Aina ya somo: Somo la kutambulisha nyenzo mpya.
Malengo ya somo:
Tambulisha dhana ya tufe iliyoandikwa kwenye polihedron; tufe iliyozunguka kuhusu polihedron.
Linganisha mduara na nyanja iliyopigwa, mduara ulioandikwa na nyanja iliyoandikwa.
Kuchambua masharti ya kuwepo kwa nyanja iliyoandikwa na tufe iliyozunguka.
Kuendeleza ujuzi wa kutatua matatizo kwenye mada.
Kukuza ustadi wa kazi wa kujitegemea wa wanafunzi.
Ukuzaji wa fikra za kimantiki, tamaduni ya algorithmic, fikira za anga, ukuzaji wa fikra za kihesabu na angavu, uwezo wa ubunifu katika kiwango kinachohitajika kwa kuendelea na masomo na kwa shughuli za kujitegemea katika uwanja wa hisabati na matumizi yake katika shughuli za kitaalam za siku zijazo.
Pakua:
Hakiki:
Mduara unaozunguka.
Ufafanuzi: Ikiwa wima zote za poligoni ziko kwenye duara, basi duara huitwailivyoelezwa kuhusu poligoni, na poligoni niiliyoandikwa kwenye mduara.
Nadharia. Karibu na pembetatu yoyote unaweza kuelezea mduara, na moja tu.
Tofauti na pembetatu, si mara zote inawezekana kuelezea mduara karibu na quadrilateral. Kwa mfano: rhombus.
Nadharia. Katika mzunguko wowote wa pembe nne, jumla ya pembe kinyume ni 180 0 .
Ikiwa jumla ya pembe tofauti za pembe nne ni 180 0 , basi mduara unaweza kuelezewa karibu nayo.
Ili ABCD ya pembe nne iandikwe, ni muhimu na ya kutosha kwamba yoyote ya masharti yafuatayo yatimizwe:
- ABCD ni mbonyeo ya pembe nne na ∟ABD=∟ACD;
- Jumla ya pembe mbili kinyume za pembe nne ni 180 0 .
Katikati ya mduara ni sawa kutoka kwa kila wima yake na kwa hivyo inaendana na hatua ya makutano ya bisekta za pembeni kwa pande za poligoni, na radius ni sawa na umbali kutoka katikati hadi wima.
Kwa pembetatu:Kwa poligoni ya kawaida:
Mduara ulioandikwa.
Ufafanuzi: Ikiwa pande zote za poligoni zinagusa mduara, basi duara huitwailiyoandikwa katika poligoni,na poligoni ni ilivyoelezwa kuzunguka mduara huu.
Nadharia. Unaweza kuandika mduara kwenye pembetatu yoyote, na moja tu.
Si kila pembe nne inayoweza kutoshea mduara. Kwa mfano: mstatili ambao sio mraba.
Nadharia. Katika sehemu yoyote ya pembe nne iliyozungukwa, jumla ya urefu wa pande tofauti ni sawa.
Ikiwa jumla ya urefu wa pande tofauti za quadrilateral ya convex ni sawa, basi mduara unaweza kuandikwa ndani yake.
Ili ABCD ya mbonyeo ya pembe nne ifafanuliwe, ni muhimu na ya kutosha kwamba hali ya AB+DC=BC+AD itimizwe (jumla ya urefu wa pande tofauti ni sawa).
Katikati ya mduara ni sawa kutoka kwa pande za poligoni, ambayo inamaanisha inalingana na hatua ya makutano ya sehemu mbili za pembe za poligoni (mali ya pembe mbili). Radi ni sawa na umbali kutoka katikati ya duara hadi pande za poligoni.
Kwa pembetatu:Kwa haki
Poligoni:
Hakiki:
Tufe iliyoandikwa.
Ufafanuzi: Tufe inaitwa iliyoandikwa kwenye polihedron ikiwa inagusa nyuso zote za polihedroni. Polyhedron katika kesi hii inaitwa ilivyoelezwa kuhusu nyanja.
Katikati ya nyanja iliyoandikwa ni hatua ya makutano ya ndege za bisector za pembe zote za dihedral.
Tufe inasemekana kuandikwa kwa pembe ya dihedral ikiwa inagusa nyuso zake. Katikati ya tufe iliyoandikwa kwa pembe ya dihedral iko kwenye ndege ya pande mbili ya pembe hii ya dihedral. Tufe inasemekana kuwa imeandikwa katika pembe ya polihedra ikiwa inagusa nyuso zote za pembe ya polihedral.
Sio kila polihedron inaweza kubeba tufe. Kwa mfano: tufe haiwezi kuandikwa kwa parallelepiped ya mstatili ambayo si mchemraba.
Nadharia. Unaweza kutoshea tufe kwenye piramidi yoyote ya pembe tatu, na moja tu.
Ushahidi. Fikiria piramidi ya triangular CABD. Wacha tuchore ndege za sehemu mbili za pembe zake za dihedral na kingo AC na BC. Wanaingiliana kwenye mstari wa moja kwa moja unaoingiliana na ndege ya pili ya pembe ya dihedral na makali AB. Kwa hivyo, ndege mbili za pembe za dihedral zilizo na kingo AB, AC na BC zina hatua moja ya kawaida. Hebu tuiashiria Q. Point Q ni sawa na nyuso zote za piramidi. Kwa hivyo, duara la kipenyo mwafaka chenye kituo katika uhakika Q kimeandikwa katika piramidi CABD.
Hebu tuthibitishe upekee wake. Katikati ya nyanja yoyote iliyoandikwa kwenye piramidi ya CABD ni sawa kutoka kwa nyuso zake, ambayo inamaanisha kuwa ni ya ndege za pembe za dihedral. Kwa hiyo, katikati ya nyanja inapatana na uhakika Q. Ni nini kilihitaji kuthibitishwa.
Nadharia. Katika piramidi ambayo mduara unaweza kuandikwa kwa msingi, katikati ambayo hutumika kama msingi wa urefu wa piramidi, nyanja inaweza kuandikwa.
Matokeo. Unaweza kutoshea tufe kwenye piramidi yoyote ya kawaida.
Thibitisha kwamba katikati ya nyanja iliyoandikwa kwenye piramidi ya kawaida iko kwenye urefu wa piramidi hii (thibitisha mwenyewe).
Katikati ya tufe iliyoandikwa kwenye piramidi ya kawaida ni mahali pa makutano ya urefu wa piramidi na sehemu mbili ya pembe inayoundwa na apothem na makadirio yake kwenye msingi.
Kazi. a, urefu ni h.
Tatua tatizo.
Kazi. 0
Hakiki:
Tufe iliyoelezwa.
Ufafanuzi. Tufe inaitwa circumscribed karibu na polihedroni ikiwa ____________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________. Polyhedron inaitwa __________________________________________________.
Je, katikati ya tufe iliyoelezwa ina mali gani?
Ufafanuzi. Eneo la kijiometri la pointi katika nafasi sawia kutoka ncha za sehemu fulani ni _________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________.
Toa mfano wa polihedron ambayo haiwezekani kuelezea tufe: ___________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ .
Tufe linaweza kuelezewa karibu na piramidi gani?
Nadharia. ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________.
Ushahidi. Fikiria piramidi ya triangular ABCD. Wacha tutengeneze ndege zinazoendana na kingo za AB, AC na AD, mtawalia, na kupita katikati mwao. Wacha tuonyeshe kwa O hatua ya makutano ya ndege hizi. Jambo kama hilo lipo, na ndilo pekee. Hebu tuthibitishe. Wacha tuchukue ndege mbili za kwanza. Zinaingiliana kwa sababu zinafanana kwa mistari isiyolingana. Hebu tuonyeshe mstari wa moja kwa moja ambao ndege mbili za kwanza zinaingiliana l. Mstari huu ulionyooka perpendicular kwa ndege ABC. Ndege perpendicular kwa AD si sambamba l na haina, kwani vinginevyo mstari wa AD ni perpendicular l , i.e. iko kwenye ndege ya ABC. Pointi O ni sawa kutoka kwa pointi A na B, A na C, A na D, ambayo ina maana kwamba iko sawa kutoka kwa wima zote za piramidi ya ABCD, i.e. nyanja iliyo na kituo katika O ya radius inayolingana ni nyanja iliyozungukwa. piramidi.
Hebu tuthibitishe upekee wake. Katikati ya nyanja yoyote inayopitia wima ya piramidi ni sawa kutoka kwa wima hizi, ambayo inamaanisha kuwa ni ya ndege ambazo ziko karibu na kingo za piramidi na hupita katikati ya kingo hizi. Kwa hiyo, katikati ya nyanja hiyo inapatana na uhakika O. Theorem imethibitishwa.
Ni piramidi gani nyingine ambayo tufe inaweza kuelezewa kote?
Nadharia. __________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Katikati ya nyanja iliyozungukwa juu ya piramidi inaendana na sehemu ya makutano ya mstari wa moja kwa moja unaoelekea kwenye msingi wa piramidi inayopita katikati ya duara iliyozungukwa juu ya msingi na ndege inayoelekea kwa makali yoyote ya baadaye inayotolewa katikati ya hii. makali.
Ili kuweza kuelezea tufe kuzunguka polihedron, ni muhimu ___________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________.
Katika kesi hii, katikati ya tufe iliyozingirwa inaweza kulala _________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________ na inaonyeshwa katikati ya duara iliyozungukwa karibu na makali yoyote; pembeni iliyoshuka kutoka katikati ya tufe iliyozingirwa kuhusu polihedron kwenye ukingo wa polihedron hugawanya makali haya katika nusu.
Matokeo. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .
Katikati ya tufe iliyoelezewa kuhusu piramidi ya kawaida iko ________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Kuchambua suluhisho la tatizo.
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na a, urefu ni h. Pata radius ya tufe iliyozungukwa karibu na piramidi.
Tatua tatizo.
Kazi. 0
Hakiki:
Fungua somo juu ya mada "Polehedra iliyoandikwa na iliyozungukwa"
Mada ya somo: Tufe iliyoandikwa kwenye piramidi. Tufe iliyoelezwa karibu na piramidi.
Aina ya somo: Somo la kutambulisha nyenzo mpya.
Malengo ya somo:
- Kukuza ustadi wa kazi wa kujitegemea wa wanafunzi.
- Maendeleo kufikiri kimantiki, utamaduni wa algorithmic, mawazo ya anga, maendeleo ya kufikiri hisabati na angavu, uwezo wa ubunifu katika ngazi muhimu kwa ajili ya kuendelea elimu na kwa ajili ya shughuli za kujitegemea katika uwanja wa hisabati na matumizi yake katika shughuli za kitaaluma za baadaye;
Vifaa:
- Ubao mweupe unaoingiliana
- Uwasilishaji "Duara lililoandikwa na kuelezewa"
- Masharti ya matatizo katika michoro kwenye ubao.
- Vijitabu (maelezo yanayounga mkono).
- Mpango wa ramani. Mduara ulioandikwa na uliozungushwa.
- Stereometry. Tufe iliyoandikwa
- Stereometry. Tufe iliyoelezwa
Muundo wa somo:
- Kuweka malengo ya somo (dakika 2).
- Maandalizi ya kujifunza nyenzo mpya kwa kurudia (utafiti wa mbele) (dakika 6).
- Maelezo ya nyenzo mpya (dakika 15)
- Kuelewa mada wakati wa kuandaa maelezo kwa kujitegemea juu ya mada "Stereometry. Eneo lililoelezwa” na matumizi ya mada katika kutatua matatizo (dakika 15).
- Kuhitimisha somo kwa kuangalia maarifa na uelewa wa mada iliyosomwa (utafiti wa mbele). Kutathmini majibu ya wanafunzi (dakika 5).
- Kuweka kazi ya nyumbani (dakika 2).
- Hifadhi kazi.
Maendeleo ya somo
1. Kuweka malengo ya somo.
- Tambulisha dhana ya tufe iliyoandikwa kwenye polihedroni; tufe iliyozunguka kuhusu polihedron.
- Linganisha mduara na nyanja iliyopigwa, mduara ulioandikwa na nyanja iliyoandikwa.
- Kuchambua masharti ya kuwepo kwa nyanja iliyoandikwa na tufe iliyozunguka.
- Kuendeleza ujuzi wa kutatua matatizo kwenye mada.
2. Maandalizi ya kujifunza nyenzo mpya kwa kurudia (utafiti wa mbele).
Mduara ulioandikwa katika poligoni.
- Ni mduara gani unaoitwa kuandikwa kwenye poligoni?
- Jina la poligoni ambamo mduara umeandikwa nini?
- Ni sehemu gani ya katikati ya duara iliyoandikwa kwenye poligoni?
- Je, kituo cha duara kilichoandikwa kwenye poligoni kina sifa gani?
- Ni wapi katikati ya duara iliyoandikwa kwenye poligoni?
- Ni poligoni gani inaweza kuelezewa kuzunguka mduara, chini ya hali gani?
Mduara unaozunguka kuhusu poligoni.
- Ni mduara gani unaoitwa duara la poligoni?
- Jina la poligoni ambalo mduara umezungukwa ni nini?
- Je, ni sehemu gani ya katikati ya duara iliyozungushwa kuhusu poligoni?
- Je, kituo cha duara kilichozungukwa kuhusu poligoni kina mali gani?
- Je, kitovu cha duara kilichozungukwa kuhusu poligoni kinaweza kupatikana wapi?
- Ni poligoni ipi inaweza kuandikwa kwenye mduara na chini ya hali gani?
3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.
A . Kwa mlinganisho, wanafunzi huunda ufafanuzi mpya na kujibu maswali yaliyoulizwa.
Tufe iliyoandikwa katika polihedron.
- Tengeneza ufafanuzi wa tufe iliyoandikwa kwenye polihedron.
- Je! jina la polihedron ambalo tufe linaweza kuandikwa?
- Je, katikati ya tufe iliyoandikwa kwenye polihedroni ina mali gani?
- Ni nini kinachowakilisha seti ya pointi katika nafasi ya usawa kutoka kwa nyuso za pembe ya dihedral? (pembe ya utatu?)
- Ni sehemu gani ya katikati ya tufe iliyoandikwa kwenye polihedroni?
- Ni katika polihedron gani inaweza kuandikwa tufe, chini ya hali gani?
KATIKA . Wanafunzi huthibitisha nadharia.
Tufe inaweza kuandikwa kwenye piramidi yoyote ya pembetatu.
Wakati wa kufanya kazi darasani, wanafunzi hutumia vidokezo vya kusaidia.
NA. Wanafunzi kuchambua suluhisho la tatizo.
Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na a, urefu ni h. Pata radius ya nyanja iliyoandikwa kwenye piramidi.
D. Wanafunzi kutatua tatizo.
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu, upande wa msingi ni 4, nyuso za upande zimeelekezwa kwa msingi kwa pembe ya 60. 0 . Pata radius ya tufe iliyoandikwa kwenye piramidi hii.
4. Kuelewa mada wakati wa kuandaa maelezo kwa kujitegemea kuhusu “Tufe iliyozungukwa kuhusu polihedroni"na maombi katika kutatua matatizo.
A. U Wanafunzi kwa kujitegemea hujaza maelezo juu ya mada "Tufe iliyoelezewa kuzunguka polihedroni." Jibu maswali yafuatayo:
- Tengeneza ufafanuzi wa tufe iliyozungukwa kuhusu polihedroni.
- Jina la polihedron ambalo tufe linaweza kuelezewa ni nini?
- Je, kituo cha tufe kilichozungukwa kuhusu polihedroni kina mali gani?
- Ni seti gani ya alama kwenye nafasi ambazo ni sawa kutoka kwa alama mbili?
- Ni sehemu gani ya katikati ya tufe iliyozungushiwa polihedroni?
- Je, katikati ya tufe iliyoelezewa karibu na piramidi inaweza kupatikana wapi? (polyhedron?)
- Tufe linaweza kuelezewa karibu na polihedron gani?
KATIKA. Wanafunzi kutatua tatizo kwa kujitegemea.
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu, upande wa msingi ni 3, na mbavu za upande zimeelekezwa kwa msingi kwa pembe ya 60. 0 . Pata radius ya tufe iliyozungukwa karibu na piramidi.
NA. Kuangalia muhtasari uliokusanywa na kuchambua suluhisho la shida.
5. Kuhitimisha somo kwa kuangalia maarifa na uelewa wa mada iliyosomwa (utafiti wa mbele). Kutathmini majibu ya wanafunzi.
A. Wanafunzi hufanya muhtasari wa somo kwa uhuru.
KATIKA. Jibu maswali ya ziada.
- Inawezekana kuelezea tufe karibu na piramidi ya quadrangular, ambayo chini yake iko rhombus ambayo sio mraba?
- Inawezekana kuelezea tufe karibu na bomba la mstatili la parallele? Ikiwa ndivyo, kituo chake kiko wapi?
- Ambapo nadharia iliyojifunza darasani inatumika katika maisha halisi (usanifu, simu ya rununu, satelaiti za geostationary, mfumo wa kugundua GPS).
6. Kuweka kazi ya nyumbani.
A. Andika dokezo juu ya mada “Tufe iliyoelezewa kuzunguka mche. Tufe iliyoandikwa kwenye prism." (Angalia matatizo katika kitabu cha kiada: No. 632,637,638)
B. Tatua tatizo nambari 640 kutoka kwa kitabu cha kiada.
S. Kutoka kwa mwongozo wa B.G. Ziv "Vifaa vya Didactic kwenye daraja la 10 la jiometri" kutatua matatizo: Chaguo No. 3 C12 (1), Chaguo No. 4 C12 (1).
D. Kazi ya ziada: Chaguo No. 5 C12 (1).
7. Hifadhi kazi.
Kutoka kwa mwongozo wa B.G. Ziv "Vifaa vya Didactic kwenye daraja la 10 la jiometri" kutatua matatizo: Chaguo No. 3 C12 (1), Chaguo No. 4 C12 (1).
Seti ya elimu na mbinu
- Jiometri, 10-11: Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu. Viwango vya msingi na wasifu / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M.: Elimu, 2010.
- B.G. Ziv "Vifaa vya Didactic kwenye daraja la 10 la jiometri", M.: Elimu.
Marudio Mduara wa mduara kuzunguka poligoni Ni mduara gani unaofafanuliwa kama uliozungushwa kuzunguka poligoni? Ni nini katikati ya duara inayozunguka poligoni? Je, kituo cha duara kilichozungukwa kuhusu poligoni kina mali gani? Ni wapi katikati ya duara iliyozungukwa kuhusu poligoni? Ni poligoni ipi inaweza kuandikwa kwenye mduara na chini ya hali gani?
Mviringo wa Marudio ulioandikwa katika poligoni Ni duara gani huitwa kuandikwa katika poligoni? Ni nini katikati ya duara iliyoandikwa kwenye poligoni? Je, kituo cha duara kilichoandikwa kwenye poligoni kina sifa gani? Ni wapi katikati ya duara iliyoandikwa kwenye poligoni? Ni poligoni gani inaweza kuelezewa kuzunguka mduara, chini ya hali gani?
Tufe iliyoandikwa katika polihedron Tengeneza ufafanuzi wa tufe iliyoandikwa katika polihedron. Jina la polyhedron ni nini? Je, katikati ya tufe iliyoandikwa ina mali gani? Je! ni wapi seti ya pointi katika nafasi ya usawa kutoka kwa nyuso za pembe ya dihedral? (pembe tatu)? Ni polihedron gani inaweza kuandikwa tufe?
Tufe iliyoandikwa kwenye piramidi
Tufe iliyozungukwa kuhusu polihedroni Tengeneza ufafanuzi wa tufe iliyozungukwa kuhusu polihedroni. Jina la polyhedron ni nini? Je, katikati ya tufe iliyoelezwa ina mali gani? Ambapo ni seti ya pointi katika nafasi ambayo ni equidistant kutoka pointi mbili? Ni wapi katikati ya tufe iliyoelezewa karibu na piramidi? (polyhedron?) Ni pembeni gani polihedron inaweza tufe kuelezewa?
Tufe iliyoelezewa karibu na piramidi
Kwa muhtasari wa somo. Inawezekana kuelezea tufe karibu na piramidi ya quadrangular, ambayo chini yake iko rhombus ambayo sio mraba? Inawezekana kuelezea tufe karibu na parallelepiped ya mstatili? Ikiwa ndivyo, kituo chake kiko wapi?
Kazi ya nyumbani. Andika juu ya mada "Duara iliyoelezewa karibu na prism. Tufe iliyoandikwa kwenye prism." (Angalia matatizo kutoka kwa kitabu cha maandishi: No. 632,637,638) Tatua tatizo No. 640 kutoka kwa kitabu cha maandishi: Chaguo No. 3 C12 (1), Chaguo No. 4 C12 (1).
Lengo la kazi ni kujifunza nyenzo zote za kinadharia juu ya mada "Polyhedra Iliyoandikwa na Iliyozungushwa" na kujifunza kuitumia kwa mazoezi.
Polyhedra iliyoandikwa katika tufe polihedroni mbonyeo inaitwa kuandikwa ikiwa vipeo vyake vyote viko kwenye tufe fulani. Tufe hii inaitwa iliyoelezewa kwa polihedron iliyotolewa. Katikati ya tufe hii ni sehemu ya usawa kutoka kwa vipeo vya polihedron. Ni hatua ya makutano ya ndege, ambayo kila mmoja hupita katikati ya makali ya polyhedron perpendicular yake.
Piramidi iliyoandikwa katika Nadharia ya tufe: Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa tu ikiwa duara linaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.
Mfumo wa kutafuta kipenyo cha tufe iliyozingirwa Acha SABC iwe piramidi yenye kingo za kando sawa, h urefu wake, R kipenyo cha duara iliyozingirwa kuzunguka msingi. Wacha tupate radius ya tufe iliyozungushwa. Kumbuka kufanana kwa pembetatu za kulia SKO 1 na SAO. Kisha SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Lakini KS = SA/2. Kisha R 1 = SA 2/(2 SO); R 1 = (h 2 + R 2)/(2 h); R 1 = b 2/(2 h), ambapo b ni makali ya upande.
Prism iliyoandikwa katika Nadharia ya tufe: Tufe inaweza kuelezewa karibu na prism ikiwa tu prism ni sawa na mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wake.
Mchoro wa parallelepiped ulioandikwa katika Nadharia ya nyanja: Tufe inaweza kuelezewa karibu na parallelepiped ikiwa na tu ikiwa parallelepiped ni ya mstatili, kwa kuwa katika kesi hii ni sawa na mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wake - parallelogram (kwani msingi ni a. mstatili).
Koni na silinda iliyoandikwa katika Theorem ya tufe: Tufe inaweza kuelezewa karibu na koni yoyote. Nadharia: Tufe inaweza kuelezewa karibu na silinda yoyote.
Tatizo la 1 Tafuta eneo la mpira lililozungukwa na tetrahedron ya kawaida yenye makali a. kuhusu Suluhisho: Kwanza, hebu tujenge taswira ya kitovu cha mpira uliozungushwa kwenye taswira ya SABC ya kawaida ya tetrahedron. Hebu tuchore apothems SD na AD (SD = AD). Katika pembetatu ya isosceles ASD, kila sehemu ya DN ya wastani iko sawa kutoka ncha za sehemu ya AS. Kwa hiyo, hatua ya O 1 ni makutano ya urefu wa SO na sehemu ya DN. Kutumia formula kutoka kwa R 1 = b 2 / (2 h), tunapata: SO 1 = SA 2 / (2 SO); SO = SO 1 = a 2/(2 a =a =)=a /4. Jibu: SO 1 = a /4.
Tatizo la 2 Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na a, na angle ya ndege kwenye kilele ni sawa na α. Tafuta kipenyo cha tufe iliyozingirwa. Suluhisho: Kwa kutumia formula R 1=b 2/(2 h) kupata radius ya mpira uliozungushwa, tunapata SC na SO. SC = a/(2 dhambi(α/2)); SO 2). (a/(2 dhambi(α/2))2 – (a/2)2 = =). = a 2/(4 dhambi 2(α/2)) - 2 a 2/4 = = a 2/(4 dhambi 2(α/2)) (1 - 2 dhambi 2(α/2)) = = a 2/(4 dhambi 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 dhambi 2(α/2)) · 1/(2 a Jibu: R 1 = a/(4 dhambi(α/ 2) ) /(2 dhambi(α/2))) = a/(dhambi 4(α/2)
Polihedra iliyozungukwa kuhusu tufe polihedroni mbonyeo inaitwa iliyozungukwa ikiwa nyuso zake zote zinagusa tufe fulani. Tufe hii inaitwa iliyoandikwa kwa polihedron iliyotolewa. Katikati ya tufe iliyoandikwa ni sehemu ya usawa kutoka kwa nyuso zote za polihedron.
Nafasi ya katikati ya tufe iliyoandikwa Dhana ya ndege ya pande mbili ya pembe ya dihedral. Ndege yenye sehemu mbili ni ndege inayogawanya pembe ya dihedral katika pembe mbili sawa za dihedral. Kila sehemu ya ndege hii ni sawa kutoka kwa nyuso za pembe ya dihedral. Katika hali ya jumla, katikati ya nyanja iliyoandikwa katika polyhedron ni hatua ya makutano ya ndege za bisector za pembe zote za dihedral za polyhedron. Daima iko ndani ya polihedron.
Piramidi iliyozungushiwa mpira Mpira inasemekana kuandikwa katika piramidi (isiyo na mpangilio) ikiwa itagusa nyuso zote za piramidi (zote za kando na msingi). Nadharia: Ikiwa nyuso za upande zimeelekezwa kwa msingi, basi mpira unaweza kuandikwa kwenye piramidi kama hiyo. Kwa kuwa pembe za dihedral kwenye msingi ni sawa, nusu zao pia ni sawa na bisectors huingiliana kwa hatua moja kwenye urefu wa piramidi. Hatua hii ni ya ndege zote za bisector kwenye msingi wa piramidi na ni sawa kutoka kwa nyuso zote za piramidi - katikati ya mpira ulioandikwa.
Mfumo wa kutafuta kipenyo cha duara iliyoandikwa Acha SABC iwe piramidi yenye kingo za kando sawa, h urefu wake, r radius ya duara iliyoandikwa. Wacha tupate radius ya tufe iliyozungushwa. Hebu SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Kisha, kwa mali ya bisector ya angle ya ndani ya pembetatu, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1/r = (h – r 1)/; r 1 = rh - rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Jibu: r 1 = rh/(+ r).
Mbegu iliyozingirwa kuzunguka Nadharia ya tufe: Tufe inaweza kuandikwa kwenye mche ikiwa tu ikiwa prism ni moja kwa moja na duara ambalo kipenyo chake ni sawa na urefu wa prism kinaweza kuandikwa kwenye msingi.
Mviringo wa parallelepiped na mchemraba ulioelezewa kuzunguka Nadharia ya tufe: Tufe inaweza kuandikwa kwa parallelepiped ikiwa tu ikiwa parallelepiped ni mstari wa moja kwa moja na msingi wake ni rhombus, na urefu wa rhombus hii ni kipenyo cha tufe iliyoandikwa, ambayo, kwa upande wake, ni sawa na urefu wa parallelepiped. (Kati ya sambamba zote, ni mduara pekee unaoweza kuandikwa katika rhombus) Nadharia: Tufe inaweza kuandikwa katika mchemraba kila wakati. Katikati ya nyanja hii ni sehemu ya makutano ya diagonals ya mchemraba, na radius ni sawa na nusu ya urefu wa makali ya mchemraba.
Silinda na koni iliyoelezewa karibu na tufe: Tufe inaweza tu kuandikwa kwenye silinda ambayo urefu wake ni sawa na kipenyo cha msingi. Nadharia: Tufe inaweza kuandikwa kwenye koni yoyote.
Michanganyiko ya takwimu Prisms iliyoandikwa na iliyozunguka Prism iliyoandikwa kwenye silinda ni prism ambayo ndege za besi ni ndege za besi za silinda, na kando ya kando ni jenereta za silinda. Ndege ya tangent kwa silinda ni ndege inayopitia jenereta ya silinda na perpendicular kwa ndege ya sehemu ya axial iliyo na jenereta hii. Prism iliyoelezwa karibu na silinda ni prism ambayo ndege za msingi ni ndege za besi za silinda, na nyuso za upande hugusa silinda.
Piramidi zilizoandikwa na zilizopigwa Piramidi iliyoandikwa kwenye koni ni piramidi ambayo msingi wake ni poligoni iliyoandikwa kwenye mduara wa msingi wa koni, na kilele ni vertex ya koni. Kingo za pembeni za piramidi iliyoandikwa kwa koni huunda koni. Ndege ya tangent kwa koni ni ndege inayopitia jenereta na perpendicular kwa ndege ya sehemu ya axial iliyo na jenereta hii. Piramidi iliyozingirwa kuzunguka koni ni piramidi ambayo msingi wake ni poligoni iliyozungukwa karibu na msingi wa koni, na kilele kinalingana na kilele cha koni. Ndege za nyuso za upande wa piramidi iliyoelezwa ni tangent kwa ndege ya koni.
Aina zingine za usanidi Silinda imeandikwa kwenye piramidi ikiwa mduara wa moja ya besi zake unagusa nyuso zote za upande wa piramidi, na msingi wake mwingine umewekwa kwenye msingi wa piramidi. Koni imeandikwa kwenye prism ikiwa vertex yake iko kwenye msingi wa juu wa prism, na msingi wake ni mduara ulioandikwa katika poligoni - msingi wa chini wa prism. Prism imeandikwa kwenye koni ikiwa wima zote za msingi wa juu wa prism ziko kwenye uso wa pembeni wa koni, na msingi wa chini wa prism upo kwenye msingi wa koni.
Tatizo 1 Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na a, na angle ya ndege kwenye kilele ni sawa na α. Pata radius ya mpira iliyoandikwa kwenye piramidi. Suluhisho: Wacha tueleze pande za ∆SOK kulingana na a na α. Sawa = a/2. SK = KC kitanda (α/2); SK = (kitanda (α/2))/2. SO = = (a/2) Kutumia formula r 1 = rh / (+ r), tunapata radius ya mpira ulioandikwa: r 1 = OK · SO / (SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Jibu: r 1 = (a/2) =
Hitimisho Mada "Polyhedra" inasomwa na wanafunzi wa darasa la 10 na 11, lakini katika mtaala kuna nyenzo kidogo sana juu ya mada "Polyhedra iliyoandikwa na iliyozungukwa", ingawa inaamsha shauku kubwa kati ya wanafunzi, tangu kusoma kwa mali ya wanafunzi. polyhedra inachangia ukuaji wa mawazo ya kufikirika na mantiki, ambayo baadaye yatakuwa na manufaa kwetu katika kujifunza, kazi, maisha. Wakati wa kufanya kazi kwenye insha hii, tulisoma nyenzo zote za kinadharia juu ya mada "Polhedra iliyoandikwa na iliyozungukwa," tulichunguza mchanganyiko unaowezekana wa takwimu na tukajifunza kutumia nyenzo zote zilizosomwa katika mazoezi. Matatizo yanayohusisha mchanganyiko wa miili ni swali gumu zaidi katika kozi ya sterometry ya daraja la 11. Lakini sasa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba hatutakuwa na matatizo ya kutatua matatizo hayo, kwa kuwa katika kipindi cha kazi yetu ya utafiti tumeanzisha na kuthibitisha sifa za polihedra iliyoandikwa na iliyopigwa. Mara nyingi, wanafunzi wana ugumu wa kuunda mchoro wa shida kwenye mada hii. Lakini, baada ya kujifunza kwamba ili kutatua matatizo yanayohusisha mchanganyiko wa mpira na polyhedron, picha ya mpira wakati mwingine sio lazima na inatosha kuonyesha kituo chake na radius, tunaweza kuwa na uhakika kwamba hatutakuwa na matatizo haya. Shukrani kwa insha hii, tuliweza kuelewa mada hii ngumu lakini ya kuvutia sana. Tunatumahi kuwa sasa hatutakuwa na ugumu wowote wa kutumia nyenzo zilizosomwa katika mazoezi.
Polyhedra iliyoandikwa katika tufe polihedroni mbonyeo inaitwa kuandikwa ikiwa vipeo vyake vyote viko kwenye tufe fulani. Tufe hii inaitwa iliyoelezewa kwa polihedron iliyotolewa. Katikati ya tufe hii ni sehemu ya usawa kutoka kwa vipeo vya polihedron. Ni hatua ya makutano ya ndege, ambayo kila mmoja hupita katikati ya makali ya polyhedron perpendicular yake.
Mfumo wa kutafuta kipenyo cha duara iliyozingirwa Hebu SABC iwe piramidi yenye kingo za kando sawa, h ni urefu wake, R ni kipenyo cha duara kilichozungukwa kuzunguka msingi. Wacha tupate radius ya tufe iliyozungushwa. Kumbuka kufanana kwa pembetatu za kulia SKO1 na SAO. Kisha SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Lakini KS = SA/2. Kisha R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (h 2 + R 2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), ambapo b ni makali ya upande.
Mchoro wa parallelepiped ulioandikwa katika Nadharia ya nyanja: Tufe inaweza kuelezewa karibu na parallelepiped ikiwa na tu ikiwa parallelepiped ni ya mstatili, kwa kuwa katika kesi hii ni sawa na mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wake - parallelogram (kwani msingi ni a. mstatili).
Tatizo la 1 Tafuta kipenyo cha duara kilichozungushwa kuhusu tetrahedron ya kawaida yenye makali a. Suluhisho: SO 1 = SA 2 / (2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Jibu: SO 1 = a /4. Hebu kwanza tujenge taswira ya kitovu cha mpira uliozungushwa kwa kutumia taswira ya SABC ya kawaida ya tetrahedron. Hebu tuchore apothems SD na AD (SD = AD). Katika pembetatu ya isosceles ASD, kila sehemu ya DN ya wastani iko sawa kutoka ncha za sehemu ya AS. Kwa hiyo, hatua ya O 1 ni makutano ya urefu wa SO na sehemu ya DN. Kutumia formula kutoka R 1 = b 2 / (2h), tunapata:
Tatizo la 2 Suluhisho: Kwa kutumia formula R 1 = b 2 / (2h) ili kupata radius ya mpira wa circumscribed, tunapata SC na SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 - (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) - 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na, na pembe ya ndege kwenye kilele ni sawa na α . =a/(4sin(α /2) · : R 1 = a/(4sin(α /2) ·).
Polihedra iliyozungukwa kuhusu tufe polihedroni mbonyeo inaitwa iliyozungukwa ikiwa nyuso zake zote zinagusa tufe fulani. Tufe hii inaitwa iliyoandikwa kwa polihedron iliyotolewa. Katikati ya tufe iliyoandikwa ni sehemu ya usawa kutoka kwa nyuso zote za polihedron.
Nafasi ya katikati ya tufe iliyoandikwa Dhana ya ndege ya pande mbili ya pembe ya dihedral. Ndege yenye sehemu mbili ni ndege inayogawanya pembe ya dihedral katika pembe mbili sawa za dihedral. Kila sehemu ya ndege hii ni sawa kutoka kwa nyuso za pembe ya dihedral. Katika hali ya jumla, katikati ya nyanja iliyoandikwa katika polyhedron ni hatua ya makutano ya ndege za bisector za pembe zote za dihedral za polyhedron. Daima iko ndani ya polihedron.
Piramidi iliyozungushiwa mpira Mpira inasemekana kuandikwa katika piramidi (isiyo na mpangilio) ikiwa itagusa nyuso zote za piramidi (zote za kando na msingi). Nadharia: Ikiwa nyuso za upande zimeelekezwa kwa msingi, basi mpira unaweza kuandikwa kwenye piramidi kama hiyo. Kwa kuwa pembe za dihedral kwenye msingi ni sawa, nusu zao pia ni sawa na bisectors huingiliana kwa hatua moja kwenye urefu wa piramidi. Hatua hii ni ya ndege zote za bisector kwenye msingi wa piramidi na ni sawa kutoka kwa nyuso zote za piramidi - katikati ya mpira ulioandikwa.
Mfumo wa kutafuta radius ya duara iliyoandikwa Acha SABC iwe piramidi yenye kingo za kando sawa, h ni urefu wake, r ni radius ya duara iliyoandikwa. Wacha tupate radius ya tufe iliyozungushwa. Hebu SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Kisha, kwa mali ya bisector ya angle ya ndani ya pembetatu, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 / r = (h – r 1)/; r 1 · = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Jibu: r 1 = rh/(+ r).
Mviringo wa parallelepiped na mchemraba ulioelezewa kuzunguka Nadharia ya tufe: Tufe inaweza kuandikwa kwa parallelepiped ikiwa na tu ikiwa parallelepiped ni sawa na msingi wake ni rhombus, na urefu wa rhombus hii ni kipenyo cha tufe iliyoandikwa, ambayo, kwa upande wake, ni sawa na urefu wa parallelepiped. (Kati ya sambamba zote, ni mduara pekee unaoweza kuandikwa katika rhombus) Nadharia: Tufe inaweza kuandikwa katika mchemraba kila wakati. Katikati ya nyanja hii ni hatua ya makutano ya diagonals ya mchemraba, na radius ni sawa na nusu ya urefu wa makali ya mchemraba.
Michanganyiko ya takwimu Prisms iliyoandikwa na iliyozunguka Prism iliyozunguka juu ya silinda ni prism ambayo ndege za msingi ni ndege za besi za silinda, na nyuso za upande hugusa silinda. Prism iliyoandikwa kwenye silinda ni prism ambayo ndege za msingi ni ndege za besi za silinda, na kingo za upande ni jenereta za silinda. Ndege ya tangent kwa silinda ni ndege inayopitia jenereta ya silinda na perpendicular kwa ndege ya sehemu ya axial iliyo na jenereta hii.
Piramidi zilizoandikwa na zilizopigwa Piramidi iliyoandikwa kwenye koni ni piramidi ambayo msingi wake ni poligoni iliyoandikwa kwenye mduara wa msingi wa koni, na kilele ni vertex ya koni. Kingo za pembeni za piramidi iliyoandikwa kwa koni huunda koni. Piramidi iliyozingirwa kuzunguka koni ni piramidi ambayo msingi wake ni poligoni iliyozungukwa karibu na msingi wa koni, na kilele kinalingana na kilele cha koni. Ndege za nyuso za upande wa piramidi iliyoelezwa ni tangent kwa ndege ya koni. Ndege ya tangent kwa koni ni ndege inayopitia jenereta na perpendicular kwa ndege ya sehemu ya axial iliyo na jenereta hii.
Aina zingine za usanidi Silinda imeandikwa kwenye piramidi ikiwa mduara wa moja ya besi zake unagusa nyuso zote za upande wa piramidi, na msingi wake mwingine umewekwa kwenye msingi wa piramidi. Koni imeandikwa kwenye prism ikiwa vertex yake iko kwenye msingi wa juu wa prism, na msingi wake ni mduara ulioandikwa katika poligoni - msingi wa chini wa prism. Prism imeandikwa kwenye koni ikiwa wima zote za msingi wa juu wa prism ziko kwenye uso wa pembeni wa koni, na msingi wa chini wa prism upo kwenye msingi wa koni.
Tatizo 1 Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni sawa na a, na angle ya ndege kwenye kilele ni sawa na α. Pata radius ya mpira iliyoandikwa kwenye piramidi. Suluhisho: Wacha tuonyeshe pande za SOK kulingana na a na α. Sawa = a/2. SK = KC kitanda(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Kutumia formula r 1 = rh / (+ r), tunapata radius ya mpira ulioandikwa: r 1 = OK · SO / (SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Jibu: r 1 = (a/2)
Hitimisho Mada "Polyhedra" inasomwa na wanafunzi wa darasa la 10 na 11, lakini mtaala una nyenzo kidogo sana juu ya mada "Polyhedra iliyoandikwa na iliyozungukwa," ingawa inavutia sana wanafunzi, tangu utafiti wa mali ya polyhedra. inachangia maendeleo ya kufikiri ya kufikirika na ya kimantiki, ambayo baadaye itakuwa na manufaa kwetu katika kujifunza, kazi, maisha. Wakati wa kufanya kazi kwenye insha hii, tulisoma nyenzo zote za kinadharia juu ya mada "Polhedra iliyoandikwa na iliyozungukwa," tulichunguza mchanganyiko unaowezekana wa takwimu na tukajifunza kutumia nyenzo zote zilizosomwa katika mazoezi. Matatizo yanayohusisha mchanganyiko wa miili ni swali gumu zaidi katika kozi ya sterometry ya daraja la 11. Lakini sasa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba hatutakuwa na matatizo ya kutatua matatizo hayo, kwa kuwa katika kipindi cha kazi yetu ya utafiti tumeanzisha na kuthibitisha sifa za polihedra iliyoandikwa na iliyopigwa. Mara nyingi, wanafunzi wana ugumu wa kuunda mchoro wa shida kwenye mada hii. Lakini, baada ya kujifunza kwamba ili kutatua matatizo yanayohusisha mchanganyiko wa mpira na polyhedron, picha ya mpira wakati mwingine sio lazima na inatosha kuonyesha kituo chake na radius, tunaweza kuwa na uhakika kwamba hatutakuwa na matatizo haya. Shukrani kwa insha hii, tuliweza kuelewa mada hii ngumu lakini ya kuvutia sana. Tunatumahi kuwa sasa hatutakuwa na ugumu wowote katika kutumia nyenzo zilizosomwa katika mazoezi.
Polyhedra iliyoandikwa katika tufe polihedroni inasemekana kuandikwa katika tufe ikiwa vipeo vyake vyote ni vya tufe hii. Tufe yenyewe inasemekana kuwa imezungushwa kuhusu polihedroni. Nadharia. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa tu ikiwa duara linaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi hii.
Polyhedra iliyoandikwa katika Nadharia ya tufe. Tufe inaweza kuelezewa karibu na prism iliyonyooka ikiwa na tu ikiwa duara linaweza kuelezewa karibu na msingi wa prism hii. Katikati yake itakuwa hatua O, ambayo ni katikati ya sehemu inayounganisha vituo vya miduara iliyoelezwa karibu na misingi ya prism. Radi ya duara R huhesabiwa kwa fomula ambapo h ni urefu wa prism, r ni radius ya duara iliyozungushwa karibu na msingi wa prism.
Zoezi la 3 Msingi wa piramidi ni pembetatu ya kawaida, upande ambao ni sawa na 3. Moja ya kando ya upande ni sawa na 2 na ni perpendicular kwa ndege ya msingi. Tafuta kipenyo cha tufe iliyozingirwa. Suluhisho. Acha O iwe kitovu cha tufe iliyozungukwa, Q katikati ya mduara unaozunguka msingi, E katikati ya SC. Quadrilateral CEOQ ni mstatili ambamo CE = 1, CQ = Kwa hiyo, R=OC=2. Jibu: R = 2.
Zoezi la 4 Kielelezo kinaonyesha piramidi ya SABC, ambayo makali SC ni sawa na 2 na perpendicular kwa ndege ya ABC ya msingi, angle ya ACB ni sawa na 90 o, AC = BC = 1. Jenga katikati ya nyanja iliyozunguka. kuhusu piramidi hii na kupata radius yake. Suluhisho. Kupitia katikati ya D ya makali AB tunachora mstari sambamba na SC. Kupitia katikati ya E ya makali SC tunachora mstari wa moja kwa moja sambamba na CD. Sehemu yao ya makutano O itakuwa kitovu kinachohitajika cha nyanja iliyozungushwa. Katika pembetatu ya kulia OCD tuna: OD = CD = Kwa theorem ya Pythagorean, tunapata
Zoezi la 5 Pata radius ya tufe iliyozungukwa kuhusu piramidi ya kawaida ya pembetatu, kingo za upande ambazo ni sawa na 1, na pembe za ndege kwenye kilele ni sawa na digrii 90. Suluhisho. Katika tetrahedron SABC tuna: AB = AE = SE = Katika pembetatu ya kulia OAE tunayo: Kutatua mlinganyo huu wa R, tunapata
Zoezi la 4 Tafuta radius ya tufe iliyozungukwa kuhusu prism ya pembetatu ya kulia, ambayo chini yake ni pembetatu ya kulia yenye miguu sawa na 1, na urefu wa prism sawa na 2. Jibu: Suluhisho. Radi ya tufe ni sawa na nusu ya diagonal A 1 C ya mstatili ACC 1 A 1. Tuna: AA 1 = 2, AC = Kwa hiyo, R =
Zoezi Pata radius ya tufe iliyozunguka kuhusu piramidi ya kawaida ya 6-gonal, kingo ambazo ni sawa na 1, na kingo za upande ni sawa na 2. Suluhisho. Triangle SAD ni equilateral na upande 2. Radius R ya tufe circumscribed ni sawa na radius ya duara iliyozungukwa kuhusu pembetatu SAD. Kwa hivyo,
Zoezi Tafuta eneo la duara lililozungukwa kuhusu kitengo cha icosahedron. Suluhisho. Katika mstatili ABCD, AB = CD = 1, BC na AD ni diagonals ya pentagons ya kawaida na pande 1. Kwa hiyo, BC = AD = Kwa theorem ya Pythagorean, AC = Radi inayohitajika ni sawa na nusu ya diagonal hii, i.e.
Zoezi Tafuta eneo la duara lililozungukwa kuhusu dodekahedron ya kitengo. Suluhisho. ABCDE ni pentagoni ya kawaida yenye upande Katika mstatili ACGF AF = CG = 1, AC na FG ni diagonal ya pentagon ABCDE na, kwa hiyo, AC = FG = Kwa theorem ya Pythagorean FC = Radi inayohitajika ni sawa na nusu ya hii. diagonal, i.e.
Zoezi Takwimu inaonyesha tetrahedron iliyopunguzwa iliyopatikana kwa kukata pembe za tetrahedron ya kawaida ya piramidi za triangular, nyuso ambazo ni hexagons za kawaida na pembetatu. Tafuta kipenyo cha duara kilichozungushwa kuhusu tetrahedron iliyopunguzwa ambayo kingo zake ni sawa na 1.
Zoezi Takwimu inaonyesha octahedron iliyopunguzwa iliyopatikana kwa kukata piramidi za triangular kutoka pembe za octahedron, nyuso ambazo ni hexagons za kawaida na pembetatu. Pata radius ya nyanja iliyozunguka kuhusu octahedron iliyopunguzwa ambayo kingo zake ni sawa na 1. Zoezi Takwimu inaonyesha icosahedron iliyopunguzwa iliyopatikana kwa kukata pembe za icosahedron ya piramidi za pentagonal, nyuso ambazo ni hexagons za kawaida na pentagons. Tafuta kipenyo cha duara kilichozungushwa kuhusu icosahedron iliyopunguzwa ambayo kingo zake ni sawa na 1.
Zoezi Kielelezo kinaonyesha dodecahedron iliyopunguzwa iliyopatikana kwa kukata piramidi za triangular kutoka pembe za dodecahedron, nyuso ambazo ni decagons za kawaida na pembetatu. Tafuta kipenyo cha duara kilichozungukwa kuhusu dodekahedron iliyopunguzwa ambayo kingo zake ni sawa na 1.
Zoezi Tafuta eneo la duara lililozungukwa kuhusu kitengo cha cuboktahedron. Suluhisho. Kumbuka kwamba cuboctahedron hupatikana kutoka kwa mchemraba kwa kukata piramidi za kawaida za pembetatu na wima kwenye wima ya mchemraba na kingo za upande sawa na nusu ya makali ya mchemraba. Ikiwa makali ya octahedron ni sawa na 1, basi kando ya mchemraba sambamba ni sawa na Radi ya nyanja iliyozunguka ni sawa na umbali kutoka katikati ya mchemraba hadi katikati ya makali yake, i.e. ni sawa na 1. Jibu: R = 1.
Mwalimu wa Hisabati wa shule ya sekondari namba 2,
mji wa Taldykorgan N.Yu.Lozovich
Fungua somo la jiometri
Mada ya somo: "Mpira. ImeandikwaNailiyoelezea polihedra"
Malengo ya somo:
- kielimu - hakikisha wakati wa marudio ya somo, uimarishaji na majaribio ya umahiri wa wanafunzi wa ufafanuzi mpira Na nyanja, na dhana zinazohusiana ( katikati, radii, kipenyo,pointi kinyume diametrically, tangent ndege Na moja kwa moja); dhana ya polihedra iliyoandikwa na iliyozungukwa, ujuzi wa nadharia kwenye sehemu ya mpira na ndege (20.3), juu ya ulinganifu wa mpira (20.4), kwenye ndege ya tangent kwa mpira (20.5), kwenye makutano ya nyanja mbili. (20.6), juu ya ujenzi wa kituo cha circumscribed (iliyoandikwa) piramidi na ujenzi wa katikati ya nyanja iliyoelezwa karibu na prism ya kawaida;
endelea kukuza ustadi wa kutumia kwa uhuru mwili mzima wa maarifa haya katika hali tofauti kulingana na mfano na zile zisizo za kawaida, zinazohitaji shughuli za ubunifu;
kielimu - kuingiza kwa wanafunzi wajibu wa matokeo ya masomo yao, uvumilivu katika kufikia malengo, kujiamini, hamu ya kufikia matokeo makubwa, hisia ya uzuri (uzuri wa maumbo ya kijiometri, ufumbuzi wa kifahari, mzuri wa tatizo).
kuendeleza - kukuza kwa wanafunzi: uwezo wa fikra maalum na ya jumla, fikira za ubunifu na anga; ushirika (uwezo wa kutegemea miunganisho tofauti: kwa kufanana, mlinganisho, tofauti, sababu-na-athari), uwezo wa kimantiki na mara kwa mara kuelezea mawazo ya mtu, hitaji la kujifunza na maendeleo, kuunda hali katika somo la udhihirisho. shughuli za utambuzi za wanafunzi.
Aina ya somo
somo la majaribio na urekebishaji wa maarifa na ujuzi.
Mbinu za kufundishia
Mazungumzo ya utangulizi (kuweka madhumuni ya somo, kuhamasisha shughuli za kujifunza za wanafunzi, kujenga mazingira muhimu ya kihisia na maadili, kuwafundisha wanafunzi juu ya kuandaa kazi katika somo).
Uchunguzi wa mbele (majaribio ya mdomo ya ujuzi wa wanafunzi wa dhana za kimsingi, nadharia, uwezo wa kueleza kiini chao, na kuhalalisha hoja zao).
Kazi ya kujitegemea iliyopangwa, kwa kuzingatia kanuni ya ongezeko la taratibu katika kiwango cha ujuzi na ujuzi, i.e. kutoka ngazi ya uzazi hadi ngazi ya uzalishaji na ubunifu. Kiini cha njia ni kazi ya kibinafsi ya wanafunzi, inayodhibitiwa kila wakati na kuhimizwa na mwalimu.
Vifaa vya kuona vya kielimu
Mifano ya sterometri ya miili ya kijiometri, mabango, michoro, kadi za elimu kwa kazi ya kujitegemea ya mtu binafsi.
Sasisha
a) Maarifa ya msingi.
Ni muhimu kuamsha dhana: tangent kwa mduara, polygons convex iliyoandikwa kwenye mduara na kuzunguka juu ya mduara, hesabu ya radii ya miduara iliyoandikwa na iliyopigwa kwa polygons za kawaida kutoka kwa planimetry; kutoka kwa kozi ya daraja la 10, ufafanuzi wa ulinganifu unaohusiana na ndege, dhana ya takwimu ambazo zinahusiana na uhakika, mhimili (mstari wa moja kwa moja), na ndege.
b) Mbinu za kuunda nia na kuamsha shauku.
Katika mazungumzo ya utangulizi, hakikisha kuwa wanafunzi wanafahamu lengo, kujua nia yao ya kibinafsi katika kuifanikisha, kufunua maana ya lengo kwa wanafunzi wenyewe, kusisitiza umuhimu wa mada hii sio yenyewe tu, bali pia asili yake ya uenezi. kwa kusoma mada inayofuata, jaza somo na nyenzo za asili ya kihemko ( uzuri wa maumbo ya kijiometri, Bubbles za sabuni, Dunia na Mwezi); kusisitiza asili ya kiwango cha kazi ya kujitegemea: kwa upande mmoja, hii itahakikisha kiwango cha juu cha kisayansi cha nyenzo zinazosomwa, na kwa upande mwingine, upatikanaji, uhakika wa wanafunzi ni kwamba kila mmoja wao ana haki ya msaada wa ufundishaji ( "bima") kwa kutambua, kuchambua shida halisi au zinazowezekana za mtoto, muundo wa pamoja wa njia inayowezekana kutoka kwao; Mfumo wa ukadiriaji wa kutathmini maarifa ni kichocheo cha ziada kwa watoto.
c) Aina za ufuatiliaji wa maendeleo ya kazi, udhibiti wa pamoja. Udhibiti wa pamoja (kubadilishana kwa daftari) hufanywa baada ya wanafunzi kumaliza sehemu ya kwanza ya kiwango cha 1 (mwanafunzi) cha kazi ya kujitegemea - majibu ya maandishi ya wanafunzi kwa maswali ya mdomo ya mwalimu (amri ya hisabati).
Baada ya kubadilishana daftari, majibu yote sahihi yanasemwa kwa sauti kubwa (ikiwa inawezekana, vifaa vya kuona hutumiwa: mifano ya miili ya sterometric, michoro, mabango). Kisha wavulana wanaendelea na tathmini ya ukadiriaji wa sehemu ya kwanza ya kazi ya kujitegemea: jibu sahihi kamili limewekwa alama 1, ikiwa kuna maoni madogo, basi - alama 0.5, vinginevyo - alama 0. Idadi ya pointi alizopata kila mwanafunzi hurekodiwa ubaoni na mwalimu. Baada ya hapo wavulana huanza kufanya kazi kwenye kadi za kibinafsi. Wale ambao wamemaliza kazi za kiwango cha 1 na kupokea kibali kutoka kwa mwalimu husonga mbele hadi kukamilisha kazi ya ngazi inayofuata. Mafanikio ya kutatua Tatizo hayapaswi kuachwa bila tahadhari, kutiwa moyo, na sifa. Wakati huo huo, mwalimu hufanya kazi ya kurekebisha: kuelewa nguvu na udhaifu wa mwanafunzi, humsaidia kutegemea nguvu zake mwenyewe na kumsaidia ambapo mwanafunzi, bila kujali anajaribu sana, bado hawezi kukabiliana na jambo fulani.
Wakati wa kuangalia operesheni, mfumo wa nukuu ufuatao hutumiwa:
Tatizo halijatatuliwa;
Tatizo halijatatuliwa, lakini kuna mambo ya kuzingatia katika kazi;
Jibu pekee ndilo linalotolewa kwa tatizo ambapo jibu moja ni wazi halitoshi;
± - tatizo linatatuliwa, lakini suluhisho lina omissions ndogo na usahihi;
Tatizo limetatuliwa kabisa;
+! - suluhisho la tatizo lina mawazo mkali yasiyotarajiwa.
Umuhimu mkubwa umeunganishwa kwenye karatasi ya wazi ya shughuli za watoto, ambayo inajazwa wakati wanakamilisha kazi ya kujitegemea.
Mimi ngazi
Kiwango cha II
Kiwango cha III
Kiwango cha IV
Alipbaeva A
Akhmetkaliev A.
Hii inahakikisha hali ya lazima ya kutathmini maarifa ya wanafunzi darasani - usawa, ufanisi, nia njema na uwazi.
Mimi ngazi
Imla ya hisabati.
1) mimi chaguo. Je, wima zote za polihedron zilizoandikwa kwenye tufe zina sifa gani?
II chaguo. Je, kila uso wa polihedroni iliyoandikwa katika tufe una sifa gani?
2) I chaguo. Ikiwa tufe inaweza kuelezewa karibu na polihedron fulani, basi mtu anawezaje kujenga kituo chake?
II chaguo. KUHUSU Ni bomba ngapi za parallelepiped zinaweza kutumika kuelezea tufe? Eleza jibu lako.
3) mimi chaguo. Ambapo iko katikati ya nyanja iliyoelezewa juu ya sahihi n- kaboni prism?
II chaguo. Ni wapi katikati ya tufe iliyoelezewa karibu na piramidi ya kawaida?
4) mimi chaguo. Jinsi ya kujenga katikati ya nyanja iliyoandikwa kwenye piramidi ya kawaida ya n-gonal?
// chaguo. Inawezekana kutoshea tufe kwenye prism yoyote ya kawaida?
Chaguo I
Mimi ngazi
Radi ya mpira ni 6 cm; Pata eneo la sehemu ya msalaba.
Kiwango cha II
Prism ya kawaida ya quadrangular imeandikwa katika nyanja ya radius 5 cm Makali ya msingi wa prism ni 4 cm.
Kiwango cha III
Kuhesabu radius ya nyanja iliyoandikwa katika tetrahedron ya kawaida na makali ya 4 cm.
Kiwango cha IV
Mpira wa radius R umeandikwa kwenye koni iliyopunguzwa. Pembe ya mwelekeo wa jenereta kwa ndege ya msingi wa chini wa koni ni sawa na A. Pata radii ya besi na jenereta ya koni iliyopunguzwa.
Chaguo II
Mimi ngazi
Tufe ambayo radius yake ni 10 cm inakatizwa na ndege kwa umbali wa cm 6 kutoka katikati. Pata eneo la sehemu ya msalaba.
Kiwango cha II
Pata radius ya tufe iliyozungukwa kuhusu mchemraba na upande wa 4 cm.
Kiwango cha III.
A. Tafuta kipenyo cha tufe iliyozingirwa.
Kiwango cha IV
Mpira wa radius R umeandikwa kwenye koni iliyopunguzwa. Pembe ya mwelekeo wa jenereta kwa ndege ya msingi wa chini wa koni ni sawa na a. Pata radii ya besi na jenereta ya koni iliyopunguzwa.
Ш chaguo
Mimi ngazi
Ndege inayoelekea kwake inachorwa kupitia katikati ya eneo la mpira. Je, eneo la duara kubwa linahusiana vipi na eneo la sehemu ya msalaba inayosababisha?
Kiwango cha II
Prism ya kawaida ya triangular imeandikwa katika nyanja ya radius 4 cm Makali ya msingi wa prism ni 3 cm.
Kiwango cha III
Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ni 4 cm, na pembe ya ndege kwenye kilele ni. A. Pata radius ya tufe iliyoandikwa.
IV kiwango
Piramidi ya kawaida ya pembetatu yenye pembe za ndege imeandikwa kwenye mpira wa radius R A juu yake. Tafuta urefu wa piramidi.
IV chaguo
I kiwango
Pointi tatu hupewa kwenye uso wa mpira. Umbali wa mstari wa moja kwa moja kati yao ni 6 cm, 8 cm, 10 cm. Tafuta umbali kutoka katikati ya mpira hadi kwenye ndege inayopitia pointi hizi.
II kiwango
Prism ya kawaida ya hexagonal imeandikwa katika nyanja ya radius 5 cm Makali ya msingi wa prism ni 3 cm.
Ш ngazi
Pata radius ya tufe iliyozungukwa kuhusu piramidi ya kawaida ya n-gonal ikiwa upande wa msingi ni 4 cm na ukingo wa upande umeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe. A.
Kiwango cha IV
Piramidi ya kawaida ya pembetatu yenye pembe bapa a kwenye kipeo chake imeandikwa kwenye mpira wa radius R. Tafuta urefu wa piramidi.
Muhtasari wa somo
Matokeo ya kazi ya kujitegemea yanatangazwa na kuchambuliwa. Wanafunzi wanaohitaji kazi ya kurekebisha wanaalikwa kwenye madarasa ya kurekebisha.
Kazi ya nyumbani imepewa (pamoja na maoni muhimu), yenye sehemu za lazima na za kutofautiana.
Sehemu ya lazima: aya 187 - 193 - kurudia; Nambari 44,45,39
Sehemu inayobadilika nambari 35