Kuongeza utendaji wa mstari. GIA

x-hoja (kigeu kinachojitegemea),

y-kazi (kigeu tegemezi),

k na b ni baadhi ya nambari zisizobadilika

Grafu ya kitendakazi cha mstari ni moja kwa moja.

Ili kuunda grafu ni ya kutosha mbili pointi, kwa sababu kupitia pointi mbili unaweza kuteka mstari wa moja kwa moja na, zaidi ya hayo, moja tu.

Ikiwa k˃0, basi grafu iko katika robo ya 1 na ya 3 ya kuratibu. Ikiwa k˂0, basi grafu iko katika robo ya 2 na ya 4 ya kuratibu.

Nambari k inaitwa mteremko grafu moja kwa moja ya chaguo za kukokotoa y(x)=kx+b. Ikiwa k˃0, basi pembe ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja y(x)= kx+b kwa mwelekeo chanya Ox ni papo hapo; ikiwa k˂0, basi pembe hii ni butu.

Mgawo b huonyesha sehemu ya makutano ya grafu na mhimili wa op-amp (0; b).

y(x)=k∙x-- kesi maalum Kazi ya kawaida inaitwa uwiano wa moja kwa moja. Grafu ni mstari ulionyooka unaopitia asili, kwa hivyo nukta moja inatosha kuunda grafu hii.

Grafu ya Kazi ya Linear

Ambapo mgawo k = 3, kwa hiyo

Grafu ya chaguo za kukokotoa itaongezeka na kuwa na pembe ya papo hapo na mhimili wa Ox kwa sababu mgawo k ina ishara ya kuongeza.

Utendakazi wa mstari wa OOF

OPF ya kitendakazi cha mstari

Isipokuwa katika kesi ambapo

Pia kazi ya mstari wa fomu

Ni kipengele mtazamo wa jumla.

B) Ikiwa k=0; b≠0,

Katika kesi hii, grafu ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa Ox na kupita kwa uhakika (0; b).

B) Ikiwa k≠0; b≠0, kisha kitendakazi cha mstari kina fomu y(x)=k∙x+b.

Mfano 1 . Grafu chaguo za kukokotoa y(x)= -2x+5

Mfano 2 . Wacha tupate sufuri za chaguo la kukokotoa y=3x+1, y=0;

- zero za kazi.

Jibu: au (;0)

Mfano 3 . Bainisha thamani ya chaguo za kukokotoa y=-x+3 kwa x=1 na x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Jibu: y_1=2; y_2=4.

Mfano 4 . Amua kuratibu za sehemu yao ya makutano au uthibitishe kuwa grafu haziingiliani. Acha chaguo za kukokotoa y 1 =10∙x-8 na y 2 =-3∙x+5 zitolewe.

Ikiwa grafu za kazi zinaingiliana, basi maadili ya kazi katika hatua hii ni sawa

Badilisha x=1, kisha y 1 (1)=10∙1-8=2.

Maoni. Unaweza pia kubadilisha thamani inayotokana ya hoja katika chaguo za kukokotoa y 2 =-3∙x+5, kisha tunapata jibu sawa y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- mratibu wa sehemu ya makutano.

(1;2) - hatua ya makutano ya grafu za kazi y = 10x-8 na y = -3x + 5.

Jibu: (1;2)

Mfano 5 .

Jenga grafu za kazi y 1 (x)= x+3 na y 2 (x)= x-1.

Unaweza kugundua kuwa mgawo k=1 wa chaguo za kukokotoa zote mbili.

Kutoka hapo juu inafuata kwamba ikiwa coefficients ya kazi ya mstari ni sawa, basi grafu zao katika mfumo wa kuratibu ziko sawa.

Mfano 6 .

Wacha tujenge grafu mbili za kazi.

Grafu ya kwanza ina fomula

Grafu ya pili ina fomula

KATIKA kwa kesi hii Mbele yetu kuna mchoro wa mistari miwili inayokatiza kwa uhakika (0;4). Hii ina maana kwamba mgawo b, ambao unawajibika kwa urefu wa kupanda kwa grafu juu ya mhimili wa Ox, ikiwa x = 0. Hii inamaanisha kuwa tunaweza kudhani kuwa mgawo wa b wa grafu zote mbili ni sawa na 4.

Wahariri: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Zingatia chaguo la kukokotoa y=k/y. Grafu ya kazi hii ni mstari, unaoitwa hyperbola katika hisabati. Mtazamo wa jumla wa hyperbola umeonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. (Grafu inaonyesha kazi y ni sawa na k iliyogawanywa na x, ambayo k ni sawa na moja.)

Inaweza kuonekana kuwa grafu ina sehemu mbili. Sehemu hizi huitwa matawi ya hyperbola. Inafaa pia kuzingatia kuwa kila tawi la hyperbola linakaribia katika moja ya mwelekeo karibu na karibu na shoka za kuratibu. Axes za kuratibu katika kesi hii zinaitwa asymptotes.

Kwa ujumla, mistari yoyote iliyonyooka ambayo grafu ya kazi inakaribia sana lakini haifikii inaitwa asymptotes. Hyperbola, kama parabola, ina shoka za ulinganifu. Kwa hyperbola iliyoonyeshwa kwenye mchoro hapo juu, huu ndio mstari y=x.

Sasa hebu tuangalie visa viwili vya kawaida vya hyperbole. Grafu ya kazi y = k/x, kwa k ≠0, itakuwa hyperbola, matawi ambayo iko katika pembe ya kwanza na ya tatu ya kuratibu, kwa k> 0, au katika pembe ya pili na ya nne ya kuratibu, kwa k<0.

Sifa za kimsingi za chaguo za kukokotoa y = k/x, kwa k>0

Grafu ya chaguo za kukokotoa y = k/x, kwa k>0

5. y>0 kwa x>0; y6. Chaguo za kukokotoa hupungua kwa muda (-∞;0) na kwa muda (0;+∞).

10. Masafa ya thamani za chaguo za kukokotoa ni vipindi viwili wazi (-∞;0) na (0;+∞).

Mali ya msingi ya kazi y = k/x, kwa k<0

Grafu ya kazi y = k/x, katika k<0

1. Pointi (0;0) ni kitovu cha ulinganifu wa hyperbola.

2. Kuratibu axes - asymptotes ya hyperbola.

4. Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zote ni x isipokuwa x=0.

5. y>0 kwa x0.

6. Chaguo za kukokotoa huongezeka kwa muda (-∞;0) na kwa muda (0;+∞).

7. Kazi sio mdogo ama kutoka chini au kutoka juu.

8. Chaguo za kukokotoa za kukokotoa hazina kiwango cha juu zaidi au cha chini zaidi.

9. Chaguo za kukokotoa ni endelevu kwa muda (-∞;0) na kwa muda (0;+∞). Ina pengo la x=0.

Jifunze kuchukua derivatives ya utendaji. Derivative inaashiria kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani iliyo kwenye grafu ya chaguo hili la kukokotoa. Katika kesi hii, grafu inaweza kuwa mstari wa moja kwa moja au uliopindika. Hiyo ni, derivative ina sifa ya kiwango cha mabadiliko ya kazi katika hatua maalum kwa wakati. Kumbuka sheria za jumla ambazo derivatives huchukuliwa, na kisha tu kuendelea na hatua inayofuata.

Soma makala.
Jinsi ya kuchukua derivatives rahisi zaidi, kwa mfano, derivative ya equation ya kielelezo, imeelezwa. Hesabu zilizowasilishwa katika hatua zifuatazo zitatokana na njia zilizoelezwa humo.

Jifunze kutofautisha matatizo ambayo mgawo wa mteremko unahitaji kuhesabiwa kupitia derivative ya chaguo za kukokotoa. Matatizo sikuzote hukuuliza utafute mteremko au toleo la kukokotoa la chaguo la kukokotoa. Kwa mfano, unaweza kuulizwa kutafuta kiwango cha mabadiliko ya chaguo za kukokotoa katika hatua A(x,y). Unaweza pia kuulizwa kutafuta mteremko wa tangent kwa uhakika A(x,y). Katika hali zote mbili ni muhimu kuchukua derivative ya kazi.

Chukua derivative ya chaguo za kukokotoa ulizopewa. Hakuna haja ya kujenga grafu hapa - unahitaji tu equation ya kazi. Katika mfano wetu, chukua derivative ya kazi. Chukua derivative kulingana na njia zilizoainishwa katika kifungu kilichotajwa hapo juu:

Nyingine:

Badilisha viwianishi vya nukta uliyopewa kwenye derivative iliyopatikana ili kukokotoa mteremko. Derivative ya chaguo za kukokotoa ni sawa na mteremko katika hatua fulani. Kwa maneno mengine, f"(x) ni mteremko wa chaguo la kukokotoa wakati wowote (x,f(x)). Katika mfano wetu:

Pata mteremko wa kazi f (x) = 2 x 2 + 6 x (\mtindo wa kuonyesha f(x)=2x^(2)+6x) kwa uhakika A(4,2).
Nyingi ya chaguo za kukokotoa:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\mtindo wa kuonyesha f"(x)=4x+6)
Badilisha thamani ya "x" ya kuratibu ya hatua hii:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\mtindo wa maonyesho f"(x)=4(4)+6)
Tafuta mteremko:
Kazi ya mteremko f (x) = 2 x 2 + 6 x (\mtindo wa kuonyesha f(x)=2x^(2)+6x) kwa uhakika A(4,2) ni sawa na 22.

Ikiwezekana, angalia jibu lako kwenye grafu. Kumbuka kwamba mteremko hauwezi kuhesabiwa kwa kila hatua. Calculus tofauti hushughulika na kazi changamano na grafu changamano ambapo mteremko hauwezi kuhesabiwa katika kila nukta, na katika baadhi ya matukio pointi haziko kwenye grafu kabisa. Ikiwezekana, tumia kikokotoo cha kuchora ili kuangalia kwamba mteremko wa kitendakazi ulichopewa ni sahihi. Vinginevyo, chora tanjenti kwenye grafu katika sehemu uliyopewa na ufikirie kama thamani ya mteremko uliopata inalingana na unayoona kwenye grafu.

Tangenti itakuwa na mteremko sawa na grafu ya kazi katika hatua fulani. Ili kuchora tanjiti katika sehemu fulani, songa kushoto/kulia kwenye mhimili wa X (kwa mfano wetu, maadili 22 kwenda kulia), na kisha juu moja kwenye mhimili wa Y. Weka alama kwenye mhimili huo, kisha uunganishe na mhimili wa Y. nukta uliyopewa. Katika mfano wetu, unganisha pointi na kuratibu (4,2) na (26,3).

Katika makala hii tutaangalia kazi ya mstari, grafu ya kitendakazi cha mstari na sifa zake. Na, kama kawaida, tutasuluhisha shida kadhaa kwenye mada hii.

Utendakazi wa mstari inayoitwa kazi ya fomu

Katika mlinganyo wa kukokotoa, nambari tunayozidisha inaitwa mgawo wa mteremko.

Kwa mfano, katika equation ya kazi;

katika equation ya kazi;

katika mlinganyo wa kukokotoa.

Grafu ya kitendakazi cha mstari ni mstari wa moja kwa moja.

1 . Kupanga utendaji, tunahitaji kuratibu za pointi mbili za grafu ya chaguo la kukokotoa. Ili kuzipata, unahitaji kuchukua thamani mbili za x, uziweke badala ya mlinganyo wa chaguo za kukokotoa, na uzitumie kukokotoa thamani zinazolingana y.

Kwa mfano, kupanga grafu ya kazi, ni rahisi kuchukua na, basi kuratibu za pointi hizi zitakuwa sawa na.

Tunapata pointi A(0;2) na B(3;3). Wacha tuwaunganishe na tupate grafu ya kazi:

2 . Katika mlinganyo wa kukokotoa, mgawo unawajibika kwa mteremko wa grafu ya chaguo la kukokotoa:

Kichwa="k>0">!}

Mgawo unawajibika kwa kuhamisha grafu kwenye mhimili:

Kichwa="b>0">!}

Kielelezo hapa chini kinaonyesha grafu za kazi; ;

Kumbuka kuwa katika kazi hizi zote mgawo Juu ya sifuri haki. Zaidi ya hayo, thamani ya juu, kasi ya mstari wa moja kwa moja huenda.

Katika vitendaji vyote - na tunaona kwamba grafu zote zinaingiliana na mhimili wa OY kwa uhakika (0;3)

Sasa hebu tuangalie grafu za kazi; ;

Wakati huu katika kazi zote mgawo chini ya sifuri , na grafu zote za kazi zimeteremka kushoto.

Kumbuka kwamba |k| kubwa zaidi, ndivyo mstari ulionyooka unavyozidi kuongezeka. Mgawo b ni sawa, b=3, na grafu, kama ilivyokuwa katika kisa cha awali, hukatiza mhimili wa OY kwa uhakika (0;3)

Hebu tuangalie grafu za kazi; ;

Sasa mgawo katika milinganyo yote ya kazi ni sawa. Na tulipata mistari mitatu inayofanana.

Lakini coefficients b ni tofauti, na grafu hizi huingiliana na mhimili wa OY katika sehemu tofauti:

Grafu ya chaguo za kukokotoa (b=3) inakatiza mhimili wa OY kwa uhakika (0;3)

Grafu ya kazi (b=0) inaingiliana na mhimili wa OY kwenye hatua (0;0) - asili.

Grafu ya chaguo za kukokotoa (b=-2) inakatiza mhimili wa OY kwenye uhakika (0;-2)

Kwa hiyo, ikiwa tunajua ishara za coefficients k na b, basi tunaweza kufikiria mara moja jinsi grafu ya kazi inavyoonekana.

Kama k<0 и b>0 , basi grafu ya kazi inaonekana kama:

Kama k>0 na b>0 , basi grafu ya kazi inaonekana kama:

Kama k>0 na b<0 , basi grafu ya kazi inaonekana kama:

Kama k<0 и b<0 , basi grafu ya kazi inaonekana kama:

Kama k=0 , basi kazi inabadilika kuwa kazi na grafu yake inaonekana kama:

Viwango vya alama zote kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa ni sawa

Kama b=0, kisha grafu ya kazi hupitia asili:

Hii grafu ya uwiano wa moja kwa moja.

3. Ningependa kutambua kando grafu ya equation. Grafu ya equation hii ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili, pointi zote ambazo zina abscissa.

Kwa mfano, grafu ya equation inaonekana kama hii:

Makini! Equation sio kazi, kwani maadili tofauti ya hoja yanahusiana na thamani sawa ya kazi, ambayo hailingani.

4 . Masharti ya usawa wa mistari miwili:

Grafu ya kipengele sambamba na grafu ya chaguo za kukokotoa, Kama

5. Hali ya perpendicularity ya mistari miwili iliyonyooka:

Grafu ya kipengele perpendicular kwa grafu ya chaguo la kukokotoa, ikiwa au

6. Pointi za makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa na shoka za kuratibu.

Na mhimili wa OY. Abscissa ya sehemu yoyote ya mhimili wa OY ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, ili kupata sehemu ya makutano na mhimili wa OY, unahitaji kubadilisha sifuri katika equation ya kazi badala ya x. Tunapata y=b. Hiyo ni, hatua ya makutano na mhimili wa OY ina kuratibu (0; b).

Na mhimili wa OX: Mpangilio wa sehemu yoyote ya mhimili wa OX ni sawa na sifuri. Kwa hiyo, ili kupata hatua ya makutano na mhimili wa OX, unahitaji kubadilisha sifuri katika equation ya kazi badala ya y. Tunapata 0=kx+b. Kutoka hapa. Hiyo ni, hatua ya makutano na mhimili wa OX ina kuratibu (;0):

Wacha tuangalie utatuzi wa shida.

1 . Tengeneza grafu ya chaguo la kukokotoa ikiwa inajulikana kuwa inapita kwenye nukta A(-3;2) na inalingana na mstari wa moja kwa moja y=-4x.

Equation ya kazi ina vigezo viwili visivyojulikana: k na b. Kwa hiyo, maandishi ya tatizo lazima iwe na hali mbili zinazoonyesha grafu ya kazi.

a) Kutokana na ukweli kwamba grafu ya kazi ni sambamba na mstari wa moja kwa moja y = -4x, inafuata kwamba k = -4. Hiyo ni, equation ya kazi ina fomu

b) Lazima tupate b. Inajulikana kuwa grafu ya chaguo za kukokotoa hupitia hatua A(-3;2). Ikiwa nukta ni ya grafu ya chaguo la kukokotoa, basi wakati wa kubadilisha kuratibu zake kwenye equation ya chaguo la kukokotoa, tunapata usawa sahihi:

kwa hivyo b=-10

Kwa hivyo, tunahitaji kupanga kazi

Tunajua nukta A(-3;2), tuchukue nukta B(0;-10)

Wacha tuweke alama hizi kwenye ndege ya kuratibu na tuunganishe na mstari wa moja kwa moja:

2. Andika mlinganyo wa mstari unaopitia pointi A(1;1); B(2;4).

Ikiwa mstari unapita kupitia pointi zilizo na kuratibu zilizotolewa, kwa hiyo, kuratibu za pointi zinakidhi equation ya mstari. Hiyo ni, ikiwa tutabadilisha kuratibu za pointi kwenye equation ya mstari wa moja kwa moja, tutapata usawa sahihi.

Wacha tubadilishe viwianishi vya kila nukta kwenye equation na tupate mfumo wa milinganyo ya mstari.

Toa ya kwanza kutoka kwa mlinganyo wa pili wa mfumo na upate . Wacha tubadilishe dhamana ya $ k $ kwenye equation ya kwanza ya mfumo na tupate b=-2.

Kwa hivyo, equation ya mstari.

3. Grafu ya Mlinganyo

Ili kupata kwa maadili gani ya haijulikani bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na sifuri, unahitaji kusawazisha kila sababu na sifuri na kuzingatia. kila kizidishi.

Mlinganyo huu hauna vikwazo kwa ODZ. Wacha tutengeneze mabano ya pili na tuweke kila sababu sawa na sifuri. Tunapata seti ya equations:

Wacha tuunda grafu za hesabu zote za seti katika ndege moja ya kuratibu. Hii ni grafu ya equation :

4 . Tengeneza grafu ya chaguo za kukokotoa ikiwa ni sawa na mstari na hupitia hatua M(-1;2)

Hatutajenga grafu, tutapata tu equation ya mstari.

a) Kwa kuwa grafu ya chaguo za kukokotoa, ikiwa ni ya mstari kwa mstari, kwa hivyo, kwa hivyo. Hiyo ni, equation ya kazi ina fomu

b) Tunajua kwamba grafu ya chaguo la kukokotoa hupitia hatua M(-1;2). Wacha tubadilishe viwianishi vyake kwenye mlinganyo wa chaguo za kukokotoa. Tunapata:

Kutoka hapa.

Kwa hiyo, kazi yetu inaonekana kama:.

5 . Grafu Kazi