ตารางคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น ฟังก์ชันและกราฟ

1) ขอบเขตฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

ขอบเขตของฟังก์ชันคือชุดของค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน y = ฉ(x)กำหนดไว้ พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด yที่ฟังก์ชันยอมรับ

ในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชันศูนย์.

ศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

3) ช่วงเวลาของความคงตัวของเครื่องหมายของฟังก์ชัน.

ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าของฟังก์ชันเป็นค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น

4) ความน่าเบื่อของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ลดฟังก์ชัน (ในบางช่วงเวลา) - ฟังก์ชันที่ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่โดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรตามแหล่งกำเนิดและสำหรับใดๆ Xจากขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = ฉ(x). กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่โดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแหล่งกำเนิดและสำหรับใดๆ Xจากขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = - ฉ(x .)). กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันเรียกว่า bounded ถ้ามีจำนวนบวก M เช่นนั้น |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่มีขอบเขต

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) เป็นคาบถ้ามีจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ T ซึ่งสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน f(x+T) = f(x) จำนวนที่น้อยที่สุดนี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นระยะ (สูตรตรีโกณมิติ).

19. ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน คุณสมบัติ และกราฟ การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันในระบบเศรษฐกิจ

ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติและกราฟของมัน

1. ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น เรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม โดยที่ x เป็นตัวแปร และ b เป็นจำนวนจริง

ตัวเลข เอเรียกว่า ความชันของเส้นตรง เท่ากับ แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงนี้ กับทิศทางบวกของแกน x กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเป็นเส้นตรง มันถูกกำหนดโดยสองจุด

คุณสมบัติฟังก์ชันเชิงเส้น

1. โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด: D (y) \u003d R

2. เซตของค่าคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด: E(y)=R

3. ฟังก์ชันใช้ค่าศูนย์สำหรับหรือ

4. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ

5. ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ อนุพันธ์ และ .

2. ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ x เป็นตัวแปร สัมประสิทธิ์ a, b, c คือจำนวนจริง เรียกว่า กำลังสอง

ความรู้ ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน คุณสมบัติ และกราฟสำคัญไม่น้อยไปกว่าการรู้ตารางสูตรคูณ พวกเขาเป็นเหมือนรากฐาน ทุกสิ่งทุกอย่างขึ้นอยู่กับพวกเขา ทุกสิ่งทุกอย่างถูกสร้างขึ้นจากพวกเขา และทุกสิ่งทุกอย่างลงมาที่พวกเขา

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการฟังก์ชันพื้นฐานหลักทั้งหมด ให้กราฟ และให้โดยไม่มีที่มาและการพิสูจน์ คุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นตามโครงการ:

พฤติกรรมของฟังก์ชันบนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ เส้นกำกับแนวตั้ง (หากจำเป็น ให้ดูการจัดหมวดหมู่บทความของจุดพักของฟังก์ชัน)
คู่และคี่;
นูน (นูนขึ้น) และความเว้า (นูนลง) ช่วงเวลา จุดผัน (ถ้าจำเป็น ดูบทความฟังก์ชันนูน ทิศทางนูน จุดโค้งงอ นูนและเงื่อนไขการผัน);
เส้นกำกับเฉียงและแนวนอน
ฟังก์ชั่นจุดเอกพจน์
คุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันบางอย่าง (เช่น คาบบวกที่เล็กที่สุดสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

หากคุณสนใจหรือคุณสามารถไปที่ส่วนเหล่านี้ของทฤษฎีได้

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานได้แก่ ฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่) รากของดีกรีที่ n ฟังก์ชันกำลัง เลขชี้กำลัง ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

การนำทางหน้า

ฟังก์ชั่นถาวร

ฟังก์ชันคงที่ถูกกำหนดในชุดของจำนวนจริงทั้งหมดโดยสูตร โดยที่ C คือจำนวนจริงบางจำนวน ฟังก์ชันคงที่กำหนดค่าจริงแต่ละค่าของตัวแปรอิสระ x ค่าเดียวกันของตัวแปรตาม y - ค่า C ฟังก์ชันคงที่เรียกอีกอย่างว่าค่าคงที่

กราฟของฟังก์ชันคงที่คือเส้นตรงขนานกับแกน x และผ่านจุดที่มีพิกัด (0,C) ตัวอย่างเช่น ให้แสดงกราฟของฟังก์ชันคงที่ y=5 , y=-2 และ ซึ่งในรูปด้านล่างสอดคล้องกับเส้นสีดำ สีแดง และสีน้ำเงินตามลำดับ

คุณสมบัติของฟังก์ชันคงที่

โดเมนของคำจำกัดความ: เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ฟังก์ชันคงที่คือคู่
ช่วงของค่า: ชุดประกอบด้วยตัวเลขเดียว C
ฟังก์ชันคงที่คือการไม่เพิ่มขึ้นและไม่ลดลง (นั่นคือสาเหตุที่ค่าคงที่)
มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงความนูนและความเว้าของค่าคงที่
ไม่มีเส้นกำกับ
ฟังก์ชันส่งผ่านจุด (0,C) ของระนาบพิกัด

รากของดีกรีที่ n

พิจารณาฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน ซึ่งกำหนดโดยสูตร โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหนึ่ง

รากของดีกรีที่ n n เป็นจำนวนคู่

เริ่มจากฟังก์ชันรูทที่ n สำหรับค่าคู่ของเลขชี้กำลังรูท n

ตัวอย่างเช่น เราให้รูปภาพที่มีรูปภาพของกราฟของฟังก์ชัน และสอดคล้องกับเส้นสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน

กราฟของฟังก์ชันของรากของระดับคู่มีรูปแบบที่คล้ายกันสำหรับค่าอื่นๆ ของตัวบ่งชี้

คุณสมบัติของรากของดีกรีที่ n สำหรับเลขคู่ n

รากของดีกรีที่ n n เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันรูทของดีกรีที่ n ที่มีเลขชี้กำลังคี่ของรูท n ถูกกำหนดบนชุดของจำนวนจริงทั้งหมด ตัวอย่างเช่น เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชัน และ เส้นโค้งสีดำ สีแดง และสีน้ำเงินจะสัมพันธ์กัน

สำหรับค่าเลขคี่อื่นๆ ของเลขชี้กำลังราก กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของรูทของดีกรีที่ n สำหรับคี่ n

ฟังก์ชันพาวเวอร์

ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตรของแบบฟอร์ม

พิจารณาประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง

มาเริ่มกันที่ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a ในกรณีนี้ รูปแบบของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังคู่หรือเลขคี่ เช่นเดียวกับเครื่องหมายของมัน ดังนั้นก่อนอื่นเราพิจารณาฟังก์ชันกำลังสำหรับค่าบวกคี่ของเลขชี้กำลัง a จากนั้นสำหรับค่าบวกจากนั้นสำหรับเลขชี้กำลังลบคี่และสุดท้ายสำหรับค่าลบ a แม้แต่

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนและไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว) ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง a เราจะพิจารณามัน ประการแรก เมื่อ a มีค่าจากศูนย์ถึงหนึ่ง ประการที่สอง เมื่อ a มากกว่าหนึ่ง ประการที่สาม เมื่อ a มีค่าตั้งแต่ลบหนึ่งถึงศูนย์ และประการที่สี่ เมื่อ a น้อยกว่าลบหนึ่ง

โดยสรุปของส่วนย่อยนี้ เพื่อความสมบูรณ์ เราอธิบายฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคี่

พิจารณาฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคี่ นั่นคือ a=1,3,5,…

รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง - เส้นสีเขียว สำหรับ a=1 เรามี ฟังก์ชันเชิงเส้น y=x .

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคี่

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวก

พิจารณาฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นบวก นั่นคือ สำหรับ a=2,4,6,…

ยกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลัง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง สำหรับ a=2 เรามีฟังก์ชันกำลังสองที่มีกราฟเป็น พาราโบลากำลังสอง.

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นบวก

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบคี่

ดูกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับค่าลบคี่ของเลขชี้กำลัง นั่นคือสำหรับ a \u003d -1, -3, -5, ....

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นตัวอย่าง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง - เส้นสีเขียว สำหรับ a=-1 เรามี สัดส่วนผกผันซึ่งกราฟคือ ไฮเปอร์โบลา.

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบคี่

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังติดลบเท่ากัน

มาต่อกันที่ฟังก์ชันพาวเวอร์กันที่ a=-2,-4,-6,….

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง

บันทึก!ถ้า a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนคี่ ผู้เขียนบางคนถือว่าช่วงเวลานั้นเป็นโดเมนของฟังก์ชันกำลัง ในขณะเดียวกัน ก็กำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ตอนนี้ผู้เขียนตำราหลายเล่มเกี่ยวกับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ไม่ได้กำหนด ฟังก์ชันกำลังกับเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เราจะยึดตามมุมมองดังกล่าว นั่นคือ เราจะพิจารณาโดเมนของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเศษส่วนเป็นเซต เราสนับสนุนให้นักเรียนเข้าใจมุมมองของครูในประเด็นที่ละเอียดอ่อนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

พิจารณาฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะ a และ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a=11/12 (เส้นสีดำ), a=5/7 (เส้นสีแดง), (เส้นสีน้ำเงิน), a=2/5 (เส้นสีเขียว)

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มมากกว่าหนึ่ง

พิจารณาฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม a และ

ให้เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันกำลังที่กำหนดโดยสูตร (เส้นสีดำ แดง น้ำเงิน และเขียว ตามลำดับ)

สำหรับค่าอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง a กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังสำหรับ .

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงที่มากกว่าลบหนึ่งและน้อยกว่าศูนย์

บันทึก!ถ้า a เป็นเศษส่วนติดลบที่มีตัวส่วนคี่ ผู้เขียนบางคนจะพิจารณาช่วงเวลา . ในขณะเดียวกัน ก็กำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ตอนนี้ผู้เขียนตำราหลายเล่มเกี่ยวกับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ไม่ได้กำหนด ฟังก์ชันกำลังกับเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เราจะยึดตามมุมมองดังกล่าว นั่นคือ เราจะพิจารณาโดเมนของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบเศษส่วนเป็นเซตตามลำดับ เราสนับสนุนให้นักเรียนเข้าใจมุมมองของครูในประเด็นที่ละเอียดอ่อนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

เราส่งผ่านไปยังฟังก์ชันกำลัง โดยที่

เพื่อให้มีความคิดที่ดีเกี่ยวกับประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลัง เราจะยกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชัน (เส้นโค้งสีดำ สีแดง สีน้ำเงิน และสีเขียว ตามลำดับ)

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง a , .

ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งน้อยกว่าลบหนึ่ง

ให้เรายกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับ โดยจะแสดงเป็นเส้นสีดำ แดง น้ำเงิน และเขียวตามลำดับ

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มน้อยกว่าลบหนึ่ง

เมื่อ a=0 และเรามีฟังก์ชัน - นี่คือเส้นตรงที่ไม่รวมจุด (0; 1) (นิพจน์ 0 0 ตกลงที่จะไม่ให้ความสำคัญใด ๆ )

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หนึ่งในฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ตำแหน่ง และรูปแบบที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a ลองคิดออก

อันดับแรก ให้พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับค่าจากศูนย์เป็นหนึ่ง นั่นคือ

ตัวอย่างเช่น เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับ a = 1/2 - เส้นสีน้ำเงิน, a = 5/6 - เส้นสีแดง กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะคล้ายกันสำหรับค่าอื่นๆ ของฐานจากช่วง

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานน้อยกว่าหนึ่ง

เราพิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมากกว่า 1 นั่นคือ

ในภาพประกอบ เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - เส้นสีน้ำเงินและ - เส้นสีแดง สำหรับค่าอื่นๆ ของฐาน มากกว่าหนึ่ง กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีลักษณะที่คล้ายคลึงกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานถัดไปคือฟังก์ชันลอการิทึม โดยที่ , ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้น นั่นคือ สำหรับ .

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมจะมีรูปแบบต่างกันไปขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน คุณสมบัติโดยธรรมชาติ และกราฟที่สอดคล้องกันเป็นหนึ่งในพื้นฐานของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีความสำคัญใกล้เคียงกับตารางการคูณ ฟังก์ชันพื้นฐานเป็นพื้นฐาน สนับสนุนการศึกษาปัญหาทางทฤษฎีทั้งหมด

Yandex.RTB R-A-339285-1

บทความด้านล่างนี้มีเนื้อหาสำคัญในหัวข้อฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เราจะแนะนำคำศัพท์ ให้คำจำกัดความ ให้เราศึกษารายละเอียดฟังก์ชันพื้นฐานแต่ละประเภทและวิเคราะห์คุณสมบัติของมัน

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่);
รากของระดับที่ n;
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติภราดรภาพ

ฟังก์ชันคงที่ถูกกำหนดโดยสูตร: y = C (C คือจำนวนจริงบางส่วน) และยังมีชื่อ: ค่าคงที่ ฟังก์ชันนี้กำหนดว่าค่าจริงใดๆ ของตัวแปรอิสระ x สอดคล้องกับค่าเดียวกันของตัวแปร y – ค่า C หรือไม่

กราฟของค่าคงที่คือเส้นตรงที่ขนานกับแกน x และผ่านจุดที่มีพิกัด (0, C) เพื่อความชัดเจน เราขอนำเสนอกราฟของฟังก์ชันคงที่ y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (วาดด้วยสีดำ สีแดง และสีน้ำเงินตามลำดับ)

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชันพื้นฐานนี้กำหนดโดยสูตร y = x n (n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหนึ่ง)

ลองพิจารณาสองรูปแบบของฟังก์ชัน

รูตของดีกรีที่ n n เป็นจำนวนคู่

เพื่อความชัดเจน เราระบุภาพวาดซึ่งแสดงกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว: y = x , y = x 4 และ y = x 8 . ฟังก์ชันเหล่านี้มีรหัสสี: สีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน ตามลำดับ

มุมมองที่คล้ายกันของกราฟของฟังก์ชันระดับคู่สำหรับค่าอื่นๆ ของตัวบ่งชี้

คำจำกัดความ 3

คุณสมบัติของฟังก์ชันรูทของดีกรีที่ n n เป็นจำนวนคู่

โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทั้งหมด [ 0 , + ∞) ;
เมื่อ x = 0 ฟังก์ชัน y = x n มีค่าเท่ากับศูนย์
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่)
ช่วง: [ 0 , + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้ y = x n โดยมีเลขชี้กำลังเลขคู่ของรูทเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันมีส่วนนูนที่มีทิศทางขึ้นเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
กราฟของฟังก์ชันสำหรับ n คู่ผ่านจุด (0 ; 0) และ (1 ; 1)

รูตของดีกรีที่ n n เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันดังกล่าวถูกกำหนดบนชุดของจำนวนจริงทั้งหมด เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = x 3 , y = x 5 และ x 9 . ในภาพวาดจะระบุด้วยสี: เส้นโค้งสีดำสีแดงและสีน้ำเงินตามลำดับ

ค่าคี่อื่น ๆ ของเลขชี้กำลังของรูทของฟังก์ชัน y = x n จะให้กราฟของรูปแบบที่คล้ายกัน

คำจำกัดความ 4

คุณสมบัติของฟังก์ชันรูทของดีกรีที่ n n คือเลขคี่

โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่
ช่วงของค่าคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด
ฟังก์ชัน y = x n ที่มีเลขชี้กำลังคี่ของรูทเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันมีความเว้าบนช่วงเวลา (- ∞ ; 0 ] และนูนบนช่วงเวลา [ 0 , + ∞) ;
จุดเปลี่ยนมีพิกัด (0 ; 0) ;
ไม่มีเส้นกำกับ
กราฟของฟังก์ชันคี่ n ผ่านจุด (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) และ (1 ; 1)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

คำจำกัดความ 5

ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร y = x a

ประเภทของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง

เมื่อฟังก์ชันกำลังมีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a รูปแบบของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมันจะขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ และเครื่องหมายของเลขชี้กำลังมีอะไรบ้าง ให้เราพิจารณากรณีพิเศษทั้งหมดเหล่านี้โดยละเอียดด้านล่าง
เลขชี้กำลังอาจเป็นเศษส่วนหรือไม่ลงตัวก็ได้ ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ประเภทของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันก็แตกต่างกันไป เราจะวิเคราะห์กรณีพิเศษโดยกำหนดเงื่อนไขหลายประการ: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
ฟังก์ชันกำลังจะมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ เราจะวิเคราะห์กรณีนี้โดยละเอียดด้านล่างด้วย

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคี่ เช่น a = 1 , 3 , 5 …

เพื่อความชัดเจน เราระบุกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว: y = x (สีดำของกราฟ) y = x 3 (สีน้ำเงินของแผนภูมิ) y = x 5 (สีแดงของกราฟ) y = x 7 (กราฟสีเขียว) เมื่อ a = 1 เราจะได้ฟังก์ชันเชิงเส้น y = x

คำจำกัดความ 6

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นค่าบวกคี่

ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0 ; 0) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น);
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1)

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวก เช่น a = 2 , 4 , 6 ...

เพื่อความชัดเจน เราระบุกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว: y \u003d x 2 (สีดำของกราฟ) y = x 4 (สีฟ้าของกราฟ) y = x 8 (สีแดงของกราฟ) เมื่อ a = 2 เราจะได้ฟังก์ชันกำลังสองที่มีกราฟเป็นพาราโบลากำลังสอง

คำจำกัดความ 7

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นบวก:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ลดลงสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
ฟังก์ชันเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1)

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนลบคี่: y = x - 9 (สีดำของกราฟ); y = x - 5 (สีน้ำเงินของกราฟ); y = x - 3 (สีแดงของแผนภูมิ); y = x - 1 (กราฟสีเขียว) เมื่อ a \u003d - 1 เราจะได้สัดส่วนผกผัน ซึ่งกราฟที่เป็นไฮเปอร์โบลา

คำจำกัดความ 8

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นค่าลบคี่:

เมื่อ x \u003d 0 เราได้รับความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สองเนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ สำหรับ a \u003d - 1, - 3, - 5, .... ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

ช่วง: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันเป็นเลขคี่เพราะ y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

จุดผ่านฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1)

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟฟังก์ชันกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนลบคู่: y = x - 8 (แผนภูมิเป็นสีดำ); y = x - 4 (สีน้ำเงินของกราฟ); y = x - 2 (สีแดงของกราฟ)

คำจำกัดความ 9

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบ:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

เมื่อ x \u003d 0 เราได้รับความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สองเนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ สำหรับ a \u003d - 2, - 4, - 6, .... ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

ฟังก์ชันเป็นคู่เพราะ y (- x) = y (x) ;
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และลดลงสำหรับ x ∈ 0 ; +∞ ;
ฟังก์ชันเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรง y = 0 เพราะ:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

จุดผ่านฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

จากจุดเริ่มต้น ให้ใส่ใจกับประเด็นต่อไปนี้: ในกรณีที่ a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนคี่ ผู้เขียนบางคนใช้ช่วงเวลา - ∞ เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังนี้ + ∞ โดยกำหนดให้เลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ในขณะนี้ ผู้เขียนสิ่งพิมพ์ทางการศึกษาจำนวนมากเกี่ยวกับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลัง ซึ่งเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของการโต้แย้ง นอกจากนี้ เราจะยึดตามตำแหน่งดังกล่าว: เราใช้เซต [ 0 ; +∞) . คำแนะนำสำหรับนักเรียน: ค้นหามุมมองของครู ณ จุดนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

มาดูฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ โดยมีเงื่อนไขว่า 0< a < 1 .

ให้เราอธิบายด้วยกราฟฟังก์ชันกำลัง y = x a เมื่อ a = 11 12 (แผนภูมิเป็นสีดำ); a = 5 7 (สีแดงของกราฟ); a = 1 3 (สีน้ำเงินของแผนภูมิ); a = 2 5 (สีเขียวของกราฟ)

ค่าอื่นของเลขชี้กำลัง a (สมมติว่า 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

คำจำกัดความ 10

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังที่ 0< a < 1:

ช่วง: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; +∞) ;
ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยมีเงื่อนไขว่า a > 1

เราแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x a ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดในตัวอย่างของฟังก์ชันดังกล่าว: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (สีดำ แดง น้ำเงิน เขียวของกราฟตามลำดับ) .

ค่าอื่นของเลขชี้กำลัง a ภายใต้เงื่อนไข a > 1 จะให้มุมมองที่คล้ายคลึงกันของกราฟ

คำจำกัดความ 11

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังสำหรับ > 1:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
ช่วง: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; +∞) ;
ฟังก์ชันเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) (เมื่อ 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านฟังก์ชัน: (0 ; 0) , (1 ; 1)

เราดึงความสนใจของคุณออกมา เมื่อ a เป็นเศษส่วนติดลบที่มีตัวส่วนคี่ ในงานของผู้เขียนบางคนมีความเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความในกรณีนี้คือช่วง - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) ด้วยเงื่อนไขที่เลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ในขณะนี้ ผู้เขียนสื่อการศึกษาเกี่ยวกับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลังกับเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของการโต้แย้ง นอกจากนี้ เรายึดตามมุมมองดังกล่าว: เรานำเซต (0 ; + ∞) เป็นโดเมนของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบเศษส่วน คำแนะนำสำหรับนักเรียน: ชี้แจงวิสัยทัศน์ของครู ณ จุดนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

เราดำเนินการต่อหัวข้อและวิเคราะห์ฟังก์ชั่นพลังงาน y = x a ที่ให้ไว้: - 1< a < 0 .

นี่คือภาพวาดกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (เส้นสีดำ สีแดง สีน้ำเงิน สีเขียว ตามลำดับ ).

คำจำกัดความ 12

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังที่ - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ เมื่อ - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

ช่วง: y ∈ 0 ; +∞ ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ไม่มีจุดเปลี่ยน

ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (สีดำ สีแดง สีน้ำเงิน สีเขียวของเส้นโค้งตามลำดับ)

คำจำกัดความ 13

คุณสมบัติฟังก์ชันกำลังสำหรับ a< - 1:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ เมื่อ a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

ช่วง: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ฟังก์ชันกำลังลดลงสำหรับ x ∈ 0; +∞ ;
ฟังก์ชันเว้าสำหรับ x ∈ 0; +∞ ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอน - เส้นตรง y = 0 ;
จุดผ่านฟังก์ชัน: (1 ; 1) .

เมื่อ a \u003d 0 และ x ≠ 0 เราได้รับฟังก์ชัน y \u003d x 0 \u003d 1 ซึ่งกำหนดเส้นตรงที่ไม่รวมจุด (0; 1) (เราตกลงกันว่านิพจน์ 0 0 จะไม่เป็น ให้มีค่าใดๆ)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้จะดูแตกต่างไปตามค่าของฐาน a พิจารณากรณีพิเศษ

อันดับแรก มาวิเคราะห์สถานการณ์เมื่อฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าจากศูนย์ถึงหนึ่ง (0< a < 1) . ตัวอย่างที่แสดงเป็นตัวอย่างคือกราฟของฟังก์ชันสำหรับ a = 1 2 (สีน้ำเงินของเส้นโค้ง) และ a = 5 6 (สีแดงของเส้นโค้ง)

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีรูปแบบที่คล้ายกันสำหรับค่าอื่นๆ ของฐาน โดยมีเงื่อนไขว่า 0< a < 1 .

คำจำกัดความ 14

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:

ช่วง: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานน้อยกว่าหนึ่งกำลังลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอนคือเส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ + ∞ ;

พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมากกว่า 1 (a > 1)

มายกตัวอย่างกรณีพิเศษนี้ด้วยกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = 3 2 x (สีฟ้าของเส้นโค้ง) และ y = e x (สีแดงของกราฟ)

ค่าอื่น ๆ ของฐานที่มากกว่าหนึ่งจะให้มุมมองที่คล้ายคลึงกันของกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความ 15

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:

โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ช่วง: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่งกำลังเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ฟังก์ชันเว้าสำหรับ x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอน - เส้นตรง y = 0 พร้อมตัวแปร x พุ่งไปที่ - ∞ ;
จุดผ่านฟังก์ชัน: (0 ; 1)

ฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบ y = log a (x) โดยที่ a > 0 , a ≠ 1

ฟังก์ชันดังกล่าวถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้น: สำหรับ x ∈ 0 ; +∞ .

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a

พิจารณาสถานการณ์ก่อนเมื่อ 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

ค่าฐานอื่น ๆ ไม่เกินหนึ่งจะให้มุมมองที่คล้ายคลึงกันของกราฟ

คำจำกัดความ 16

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; +∞ . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา ค่าของฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น + ∞
ช่วง: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ลอการิทึม
ฟังก์ชันเว้าสำหรับ x ∈ 0; +∞ ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ

ตอนนี้ มาวิเคราะห์กรณีพิเศษเมื่อฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง: a > 1 . ในภาพวาดด้านล่าง มีกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม y = log 3 2 x และ y = ln x (สีฟ้าและสีแดงของกราฟตามลำดับ)

ค่าอื่น ๆ ของฐานที่มากกว่าหนึ่งจะให้มุมมองที่คล้ายคลึงกันของกราฟ

คำจำกัดความ 17

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; +∞ . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา ค่าของฟังก์ชันมักจะเป็น - ∞;
ช่วง: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ทั้งชุดของจำนวนจริง);
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือคู่)
ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ 0; +∞ ;
ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ 0; +∞ ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านฟังก์ชัน: (1 ; 0)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มาวิเคราะห์คุณสมบัติของแต่ละรายการและกราฟที่เกี่ยวข้องกัน

โดยทั่วไป ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดมีลักษณะเฉพาะโดยคุณสมบัติของคาบเช่น เมื่อค่าของฟังก์ชันซ้ำกันสำหรับค่าต่าง ๆ ของอาร์กิวเมนต์ที่ต่างกันโดยค่าของคาบ f (x + T) = f (x) (T คือคาบ) ดังนั้นรายการ "ช่วงเวลาบวกน้อยที่สุด" จะถูกเพิ่มลงในรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนี้เราจะระบุค่าดังกล่าวของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องหายไป

ฟังก์ชันไซน์: y = บาป(x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นไซน์

คำจำกัดความ 18

คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์:

โดเมนของคำจำกัดความ: ทั้งชุดของจำนวนจริง x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);
ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
ฟังก์ชันไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด π 2 + 2 π · k ; 1 และจุดต่ำสุดในพื้นที่ - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
ฟังก์ชันไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันโคไซน์: y=cos(x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นโคไซน์

คำจำกัดความ 19

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคไซน์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ช่วงเวลาบวกที่เล็กที่สุด: T \u003d 2 π;
ช่วง: y ∈ - 1 ; หนึ่ง ;
ฟังก์ชันนี้เป็นค่าคู่ เนื่องจาก y (- x) = y (x) ;
ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด 2 π · k ; 1 , k ∈ Z และจุดต่ำสุดในพื้นที่ π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
ฟังก์ชันโคไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
จุดผันแปรมีพิกัด π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันแทนเจนต์: y = t ก. (x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่า แทนเจนทอยด์

คำจำกัดความ 20

คุณสมบัติของฟังก์ชันแทนเจนต์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);
พฤติกรรมของฟังก์ชันแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . ดังนั้น เส้น x = π 2 + π · k k ∈ Z เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);
ช่วง: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ฟังก์ชันนี้คี่เพราะ y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นที่ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
ฟังก์ชันแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
จุดเปลี่ยนมีพิกัด π k; 0 , k ∈ Z ;

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์: y = c t ก. (x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าโคแทนเจนตอยด์ .

คำจำกัดความ 21

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคแทนเจนต์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ (π k ; π + π k) โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);

พฤติกรรมของฟังก์ชันโคแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . ดังนั้น เส้น x = π k k ∈ Z เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

ช่วงเวลาบวกที่เล็กที่สุด: T \u003d π;
ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π 2 + π k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);
ช่วง: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ฟังก์ชันนี้คี่เพราะ y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
ฟังก์ชันโคแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
จุดผันแปรมีพิกัด π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
ไม่มีเส้นกำกับเฉียงและแนวนอน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันคือ อาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์ บ่อยครั้งเนื่องจากการมีอยู่ของคำนำหน้า "ส่วนโค้ง" ในชื่อ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจึงเรียกว่าฟังก์ชันส่วนโค้ง .

ฟังก์ชันอาร์คไซน์: y = a r c sin (x)

คำจำกัดความ 22

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คไซน์:

ฟังก์ชันนี้คี่เพราะ y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชันอาร์กไซน์เว้าสำหรับ x ∈ 0; 1 และนูนสำหรับ x ∈ - 1 ; 0;
จุดผันแปรมีพิกัด (0 ; 0) นอกจากนี้ยังเป็นศูนย์ของฟังก์ชัน
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันอาร์โคไซน์: y = a r c cos (x)

คำจำกัดความ 23

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ - 1 ; หนึ่ง ;
ช่วง: y ∈ 0 ; พาย;
ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่)
ฟังก์ชันกำลังลดลงในขอบเขตทั้งหมดของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์เว้าสำหรับ x ∈ - 1 ; 0 และนูนสำหรับ x ∈ 0 ; หนึ่ง ;
จุดเปลี่ยนมีพิกัด 0 ; π2;
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์: y = a r c t g (x)

คำจำกัดความ 24

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ช่วง: y ∈ - π 2 ; π2;
ฟังก์ชันนี้คี่เพราะ y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์เว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และนูนสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
จุดผันมีพิกัด (0; 0) นอกจากนี้ยังเป็นศูนย์ของฟังก์ชัน
เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรง y = - π 2 สำหรับ x → - ∞ และ y = π 2 สำหรับ x → + ∞ (เส้นกำกับในรูปคือเส้นสีเขียว)

ฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์: y = a r c c t ก. (x)

คำจำกัดความ 25

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ช่วง: y ∈ (0 ; π) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นแบบทั่วไป
ฟังก์ชันกำลังลดลงในขอบเขตทั้งหมดของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์เว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) และความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
จุดเปลี่ยนมีพิกัด 0 ; π2;
เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรง y = π ที่ x → - ∞ (เส้นสีเขียวในรูปวาด) และ y = 0 ที่ x → + ∞

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter