- Tafsiri
Sifa za nambari kuu zilisomwa kwanza na wanahisabati Ugiriki ya Kale. Wanahisabati wa shule ya Pythagorean (500 - 300 KK) walipendezwa kimsingi na sifa za fumbo na nambari za nambari kuu. Walikuwa wa kwanza kuja na mawazo kuhusu nambari kamili na za kirafiki.
Nambari kamili ina jumla ya vigawanyiko vyake sawa na yenyewe. Kwa mfano, wagawanyaji sahihi wa nambari 6 ni 1, 2 na 3. 1 + 2 + 3 = 6. Wagawanyiko wa nambari 28 ni 1, 2, 4, 7 na 14. Zaidi ya hayo, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Nambari huitwa kirafiki ikiwa jumla ya wagawanyiko sahihi wa nambari moja ni sawa na nyingine, na kinyume chake - kwa mfano, 220 na 284. Tunaweza kusema kwamba nambari kamili ni ya kirafiki kwa yenyewe.
Kufikia wakati wa Vipengele vya Euclid mnamo 300 B.K. kadhaa tayari zimethibitishwa mambo muhimu kuhusu nambari kuu. Katika Kitabu cha IX cha Vipengele, Euclid alithibitisha kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu. Hii, kwa njia, ni moja ya mifano ya kwanza ya kutumia uthibitisho kwa kupingana. Pia anathibitisha Nadharia ya Msingi ya Hesabu - kila nambari kamili inaweza kuwakilishwa kipekee kama bidhaa ya nambari kuu.
Pia alionyesha kwamba ikiwa nambari 2n-1 ni ya msingi, basi nambari 2n-1 * (2n-1) itakuwa kamili. Mtaalamu mwingine wa hisabati, Euler, aliweza kuonyesha mwaka wa 1747 kwamba wote hata nambari kamili inaweza kuandikwa katika fomu hii. Hadi leo haijulikani ikiwa kuna nambari zisizo za kawaida.
Katika mwaka wa 200 BC. Eratosthenes ya Kigiriki ilikuja na algoriti ya kutafuta nambari kuu inayoitwa Ungo wa Eratosthenes.
Na kisha kulikuwa na mapumziko makubwa katika historia ya utafiti wa nambari kuu, zinazohusiana na Zama za Kati.
Ugunduzi ufuatao ulifanywa tayari mwanzoni mwa karne ya 17 na mwanahisabati Fermat. Alithibitisha dhana ya Albert Girard kwamba nambari yoyote kuu ya fomu 4n+1 inaweza kuandikwa kipekee kama jumla ya miraba miwili, na pia akatunga nadharia kwamba nambari yoyote inaweza kuandikwa kama jumla ya miraba minne.
Yeye maendeleo mbinu mpya factorization ya idadi kubwa, na akaionyesha kwenye namba 2027651281 = 44021 × 46061. Pia alithibitisha Theorem Ndogo ya Fermat: ikiwa p ni nambari kuu, basi kwa integer yoyote itakuwa kweli kwamba p = modulo p.
Taarifa hii inathibitisha nusu ya kile kilichojulikana kama "dhahania ya Kichina" na ilianza miaka ya 2000: nambari kamili n ni kuu ikiwa na ikiwa 2 n -2 inaweza kugawanywa na n. Sehemu ya pili ya nadharia iligeuka kuwa ya uwongo - kwa mfano, 2,341 - 2 inaweza kugawanywa na 341, ingawa nambari 341 ni mchanganyiko: 341 = 31 × 11.
Nadharia Ndogo ya Fermat ilitumika kama msingi wa matokeo mengine mengi katika nadharia ya nambari na mbinu za kupima ikiwa nambari ni za kwanza - nyingi ambazo bado zinatumika leo.
Fermat aliwasiliana sana na watu wa wakati wake, haswa na mtawa anayeitwa Maren Mersenne. Katika moja ya barua zake, alidhani kwamba nambari za fomu 2 n +1 zitakuwa za msingi kila wakati ikiwa n ni nguvu ya mbili. Alijaribu hii kwa n = 1, 2, 4, 8 na 16, na alikuwa na hakika kwamba katika kesi ambapo n haikuwa nguvu ya mbili, nambari hiyo haikuwa ya msingi. Nambari hizi zinaitwa nambari za Fermat, na miaka 100 tu baadaye Euler alionyesha kuwa nambari inayofuata, 2 32 + 1 = 4294967297, inaweza kugawanywa na 641, na kwa hivyo sio mkuu.
Nambari za fomu 2 n - 1 pia zimekuwa somo la utafiti, kwa kuwa ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa n ni mchanganyiko, basi nambari yenyewe pia ni mchanganyiko. Nambari hizi zinaitwa nambari za Mersenne kwa sababu alizisoma sana.
Lakini sio nambari zote za fomu 2 n - 1, ambapo n ni mkuu, ni kuu. Kwa mfano, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Hii iligunduliwa kwanza mwaka wa 1536.
Kwa miaka mingi, nambari za aina hii ziliwapa wanahisabati nambari kuu zinazojulikana zaidi. Kwamba M 19 ilithibitishwa na Cataldi mnamo 1588, na kwa miaka 200 ilikuwa nambari kuu inayojulikana zaidi, hadi Euler alithibitisha kuwa M 31 pia ilikuwa kuu. Rekodi hii ilisimama kwa miaka mia nyingine, na kisha Lucas alionyesha kuwa M 127 ni mkuu (na hii tayari ni nambari ya tarakimu 39), na baada ya utafiti huo uliendelea na ujio wa kompyuta.
Mnamo 1952 ubora wa nambari M 521, M 607, M 1279, M 2203 na M 2281 ulithibitishwa.
Kufikia 2005, nakala 42 za Mersenne zilikuwa zimepatikana. Kubwa zaidi yao, M 25964951, ina tarakimu 7816230.
Kazi ya Euler ilikuwa na athari kubwa kwa nadharia ya nambari, pamoja na nambari kuu. Alipanua Theorem Ndogo ya Fermat na kuanzisha φ-function. Ilianzisha nambari ya 5 ya Fermat 2 32 +1, ilipata jozi 60 za nambari za kirafiki, na kuunda (lakini haikuweza kuthibitisha) sheria ya usawa wa mara nne.
Alikuwa wa kwanza kuanzisha mbinu uchambuzi wa hisabati na kuendeleza nadharia ya uchanganuzi ya nambari. Alithibitisha kwamba sio tu mfululizo wa harmonic ∑ (1/n), lakini pia mfululizo wa fomu
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Matokeo yaliyopatikana kwa jumla ya upatanishi wa nambari kuu pia hutofautiana. Jumla ya maneno n ya safu ya usawa inakua takriban kama logi(n), na safu ya pili inatofautiana polepole zaidi kama log[ log(n)]. Hii ina maana kwamba, kwa mfano, jumla ya uwiano wa nambari zote kuu zilizopatikana hadi sasa zitatoa 4 tu, ingawa mfululizo bado unatofautiana.
Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba nambari kuu zinasambazwa kwa nasibu kati ya nambari kamili. Kwa mfano, kati ya nambari 100 mara moja kabla ya 10000000 kuna primes 9, na kati ya namba 100 mara moja baada ya thamani hii kuna 2 tu. Lakini juu ya makundi makubwa namba kuu zinasambazwa sawasawa. Legendre na Gauss walishughulikia masuala ya usambazaji wao. Gauss mara moja alimwambia rafiki yake kwamba katika dakika 15 za bure yeye huhesabu idadi ya primes katika nambari 1000 zinazofuata. Kufikia mwisho wa maisha yake, alikuwa amehesabu nambari zote kuu hadi milioni 3. Legendre na Gauss walihesabu kwa usawa kwamba kwa n kubwa msongamano mkuu ni 1/logi(n). Legendre alikadiria idadi ya nambari kuu katika safu kutoka 1 hadi n kama
π(n) = n/(logi(n) - 1.08366)
Na Gauss ni kama kiunganishi cha logarithmic
π(n) = ∫ 1/logi(t) dt
Na muda wa kuunganishwa kutoka 2 hadi n.
Taarifa kuhusu msongamano wa primes 1/logi(n) inajulikana kama Nadharia ya Usambazaji Mkuu. Walijaribu kuthibitisha hilo katika karne yote ya 19, na maendeleo yalipatikana na Chebyshev na Riemann. Waliiunganisha na nadharia ya Riemann, dhahania ambayo bado haijathibitishwa kuhusu usambazaji wa sufuri za chaguo za kukokotoa za Riemann zeta. Msongamano wa nambari kuu ulithibitishwa kwa wakati mmoja na Hadamard na Vallée-Poussin mnamo 1896.
Bado kuna maswali mengi ambayo hayajatatuliwa katika nadharia ya nambari kuu, ambayo baadhi yake ni ya mamia ya miaka:
- Nadharia kuu pacha ni kuhusu idadi isiyo na kikomo ya jozi za nambari kuu ambazo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa 2.
- Dhana ya Goldbach: nambari yoyote sawa, kuanzia 4, inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari kuu mbili.
- Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n 2 + 1?
- Inawezekana kila wakati kupata nambari kuu kati ya n 2 na (n + 1) 2? (ukweli kwamba kila wakati kuna nambari kuu kati ya n na 2n ilithibitishwa na Chebyshev)
- Je, idadi ya matoleo ya awali ya Fermat haina kikomo? Je, kuna chaguzi zozote za Fermat baada ya 4?
- ipo maendeleo ya hesabu ya nambari kuu zinazofuatana kwa urefu wowote? kwa mfano, kwa urefu wa 4: 251, 257, 263, 269. Urefu wa juu uliopatikana ni 26.
- Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya seti za nambari kuu tatu mfululizo katika maendeleo ya hesabu?
- n 2 - n + 41 ni nambari kuu ya 0 ≤ n ≤ 40. Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu kama hizo? Swali sawa kwa fomula n 2 - 79 n + 1601. Nambari hizi ni kuu kwa 0 ≤ n ≤ 79.
- Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n# + 1? (n# ni matokeo ya kuzidisha nambari zote kuu chini ya n)
- Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n# -1 ?
- Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n? + 1?
- Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n? - 1?
- ikiwa p ni mkuu, je 2 p -1 huwa haina miraba kuu kati ya mambo yake?
- mlolongo wa Fibonacci una idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu?
Nambari kuu pacha kubwa zaidi ni 2003663613 × 2 195000 ± 1. Zinajumuisha tarakimu 58711 na ziligunduliwa mwaka wa 2007.
Nambari kuu kubwa ya kiwanda (ya aina n! ± 1) ni 147855! - 1. Ina tarakimu 142891 na ilipatikana mwaka wa 2002.
Nambari kuu kubwa zaidi ya awali (idadi ya fomu n# ± 1) ni 1098133# + 1.
Nakala hiyo inajadili dhana za nambari kuu na zenye mchanganyiko. Ufafanuzi wa nambari kama hizo hutolewa kwa mifano. Tunatoa uthibitisho kwamba idadi ya nambari kuu haina kikomo na tutairekodi kwenye jedwali la nambari kuu kwa kutumia mbinu ya Eratosthenes. Ushahidi utatolewa ili kubaini ikiwa nambari ni kuu au ya mchanganyiko.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nambari Kuu na Mchanganyiko - Ufafanuzi na Mifano
Nambari kuu na za mchanganyiko zinaainishwa kama nambari chanya. Lazima ziwe kubwa kuliko moja. Vigawanyiko pia vimegawanywa kuwa rahisi na mchanganyiko. Ili kuelewa dhana ya nambari za mchanganyiko, lazima kwanza ujifunze dhana za vigawanyiko na vizidishi.
Ufafanuzi 1
Nambari kuu ni nambari kamili ambazo ni kubwa zaidi ya moja na zina vigawanyiko viwili chanya, ambayo ni wao wenyewe na 1.
Ufafanuzi 2
Nambari za mchanganyiko ni nambari kamili ambazo ni kubwa zaidi ya moja na zina angalau vigawanyiko vitatu chanya.
Moja sio nambari kuu au ya mchanganyiko. Ina kigawanyiko kimoja tu chanya, kwa hivyo ni tofauti na nambari zingine zote chanya. Nambari zote chanya huitwa nambari za asili, ambayo ni, kutumika katika kuhesabu.
Ufafanuzi 3
Nambari kuu -Hii nambari kamili, kuwa na vigawanyiko viwili tu chanya.
Ufafanuzi 4
Nambari ya mchanganyiko ni nambari asilia ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili chanya.
Nambari yoyote ambayo ni kubwa kuliko 1 ni ya msingi au ya mchanganyiko. Kutoka kwa mali ya mgawanyiko tunayo hiyo 1 na nambari a daima itakuwa vigawanyiko kwa nambari yoyote a, ambayo ni, itagawanywa yenyewe na kwa 1. Wacha tutoe ufafanuzi wa nambari kamili.
Ufafanuzi wa 5
Nambari za asili ambazo sio kuu zinaitwa nambari za mchanganyiko.
Nambari kuu: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Wanaweza kugawanywa peke yao na 1. Nambari za mchanganyiko: 6, 63, 121, 6697. Hiyo ni, nambari ya 6 inaweza kugawanywa kuwa 2 na 3, na 63 kuwa 1, 3, 7, 9, 21, 63 na 121 kuwa 11, 11, ambayo ni, wagawanyiko wake watakuwa 1, 11, 121. Nambari 6697 imegawanywa kuwa 37 na 181. Kumbuka kuwa dhana za nambari kuu na nambari za coprime ni dhana tofauti.
Ili kurahisisha kutumia nambari kuu, unahitaji kutumia meza:
Jedwali la nambari zote za asili zilizopo sio kweli, kwani kuna idadi yao isiyo na kikomo. Nambari zinapofikia ukubwa wa 10000 au 1000000000, basi unapaswa kuzingatia kutumia Ungo wa Eratosthenes.
Wacha tuangalie nadharia inayoelezea taarifa ya mwisho.
Nadharia 1
Kigawanyo chanya kidogo zaidi ya 1 ya nambari asilia kubwa kuliko moja ni nambari kuu.
Ushahidi 1
Wacha tuchukue kuwa a ni nambari asilia ambayo ni kubwa kuliko 1, b ndio kigawanyaji kidogo kisicho cha moja cha a. Inahitajika kudhibitisha kuwa b ni nambari kuu kwa kutumia njia ya kupingana.
Wacha tuchukue kuwa b ni nambari ya mchanganyiko. Kuanzia hapa tunayo kwamba kuna kigawanyo cha b, ambacho ni tofauti na 1 na vile vile kutoka kwa b. Kigawanyiko kama hicho kinaonyeshwa kama b 1. Ni lazima hali hiyo 1< b 1 < b ilikamilika.
Kutoka kwa hali ni wazi kuwa a imegawanywa na b, b imegawanywa na b 1, ambayo inamaanisha kuwa wazo la mgawanyiko linaonyeshwa kama ifuatavyo. a = b q na b = b 1 · q 1 , kutoka wapi a = b 1 · (q 1 · q) , wapi q na q 1 ni nambari kamili. Kulingana na kanuni ya kuzidisha nambari kamili, tunayo kwamba bidhaa ya nambari kamili ni nambari kamili yenye usawa wa umbo a = b 1 · (q 1 · q) . Inaweza kuonekana kuwa b 1 ni kigawanyo cha nambari a. Kutokuwa na usawa 1< b 1 < b Sivyo inalingana, kwa sababu tunapata kuwa b ndio kigawanyo chanya na kisicho 1 cha a.
Nadharia 2
Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu.
Ushahidi 2
Yamkini tunachukua nambari maalum ya nambari asili n na kuziashiria kama p 1, p 2, ..., p n. Wacha tuchunguze chaguo la kupata nambari kuu tofauti na zile zilizoonyeshwa.
Wacha tuzingatie nambari p, ambayo ni sawa na p 1, p 2, ..., p n + 1. Sio sawa na kila nambari inayolingana na nambari kuu za fomu p 1, p 2, ..., p n. Nambari p ni kuu. Kisha theorem inachukuliwa kuthibitishwa. Ikiwa ni mchanganyiko, basi unahitaji kuchukua nukuu p n + 1 na kuonyesha kwamba kigawanyiko hakipatani na yoyote ya p 1, p 2, ..., p n.
Ikiwa hii haikuwa hivyo, basi, kwa kuzingatia mali ya mgawanyiko wa bidhaa p 1, p 2, ..., p n. , tunapata kwamba inaweza kugawanywa na pn + 1. Kumbuka kuwa usemi p n + 1 kugawanya nambari p ni sawa na jumla p 1, p 2, ..., p n + 1. Tunapata kwamba usemi p n + 1 Muda wa pili wa jumla hii, ambayo ni sawa na 1, lazima igawanywe, lakini hii haiwezekani.
Inaweza kuonekana kuwa nambari yoyote kuu inaweza kupatikana kati ya nambari yoyote kuu. Inafuata kwamba kuna idadi kubwa isiyo na kikomo.
Kwa kuwa kuna idadi kubwa ya nambari kuu, meza ni mdogo kwa nambari 100, 1000, 10000, na kadhalika.
Wakati wa kuunda jedwali la nambari kuu, unapaswa kuzingatia kwamba kazi kama hiyo inahitaji ukaguzi wa nambari, kuanzia 2 hadi 100. Ikiwa hakuna mgawanyiko, imeandikwa kwenye meza; ikiwa ni ya mchanganyiko, basi haijaingizwa kwenye meza.
Hebu tuangalie hatua kwa hatua.
Ikiwa unapoanza na nambari ya 2, basi ina wagawanyiko 2 tu: 2 na 1, ambayo ina maana inaweza kuingizwa kwenye meza. Sawa na nambari 3. Nambari ya 4 ni ya mchanganyiko; lazima itenganishwe kuwa 2 na 2. Nambari ya 5 ni kuu, ambayo inamaanisha inaweza kurekodiwa kwenye meza. Fanya hivi hadi nambari 100.
Mbinu hii isiyofaa na ndefu. Unaweza kuunda meza, lakini utalazimika kutumia idadi kubwa ya wakati. Inahitajika kutumia vigezo vya mgawanyiko, ambayo itaharakisha mchakato wa kupata wagawanyiko.
Njia ya kutumia ungo wa Eratosthenes inachukuliwa kuwa rahisi zaidi. Wacha tuangalie jedwali hapa chini kama mfano. Kuanza, nambari 2, 3, 4, ..., 50 zimeandikwa.
Sasa unahitaji kuvuka nambari zote ambazo ni zidishi za 2. Tekeleza migongo inayofuatana. Tunapata meza kama hii:
Tunaendelea na kuvuka nambari ambazo ni zidishi za 5. Tunapata:
Toa nambari ambazo ni zidishi za 7, 11. Hatimaye meza inaonekana kama
Wacha tuendelee kwenye uundaji wa nadharia.
Nadharia 3
Kigawanyaji kidogo zaidi cha chanya na kisicho-1 cha nambari ya msingi a hakizidi a, ambapo a ni mzizi wa hesabu wa nambari iliyotolewa.
Ushahidi 3
Ni muhimu kuashiria b kigawanyo kidogo zaidi cha nambari ya mchanganyiko a. Kuna nambari kamili q, ambapo a = b · q, na tuna hiyo b ≤ q. Ukosefu wa usawa wa fomu haukubaliki b > q, kwa sababu hali imekiukwa. Pande zote mbili za ukosefu wa usawa b ≤ q zinapaswa kuzidishwa na yoyote nambari chanya b sio sawa na 1. Tunapata kwamba b · b ≤ b · q, ambapo b 2 ≤ a na b ≤ a.
Kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa ni wazi kuwa kuvuka kwa nambari kwenye meza kunaongoza kwa ukweli kwamba ni muhimu kuanza na nambari ambayo ni sawa na b 2 na inakidhi usawa b 2 ≤ a. Hiyo ni, ikiwa utaondoa nambari ambazo ni zidishi za 2, basi mchakato huanza na 4, na mazidisho ya 3 na 9, na kuendelea hadi 100.
Kukusanya jedwali kama hilo kwa kutumia nadharia ya Eratosthenes kunapendekeza kwamba nambari zote za mchanganyiko zinapotolewa, nambari kuu zitabaki ambazo hazizidi n. Katika mfano ambapo n = 50, tunayo hiyo n = 50. Kuanzia hapa tunapata kwamba ungo wa Eratosthenes hupepeta nambari zote za mchanganyiko ambazo thamani yake si kubwa kuliko thamani ya mzizi wa 50. Kutafuta nambari hufanywa kwa kuvuka nje.
Kabla ya kusuluhisha, unahitaji kujua ikiwa nambari ni kuu au ya mchanganyiko. Vigezo vya mgawanyiko hutumiwa mara nyingi. Hebu tuangalie hili katika mfano hapa chini.
Mfano 1
Thibitisha kuwa nambari 898989898989898989 ni mchanganyiko.
Suluhisho
Jumla ya nambari za nambari fulani ni 9 8 + 9 9 = 9 17. Hii inamaanisha kuwa nambari 9 · 17 inaweza kugawanywa na 9, kulingana na jaribio la mgawanyiko na 9. Inafuata kwamba ni mchanganyiko.
Ishara kama hizo haziwezi kudhibitisha ukuu wa nambari. Ikiwa uthibitishaji unahitajika, hatua zingine zinapaswa kuchukuliwa. Wengi njia inayofaa- ni rundo la nambari. Wakati wa mchakato, nambari kuu na za mchanganyiko zinaweza kupatikana. Hiyo ni, nambari zisizidi thamani. Hiyo ni, nambari lazima ibadilishwe kuwa sababu kuu. ikiwa hii imeridhika, basi nambari a inaweza kuchukuliwa kuwa kuu.
Mfano 2
Amua nambari ya mchanganyiko au kuu 11723.
Suluhisho
Sasa unahitaji kupata vigawanyiko vyote vya nambari 11723. Haja ya kutathmini 11723 .
Kuanzia hapa tunaona kwamba 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , na 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Kwa makadirio sahihi zaidi ya nambari 11723, unahitaji kuandika usemi 108 2 = 11 664, na 109 2 = 11 881 , Hiyo 108 2 < 11 723 < 109 2 . Inafuata kwamba 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Wakati wa kupanua, tunaona kwamba 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 zote ni nambari kuu. Mchakato huu wote unaweza kuonyeshwa kama mgawanyiko kwa safu wima. Hiyo ni, gawanya 11723 na 19. Nambari 19 ni moja ya sababu zake, kwani tunapata mgawanyiko bila salio. Wacha tuwakilishe mgawanyiko kama safu:
Inafuata kwamba 11723 ni nambari ya mchanganyiko, kwa sababu kwa kuongeza yenyewe na 1 ina mgawanyiko wa 19.
Jibu: 11723 ni nambari iliyojumuishwa.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Nambari kuu ni moja ya matukio ya kuvutia zaidi ya hisabati, ambayo yamevutia umakini wa wanasayansi na raia wa kawaida kwa zaidi ya milenia mbili. Licha ya ukweli kwamba sasa tunaishi katika enzi ya kompyuta na programu za kisasa zaidi za habari, mafumbo mengi ya nambari kuu bado hayajatatuliwa; kuna hata zingine ambazo wanasayansi hawajui jinsi ya kuzikaribia.
Nambari kuu ni, kama inavyojulikana kutoka kwa hesabu ya msingi, zile ambazo zinaweza kugawanywa bila salio peke yake na yenyewe. Kwa njia, ikiwa nambari ya asili inaweza kugawanywa, pamoja na wale waliotajwa hapo juu, na nambari nyingine yoyote, basi inaitwa composite. Mojawapo ya nadharia maarufu zaidi inasema kwamba nambari yoyote ya mchanganyiko inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya kipekee ya nambari kuu.
Baadhi ya mambo ya kuvutia. Kwanza, kitengo ni cha kipekee kwa maana kwamba, kwa kweli, sio ya nambari kuu au za mchanganyiko. Wakati huo huo, katika jumuiya ya kisayansi bado ni desturi kuainisha hasa kuwa ni ya kundi la kwanza, kwani inakidhi kikamilifu mahitaji yake.
Pili, nambari pekee iliyobanwa kwenye kikundi cha "nambari kuu" ni, kwa kawaida, mbili. Nambari nyingine yoyote hata haiwezi kufika hapa, kwani kwa ufafanuzi, pamoja na yenyewe na moja, pia inaweza kugawanywa na mbili.
Nambari kuu, orodha ambayo, kama ilivyoelezwa hapo juu, inaweza kuanza na moja, inawakilisha mfululizo usio na mwisho, usio na ukomo kama mfululizo wa nambari za asili. Kulingana na nadharia ya msingi ya hesabu, tunaweza kufikia hitimisho kwamba nambari kuu haziingiliki kamwe na hazimaliziki, kwani vinginevyo mfululizo wa nambari za asili ungeingiliwa bila shaka.
Nambari kuu hazionekani kwa nasibu katika safu asili, kwani zinaweza kuonekana mwanzoni. Baada ya kuzichambua kwa uangalifu, unaweza kugundua mara moja huduma kadhaa, zinazovutia zaidi ambazo zinahusishwa na nambari zinazoitwa "mapacha". Wanaitwa hivyo kwa sababu kwa njia fulani isiyoeleweka waliishia karibu na kila mmoja, wakitenganishwa tu na delimiter hata (tano na saba, kumi na saba na kumi na tisa).
Ikiwa utaziangalia kwa karibu, utaona kwamba jumla ya nambari hizi daima ni nyingi ya tatu. Zaidi ya hayo, wakati wa kugawanya moja ya kushoto na tatu, iliyobaki daima inabaki mbili, na moja ya haki daima inabaki moja. Kwa kuongeza, usambazaji sana wa nambari hizi pamoja na mfululizo wa asili unaweza kutabiri ikiwa tunafikiria mfululizo huu wote kwa namna ya sinusoids ya oscillatory, pointi kuu ambazo zinaundwa wakati namba zinagawanywa na tatu na mbili.
Nambari kuu sio tu kitu cha kuzingatiwa kwa karibu na wanahisabati ulimwenguni kote, lakini kwa muda mrefu imekuwa ikitumika kwa mafanikio katika uundaji wa safu kadhaa za nambari, ambayo ni msingi, kati ya mambo mengine, ya cryptography. Inapaswa kutambuliwa kuwa idadi kubwa ya siri zinazohusiana na mambo haya ya ajabu bado yanangojea kutatuliwa; maswali mengi sio tu ya kifalsafa, lakini pia umuhimu wa vitendo.
Nambari kuu ni nambari asilia (chanya kamili) ambayo inaweza kugawanywa bila salio kwa nambari asilia mbili tu: yenyewe na yenyewe. Kwa maneno mengine, nambari kuu ina vigawanyiko viwili vya asili: na nambari yenyewe.
Kwa ufafanuzi, seti ya wagawanyiko wote wa nambari kuu ni vipengele viwili, i.e. inawakilisha seti.
Seti ya nambari zote kuu inaonyeshwa na ishara. Kwa hivyo, kwa sababu ya ufafanuzi wa seti ya nambari kuu, tunaweza kuandika:.
Mlolongo wa nambari kuu unaonekana kama hii:
Nadharia ya Msingi ya Hesabu
Nadharia ya Msingi ya Hesabu inasema kwamba kila nambari asilia kubwa kuliko moja inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu, na kwa njia ya kipekee, hadi mpangilio wa sababu. Kwa hivyo, nambari kuu ni za msingi " vitalu vya ujenzi»seti za nambari za asili.
Kichwa cha upanuzi wa nambari asili="Imetolewa na QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kisheria:
nambari kuu iko wapi, na . Kwa mfano, upanuzi wa kisheria wa nambari asilia inaonekana kama hii: .
Kuwakilisha nambari ya asili kama bidhaa ya primes pia inaitwa uainishaji wa nambari.
Sifa za Nambari Kuu
Ungo wa Eratosthenes
Moja ya algorithms maarufu ya kutafuta na kutambua nambari kuu ni ungo wa Eratosthenes. Kwa hivyo algorithm hii ilipewa jina la mwanahisabati wa Uigiriki Eratosthenes wa Cyrene, ambaye anachukuliwa kuwa mwandishi wa algorithm.
Ili kupata nambari kuu zote chini ya nambari fulani, kwa kufuata njia ya Eratosthenes, fuata hatua hizi:
Hatua ya 1. Andika nambari zote za asili kutoka kwa mbili hadi , i.e. .
Hatua ya 2. Weka kigezo thamani , yaani, thamani sawa na nambari kuu ndogo zaidi.
Hatua ya 3. Toa katika orodha nambari zote kutoka hadi zile ni zidishio za , yaani, nambari: .
Hatua ya 4. Tafuta nambari ya kwanza ambayo haijavuka kwenye orodha kubwa kuliko , na weka thamani ya nambari hii kwa kigezo.
Hatua ya 5. Rudia hatua ya 3 na 4 hadi nambari ifikiwe.
Mchakato wa kutumia algorithm utaonekana kama hii:
Nambari zote ambazo hazijavuka kwenye orodha mwishoni mwa mchakato wa kutumia algoriti zitakuwa seti ya nambari kuu kutoka hadi .
Dhana ya Goldbach
Jalada la kitabu “Uncle Petros and the Goldbach Hypothesis”
Licha ya ukweli kwamba nambari kuu zimesomwa na wanahisabati kwa muda mrefu, shida nyingi zinazohusiana bado hazijatatuliwa leo. Moja ya shida maarufu ambazo hazijatatuliwa ni Dhana ya Goldbach, ambayo imeundwa kama ifuatavyo:
- Ni kweli kwamba kila nambari kubwa kuliko mbili inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari mbili kuu (dhahania ya binary ya Goldbach)?
- Je, ni kweli kwamba kila nambari isiyo ya kawaida zaidi ya 5 inaweza kuwakilishwa kama jumla? tatu rahisi nambari (hypothesis ya ternary Goldbach)?
Inapaswa kusemwa kwamba nadharia ya mwisho ya Goldbach ni kesi maalum ya nadharia ya binary ya Goldbach, au kama wanahisabati wanasema, nadharia ya mwisho ya Goldbach ni dhaifu kuliko nadharia ya binary ya Goldbach.
Dhana ya Goldbach ilijulikana sana nje ya jumuiya ya hisabati mwaka wa 2000 kutokana na kudumaa kwa uuzaji na kampuni za uchapishaji za Bloomsbury USA (USA) na Faber na Faber (Uingereza). Mashirika haya ya uchapishaji, yakiwa yametoa kitabu "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture," yaliahidi kulipa zawadi ya dola milioni 1 za Kimarekani kwa yeyote atakayethibitisha nadharia ya Goldbach ndani ya miaka 2 kuanzia tarehe ya kuchapishwa kwa kitabu hicho. Wakati mwingine zawadi iliyotajwa kutoka kwa wachapishaji huchanganyikiwa na zawadi za kutatua Matatizo ya Tuzo ya Milenia. Usikose, nadharia ya Goldbach haijaainishwa na Taasisi ya Clay kama "changamoto ya milenia," ingawa inahusiana kwa karibu na Nadharia ya Riemann- moja ya "changamoto za milenia".
Kitabu "Nambari kuu. Barabara ndefu kwenda kwa ukomo"
Jalada la kitabu “Ulimwengu wa Hisabati. Nambari kuu. Barabara ndefu kwenda kwa ukomo"
Zaidi ya hayo, ninapendekeza kusoma kitabu maarufu cha sayansi kinachovutia, maelezo ambayo yanasema: "Utafutaji wa nambari kuu ni mojawapo ya matatizo ya kitendawili zaidi katika hisabati. Wanasayansi wamekuwa wakijaribu kuitatua kwa milenia kadhaa, lakini, wakikua na matoleo mapya na nadharia, siri hii bado haijatatuliwa. Kuonekana kwa nambari kuu sio chini ya mfumo wowote: zinaonekana kwa hiari katika mfululizo wa nambari za asili, na kupuuza majaribio yote ya wanahisabati kutambua mifumo katika mlolongo wao. Kitabu hiki kitamruhusu msomaji kufuatilia mageuzi ya dhana za kisayansi kutoka nyakati za kale hadi leo na kuanzisha nadharia zinazovutia zaidi za kutafuta nambari kuu.
Zaidi ya hayo, nitanukuu mwanzo wa sura ya pili ya kitabu hiki: “Nambari kuu ni mojawapo ya mada muhimu, ambayo inaturudisha kwenye asili ya hisabati, na kisha, kwenye njia ya kuongezeka kwa utata, inatuongoza kwenye mstari wa mbele. sayansi ya kisasa. Kwa hivyo, itakuwa muhimu sana kufuatilia historia ya kuvutia na ngumu ya nadharia ya nambari kuu: jinsi ilivyokua, jinsi ukweli na ukweli ambao sasa unakubaliwa kwa ujumla ulikusanywa. Katika sura hii tutaona jinsi vizazi vya wanahisabati vilisoma kwa uangalifu nambari za asili ili kutafuta sheria iliyotabiri kuonekana kwa nambari kuu - sheria ambayo ilizidi kuwa ngumu kadri utafutaji ulivyoendelea. Pia tutaangalia kwa undani muktadha wa kihistoria: chini ya hali gani wanahisabati walifanya kazi na ni kwa kiwango gani kazi yao ilihusisha mazoea ya fumbo na nusu ya kidini, ambayo hayafanani kabisa na mbinu za kisayansi, inayotumika siku hizi. Hata hivyo, polepole na kwa shida, uwanja ulitayarishwa kwa maoni mapya ambayo yaliwatia moyo Fermat na Euler katika karne ya 17 na 18.”
Jinsi uchunguzi huu ulivyofanywa unaelezewa kwa rangi na M. Gardner katika "Burudani ya Hisabati" (M., "Mir", 1972). Hiki hapa kipande (uk. 413417):
Kulingana na mpangilio wa nambari kamili, nambari kuu zinaweza kuunda muundo mmoja au mwingine. Hapo zamani za kale, mwanahisabati Stanislaw M. Ulam ilimbidi kuhudhuria kwa muda mrefu sana na, kwa maneno yake, ripoti ya kuchosha sana. Ili kujifurahisha, alichora mistari ya wima na ya mlalo kwenye karatasi na alikuwa karibu kuanza kufanya masomo ya chess, lakini kisha akabadili mawazo yake na kuanza kuhesabu makutano, akiweka 1 katikati na kusogea katika ond kinyume cha saa. Bila kufikiria tena, alizunguka nambari zote kuu. Punde, kwa mshangao wake, miduara ilianza kujipanga kwenye mistari iliyonyooka kwa ukakamavu wa ajabu. Katika Mtini. 203 inaonyesha jinsi ond iliyo na nambari mia za kwanza (kutoka 1 hadi 100) ilionekana. [ Hili ni toleo la zamu mbili la Mchoro wa 1 hapo juu, kwa hivyo sijumuishi hapa. ? E.G.A.] Kwa urahisi, nambari zimeandikwa kwenye seli na hazisimama kwenye makutano ya mistari.
Karibu na katikati, usawazishaji wa nambari kuu kwenye mistari iliyonyooka bado ungeweza kutarajiwa, kwani msongamano wa nambari kuu mwanzoni ni kubwa na zote, isipokuwa nambari 2, ni za kushangaza. Ikiwa seli ubao wa chess renumber katika ond, basi nambari zote zisizo za kawaida zitaanguka kwenye seli za rangi sawa. Kuchukua pawns 17 (sambamba na nambari kuu 17 zisizozidi nambari 64) na kuziweka kwa nasibu kwenye miraba ya rangi sawa, utaona kwamba pawns zimewekwa kwenye mistari ya diagonal. Walakini, hakukuwa na sababu ya kutarajia kwamba katika eneo la idadi kubwa, ambapo msongamano wa nambari kuu ni kidogo sana, pia wangejipanga kwenye mistari iliyonyooka. Ulam alipendezwa na jinsi mzunguko wake ungekuwa kama ungepanuliwa hadi nambari kuu elfu kadhaa.
Katika idara ya kompyuta ya Maabara ya Los Alamos, ambapo Ulam alifanya kazi, kulikuwa na mkanda wa sumaku ambao nambari kuu milioni 90 zilirekodiwa. Ulam, pamoja na Myron L. Stein na Mark B. Wells, walitayarisha programu kwa ajili ya kompyuta ya MANIAC ambayo ilifanya iwezekane kupanga nambari kamili mfululizo kutoka 1 hadi 65,000 kwenye ond. Mchoro unaotokana (wakati mwingine huitwa “Nguo ya meza ya Ulam”) inaonyeshwa. katika Mtini. 204. [ Na hili ni toleo lililopanuliwa la Kielelezo cha 2 hapo juu, kwa hivyo ninawasilisha. ? E.G.A.] Tafadhali kumbuka kuwa hata kwenye ukingo wa picha, nambari kuu zinaendelea kutoshea kwa utii kwenye mistari iliyonyooka.
Kwanza kabisa, nguzo za nambari kuu kwenye diagonal zinashangaza, lakini tabia nyingine ya nambari kuu kujipanga kwa wima na. mistari ya mlalo, ambamo seli zote zisizo na nambari kuu huchukuliwa na nambari zisizo za kawaida. Nambari kuu zinazoanguka kwenye mistari iliyonyooka iliyopanuliwa zaidi ya sehemu ambayo ina nambari zinazofuatana zilizolala kwenye zamu fulani ya ond inaweza kuzingatiwa maadili ya misemo fulani ya quadratic inayoanza na neno 4. x². Kwa mfano, mlolongo wa nambari kuu 5, 19, 41, 71, ziko kwenye moja ya diagonal kwenye Mtini. 204, haya ni maadili yaliyochukuliwa na quadratic trinomial 4 x² +10 x+ 5 saa x, sawa na 0, 1, 2 na 3. Kutoka kwa Mtini. 204 ni wazi kwamba misemo ya quadratic ambayo huchukua maadili kuu inaweza kuwa "maskini" (kutoa nambari kuu chache) na "tajiri" na kwamba kwenye mistari "tajiri" kuna "kutawanyika" kwa nambari kuu.
Kwa kuanza ond sio kutoka 1, lakini kutoka kwa nambari nyingine, tunapata misemo mingine ya quadratic kwa nambari kuu zilizopangwa kwa mistari iliyonyooka. Fikiria ond kuanzia namba 17 (Mchoro 205, kushoto). Nambari zilizo kando ya mlalo mkuu unaoanzia "kaskazini mashariki" hadi "kusini-magharibi" hutolewa na utatu wa 4. x² +2 x+ 17. Kubadilisha maadili chanya x, tunapata nusu ya chini ya diagonal kwa kubadilisha maadili hasi kwa nusu ya juu. Ikiwa tutazingatia diagonal nzima na kupanga upya nambari kuu kwa mpangilio wa kupanda, zinageuka (na hii ni mshangao mzuri) kwamba nambari zote zinaelezewa na formula rahisi. x² + x+ 17. Hii ni mojawapo ya fomula nyingi za "kuzalisha" za nambari kuu zilizogunduliwa nyuma katika karne ya 18 na mwanahisabati mkuu Leonhard Euler. Katika x, kuchukua maadili kutoka 0 hadi 15, inatoa nambari kuu tu. Kwa hiyo, ikiwa tunaendelea diagonal mpaka ijaze mraba 16 x 1 6, tunaona kwamba diagonal nzima imejaa nambari kuu.
Euler's quadratic trinomial maarufu zaidi, inayozalisha nambari kuu, x² + x+ 41, inageuka ikiwa unapoanza ond na nambari 41 (Mchoro 205, kulia). Utatu huu hukuruhusu kupata nambari kuu 40 mfululizo zinazojaza ulalo mzima wa mraba 40x4 0! Imejulikana kwa muda mrefu kuwa kati ya maadili 2398 ya kwanza yaliyochukuliwa na trinomial hii, nusu ni rahisi. Baada ya kupitia maadili yote ya trinomial maarufu ambayo haikuzidi 10,000,000, Ulam, Stein na Wells waligundua kuwa sehemu ya nambari kuu kati yao ilikuwa 0.475... . Wanahisabati wangependa sana kugundua fomula inayowaruhusu kupata kila mtu kwa ujumla x nambari kuu kadhaa, lakini hadi sasa hakuna fomula kama hiyo iliyopatikana. Labda haipo.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Mchele. 205. Milalo iliyojazwa na nambari kuu zinazozalishwa na trinomia za quadratic x² + x+ 17 (kushoto) na x² + x+ 41 (kulia). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ulam Spiral iliibua maswali mengi mapya kuhusu muundo na nasibu katika usambazaji wa nambari kuu. Je, kuna mistari iliyo na nambari kuu nyingi sana? Ni msongamano gani wa juu wa usambazaji wa nambari kuu kwenye mistari? Je, mgawanyo wa msongamano wa nambari kuu katika roboduara za kitambaa cha meza cha Ulam hutofautiana kwa kiasi kikubwa, ikiwa tunadhania kwamba inaendelea kwa muda usiojulikana? Ulam Spiral ni ya kufurahisha, lakini inapaswa kuchukuliwa kwa uzito.