1.21. 3 DAMPED, OSCILLATIONS LAZIMA
Equation tofauti ya oscillations damped na ufumbuzi wake. Mgawo wa kupunguza. Dawati la Logarithmicwakati wa kuoza.Sababu ya ubora wa oscillationmfumo wa mwili.Mchakato wa Aperiodic. Equation tofauti ya oscillations ya kulazimishwa na ufumbuzi wake.Amplitude na awamu ya oscillations ya kulazimishwa. Mchakato wa kuanzisha oscillations. Kesi ya resonance.Kujifanya oscillations.
Damping ya oscillations ni kupungua kwa taratibu kwa amplitude ya oscillations kwa muda, kutokana na kupoteza nishati na mfumo wa oscillatory.
Oscillations asili bila damping ni idealization. Sababu za kupungua inaweza kuwa tofauti. Katika mfumo wa mitambo, vibrations hupunguzwa na kuwepo kwa msuguano. Wakati nishati yote iliyohifadhiwa katika mfumo wa oscillatory inatumiwa, oscillations itaacha. Kwa hiyo amplitude oscillations damped hupungua hadi inakuwa sawa na sifuri.
Oscillations damped, kama oscillations asili, katika mifumo ambayo ni tofauti katika asili, inaweza kuchukuliwa kutoka hatua moja ya mtazamo - sifa ya kawaida. Hata hivyo, sifa kama vile amplitude na kipindi zinahitaji ufafanuzi upya, na nyingine zinahitaji kuongeza na ufafanuzi kwa kulinganisha na sifa sawa kwa oscillations asili undamped. Vipengele vya jumla na dhana za oscillations yenye unyevu ni kama ifuatavyo.
Equation tofauti lazima ipatikane kwa kuzingatia kupungua kwa nishati ya vibrational wakati wa mchakato wa oscillation.
Equation ya oscillation ni suluhisho la equation tofauti.
Amplitude ya oscillations damped inategemea wakati.
Mzunguko na kipindi hutegemea kiwango cha kupungua kwa oscillations.
Awamu na awamu ya awali ina maana sawa na kwa oscillations kuendelea.
Oscillations yenye unyevu wa mitambo.
Mfumo wa mitambo : spring pendulum kwa kuzingatia nguvu za msuguano.
Vikosi vinavyofanya kazi kwenye pendulum :
Nguvu ya elastic., ambapo k ni mgawo wa ugumu wa chemchemi, x ni uhamishaji wa pendulum kutoka kwa nafasi ya usawa.
Nguvu ya upinzani. Hebu fikiria nguvu ya upinzani sawia na kasi v ya harakati (utegemezi huu ni wa kawaida kwa darasa kubwa la nguvu za upinzani): . Ishara ya minus inaonyesha kwamba mwelekeo wa nguvu ya upinzani ni kinyume na mwelekeo wa kasi ya mwili. Mgawo wa kukokota r kwa nambari ni sawa na nguvu ya kukokota inayotokea kwa kasi ya kitengo cha harakati za mwili:
Sheria ya mwendo spring pendulum - hii ni sheria ya pili ya Newton:
m a = F mfano. + F upinzani
Kwa kuzingatia kwamba wote wawili 
, tunaandika sheria ya pili ya Newton katika fomu:
. (21.1)
Kugawanya masharti yote ya equation kwa m na kuwahamisha wote kwa upande wa kulia, tunapata equation tofauti oscillations damped:
Wacha tuonyeshe wapi β – mgawo wa kupunguza ,, wapi ω 0 - mzunguko wa oscillations ya bure bila kupunguzwa kwa kutokuwepo kwa hasara za nishati katika mfumo wa oscillatory.
Katika nukuu mpya, equation ya kutofautisha ya oscillations yenye unyevu ina fomu:
.
(21.2)
Huu ni mlingano wa tofauti wa mpangilio wa pili.
Mlinganyo huu wa tofauti za mstari hutatuliwa kwa kubadilisha vigeu. Wacha tuwakilishe kazi x, kulingana na wakati t, katika fomu:
.
Wacha tupate derivatives ya kwanza na ya pili ya kazi hii kwa heshima na wakati, kwa kuzingatia kwamba kazi z pia ni kazi ya wakati:
,
.
Wacha tubadilishe misemo katika equation ya kutofautisha:
Wacha tuwasilishe maneno sawa katika equation na tupunguze kila neno kwa , tunapata equation:
.
Wacha tuonyeshe wingi 
.
Kutatua equation 
ni kazi, .
Kurudi kwa kutofautisha x, tunapata fomula za milinganyo ya oscillations yenye unyevu:
Hivyo , equation ya oscillations damped ni suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha (21.2):
Mzunguko wa unyevu :
(mzizi halisi pekee ndio una maana ya kimwili, kwa hivyo).
Kipindi cha oscillations damped :
(21.5)
Maana ambayo iliwekwa katika dhana ya kipindi cha oscillations isiyopunguzwa haifai kwa oscillations yenye unyevu, kwani mfumo wa oscillatory haurudi kwenye hali yake ya awali kutokana na hasara ya nishati ya oscillatory. Katika uwepo wa msuguano, vibrations ni polepole:.
Kipindi cha oscillations damped ni kipindi cha chini cha muda ambacho mfumo hupitisha nafasi ya usawa mara mbili katika mwelekeo mmoja.
Kwa mfumo wa mitambo ya pendulum ya chemchemi tunayo:
,
.
Amplitude ya oscillations damped :
Kwa pendulum ya spring.
Amplitude ya oscillations damped si thamani ya mara kwa mara, lakini mabadiliko ya muda, kasi zaidi mgawo β. Kwa hiyo, ufafanuzi wa amplitude, iliyotolewa mapema kwa oscillations ya bure isiyopunguzwa, lazima ibadilishwe kwa oscillations yenye unyevu.
Kwa attenuations ndogo amplitude ya oscillations damped inaitwa kupotoka kubwa zaidi kutoka kwa nafasi ya usawa kwa muda.
Chati Uhamisho dhidi ya wakati na amplitude dhidi ya viwanja vya wakati umewasilishwa katika Mchoro 21.1 na 21.2.
Mchoro 21.1 - Utegemezi wa uhamisho kwa wakati kwa oscillations yenye unyevu.
Mchoro 21.2 - Utegemezi wa amplitude kwa wakati kwa oscillations damped
Tabia ya oscillations damped.
1. Mgawo wa kupunguza β .
Ukubwa wa oscillations yenye unyevu hubadilika kulingana na sheria ya kielelezo:
Hebu amplitude ya oscillation ipungue kwa mara "e" wakati wa τ ("e" ni msingi wa logarithm ya asili, e ≈ 2.718). Kisha, kwa upande mmoja, 
, na kwa upande mwingine, baada ya kuelezea amplitudes A zat. (t) na A zat. (t+τ), tunayo 
. Kutoka kwa mahusiano haya inafuata βτ = 1, kwa hivyo .
Muda wa muda τ , wakati ambapo amplitude hupungua kwa nyakati "e", inaitwa wakati wa kupumzika.
Mgawo wa kupunguza β - kiasi kinyume na uwiano na wakati wa kupumzika.
2. Upungufu wa unyevu wa logarithmic δ - kiasi halisi kiidadi sawa na logariti asilia ya uwiano wa amplitudi mbili zinazofuatana zilizotenganishwa kwa wakati na kipindi.
Ikiwa attenuation ni ndogo, i.e. thamani ya β ni ndogo, basi amplitude hubadilika kidogo kwa kipindi hicho, na kupungua kwa logarithmic kunaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:
,
yuko wapi A zat. (t) na A zat. (t + NT) - amplitudes ya oscillations kwa wakati e na baada ya vipindi vya N, yaani kwa wakati (t + NT).
3. Sababu ya ubora Q mfumo wa oscillatory - kiasi cha kimwili kisicho na kipimo sawa na bidhaa ya wingi (2π) ν na uwiano wa nishati W (t) ya mfumo kwa wakati wa kiholela hadi kupoteza nishati kwa kipindi kimoja cha oscillations yenye unyevu:
.
Kwa kuwa nishati ni sawia na mraba wa amplitude, basi
Kwa maadili madogo ya kupungua kwa logarithmic δ, kipengele cha ubora wa mfumo wa oscillatory ni sawa na
,
ambapo N e ni idadi ya oscillations wakati amplitude inapungua kwa mara "e".
Kwa hivyo, kipengele cha ubora wa pendulum ya spring ni, juu ya kipengele cha ubora wa mfumo wa oscillatory, kupungua kidogo, mchakato wa mara kwa mara katika mfumo huo utaendelea. Sababu ya ubora wa mfumo wa oscillatory - kiasi kisicho na kipimo kinachoashiria utawanyiko wa nishati kwa wakati.
4. Kadiri mgawo β unavyoongezeka, mzunguko wa oscillations yenye unyevu hupungua na kipindi huongezeka. Katika ω 0 = β, mzunguko wa oscillations damped inakuwa sawa na sifuri ω zat. = 0, na T zat. = ∞. Katika kesi hii, oscillations hupoteza tabia yao ya mara kwa mara na huitwa ya mara kwa mara.
Kwa ω 0 = β, vigezo vya mfumo vinavyohusika na kupungua kwa nishati ya vibrational huchukua maadili yanayoitwa muhimu . Kwa pendulum ya chemchemi, hali ω 0 = β itaandikwa kama ifuatavyo: kutoka ambapo tunapata wingi. mgawo muhimu wa upinzani:
.
Mchele. 21.3. Utegemezi wa amplitude ya oscillations ya aperiodic kwa wakati
Mitetemo ya kulazimishwa.
Oscillations zote halisi ni damped. Ili oscillations halisi kutokea kwa muda wa kutosha, ni muhimu mara kwa mara kujaza nishati ya mfumo wa oscillatory kwa kutenda juu yake kwa nguvu ya nje ya kubadilisha mara kwa mara.
Wacha tuzingatie uzushi wa oscillations ikiwa ya nje (kulazimisha) mabadiliko ya nguvu kulingana na wakati kulingana na sheria ya usawa. Katika kesi hii, oscillations itatokea katika mifumo, asili ambayo, kwa kiwango kimoja au nyingine, kurudia asili ya nguvu ya kuendesha gari. Oscillations vile huitwa kulazimishwa .
Ishara za jumla za vibrations za kulazimishwa za mitambo.
1. Hebu tuzingatie oscillations ya mitambo ya kulazimishwa ya pendulum ya spring, ambayo inafanywa na nje. (kulazimisha
)
nguvu ya mara kwa mara 
. Nguvu zinazofanya kazi kwenye pendulum, mara moja zimeondolewa kwenye nafasi yake ya usawa, zinaendelea katika mfumo wa oscillatory yenyewe. Hizi ni nguvu ya elastic na nguvu ya upinzani.
Sheria ya mwendo (Sheria ya pili ya Newton) itaandikwa kama ifuatavyo:
(21.6)
Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na m, zingatia hiyo , na upate equation tofauti oscillations ya kulazimishwa:
Wacha tuonyeshe ( β – mgawo wa kupunguza ), (ω 0 - mzunguko wa undamped oscillations bure), kulazimisha kutenda kwenye kitengo cha molekuli. Katika nukuu hizi equation tofauti oscillations ya kulazimishwa itachukua fomu:
(21.7)
Huu ni mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa pili na upande wa kulia wa nonzero. Suluhisho la equation kama hiyo ni jumla ya suluhisho mbili
.
- suluhisho la jumla la usawa wa tofauti wa homogeneous, i.e. mlinganyo tofauti bila upande wa kulia wakati ni sawa na sifuri. Tunajua suluhisho kama hilo - hii ni equation ya oscillations yenye unyevu, iliyoandikwa kwa usahihi wa mara kwa mara, thamani ambayo imedhamiriwa na hali ya awali ya mfumo wa oscillatory:
Wapi 
.
Tulijadili hapo awali kuwa suluhisho linaweza kuandikwa kwa suala la kazi za sine.
Ikiwa tunazingatia mchakato wa oscillations ya pendulum baada ya muda wa kutosha wa muda Δt baada ya kuwasha nguvu ya kuendesha gari (Mchoro 21.2), basi oscillations damped katika mfumo itakuwa kivitendo kuacha. Na kisha kutatua equation tofauti na upande wa kulia kutakuwa na suluhu.
Suluhisho ni suluhisho fulani kwa usawa wa kutofautiana wa inhomogeneous, i.e. equations na upande wa kulia. Kutoka kwa nadharia milinganyo tofauti inajulikana kuwa kwa upande wa kulia ukibadilika kulingana na sheria ya usawa, suluhisho litakuwa kazi ya usawa (sin au cos) na mzunguko wa mabadiliko unaolingana na frequency Ω ya mabadiliko ya upande wa kulia:
ambapo A ampl. - amplitude ya oscillations ya kulazimishwa, φ 0 - mabadiliko ya awamu , hizo. tofauti ya awamu kati ya awamu ya nguvu ya kuendesha gari na awamu ya oscillation ya kulazimishwa. Na amplitude A ampl. , na mabadiliko ya awamu φ 0 hutegemea vigezo vya mfumo (β, ω 0) na kwa mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari Ω.
Kipindi cha oscillations ya kulazimishwa sawa (21.9)
Grafu ya mitetemo ya kulazimishwa kwenye Mchoro 4.1.
Mchoro.21.3. Grafu ya oscillation ya kulazimishwa
Oscillations ya kulazimishwa kwa hali thabiti pia ni ya usawa.
Utegemezi wa amplitude ya oscillations ya kulazimishwa na mabadiliko ya awamu juu ya mzunguko wa ushawishi wa nje. Resonance.
1. Hebu turudi kwenye mfumo wa mitambo ya pendulum ya spring, ambayo inafanywa na nguvu ya nje ambayo inatofautiana kulingana na sheria ya harmonic. Kwa mfumo kama huo, equation ya kutofautisha na suluhisho lake, mtawaliwa, zina fomu:
,
.
Wacha tuchambue utegemezi wa amplitude ya oscillation na mabadiliko ya awamu kwenye mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari ya nje; kwa kufanya hivyo, tutapata derivatives ya kwanza na ya pili ya x na kuzibadilisha katika equation ya kutofautisha.
Hebu tumia mbinu mchoro wa vector. Mlinganyo unaonyesha kuwa jumla ya mitetemo mitatu iliyo upande wa kushoto wa mlinganyo (Mchoro 4.1) lazima iwe sawa na mtetemo wa upande wa kulia. Mchoro wa vekta unafanywa kwa wakati wa kiholela t. Kutoka kwake unaweza kuamua.
Kielelezo 21.4.
, (21.10)
. (21.11)
Kwa kuzingatia thamani ya , ,, tunapata fomula za φ 0 na A ampl. mfumo wa mitambo:
,
.
2. Tunasoma utegemezi wa amplitude ya oscillations ya kulazimishwa juu ya mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari na ukubwa wa nguvu ya upinzani katika mfumo wa mitambo ya oscillating, kwa kutumia data hizi tunajenga grafu. 
. Matokeo ya utafiti yanaonyeshwa kwenye Mchoro 21.5, ambayo inaonyesha kuwa kwa mzunguko fulani wa nguvu ya kuendesha gari 
amplitude ya oscillations huongezeka kwa kasi. Na ongezeko hili ni kubwa zaidi, chini ya mgawo wa attenuation β. Wakati amplitude ya oscillations inakuwa kubwa sana.
Jambo la kuongezeka kwa kasi kwa amplitude oscillations kulazimishwa katika mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari sawa na , inaitwa resonance.
(21.12)
Mikunjo katika Mchoro 21.5 inaonyesha uhusiano 
na wanaitwa mikunjo ya sauti ya amplitude
.
Mchoro 21.5 - Grafu za utegemezi wa amplitude ya oscillations kulazimishwa juu ya mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari.
Amplitude ya oscillations ya resonant itachukua fomu:
Mitetemo ya kulazimishwa ni isiyo na ukandamizaji kushuka kwa thamani. Hasara za nishati zisizoweza kuepukika kutokana na msuguano hulipwa na usambazaji wa nishati kutoka kwa chanzo cha nje cha nguvu ya kutenda mara kwa mara. Kuna mifumo ambayo oscillations undamped hutokea si kutokana na mvuto wa nje mara kwa mara, lakini kutokana na uwezo wa mifumo hiyo ya kudhibiti usambazaji wa nishati kutoka chanzo mara kwa mara. Mifumo kama hiyo inaitwa kujizungusha, na mchakato wa oscillations undamped katika mifumo hiyo ni oscillations binafsi.
Katika mfumo wa kujitegemea, vipengele vitatu vya sifa vinaweza kutofautishwa - mfumo wa oscillatory, chanzo cha nishati, na kifaa cha maoni kati ya mfumo wa oscillatory na chanzo. Mfumo wowote wa mitambo wenye uwezo wa kufanya oscillations yake ya unyevu (kwa mfano, pendulum ya saa ya ukuta) inaweza kutumika kama mfumo wa oscillatory.
Chanzo cha nishati kinaweza kuwa nishati ya deformation ya chemchemi au nishati inayowezekana ya mzigo kwenye uwanja wa mvuto. Kifaa cha maoni ni utaratibu ambao mfumo wa kujitegemea unadhibiti mtiririko wa nishati kutoka kwa chanzo. Katika Mtini. Mchoro 21.6 unaonyesha mchoro wa mwingiliano wa vipengele mbalimbali vya mfumo wa kujitegemea.
Mfano wa mfumo wa kujitegemea wa mitambo ni utaratibu wa saa na nanga maendeleo (Mchoro 21.7.). Gurudumu la kukimbia na meno ya oblique imefungwa kwa ukali kwenye ngoma ya toothed, kwa njia ambayo mnyororo wenye uzito hutupwa. Katika mwisho wa juu wa pendulum kuna nanga (nanga) yenye sahani mbili za nyenzo ngumu, zilizopigwa kando ya arc ya mviringo na katikati kwenye mhimili wa pendulum. Katika saa za mikono, uzito hubadilishwa na chemchemi, na pendulum inabadilishwa na usawa - gurudumu la mkono lililounganishwa na chemchemi ya ond.
|
|
|
Kielelezo 21.7. Utaratibu wa saa na pendulum. |
Kisawazisha hufanya mitetemo ya torsion karibu na mhimili wake. Mfumo wa oscillatory katika saa ni pendulum au balancer. Chanzo cha nishati ni uzito ulioinuliwa au chemchemi ya jeraha. Kifaa kinachotumiwa kutoa maoni ni nanga, ambayo inaruhusu gurudumu la kukimbia kugeuza jino moja katika nusu ya mzunguko.
Maoni hutolewa na mwingiliano wa nanga na gurudumu la kukimbia. Kwa kila oscillation ya pendulum, jino la gurudumu la kukimbia linasukuma uma wa nanga katika mwelekeo wa harakati ya pendulum, kuhamisha sehemu fulani ya nishati, ambayo hulipa fidia kwa hasara za nishati kutokana na msuguano. Kwa hivyo, nishati inayowezekana ya uzito (au chemchemi iliyopotoka) ni hatua kwa hatua, katika sehemu tofauti, kuhamishiwa kwenye pendulum.
Mifumo ya kujiendesha ya mitambo imeenea katika maisha karibu nasi na katika teknolojia. Kujigeuza kunatokea katika injini za mvuke, injini za mwako wa ndani, kengele za umeme, nyuzi za vyombo vya muziki vilivyoinama, nguzo za hewa kwenye mabomba ya vyombo vya upepo; kamba za sauti wakati wa kuzungumza au kuimba, nk.
Harakati za mitambo daima hufuatana na msuguano. Msuguano husababisha upotezaji wa nishati ya mitambo. Upotezaji wa nishati hutokea katika mifumo yoyote ya oscillatory isiyoboreshwa; husababisha uchafu wa oscillations ya asili.
Ufafanuzi
Oscillations damped inayoitwa oscillations, amplitude ambayo hatua kwa hatua hupungua kwa muda kutokana na kupoteza nishati na mfumo wa oscillatory.
Equation ya oscillations ya pendulum spring na damping
Wakati mwingine, ikiwa mwili unasonga katika dutu, nguvu ya kuvuta ($(\overline(F))_(tr)$), ambayo hufanya kazi kwa mwili unaohusika, kwa kasi ya chini ya harakati zake, inachukuliwa kuwa sawa na kasi ($\overline(v)$ ):
\[(\overline(F))_(tr)=-\beta \overline(v)\left(1\kulia),\]
ambapo $\beta$ ni mgawo wa upinzani.
Nguvu hii inazingatiwa katika mlinganyo wa sheria ya pili ya Newton wakati wa kuelezea mwendo. Kwa hivyo, equation inayoelezea oscillations ya wima ya mstari (oscillations kando ya mhimili wa X) wa pendulum ya spring, kwa kuzingatia nguvu ya msuguano, inachukua fomu:
ambapo $\dot(x)=v_x.$ Kwa kuzingatia usawa:
\[(\omega )^2_0=\frac(k)(m);;2\gamma =\frac(\beta )(m)\kushoto(3\kulia),\]
(ambapo $(\omega )_0$ ni mzunguko wa mzunguko wa misisitizo isiyolipishwa isiyolipishwa (masafa ya asili ya msisimko katika $\gamma $=0) ya mfumo sawa wa oscillatory; $\gamma $ ndio mgawo wa unyevu) tunabadilisha mlinganyo wa oscillations ya pendulum ya chemchemi yenye unyevu (2) kwa fomu:
\[\ddot(x)+2\gamma \dot(x)+(\omega )^2_0x=0\ \kushoto(4\kulia).\]
Oscillations ndogo ya asili, iliyopigwa kutokana na upinzani wa kati katika mfumo wowote wa kimwili (pendulum ya hisabati, pendulum ya kimwili, oscillations ya umeme ...) inaelezwa kwa kutumia equation ya fomu (4).
Equation ya oscillations damped ina suluhisho halisi:
ambapo $\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\gamma )^2)$; $A_0$ ni amplitude ya awali ya oscillations maalum na hali ya awali; $\varphi $ - mara kwa mara kutoka masharti ya awali. Katika $\gamma \ll (\omega )_0$, $\omega \takriban (\omega )_0$, kigezo $A_0e^(-\gamma t)$ kinaweza kuzingatiwa kama ukubwa wa mizunguko inayobadilika polepole kulingana na wakati.
Kupungua kwa oscillations kwa kasi ni kutokana na ukweli kwamba tulichukua nguvu ya upinzani kuwa sawia na kasi. Ikiwa tunatumia utegemezi tofauti wa nguvu ya msuguano kwa kasi, sheria ya kupunguza itabadilika.
Upotezaji wa nishati wakati wa oscillations yenye unyevu
Hebu damping iwe ndogo, lakini hasara ya nishati ya mfumo wa oscillatory katika kipindi kimoja ni kidogo sana kuliko nishati ya oscillation.
Utoaji wa nishati wakati wa kipindi cha oscillation haitokei sare kutokana na oscillation nishati ya kinetic($E_k$). Equation ya kupungua kwa nishati wakati wa oscillations yenye unyevu itakuwa na fomu:
\[\frac(dE)(dt)=-\frac(2\beta )(m)\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]
ambapo $\frac(dE)(dt)$ ni kiwango cha mabadiliko ya nishati ya mtetemo; $\left\langle E_k\right\rangle $ - thamani ya wastani nishati ya kinetic wakati wa oscillation. Equation (6) haitumiki kwa vipindi vya muda ambavyo ni chini ya kipindi cha oscillation.
Kwa kuwa tunaona kudhoofisha kuwa ndogo, $\left\langle E_k\right\rangle $ inaweza kuchukuliwa sawa (kama katika oscillations ya bure) hadi nusu ya jumla ya nishati ya oscillator:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac(E)(2)\left(7\right).\]
Katika kesi hii, equation (6) inaweza kuandikwa kama:
\[\frac(dE)(dt)=-2\gamma E\ \kushoto(8\kulia).\]
Usemi (8) unaonyesha tabia ya "laini" ya nishati ya oscillation (ikiwa maelezo ya mabadiliko ya nishati katika kipindi kimoja cha oscillation hayapendezi). Inaonyesha kwamba kiwango cha mabadiliko ya nishati ni sawia na nishati yenyewe. Suluhisho la equation (8) ni kazi:
ambapo $E_0$ ni thamani ya nishati ya mfumo wa oscillatory katika wakati wa mwanzo.
Kwa kuwa nishati ya oscillation ni sawia na mraba wa amplitude ($E\sim A^2$), tunaandika mabadiliko katika amplitude ya oscillation kwa muda mrefu (kwa kulinganisha na kipindi cha oscillation) kama kazi:
$A_0$ ni ukubwa wa awali wa oscillations.
Maisha ya oscillations. Kipindi cha oscillations damped. Kupungua kwa attenuation
Kutoka kwa formula (10) ni wazi kwamba amplitude ya oscillations damped hupungua kwa kasi. Wakati huo $\tau =\frac(1)(\gamma )$ amplitude hupungua kwa mara $e$ na hii haitegemei $A_0$. Wakati $\tau $ katika kesi hii inaitwa maisha ya oscillations (au wakati wa kupumzika) (licha ya ukweli kwamba, kwa mujibu wa kujieleza (9), oscillations inapaswa kudumu kwa muda usiojulikana). Thesis kuhusu udogo wa damping ina maana kwamba maisha ya oscillations si usio, lakini muda mrefu zaidi kuliko kipindi chao ($\tau \gg T$). Wakati wa maisha, harakati nyingi za oscillatory hutokea.
Kwa kusema kweli, oscillations yenye unyevu sio harakati za mara kwa mara. Kipindi ndani kwa kesi hii Muda wa muda kati ya kupotoka kwa kiwango cha juu zaidi mbili mfululizo kutoka kwa nafasi ya usawa huzingatiwa.
Kipindi cha oscillations yenye unyevu kinazingatiwa sawa na:
Acha $A\left(t\right)\ na\ A(t+T)$ iwe amplitudes ya oscillations mbili zinazofuatana, ambazo nyakati zake hutofautiana kwa kipindi. Uwiano wa amplitudes hizi, zifuatazo (10), ni sawa na:
\[\frac(A\kushoto(t\kulia))(A(t+T))=e^(\gamma T)(12)\]
inayoitwa kupungua kwa unyevu. Logariti asilia ya kupungua kwa unyevu ($\theta$):
\[\theta =(\ln \kushoto(\frac(A\left(t\right))(A\left(t+T\right))\right)\ )=\gamma T=\frac(T) (\tau )=\frac(1)(N_e)(13)\]
inayoitwa kupungua kwa logarithmic. Kwa mfumo wa oscillatory $\theta $ ni thamani ya mara kwa mara.
Mifano ya matatizo na ufumbuzi
Mfano 1
Zoezi. Ni mgawo gani wa unyevu wa pendulum ($\gamma $), ikiwa kwa $\Delta t$ amplitude ya oscillations yake ilipungua kwa $n$ mara?
Suluhisho. Kama msingi wa kutatua tatizo, tunachukua equation ya oscillations damped katika fomu:
Kulingana na hali ya shida tunayo:
\[\frac(A_1)(A_2)=n.\]
Upande mwingine:
ambapo $t_2-t_1=\Delta t$. Wacha tupate logarithm asili ya pande za kulia na kushoto za usemi (1.2), tunapata:
\[(\ln \kushoto(\frac(A_1)(A_2)\kulia)\ )=\gamma \Delta t\kushoto(1.3\kulia).\]
Hebu tueleze $\gamma $ kutoka (1.3) na tuzingatie kwamba $\frac(A_1)(A_2)=n$:
\[\gamma =\frac((\ln \left(\frac(A_1)(A_2)\right)\ ))(\Delta t)=\gamma =\frac((\ln n\ ))(\Delta t).\]
Jibu.$\gamma =\frac((\ln\ ))(\Delta t)$
Mfano 2
Zoezi. Ni nini njia ya awamu ya oscillation yenye unyevu?
Suluhisho. Njia ya awamu ni mwendo wa mwendo katika ndege $\left(x;;v\right).$ Mkengeuko $x$ umepangwa pamoja na mhimili wa abscissa, na kasi $v$ imepangwa pamoja na mhimili wa kuratibu. Kila harakati kwa wakati $t$ inalingana na sehemu inayowakilisha; kwenye ndege maalum, viwianishi vyake $\left(x,v\kulia),$ vimedhamiriwa kipekee na maadili ya papo hapo ya kupotoka na kasi. Hatua hiyo inasonga kwa muda na inaelezea trajectory (Mchoro 1). Katika kesi hii, wakati hufanya kama parameta, equation ya trajectory ya awamu huathiriwa na kazi:
Njia ya awamu ya oscillation yenye unyevu, ikiwa
\[(\overline(F))_(tr)=-\beta \overline(v)\left(2.2\kulia),\]
ni ond wazi ambayo inazunguka asili ya kuratibu (Mchoro 1). Ikiwa uchafu wa oscillations ni mdogo, yaani, wakati wa maisha yake mfumo wa oscillatory hufanya oscillations nyingi, idadi ya zamu ya ond katika ndege ya awamu itakuwa sawa.
Oscillations damped
Oscillations damped ya pendulum spring
Oscillations damped- vibrations ambazo nishati hupungua kwa muda. Mchakato wa kudumu wa spishi hauwezekani kwa maumbile. Oscillations bure ya oscillator yoyote mapema au baadaye fade na kuacha. Kwa hiyo, katika mazoezi sisi kawaida kukabiliana na oscillations damped. Wao ni sifa ya ukweli kwamba amplitude ya oscillations A ni kazi inayopungua. Kwa kawaida, upunguzaji hutokea chini ya ushawishi wa nguvu za upinzani za kati, mara nyingi huonyeshwa kama utegemezi wa mstari juu ya kasi ya oscillation au mraba wake.
Katika acoustics: attenuation - kupunguza kiwango cha ishara ili kukamilisha kutosikika.
Oscillations damped ya pendulum spring
Hebu kuwe na mfumo unaojumuisha chemchemi (chini ya sheria ya Hooke), mwisho wake mmoja umewekwa kwa ukali, na kwa upande mwingine kuna mwili wa molekuli. m. Oscillations hutokea katika kati ambapo nguvu ya upinzani ni sawia na kasi na mgawo c(tazama msuguano wa viscous).
Mizizi ambayo huhesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo
Ufumbuzi
Kulingana na thamani ya mgawo wa attenuation, suluhisho imegawanywa katika chaguzi tatu zinazowezekana.
- Aperiodicity
Ikiwa , basi kuna mizizi miwili halisi, na suluhisho la equation ya kutofautisha inachukua fomu:
Katika kesi hii, oscillations kuoza exponentially tangu mwanzo.
- Kikomo cha aperiodicity
Ikiwa , mizizi miwili halisi inaambatana, na suluhisho la equation ni:
Katika kesi hii, kunaweza kuwa na ongezeko la muda, lakini kisha kuoza kwa kielelezo.
- Attenuation dhaifu
Ikiwa , basi suluhisho la equation ya tabia ni mizizi miwili ya conjugate
Kisha suluhisho la equation ya awali ya tofauti ni
Ambapo ni mzunguko wa asili wa oscillations damped.
Viwango na katika kila kesi imedhamiriwa kutoka kwa hali ya awali:
Angalia pia
- Kupungua kwa attenuation
Fasihi
Lit.: Savelyev I.V., Kozi ya Fizikia ya Jumla: Mechanics, 2001.
Wikimedia Foundation. 2010.
Tazama ni nini "mizunguko iliyopunguzwa" katika kamusi zingine:
Oscillations damped- Oscillations damped. Mtetemo ILIYOPONYESHWA, mizunguko ambayo amplitude A inapungua kwa wakati kwa sababu ya upotezaji wa nishati: ubadilishaji wa nishati ya oscillation kuwa joto kama matokeo ya msuguano mifumo ya mitambo(kwa mfano, katika hatua ya kusimamishwa ... ... Illustrated Encyclopedic Dictionary
Oscillations asili, amplitude A ambayo hupungua kwa muda t kulingana na sheria ya kielelezo A(t) = Аоexp (?t) (? kiashiria cha attenuation kutokana na kutoweka kwa nishati kutokana na nguvu za msuguano wa viscous kwa oscillations damped mitambo na ohmic. .. ... Kamusi kubwa ya Encyclopedic
Oscillations ambayo amplitude hupungua hatua kwa hatua, k.m. oscillations ya pendulum inakabiliwa na upinzani wa hewa na msuguano katika kusimamishwa. Mitetemo yote ya bure inayotokea katika asili ni, kwa kiasi kikubwa au kidogo, Z.K. Umeme Z.K.... ...Kamusi ya Baharini
oscillations damped- Mizunguko ya mitambo na kupungua kwa maadili ya anuwai ya uratibu wa jumla au derivative yake kwa heshima na wakati. [Mkusanyiko wa masharti yaliyopendekezwa. Suala la 106. Mitetemo ya mitambo. Chuo cha Sayansi cha USSR. Kamati ya Sayansi na Ufundi.... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi
Oscillations damped- (VIBRATION) mizunguko (mtetemo) yenye kupungua kwa maadili... Ensaiklopidia ya Kirusi ya ulinzi wa kazi
Mzunguko wa asili wa mfumo, amplitude A ambayo hupungua kwa wakati t kulingana na sheria ya kielelezo A(t) = A0exp(?α t) (α ni faharisi ya unyevu) kwa sababu ya utawanyiko wa nishati kwa sababu ya nguvu za msuguano wa viscous kwa unyevu wa mitambo. oscillations na ohmic...... Kamusi ya encyclopedic
Oscillations damped- 31. Mizunguko iliyofifia Mizunguko yenye kupungua kwa thamani za bembea Chanzo... Kitabu cha marejeleo cha kamusi cha masharti ya hati za kawaida na za kiufundi
Oscillations ya asili ya mfumo, amplitude A hadi ryx hupungua kwa muda t kulingana na sheria ya kielelezo A (t) = = Aoeхр (at) (index ya damping) kutokana na uharibifu wa nishati kutokana na nguvu za msuguano wa viscous kwa mitambo. 3. kwa. na upinzani wa ohmic kwa umeme ... Sayansi ya asili. Kamusi ya encyclopedic
oscillations damped- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. damped oscillations, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Maneno ya otomatiki
oscillations damped- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. oscillations damped; vibrated damped; kufa oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. damped oscillations, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas
Kupunguza nishati ya mfumo wa oscillatory husababisha kupungua kwa taratibu kwa amplitude ya oscillations, kwa sababu.
Katika kesi hii wanasema hivyo mitetemo huisha .
Hali kama hiyo hutokea katika mzunguko wa oscillatory. Coil halisi ambayo ni sehemu ya mzunguko daima ina upinzani wa kazi. Wakati sasa inapita kupitia upinzani wa kazi wa coil, joto la Joule litatolewa. Katika kesi hiyo, nishati ya mzunguko itapungua, ambayo itasababisha kupungua kwa amplitude ya oscillations ya malipo, voltage na sasa.
Jukumu letu- gundua ni kwa sheria gani ukubwa wa oscillations hupungua, kwa sheria gani kiasi cha oscillating yenyewe hubadilika, na ni mara ngapi oscillations ya unyevu hutokea, muda gani oscillations "kufa nje."
§1 Upunguzaji wa mizunguko katika mifumo yenye msuguano wa viscous
Hebu tuchunguze mfumo wa oscillatory ambao nguvu ya msuguano wa viscous hufanya. Mfano wa mfumo huo wa oscillatory ni pendulum ya hisabati ambayo inazunguka katika hewa.
Katika kesi hii, wakati mfumo unapoondolewa kwenye nafasi ya usawa kwa
pendulum itafanywa na nguvu mbili: nguvu ya quasi-elastic na nguvu ya upinzani (nguvu ya msuguano wa viscous).
Sheria ya pili ya Newton itaandikwa kama ifuatavyo:
(1)
Tunajua kuwa kwa kasi ya chini nguvu ya msuguano wa viscous inalingana na kasi ya harakati:
Wacha tuzingatie kwamba makadirio ya kasi ndio derivative ya kwanza ya uratibu wa mwili, na makadirio ya kuongeza kasi ni derivative ya pili ya kuratibu:
Kisha equation (2) itachukua fomu:
tunapata equation ya mwendo ndani fomu ifuatayo:
(3)
ambapo d ndio mgawo wa unyevu, inategemea mgawo wa msuguano r,
w 0 - mzunguko wa mzunguko wa oscillations bora (kwa kutokuwepo kwa msuguano).
Kabla ya kutatua equation (3), fikiria mzunguko wa oscillatory. Upinzani hai wa coil umeunganishwa katika mfululizo na capacitance C na inductance L.
Hebu tuandike sheria ya pili ya Kirchhoff
Hebu tuzingatie hilo, 
, .
Kisha sheria ya pili ya Kirchhoff itachukua fomu:
Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na:
Wacha tuanzishe nukuu
Hatimaye tunapata
Zingatia utambulisho wa hisabati wa milinganyo tofauti (3) na (3'). Hakuna kitu cha kushangaza. Tayari tumeonyesha utambulisho kamili wa hisabati wa mchakato wa oscillation ya pendulum na oscillations electromagnetic katika mzunguko. Kwa wazi, taratibu za uchafu wa vibration katika mzunguko na katika mifumo yenye msuguano wa viscous pia hutokea kwa njia sawa.
Kwa kutatua equation (3), tutapata majibu kwa maswali yote yaliyoulizwa hapo juu.
Tunajua suluhisho la equation hii
Kisha kwa equation inayotaka (3) tunapata matokeo ya mwisho
Ni rahisi kuona kwamba malipo ya capacitor katika mzunguko halisi wa oscillatory itabadilika kulingana na sheria.
Uchambuzi wa matokeo yaliyopatikana:
1 Kama matokeo ya hatua ya pamoja ya nguvu ya quasi-elastic na nguvu ya upinzani, mfumo Labda kufanya harakati oscillating. Kwa hili, sharti w 0 2 - d 2 > 0 lazima itimizwe. Kwa maneno mengine, msuguano katika mfumo lazima uwe mdogo.
2 Mzunguko wa oscillations yenye unyevu hauendani na mzunguko wa oscillations ya mfumo kwa kukosekana kwa msuguano w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Baada ya muda, mzunguko wa oscillations damped bado bila kubadilika.
Ikiwa mgawo wa uchafu d ni mdogo, basi mzunguko wa oscillations yenye unyevu ni karibu na mzunguko wa asili w 0 .
Kupungua huku kwa amplitude hutokea kwa mujibu wa sheria ya kielelezo.
4 Ikiwa w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида
(4)
Wapi 
.
Kwa uingizwaji wa moja kwa moja ni rahisi kuthibitisha kwamba chaguo za kukokotoa (4) ni suluhu la mlinganyo (3). Ni wazi, jumla ya kazi mbili za kielelezo sio kazi ya mara kwa mara. Kutoka kwa mtazamo wa kimwili, hii ina maana kwamba oscillations haitatokea katika mfumo. Baada ya mfumo kuondolewa kutoka kwa nafasi ya usawa, itarudi polepole kwake. Utaratibu huu unaitwa ya mara kwa mara
.
§2 Je, oscillations huoza kwa haraka vipi katika mifumo yenye msuguano wa KINATACHO?
Kupungua kwa attenuation
thamani ya wingi. Inaweza kuonekana kuwa thamani ya d inaashiria kiwango ambacho oscillations huharibika. Kwa sababu hii, d inaitwa mgawo wa unyevu.
Kwa mitetemo ya umeme katika mzunguko, mgawo wa kupungua hutegemea vigezo vya coil: upinzani mkubwa wa kazi wa coil, kasi ya amplitudes ya malipo kwenye capacitor, voltage, na kupungua kwa sasa.
Chaguo za kukokotoa ni zao la utendaji unaopungua wa kielelezo na utendakazi wa usawa, hivyo kazi si harmonic.
Lakini ina kiwango fulani cha "kurudia", ambayo inajumuisha ukweli kwamba maxima, minima, na zero za kazi hutokea kwa vipindi sawa vya wakati. Grafu ya chaguo za kukokotoa ni sinusoid iliyopunguzwa kwa vielelezo viwili.
 |
Hebu tupate uwiano wa amplitudes mbili mfululizo zilizotenganishwa na muda wa muda wa kipindi kimoja. Uhusiano huu unaitwa kupungua kwa unyevu
Kumbuka kuwa matokeo hayategemei ni vipindi vipi viwili mfululizo unavyozingatia - mwanzoni mwendo wa oscillatory au baada ya muda kupita. Kwa kila kipindi amplitude ya oscillations mabadiliko si kwa kiasi sawa, lakini idadi sawa ya nyakati !!
Si vigumu kuona hilo kwa vipindi tofauti vya muda, amplitude ya oscillations damped hupungua kwa idadi sawa ya nyakati.
Wakati wa kupumzika
Wakati wa kupumzika unaitwa wakati ambapo amplitude ya oscillations unyevu hupungua kwa mara e:
Kisha 
.
Kutoka hapa ni rahisi kufunga maana ya kimwili mgawo wa kupunguza:
Kwa hivyo, mgawo wa unyevu ni sawa na wakati wa kupumzika. Hebu, kwa mfano, katika mzunguko wa oscillatory mgawo wa uchafu ni sawa na. Hii ina maana kwamba baada ya muda c amplitude ya oscillations itapungua kwa e mara moja.
Upungufu wa unyevu wa logarithmic
Mara nyingi, kiwango cha uchafu wa oscillations ni sifa ya kupungua kwa logarithmic damping. Ili kufanya hivyo, chukua logarithm ya asili ya uwiano wa amplitudes iliyotenganishwa na kipindi cha muda katika kipindi.
 |
Wacha tujue maana ya kimwili ya upunguzaji wa unyevu wa logarithmic.
Acha N iwe idadi ya oscillations iliyofanywa na mfumo wakati wa kupumzika, ambayo ni, idadi ya oscillations wakati amplitude ya oscillations inapungua kwa e mara moja. Ni wazi,.
Inaweza kuonekana kuwa kupungua kwa logarithmic ni kiasi kubadilishana nambari oscillations, baada ya hapo amplitude hupungua kwa e mara moja.
Hebu sema, hii ina maana kwamba baada ya oscillations 100 amplitude itapungua kwa e mara moja.
Sababu ya ubora wa mfumo wa oscillatory
Kwa kuongeza upunguzaji wa unyevu wa logarithmic na wakati wa kupumzika, kasi ya unyevu wa oscillations inaweza kuonyeshwa kwa thamani kama vile. kipengele cha ubora wa mfumo wa oscillatory . Chini ya kipengele cha ubora
Inaweza kuonyeshwa hivyo kwa oscillations dhaifu yenye unyevu
Nishati ya mfumo wa oscillatory kwa wakati wa kiholela ni sawa na . Upotevu wa nishati kwa muda unaweza kupatikana kama tofauti kati ya nishati kwa wakati mmoja na nishati baada ya muda sawa na kipindi:
Kisha
Kitendaji cha kipeo kinaweza kupanuliwa kuwa mfululizo 
katika<< 1. после подстановки получаем .
Tuliweka kizuizi cha kujiondoa<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.
Fomula tulizopata za kipengele cha ubora wa mfumo bado hazisemi chochote. Hebu tuseme mahesabu yanatoa thamani ya kipengele cha ubora Q = 10. Hii inamaanisha nini? Je, mitetemo huoza kwa haraka kiasi gani? Je, ni nzuri au mbaya?
 |
Kawaida inaaminika kuwa oscillations imesimama kivitendo ikiwa nishati yao imepungua kwa mara 100 (amplitude na 10). Wacha tujue ni oscillations ngapi mfumo umefanya hadi wakati huu:
Tunaweza kujibu swali lililoulizwa hapo awali: N = 8.
Ni mfumo gani wa oscillatory ulio bora - na sababu ya hali ya juu au ya chini? Jibu la swali hili inategemea kile unachotaka kupata kutoka kwa mfumo wa oscillating.
Ikiwa unataka mfumo kufanya oscillations nyingi iwezekanavyo kabla ya kuacha, kipengele cha ubora wa mfumo lazima kiongezwe. Vipi? Kwa kuwa kipengele cha ubora kinatambuliwa na vigezo vya mfumo wa oscillatory yenyewe, ni muhimu kuchagua vigezo hivi kwa usahihi.
Kwa mfano, pendulum ya Foucault iliyowekwa katika Kanisa Kuu la Mtakatifu Isaac ilitakiwa kufanya oscillations dhaifu yenye unyevu. Kisha
Njia rahisi zaidi ya kuongeza kipengele cha ubora wa pendulum ni kuifanya kuwa nzito.
Katika mazoezi, matatizo ya kinyume mara nyingi hutokea: ni muhimu kufuta mitetemo ambayo imetokea haraka iwezekanavyo (kwa mfano, mitetemo ya sindano ya chombo cha kupimia, mitetemo ya mwili wa gari, mitetemo ya meli, nk). ambayo huruhusu kuongezeka kwa upunguzaji katika mfumo huitwa dampers (au vifyonza vya mshtuko). Kwa mfano, mshtuko wa mshtuko wa gari, kwa makadirio ya kwanza, ni silinda iliyojaa mafuta (kioevu cha viscous), ambayo pistoni yenye idadi ya mashimo madogo inaweza kusonga. Fimbo ya pistoni imeunganishwa na mwili, na silinda imeunganishwa na axle ya gurudumu. Mitetemo inayotokana na mwili hufa haraka, kwani pistoni inayosonga inakabiliwa na upinzani mwingi kwenye njia yake kutoka kwa kioevu cha viscous kinachojaza silinda.
§ 3 Damping ya vibrations katika mifumo na msuguano kavu
Upungufu wa oscillations hutokea kwa njia tofauti kimsingi ikiwa nguvu ya msuguano wa kuteleza hufanya kazi kwenye mfumo. Ni hii ambayo husababisha pendulum ya spring, ambayo inazunguka kando ya uso wowote, kuacha.
 |
Wacha tuseme kwamba pendulum ya chemchemi iko kwenye uso wa usawa imewekwa kwenye mwendo wa oscillatory kwa kushinikiza chemchemi na kutoa mzigo, ambayo ni, kutoka kwa msimamo wake uliokithiri. Wakati wa harakati ya mzigo kutoka nafasi moja kali hadi nyingine, inakabiliwa na nguvu ya mvuto na nguvu ya majibu ya msaada (wima), nguvu ya elastic na nguvu ya kupiga sliding (kando ya uso).
Kumbuka kwamba wakati wa harakati kutoka kushoto kwenda kulia, nguvu ya msuguano ni mara kwa mara katika mwelekeo na ukubwa.
Hii inatuwezesha kusema kwamba wakati wa nusu ya kwanza ya kipindi cha pendulum ya spring iko katika uwanja wa nguvu wa mara kwa mara.
Uhamisho wa nafasi ya usawa unaweza kuhesabiwa kutoka kwa hali ya kuwa matokeo ni sawa na sifuri katika nafasi ya usawa:
 |
Ni muhimu kwamba wakati wa nusu ya kwanza ya kipindi cha oscillation ya pendulum harmonic !
Wakati wa kusonga kinyume - kutoka kulia kwenda kushoto - nguvu ya msuguano itabadilika mwelekeo, lakini wakati wa mpito mzima itabaki mara kwa mara kwa ukubwa na mwelekeo. Hali hii tena inafanana na oscillations ya pendulum katika uwanja wa nguvu mara kwa mara. Sasa tu uwanja huu ni tofauti! Ilibadilisha mwelekeo. Kwa hivyo, nafasi ya usawa wakati wa kusonga kutoka kulia kwenda kushoto pia ilibadilika. Sasa imehamishiwa kulia kwa kiasi cha D l 0 .
Wacha tuonyeshe utegemezi wa kuratibu za mwili kwa wakati. Kwa kuwa kwa kila nusu ya kipindi cha harakati ni oscillation ya harmonic, grafu itawakilisha nusu ya sinusoids, ambayo kila mmoja hupangwa kuhusiana na nafasi yake ya usawa. Tutafanya operesheni ya "kuunganisha pamoja suluhisho".
Wacha tuonyeshe jinsi hii inafanywa kwa mfano maalum.
Hebu uzito wa mzigo unaohusishwa na chemchemi uwe 200 g, ugumu wa spring uwe 20 N / m, na mgawo wa msuguano kati ya mzigo na uso wa meza ni 0.1. Pendulum iliwekwa kwenye mwendo wa oscillatory, ikinyoosha chemchemi
 |
sentimita 6.5.
Tofauti na mifumo ya oscillatory yenye msuguano wa viscous, katika mifumo yenye msuguano kavu amplitude ya oscillations hupungua kwa muda kulingana na sheria ya mstari - kwa kila kipindi hupungua kwa upana mbili wa eneo la vilio.
Kipengele kingine tofauti ni kwamba oscillations katika mifumo yenye msuguano kavu, hata kinadharia, haiwezi kutokea kwa muda usiojulikana. Wanasimama mara tu mwili unapoacha katika "eneo la vilio".
§4 Mifano ya utatuzi wa matatizo
Tatizo la 1 Asili ya mabadiliko katika ukubwa wa mizunguko yenye unyevunyevu katika mifumo yenye msuguano wa viscous.
Amplitude ya oscillations damped ya pendulum wakati t 1 = 5 min ilipungua kwa mara 2. Wakati gani t 2 amplitude ya oscillations itapungua kwa mara 8? Baada ya muda gani t 3 tunaweza kuzingatia kwamba pendulum imeacha kuzunguka?
Suluhisho:
Amplitude ya oscillations katika mifumo yenye msuguano wa viscous kwa muda
wala hupungua kwa kasi, ambapo ni amplitude ya oscillations wakati wa mwanzo wa wakati, na ni mgawo wa damping.
1 Tunaandika sheria ya mabadiliko katika amplitude mara mbili
2 Tunatatua milinganyo pamoja. Sisi logarithm kila equation na kupata
Gawa mlingano wa pili sio wa kwanza na utafute wakati t 2
4
Baada ya mabadiliko tunapata
Gawa mlinganyo wa mwisho kwa mlinganyo (*)
Tatizo la 2 Kipindi cha oscillations yenye unyevu katika mifumo yenye msuguano wa viscous
Tambua kipindi cha oscillations yenye unyevu wa mfumo T, ikiwa kipindi cha oscillations ya asili ni T 0 = 1 s, na kupungua kwa logarithmic damping ni. Mfumo huu utafanya mizunguko mingapi kabla haijakoma kabisa?
Suluhisho:
1 Kipindi cha oscillations yenye unyevu katika mfumo na msuguano wa viscous ni kubwa zaidi kuliko kipindi cha oscillations ya asili (bila kukosekana kwa msuguano katika mfumo). Mzunguko wa oscillations yenye unyevu, kinyume chake, ni chini ya mzunguko wa asili na ni sawa na 
, kiko wapi mgawo wa kupunguza.
2 Hebu tueleze mzunguko wa mzunguko kulingana na kipindi. na uzingatie kwamba upunguzaji wa unyevu wa logarithmic ni sawa na:
3 Baada ya mabadiliko tunapata 
.
Nishati ya mfumo ni sawa na uwezo wa juu wa nishati ya pendulum
Baada ya mabadiliko tunapata
5 Tunaelezea mgawo wa kupunguza kupitia punguzo la logarithmic, tunapata
Idadi ya oscillations ambayo mfumo utafanya kabla ya kuacha ni sawa 
Tatizo la 3 Idadi ya oscillations inayofanywa na pendulum hadi amplitude iko nusu.
Upungufu wa uchafu wa logarithmic wa pendulum ni q = 3×10 -3. Tambua idadi ya oscillations kamili ambayo pendulum lazima ifanye ili amplitude ya oscillations yake kupungua kwa nusu.
Suluhisho:
3 Ni rahisi kuona kwamba ni logarithmic damping decrement. Tunapata
Kutafuta idadi ya oscillations 
Kazi ya 4 Sababu ya ubora wa mfumo wa oscillatory
Tambua sababu ya ubora wa pendulum ikiwa wakati ambapo oscillations 10 zilifanywa, amplitude ilipungua kwa mara 2. Itachukua muda gani kwa pendulum kusimama?
Suluhisho:
1 Amplitude ya oscillations katika mifumo iliyo na msuguano wa viscous hupungua kwa kasi baada ya muda, ambapo ni amplitude ya oscillations katika wakati wa mwanzo wa wakati, na ni mgawo wa unyevu.
Kwa kuwa amplitude ya oscillations inapungua kwa sababu ya 2, tunapata
2 Wakati wa kuzunguka unaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya kipindi cha oscillation na idadi yao:
Badilisha thamani ya wakati inayotokana na usemi (*)
3 Ni rahisi kuona kwamba ni logarithmic damping decrement. Tunapata kupungua kwa logarithmic sawa na
4 Sababu ya ubora wa mfumo wa oscillatory
Nishati ya mfumo ni sawa na uwezo wa juu wa nishati ya pendulum
Baada ya mabadiliko tunapata
Tafuta wakati baada ya ambayo oscillations itaacha 
.
Tatizo 5 Mzunguko wa Sumaku
Vasya Lisichkin, mjaribio mashuhuri katika shule nzima, aliamua kufanya taswira ya sumaku ya mhusika wake mpendwa wa fasihi Kolobok itetemeke kando ya ukuta wa jokofu. Aliunganisha takwimu kwenye chemchemi na ugumu k = 10 N / m, aliiweka kwa cm 10 na kuifungua. Kolobok itafanya oscillations ngapi ikiwa wingi wa sanamu ni m = 10 g, mgawo wa msuguano kati ya sanamu na ukuta ni μ = 0.4, na inaweza kung'olewa kutoka kwa ukuta kwa nguvu F = 0.5 N.
Suluhisho:
1 Wakati wa kusonga kutoka chini hadi nafasi ya juu zaidi, wakati kasi ya mzigo inaelekezwa juu, nguvu ya msuguano wa kuteleza inaelekezwa chini na ni sawa na nambari. 
. Kwa hivyo, pendulum ya spring iko katika uwanja wa nguvu wa mara kwa mara unaoundwa na nguvu za mvuto na msuguano. Katika uwanja wa nguvu wa kila wakati, nafasi ya usawa ya pendulum inabadilika:
ni wapi kunyoosha kwa chemchemi katika "nafasi ya usawa" mpya.
2 Wakati wa kusonga kutoka juu hadi nafasi ya chini kabisa, wakati kasi ya mzigo inaelekezwa chini, nguvu ya msuguano wa kuteleza inaelekezwa juu na ni sawa kwa nambari. 
. Kwa hivyo, pendulum ya spring iko tena katika uwanja wa nguvu wa mara kwa mara unaoundwa na nguvu za mvuto na msuguano. Katika uwanja wa nguvu wa kila wakati, nafasi ya usawa ya pendulum inabadilika:
ni wapi deformation ya chemchemi katika "nafasi mpya ya usawa", ishara "-" inaonyesha kuwa katika nafasi hii chemchemi imesisitizwa.
3 Eneo la vilio ni mdogo na upungufu wa spring kutoka - 1 cm hadi 3 cm na kiasi cha cm 4. Katikati ya eneo la vilio, ambalo deformation ya spring ni 1 cm, inalingana na nafasi ya mzigo ambao hakuna. nguvu ya msuguano. Katika eneo la vilio, nguvu ya elastic ya chemchemi ni chini ya nguvu ya matokeo katika moduli nguvu ya juu ya msuguano tuli na mvuto. Ikiwa pendulum itaacha katika eneo la vilio, oscillations huacha.
4 Kwa kila kipindi, deformation ya spring inapungua kwa upana mbili za eneo la vilio, i.e. kwa cm 8. Baada ya oscillation moja, deformation ya spring itakuwa sawa na 10 cm - 8 cm = cm 2. Hii ina maana kwamba baada ya oscillation moja, figurine Kolobok inaingia eneo vilio na oscillations yake kuacha.
§5 Kazi za suluhisho huru
Mtihani "Damped Oscillations"
1 Kwa kufifia kwa mizunguko tunamaanisha...
A) kupungua kwa mzunguko wa oscillation; B) kupunguza muda wa oscillation;
B) kupungua kwa amplitude ya oscillations; D) kupungua kwa awamu ya oscillations.
2 Sababu ya damping ya oscillations bure ni
A) athari kwenye mfumo wa mambo ya nasibu ambayo huzuia oscillations;
B) hatua ya nguvu ya nje inayobadilika mara kwa mara;
C) uwepo wa nguvu ya msuguano katika mfumo;
D) kupungua kwa taratibu kwa nguvu ya quasi-elastic inayoelekea kurudisha pendulum kwenye nafasi ya usawa.
?A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm;
D) Haiwezekani kutoa jibu, kwani wakati haujulikani.
6 Pendulum mbili zinazofanana, zikiwa katika vyombo vya habari tofauti vya mnato, huzunguka. Amplitude ya oscillations hizi hubadilika kwa wakati kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu. Ni kati kati gani kuna msuguano zaidi?
7 Pendulum mbili, zikiwa katika mazingira yanayofanana, zinazunguka. Amplitude ya oscillations hizi hubadilika kwa wakati kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu. Ni pendulum gani iliyo na wingi mkubwa zaidi?
C) Haiwezekani kutoa jibu, kwani axes za kuratibu hazijapimwa na mahesabu hayawezi kufanywa.
8 Ni takwimu gani inayoonyesha kwa usahihi utegemezi wa wakati wa kuratibu za oscillations yenye unyevu kwenye mfumo wenye msuguano wa viscous?
A) 1; B) 2; SAA 3; D) Grafu zote ni sahihi.
9 Anzisha mawasiliano kati ya idadi halisi inayoashiria upunguzaji wa mizunguko katika mifumo yenye msuguano wa mnato, na ufafanuzi wao na maana ya kimwili. Jaza meza
A) Hii ni uwiano wa amplitudes ya oscillations baada ya muda sawa na kipindi;
B) Hii ni logarithm ya asili ya uwiano wa amplitudes ya oscillations baada ya muda sawa na kipindi;
B) Huu ndio wakati ambao amplitude ya oscillations inapungua e mara moja;
G) 
D) 
E) 
G) Thamani hii ni sawa na idadi ya oscillations wakati amplitude ya oscillations inapungua katika e mara moja;
H) Thamani hii inaonyesha ni mara ngapi amplitude ya oscillations inapungua kwa muda sawa na kipindi cha oscillations.
10 Toa taarifa sahihi.
Ubora mzuri unamaanisha ...
A) uwiano wa jumla ya nishati ya mfumo E kwa nishati W iliyopunguzwa wakati wa kipindi hicho iliongezeka kwa mara 2p;
B) uwiano wa amplitudes baada ya kipindi cha muda sawa na kipindi;
C) idadi ya oscillations ambayo mfumo hufanya wakati amplitude inapungua kwa nyakati e.
Kipengele cha ubora huhesabiwa kwa kutumia fomula...
A) B) C)
Sababu ya ubora wa mfumo wa oscillatory inategemea ...
A) nishati ya mfumo;
B) upotezaji wa nishati kwa kipindi hicho;
C) vigezo vya mfumo wa oscillatory na msuguano ndani yake.
Kadiri ubora wa mfumo wa oscillatory unavyoongezeka, ndivyo ...
A) vibrations kuoza polepole zaidi;
B) vibrations kuoza kwa kasi zaidi.
11 Pendulum ya hisabati imewekwa kwenye mwendo wa oscillatory, ikipotosha kusimamishwa kutoka kwa nafasi ya usawa katika kesi ya kwanza kwa 15 °, kwa pili kwa 10 °. Katika kesi gani pendulum itafanya oscillations zaidi kabla ya kuacha?
A) Wakati gimbal inapigwa 15 °;
B) Wakati gimbal inapigwa 10 °;
C) Katika visa vyote viwili pendulum itafanya idadi sawa ya oscillations.
Mipira 12 ya radius sawa - alumini na shaba - iliunganishwa kwa nyuzi mbili za urefu sawa. Pendulum zimewekwa katika mwendo wa oscillatory kwa kuzipotosha kwa pembe sawa. Ni pendulum gani itafanya oscillations zaidi kabla ya kuacha?
A) Alumini; B) Shaba;
C) Pendulum zote mbili zitafanya idadi sawa ya oscillations.
13 Pendulum ya spring iko kwenye uso wa usawa iliwekwa kwenye oscillation, kunyoosha chemchemi kwa cm 9. Baada ya kukamilisha oscillations tatu kamili, pendulum ilijikuta kwa umbali wa cm 6 kutoka kwenye nafasi ya chemchemi isiyoharibika. Kwa umbali gani kutoka kwa nafasi ya chemchemi isiyobadilika itakuwa pendulum baada ya oscillations tatu zifuatazo?
A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm.
§6 Oscillations Damped
Kupungua kwa attenuation. Upungufu wa unyevu wa logarithmic.
Vibrations za bure za mifumo ya kiufundi katika hali halisi hutokea wakati nguvu za upinzani zinafanya kazi juu yao. Hatua ya nguvu hizi husababisha kupungua kwa amplitude ya thamani ya oscillating.
Oscillations, amplitude ambayo hupungua kwa muda kwa sababu ya upotezaji wa nishati ya mfumo halisi wa oscillatory, huitwa. kufifia.
Matukio ya kawaida ni wakati nguvu ya upinzani ni sawia na kasi ya harakati
Wapi r- mgawo wa upinzani wa kati. Ishara ya minus inaonyesha hivyoF Ckuelekezwa katika mwelekeo kinyume na kasi.
Hebu tuandike equation ya oscillations katika hatua inayozunguka katika kati ambayo mgawo wa upinzani nir. Kulingana na sheria ya pili ya Newton
ambapo β ni mgawo wa kupunguza. Mgawo huu unaonyesha kiwango cha kupungua kwa oscillations Katika uwepo wa nguvu za upinzani, nishati ya mfumo wa oscillating itapungua hatua kwa hatua, na oscillations itafa.
- equation tofauti ya oscillations damped.
U kusawazisha oscillations damped.
ω - mzunguko wa oscillations yenye unyevu:
Kipindi cha oscillations yenye unyevu:
Oscillations damped, wakati kuchukuliwa madhubuti, si mara kwa mara. Kwa hiyo, tunaweza kuzungumza juu ya kipindi cha oscillations damped wakati β ni ndogo.
Ikiwa attenuation imeonyeshwa dhaifu (β→0), basi. Oscillations damped inaweza kuwa
kuzingatiwa kama oscillations ya harmonic, amplitude ambayo inatofautiana kulingana na sheria ya kielelezo
Katika equation (1) A 0 na φ 0 ni viunga vya kiholela kulingana na uchaguzi wa wakati wa wakati, kuanzia ambayo tunazingatia oscillations
Hebu tuchunguze oscillation kwa muda fulani τ, wakati ambapo amplitude itapungua kwa e mara moja
τ - wakati wa kupumzika.
Mgawo wa unyevu β unawiana kinyume na wakati ambapo amplitude hupungua kwa e mara moja. Walakini, mgawo wa unyevu hautoshi kuashiria uchafu wa oscillations. Kwa hiyo, ni muhimu kuanzisha tabia kwa ajili ya damping ya oscillations, ambayo ni pamoja na wakati wa oscillation moja. Tabia hii ni kupungua(kwa Kirusi: kupungua) kupunguza D, ambayo ni sawa na uwiano wa amplitudi zilizotenganishwa kwa wakati na kipindi:
Upungufu wa unyevu wa logarithmic sawa na logarithm D:
Upungufu wa unyevu wa logarithmic unalingana kinyume na idadi ya oscillations, kama matokeo ambayo amplitude ya oscillations ilipungua kwa e mara moja. Upungufu wa unyevu wa logarithmic ni thamani ya mara kwa mara kwa mfumo fulani.
Tabia nyingine ya mfumo wa oscillatory ni kipengele cha uboraQ.
Sababu ya ubora ni sawia na idadi ya oscillations iliyofanywa na mfumo wakati wa kupumzika τ.
Qmfumo wa oscillatory ni kipimo cha uharibifu wa jamaa (usambazaji) wa nishati.
Qmfumo wa oscillatory ni nambari inayoonyesha ni mara ngapi nguvu ya elastic ni kubwa kuliko nguvu ya upinzani.
§7 Mitetemo ya kulazimishwa.
Resonance
Katika idadi ya matukio, kuna haja ya kuunda mifumo inayofanya oscillations ya kuendelea. Inawezekana kupata oscillations isiyopunguzwa katika mfumo ikiwa unalipa fidia kwa hasara za nishati kwa kutenda kwenye mfumo kwa nguvu ya kubadilisha mara kwa mara.
Hebu
Hebu tuandike kujieleza kwa equation ya mwendo wa hatua ya nyenzo inayopitia mwendo wa oscillatory wa harmonic chini ya hatua ya nguvu ya kuendesha gari.
Kulingana na sheria ya pili ya Newton:
(1)
Equation tofauti ya oscillations ya kulazimishwa.
Mlinganyo huu wa kutofautisha ni wa mstari usio sawa.
Suluhisho lake ni sawa na jumla ya suluhisho la jumla la equation ya homogeneous na suluhisho maalum la equation isiyo na usawa:
Wacha tupate suluhisho mahususi kwa mlinganyo usio na usawa. Ili kufanya hivyo, tunaandika tena equation (1) katika fomu ifuatayo:
(2)
Tutatafuta suluhisho mahususi kwa mlinganyo huu katika fomu:
Kisha
Wacha tubadilishe katika (2):
kwa sababu inafanya kazi kwa yoyotet, basi usawa γ = ω lazima uridhike, kwa hivyo,
Ni rahisi kuwakilisha nambari hii changamano katika fomu
Wapi A imedhamiriwa na fomula (3 chini), na φ - kwa formula (4), kwa hivyo, suluhisho (2), katika fomu ngumu, ina fomu.
Sehemu yake halisi, ambayo ilikuwa suluhisho la equation (1), ni sawa na:
Wapi
(3)
(4)
Neno X o.o. ina jukumu muhimu tu katika hatua ya awali wakati oscillations ni imara mpaka amplitude ya oscillations kulazimishwa kufikia thamani kuamua na usawa (3). Katika hali ya kutosha, oscillations ya kulazimishwa hutokea kwa mzunguko ω na ni harmonic. Amplitude (3) na awamu (4) ya oscillations ya kulazimishwa inategemea mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari. Kwa mzunguko fulani wa nguvu ya kuendesha gari, amplitude inaweza kufikia maadili makubwa sana. Kuongezeka kwa kasi kwa amplitude ya oscillations ya kulazimishwa kama mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari inakaribia mzunguko wa asili wa mfumo wa mitambo inaitwa. usikivu.
Mzunguko ω wa nguvu ya kuendesha gari ambayo resonance inazingatiwa inaitwa resonant. Ili kupata thamani ya ω res, ni muhimu kupata hali ya amplitude ya juu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuamua hali ya kiwango cha chini cha denominator katika (3) (yaani, kuchunguza (3) kwa upeo).
Utegemezi wa amplitude ya kiasi cha oscillating juu ya mzunguko wa nguvu ya kuendesha inaitwa. mduara wa resonance. Kadiri mgawo wa unyevunyevu β unavyopungua, ndivyo mkunjo wa mlio wa juu zaidi, na β unapopungua, upeo wa mikondo ya mwangwi utahamia kulia. Ikiwa β = 0, basi
ω res = ω 0 .
Wakati ω→0 curve zote zinakuja kwa thamani- kupotoka kwa tuli.
Parametric resonance hutokea wakati mabadiliko ya mara kwa mara katika moja ya vigezo vya mfumo husababisha ongezeko kubwa la amplitude ya mfumo wa oscillating. Kwa mfano, vyumba vinavyounda "jua" kwa kubadilisha nafasi ya kituo cha mvuto wa mfumo (sawa katika "boti.") Angalia §61.t. 1 Savelyev I.V.
Self-oscillations ni oscillations wale ambao nishati ni mara kwa mara kujazwa kama matokeo ya ushawishi wa mfumo yenyewe kutokana na chanzo cha nishati iko katika mfumo huo. Tazama §59 t.1 Savelyev I.V.