คำนิยาม 24.1ตัวเลขสุ่มตั้งชื่อค่าที่เป็นไปได้ รตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง รกระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0; 1)
1. การเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
สมมติว่าเราต้องการเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์นั่นคือรับลำดับของค่าที่เป็นไปได้โดยรู้กฎการกระจาย เอ็กซ์:
เอ็กซ์เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น
ร.ร 1 ร 2 … รพี .
พิจารณาตัวแปรสุ่มที่แจกแจงสม่ำเสมอใน (0, 1) รและหารช่วงเวลา (0, 1) ด้วยจุดที่มีพิกัด ร 1, ร 1 + ร 2 , …, ร 1 + ร 2 +… +รพี-1 เปิด ปช่วงเวลาบางส่วนที่มีความยาวเท่ากับความน่าจะเป็นที่มีดัชนีเดียวกัน
ทฤษฎีบท 24.1หากตัวเลขสุ่มแต่ละตัวที่อยู่ในช่วงนั้นได้รับการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ ค่าที่กำลังเล่นจะมีกฎการแจกแจงที่กำหนด:
เอ็กซ์เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น
ร.ร 1 ร 2 … รพี .
การพิสูจน์.
ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มผลลัพธ์จะตรงกับชุด เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,… เอ็กซ์เอ็นเนื่องจากจำนวนช่วงเท่ากัน ปและเมื่อโดน อาร์เจในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,… เอ็กซ์เอ็น.
เพราะ รมีการกระจายสม่ำเสมอ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะตกไปในแต่ละช่วงจะเท่ากับความยาว ซึ่งหมายความว่าแต่ละค่าจะสอดคล้องกับความน่าจะเป็น พี ฉัน- ดังนั้นตัวแปรสุ่มที่กำลังเล่นจึงมีกฎการกระจายที่กำหนด
ตัวอย่าง. เล่น 10 ค่าของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์กฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายซึ่งมีรูปแบบดังนี้ เอ็กซ์ 2 3 6 8
ร 0,1 0,3 0,5 0,1
สารละลาย. ลองแบ่งช่วงเวลา (0, 1) ออกเป็นช่วงบางส่วน: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 – (0.9; 1) ลองเขียนตัวเลข 10 ตัวจากตารางตัวเลขสุ่ม: 0.09; 0.73; 0.25; 0.33; 0.76; 0.52; 0.01; 0.35; 0.86; 0.34. ตัวเลขตัวแรกและตัวที่เจ็ดอยู่บนช่วง D 1 ดังนั้น ในกรณีนี้ ตัวแปรสุ่มที่เล่นจะใช้ค่า เอ็กซ์ 1 = 2; ตัวเลขที่สาม, สี่, แปดและสิบตกอยู่ในช่วง D 2 ซึ่งสอดคล้องกับ เอ็กซ์ 2 = 3; ตัวเลขที่สอง, ห้า, หกและเก้าอยู่ในช่วงเวลา D 3 - ในกรณีนี้ เอ็กซ์ = x 3 = 6; ไม่มีตัวเลขในช่วงสุดท้าย ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้จึงเกิดขึ้น เอ็กซ์คือ: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3
2. การแสดงเหตุการณ์ตรงกันข้าม
ปล่อยให้มันจำเป็นต้องเล่นการทดสอบซึ่งในแต่ละเหตุการณ์ กปรากฏขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นที่ทราบ ร- พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์โดยรับค่า 1 (หากเหตุการณ์ กเกิดขึ้น) ด้วยความน่าจะเป็น รและ 0 (ถ้า กไม่เกิดขึ้น) ด้วยความน่าจะเป็น ถาม = 1 – พี- จากนั้นเราจะเล่นตัวแปรสุ่มนี้ตามที่แนะนำในย่อหน้าก่อนหน้า
ตัวอย่าง. เล่น 10 การท้าทาย โดยแต่ละรายการมีกิจกรรม กปรากฏด้วยความน่าจะเป็น 0.3
สารละลาย. สำหรับตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ด้วยกฎแห่งการกระจาย เอ็กซ์ 1 0
ร 0,3 0,7
เราได้รับช่วงเวลา D 1 – (0; 0.3) และ D 2 – (0.3; 1) เราใช้ตัวเลขสุ่มตัวอย่างเดียวกันกับในตัวอย่างก่อนหน้า ซึ่งตัวเลขหมายเลข 1, 3 และ 7 อยู่ในช่วง D 1 และส่วนที่เหลือ - อยู่ในช่วง D 2 ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเหตุการณ์ดังกล่าว กเกิดขึ้นในการทดลองครั้งที่หนึ่ง สาม และเจ็ด แต่ไม่เกิดขึ้นในการทดลองที่เหลือ
3. การเล่นกิจกรรมกลุ่มให้สมบูรณ์
หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ ก 1 , ก 2 , …, เอพีซึ่งมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ร 1 , ร 2 ,… รพีสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ จากนั้นสำหรับการเล่น (นั่นคือ การสร้างแบบจำลองลำดับการปรากฏตัวของพวกเขาในชุดการทดสอบ) คุณสามารถเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ด้วยกฎการกระจาย เอ็กซ์ 1 2 … พีโดยทำแบบเดียวกับข้อ 1 ขณะเดียวกันเราก็เชื่อเช่นนั้น
ร.ร 1 ร 2 … รพี
ถ้า เอ็กซ์คำนึงถึงคุณค่า x ฉัน = ฉันจากนั้นในการทดสอบนี้เหตุการณ์ก็เกิดขึ้น ฉัน.
4. การเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง
ก) วิธีการฟังก์ชันผกผัน
สมมติว่าเราต้องการเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เอ็กซ์นั่นคือรับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x ฉัน (ฉัน = 1, 2, …, n) รู้ฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(x).
ทฤษฎีบท 24.2ถ้า ร ฉันเป็นตัวเลขสุ่ม แล้วจึงเป็นค่าที่เป็นไปได้ x ฉันเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์ด้วยฟังก์ชันการกระจายที่กำหนด เอฟ(x) สอดคล้องกัน ร ฉัน, คือรากของสมการ
เอฟ(x ฉัน) = ร ฉัน. (24.1)
การพิสูจน์.
เพราะ เอฟ(x) เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อในช่วงเวลาจาก 0 ถึง 1 จากนั้นจะมีค่า (และไม่ซ้ำกัน) ของอาร์กิวเมนต์ x ฉันซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงรับค่า ร ฉัน- ซึ่งหมายความว่าสมการ (24.1) มีคำตอบเฉพาะ: x ฉัน= เอฟ -1 (ร ฉัน), ที่ไหน เอฟ-1 - ฟังก์ชันผกผันกับ เอฟ- ให้เราพิสูจน์ว่ารากของสมการ (24.1) เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่กำลังพิจารณา เอ็กซ์ให้เราสันนิษฐานไว้ก่อนว่า x ฉันคือค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มบางตัว x และเราพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นที่ x ตกอยู่ในช่วง ( ส ดี) เท่ากับ เอฟ(ง) – เอฟ(ค- อันที่จริงเนื่องจากความซ้ำซากจำเจ เอฟ(x) และนั่น เอฟ(x ฉัน) = ร ฉัน- แล้ว
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ x ตกอยู่ในช่วง ( ซีดี) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(x) ในช่วงเวลานี้ ดังนั้น x = เอ็กซ์.
เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (5; 8)
เอฟ(x) = นั่นคือจำเป็นต้องแก้สมการ ลองเลือกตัวเลขสุ่ม 3 ตัว: 0.23; 0.09 และ 0.56 แล้วแทนลงในสมการนี้ ลองรับค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกันกัน เอ็กซ์:
b) วิธีการซ้อนทับ
หากฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำลังเล่นสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันการแจกแจงสองฟังก์ชันได้:
แล้วตั้งแต่เมื่อไร เอ็กซ์®¥ เอฟ(x) ® 1.
ให้เราแนะนำตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเสริม ซีด้วยกฎการกระจาย
ซี 12 . ลองเลือกตัวเลขสุ่มอิสระ 2 ตัว ร 1 และ ร 2 และเล่นที่เป็นไปได้
พี ซี 1 ค 2
ความหมาย ซีตามหมายเลข ร 1 (ดูจุดที่ 1) ถ้า ซี= 1 จากนั้นเรามองหาค่าที่เป็นไปได้ที่ต้องการ เอ็กซ์จากสมการ และถ้า ซี= 2 แล้วเราก็แก้สมการ
สามารถพิสูจน์ได้ว่าในกรณีนี้ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำลังเล่นจะเท่ากับฟังก์ชันการแจกแจงที่กำหนด
c) การเล่นโดยประมาณของตัวแปรสุ่มปกติ
ตั้งแต่ รกระจายสม่ำเสมอใน (0, 1) แล้วจึงหาผลรวม ปตัวแปรสุ่มอิสระที่กระจายสม่ำเสมอในช่วง (0,1) จากนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ตัวแปรสุ่มที่ทำให้เป็นมาตรฐานที่ ป® ¥ จะมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติพร้อมพารามิเตอร์ ก= 0 และ ส =1 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อได้ค่าประมาณที่ค่อนข้างดี ป = 12:
ดังนั้น เพื่อเล่นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มปกติที่ทำให้เป็นมาตรฐาน เอ็กซ์คุณต้องบวกตัวเลขสุ่มอิสระ 12 ตัวแล้วลบ 6 จากผลรวม
สาระสำคัญของวิธีมอนติคาร์โลมีดังนี้: คุณต้องค้นหาค่า กปริมาณการศึกษาบางส่วน เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้เลือกตัวแปรสุ่ม X ซึ่งค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับ a: M(X) = a
ในทางปฏิบัติ พวกเขาทำสิ่งนี้: พวกเขาคำนวณ (เล่น) nค่าที่เป็นไปได้ x i ของตัวแปรสุ่ม X ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และพวกเขาใช้* ของจำนวนที่ต้องการ a เป็นค่าประมาณ (ค่าประมาณ) ดังนั้น หากต้องการใช้วิธีการมอนติคาร์โล คุณจะต้องสามารถเล่นตัวแปรสุ่มได้
ปล่อยให้จำเป็นต้องเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X เช่น คำนวณลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x i (i=1,2, ...) โดยรู้กฎการกระจายของ X ให้เราแนะนำสัญกรณ์: R เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0,1 ); r i (j=1,2,...) – ตัวเลขสุ่ม (ค่าที่เป็นไปได้ของ R)
กฎ: เพื่อที่จะเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎการกระจาย
X x 1 x 2 ... x น
ป พี 1 พี 2 … พี น
1. แบ่งช่วง (0,1) ของแกน หรือ ออกเป็น n ช่วงบางส่วน:
Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1; 1)
2. เลือกหมายเลขสุ่ม r j ถ้า r j อยู่ในช่วงบางส่วน Δ i แล้วค่าที่กำลังเล่นอยู่จะเป็นค่าที่เป็นไปได้ x i -
การเล่นกิจกรรมกลุ่มที่สมบูรณ์
จำเป็นต้องทำการทดสอบ โดยในแต่ละเหตุการณ์จะมีเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นทั้งกลุ่ม ความน่าจะเป็นที่ทราบ การเล่นเหตุการณ์กลุ่มที่สมบูรณ์นั้นมาจากการเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
กฎ: เพื่อที่จะเล่นแบบทดสอบในแต่ละเหตุการณ์จะมีเหตุการณ์ A 1, A 2, ... , A n ของกลุ่มที่สมบูรณ์เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นที่ทราบ p 1, p 2, ..., p n ก็เพียงพอแล้วที่จะเล่นค่า X แบบไม่ต่อเนื่องตามกฎการแจกแจงต่อไปนี้:
ป พี 1 พี 2 … พี น
หากในการทดสอบ ค่า X ใช้กับค่าที่เป็นไปได้ x i =i แสดงว่าเหตุการณ์ A i เกิดขึ้น
การเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
ทราบฟังก์ชันการแจกแจง F ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ซึ่งจำเป็นต้องเล่น X เช่น คำนวณลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x i (i=1,2, ...)
ก. วิธีการฟังก์ชันผกผัน กฎข้อที่ 1 x i ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เมื่อรู้ฟังก์ชันการกระจายของมัน F คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม r i เท่ากับฟังก์ชันการกระจายของมันและแก้สมการผลลัพธ์ F(x i) = r i สำหรับ x i
หากทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) จะใช้กฎข้อ 2
กฎข้อที่ 2 เพื่อเล่นค่าที่เป็นไปได้ x i ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เมื่อทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม r i และแก้สมการสำหรับ x i
หรือสมการ
โดยที่ a คือค่าสุดท้ายที่เป็นไปได้น้อยที่สุดของ X
B. วิธีการซ้อนทับ กฎข้อที่ 3 เพื่อที่จะเล่นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งเป็นฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรนั้น
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x)
โดยที่ F k (x) – ฟังก์ชันการกระจาย (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1 คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่มอิสระสองตัว r 1 และ r 2 และใช้ตัวเลขสุ่ม r 1 เล่นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแยกเสริม Z (ตามกฎข้อ 1):
หน้า C 1 C 2 … C n
หากปรากฎว่า Z=k ให้แก้สมการ F k (x) = r 2 สำหรับ x
หมายเหตุ 1. ถ้าระบุความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ไว้ในรูปแบบ
ฉ(x)=C 1 ฉ 1 (x)+C 2 ฉ 2 (x)+…+C n ฉ n (x)
โดยที่ f k คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น สัมประสิทธิ์ C k เป็นบวก ผลรวมของพวกมันเท่ากับ 1 และหากปรากฎว่า Z=k ให้แก้โจทย์ (ตามกฎข้อ 2) เทียบกับ x i เทียบกับสมการ
การเล่นโดยประมาณของตัวแปรสุ่มปกติ
กฎ. เพื่อเป็นการประมาณค่าที่เป็นไปได้ x i ของตัวแปรสุ่มปกติ X พร้อมพารามิเตอร์ a=0 และ σ=1 คุณต้องเพิ่มตัวเลขสุ่มอิสระ 12 ตัวและลบ 6 จากผลรวมผลลัพธ์:
ความคิดเห็น- หากคุณต้องการเล่นตัวแปรสุ่ม Z แบบปกติโดยประมาณพร้อมความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ จากนั้นเมื่อเล่นค่าที่เป็นไปได้ของ x i ตามกฎข้างต้นแล้ว ให้ค้นหาค่าที่เป็นไปได้ที่ต้องการโดยใช้สูตร: z i =σx i +a
ให้เราแสดง SV ที่กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0, 1) โดย R และค่าที่เป็นไปได้ (ตัวเลขสุ่ม) โดย r j .
มาแบ่งช่วงกัน .
จากความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้จะตามมาว่าหากเป็นตัวแปรสุ่ม ξ ที่มีอยู่ในช่วงเวลา
กับ< ξ < ง, ξ (**)
แล้วตัวแปรสุ่ม รที่มีอยู่ในช่วงเวลา
เอฟ(กับ)< ร< เอฟ(ง), (***)
และกลับมา ดังนั้น อสมการ (**) และ (***) จึงเท่ากัน ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกัน:
ร(กับ< ξ< ง)=พ[เอฟ(กับ)< ร< เอฟ(ง)]. (****)
เนื่องจากมีความคุ้มค่า รมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0,1) จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะชน รในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งที่เป็นของช่วง (0,1) เท่ากับความยาวของมัน (ดูบทที่ XI, § 6, หมายเหตุ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
ร[เอฟ(กับ)< ร< เอฟ(ง) ] = เอฟ(ง) - เอฟ(กับ).
ดังนั้นความสัมพันธ์ (****) สามารถเขียนได้ในรูป
ร(กับ< ξ< ง)= เอฟ(ง) - เอฟ(กับ).
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชน ξ ในช่วงเวลา ( กับ,ง) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(เอ็กซ์) ในช่วงเวลานี้ ซึ่งหมายความว่า ξ=X.กล่าวอีกนัยหนึ่งคือตัวเลข เอ็กซ์ ฉันกำหนดโดยสูตร (*) คือค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณ เอ็กซ์ สกำหนดฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(เอ็กซ์), Q.E.D.
กฎข้อที่ 1เอ็กซ์ ฉัน , ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,รู้จักฟังก์ชันการกระจายตัวของมัน เอฟ(เอ็กซ์), คุณต้องเลือกหมายเลขสุ่ม ร ฉันเทียบฟังก์ชันการกระจายของมันแล้วแก้หา เอ็กซ์ ฉัน , สมการผลลัพธ์
เอฟ(เอ็กซ์ ฉัน)= ร ฉัน .
หมายเหตุ 1. หากไม่สามารถแก้สมการนี้ได้อย่างชัดเจน ให้หันไปใช้วิธีกราฟิกหรือตัวเลข
ตัวอย่างที่ 1เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (2, 10)
สารละลาย. ให้เราเขียนฟังก์ชันการกระจายของปริมาณ เอ็กซ์,กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา ( เอ,ข) (ดูบทที่ XI § 3 ตัวอย่าง):
เอฟ(เอ็กซ์)= (ฮา)/ (ข-ก).
ตามเงื่อนไข ก = 2, ข=10 ดังนั้น
เอฟ(เอ็กซ์)= (เอ็กซ์- 2)/ 8.
โดยใช้กฎของย่อหน้านี้ เราจะเขียนสมการเพื่อค้นหาค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์ ฉัน , ซึ่งเราถือเอาฟังก์ชันการแจกแจงเป็นตัวเลขสุ่ม:
(เอ็กซ์ ฉัน -2 )/8= ร ฉัน .
จากที่นี่ เอ็กซ์ ฉัน =8 ร ฉัน + 2.
ลองเลือกตัวเลขสุ่ม 3 ตัว เช่น ร ฉัน =0,11, ร ฉัน =0,17, ร ฉัน=0.66. ลองแทนตัวเลขเหล่านี้ลงในสมการ โดยหาค่าด้วยความเคารพ เอ็กซ์ ฉัน , เป็นผลให้เราได้รับค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกัน เอ็กซ์: เอ็กซ์ 1 =8·0.11+2==2.88; เอ็กซ์ 2 =1.36; เอ็กซ์ 3 = 7,28.
ตัวอย่างที่ 2ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กระจายตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง (ทราบพารามิเตอร์ แล > 0)
เอฟ(เอ็กซ์)= 1 - จ - λ เอ็กซ์ (x>0).
เราจำเป็นต้องค้นหาสูตรที่ชัดเจนเพื่อแสดงค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์
สารละลาย. เราเขียนสมการโดยใช้กฎของย่อหน้านี้
1 - จ - λ เอ็กซ์ ฉัน
ลองแก้สมการนี้เพื่อหา เอ็กซ์ ฉัน :
จ - λ เอ็กซ์ ฉัน = 1 - ร ฉัน, หรือ - λ เอ็กซ์ ฉัน = ln(1 - ร ฉัน).
เอ็กซ์ ฉัน =1น(1– ร ฉัน)/λ .
ตัวเลขสุ่ม ร ฉันปิดล้อมในช่วงเวลา (0,1); ดังนั้นหมายเลข 1 จึงเป็น ร ฉันยังเป็นแบบสุ่มและอยู่ในช่วงเวลา (0,1) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือปริมาณ รและ 1 - รกระจายเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงต้องหา. เอ็กซ์ ฉันคุณสามารถใช้สูตรที่ง่ายกว่า:
x ฉัน =- ln ร ฉัน /λ.
หมายเหตุ 2. เป็นที่รู้กันว่า (ดูบทที่ XI, §3)
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
ตามมาว่าหากทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x) จากนั้นสำหรับการเล่น เอ็กซ์มันเป็นไปได้แทนที่จะเป็นสมการ เอฟ(x ฉัน)=ร ฉันตัดสินใจเกี่ยวกับ x ฉันสมการ
กฎข้อที่ 2เพื่อหาค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์ ฉัน (ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,ทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x) คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม ร ฉันและตัดสินใจเกี่ยวกับ เอ็กซ์ ฉัน , สมการ
หรือสมการ
ที่ไหน เอ-ค่าสุดท้ายที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ เอ็กซ์
ตัวอย่างที่ 3ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องจะได้รับ เอ็กซ์ฉ(เอ็กซ์)=λ (1-แล็กซ์/2) ในช่วงเวลา (0; 2/λ); นอกช่วงเวลานี้ ฉ(เอ็กซ์)= 0. เราจำเป็นต้องค้นหาสูตรที่ชัดเจนเพื่อแสดงค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์
สารละลาย. ตามกฎข้อ 2 ให้เราเขียนสมการ
หลังจากทำการอินทิเกรตและแก้สมการกำลังสองที่ได้ผลลัพธ์แล้ว เอ็กซ์ ฉันในที่สุดเราก็ได้
