Maendeleo ya kijiometri, pamoja na hesabu, ni safu muhimu ya nambari ambayo inasomwa katika kozi ya aljebra ya shule katika daraja la 9. Katika makala hii tutaangalia denominator ya maendeleo ya kijiometri na jinsi thamani yake inathiri mali zake.
Ufafanuzi wa maendeleo ya kijiometri
Kwanza, hebu tupe ufafanuzi wa safu hii ya nambari. Mfululizo huo unaitwa maendeleo ya kijiometri nambari za busara, ambayo huundwa kwa kuzidisha kwa mfuatano kipengele chake cha kwanza kwa nambari isiyobadilika inayoitwa denominator.
Kwa mfano, nambari katika mfululizo wa 3, 6, 12, 24, ... ni maendeleo ya kijiometri, kwa sababu ukizidisha 3 (kipengele cha kwanza) na 2, utapata 6. Ukizidisha 6 kwa 2, utapata. 12, na kadhalika.
Washiriki wa mfuatano unaozingatiwa kwa kawaida huonyeshwa kwa ishara ai, ambapo i ni nambari kamili inayoonyesha nambari ya kipengele katika mfululizo.
Ufafanuzi wa hapo juu wa kuendelea unaweza kuandikwa katika lugha ya hisabati kama ifuatavyo: an = bn-1 * a1, ambapo b ni denominator. Ni rahisi kuangalia formula hii: ikiwa n = 1, basi b1-1 = 1, na tunapata a1 = a1. Ikiwa n = 2, basi = b * a1, na tunakuja tena kwenye ufafanuzi wa mfululizo wa nambari zinazohusika. Mawazo yanayofanana inaweza kuendelea kwa maadili makubwa ya n.
Denominator ya maendeleo ya kijiometri
Nambari b huamua kabisa mfuatano mzima wa nambari utakuwa na mhusika gani. Alama ya b inaweza kuwa chanya, hasi, au kubwa kuliko au chini ya moja. Chaguzi zote hapo juu husababisha mlolongo tofauti:
- b > 1. Kuna mfululizo unaoongezeka wa nambari za mantiki. Kwa mfano, 1, 2, 4, 8, ... Ikiwa kipengele a1 ni hasi, basi mlolongo mzima utaongezeka tu kwa thamani kamili, lakini itapungua kulingana na ishara ya namba.
- b = 1. Mara nyingi kesi hii haiitwa maendeleo, kwa kuwa kuna mfululizo wa kawaida wa nambari za busara zinazofanana. Kwa mfano, -4, -4, -4.
Formula kwa kiasi
Kabla ya kuendelea na uzingatiaji wa shida maalum kwa kutumia dhehebu la aina ya maendeleo inayozingatiwa, ni muhimu kutoa. formula muhimu kwa jumla ya vipengele vyake vya kwanza vya n. Fomula inaonekana kama: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Unaweza kupata usemi huu mwenyewe ikiwa utazingatia mlolongo unaojirudia wa masharti ya mwendelezo. Pia kumbuka kuwa katika formula hapo juu inatosha kujua tu kipengele cha kwanza na denominator kupata jumla ya idadi ya maneno ya kiholela.
Mlolongo unaopungua sana
Ufafanuzi ulitolewa hapo juu ni nini. Sasa, kwa kujua fomula ya Sn, wacha tuitumie kwa safu hii ya nambari. Kwa kuwa nambari yoyote ambayo moduli yake haizidi 1 huwa na sifuri inapoinuliwa kwa nguvu kubwa, yaani, b∞ => 0 ikiwa -1
Kwa kuwa tofauti (1 - b) itakuwa chanya kila wakati, bila kujali thamani ya denominator, ishara ya jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana S∞ huamuliwa kipekee na ishara ya kipengele chake cha kwanza a1.
Sasa hebu tuangalie matatizo kadhaa ambapo tutaonyesha jinsi ya kutumia ujuzi uliopatikana kwenye nambari maalum.
Kazi Nambari 1. Uhesabuji wa vipengele visivyojulikana vya maendeleo na jumla
Kutokana na maendeleo ya kijiometri, denominator ya maendeleo ni 2, na kipengele chake cha kwanza ni 3. Je, maneno yake ya 7 na 10 yatakuwa sawa na nini, na ni jumla gani ya vipengele vyake saba vya awali?
Hali ya tatizo ni rahisi sana na inahusisha matumizi ya moja kwa moja ya fomula hapo juu. Kwa hivyo, kuhesabu nambari ya kipengele n, tunatumia usemi an = bn-1 * a1. Kwa kipengele cha 7 tunayo: a7 = b6 * a1, kuchukua nafasi ya data inayojulikana, tunapata: a7 = 26 * 3 = 192. Tunafanya vivyo hivyo kwa muda wa 10: a10 = 29 * 3 = 1536.
Wacha tutumie fomula inayojulikana ya jumla na tuamue dhamana hii kwa vitu 7 vya kwanza vya safu. Tunayo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Tatizo namba 2. Kuamua jumla ya vipengele vya kiholela vya maendeleo
Hebu -2 iwe sawa na denominator ya maendeleo ya kijiometri bn-1 * 4, ambapo n ni integer. Inahitajika kuamua jumla kutoka kwa 5 hadi 10 ya safu hii, ikijumuisha.
Tatizo lililotolewa haliwezi kutatuliwa moja kwa moja kwa kutumia fomula zinazojulikana. Inaweza kutatuliwa kwa njia 2 mbinu mbalimbali. Kwa ukamilifu wa uwasilishaji wa mada, tunawasilisha zote mbili.
Njia ya 1. Wazo ni rahisi: unahitaji kuhesabu hesabu mbili zinazofanana za maneno ya kwanza, na kisha uondoe nyingine kutoka kwa moja. Tunahesabu kiasi kidogo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sasa hebu tuhesabu kiasi kikubwa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Kumbuka kuwa katika usemi wa mwisho maneno 4 tu yalifupishwa, kwani ya 5 tayari imejumuishwa kwa kiasi kinachohitajika kuhesabiwa kulingana na hali ya shida. Hatimaye, tunachukua tofauti: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Njia ya 2. Kabla ya kubadilisha nambari na kuhesabu, unaweza kupata fomula ya jumla kati ya masharti ya m na n ya mfululizo unaohusika. Tunafanya sawa na katika njia ya 1, tu kwanza tunafanya kazi na uwakilishi wa mfano wa kiasi. Tunayo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Unaweza kubadilisha nambari zinazojulikana kwenye usemi unaotokana na kuhesabu matokeo ya mwisho: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Tatizo Nambari 3. Je, denominator ni nini?
Hebu a1 = 2, pata denominator ya maendeleo ya kijiometri, mradi jumla yake isiyo na kipimo ni 3, na inajulikana kuwa hii ni mfululizo wa kupungua kwa nambari.
Kulingana na hali ya shida, si ngumu kukisia ni fomula gani inapaswa kutumika kulitatua. Kwa kweli, kwa jumla ya maendeleo yanapungua sana. Tunayo: S∞ = a1 / (1 - b). Kutoka ambapo tunaelezea denominator: b = 1 - a1 / S∞. Kilichobaki ni kuchukua nafasi maadili yanayojulikana na upate nambari inayotakiwa: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 au -0.333 (3). Tunaweza kuangalia matokeo haya kwa ubora ikiwa tutakumbuka kuwa kwa aina hii ya mfuatano moduli b haipaswi kwenda zaidi ya 1. Kama inavyoonekana, |-1 / 3|
Kazi Nambari 4. Kurejesha mfululizo wa nambari
Hebu vipengele 2 vya mfululizo wa nambari vipewe, kwa mfano, ya 5 ni sawa na 30 na ya 10 ni sawa na 60. Ni muhimu kuunda upya mfululizo mzima kutoka kwa data hizi, kwa kujua kwamba inakidhi mali ya maendeleo ya kijiometri.
Ili kutatua tatizo, lazima kwanza uandike usemi unaolingana kwa kila neno linalojulikana. Tunayo: a5 = b4 * a1 na a10 = b9 * a1. Sasa gawanya usemi wa pili na wa kwanza, tunapata: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Kuanzia hapa tunaamua denominator kwa kuchukua mzizi wa tano wa uwiano wa maneno yanayojulikana kutoka kwa taarifa ya tatizo, b = 1.148698. Tunabadilisha nambari inayotokana na moja ya maneno kwa kipengele kinachojulikana, tunapata: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
Kwa hiyo, tulipata denominator ya maendeleo bn, na maendeleo ya kijiometri bn-1 * 17.2304966 = an, ambapo b = 1.148698.
Maendeleo ya kijiometri hutumiwa wapi?
Ikiwa hapangekuwa na matumizi ya vitendo ya mfululizo huu wa nambari, basi utafiti wake ungepunguzwa kwa maslahi ya kinadharia tu. Lakini maombi kama hayo yapo.
Ifuatayo ni mifano 3 maarufu zaidi:
- Kitendawili cha Zeno, ambapo Achilles mahiri hawawezi kupatana na kobe mwepesi, hutatuliwa kwa kutumia dhana ya mlolongo wa nambari unaopungua sana.
- Ikiwa kwa kila seli ubao wa chess weka nafaka za ngano ili kwenye kiini cha 1 uweke nafaka 1, kwa 2 - 2, tarehe 3 - 3 na kadhalika, kisha kujaza seli zote za bodi utahitaji 18446744073709551615 nafaka!
- Katika mchezo "Mnara wa Hanoi", ili kuhamisha disks kutoka fimbo moja hadi nyingine, ni muhimu kufanya shughuli 2n - 1, yaani, idadi yao inakua kwa kasi na idadi n ya disks kutumika.
MFUATA WA NAMBA VI
§ l48. Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana
Hadi sasa, tunapozungumza juu ya hesabu, kila wakati tumekuwa tukifikiria kuwa idadi ya maneno katika hesabu hizi ni ya mwisho (kwa mfano, 2, 15, 1000, nk). Lakini wakati wa kutatua shida fulani (haswa hisabati ya juu) mtu anapaswa kushughulika na hesabu za idadi isiyo na kikomo ya masharti
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Kiasi gani hizi? A-kipaumbele jumla ya idadi isiyo na kikomo ya masharti a 1 , a 2 , ..., a n , ... inaitwa kikomo cha jumla S n kwanza P nambari wakati P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Kikomo (2), bila shaka, kinaweza kuwepo au kisiwepo. Kwa hiyo, wanasema kwamba jumla (1) ipo au haipo.
Tunawezaje kujua kama jumla (1) ipo katika kila kisa mahususi? Uamuzi wa pamoja Suala hili linakwenda mbali zaidi ya upeo wa programu yetu. Hata hivyo, kuna moja muhimu kesi maalum, ambayo sasa tunapaswa kuzingatia. Tutazungumza juu ya muhtasari wa masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.
Hebu a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... ni ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Hii ina maana kwamba | q |< 1. Сумма первых P masharti ya maendeleo haya ni sawa
Kutoka kwa nadharia za kimsingi juu ya mipaka ya anuwai (tazama § 136) tunapata:
Lakini 1 = 1, a qn = 0. Kwa hiyo
Kwa hivyo, jumla ya maendeleo ya kijiometri ambayo yanapungua sana ni sawa na muhula wa kwanza wa mwendelezo huu ikigawanywa na denominator moja toa ya mwendelezo huu.
1) Jumla ya maendeleo ya kijiometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ni sawa na
na jumla ya maendeleo ya kijiometri ni 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sawa
2) Badilisha sehemu rahisi ya muda 0.454545 ... kuwa ya kawaida.
Ili kutatua tatizo hili, fikiria sehemu hii kama jumla isiyo na kikomo:
Sehemu ya kulia Usawa huu ni jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 45/100, na denominator ni 1/100. Ndiyo maana
Kutumia njia iliyoelezwa, inaweza pia kupatikana kanuni ya jumla ubadilishaji wa sehemu rahisi za muda hadi za kawaida (tazama Sura ya II, § 38):
Ili kubadilisha sehemu rahisi ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida, unahitaji kufanya yafuatayo: weka kipindi kwenye nambari Nukta, na kipunguzo ni nambari inayojumuisha nasaba zilizochukuliwa mara nyingi kama kuna tarakimu katika kipindi cha sehemu ya desimali.
3) Badilisha sehemu iliyochanganywa ya upimaji 0.58333 .... kuwa sehemu ya kawaida.
Wacha tufikirie sehemu hii kama jumla isiyo na kikomo:
Kwa upande wa kulia wa usawa huu, maneno yote, kuanzia 3/1000, huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 3/1000, na denominator ni 1/10. Ndiyo maana
Kwa kutumia njia iliyoelezwa, kanuni ya jumla ya kubadilisha sehemu zilizochanganywa za upimaji kuwa sehemu za kawaida zinaweza kupatikana (tazama Sura ya II, § 38). Kwa makusudi hatuiwasilishi hapa. Hakuna haja ya kukumbuka sheria hii ngumu. Ni muhimu zaidi kujua kwamba sehemu yoyote ya muda iliyochanganyika inaweza kuwakilishwa kama jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na nambari fulani. Na formula
kwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, lazima, bila shaka, ukumbuke.
Kama zoezi, tunashauri kwamba wewe, pamoja na shida Nambari 995-1000 zilizopewa hapa chini, ugeuke tena kwa shida Nambari 301 § 38.
Mazoezi
995. Ni nini kinachoitwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana?
996. Pata hesabu za maendeleo ya kijiometri yanayopungua sana:
997. Kwa maadili gani X maendeleo
inapungua bila kikomo? Pata jumla ya maendeleo kama haya.
998. Katika pembetatu ya equilateral na upande A pembetatu mpya imeandikwa kwa kuunganisha katikati ya pande zake; pembetatu mpya imeandikwa katika pembetatu hii kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum.
a) jumla ya mizunguko ya pembetatu hizi zote;
b) jumla ya maeneo yao.
999. Mraba na upande A mraba mpya umeandikwa kwa kuunganisha katikati ya pande zake; mraba umeandikwa katika mraba huu kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum. Tafuta jumla ya mizunguko ya miraba hii yote na jumla ya maeneo yao.
1000. Tunga ukuaji wa kijiometri unaopungua sana hivi kwamba jumla yake ni sawa na 25/4, na jumla ya miraba ya masharti yake ni sawa na 625/24.
Maendeleo ya hesabu na kijiometri
Taarifa za kinadharia
Taarifa za kinadharia
Maendeleo ya hesabu |
Maendeleo ya kijiometri |
|
Ufafanuzi |
Maendeleo ya hesabu n ni mfuatano ambao kila mwanachama, kuanzia wa pili, ni sawa na mshiriki wa awali aliyeongezwa kwa nambari sawa d (d- tofauti ya maendeleo) |
Maendeleo ya kijiometri b n ni mlolongo wa nambari zisizo sifuri, kila neno ambalo, kuanzia la pili, ni sawa na neno la awali lililozidishwa na nambari sawa. q (q- dhehebu la maendeleo) |
Fomula ya kurudia |
Kwa asili yoyote n |
Kwa asili yoyote n |
Muhula wa nth |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Mali ya tabia |  |
|
| Jumla ya masharti n ya kwanza |  |
 |
Mifano ya kazi na maoni
Zoezi 1
Katika maendeleo ya hesabu ( n) a 1 = -6, a 2
Kulingana na fomula ya neno la nth:
ya 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Kwa hali:
a 1= -6, basi ya 22= -6 + 21 d.
Inahitajika kupata tofauti za maendeleo:
d = a 2 - 1 = -8 – (-6) = -2
ya 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Jibu: ya 22 = -48.
Jukumu la 2
Pata muda wa tano wa maendeleo ya kijiometri: -3; 6;....
Njia ya 1 (kwa kutumia fomula ya n-term)
Kulingana na fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Kwa sababu b 1 = -3,
Njia ya 2 (kwa kutumia formula ya kawaida)
Kwa kuwa dhehebu la mwendelezo ni -2 (q = -2), basi:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Jibu: b 5 = -48.
Jukumu la 3
Katika maendeleo ya hesabu ( n) a 74 = 34; ya 76= 156. Tafuta muhula wa sabini na tano wa mwendelezo huu.
Kwa maendeleo ya hesabu, mali ya tabia ina fomu 
.
Kwa hivyo:
.
Wacha tubadilishe data kwenye fomula:
Jibu: 95.
Jukumu la 4
Katika maendeleo ya hesabu ( a n) n= 3n - 4. Tafuta jumla ya maneno kumi na saba ya kwanza.
Ili kupata jumla ya masharti ya n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu, fomula mbili hutumiwa:
.
Ambayo ni katika kwa kesi hii rahisi zaidi kutumia?
Kwa hali, fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya asili inajulikana ( n) n= 3n - 4. Unaweza kupata mara moja na a 1, Na ya 16 bila kupata d. Kwa hiyo, tutatumia fomula ya kwanza.
Jibu: 368.
Jukumu la 5
Katika maendeleo ya hesabu ( n) a 1 = -6; a 2= -8. Tafuta muhula wa ishirini na mbili wa mwendelezo.
Kulingana na fomula ya neno la nth:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Kwa hali, ikiwa a 1= -6, basi ya 22= -6 + 21d . Inahitajika kupata tofauti za maendeleo:
d = a 2 - 1 = -8 – (-6) = -2
ya 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Jibu: ya 22 = -48.
Jukumu la 6
Maneno kadhaa mfululizo ya maendeleo ya kijiometri yameandikwa:
Tafuta neno la muendelezo lenye lebo x.
Wakati wa kutatua, tutatumia fomula ya neno la nth b n = b 1 ∙ q n - 1 kwa maendeleo ya kijiometri. Awamu ya kwanza ya maendeleo. Ili kupata dhehebu la uendelezaji q, unahitaji kuchukua masharti yoyote ya uendelezaji na ugawanye na ya awali. Katika mfano wetu, tunaweza kuchukua na kugawanya kwa. Tunapata hiyo q = 3. Badala ya n, tunabadilisha 3 katika fomula, kwani ni muhimu kupata muda wa tatu wa maendeleo ya kijiometri iliyotolewa.
Kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula, tunapata:
.
Jibu:.
Jukumu la 7
Kutoka kwa maendeleo ya hesabu yaliyotolewa na fomula ya neno la nth, chagua moja ambayo hali imeridhika ya 27 > 9:
Kwa kuwa sharti lililotolewa lazima litimizwe kwa muhula wa 27 wa kuendelea, tunabadilisha 27 badala ya n katika kila moja ya hatua nne. Katika hatua ya 4 tunapata:
.
Jibu: 4.
Jukumu la 8
Katika maendeleo ya hesabu a 1= 3, d = -1.5. Bainisha thamani ya juu n ambayo ukosefu wa usawa unashikilia n > -6.
Maagizo
10, 30, 90, 270...
Unahitaji kupata denominator ya maendeleo ya kijiometri.
Suluhisho:
Chaguo 1. Wacha tuchukue muda wa kiholela wa mwendelezo (kwa mfano, 90) na tugawanye na ile ya awali (30): 90/30=3.
Ikiwa jumla ya masharti kadhaa ya maendeleo ya kijiometri au jumla ya masharti yote ya kupungua kwa maendeleo ya kijiometri inajulikana, basi ili kupata denominator ya maendeleo, tumia fomula zinazofaa:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ambapo Sn ni jumla ya istilahi n za kwanza za maendeleo ya kijiometri na
S = b1/(1-q), ambapo S ni jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana (jumla ya masharti yote ya mwendelezo yenye kipunguzo chini ya moja).
Mfano.
Muda wa kwanza wa kupungua kwa maendeleo ya kijiometri ni sawa na moja, na jumla ya masharti yake yote ni sawa na mbili.
Inahitajika kuamua denominator ya maendeleo haya.
Suluhisho:
Badilisha data kutoka kwa tatizo kwenye fomula. Itageuka:
2=1/(1-q), kutoka wapi – q=1/2.
Kuendelea ni mlolongo wa nambari. Katika maendeleo ya kijiometri, kila neno linalofuata linapatikana kwa kuzidisha uliopita kwa nambari fulani q, inayoitwa denominator ya maendeleo.
Maagizo
Ikiwa maneno mawili ya kijiometri yaliyo karibu b(n+1) na b(n) yanajulikana, ili kupata dhehebu, unahitaji kugawanya nambari na ile kubwa na ile iliyotangulia: q=b(n+1)/b. (n). Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa maendeleo na denominator yake. Hali muhimu ni ukosefu wa usawa wa muhula wa kwanza na dhehebu ya kuendelea hadi sifuri, vinginevyo inachukuliwa kuwa isiyojulikana.
Kwa hivyo, mahusiano yafuatayo yanaanzishwa kati ya masharti ya maendeleo: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Kwa kutumia fomula b(n)=b1 q^(n-1), istilahi yoyote ya maendeleo ya kijiometri ambayo kiashiria q na neno b1 hujulikana kinaweza kuhesabiwa. Pia, kila moja ya miendelezo ni sawa katika moduli kwa wastani wa wanachama wake jirani: |b(n)|=√, ambapo ndipo mwendelezo ulipata .
Analogi ya maendeleo ya kijiometri ni kazi rahisi zaidi ya kielelezo y=a^x, ambapo x ni kipeo, a ni nambari fulani. Katika kesi hii, denominator ya maendeleo inafanana na muda wa kwanza na ni sawa na nambari a. Thamani ya chaguo za kukokotoa y inaweza kueleweka kama muhula wa nth maendeleo ikiwa hoja x itachukuliwa kuwa nambari ya asili n (kaunta).
Mwingine mali muhimu maendeleo ya kijiometri, ambayo yalitoa maendeleo ya kijiometri
Wacha sasa tuzingatie swali la muhtasari wa maendeleo ya kijiometri isiyo na kikomo. Wacha tuite jumla ya sehemu ya maendeleo fulani isiyo na kikomo jumla ya istilahi zake za kwanza. Wacha tuonyeshe jumla ya sehemu kwa ishara
Kwa kila maendeleo yasiyo na mwisho
mtu anaweza kutunga mlolongo (pia usio na kikomo) wa kiasi chake cha jumla
Ruhusu mlolongo wenye ongezeko lisilo na kikomo uwe na kikomo
Katika kesi hii, nambari S, yaani, kikomo cha kiasi cha sehemu ya maendeleo, inaitwa jumla ya maendeleo yasiyo na kipimo. Tutathibitisha kwamba ukuaji wa kijiometri unaopungua usio na kipimo daima una jumla, na tutapata fomula ya jumla hii (tunaweza pia kuonyesha kwamba ikiwa maendeleo yasiyo na kikomo hayana jumla, haipo).
Wacha tuandike usemi wa jumla ya sehemu kama jumla ya masharti ya mwendelezo kwa kutumia fomula (91.1) na tuzingatie kikomo cha jumla cha sehemu katika
Kutoka kwa Theorem 89 inajulikana kuwa kwa maendeleo ya kupungua; kwa hivyo, kwa kutumia nadharia ya kikomo cha tofauti, tunapata
(hapa sheria pia hutumiwa: sababu ya mara kwa mara inachukuliwa zaidi ya ishara ya kikomo). Uwepo umethibitishwa, na wakati huo huo fomula ya jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana hupatikana:
Usawa (92.1) pia unaweza kuandikwa katika fomu
Hapa inaweza kuonekana kuwa ya kutatanisha kwamba jumla ya idadi isiyo na kikomo ya maneno imepewa dhamana ya uhakika kabisa.
Unaweza kutaja kielelezo cha kuona kuelezea hali hii. Fikiria mraba na upande sawa na moja(Mchoro 72). Hebu tugawanye mraba huu mstari wa usawa katika sehemu mbili sawa na kutumia sehemu ya juu kwa moja ya chini ili mstatili ufanyike na pande 2 na. Baada ya hayo, tutagawanya tena nusu sahihi ya mstatili huu kwa nusu na mstari wa usawa na kuunganisha sehemu ya juu hadi ya chini (kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 72). Kuendeleza mchakato huu, tunabadilisha kila mraba mraba wa asili na eneo sawa na 1 kuwa takwimu za ukubwa sawa (tukichukua sura ya ngazi na hatua nyembamba).
Kwa mwendelezo usio na kipimo wa mchakato huu, eneo lote la mraba linatenganishwa kwa idadi isiyo na kikomo ya maneno - maeneo ya mistatili yenye besi sawa na 1 na urefu.
i.e. kama mtu angetarajia, sawa na eneo la mraba.
Mfano. Pata majumuisho ya hatua zifuatazo zisizo na kikomo:
Suluhisho, a) Tunaona kwamba maendeleo haya Kwa hiyo, kwa kutumia fomula (92.2) tunapata
b) Hapa ina maana kwamba kwa kutumia fomula ile ile (92.2) tuliyo nayo
c) Tunaona kwamba maendeleo haya hayana jumla.
Katika aya ya 5, matumizi ya fomula ya jumla ya masharti ya mwendo unaopungua sana hadi ubadilishaji wa sehemu ya desimali ya muda kuwa sehemu ya kawaida yalionyeshwa.
Mazoezi
1. Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ni 3/5, na jumla ya maneno yake manne ya kwanza ni 13/27. Tafuta muhula wa kwanza na dhehebu la mwendelezo.
2. Tafuta nambari nne zinazounda mwendelezo wa kijiometri unaopishana, ambapo muhula wa pili ni chini ya ile ya kwanza kwa 35, na ya tatu ni kubwa kuliko ya nne kwa 560.
3. Onyesha kwamba ikiwa mlolongo
huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, kisha mlolongo
kwa yoyote, huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Je kauli hii itakuwa kweli lini
Pata fomula ya bidhaa ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.