สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบร่างกาย สมการการเคลื่อนที่ศูนย์กลาง

จุดศูนย์กลางมวลของระบบคือจุดที่มีเวกเตอร์รัศมี

สำหรับการกระจายมวลอย่างต่อเนื่องด้วยความหนาแน่น 
. ถ้าแรงโน้มถ่วงที่ใช้กับแต่ละอนุภาคของระบบถูกชี้นำ ทางเดียวจากนั้นจุดศูนย์กลางมวลจะตรงกับจุดศูนย์ถ่วง แต่ถ้า
ไม่ขนานกันแล้วจุดศูนย์กลางมวลกับจุดศูนย์ถ่วงจะไม่ตรงกัน

การหาอนุพันธ์เวลาของ , เราได้รับ:

เหล่านั้น. โมเมนตัมทั้งหมดของระบบมีค่าเท่ากับผลคูณของมวลและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล

แทนที่นิพจน์นี้เป็นกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมทั้งหมด เราพบว่า:

จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่เป็นอนุภาคซึ่งมวลทั้งหมดของระบบกระจุกตัวและเกิดเป็นผลลัพธ์ ภายนอกกองกำลัง.

ที่ ความก้าวหน้าการเคลื่อนที่ จุดทั้งหมดของร่างกายที่แข็งกระด้างเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับจุดศูนย์กลางมวล (ตามวิถีเดียวกัน) ดังนั้นเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่เชิงแปล การเขียนและแก้สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลก็เพียงพอแล้ว

เพราะ
แล้วจุดศูนย์กลางมวล ระบบปิดต้องคงสภาพการพักหรือการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ กล่าวคือ = คอนเทมโพรารี แต่ในขณะเดียวกันทั้งระบบก็สามารถหมุน กระจาย ระเบิด ฯลฯ ได้ อันเป็นผลจากการกระทำ กองกำลังภายใน.

1. แรงขับเจ็ท สมการเมชเชอร์สกี้

ปฏิกิริยาคือการเคลื่อนไหวของร่างกายซึ่ง ภาคยานุวัติหรือ ทิ้งฝูง ในกระบวนการเคลื่อนที่จะมีการเปลี่ยนแปลงมวลกาย: ในช่วงเวลา dt วัตถุมวล m เพิ่ม (ดูดซับ) หรือทิ้ง (ปล่อย) มวล dm ด้วยความเร็ว สัมพันธ์กับร่างกาย; ในกรณีแรก dm>0 ใน dm . ที่สอง<0.

พิจารณาการเคลื่อนไหวดังกล่าวจากตัวอย่างของจรวด ไปที่หน้าต่างอ้างอิงเฉื่อย K" ซึ่งในเวลาที่กำหนด t กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน เหมือนจรวด - ISO เช่นนี้เรียกว่า มาพร้อมกับ– ในกรอบอ้างอิงนี้ จรวดอยู่ในขณะนี้ t พักผ่อน(ความเร็วจรวดในระบบนี้ =0). หากผลรวมของแรงภายนอกที่กระทำต่อจรวดไม่เท่ากับศูนย์ สมการการเคลื่อนที่ของจรวดในระบบ K" แต่เนื่องจาก IFR ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน ดังนั้นในระบบ K สมการจะมีรูปแบบเดียวกัน:

นี้ - สมการเมชเชอร์สกี้บรรยายการเคลื่อนไหว ร่างกายใด ๆด้วยมวลผันแปร)

ในสมการ มวล m เป็นตัวแปร และไม่สามารถนำมาอยู่ภายใต้เครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ เทอมที่สองทางด้านขวาของสมการเรียกว่า เจ็ทแรง

สำหรับจรวด แรงปฏิกิริยาจะทำหน้าที่เป็นแรงผลัก แต่ถ้าเพิ่มมวลเข้าไป dm/dt>0 แรงปฏิกิริยาจะเป็นแรงลดความเร็วด้วย (เช่น เมื่อจรวดเคลื่อนที่ในเมฆแห่งจักรวาล ฝุ่น).

1. พลังงานระบบอนุภาค

พลังงานของระบบอนุภาคประกอบด้วยจลนศาสตร์และศักย์ พลังงานจลน์ของระบบคือผลรวมของพลังงานจลน์ของอนุภาคทั้งหมดในระบบ

และตามคำจำกัดความคือปริมาณ สารเติมแต่ง(เช่นเดียวกับโมเมนตัม).

สถานการณ์จะแตกต่างกับพลังงานศักย์ของระบบ ประการแรก แรงปฏิสัมพันธ์กระทำระหว่างอนุภาคของระบบ
. ดังนั้นA ij =-dU ij โดยที่ U ij คือพลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ของอนุภาค i-th และ j-th การรวม U ij เหนืออนุภาคทั้งหมดของระบบ เราพบสิ่งที่เรียกว่า พลังงานศักย์ของตัวเองระบบ:

ที่สำคัญคือ พลังงานศักย์ของระบบขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าเท่านั้นยิ่งไปกว่านั้น ค่านี้ไม่ใช่การเติมแต่ง

ประการที่สอง แรงภายนอกกระทำต่อแต่ละอนุภาคของระบบ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าแรงเหล่านี้เป็นแบบอนุรักษ์นิยม งานของพวกมันจะเท่ากับการสูญเสียพลังงานศักย์ภายนอก A=-dU ต่อ โดยที่

โดยที่ U i คือพลังงานศักย์ของอนุภาคที่ i ในสนามภายนอก ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของอนุภาคทั้งหมดในสนามภายนอกและเป็นสารเติมแต่ง

ดังนั้นพลังงานกลทั้งหมดของระบบอนุภาคในสนามศักย์ภายนอกจึงถูกกำหนดเป็น

E syst =K syst +U ต่อ +U ต่อ

ระบบกลไกคือชุดเนื้อหาที่เลือกไว้ล่วงหน้าโดยพลการซึ่งกำลังวิเคราะห์พฤติกรรมอยู่

ในสิ่งต่อไปนี้จะใช้กฎต่อไปนี้: ในการตัดสินใจทางคณิตศาสตร์ ลักษณะของจุดที่มีสาระ แตกต่างจากลักษณะของวัตถุจะมีดัชนี

BODY MASS คือผลรวมของมวลของจุดวัสดุทั้งหมดที่ประกอบเป็นร่างกายนี้

แรงภายนอก - สิ่งเหล่านี้คือแรงของปฏิกิริยาของจุดวัสดุที่รวมอยู่ในระบบกลไกและไม่รวมอยู่ด้วย

แรงภายใน - สิ่งเหล่านี้คือแรงของปฏิกิริยาของจุดวัสดุที่รวมอยู่ในระบบกลไก

ทฤษฎีบท D1. ผลรวมของแรงภายในของระบบกลไกจะเป็นศูนย์เสมอ.

การพิสูจน์. ตามความจริง D5 สำหรับจุดวัสดุคู่ใดๆ ของระบบกลไก ผลรวมของแรงของปฏิกิริยาจะเท่ากับศูนย์เสมอ แต่จุดที่มีปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดอยู่ในระบบ และด้วยเหตุนี้ กองกำลังภายในใดๆ จะพบพลังภายในที่เป็นปฏิปักษ์เสมอ ดังนั้นผลรวมของแรงภายในทั้งหมดจึงจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ Ch.t.d.

ทฤษฎีบท D2.ผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายในของระบบกลไกจะเท่ากับศูนย์เสมอ.

การพิสูจน์. ตามสัจพจน์ D5 แรงภายในทุกอันจะมีแรงภายในที่เป็นปฏิปักษ์ เนื่องจากแนวการกระทำของกองกำลังเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกัน แขนของพวกมันที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ในอวกาศจะเท่ากัน ดังนั้นโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับจุดที่เลือกในอวกาศจึงมีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน เนื่องจากแรงเป็น มุ่งไปในทางตรงข้าม ดังนั้นผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายในทั้งหมดจึงเท่ากับศูนย์ Ch.t.d.

ทฤษฎีบท D3. ผลคูณของมวลของระบบกลไกทั้งหมดและความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลนั้นเท่ากับผลรวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ

การพิสูจน์. พิจารณาระบบกลไกตามอำเภอใจซึ่งประกอบด้วยวัตถุจำนวนจำกัด ตามสัจพจน์ D2 แต่ละส่วนสามารถแบ่งออกเป็นจุดวัสดุจำนวนจำกัด ให้ทุกอย่างได้รับ นจุดดังกล่าว สำหรับแต่ละจุดดังกล่าว บนพื้นฐานของสัจพจน์ D4 เราสามารถเขียนสมการการเคลื่อนที่ได้

ระบุว่า (KINEMATICS หน้า 3) เช่นเดียวกับการทำลายแรงทั้งหมดที่กระทำต่อ ผม-จุดที่ภายนอกและภายในเราได้รับจากความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้

ถ้าเราสรุปสมการการเคลื่อนที่ของจุดทั้งหมดของระบบ จะได้

การใช้การสับเปลี่ยนของการดำเนินการบวกและอนุพันธ์ (อันที่จริง สัญญาณของการบวกและความแตกต่างสามารถแลกเปลี่ยนกันได้) เราได้รับ

(40)

นิพจน์ที่ได้รับในวงเล็บสามารถแสดงในรูปของพิกัดจุดศูนย์กลางมวลของระบบ (STATICS p. 15)

ที่ไหน มคือมวลของระบบทั้งหมด

เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ

จากทฤษฎีบท D1 พจน์สุดท้ายในนิพจน์ (40) จะหายไป ดังนั้น

หรือ ฯลฯ (41)

ผลที่ตามมา. จุดศูนย์กลางมวลของระบบกลไกเคลื่อนที่ในลักษณะราวกับว่าเป็นจุดวัสดุที่มีมวลทั้งหมดของระบบและนำแรงภายนอกทั้งหมดมา

การเคลื่อนที่ของระบบกลไกในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอก

ทฤษฎีบท D4หากแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบกลไกมีความสมดุลในทิศทางหนึ่ง จุดศูนย์กลางมวลของระบบในทิศทางนี้จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

การพิสูจน์ Xใกล้เคียงกับทิศทางที่แรงภายนอกสมดุล กล่าวคือ ผลรวมของเส้นโครงของแรงภายนอกบนเพลา Xศูนย์

จากนั้นตามทฤษฎีบท D3

เนื่องจากดังนั้น

ถ้าเรารวมนิพจน์สุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้

ทฤษฎีบท D5. หากแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบกลไกมีความสมดุลในทิศทางที่แน่นอนและระบบหยุดนิ่งในช่วงเริ่มต้น ศูนย์กลางมวลของระบบจะยังคงนิ่งอยู่ตลอดการเคลื่อนที่

การพิสูจน์. การให้เหตุผลซ้ำในการพิสูจน์ทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ เราได้มาว่าความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลจะต้องยังคงเท่าเดิมในช่วงเวลาเริ่มต้น กล่าวคือ โมฆะ

เมื่อรวมนิพจน์นี้เข้าด้วยกัน เราจะได้

ทฤษฎีบท D6. หากแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบกลไกมีความสมดุลในทิศทางที่แน่นอนและในช่วงเริ่มต้น ระบบหยุดนิ่ง ผลรวมของผลิตภัณฑ์มวลของส่วนประกอบแต่ละส่วนของระบบและการกระจัดที่แน่นอนของมันเอง จุดศูนย์กลางมวลในทิศทางเดียวกันเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. เราเลือกระบบพิกัดเพื่อให้แกน Xประจวบกับทิศทางที่แรงภายนอกสมดุลหรือไม่มีอยู่ ( F 1 , F 2 , …, F kในรูป 3) กล่าวคือ ผลรวมของเส้นโครงของแรงภายนอกบนเพลา Xศูนย์

เมื่อเรากำลังจัดการกับระบบอนุภาค เป็นการสะดวกที่จะหาจุดดังกล่าว - จุดศูนย์กลางของมวล ซึ่งจะอธิบายลักษณะตำแหน่งและการเคลื่อนที่ของระบบนี้โดยรวม ในระบบของอนุภาคที่เหมือนกันสองอนุภาค จุด C ดังกล่าวจะอยู่ตรงกลางระหว่างอนุภาคทั้งสองอย่างชัดเจน (รูปที่ 110a) สิ่งนี้ชัดเจนจากการพิจารณาความสมมาตร: ในพื้นที่ที่เป็นเนื้อเดียวกันและไอโซโทรปิก จุดนี้ถูกแยกออกจากจุดอื่นๆ ทั้งหมด เพราะสำหรับจุด A อื่นๆ ที่อยู่ใกล้กับอนุภาคตัวใดตัวหนึ่ง จะมีจุด B ที่สมมาตรอยู่ใกล้กัน ถึงอนุภาคที่สอง

ข้าว. 110. จุดศูนย์กลางมวลของอนุภาคที่เหมือนกันสองอนุภาคตั้งอยู่ที่จุด C โดยมีรัศมีเวกเตอร์ ; จุดศูนย์กลางมวลของอนุภาคสองก้อนที่มีมวลต่างกันแบ่งส่วนระหว่างอนุภาคทั้งสองด้วยอัตราส่วนผกผันกับมวลของอนุภาค (b)

เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์รัศมีของจุด C เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของเวกเตอร์รัศมีของอนุภาคที่เหมือนกัน (รูปที่ 110a): กล่าวคือ เป็นค่าเฉลี่ยปกติของเวกเตอร์

การหาจุดศูนย์กลางมวลวิธีการสรุปคำจำกัดความนี้ในกรณีของอนุภาคสองอนุภาคที่มีมวลต่างกันสามารถคาดได้ว่าเมื่อรวมกับศูนย์กลางทางเรขาคณิตของระบบเวกเตอร์รัศมีซึ่งยังคงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมจุดจะมีบทบาทบางอย่าง ตำแหน่งที่ถูกกำหนดโดยการกระจาย

ฉันกินมวล เป็นเรื่องธรรมดาที่จะกำหนดเพื่อให้การมีส่วนร่วมของแต่ละอนุภาคเป็นสัดส่วนกับมวลของมัน:

เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลที่กำหนดโดยสูตร (1) คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของเวกเตอร์รัศมีของอนุภาค ซึ่งเห็นได้ชัดเจนว่าถ้าเราเขียน (1) ใหม่เป็น

เวกเตอร์รัศมีของแต่ละอนุภาคเข้ามาโดยมีน้ำหนักเป็นสัดส่วนกับมวลของมัน ง่ายที่จะเห็นว่าจุดศูนย์กลางของมวล C ที่กำหนดโดยสูตร (1) อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมอนุภาคและแบ่งออกเป็นอัตราส่วนผกผันตามสัดส่วนมวลของอนุภาค: (รูปที่ 110b)

ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าคำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวลที่ให้ไว้ในที่นี้เชื่อมโยงกับสภาวะสมดุลของคานที่คุณรู้จัก ให้เราจินตนาการว่ามวลจุดซึ่งกระทำโดยสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอนั้นเชื่อมต่อกันด้วยแท่งที่มีมวลเล็กน้อยเพียงเล็กน้อย คันโยกดังกล่าวจะอยู่ในภาวะสมดุลหากจุดศูนย์กลางถูกวางไว้ที่จุดศูนย์กลางมวล C

ลักษณะทั่วไปตามธรรมชาติของสูตร (1) ในกรณีของระบบที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่มีมวลและเวกเตอร์รัศมีคือความเท่าเทียมกัน

ซึ่งทำหน้าที่เป็นคำจำกัดความของเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวล (หรือจุดศูนย์กลางของความเฉื่อย) ของระบบ

จุดศูนย์กลางความเร็วมวลจุดศูนย์กลางของมวลไม่เพียงแสดงลักษณะเฉพาะของตำแหน่งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการเคลื่อนที่ของระบบอนุภาคโดยรวมด้วย จุดศูนย์กลางของความเร็วมวล กำหนดโดยความเท่าเทียมกันจาก (2) แสดงในรูปของความเร็วของอนุภาคที่สร้างระบบดังนี้

ตัวเศษทางด้านขวาของนิพจน์นี้ ตามสูตร (6) ของย่อหน้าก่อนหน้าคือโมเมนตัมรวมของระบบ P และตัวส่วนคือมวลรวม M ดังนั้นโมเมนตัมของระบบอนุภาคจึงเท่ากัน เป็นผลคูณของมวลของระบบทั้งหมด M กับความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล

สูตร (4) แสดงว่าโมเมนตัมของระบบสัมพันธ์กับความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลในลักษณะเดียวกับโมเมนตัมของอนุภาคแต่ละตัวสัมพันธ์กับความเร็วของอนุภาค ในแง่นี้การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลเป็นตัวกำหนดลักษณะของการเคลื่อนที่ของระบบโดยรวม

กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบอนุภาคซึ่งแสดงโดยสูตร (9) ของย่อหน้าก่อนหน้านั้นโดยพื้นฐานแล้วคือกฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล จาก (4) ด้วยมวลรวมคงที่ M ของระบบ เราได้

ซึ่งหมายความว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของระบบเท่ากับผลคูณของมวลและความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล เปรียบเทียบ (5) กับสูตร (6) § 29 เราได้รับ

ตามข้อ (6) จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับจุดมวล M วัตถุหนึ่งจุดจะเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรงที่เท่ากับผลรวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคที่รวมอยู่ในระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดศูนย์กลางมวลของระบบทางกายภาพแบบปิด ซึ่งแรงภายนอกไม่กระทำการ เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงในกรอบอ้างอิงเฉื่อย หรืออยู่นิ่ง

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลในหลายกรณีทำให้สามารถหาคำตอบสำหรับคำถามบางข้อได้ง่ายกว่าการใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมโดยตรง ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

นักบินอวกาศนอกเรือนักบินอวกาศจำนวนมากซึ่งไม่สามารถเคลื่อนที่ได้เมื่อเทียบกับยานอวกาศจำนวนมากเมื่อดับเครื่องยนต์ เริ่มดึงตัวเองขึ้นไปบนยานอวกาศด้วยความช่วยเหลือจากเชือกนิรภัยแบบเบา นักบินอวกาศและยานอวกาศจะเดินทางเป็นระยะทางเท่าใดก่อนจะพบกัน หากระยะห่างเริ่มต้นระหว่างพวกเขาคือ

จุดศูนย์กลางมวลของเรือและนักบินอวกาศอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างทั้งสองและระยะทางที่สอดคล้องกันนั้นแปรผกผันกับมวลตั้งแต่นั้นมา

รับทันที

ในพื้นที่ห่างไกลที่ไม่มีแรงภายนอก จุดศูนย์กลางมวลของระบบปิดนี้จะนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ในกรอบอ้างอิงที่เขาพัก นักบินอวกาศและยานอวกาศจะผ่านระยะทางที่กำหนดโดยสูตร (7) จนกว่าจะพบกัน

เพื่อความถูกต้องของการให้เหตุผลดังกล่าว เป็นสิ่งสำคัญโดยพื้นฐานแล้วที่จะใช้กรอบอ้างอิงเฉื่อย หากที่นี่เราเชื่อมโยงกรอบอ้างอิงกับยานอวกาศโดยประมาท เราจะสรุปได้ว่าเมื่อนักบินอวกาศดึงขึ้น ศูนย์กลางมวลของระบบจะเริ่มเคลื่อนที่โดยที่ไม่มีแรงภายนอก: เขาเข้าใกล้เรือ จุดศูนย์กลางมวลจะคงความเร็วไว้แต่สัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น

สมการ (6) ซึ่งกำหนดความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค ไม่รวมแรงภายในที่กระทำอยู่ในนั้น นี่หมายความว่าแรงภายในไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลเลยใช่หรือไม่? ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอก หรือเมื่อแรงเหล่านี้เป็นค่าคงที่ สิ่งนี้ก็เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ จุดศูนย์กลางมวลของกระสุนปืนที่ระเบิดในเที่ยวบินจะยังคงเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลาเดียวกัน จนกระทั่งไม่มีเศษชิ้นส่วนใดตกลงสู่พื้น

บทบาทของกองกำลังภายในในกรณีที่แรงภายนอกสามารถเปลี่ยนแปลงได้ สถานการณ์ก็ค่อนข้างซับซ้อน แรงภายนอกไม่ได้กระทำที่จุดศูนย์กลางมวล แต่กระทำต่ออนุภาคแต่ละส่วนของระบบ แรงเหล่านี้อาจขึ้นอยู่กับตำแหน่งของอนุภาค และตำแหน่งของแต่ละอนุภาคในระหว่างการเคลื่อนที่ถูกกำหนดโดยแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคนั้น ทั้งภายนอกและภายใน

ให้เราอธิบายสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ของโพรเจกไทล์ที่แตกเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยในการบินภายใต้การกระทำของกองกำลังภายใน ในขณะที่ชิ้นส่วนทั้งหมดกำลังบิน จุดศูนย์กลางมวลดังที่ได้กล่าวไปแล้วยังคงเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลาเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ทันทีที่ชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งชิ้นแตะพื้นและการเคลื่อนที่หยุด แรงภายนอกใหม่จะถูกเพิ่มเข้ามา ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาของพื้นผิวโลกที่กระทำต่อชิ้นส่วนที่ร่วงหล่น ผลที่ได้คือความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลจะเปลี่ยนไป และจะไม่เคลื่อนที่ไปตามพาราโบลาก่อนหน้าอีกต่อไป ลักษณะที่ปรากฏของแรงปฏิกิริยานี้เป็นผลมาจากการกระทำของแรงภายในที่แตกตัวของโพรเจกไทล์ ดังนั้น การกระทำของแรงภายในในขณะที่เกิดการแตกของโพรเจกไทล์สามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในการเร่งความเร็วโดยที่จุดศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนที่ในเวลาต่อมา และส่งผลให้วิถีของมันเปลี่ยนแปลงไป

ให้เรายกตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับอิทธิพลของแรงภายในที่มีต่อการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล ลองนึกภาพว่าดาวเทียมของโลก

โคจรรอบมันเป็นวงกลมภายใต้อิทธิพลของกองกำลังภายในแบ่งออกเป็นสองส่วน ครึ่งหนึ่งหยุดและเริ่มร่วงลงสู่พื้น ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ครึ่งหลังควรเพิ่มความเร็วเป็นสองเท่าในขณะนี้ โดยพุ่งตรงไปยังวงกลม ดังที่เราเห็นด้านล่าง ที่ความเร็วนี้ ครึ่งนี้จะบินออกจากโลกไปยังระยะทางที่ไม่สิ้นสุด ดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลของดาวเทียม กล่าวคือ ครึ่งหนึ่งของทั้งสองส่วนจะเคลื่อนตัวออกห่างจากโลกไปในระยะทางที่กว้างใหญ่อย่างไม่มีที่สิ้นสุด และสาเหตุของสิ่งนี้คือการกระทำของกองกำลังภายในเมื่อดาวเทียมถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน มิฉะนั้น ดาวเทียมที่ไม่ได้แบ่งออกเป็นส่วน ๆ จะยังคงเคลื่อนที่เป็นวงโคจรเป็นวงกลมต่อไป

แรงขับเจ็ทกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบปิดทำให้ง่ายต่อการอธิบายหลักการของการขับเคลื่อนด้วยไอพ่น เมื่อเชื้อเพลิงถูกเผาไหม้ อุณหภูมิจะสูงขึ้นและเกิดแรงดันสูงขึ้นในห้องเผาไหม้ เนื่องจากก๊าซที่เกิดขึ้นจะหลบหนีออกจากหัวฉีดของเครื่องยนต์จรวดด้วยความเร็วสูง ในกรณีที่ไม่มีสนามภายนอก โมเมนตัมทั้งหมดของจรวดและก๊าซที่ปล่อยออกมาจากหัวฉีดจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเมื่อก๊าซหมด จรวดจะได้รับความเร็วในทิศทางตรงกันข้าม

สมการเมชเชอร์สกี้เราได้สมการที่อธิบายการเคลื่อนที่ของจรวด ให้ในช่วงเวลาหนึ่ง จรวดในกรอบอ้างอิงเฉื่อยมีความเร็ว ให้เราแนะนำกรอบอ้างอิงเฉื่อยอีกกรอบหนึ่ง ซึ่งในช่วงเวลาที่กำหนด จรวดจะไม่เคลื่อนที่ เราเรียกว่ากรอบอ้างอิงดังกล่าว หากเครื่องยนต์จรวดทำงานในช่วงเวลานั้นปล่อยมวลมวลออกด้วยความเร็วที่สัมพันธ์กับจรวด หลังจากนั้นครู่หนึ่งความเร็วของจรวดในระบบประกอบนี้จะแตกต่างจากศูนย์และเท่ากับ

ให้เรานำกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมมาใช้กับจรวดระบบปิดทางกายภาพที่พิจารณาแล้วบวกกับก๊าซ ในช่วงเริ่มต้น จรวดและก๊าซหยุดนิ่งในกรอบอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนตัวเข้ามา ดังนั้นโมเมนตัมทั้งหมดจึงเป็นศูนย์ หลังจากนั้นไม่นานโมเมนตัมของจรวดก็เท่ากับและโมเมนตัมของก๊าซที่พุ่งออกมาดังนั้น

มวลรวมของระบบจรวดบวกกับก๊าซถูกอนุรักษ์ไว้ ดังนั้นมวลของก๊าซที่ปล่อยออกมาจึงเท่ากับการสูญเสียมวลของจรวด:

ตอนนี้สมการ (8) หลังจากหารด้วยช่วงเวลาจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ

เมื่อผ่านถึงขีด จำกัด เราได้รับสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุมวลแปรผัน (จรวด) ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอก:

สมการ (9) อยู่ในรูปของกฎข้อที่สองของนิวตัน ถ้าด้านขวาของมันเป็นแรงปฏิกิริยา นั่นคือ แรงที่ก๊าซปล่อยออกมากระทำต่อจรวด มวลของจรวดที่นี่ไม่คงที่ แต่ลดลงตามเวลาเนื่องจากการสูญเสียของสสาร นั่นคือ ดังนั้นแรงปฏิกิริยา ในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร็วของก๊าซที่ปล่อยออกมาจากหัวฉีดที่สัมพันธ์กับจรวด จะเห็นได้ว่าแรงนี้ยิ่งมากขึ้น ความเร็วของการไหลออกของก๊าซยิ่งมากขึ้น และการสิ้นเปลืองเชื้อเพลิงต่อหน่วยเวลายิ่งสูงขึ้น

สมการ (9) ได้มาในกรอบอ้างอิงเฉื่อย - กรอบการโคจร เนื่องจากหลักการสัมพัทธภาพ มันจึงใช้ได้ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นๆ หากนอกเหนือไปจากแรงปฏิกิริยา แรงภายนอกอื่นๆ กระทำต่อจรวด เช่น แรงโน้มถ่วงและแรงต้านของอากาศ ก็ควรเพิ่มไปทางด้านขวาของสมการ (9):

สมการนี้ได้มาครั้งแรกโดย Meshchersky และใช้ชื่อของเขา สำหรับโหมดการทำงานของเครื่องยนต์ที่กำหนด เมื่อมวลเป็นฟังก์ชันที่ทราบของเวลา สมการของ Meshchersky จะทำให้คุณสามารถคำนวณความเร็วของจรวดได้ตลอดเวลา

ข้อพิจารณาทางกายภาพใดที่พิสูจน์ให้เห็นถึงความเหมาะสมของการกำหนดจุดศูนย์กลางมวลโดยใช้สูตร (1)

จุดศูนย์กลางมวลแสดงลักษณะการเคลื่อนที่ของระบบอนุภาคโดยรวมในแง่ใด

กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์กันพูดถึงอะไร? แรงภายในส่งผลต่อความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลหรือไม่?

แรงภายในสามารถส่งผลต่อวิถีโคจรของศูนย์กลางมวลของระบบได้หรือไม่?

ในปัญหาการแตกของโพรเจกไทล์ที่พิจารณาในย่อหน้าก่อนหน้า กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลทำให้เราสามารถค้นหาระยะการบินของชิ้นส่วนที่สองได้ทันที หากความเร็วต้นของมันอยู่ในแนวนอน ทำอย่างไร? เหตุใดข้อควรพิจารณาเหล่านี้จึงใช้ไม่ได้เมื่อความเร็วเริ่มต้นมีองค์ประกอบแนวตั้ง

ในระหว่างการเร่งความเร็วของจรวด เครื่องยนต์จะทำงานในโหมดคงที่ ดังนั้นความเร็วสัมพัทธ์ของการไหลออกของก๊าซและการสิ้นเปลืองเชื้อเพลิงต่อหน่วยเวลาจะไม่เปลี่ยนแปลง ความเร่งของจรวดจะคงที่หรือไม่?

หาสมการเมชเชอร์สกีโดยใช้กรอบเฉื่อยแทนกรอบอ้างอิงการเคลื่อนตัว ซึ่งจรวดมีความเร็วอยู่แล้ว

สูตร Tsiolkovskyสมมุติว่าการเร่งความเร็วของจรวดเกิดขึ้นในพื้นที่ว่างที่ไม่มีแรงภายนอกกระทำการใดๆ เมื่อเชื้อเพลิงหมด มวลของจรวดจะลดลง มาหาความสัมพันธ์ระหว่างมวลเชื้อเพลิงที่ใช้กับความเร็วที่จรวดได้รับ

หลังจากเปิดเครื่องแล้ว จรวดที่หยุดนิ่งจะเริ่มรับความเร็วเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เราจะได้สมการเวกเตอร์ (9) ในทิศทางของจรวด

เราจะพิจารณาในสมการ (11) มวลของจรวดตามฟังก์ชันของความเร็วที่จรวดได้รับ จากนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงมวลตามเวลาสามารถแสดงได้ดังนี้

บทเรียน "ศูนย์กลางของมวล"

กฎระเบียบ: 2 บทเรียน

เป้า:เพื่อแนะนำนักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดเรื่อง "ศูนย์กลางมวล" และคุณสมบัติของมัน

อุปกรณ์:หุ่นทำด้วยกระดาษแข็งหรือไม้อัด "แก้ว" มีดปากกาดินสอ

แผนการเรียน

ขั้นตอนของวิธีการและเทคนิคเวลาเรียน

I Introduction to student 10 แบบสำรวจหน้าผาก นักเรียนทำงานที่กระดานดำ

เข้าสู่ปัญหาของบทเรียน

ครั้งที่สอง เรียนรู้สิ่งใหม่ๆ 15-20 เรื่องของครู การแก้ปัญหา

วัสดุ: 10 งานทดลอง

III หาข้อความนักเรียน 10 ฉบับใหม่

วัสดุ: 10-15 การแก้ปัญหา

15 แบบสำรวจหน้าผาก

IV. บทสรุป หน้าแรก 5-10 สรุปเนื้อหาโดยปากเปล่าโดยครูผู้สอน

งานเขียนบนกระดาน

ระหว่างเรียน.

ผม การทำซ้ำ 1. การสำรวจหน้าผาก: ไหล่ของแรง โมเมนต์ของแรง สภาพสมดุล ประเภทของสมดุล

Epigraph: จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายแต่ละจุดอยู่ภายในจุดนั้น - เช่นว่าถ้าคุณแขวนร่างกายไว้ด้วยจิตใจ มันก็จะยังคงอยู่นิ่งและคงตำแหน่งเดิมไว้

II. คำอธิบายวัสดุใหม่

ให้ร่างกายหรือระบบของร่างกายได้รับ ลองแบ่งร่างกายออกเป็นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ตามอำเภอใจด้วยมวล m1, m2, m3... แต่ละส่วนเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นวัตถุ ตำแหน่งในช่องว่างของจุดวัสดุที่ i-th ที่มีมวล mi ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี rผม(รูปที่ 1.1). มวลของร่างกายคือผลรวมของมวลของแต่ละส่วน: m = ∑ mi

จุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย (ระบบของร่างกาย) คือจุด C ซึ่งเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดโดยสูตร

r= 1/m∙∑mi rผม

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลที่สัมพันธ์กับร่างกายไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกแหล่งกำเนิด O กล่าวคือ คำจำกัดความข้างต้นของจุดศูนย์กลางมวลมีความชัดเจนและถูกต้อง

จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุสมมาตรที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นตั้งอยู่ในจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตหรือบนแกนสมมาตร จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่แบนราบในรูปแบบของสามเหลี่ยมโดยพลการนั้นตั้งอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน

ทางออกของปัญหา

ปัญหา 1. ลูกบอลที่มีมวลสม่ำเสมอ m1 = 3 กก., m2 = 2 กก., m3 = 6 กก. และ m4 = 3 กก. ได้รับการแก้ไขบนแท่งไฟ (รูปที่ 1.2) ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของลูกบอลที่อยู่ใกล้เคียง

a \u003d 10 ซม. ค้นหาตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงและจุดศูนย์กลางมวลของโครงสร้าง

สารละลาย. ตำแหน่งที่สัมพันธ์กับลูกบอลที่จุดศูนย์ถ่วงของโครงสร้างไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของแกนในอวกาศ ในการแก้ปัญหา จะสะดวกที่จะวางแกนในแนวนอน ดังแสดงในรูปที่ 2 ให้จุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกนที่ระยะ L จากจุดศูนย์กลางของลูกบอลด้านซ้าย กล่าวคือ จาก t. A. ที่จุดศูนย์ถ่วง ผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงทั้งหมดถูกนำไปใช้ และโมเมนต์สัมพันธ์กับแกน A เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงของลูกบอล เรามี r = (m1 + m2 + m3 + m4) ก.

R L \u003d m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.

ดังนั้น L=α (m1 + 2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16.4 ซม.

คำตอบ. จุดศูนย์ถ่วงตรงกับจุดศูนย์กลางมวลและตั้งอยู่ที่จุด C ที่ระยะทาง L = 16.4 ซม. จากจุดศูนย์กลางของลูกบอลด้านซ้าย

ปรากฎว่าจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย (หรือระบบของร่างกาย) มีคุณสมบัติที่โดดเด่นหลายประการ ในพลวัต แสดงให้เห็นว่าโมเมนตัมของวัตถุที่เคลื่อนที่ตามอำเภอใจมีค่าเท่ากับผลคูณของมวลของวัตถุและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลและจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ราวกับว่าแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายนั้น ใช้ที่ศูนย์กลางของมวล และมวลของทั้งร่างกายก็จดจ่ออยู่ในตัวเขา

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่อยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลกเป็นจุดของการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่กระทำต่อทุกส่วนของร่างกาย ผลลัพธ์นี้เรียกว่าแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อร่างกาย แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายมีผลเช่นเดียวกันกับร่างกายเช่นเดียวกับแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อส่วนต่างๆ ของร่างกาย

กรณีที่น่าสนใจคือเมื่อมิติของร่างกายมีขนาดเล็กกว่ามิติของโลกมาก จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าแรงโน้มถ่วงคู่ขนานกระทำกับทุกส่วนของร่างกายนั่นคือ ร่างกายอยู่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ แรงที่ขนานกันและมีทิศทางเท่าเทียมกันมีผลเสมอซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ แต่ ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งของร่างกายในอวกาศ เป็นไปได้ที่จะระบุเฉพาะแนวการกระทำของผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงคู่ขนานทั้งหมดเท่านั้น จุดของการใช้งานจะยังคงไม่แน่นอนในขณะนี้เพราะ สำหรับร่างกายที่แข็งกระด้าง แรงใดๆ สามารถถ่ายโอนไปตามแนวการกระทำของมันได้ แล้วจุดสมัครล่ะ?

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าสำหรับตำแหน่งใดๆ ของร่างกายในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ แนวการกระทำของผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่กระทำต่อส่วนต่างๆ ของร่างกายจะเคลื่อนผ่านจุดเดียวกัน ซึ่งอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับร่างกาย เมื่อถึงจุดนี้ แรงเท่ากันจะถูกใช้ และจุดนั้นเองจะเป็นศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงของร่างกาย

ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงที่สัมพันธ์กับวัตถุนั้นขึ้นอยู่กับรูปร่างของร่างกายและการกระจายมวลในร่างกายเท่านั้น และไม่ขึ้นกับตำแหน่งของร่างกายในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ จุดศูนย์ถ่วงไม่จำเป็นต้องอยู่ที่ตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น สำหรับห่วงในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต

ในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์ถ่วงมวลของมัน

ในกรณีส่วนใหญ่ คำศัพท์หนึ่งสามารถแทนที่ด้วยอีกคำหนึ่งได้โดยไม่ลำบาก

แต่: จุดศูนย์กลางมวลของร่างกายมีอยู่โดยไม่คำนึงถึงการมีสนามแรงโน้มถ่วง และจุดศูนย์ถ่วงสามารถพูดได้เมื่อมีแรงโน้มถ่วงเท่านั้น

ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายและด้วยเหตุนี้จุดศูนย์กลางมวลจึงสะดวกในการค้นหา โดยคำนึงถึงความสมมาตรของร่างกายและโดยใช้แนวคิดเรื่องโมเมนต์ของแรง

หากไหล่ของแรงเป็นศูนย์ โมเมนต์ของแรงจะเป็นศูนย์และแรงดังกล่าวจะไม่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย

ดังนั้นหากแนวการกระทำของแรงเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวล มันก็จะเคลื่อนที่ไปข้างหน้า

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดจุดศูนย์กลางมวลของร่างแบนใดๆ ในการทำเช่นนี้คุณต้องแก้ไข ณ จุดหนึ่งเพื่อให้มีโอกาสหมุนได้อย่างอิสระ มันจะถูกตั้งค่าให้แรงโน้มถ่วงหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวล ที่จุดยึดของรูปเราแขวนด้ายด้วยน้ำหนัก (น็อต) ลากเส้นไปตามช่วงล่าง (เช่นเส้นแรงโน้มถ่วง) ทำซ้ำขั้นตอนโดยแก้ไขตัวเลขที่จุดอื่น จุดตัดของเส้นการกระทำของแรงโน้มถ่วง - จุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

งานทดลอง:กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างแบน (ตามตัวเลขที่นักเรียนเตรียมก่อนหน้านี้จากกระดาษแข็งหรือไม้อัด)

คำแนะนำ: แก้ไขหุ่นบนขาตั้งกล้อง เราแขวนลูกดิ่งจากมุมหนึ่งของร่าง เราวาดเส้นการกระทำของแรงโน้มถ่วง หมุนร่าง ทำซ้ำการกระทำ จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของเส้นแรงโน้มถ่วง

นักเรียนที่ทำงานเสร็จอย่างรวดเร็วสามารถรับงานเพิ่มเติมได้: แนบน้ำหนัก (สลักเกลียวโลหะ) เข้ากับร่างและกำหนดตำแหน่งใหม่ของจุดศูนย์กลางมวล ทำการสรุป

การศึกษาคุณสมบัติที่โดดเด่นของ "ศูนย์" ซึ่งมีอายุมากกว่าสองพันปีกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับช่างเครื่องเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในการออกแบบยานพาหนะและอุปกรณ์ทางทหาร การคำนวณความมั่นคงของโครงสร้าง หรือหาสมการการเคลื่อนที่ของยานเจ็ท ไม่น่าเป็นไปได้ที่อาร์คิมิดีสจะคิดด้วยซ้ำว่าแนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลจะสะดวกมากสำหรับการวิจัยฟิสิกส์นิวเคลียร์หรือฟิสิกส์อนุภาคมูลฐาน

ข้อความของนักเรียน:

ในงานของเขาเรื่อง "On the Balance of Flat Bodies" อาร์คิมิดีสใช้แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงโดยไม่ได้กำหนดจุดศูนย์ถ่วง เห็นได้ชัดว่ามันได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยบรรพบุรุษของอาร์คิมิดีสหรือโดยตัวเขาเองซึ่งไม่รู้จักมาก่อน แต่ในงานก่อนหน้านี้ที่ไม่ได้ลงมาหาเรา

สิบเจ็ดศตวรรษต้องผ่านพ้นไป ก่อนที่วิทยาศาสตร์จะเพิ่มผลลัพธ์ใหม่ๆ ให้กับงานวิจัยของอาร์คิมิดีสเรื่องจุดศูนย์ถ่วง สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อ Leonardo da Vinci พยายามหาจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุข เขาคิดถึงความเสถียรของหอเอนอิตาลี รวมทั้งหอเอนเมืองปิซา มาถึง "ทฤษฎีบทรูปหลายเหลี่ยมพื้นฐาน"

เงื่อนไขสำหรับความสมดุลของวัตถุที่ลอยอยู่ซึ่งค้นพบโดยอาร์คิมิดีส จะต้องถูกค้นพบอีกครั้งในภายหลัง เขามีส่วนร่วมในเรื่องนี้เมื่อปลายศตวรรษที่ 16: นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Simon Stevin ซึ่งใช้ควบคู่ไปกับแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงแนวคิดของ "ศูนย์กลางของความดัน" - จุดใช้แรงกดของ น้ำที่อยู่รอบกาย

หลักการของ Torricelli (และสูตรสำหรับการคำนวณจุดศูนย์กลางมวลก็ตั้งชื่อตามเขาด้วย) กลายเป็นสิ่งที่อาจารย์ Galileo คาดการณ์ไว้ ในทางกลับกัน หลักการนี้เป็นพื้นฐานของงานคลาสสิกของ Huygens เกี่ยวกับนาฬิกาลูกตุ้ม และยังใช้ในการศึกษาอุทกสถิตที่มีชื่อเสียงของ Pascal

วิธีการที่อนุญาตให้ออยเลอร์ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่แข็งกระด้างภายใต้การกระทำของกองกำลังใด ๆ ที่ประกอบด้วยการสลายตัวของการเคลื่อนไหวนี้เป็นการกระจัดของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายและการหมุนรอบแกนที่ผ่านเข้าไป

เพื่อให้วัตถุอยู่ในตำแหน่งที่ไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการเคลื่อนตัวของการสนับสนุนเป็นเวลาหลายศตวรรษที่เรียกว่า gimbal under-weight ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายตั้งอยู่ใต้แกนที่สามารถทำได้ หมุน. ตัวอย่างคือตะเกียงน้ำมันก๊าดของเรือ

แม้ว่าแรงโน้มถ่วงบนดวงจันทร์จะน้อยกว่าบนโลกถึงหกเท่า แต่ก็เป็นไปได้ที่จะเพิ่มสถิติการกระโดดสูงที่นั่นเพียง "เพียง" สี่เท่าเท่านั้น การคำนวณการเปลี่ยนแปลงความสูงของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายนักกีฬานำไปสู่ข้อสรุปนี้

นอกจากการหมุนรอบแกนของมันทุกวันและการหมุนรอบดวงอาทิตย์ประจำปีแล้ว โลกยังมีส่วนร่วมในการเคลื่อนที่แบบวงกลมอีก เมื่อรวมกับดวงจันทร์ มัน "หมุน" รอบจุดศูนย์กลางมวลร่วม ซึ่งอยู่ห่างจากศูนย์กลางโลกประมาณ 4700 กิโลเมตร

ดาวเทียมประดิษฐ์บางดวงของโลกมีแท่งพับหลายสิบเมตรหรือหลายสิบเมตรโดยถ่วงน้ำหนักที่ส่วนท้าย ความจริงก็คือดาวเทียมดวงหนึ่งมีแนวโน้มที่จะหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลขณะเคลื่อนที่ในวงโคจรเพื่อให้แกนตามยาวเป็นแนวตั้ง เช่นเดียวกับดวงจันทร์ เขาจะหันหน้าไปทางโลกข้างเดียวเสมอ

การสังเกตการเคลื่อนที่ของดาวฤกษ์บางดวงที่มองเห็นได้บ่งชี้ว่าพวกเขาเป็นส่วนหนึ่งของระบบดาวคู่ที่ "คู่ท้องฟ้า" หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลร่วม หนึ่งในสหายที่มองไม่เห็นในระบบดังกล่าวอาจเป็นดาวนิวตรอนหรืออาจเป็นหลุมดำ

คำอธิบายของครู

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล: จุดศูนย์กลางมวลของร่างกายสามารถเปลี่ยนตำแหน่งได้ภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเท่านั้น

ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล: จุดศูนย์กลางมวลของระบบปิดของร่างกายยังคงนิ่งอยู่สำหรับปฏิกิริยาใดๆ ของร่างกายของระบบ

การแก้ปัญหา (ที่กระดานดำ)

ปัญหาที่ 2. เรือจอดนิ่งอยู่ในน้ำนิ่ง คนในเรือเคลื่อนจากคันธนูไปท้ายเรือ เรือจะเคลื่อนที่เป็นระยะทางใด h หากมวลของบุคคลคือ m = 60 kg มวลของเรือคือ M = 120 kg ความยาวของเรือคือ L = 3 m? ละเว้นการต้านทานน้ำ

สารละลาย. ให้เราใช้เงื่อนไขของปัญหาที่ว่าความเร็วเริ่มต้นของจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับศูนย์ (เรือและบุคคลนั้นพักในตอนแรก) และไม่มีแรงต้านทานน้ำ (ไม่มีแรงภายนอกในแนวนอนกระทำการบน “ ระบบคนเรือ”) ดังนั้นพิกัดจุดศูนย์กลางมวลของระบบในแนวนอนจึงไม่เปลี่ยนแปลง รูปที่ 3 แสดงตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของเรือและบุคคล พิกัดเริ่มต้น x0 ของจุดศูนย์กลางมวล x0 = (mL+ML/2)/(m+M)

พิกัดสิ้นสุด x ของจุดศูนย์กลางมวล x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)

เท่ากับ x0 \u003d x เราพบ h \u003d mL / (m + M) \u003d 1m

นอกจากนี้:การรวบรวมปัญหาโดย Stepanova G.N. №393

คำอธิบายของครู

เมื่อนึกถึงสภาวะสมดุล เราพบว่า

สำหรับวัตถุที่มีพื้นที่รองรับ จะสังเกตสมดุลที่เสถียรเมื่อแนวแรงโน้มถ่วงเคลื่อนผ่านฐาน

ผลที่ตามมา: ยิ่งพื้นที่รองรับมากขึ้นและจุดศูนย์ถ่วงต่ำลงเท่าใด ตำแหน่งสมดุลก็จะยิ่งมีเสถียรภาพมากขึ้น

สาธิต

วางแก้วน้ำของเล่นเด็ก (Vanka - Vstanka) ลงบนกระดานหยาบแล้วยกขอบด้านขวาของกระดานขึ้น "หัว" ของของเล่นจะเบี่ยงเบนไปในทิศทางใดในขณะที่รักษาสมดุลไว้?

คำอธิบาย: จุดศูนย์ถ่วง C ของแก้วน้ำอยู่ต่ำกว่าจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต O ของพื้นผิวทรงกลมของ "ลำตัว" ในตำแหน่งสมดุล จุด C และจุดสัมผัส A ของของเล่นที่มีระนาบเอียงควรอยู่ในแนวตั้งเดียวกัน ดังนั้น "หัว" ของแก้วจะเบี่ยงไปทางซ้าย

จะอธิบายการรักษาสมดุลในกรณีดังรูปได้อย่างไร?

คำอธิบาย: จุดศูนย์ถ่วงของระบบมีดดินสออยู่ใต้จุดศูนย์กลาง

สามการรวมบัญชีสำรวจหน้าผาก

คำถามและภารกิจ

1. เมื่อวัตถุเคลื่อนที่จากเส้นศูนย์สูตรไปยังขั้วโลก แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อวัตถุจะเปลี่ยนไป สิ่งนี้ส่งผลต่อตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายหรือไม่?

คำตอบ: ไม่ เพราะ การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในแรงโน้มถ่วงขององค์ประกอบทั้งหมดของร่างกายจะเหมือนกัน

2. เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุดศูนย์ถ่วงของ "ดัมเบลล์" ที่ประกอบด้วยลูกบอลขนาดใหญ่สองลูกที่เชื่อมต่อกันด้วยไม้เรียวที่ไม่มีน้ำหนัก โดยมีเงื่อนไขว่าความยาวของ "ดัมเบลล์" นั้นเทียบได้กับเส้นผ่านศูนย์กลางของโลก?

คำตอบ: ไม่ เงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของจุดศูนย์ถ่วงคือความสม่ำเสมอของสนามโน้มถ่วง ในสนามโน้มถ่วงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน การหมุนของ "ดัมเบลล์" รอบจุดศูนย์กลางมวลทำให้เกิดความจริงที่ว่าเส้นการกระทำของ L1 และ L2 ซึ่งเป็นแรงโน้มถ่วงผลลัพธ์ที่กระทำต่อลูกบอลนั้นไม่มีจุดร่วม

3.ทำไมหน้ารถหล่นตอนรถเบรกกะทันหัน?

คำตอบ: เมื่อเบรก แรงเสียดทานจะกระทำกับล้อจากด้านข้างของถนน ทำให้เกิดแรงบิดรอบจุดศูนย์กลางมวลรถ

4. จุดศูนย์ถ่วงของหน้าฟองอยู่ที่ไหน?

คำตอบ: รู!

5. เทน้ำลงในแก้วทรงกระบอกเล็กน้อย ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของระบบน้ำแก้วจะเปลี่ยนไปอย่างไร?

คำตอบ: จุดศูนย์ถ่วงของระบบจะลดลงก่อนแล้วจึงเพิ่มขึ้น

6. ปลายจะต้องถูกตัดออกจากแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันนานเท่าใดเพื่อให้จุดศูนย์ถ่วงของมันเลื่อนไป ∆ℓ?

คำตอบ: ความยาว 2∆ℓ.

7. แกนที่เป็นเนื้อเดียวกันงอตรงกลางเป็นมุมฉาก ตอนนี้จุดศูนย์ถ่วงของเขาอยู่ที่ไหน?

คำตอบ: ที่จุด O - ตรงกลางของส่วน O1O2 ที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของส่วน AB และ BC ของแกน

9. สถานีอวกาศตายตัวเป็นทรงกระบอก นักบินอวกาศเริ่มเดินเป็นวงกลมรอบสถานีตามพื้นผิว จะเกิดอะไรขึ้นกับสถานี?

ตอบ: กับสถานีจะเริ่มหมุนไปในทิศทางตรงกันข้ามและศูนย์กลางจะอธิบายวงกลมรอบจุดศูนย์กลางมวลร่วมกับนักบินอวกาศ

11. ทำไมการเดินบนไม้ค้ำถ่อจึงยาก?

คำตอบ: จุดศูนย์ถ่วงของคนบนไม้ค้ำถ่อเพิ่มขึ้นอย่างมากและพื้นที่รองรับของเขาบนพื้นดินลดลง

12. เมื่อใดที่ผู้เดินไต่เชือกจะรักษาสมดุลได้ง่ายกว่า - ระหว่างการเคลื่อนไหวตามปกติตามเชือกหรือเมื่อถือโยกโยกที่โค้งแรงซึ่งบรรทุกน้ำในถัง?

คำตอบ: ในกรณีที่สอง เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของนักไต่เชือกที่มีถังอยู่ต่ำกว่า กล่าวคือ ใกล้กับการสนับสนุน - เชือก

IVการบ้าน:(ดำเนินการโดยผู้ที่ต้องการ - งานยากผู้ที่แก้ไขจะได้รับ "5")

*หนึ่ง. หาจุดศูนย์ถ่วงของระบบลูกบอลซึ่งอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมไร้น้ำหนักด้านเท่าที่แสดงในรูป

คำตอบ: จุดศูนย์ถ่วงอยู่ตรงกลางของเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่จุดยอดซึ่งมีลูกบอลมวล 2 เมตร

*2. ความลึกของรูในกระดานที่สอดลูกบอลเข้าไปคือครึ่งหนึ่งของรัศมีของลูกบอล ลูกบอลจะกระโดดออกจากหลุมในมุมใดบนกระดานถึงขอบฟ้า?

ในระบบของจุดวัตถุใดๆ และด้วยเหตุนี้ ในระบบของวัตถุ มีจุด C ที่โดดเด่นอยู่หนึ่งจุดซึ่งเรียกว่า ศูนย์กลางของมวลหรือ ศูนย์กลางของความเฉื่อยระบบต่างๆ ตำแหน่งถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี rc:

ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับจุดศูนย์กลางมวล: เมื่อระบบอนุภาคใดเคลื่อนที่ จุดศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนที่ราวกับว่ามวลทั้งหมดของระบบกระจุกตัวอยู่ที่จุดนี้และทั้งหมด ภายนอกแรงที่กระทำต่อระบบตามรูปร่าง สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลเห็นด้วยกับกฎข้อที่สองของนิวตัน:

โดยที่ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่ใด

สมการไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน

ที่ การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายที่แข็งกระด้างความคล้ายคลึงของกฎข้อที่สองของนิวตันคือ สมการพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุนซึ่งดูเหมือนว่า:

ที่ไหน อี- ความเร่งเชิงมุม เอ็ม- โมเมนต์รวมของแรงรอบแกนหมุน หากโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเปลี่ยนแปลงในกระบวนการเคลื่อนไหว กฎหมายนี้จะต้องนำไปใช้ในรูปแบบต่อไปนี้:

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งอยู่ที่ไหน

การเคลื่อนไหวใด ๆ ของร่างกายที่แข็งกระด้างสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนไหวหลักสองประเภท - การแปลและการหมุน ตัวอย่างเช่น การกลิ้งของลูกบอลถือได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่ากับความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล และการหมุนรอบแกนที่เคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวล การเคลื่อนไหวแต่ละครั้งอยู่ภายใต้กฎหมายที่เกี่ยวข้อง ดังแสดงในตารางที่ 5

กฎของพลวัตในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย

แรงเฉื่อย

เฟรมอ้างอิงเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสัมพันธ์กับเฟรมเฉื่อยเรียกว่า ไม่เฉื่อย (NISO)และกฎของไดนามิกที่พิจารณาข้างต้นไม่เป็นจริง: กฎข้อที่สองของนิวตัน, สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล, สมการของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน อย่างไรก็ตาม พวกมันยังสามารถคงไว้สำหรับระบบที่ไม่เฉื่อยได้ ถ้านอกเหนือจากแรงปฏิสัมพันธ์ปกติ Fแนะนำ "พลัง" ที่มีลักษณะพิเศษมากขึ้น Fใน, เรียกว่า แรงเฉื่อย. การแนะนำของพวกเขาเกิดจากการเร่งความเร็วของการเคลื่อนที่ของกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

กฎแห่งพลวัตตารางที่ 5

สภาพร่างกาย	กฎหมายที่ใช้บังคับ
การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ การเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็ง	กฎข้อที่สองของนิวตัน
การเคลื่อนตัวของวัตถุตามวงกลมหรือวิถีโคจรอื่นๆ	กฎข้อที่สองของนิวตัน
การหมุนของตัวแข็งรอบแกนคงที่	กฎพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน
การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของร่างกายที่แข็งทื่อ	สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลและสมการไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน

ใน NISO กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงจะอยู่ในรูปแบบ:

กฎข้อที่สองของนิวตัน + ;

สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล + ;

สมการพลศาสตร์การหมุน + .

ระบบไม่เฉื่อยมีสองประเภทหลัก แสดงด้วยสัญลักษณ์ ถึงเฉื่อยระบบอ้างอิงและ - ไม่เฉื่อย.

1. ค่อนข้างเคลื่อนไหว ถึงด้วยความเร่งคงที่ในกรณีนี้ ในสมการไดนามิกควรแนะนำ แรงเฉื่อย, เท่ากับ = - มค. จุดที่ใช้แรงนี้คือจุดศูนย์กลางมวล

กลับ