Katika somo hili utajifunza jinsi ya kubadilisha usemi wenye mabano kuwa usemi usio na mabano. Utajifunza jinsi ya kufungua mabano yaliyotanguliwa na ishara ya kuongeza na ishara ya kutoa. Tutakumbuka jinsi ya kufungua mabano kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Mifano iliyozingatiwa itakuruhusu kuunganisha nyenzo mpya na zilizosomwa hapo awali kuwa moja.
Mada: Kutatua milinganyo
Somo: Kupanua Mabano
Jinsi ya kupanua mabano yaliyotanguliwa na ishara "+". Kwa kutumia sheria ya ushirika ya kuongeza.
Ikiwa unahitaji kuongeza jumla ya nambari mbili kwa nambari, unaweza kwanza kuongeza neno la kwanza kwa nambari hii, na kisha la pili.
Upande wa kushoto wa ishara sawa ni usemi wenye mabano, na kulia ni usemi usio na mabano. Hii ina maana kwamba wakati wa kusonga kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia, ufunguzi wa mabano ulitokea.
Hebu tuangalie mifano.
Mfano 1. 
Kwa kufungua mabano, tulibadilisha utaratibu wa vitendo. Imekuwa rahisi zaidi kuhesabu.
Mfano 2. 
Mfano 3.
Kumbuka kwamba katika mifano yote mitatu tuliondoa tu mabano. Wacha tutengeneze sheria:
Maoni.
Ikiwa neno la kwanza kwenye mabano halijatiwa saini, basi lazima liandikwe na ishara ya kuongeza.
Unaweza kufuata mfano hatua kwa hatua. Kwanza, ongeza 445 hadi 889. Hatua hii inaweza kufanywa kiakili, lakini si rahisi sana. Wacha tufungue mabano na tuone kwamba utaratibu uliobadilishwa utarahisisha mahesabu.
Ukifuata utaratibu ulioonyeshwa, lazima kwanza uondoe 345 kutoka 512, na kisha uongeze matokeo 1345. Kwa kufungua mabano, tutabadilisha utaratibu na kwa kiasi kikubwa kurahisisha mahesabu.
Kuonyesha mfano na kanuni.
Hebu tuangalie mfano:. Unaweza kupata thamani ya usemi kwa kuongeza 2 na 5, na kisha kuchukua nambari inayotokana na ishara tofauti. Tunapata -7.
Kwa upande mwingine, matokeo sawa yanaweza kupatikana kwa kuongeza nambari tofauti za zile za asili.
Wacha tutengeneze sheria:
Mfano 1. 
Mfano 2.
Sheria haibadilika ikiwa hakuna mbili, lakini maneno matatu au zaidi kwenye mabano.
Mfano 3. 
Maoni. Ishara zinabadilishwa tu mbele ya masharti.
Ili kufungua mabano, kwa kesi hii haja ya kukumbuka mali ya ugawaji.
Kwanza, zidisha mabano ya kwanza na 2, na ya pili na 3.
Bracket ya kwanza inatanguliwa na ishara "+", ambayo ina maana kwamba ishara lazima ziachwe bila kubadilika. Ishara ya pili inatanguliwa na ishara "-", kwa hiyo, ishara zote zinahitaji kubadilishwa kinyume chake
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Hisabati 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Hisabati darasa la 6. - Gymnasium, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nyuma ya kurasa za kitabu cha hisabati. - Mwangaza, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Kazi za kozi ya hisabati darasa la 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Hisabati 5-6. Mwongozo kwa wanafunzi wa darasa la 6 katika shule ya mawasiliano ya MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Hisabati: Kitabu cha maandishi-interlocutor kwa darasa la 5-6 sekondari. Maktaba ya mwalimu wa hisabati. - Mwangaza, 1989.
- Majaribio ya mtandaoni katika hisabati ().
- Unaweza kupakua zile zilizoainishwa katika kifungu cha 1.2. vitabu ().
Kazi ya nyumbani
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Hisabati 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (kiungo angalia 1.2)
- Kazi ya nyumbani: No. 1254, No. 1255, No. 1256 (b, d)
- Kazi zingine: Nambari 1258(c), Nambari 1248
Katika makala hii tutaangalia kwa kina sheria za msingi za mada muhimu kama hii katika kozi ya hisabati kama kufungua mabano. Unahitaji kujua sheria za kufungua mabano ili kusuluhisha kwa usahihi hesabu ambazo hutumiwa.
Jinsi ya kufungua mabano kwa usahihi wakati wa kuongeza
Panua mabano yaliyotanguliwa na ishara "+".
Hii ndiyo kesi rahisi zaidi, kwa sababu ikiwa kuna ishara ya kuongeza mbele ya mabano, ishara ndani yao hazibadilika wakati mabano yanafunguliwa. Mfano:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jinsi ya kupanua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-".
Katika kesi hii, unahitaji kuandika tena maneno yote bila mabano, lakini wakati huo huo ubadilishe ishara zote ndani yao kwa zile tofauti. Ishara hubadilika tu kwa masharti kutoka kwa mabano hayo ambayo yalitanguliwa na ishara "-". Mfano:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jinsi ya kufungua mabano wakati wa kuzidisha
Kabla ya mabano kuna nambari ya kuzidisha
Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kwa sababu na kufungua mabano bila kubadilisha ishara. Ikiwa mzidishaji ana ishara "-", basi wakati wa kuzidisha ishara za maneno zinabadilishwa. Mfano:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jinsi ya kufungua mabano mawili na ishara ya kuzidisha kati yao
Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza na kila neno kutoka kwa mabano ya pili na kisha kuongeza matokeo. Mfano:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jinsi ya kufungua mabano katika mraba
Ikiwa jumla au tofauti ya maneno mawili ni ya mraba, mabano yanapaswa kufunguliwa kulingana na fomula ifuatayo:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Katika kesi ya minus ndani ya mabano, formula haibadilika. Mfano:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jinsi ya kupanua mabano hadi digrii nyingine
Ikiwa jumla au tofauti ya maneno hufufuliwa, kwa mfano, kwa nguvu ya 3 au ya 4, basi unahitaji tu kuvunja nguvu ya bracket katika "mraba". Nguvu za mambo sawa huongezwa, na wakati wa kugawanya, nguvu ya mgawanyiko hutolewa kutoka kwa nguvu ya gawio. Mfano:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jinsi ya kufungua mabano 3
Kuna milinganyo ambayo mabano 3 yanazidishwa mara moja. Katika kesi hii, lazima kwanza uzidishe masharti ya mabano mawili ya kwanza pamoja, na kisha kuzidisha jumla ya kuzidisha huku kwa masharti ya mabano ya tatu. Mfano:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Sheria hizi za kufungua mabano hutumika kwa usawa katika kutatua milinganyo ya mstari na trigonometriki.
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Kwa mfano, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdoti 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 \)
inaweza kurahisishwa.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials mtazamo wa kawaida:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Kwa hivyo, binomial \(12a^2b - 7b\) ina shahada ya tatu, na trinomial \(2b^2 -7b + 6\) ina pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara tofauti.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya usambazaji ya kuzidisha, unaweza kubadilisha (kurahisisha) bidhaa ya monomial na polynomial kuwa polynomial. Kwa mfano:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdoti (-5ab) + 9a^2b \cdoti (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Lazima ushughulike na misemo fulani katika mabadiliko ya aljebra mara nyingi zaidi kuliko zingine. Labda maneno ya kawaida zaidi ni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) na \(a^2 - b^2 \), yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya mraba. Umegundua kuwa majina ya misemo haya yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, \(a + b)^2 \) bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. . Walakini, mraba wa jumla ya a na b haifanyiki mara nyingi sana; kama sheria, badala ya herufi a na b, ina misemo tofauti, wakati mwingine ngumu kabisa.
Semi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) zinaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida; kwa kweli, tayari umekutana na kazi hii wakati wa kuzidisha polynomia:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - mraba wa jumla ni sawa na jumla ya miraba na bidhaa mbili.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya miraba bila bidhaa iliyoongezwa mara mbili.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa nambari na maneno halisi, na vile vile katika misemo yenye viambishi. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi usemi sawa bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Hoja moja zaidi inastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa maamuzi ya kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi
3−(5−7) tunapata usemi 3−5+7. Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3−(5−7)=3−5+7.
Na moja zaidi hatua muhimu. Katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwa usemi au kwenye mabano. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki +7+3, lakini kwa urahisi 7+3, licha ya ukweli kwamba saba pia ni. nambari chanya. Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi (5 + x) - ujue kwamba kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa, na kabla ya tano kuna plus +(+5+x).
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kuongeza
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Mfano. Fungua mabano katika usemi 2 + (7 + 3) Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha hatubadilishi ishara mbele ya nambari kwenye mabano.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kutoa
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake. Kutokuwepo kwa ishara kabla ya muhula wa kwanza kwenye mabano kunamaanisha + ishara.
Mfano. Panua mabano katika usemi 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, ambayo inamaanisha unahitaji kubadilisha ishara mbele ya nambari kwenye mabano. Katika mabano hakuna ishara kabla ya nambari 7, hii ina maana kwamba saba ni chanya, inachukuliwa kuwa kuna ishara + mbele yake.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Wakati wa kufungua mabano, tunaondoa kutoka kwa mfano minus iliyokuwa mbele ya mabano, na mabano wenyewe 2 - (+ 7 + 3), na kubadilisha ishara zilizokuwa kwenye mabano kwa kinyume chake.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Kupanua mabano wakati wa kuzidisha
Ikiwa kuna ishara ya kuzidisha mbele ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano inazidishwa na sababu iliyo mbele ya mabano. Katika hali hii, kuzidisha minus kwa minus kunatoa plus, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus, kunatoa minus.
Kwa hivyo, mabano katika bidhaa hupanuliwa kwa mujibu wa mali ya kusambaza ya kuzidisha.
Mfano. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Unapozidisha mabano kwa mabano, kila neno katika mabano ya kwanza linazidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Kwa kweli, hakuna haja ya kukumbuka sheria zote, inatosha kukumbuka moja tu, hii: c(a-b)=ca−cb. Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata kanuni (a-b)=a-b. Na tukibadilisha toa moja, tunapata kanuni −(a-b)=−a+b. Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Kufungua mabano wakati wa kugawanya
Ikiwa kuna ishara ya mgawanyiko baada ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano imegawanywa na mgawanyiko baada ya mabano, na kinyume chake.
Mfano. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Jinsi ya kupanua mabano yaliyowekwa
Ikiwa usemi una mabano yaliyowekwa, hupanuliwa kwa mpangilio, kuanzia na za nje au za ndani.
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba wakati wa kufungua moja ya mabano, usiguse mabano yaliyobaki, uandike tena kama ilivyo.
Mfano. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
"Kufungua mabano" - Kitabu cha Hisabati, daraja la 6 (Vilenkin)
Maelezo mafupi:
Katika sehemu hii utajifunza jinsi ya kupanua mabano katika mifano. Ni ya nini? Kila kitu ni kwa kitu sawa na hapo awali - ili iwe rahisi na rahisi kwako kuhesabu, kufanya makosa machache, na kwa kweli (ndoto ya mwalimu wako wa hisabati) ili kutatua kila kitu bila makosa.
Tayari unajua kuwa mabano yamo ndani nukuu ya hisabati huwekwa ikiwa mbili zinakuja mfululizo ishara ya hisabati, ikiwa tunataka kuonyesha mchanganyiko wa nambari, kupanga upya kwao. Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa herufi zisizo za lazima. Kwa mfano: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Je, unakumbuka mali ya ugawaji ya kuzidisha kuhusiana na kuongeza? Hakika, katika mfano huo pia tuliondoa mabano ili kurahisisha mahesabu. Sifa iliyotajwa ya kuzidisha pia inaweza kutumika kwa maneno manne, matatu, matano au zaidi. Kwa mfano: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Umeona kuwa unapofungua mabano, nambari ndani yao hazibadilishi ishara ikiwa nambari iliyo mbele ya mabano ni chanya? Baada ya yote, kumi na tano ni nambari nzuri. Na ukitatua mfano huu: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Tulikuwa nayo kabla ya mabano nambari hasi minus kumi na tano, tulipofungua mabano, nambari zote zilianza kubadilisha ishara yao hadi nyingine - kinyume chake - kutoka plus hadi minus.
Kulingana na mifano hapo juu, sheria mbili za msingi za kufungua mabano zinaweza kusemwa:
1. Ikiwa una nambari nzuri mbele ya mabano, basi baada ya kufungua mabano ishara zote za nambari kwenye mabano hazibadilika, lakini zibaki sawa na zilivyokuwa.
2. Ikiwa una nambari hasi mbele ya mabano, basi baada ya kufungua mabano ishara ya minus haijaandikwa tena, na ishara za nambari zote kabisa kwenye mabano hubadilika ghafla kinyume chake.
Kwa mfano: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Hebu tuchanganye mifano yetu kidogo: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Uligundua kuwa wakati wa kufungua mabano ya pili, tulizidisha na 2, lakini ishara zilibaki sawa na zilivyokuwa. Hapa kuna mfano: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, katika mfano huu nambari mbili ni hasi, ni kabla ya mabano yanasimama na ishara ya minus, kwa hivyo wakati wa kuifungua, tulibadilisha ishara za nambari kuwa zile zilizo kinyume (tisa zilikuwa na plus, ikawa minus, nane ilikuwa na minus, ikawa plus).
