Ikiwa tunaongeza nambari 0 upande wa kushoto wa mfululizo wa nambari za asili, tunapata mfululizo wa nambari chanya:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Nambari kamili hasi

Hebu tuzingatie mfano mdogo. Picha iliyo upande wa kushoto inaonyesha kipimajoto kinachoonyesha halijoto ya 7°C. Ikiwa hali ya joto itapungua kwa 4 °, thermometer itaonyesha joto la 3 °. Kupungua kwa joto kunalingana na hatua ya kutoa:

Ikiwa joto hupungua kwa 7 °, thermometer itaonyesha 0 °. Kupungua kwa joto kunalingana na hatua ya kutoa:

Ikiwa hali ya joto itapungua kwa 8 °, thermometer itaonyesha -1 ° (1 ° chini ya sifuri). Lakini matokeo ya kutoa 7 - 8 hayawezi kuandikwa kwa kutumia nambari za asili na sifuri.

Hebu tuonyeshe utoaji kwa kutumia mfululizo wa nambari kamili nambari chanya:

1) Kutoka nambari 7, hesabu nambari 4 kwenda kushoto na upate 3:

2) Kutoka nambari 7, hesabu nambari 7 kwenda kushoto na upate 0:

Haiwezekani kuhesabu nambari 8 kutoka nambari 7 hadi kushoto katika safu ya nambari chanya. Ili kufanya vitendo 7 - 8 viwezekane, tunapanua anuwai ya nambari chanya. Ili kufanya hivyo, upande wa kushoto wa sifuri, tunaandika (kutoka kulia kwenda kushoto) ili nambari zote za asili, na kuongeza kwa kila mmoja wao ishara - , kuonyesha kwamba nambari hii iko upande wa kushoto wa sifuri.

Maingizo -1, -2, -3, ... soma toa 1, toa 2, toa 3, n.k.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Mfululizo unaotokana wa nambari huitwa mfululizo wa nambari kamili. Dots upande wa kushoto na kulia katika ingizo hili inamaanisha kuwa mfululizo unaweza kuendelezwa kwa muda usiojulikana kwa kulia na kushoto.

Kwa upande wa kulia wa nambari 0 kwenye safu hii kuna nambari zinazoitwa asili au nambari chanya(kwa ufupi - chanya).

Upande wa kushoto wa nambari 0 kwenye safu hii kuna nambari zinazoitwa hasi kamili(kwa ufupi - hasi).

Nambari 0 ni nambari kamili, lakini sio nambari chanya au hasi. Inatenganisha nambari chanya na hasi.

Kwa hivyo, mfululizo wa nambari kamili huwa na nambari kamili nambari hasi, nambari kamili sifuri na chanya.

Ulinganisho kamili

Linganisha nambari mbili kamili- inamaanisha kujua ni ipi kubwa zaidi, ni ipi ndogo, au kuamua kuwa nambari ni sawa.

Unaweza kulinganisha nambari kamili kwa kutumia safu ya nambari kamili, kwani nambari zilizo ndani yake zimepangwa kutoka ndogo hadi kubwa ikiwa unasonga kwenye safu kutoka kushoto kwenda kulia. Kwa hivyo, katika safu ya nambari, unaweza kuchukua nafasi ya koma na chini ya ishara:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Kwa hivyo, ya nambari mbili kamili, kubwa zaidi ni nambari iliyo upande wa kulia katika safu, na ndogo ni ile iliyo upande wa kushoto., Maana:

1) Nambari yoyote chanya Juu ya sifuri na kubwa kuliko nambari yoyote hasi:

1 > 0; 15 > -16

2) Nambari yoyote hasi chini ya sifuri:

7 < 0; -357 < 0

3) Kati ya nambari mbili hasi, ile iliyo kulia katika safu kamili ni kubwa zaidi.

Somo

Aina ya somo

• kusoma na uigaji msingi wa nyenzo mpya

Malengo ya Somo

Mpango wa Somo

1. Utangulizi.
2. Sehemu ya kinadharia
3. Sehemu ya vitendo.
4. Kazi ya nyumbani.
5. Maswali

Utangulizi

Hebu tuone video jinsi ya kuagiza nambari hasi

Sasa panga nambari hasi na ueleze mada ya somo:

Jibu: neno "kulinganisha".

Sehemu ya kinadharia

Ulinganisho wa nambari. Kanuni

Wakati wa kulinganisha nambari mbili, jambo la kwanza unahitaji kulipa kipaumbele ni ishara za nambari zinazolinganishwa. Nambari yenye minus (hasi) daima huwa chini ya nambari chanya.

Ikiwa nambari zote mbili zinazolinganishwa zina alama za minus (hasi), basi lazima tulinganishe maadili yao kamili, ambayo ni, kulinganisha bila kuzingatia alama za minus. Nambari ambayo moduli yake ni kubwa kwa kweli ni ndogo.

Kwa mfano -3 na -5. Nambari zinazolinganishwa ni hasi. Hii ina maana kwamba tunalinganisha moduli zao 3 na 5. 5 ni kubwa kuliko 3, ambayo ina maana -5 ni chini ya -3.

Ikiwa moja ya nambari zinazolinganishwa ni sifuri, basi nambari hasi itakuwa chini ya sifuri. (-3 < 0) Na kuna chanya zaidi. (3 > 0)

Unaweza pia kulinganisha nambari kwa kutumia mstari wa kuratibu mlalo. Nambari iliyoko upande wa kushoto ni chini ya nambari iliyoko kulia. Sheria kinyume pia inatumika. Hatua iliyo na uratibu mkubwa kwenye mstari wa kuratibu iko upande wa kulia kuliko hatua yenye kuratibu ndogo.

Kwa mfano, katika takwimu, Point E iko upande wa kulia wa uhakika A na uratibu wake ni mkubwa zaidi. (5> 1)

Ulinganisho kamili

Ulinganisho wa maadili kamili (moduli) za nambari

Kutokuwepo kwa usawa na moduli

Sehemu ya vitendo

Kulinganisha nambari kwenye mstari wa nambari

Kazi

1. Eleza kwa nini:
-5 chini ya -1,
-2 zaidi ya -16,
-25 chini ya 3,
0 zaidi - 9.

2. Linganisha:
nambari zinaonyeshwa kwenye mstari wa kuratibu: 0; A; V; Na. Linganisha:

1) a> 0; 2) ndani< 0; 3) 0 >Na.
nambari zinaonyeshwa kwenye mstari wa kuratibu: 0; A; V; Na. Linganisha:

1) a > b; 2) na< а; 3) в < с.

3. Ni ipi kati ya ukosefu wa usawa ni kweli?
Nambari a na b ni hasi; | a | > | katika |.
a) a > b; b) a< в.

4. Linganisha moduli ya nambari a na b.
Nambari a na b ni hasi; A< в.

5. Ni ipi kati ya ukosefu wa usawa ni kweli?
a ni nambari chanya,
c ni nambari hasi.
a) a > b; b) a< в?

6. Linganisha:

Kazi ya nyumbani

1. Linganisha nambari

2. Hesabu

3. Panga nambari kwa mpangilio wa kupanda

Maswali

Je, kuratibu pointi kwenye mstari kunaonyesha nini?
Ni moduli gani ya nambari kutoka kwa mtazamo wa kijiometri?
Kwa nini moduli ni sawa nambari chanya?
Je, moduli ya nambari hasi ni nini?
Je, moduli ya sifuri ni nini?
Je, moduli ya nambari yoyote inaweza kuwa nambari hasi?
Taja nambari nambari kinyume 5?
Ni nambari gani iliyo kinyume na yenyewe?

Hitimisho

Nambari yoyote hasi ni ndogo kuliko nambari yoyote chanya.

Kati ya nambari mbili hasi, ile ambayo ukubwa wake ni mkubwa zaidi ni ndogo.

Sufuri ni kubwa kuliko nambari yoyote hasi lakini ni chini ya nambari yoyote chanya.

Kwenye mstari wa kuratibu mlalo, hatua iliyo na uratibu mkubwa iko upande wa kulia wa nukta na kuratibu ndogo.

Orodha ya vyanzo vilivyotumika

1. Ensaiklopidia ya hisabati (katika juzuu 5). -M.: Encyclopedia ya Soviet, 2002. - T. 1.
2. "Kitabu kipya zaidi cha marejeleo cha watoto wa shule" "HOUSE XXI karne" 2008
3. Muhtasari wa somo juu ya mada "Kulinganisha nambari" Mwandishi: Petrova V.P., mwalimu wa hisabati (darasa 5-9), Kiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Hisabati kwa daraja la 6, Kitabu cha maandishi kwa shule ya upili

Tulifanya kazi kwenye somo
Pautinka A.V.
Petrova V.P.

Imekusanywa na kuhaririwa na Pautinka A.V.

Uliza swali kuhusu elimu ya kisasa, kueleza wazo au kutatua tatizo kubwa, unaweza Jukwaa la elimu, ambapo baraza la elimu la mawazo mapya na vitendo hukutana kimataifa. Baada ya kuunda

Kiwango cha kwanza

Ulinganisho wa nambari. Mwongozo wa kina (2019)

Wakati wa kutatua equations na kutofautiana, pamoja na matatizo na modules, unahitaji kuweka mizizi iliyopatikana kwenye mstari wa nambari. Kama unavyojua, mizizi iliyopatikana inaweza kuwa tofauti. Wanaweza kuwa hivi: , au wanaweza kuwa hivi: , .

Ipasavyo, ikiwa nambari sio za busara lakini zisizo na maana (ikiwa umesahau ni nini, angalia kwenye mada), au ni misemo ngumu ya kihesabu, basi kuziweka kwenye mstari wa nambari ni shida sana. Zaidi ya hayo, huwezi kutumia vikokotoo wakati wa mtihani, na hesabu takriban haitoi hakikisho la 100% kwamba nambari moja ni ndogo kuliko nyingine (vipi ikiwa kuna tofauti kati ya nambari zinazolinganishwa?).

Kwa kweli, unajua kuwa nambari chanya huwa kubwa kila wakati kuliko zile hasi, na kwamba ikiwa tunafikiria mhimili wa nambari, basi tunapolinganisha, idadi kubwa zaidi itakuwa iko kulia kuliko ndogo zaidi:; ; na kadhalika.

Lakini kila kitu ni rahisi sana kila wakati? Ambapo kwenye mstari wa nambari tunaweka alama,.

Wanawezaje kulinganishwa, kwa mfano, na nambari? Hii ni kusugua ...)

Kwanza, tuzungumze ndani muhtasari wa jumla jinsi na nini kulinganisha.

Muhimu: inashauriwa kufanya mabadiliko ili ishara ya usawa haibadilika! Hiyo ni, wakati wa mabadiliko haifai kuzidisha kwa nambari hasi, na ni haramu mraba ikiwa moja ya sehemu ni hasi.

Ulinganisho wa sehemu

Kwa hivyo, tunahitaji kulinganisha sehemu mbili: na.

Kuna chaguzi kadhaa za jinsi ya kufanya hivyo.

Chaguo 1. Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.

Hebu tuandike kwa fomu sehemu ya kawaida:

- (kama unavyoona, pia nilipunguza nambari na denominator).

Sasa tunahitaji kulinganisha sehemu:

Sasa tunaweza kuendelea kulinganisha kwa njia mbili. Tunaweza:

1. leta tu kila kitu kwa dhehebu la kawaida, ukiwasilisha sehemu zote mbili kama zisizofaa (nambari ni kubwa kuliko denominator):

   Nambari gani ni kubwa zaidi? Hiyo ni kweli, ile iliyo na nambari kubwa zaidi, yaani, ya kwanza.

2. "Wacha tutupe" (fikiria kwamba tumetoa moja kutoka kwa kila sehemu, na uwiano wa sehemu kwa kila mmoja, ipasavyo, haujabadilika) na kulinganisha sehemu hizo:

   Pia tunawaleta kwa dhehebu moja:

   Tulipata matokeo sawa na katika kesi iliyopita - nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili:

   Wacha tuangalie ikiwa tulitoa moja kwa usahihi? Wacha tuhesabu tofauti katika nambari katika hesabu ya kwanza na ya pili:
   1)
   2)

Kwa hiyo, tuliangalia jinsi ya kulinganisha sehemu, kuwaleta kwa dhehebu la kawaida. Hebu tuendelee kwa njia nyingine - kulinganisha sehemu, kuwaleta kwa kawaida ... nambari.

Chaguo 2. Kulinganisha sehemu kwa kupunguza hadi nambari ya kawaida.

Ndiyo ndiyo. Hii si typo. Njia hii haifundishwi kwa mtu yeyote shuleni, lakini mara nyingi ni rahisi sana. Ili uelewe haraka kiini chake, nitakuuliza swali moja tu - "ni katika hali gani thamani ya sehemu ni kubwa zaidi?" Bila shaka, utasema "wakati nambari ni kubwa iwezekanavyo na denominator ni ndogo iwezekanavyo."

Kwa mfano, unaweza kusema kwamba ni kweli? Je, ikiwa tunahitaji kulinganisha sehemu zifuatazo: Nadhani pia utaweka mara moja ishara kwa usahihi, kwa sababu katika kesi ya kwanza wamegawanywa katika sehemu, na kwa pili kuwa nzima, ambayo ina maana kwamba katika kesi ya pili vipande vinageuka kuwa ndogo sana, na ipasavyo:. Kama unaweza kuona, madhehebu hapa ni tofauti, lakini nambari ni sawa. Walakini, ili kulinganisha sehemu hizi mbili, sio lazima utafute dhehebu la kawaida. Ingawa ... pata na uone ikiwa ishara ya kulinganisha bado ni mbaya?

Lakini ishara ni sawa.

Wacha turudi kwenye kazi yetu ya asili - linganisha na ... Tutalinganisha na... Wacha tupunguze sehemu hizi sio kwa dhehebu la kawaida, lakini kwa nambari ya kawaida. Ili kufanya hivyo kwa urahisi nambari na denominator zidisha sehemu ya kwanza kwa. Tunapata:

Na. Sehemu gani ni kubwa zaidi? Hiyo ni kweli, ya kwanza.

Chaguo 3: Kulinganisha sehemu kwa kutumia kutoa.

Jinsi ya kulinganisha sehemu kwa kutumia kutoa? Ndiyo, rahisi sana. Tunatoa nyingine kutoka sehemu moja. Ikiwa matokeo ni chanya, basi sehemu ya kwanza (minuend) ni kubwa kuliko ya pili (subtrahend), na ikiwa hasi, basi kinyume chake.

Kwa upande wetu, hebu jaribu kuondoa sehemu ya kwanza kutoka kwa pili:.

Kama unavyoelewa tayari, tunabadilisha pia kuwa sehemu ya kawaida na kupata matokeo sawa - . Usemi wetu unachukua fomu:

Ifuatayo, bado tutalazimika kuamua kupunguza kwa dhehebu la kawaida. Swali ni: kwa njia ya kwanza, kubadilisha sehemu kuwa zisizofaa, au kwa njia ya pili, kana kwamba "kuondoa" kitengo? Kwa njia, hatua hii ina haki ya hisabati kabisa. Angalia:

Ninapenda chaguo la pili bora, kwani kuzidisha kwa nambari wakati kupunguzwa kwa dhehebu ya kawaida inakuwa rahisi zaidi.

Wacha tuilete kwa dhehebu la kawaida:

Jambo kuu hapa sio kuchanganyikiwa juu ya nambari gani tuliyotoa na wapi. Angalia kwa uangalifu maendeleo ya suluhisho na usichanganye ishara kwa bahati mbaya. Tulitoa nambari ya kwanza kutoka kwa nambari ya pili na tukapata jibu hasi, kwa hivyo?.. Hiyo ni kweli, nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili.

Nimeelewa? Jaribu kulinganisha sehemu:

Acha, acha. Usikimbilie kuleta kwa dhehebu la kawaida au kupunguza. Angalia: unaweza kuibadilisha kwa urahisi kuwa sehemu ya desimali. Itakuwa muda gani? Haki. Nini zaidi katika mwisho?

Hii ni chaguo jingine - kulinganisha sehemu kwa kupunguza Nukta.

Chaguo 4: Kulinganisha sehemu kwa kutumia mgawanyiko.

Ndiyo ndiyo. Na hii pia inawezekana. Mantiki ni rahisi: tunapogawanya nambari kubwa kwa nambari ndogo, jibu tunalopata ni nambari kubwa kuliko moja, na ikiwa tunagawanya nambari ndogo na nambari kubwa, basi jibu huanguka kwenye muda kutoka kwa.

Ili kukumbuka sheria hii, linganisha zote mbili nambari kuu, kwa mfano, na. Unajua nini zaidi? Sasa wacha tugawanye. Jibu letu ni. Ipasavyo, nadharia ni sahihi. Ikiwa tunagawanya kwa, tunachopata ni chini ya moja, ambayo inathibitisha kuwa ni kidogo.

Wacha tujaribu kutumia sheria hii kwa sehemu za kawaida. Hebu tulinganishe:

Gawanya sehemu ya kwanza na ya pili:

Hebu tufupishe na baadaye.

Matokeo yaliyopatikana ni kidogo, ambayo inamaanisha kuwa mgao ni chini ya mgawanyiko, ambayo ni:

Tumepanga kila kitu chaguzi zinazowezekana kulinganisha sehemu. Unawaonaje 5:

• kupunguzwa kwa denominator ya kawaida;
• kupunguzwa kwa nambari ya kawaida;
• kupunguzwa kwa fomu ya sehemu ya decimal;
• kutoa;
• mgawanyiko.

Je, uko tayari kutoa mafunzo? Linganisha sehemu kwa njia bora:

Wacha tulinganishe majibu:

1. (- badilisha kuwa desimali)
2. (gawanya sehemu moja na nyingine na punguza kwa nambari na denominator)
3. (chagua sehemu nzima na ulinganishe sehemu kulingana na kanuni ya nambari sawa)
4. (gawanya sehemu moja na nyingine na punguza kwa nambari na denominator).

2. Ulinganisho wa digrii

Sasa fikiria kuwa tunahitaji kulinganisha sio nambari tu, lakini misemo ambapo kuna digrii ().

Kwa kweli, unaweza kuweka ishara kwa urahisi:

Baada ya yote, ikiwa tutabadilisha digrii na kuzidisha, tunapata:

Kutoka kwa mfano huu mdogo na wa zamani sheria ifuatayo:

Sasa jaribu kulinganisha yafuatayo:. Unaweza pia kuweka ishara kwa urahisi:

Kwa sababu tukibadilisha ufafanuzi na kuzidisha...

Kwa ujumla, unaelewa kila kitu, na sio ngumu hata kidogo.

Ugumu hutokea tu wakati, ikilinganishwa, digrii zina misingi na viashiria tofauti. Katika kesi hiyo, ni muhimu kujaribu kuongoza kwenye msingi wa kawaida. Kwa mfano:

Kwa kweli, unajua kuwa hii, ipasavyo, usemi unachukua fomu:

Wacha tufungue mabano na tulinganishe kile tunachopata:

Baadhi kesi maalum, wakati msingi wa shahada () ni chini ya moja.

Ikiwa, basi ya digrii mbili na kubwa zaidi ni ile ambayo index yake ni ndogo.

Hebu jaribu kuthibitisha sheria hii. Hebu iwe.

Hebu tutambulishe baadhi nambari ya asili, kama tofauti kati ya na.

Kimantiki, sivyo?

Na sasa hebu kwa mara nyingine tena makini na hali -.

Mtawaliwa:. Kwa hivyo,.

Kwa mfano:

Kama unavyoelewa, tulizingatia kesi wakati misingi ya digrii ni sawa. Sasa hebu tuone wakati msingi uko katika muda kutoka hadi, lakini vielelezo ni sawa. Kila kitu ni rahisi sana hapa.

Wacha tukumbuke jinsi ya kulinganisha hii kwa kutumia mfano:

Bila shaka, ulifanya hesabu haraka:

Kwa hivyo, unapokutana na shida zinazofanana kwa kulinganisha, kumbuka mfano rahisi kama huo ambao unaweza kuhesabu haraka, na kulingana na mfano huu, weka ishara kwa ngumu zaidi.

Wakati wa kufanya mabadiliko, kumbuka kwamba ikiwa unazidisha, kuongeza, kupunguza au kugawanya, basi vitendo vyote lazima vifanyike na kushoto na kulia. upande wa kulia(ikiwa unazidisha kwa, basi unahitaji kuzidisha zote mbili).

Kwa kuongeza, kuna matukio wakati haina faida kufanya udanganyifu wowote. Kwa mfano, unahitaji kulinganisha. KATIKA kwa kesi hii, sio ngumu sana kuinua kwa nguvu, na kupanga ishara kulingana na hii:

Hebu tufanye mazoezi. Linganisha digrii:

Je, uko tayari kulinganisha majibu? Hivi ndivyo nilipata:

1. - sawa na
2. - sawa na
3. - sawa na
4. - sawa na

3. Kulinganisha namba na mizizi

Kwanza, hebu tukumbuke mizizi ni nini? Je, unakumbuka rekodi hii?

Mzizi wa nguvu ya nambari halisi ni nambari ambayo usawa unashikilia.

Mizizi ya shahada isiyo ya kawaida kuwepo kwa nambari hasi na chanya, na hata mizizi- kwa mazuri tu.

Thamani ya mizizi mara nyingi ni decimal isiyo na kipimo, ambayo inafanya kuwa vigumu kuhesabu kwa usahihi, kwa hiyo ni muhimu kuwa na uwezo wa kulinganisha mizizi.

Ikiwa umesahau ni nini na inaliwa na nini - . Ikiwa unakumbuka kila kitu, hebu tujifunze kulinganisha mizizi hatua kwa hatua.

Wacha tuseme tunahitaji kulinganisha:

Ili kulinganisha mizizi hii miwili, huna haja ya kufanya mahesabu yoyote, tu kuchambua dhana ya "mizizi" yenyewe. Unaelewa ninachozungumza? Ndio, juu ya hii: vinginevyo inaweza kuandikwa kama nguvu ya tatu ya nambari fulani, sawa na usemi mkali.

Nini zaidi? au? Bila shaka, unaweza kulinganisha hii bila ugumu wowote. Kadiri idadi tunayoongeza kwa mamlaka, ndivyo thamani inavyokuwa kubwa.

Hivyo. Hebu tupate kanuni.

Ikiwa vielelezo vya mizizi ni sawa (kwa upande wetu hii ni), basi ni muhimu kulinganisha maneno ya radical (na) - idadi kubwa ya radical, thamani kubwa ya mzizi na vielelezo sawa.

Ni ngumu kukumbuka? Kisha weka tu mfano kichwani mwako na... Hiyo zaidi?

Vielelezo vya mizizi ni sawa, kwani mzizi ni mraba. Usemi mkali wa nambari moja () ni kubwa kuliko nyingine (), ambayo inamaanisha kuwa sheria hiyo ni kweli.

Je, ikiwa maneno ya radical ni sawa, lakini digrii za mizizi ni tofauti? Kwa mfano: .

Pia ni wazi kabisa kwamba wakati wa kuchimba mzizi wa shahada kubwa, idadi ndogo itapatikana. Hebu tuchukue kwa mfano:

Wacha tuonyeshe dhamana ya mzizi wa kwanza kama, na wa pili - kama, basi:

Unaweza kuona kwa urahisi kwamba lazima kuwe na zaidi katika hesabu hizi, kwa hivyo:

Ikiwa misemo kali ni sawa(kwa upande wetu), na vielelezo vya mizizi ni tofauti(kwa upande wetu hii ni na), basi ni muhimu kulinganisha exponents(Na) - juu ya kiashiria, ndogo usemi huu.

Jaribu kulinganisha mizizi ifuatayo:

Hebu tulinganishe matokeo?

Tulitatua hii kwa mafanikio :). Swali lingine linatokea: je, ikiwa sisi sote ni tofauti? Kiwango na usemi mkali? Sio kila kitu ni ngumu sana, tunahitaji tu ... "kuondoa" mzizi. Ndiyo ndiyo. Achana nayo tu)

Iwapo tuna viwango tofauti na vielezi vikali, tunahitaji kupata kizidishio kisichojulikana sana (soma sehemu kuhusu) kwa vipeo vya mizizi na kuinua vielezi vyote viwili kwa nguvu inayolingana na kizidishio kisichojulikana sana.

Kwamba sisi sote ni kwa maneno na maneno. Hapa kuna mfano:

1. Tunaangalia viashiria vya mizizi - na. Mchanganuo wao mdogo wa kawaida ni .
2. Wacha tuinue misemo yote miwili kwa nguvu:
3. Wacha tubadilishe usemi na tufungue mabano (maelezo zaidi kwenye sura):
4. Wacha tuhesabu tulichofanya na kuweka ishara:

4. Ulinganisho wa logarithms

Kwa hiyo, polepole lakini kwa hakika, tulikuja kwa swali la jinsi ya kulinganisha logarithms. Ikiwa hukumbuka ni aina gani ya mnyama huyu, nakushauri kwanza kusoma nadharia kutoka kwa sehemu. Je, umeisoma? Kisha jibu maswali machache muhimu:

1. Ni nini hoja ya logarithm na msingi wake ni nini?
2. Ni nini huamua ikiwa utendaji unaongezeka au unapungua?

Ikiwa unakumbuka kila kitu na umeijua kikamilifu, wacha tuanze!

Ili kulinganisha logarithms na kila mmoja, unahitaji kujua mbinu 3 tu:

• kupunguzwa kwa msingi sawa;
• kupunguzwa kwa hoja sawa;
• kulinganisha na nambari ya tatu.

Awali, makini na msingi wa logarithm. Je, unakumbuka kwamba ikiwa ni kidogo, basi kazi hupungua, na ikiwa ni zaidi, basi huongezeka. Hivi ndivyo hukumu zetu zitakavyokuwa juu yake.

Hebu tuchunguze ulinganisho wa logariti ambazo tayari zimepunguzwa kwa msingi sawa, au hoja.

Kuanza, wacha turahisishe shida: weka logarithm zilizolinganishwa misingi sawa . Kisha:

1. Kazi, kwa, huongezeka kwa muda kutoka, ambayo ina maana, kwa ufafanuzi, basi ("kulinganisha moja kwa moja").
2. Mfano:- misingi ni sawa, tunalinganisha hoja ipasavyo: , kwa hivyo:
3. Kazi, saa, inapungua kwa muda kutoka, ambayo ina maana, kwa ufafanuzi, basi ("ulinganisho wa kinyume"). - misingi ni sawa, tunalinganisha hoja ipasavyo: hata hivyo, ishara ya logarithms itakuwa "reverse", kwani kazi inapungua:.

Sasa fikiria kesi ambapo sababu ni tofauti, lakini hoja ni sawa.

1. Msingi ni mkubwa zaidi.
   • . Katika kesi hii, tunatumia "ulinganisho wa kinyume". Kwa mfano: - hoja ni sawa, na. Wacha tulinganishe besi: hata hivyo, ishara ya logarithms itakuwa "reverse":
2. Msingi a iko kwenye pengo.
   • . Katika kesi hii tunatumia "kulinganisha moja kwa moja". Kwa mfano:
   • . Katika kesi hii, tunatumia "ulinganisho wa kinyume". Kwa mfano:

Wacha tuandike kila kitu katika fomu ya jumla ya jedwali:

, ambapo	, ambapo

Ipasavyo, kama ulivyoelewa tayari, tunapolinganisha logariti, tunahitaji kuelekeza kwenye msingi sawa, au hoja.

Unaweza pia kulinganisha logarithms na nambari ya tatu na, kwa msingi wa hii, toa hitimisho juu ya kile kilicho kidogo na ni nini zaidi. Kwa mfano, fikiria jinsi ya kulinganisha logarithm hizi mbili?

Kidokezo kidogo - kwa kulinganisha, logarithm itakusaidia sana, hoja ambayo itakuwa sawa.

Wazo? Tuamue pamoja.

Tunaweza kulinganisha logarithm hizi mbili na wewe kwa urahisi:

Sijui jinsi gani? Tazama hapo juu. Tumetatua hili. Kutakuwa na ishara gani? Haki:

Kubali?

Wacha tulinganishe na kila mmoja:

Unapaswa kupata zifuatazo:

Sasa unganisha hitimisho zetu zote kuwa moja. Imetokea?

5. Ulinganisho wa maneno ya trigonometric.

Sine, kosine, tangent, cotangent ni nini? Mduara wa kitengo ni wa nini na jinsi ya kupata thamani juu yake kazi za trigonometric? Ikiwa hujui majibu ya maswali haya, ninapendekeza sana kwamba usome nadharia juu ya mada hii. Na ikiwa unajua, basi kulinganisha maneno ya trigonometric na kila mmoja sio ngumu kwako!

Hebu turudishe kumbukumbu zetu kidogo. Wacha tuchore mduara wa trigonometric wa kitengo na pembetatu iliyoandikwa ndani yake. Je, uliweza? Sasa alama kwa upande gani tunapanga cosine na upande gani sine, kwa kutumia pande za pembetatu. (wewe, bila shaka, kumbuka kwamba sine ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse, na cosine ni upande wa karibu?). Je, ulichora? Kubwa! Kumaliza kugusa- kuweka chini ambapo tutakuwa nayo, wapi na kadhalika. Uliiweka chini? Phew) Wacha tulinganishe kile kilichotokea kwako na mimi.

Phew! Sasa hebu tuanze kulinganisha!

Wacha tuseme tunahitaji kulinganisha na. Chora pembe hizi kwa kutumia vidokezo kwenye visanduku (ambapo tumeweka alama wapi), ukiweka alama kwenye duara la kitengo. Je, uliweza? Hivi ndivyo nilivyopata.

Sasa hebu tudondoshe kipenyo kutoka kwa pointi tulizoweka alama kwenye duara kwenye mhimili... Ipi? Ni mhimili gani unaonyesha thamani ya sines? Haki, . Hii ndio unapaswa kupata:

Kuangalia picha hii, ambayo ni kubwa zaidi: au? Bila shaka, kwa sababu hatua ni juu ya uhakika.

Kwa njia sawa, tunalinganisha thamani ya cosines. Tunapunguza tu perpendicular kwa mhimili ... Hiyo ni kweli,. Ipasavyo, tunaangalia ni hatua gani iko upande wa kulia (au juu zaidi, kama ilivyo kwa sines), basi thamani ni kubwa zaidi.

Labda tayari unajua jinsi ya kulinganisha tangents, sawa? Unachohitaji kujua ni tangent ni nini. Kwa hivyo tanjiti ni nini?) Hiyo ni kweli, uwiano wa sine na kosine.

Ili kulinganisha tangents, tunatoa pembe kwa njia sawa na katika kesi ya awali. Wacha tuseme tunahitaji kulinganisha:

Je, ulichora? Sasa tunaweka alama za sine kwenye mhimili wa kuratibu. Je, umeona? Sasa onyesha maadili ya cosine kwenye mstari wa kuratibu. Imetokea? Hebu tulinganishe:

Sasa chambua ulichoandika. - tunagawanya sehemu kubwa katika ndogo. Jibu litakuwa na thamani ambayo hakika ni kubwa kuliko moja. Haki?

Na tunapogawanya ndogo kwa kubwa. Jibu litakuwa nambari ambayo ni chini kabisa ya moja.

Kwa hivyo ni usemi gani wa trigonometric una thamani kubwa zaidi?

Haki:

Kama unavyoelewa sasa, kulinganisha kotanjiti ni kitu kimoja, kinyume chake: tunaangalia jinsi sehemu zinazofafanua cosine na sine zinavyohusiana.

Jaribu kulinganisha misemo ifuatayo ya trigonometric mwenyewe:

Mifano.

Majibu.

KULINGANISHA NAMBA. KIWANGO CHA WASTANI.

Nambari gani ni kubwa zaidi: au? Jibu ni dhahiri. Na sasa: au? Sio dhahiri tena, sawa? Kwa hiyo: au?

Mara nyingi unahitaji kujua ni usemi gani wa nambari ni mkubwa zaidi. Kwa mfano, ili kuweka pointi kwenye mhimili kwa utaratibu sahihi wakati wa kutatua usawa.

Sasa nitakufundisha jinsi ya kulinganisha nambari kama hizo.

Ikiwa unahitaji kulinganisha nambari na, tunaweka ishara kati yao (inayotokana na neno la Kilatini Versus au kifupi dhidi ya - dhidi):. Ishara hii inachukua nafasi ya ishara isiyojulikana ya ukosefu wa usawa (). Ifuatayo, tutafanya mabadiliko sawa hadi iwe wazi ni ishara gani inapaswa kuwekwa kati ya nambari.

Kiini cha kulinganisha nambari ni hiki: tunachukulia ishara kana kwamba ni aina fulani ya ishara ya ukosefu wa usawa. Na kwa usemi tunaweza kufanya kila kitu ambacho kawaida hufanya na ukosefu wa usawa:

• ongeza nambari yoyote kwa pande zote mbili (na, kwa kweli, tunaweza kutoa pia)
• "sogeza kila kitu kwa upande mmoja", ambayo ni, toa moja ya misemo iliyolinganishwa kutoka kwa sehemu zote mbili. Badala ya usemi uliopunguzwa utabaki:.
• zidisha au gawanya kwa nambari sawa. Ikiwa nambari hii ni hasi, ishara ya ukosefu wa usawa inabadilishwa: .
• kuinua pande zote mbili kwa nguvu sawa. Ikiwa nguvu hii ni sawa, unahitaji kuhakikisha kuwa sehemu zote mbili zina ishara sawa; ikiwa sehemu zote mbili ni chanya, ishara haibadilika wakati imeinuliwa kwa nguvu, lakini ikiwa ni hasi, basi inabadilika kinyume chake.
• toa mzizi wa shahada sawa kutoka sehemu zote mbili. Ikiwa tunachota mzizi wa shahada iliyo sawa, lazima kwanza tuhakikishe kuwa vielezi vyote viwili si hasi.
• mabadiliko mengine yoyote sawa.

Muhimu: inashauriwa kufanya mabadiliko ili ishara ya usawa haibadilika! Hiyo ni, wakati wa mabadiliko, haifai kuzidisha kwa nambari hasi, na huwezi mraba ikiwa moja ya sehemu ni hasi.

Hebu tuangalie hali chache za kawaida.

1. Ufafanuzi.

Mfano.

Ambayo ni zaidi: au?

Suluhisho.

Kwa kuwa pande zote mbili za ukosefu wa usawa ni chanya, tunaweza kuifanya ili kuondoa mzizi:

Mfano.

Ambayo ni zaidi: au?

Suluhisho.

Hapa tunaweza pia mraba, lakini hii itatusaidia tu kujiondoa kipeo. Hapa inahitajika kuinua kwa kiwango ambacho mizizi yote miwili hupotea. Hii ina maana kwamba kipeo cha shahada hii lazima kigawanywe kwa zote mbili (shahada ya mzizi wa kwanza) na kwa. Nambari hii, kwa hivyo, imeinuliwa hadi kwa nguvu th:

2. Kuzidisha kwa kuunganisha kwake.

Mfano.

Ambayo ni zaidi: au?

Suluhisho.

Wacha tuzidishe na tugawanye kila tofauti kwa jumla ya conjugate:

Kwa wazi, dhehebu upande wa kulia ni kubwa zaidi kuliko denominator upande wa kushoto. Kwa hivyo, sehemu ya kulia ni ndogo kuliko ya kushoto:

3. Kutoa

Tukumbuke hilo.

Mfano.

Ambayo ni zaidi: au?

Suluhisho.

Bila shaka, tunaweza mraba kila kitu, kuunganisha, na mraba tena. Lakini unaweza kufanya kitu nadhifu zaidi:

Inaweza kuonekana kuwa upande wa kushoto kila neno ni chini ya kila neno la upande wa kulia.

Ipasavyo, jumla ya masharti yote upande wa kushoto ni chini ya jumla ya masharti yote upande wa kulia.

Lakini kuwa makini! Tuliulizwa nini zaidi ...

Upande wa kulia ni mkubwa zaidi.

Mfano.

Linganisha nambari na ...

Suluhisho.

Wacha tukumbuke fomula za trigonometry:

Wacha tuangalie ni katika robo gani kwenye duara ya trigonometric pointi na kusema uongo.

4. Mgawanyiko.

Hapa pia tunatumia kanuni rahisi:.

Saa au, hiyo ni.

Wakati ishara inabadilika:.

Mfano.

Linganisha:.

Suluhisho.

5. Linganisha nambari na nambari ya tatu

Ikiwa na, basi (sheria ya transitivity).

Mfano.

Linganisha.

Suluhisho.

Wacha tulinganishe nambari sio na kila mmoja, lakini na nambari.

Ni dhahiri kwamba.

Upande mwingine, .

Mfano.

Ambayo ni zaidi: au?

Suluhisho.

Nambari zote mbili ni kubwa, lakini ndogo. Wacha tuchague nambari ambayo ni kubwa kuliko moja, lakini chini ya nyingine. Kwa mfano, . Hebu tuangalie:

6. Nini cha kufanya na logarithms?

Hakuna maalum. Jinsi ya kujiondoa logarithms imeelezewa kwa undani katika mada. Kanuni za msingi ni:

\[(\logi _a)x \vee b(\rm( )) \Mshale wa kushoto (\rm( ))\kushoto[ (\anza(safu)(*(20)(l))(x \vee (a^a^) b)\;(\rm(saa))\;a > 1)\\(x \ kabari (a^b)\;(\rm(saa))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ kabari y\;(\rm(saa))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Tunaweza pia kuongeza sheria kuhusu logarithms na misingi tofauti na hoja sawa:

Inaweza kuelezewa kwa njia hii: msingi mkubwa, kiwango kidogo italazimika kuinuliwa ili kupata kitu sawa. Ikiwa msingi ni mdogo, basi kinyume chake ni kweli, kwani kazi inayofanana inapungua kwa monotonically.

Mfano.

Linganisha nambari: na.

Suluhisho.

Kulingana na sheria hapo juu:

Na sasa formula kwa ajili ya juu.

Sheria ya kulinganisha logarithm inaweza kuandikwa kwa ufupi zaidi:

Mfano.

Ambayo ni zaidi: au?

Suluhisho.

Mfano.

Linganisha nambari ipi ni kubwa zaidi: .

Suluhisho.

KULINGANISHA NAMBA. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

1. Ufafanuzi

Ikiwa pande zote mbili za usawa ni chanya, zinaweza kuwa mraba ili kuondoa mzizi

2. Kuzidisha kwa kuunganisha kwake

Muunganisho ni jambo linalokamilisha usemi wa tofauti ya fomula ya miraba: - kuunganisha kwa na kinyume chake, kwa sababu .

3. Kutoa

4. Mgawanyiko

Wakati au hiyo ni

Wakati ishara inabadilika:

5. Kulinganisha na nambari ya tatu

Ikiwa na kisha

6. Ulinganisho wa logarithms

Kanuni za Msingi.

Katika makala hapa chini tutaelezea kanuni ya kulinganisha nambari hasi: tutaunda sheria na kuitumia katika kutatua matatizo ya vitendo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sheria ya kulinganisha nambari hasi

Sheria hiyo inategemea ulinganisho wa moduli za data za chanzo. Kimsingi, kulinganisha nambari mbili hasi inamaanisha kulinganisha nambari chanya ambazo ni sawa na moduli ya nambari hasi zinazolinganishwa.

Ufafanuzi 1

Wakati wa kulinganisha nambari mbili hasi, nambari ndogo ni ile ambayo ukubwa wake ni mkubwa; Nambari kubwa ni ile ambayo moduli yake ni ndogo. Nambari zilizopewa hasi ni sawa ikiwa maadili yao kamili ni sawa.

Sheria iliyoundwa inatumika kwa nambari hasi na nambari za busara na halisi.

Ufafanuzi wa kijiometri unathibitisha kanuni iliyoelezwa katika kanuni maalum: kwenye mstari wa kuratibu, nambari hasi, ambayo ni ndogo, iko upande wa kushoto kuliko idadi kubwa hasi. Taarifa hii kwa ujumla ni kweli kwa nambari yoyote.

Mifano ya kulinganisha nambari hasi

wengi zaidi mfano rahisi kulinganisha nambari hasi ni kulinganisha nambari kamili. Wacha tuanze na kazi kama hiyo.

Mfano 1

Inahitajika kulinganisha nambari hasi - 65 na - 23.

Suluhisho

Kulingana na sheria, kufanya operesheni ya kulinganisha nambari hasi, kwanza unahitaji kuamua moduli zao. | - 65 | = 65 na | - 23 | = 23. Sasa hebu tulinganishe nambari chanya sawa na moduli iliyotolewa: 65 > 23. Wacha tutumie tena sheria kwamba nambari hasi ambayo moduli yake ni ndogo ni kubwa zaidi. Kwa hivyo, tunapata: - 65< - 23 .

Jibu: - 65 < - 23 .

Kulinganisha nambari hasi za kimantiki ni ngumu zaidi: hatua hatimaye husababisha kulinganisha sehemu au desimali.

Mfano 2

Inahitajika kuamua ni ipi kati ya nambari zilizopewa ni kubwa zaidi: - 4 3 14 au - 4 , 7 .

Suluhisho

Wacha tuamue moduli za nambari zinazolinganishwa. - 4 3 14 = 4 3 14 na | - 4, 7 | = 4, 7. Sasa hebu tulinganishe moduli zinazosababisha. Sehemu zote za sehemu ni sawa, kwa hivyo wacha tuanze kulinganisha sehemu za sehemu: 3 14 na 0, 7. Wacha tubadilishe sehemu ya decimal 0, 7 kuwa sehemu ya kawaida: 7 10, tunapata madhehebu ya kawaida ya sehemu zilizolinganishwa, tunapata: 15 70 Na 49 70 . Kisha matokeo ya kulinganisha yatakuwa: 15 70 < 49 70 au 3 14 < 0 , 7 . Таким образом, 4 3 14 < 4 , 7 . fff Kutumia sheria ya kulinganisha nambari hasi, tunayo: - 4 3 14 < - 4 , 7

Iliwezekana pia kufanya ulinganisho kwa kubadilisha sehemu kuwa desimali. Tofauti ni tu katika urahisi wa hesabu.

Jibu: - 4 3 14 < - 4 , 7

Ulinganisho wa nambari hasi halisi hufuata sheria sawa.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

§ 1 Ulinganisho wa nambari chanya

Katika somo hili, tutapitia jinsi ya kulinganisha nambari chanya na kuangalia kulinganisha nambari hasi.

Hebu tuanze na kazi. Wakati wa mchana joto la hewa lilikuwa digrii +7, jioni lilipungua hadi digrii +2, usiku ikawa digrii -2, na asubuhi ilishuka zaidi hadi digrii -7. Joto la hewa lilibadilikaje?

Tatizo ni kuhusu kupunguza, i.e. kuhusu kupungua kwa joto. Hii inamaanisha kuwa katika kila kisa thamani ya joto ya mwisho ni chini ya ile ya awali, kwa hivyo 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Wacha tuonyeshe nambari 7, 2, -2, -7 kwenye mstari wa kuratibu. Kumbuka kwamba kwenye mstari wa kuratibu, nambari kubwa ya chanya iko upande wa kulia.

Hebu tuangalie nambari hasi, nambari -2 ni zaidi ya kulia kuliko -7, i.e. kwa nambari hasi kwenye mstari wa kuratibu, utaratibu huo unasimamiwa: wakati hatua inakwenda kwa haki, uratibu wake huongezeka, na wakati hatua inakwenda upande wa kushoto, uratibu wake hupungua.

Tunaweza kuhitimisha: Nambari yoyote chanya ni kubwa kuliko sifuri na kubwa kuliko nambari yoyote hasi. 1 > 0; 12 > -2.5. Nambari yoyote hasi ni chini ya sifuri na chini ya nambari yoyote chanya. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Ni rahisi kulinganisha nambari za busara (yaani, nambari zote kamili na sehemu) kwa kutumia moduli.

Nambari nzuri ziko kwenye mstari wa kuratibu katika utaratibu wa kupanda kutoka kwa asili, ambayo ina maana kwamba zaidi ya nambari kutoka kwa asili, urefu wa sehemu kutoka sifuri hadi nambari, i.e. moduli yake. Kwa hivyo, kati ya nambari mbili chanya, yule ambaye ukubwa wake ni mkubwa zaidi.

§ 2 Ulinganisho wa nambari hasi

Wakati wa kulinganisha nambari mbili hasi, kubwa zaidi itakuwa iko upande wa kulia, ambayo ni, karibu na asili. Hii inamaanisha kuwa moduli yake (urefu wa sehemu kutoka sifuri hadi nambari) itakuwa ndogo. Kwa hivyo, kati ya nambari mbili hasi, ile iliyo na moduli ndogo ni kubwa zaidi.

Kwa mfano. Wacha tulinganishe nambari -1 na -5. Hatua inayolingana na nambari -1 iko karibu na asili kuliko hatua inayolingana na nambari -5. Hii inamaanisha kuwa urefu wa sehemu kutoka 0 hadi -1 au moduli ya nambari -1 ni chini ya urefu wa sehemu kutoka 0 hadi -5 au moduli ya nambari -5, ambayo inamaanisha kuwa nambari -1 ni kubwa kuliko nambari -5.

Tunatoa hitimisho:

Wakati wa kulinganisha nambari za busara makini na:

Ishara: nambari hasi daima ni chini ya nambari chanya na sifuri;

Kwenye eneo kwenye mstari wa kuratibu: zaidi ya kulia, zaidi;

Kwa moduli: nambari chanya zina moduli kubwa na nambari kubwa, nambari hasi zina moduli kubwa na nambari ndogo.

Orodha ya fasihi iliyotumika:

1. Hisabati Daraja la 6: Mipango ya somo ya kitabu cha maandishi na I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //mwandishi-mkusanyaji L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
2. Hisabati. Daraja la 6: kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Hisabati. Daraja la 6: kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2013.
4. Mwongozo wa hisabati - http://lyudmilanik.com.ua
5. Mwongozo wa Mwanafunzi wa sekondari http://shkolo.ru

Rudi