 
. Wacha tuamue ishara ya derivative katika vipindi 
.
Katika muda 
derivative ni hasi, kwa hiyo, kazi hupungua kwa muda 
. Katika muda 
derivative ni chanya, kazi huongezeka kwa muda 
.
Nukta 
inayoitwa kiwango cha juu (cha chini) cha chaguo la kukokotoa 
, ikiwa kuna jirani kama hiyo ya uhakika 
hiyo ni kwa kila mtu 
kutoka kwa kitongoji hiki ukosefu wa usawa unashikilia 
.
Pointi za juu na za chini zaidi za chaguo za kukokotoa huitwa pointi za juu.
Ikiwa kazi 
kwa uhakika 
ina uliokithiri, basi derivative ya kazi katika hatua hii ni sawa na sifuri au haipo (hali ya lazima kwa kuwepo kwa uliokithiri).
Pointi ambazo derivative ni sifuri au haipo huitwa muhimu.
5. Masharti ya kutosha kwa kuwepo kwa uliokithiri.Kanuni ya 1. Ikiwa wakati wa mpito (kutoka kushoto kwenda kulia) kupitia hatua muhimu 
derivative 
hubadilisha ishara kutoka "+" hadi "-", kisha kwa uhakika 
kazi 
ina kiwango cha juu; ikiwa kutoka "-" hadi "+", basi kiwango cha chini; Kama 
haibadilishi ishara, basi hakuna extremum.
Kanuni ya 2. Hebu katika uhakika 
derivative ya kwanza ya chaguo za kukokotoa 
sawa na sifuri 
, na derivative ya pili ipo na ni tofauti na sifuri. Kama 
, Hiyo 
- kiwango cha juu, ikiwa 
, Hiyo 
- kiwango cha chini cha kitendakazi.
Mfano 6.4. Chunguza utendakazi wa juu zaidi na wa chini kabisa:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Suluhisho.
1) Kazi imefafanuliwa na inaendelea kwa muda 
.
Hebu tutafute derivative 
na kutatua equation 
, i.e. 
.Kutoka hapa 
- pointi muhimu.
Wacha tuamue ishara ya derivative katika vipindi, 
.
Wakati wa kupitisha pointi 
Na 
ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka "-" hadi "+", kwa hivyo, kulingana na sheria ya 1 
- pointi za chini.
Wakati wa kupita kwa uhakika 
ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka "+" hadi "-", hivyo 
- kiwango cha juu.
,
.
2) Kazi imefafanuliwa na inaendelea katika muda 
. Hebu tutafute derivative 
.
Baada ya kusuluhisha equation 
, tutapata 
Na 
- pointi muhimu. Ikiwa dhehebu 
, i.e. 
, basi derivative haipo. Kwa hiyo, 
- hatua ya tatu muhimu. Wacha tuamue ishara ya derivative kwa vipindi.
Kwa hiyo, kazi ina kiwango cha chini katika hatua 
, upeo wa pointi 
Na 
.
3) Chaguo la kukokotoa limefafanuliwa na kuendelea ikiwa 
, i.e. katika 
.
Hebu tutafute derivative 
.
Hebu tupate pointi muhimu: 
Vitongoji vya pointi 
sio mali ya kikoa cha ufafanuzi, kwa hivyo sio kali. Kwa hiyo, hebu tuchunguze pointi muhimu 
Na 
.
4) Kazi imefafanuliwa na inaendelea kwa muda 
. Hebu tumia kanuni ya 2. Tafuta derivative 
.
Hebu tupate pointi muhimu:
Hebu tutafute derivative ya pili 
na kuamua ishara yake katika pointi 
Katika pointi 
kitendakazi kina kiwango cha chini.
Katika pointi 
kazi ina upeo.
Utafiti wa kazi.
1) D(y) - Kikoa cha Ufafanuzi: seti ya maadili hayo yote ya mabadiliko ya x. ambayo maneno ya aljebra f(x) na g(x) yana maana.
Ikiwa chaguo la kukokotoa limetolewa na fomula, basi kikoa cha ufafanuzi kina maadili yote ya tofauti huru ambayo fomula inaeleweka.
2) Sifa za kazi: hata/isiyo ya kawaida, upimaji:
Kazi ambazo grafu zake ni linganifu kwa heshima na mabadiliko katika ishara ya hoja huitwa isiyo ya kawaida na hata.
Chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ni chaguo la kukokotoa ambalo hubadilisha thamani yake kuwa kinyume wakati ishara ya kigezo cha kujitegemea kinabadilika (kilinganishi kinachohusiana na katikati ya kuratibu).
Chaguo la kukokotoa la kukokotoa ni chaguo la kukokotoa ambalo halibadilishi thamani yake wakati ishara ya kigezo huru kinapobadilika (sawa kuhusu kiratibu).
Wala utendakazi usio wa kawaida (function mtazamo wa jumla) ni chaguo la kukokotoa ambalo halina ulinganifu. Aina hii inajumuisha chaguo za kukokotoa ambazo haziko chini ya kategoria 2 zilizopita.
Kazi ambazo sio za aina yoyote ya hapo juu zinaitwa si hata wala isiyo ya kawaida(au kazi za jumla).
Vitendaji visivyo vya kawaida
Nguvu isiyo ya kawaida ambapo nambari kamili kiholela.
Hata kazi
Hata nguvu ambapo ni integer kiholela.
Kitendaji cha mara kwa mara ni chaguo la kukokotoa ambalo linarudia maadili yake baada ya muda fulani wa kawaida wa hoja, yaani, haibadilishi thamani yake wakati wa kuongeza kwenye hoja nambari fulani isiyo ya sifuri (kipindi cha chaguo la kukokotoa) katika muda wote. uwanja wa ufafanuzi.
3) Sifuri (mizizi) ya chaguo la kukokotoa ni pointi ambapo inakuwa sifuri.
Kupata sehemu ya makutano ya grafu na mhimili Oy. Ili kufanya hivyo unahitaji kuhesabu thamani f(0). Pata pia pointi za makutano ya grafu na mhimili Ng'ombe, kwa nini pata mizizi ya equation f(x) = 0 (au hakikisha hakuna mizizi).
Pointi ambazo grafu huingiliana na mhimili huitwa zero za kazi. Ili kupata zero za kazi, unahitaji kutatua equation, ambayo ni, kupata maadili hayo ya "x" ambayo kazi inakuwa sifuri.
4) Vipindi vya uthabiti wa ishara, ishara ndani yao.
Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa f(x) hudumisha ishara.
Muda wa ishara ya mara kwa mara ni muda katika kila hatua ambayo kazi ni chanya au hasi.
JUU ya mhimili wa x.
CHINI ya ekseli.
5) Kuendelea (pointi za kuacha, asili ya kutoendelea, asymptotes).
Kazi inayoendelea ni kazi bila "kuruka", yaani, moja ambayo mabadiliko madogo katika hoja husababisha mabadiliko madogo katika thamani ya kazi.
Pointi za Kuvunja Zinazoweza KuondolewaIkiwa kikomo cha chaguo la kukokotoa ipo, lakini chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa katika hatua hii, au kikomo hakilingani na thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua hii:
,
basi hatua inaitwa sehemu ya mapumziko inayoweza kutolewa kazi (katika uchanganuzi mgumu, nukta ya umoja inayoweza kutolewa).
Ikiwa "tutasahihisha" kazi katika hatua ya kutoendelea na kuweka 
, kisha tunapata kitendakazi ambacho kinaendelea katika hatua fulani. Operesheni hii kwenye kitendakazi inaitwa kupanua kitendakazi kwa kuendelea au ufafanuzi upya wa chaguo la kukokotoa kwa mwendelezo, ambayo inahalalisha jina la hoja kama hoja inayoweza kutolewa kupasuka.
Pointi za kutoendelea za aina ya kwanza na ya pili
Ikiwa kazi ina kutoendelea kwa hatua fulani (ambayo ni, kikomo cha kazi katika hatua fulani haipo au hailingani na thamani ya kazi katika hatua fulani), basi kwa kazi za nambari kuna chaguzi mbili zinazowezekana. kuhusishwa na kuwepo kwa kazi za nambari mipaka ya upande mmoja:
ikiwa mipaka ya upande mmoja ipo na ina kikomo, basi hatua kama hiyo inaitwa hatua ya kutoendelea ya aina ya kwanza. Pointi za kutoendelea zinazoweza kutolewa ni alama za kutoendelea za aina ya kwanza;
ikiwa angalau moja ya mipaka ya upande mmoja haipo au sio thamani ya mwisho, basi hatua hiyo inaitwa hatua ya kutoendelea ya aina ya pili.
Asymptote - moja kwa moja, ambayo ina mali ambayo umbali kutoka kwa hatua kwenye curve hadi hii moja kwa moja huelekea sifuri kadiri nukta inavyosogea kando ya tawi hadi isiyo na mwisho.
Wima
Asymptote ya wima - mstari wa kikomo 
.
Kama sheria, wakati wa kuamua asymptote ya wima, hutafuta sio kikomo kimoja, lakini mbili za upande mmoja (kushoto na kulia). Hii inafanywa ili kuamua jinsi chaguo la kukokotoa linavyofanya kazi inapokaribia asymptoti ya wima kutoka pande tofauti. Kwa mfano:
MlaloAsymptote ya mlalo - moja kwa moja aina, chini ya kuwepo kikomo
.
Asymptote ya Oblique - moja kwa moja aina, chini ya kuwepo mipaka
Kumbuka: kipengele cha kukokotoa hakiwezi kuwa na asymptote zisizozidi mbili za oblique (mlalo).
Kumbuka: ikiwa angalau moja ya mipaka miwili iliyotajwa hapo juu haipo (au ni sawa na ), basi asymptote ya oblique katika (au ) haipo.
ikiwa katika kipengee 2.), basi , na kikomo kinapatikana kwa formula asymptote ya usawa, 
.
6) Kutafuta vipindi vya monotonicity. Pata vipindi vya monotonicity ya chaguo za kukokotoa f(x)(yaani, vipindi vya kuongezeka na kupungua). Hii inafanywa kwa kuchunguza ishara ya derivative f(x) Ili kufanya hivyo, tafuta derivative f(x) na kutatua ukosefu wa usawa f(x)0. Katika vipindi ambapo ukosefu huu wa usawa unashikilia, chaguo la kukokotoa f(x) huongezeka. Ambapo usawa wa nyuma unashikilia f(x)0, kazi f(x) inapungua.
Kutafuta wenye msimamo mkali wa ndani. Baada ya kupata vipindi vya monotonicity, tunaweza kuamua mara moja alama za ndani ambapo ongezeko linabadilishwa na kupungua, maxima ya ndani iko, na ambapo kupungua kunabadilishwa na ongezeko, minima ya ndani iko. Hesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika sehemu hizi. Ikiwa chaguo la kukokotoa lina nukta muhimu ambazo si alama za ndani zaidi, basi ni muhimu kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika nukta hizi pia.
Kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye sehemu (inaendelea)
|
1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: f(x). 2. Tafuta pointi ambapo derivative ni sifuri: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Kuamua uhusiano wa pointi X 1 ,X 2 , … sehemu [ a; b]: acha x 1a;b, A x 2a;b . |
Jinsi ya kuingiza fomula za hesabu kwenye wavuti?
Ikiwa utahitaji kuongeza fomula moja au mbili za hisabati kwenye ukurasa wa wavuti, basi njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kama ilivyoelezewa katika kifungu hicho: fomula za hisabati huingizwa kwa urahisi kwenye wavuti kwa njia ya picha ambazo hutolewa kiatomati na Wolfram Alpha. . Mbali na unyenyekevu, njia hii ya ulimwengu wote itasaidia kuboresha mwonekano wa tovuti katika injini za utafutaji. Imekuwa ikifanya kazi kwa muda mrefu (na, nadhani, itafanya kazi milele), lakini tayari imepitwa na wakati.
Ikiwa unatumia fomula za hesabu kila wakati kwenye wavuti yako, basi ninapendekeza utumie MathJax - maktaba maalum ya JavaScript inayoonyesha. nukuu ya hisabati katika vivinjari kwa kutumia MathML, LaTeX au ASCIIMAthML markup.
Kuna njia mbili za kuanza kutumia MathJax: (1) kwa kutumia msimbo rahisi, unaweza kuunganisha kwa haraka hati ya MathJax kwenye tovuti yako, ambayo itapakiwa kiotomatiki kutoka kwa seva ya mbali kwa wakati unaofaa (orodha ya seva); (2) pakua hati ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali hadi kwenye seva yako na uiunganishe na kurasa zote za tovuti yako. Njia ya pili - ngumu zaidi na inayotumia wakati - itaharakisha upakiaji wa kurasa za tovuti yako, na ikiwa seva kuu ya MathJax haitapatikana kwa muda kwa sababu fulani, hii haitaathiri tovuti yako mwenyewe kwa njia yoyote. Licha ya faida hizi, nilichagua njia ya kwanza kwa kuwa ni rahisi, haraka na hauhitaji ujuzi wa kiufundi. Fuata mfano wangu, na kwa dakika 5 tu utaweza kutumia vipengele vyote vya MathJax kwenye tovuti yako.
Unaweza kuunganisha hati ya maktaba ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali kwa kutumia chaguo mbili za msimbo zilizochukuliwa kutoka kwa tovuti kuu ya MathJax au kwenye ukurasa wa nyaraka:
Moja ya chaguo hizi za msimbo inahitaji kunakiliwa na kubandikwa kwenye msimbo wa ukurasa wako wa wavuti, ikiwezekana kati ya lebo na au mara baada ya lebo. Kulingana na chaguo la kwanza, MathJax hupakia haraka na kupunguza kasi ya ukurasa. Lakini chaguo la pili hufuatilia kiotomatiki na kupakia matoleo ya hivi karibuni ya MathJax. Ukiingiza msimbo wa kwanza, utahitaji kusasishwa mara kwa mara. Ukiingiza msimbo wa pili, kurasa zitapakia polepole zaidi, lakini hutahitaji kufuatilia mara kwa mara masasisho ya MathJax.
Njia rahisi zaidi ya kuunganisha MathJax ni katika Blogger au WordPress: kwenye paneli dhibiti ya tovuti, ongeza wijeti iliyoundwa ili kuingiza msimbo wa JavaScript wa kampuni nyingine, nakili toleo la kwanza au la pili la msimbo wa upakuaji uliowasilishwa hapo juu ndani yake, na uweke wijeti karibu. hadi mwanzo wa template (kwa njia, hii sio lazima kabisa , kwani maandishi ya MathJax yanapakiwa asynchronously). Ni hayo tu. Sasa jifunze sintaksia ya ghafi ya MathML, LaTeX, na ASCIIMAthML, na uko tayari kuingiza fomula za hisabati kwenye kurasa za wavuti za tovuti yako.
Fractal yoyote inajengwa kulingana na kanuni fulani, ambayo inatumika kwa mfululizo idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kila wakati kama huo huitwa kurudia.
Algorithm ya kurudia ya kuunda sifongo cha Menger ni rahisi sana: mchemraba wa asili ulio na upande wa 1 umegawanywa na ndege sambamba na nyuso zake katika cubes 27 sawa. Mchemraba mmoja wa kati na cubes 6 karibu nayo kando ya nyuso huondolewa kutoka kwake. Matokeo yake ni seti inayojumuisha cubes 20 ndogo iliyobaki. Kufanya vivyo hivyo na kila moja ya cubes hizi, tunapata seti inayojumuisha cubes 400 ndogo. Kuendeleza mchakato huu bila mwisho, tunapata sifongo cha Menger.
Hata kazi.
Kitendaji ambacho ishara yake haibadiliki wakati ishara inabadilika inaitwa hata. x.
x usawa unashikilia f(–x) = f(x) Ishara x haiathiri ishara y.
Ratiba kazi hata jamaa ya ulinganifu kwa mhimili wa kuratibu (Mchoro 1).
Mifano ya utendaji sawa:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Maelezo:
Hebu tuchukue kazi y = x 2 au y = –x 2 .
Kwa thamani yoyote x kazi ni chanya. Ishara x haiathiri ishara y. Grafu ina ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu. Hii ni kazi kisawasawa.
Utendakazi usio wa kawaida.
Kitendakazi ambacho ishara yake hubadilika wakati ishara inabadilika inaitwa isiyo ya kawaida. x.
Kwa maneno mengine, kwa thamani yoyote x usawa unashikilia f(–x) = –f(x).
Grafu ya kazi isiyo ya kawaida ni ya ulinganifu kwa heshima na asili (Mchoro 2).
Mifano ya utendaji usio wa kawaida:
y= dhambi x
y = x 3
y = –x 3
Maelezo:
Wacha tuchukue kazi y = - x 3 .
Maana zote katika itakuwa na alama ya minus. Hiyo ni ishara x huathiri ishara y. Ikiwa tofauti ya kujitegemea ni nambari chanya, basi chaguo la kukokotoa ni chanya ikiwa kigezo huru ni nambari hasi, basi kazi ni hasi: f(–x) = –f(x).
Grafu ya chaguo za kukokotoa ina ulinganifu kuhusu asili. Hii ni utendaji usio wa kawaida.
Sifa za kazi sawa na zisizo za kawaida:
KUMBUKA:
Sio vitendaji vyote vilivyo sawa au visivyo vya kawaida. Kuna utendaji ambao hautii upangaji kama huo. Kwa mfano, kazi ya mizizi katika = √X haitumiki kwa kazi hata au isiyo ya kawaida (Mchoro 3). Wakati wa kuorodhesha sifa za kazi kama hizo, maelezo yanayofaa yanapaswa kutolewa: sio hata au isiyo ya kawaida.
Kama unavyojua, periodicity ni marudio ya michakato fulani kwa muda fulani. Kazi zinazoelezea michakato hii huitwa kazi za mara kwa mara. Hiyo ni, hizi ni kazi ambazo katika grafu kuna vipengele vinavyorudia kwa vipindi fulani vya nambari.